1. Deformacion en vigas - U

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05-08-2010
Deformación en vigas
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ESTRUCTURAS 2
profesora: Verónica Veas
ayudante: Preeti Bellani
Línea elástica
Viga sin carga
Viga con carga
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05-08-2010
Deformación en vigas
Viga simplemente apoyada
Viga simplemente apoyada con voladizo
Viga simplemente apoyada con voladizo
Viga simplemente apoyada con voladizo
Viga empotrada
Ley de Hooke
E = Elasticidad (kg/cm2)
τ = Tensión (kg/cm2)
ε = Deformación Unitaria
τ
E= τ
ε
ε
1
τ=E*ε
2
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Deducción fórmula de flexión
τ= M
W
W= I
V
2
τ = MV
I
τ = Tensión (kg/cm2)
M = Momento flector (kgcm)
V = Distancia desde la fibra neutra a
I
Igualando expresiones
1
y
la fibra más traccionada o más
comprimida (cm)
= Inercia (cm4)
2
τ = Eεε = MV ó ε = MV
I
EI
3
Análisis de la sección
Por relación de
triángulos semejantes
0 n n’ y
4
n’ t’ t’’
∆ds = V = ε
ds
R
ds = dφ
φ* R
/:R :ds
1 = dφ
φ
R
ds
3
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Igualando
3
y
4
ε = V = MV
R
EI
/:V
1=M
R EI
1 = M = dφ
φ
R EI
ds
dφ
φ = M*ds
EI
Si ds ≈ dx
La curvatura de la línea elástica
es una variable proporcional al
momento flector.
dφ
φ = Mdx
EI
4
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Métodos de cálculo
a
Método de área de momentos.
b
Método de doble integración.
c
Método de la viga conjugada.
Se busca determinar el ángulo de curvatura de la línea
elástica y sus deflecciones o flechas.
Cada método tiene ventajas y desventajas dependiendo
de la viga a analizar.
Estableciendo relaciones entre ángulos
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Método de doble integración
dφ =
M.dx
EI
.../ dx
EI
dφ M
=
dx EI
Ecuación
elástica
Si...
dy
= tgφ
dx
d2 y
=M
dx 2
diferencial
de
la
Integrando...
tgφ ≈ φ
EI
dy
=φ
dx
dy
= M dx
dx
∫
Ecuación general de Pendiente
Reemplazando...
d dy
dx dx
=
M
Integrando...
d2 y M
=
dx 2 EI
EI
EI y =
∫∫ M dx
Ecuación general de Flecha
Ejemplo
Viga simplemente apoyada con
carga uniformemente repartida
1. Equilibrio externo: cálculo de
reacciones
qL
Ra = Rb =
2
2. Determinar ecuación general
de momento
Mx=
qLx qx2
−
2
2
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3. Definir la ecuación diferencial de la elástica.
EI
2
2
d y
qLx qx
= MX =
−
2
2
2
dx
4. Definir la ecuación general de la pendiente
EI
dy
dx
=
2
qLx
4
−
3
qx
6
+ C1
5. Definir la ecuación general de la flecha
EI y =
qLx 3 qx 4 qL3 x
+ C 1 x + C2
−
−
12
24
24
6. Despejar las constantes de integración
Para despejar C1 ...
L
x=
2
dy
=0
dx
2
3
qL  L 
qL 
EI. 0 =
  −   + C1
4 2
62
C1 = −
EI
qL3
24
dy qLx 2 qx 3 qL3
=
−
−
dx
4EI
6EI 24EI
Para despejar C2 ...
y=0
x=0
x=L
EI. 0 =
qL 3 q 4 qL3
0 −
0 −
0 + C2
12
24
24
EI. 0 =
qL 3 q 4 qL3
L −
L −
L + C2
12
24
24
C2 = 0
EI y =
qLx 3 qx 4 qL3 x
−
−
12EI 24EI 24EI
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7. Determinar valores característicos.
Ángulos en los apoyos...
EI
dy qLx 2 qx 3 qL3
=
−
−
dx
4EI
6EI 24EI
x =L
x=0
3
φA =
dy
qL
=−
dx
24EI
φB =
dy qL3 qL3 qL3
=
−
−
dx 4EI 6EI 24EI
φB =
dy
qL3
=
dx 24EI
La flecha máxima...
EI y =
qLx 3 qx 4 qL3 x
−
−
12EI 24EI 24EI
x = L/2
3
4
y=
qL  L 
q L
qL3 L
  −
  −
12EI  2 
24EI  2 
24EI 2
y=
5qL4
384EI
8
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