Laboratorio de ondas electromagnéticas INDICE Páginas Introducción teórica .................................................. 1–5 Material .................................................. 6 Procedimiento experimental ....................................... 7 - 14 Conclusiones .................................................. 15 Bibliografía .................................................. 16 INTRODUCCIÓN TEÓRICA. Cuando tenemos un sistema donde vamos a medir la impedancia de carga, si este fuese ideal y no tuviese ni pérdidas ni reflexiones, salvo que al final de la guía se produjesen reflexiones por la estructura, dicha impedancia de carga será ZL. Si la impedancia Z0 que es característica de la guía que tenemos montada, es igual a la impedancia ZL, es porque es un caso ideal donde la guía es infinita, y no hay nada al final que produzca reflexión. Si en cambio tenemos una guía en la que si se producen reflexiones, como es en el caso real, habrá diferencias entre ZL y Z0, y cuanto más se aleje la guía real de una ideal, es decir, cuanta más reflexión haya, mas diferencia habrá entre ZL y Z0. Para determinar SWR, en esta práctica haremos uso de la fórmula: SWR = 10 SWR 20 (1) y luego para obtener el coeficiente de reflexión usaremos, la ecuación que relaciona G con SWR, que es: | G |= SWR − 1 SWR + 1 (2) Si lo que tenemos al final de la guía es una carga adaptada, ZL=Z0 y |G|=0 ya que no refleja nada, porque la carga adaptada simula una guía infinita (aunque siempre habrá errores ya que no es algo ideal). En cambio si lo que hay al final es un cortocircuito Z0=0 y |G|=1 ya que se refleja todo, y SWR valdrá infinito. Diagrama de Smith Existen varios métodos gráficos para los cálculos de la línea de transmisión. De todos ellos, el más utilizado es la carta de Smith que fue desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los laboratorios del teléfono de Bell. Consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos. La carta permite hallar, de forma sencilla, como se transforman las impedancias a lo largo de la línea, relacionar la impedancia con el coeficiente de reflexión, con la relación de onda estacionaria, SWR o ROE, o con la posición de un mínimo de tensión. Mediante combinaciones de operaciones, se puede llegar a comprender el comportamiento de las técnicas de adaptación de impedancias complejas y a diseñar otras nuevas. La discusión de la carta empezará definiendo una impedancia normalizada. Esta impedancia esta normalizada por la impedancia de la guía, Zc. Z ( z ) = r + j· x = Z Zc (3) Si a demás definimos una variable compleja igual al coeficiente de reflexión, Γ(z), en el extremo de la guía, cambiado de fase para que corresponda a la posición de entrada l Γ( z ) = Γr + j·Γi = ΓL e −2· j ·k ·l (4) De esta forma podemos escribir la impedancia normalizada en función del coeficiente de reflexión. 1 + Γ( z ) 1 − Γ( z ) 1 + (Γr + j·Γi ) r + j· x = 1 − (Γr + j·Γi ) Z ( z) = (5) Separando la parte real e imaginaria de esta ecuación: r= 1 − Γr2 − Γi2 (1 − Γr ) 2 + Γi2 (6) x= 2·Γi (1 − Γr ) 2 + Γi2 (7) o si reescribimos en forma cuadrática 2 r 1 2 Γr − + Γi = 1+ r 1 + r 2 (8) 2 (Γr − 1) + Γi − 1 = 12 x x 2 (9) Según (8), la representación gráfica de los lugares geométricos de la resistencia r en el plano Γ (z) ( siendo Γr y Γi i las coordenadas rectangulares) son círculos con centros sobre el eje Γr en [r/(1 + r), 0] y de radios 1/ (1 + r). En la siguiente figura están dibujadas las curvas para r = 0, ½, 1, 2 e ∞. Según (9), las curvas de x constante representadas en el plano Γ (z) son también círculos, con centro en (1, 1/x) y de radios 1/ |x|. En la figura de abajo se han dibujado los círculos con x= 0, ± ½, ± 1, ± 2 e ∞. Cualquier punto de una línea de transmisión tendrá una impedancia con una parte resistiva y por tanto, corresponderá a un punto particular del interior del interior del circulo unidad del plano Γ (z). Diagrama de Smith Obtención del coeficiente de reflexión Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, la distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulo del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase: La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del módulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculo r=1). Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente de reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen. Transformación de impedancias Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de reflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función del coeficiente de reflexión en la carga, por la expresión: Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde tenemos que: Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z se traduce en un cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z=λ/8 supone un incremento de fase de +π/2 sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la impedancia vista desde ese punto. De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de la línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas). MATERIAL En la práctica disponemos de los siguientes componentes, que según los datos que vayamos a medir, el montaje variará ligeramente: Diodo Gunn Atenuador Modulador Tornillo micrométrico Guía ranurada Carga adaptada Cortocircuito SWR-meter Varios cables coaxiales El orden en el que están colocados los elementos es el siguiente: Gunn atenuador modulador guía ranurada tornillo micrométrico carga adaptada (o cortocircuito). Una vez tenemos el montaje, conectamos el Gunn y el modulador a la fuente de alimentación que suministra una tensión aproximada de 10 V al Gunn, y ± 5V de señal cuadrada a 1 KHz para el modulador. El detector los conectaremos al SWR-meter para realizar las medidas. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL En la práctica realizamos varios apartados que aquí los pondremos por separado, la frecuencia a la cual estamos trabajando es de 9.560 GHz, medida con el resonador. Medida directa del SWR de una carga. Partimos del montaje nombrado anteriormente, y desatornillamos el tornillo micrométrico completamente, par que no produzca reflexión, ya que lo que queremos es medir el SWR de la carga adaptada al final de la guía, por eso sacamos el tornillo. En esta imagen se aprecia cual es el montaje preparado y los elementos que en el intervienen. Comenzamos conectando el diodo detector al SWR y colocamos la aguja (manipulando los botones de amplificación de dicho aparato para controlar la escala) de modo que podamos comenzar a medir lo que se nos pide, que es la posición de los mínimos y máximos, cosa que haremos con la guía ranurada, también medimos con el SWR-meter la diferencia en db que hay entre unos y otros. Posición (mm) SWR G 3 1.41 0.17 3.2 1.45 0.18 3.5 1.50 0.20 4 1.58 0.23 Diferencia entre máx. y mín. con el SWR (db) Máximo 47.5 Mínimo 58.5 Máximo 68.4 Mínimo 79.8 Máximo 90.3 Mínimo 100.1 Máximo 111.0 Mínimo 124.9 Tabla 1 Las medidas entre un máximo se deberían mantener constantes, aunque varía un poco desde 3 db hasta 4 db, pero haremos los cálculos como si estas fueran constantes, ya que por posibles errores al tomar la medida y en los propios aparatos se puede producir esta diferencia. Calculamos el SWR y el coeficiente de reflexión G, con las fórmulas descritas en la teoría, y obtenemos la media. SWR = 1.48 ± 0.08 El coeficiente de reflexión para la carga adaptada es: |G| = 0.19 ± 0.02 Impedancia normalizada en un mínimo 1/SWR = 0.67 ± 0.03 Medida de la impedancia normalizada I. Para medir la impedancia normalizada, su parte real e imaginaria. Hay que definir el plano de referencia respecto del cual se va a calcular, ya que a alta frecuencia, la impedancia que obtengo depende de la posición donde se mira. Escogemos el final de la guía ranurada como plano de referencia, y cambiamos el montaje para hacer las nuevas medidas. Quitamos el tornillo micrométrico y la carga adaptada y colocamos en su lugar el cortocircuito al final de la guía ranurada y medimos la nueva estructura de onda estacionaria y la anotamos en la tabla 2. Montaje para este apartado, donde se han eliminado algunos elementos Volvemos a hacer una tabla como en el apartado anterior. Posición (mm) SWR G > 20 > 10 > 0.82 > 20 > 10 > 0.82 > 20 > 10 > 0.82 Diferencia entre máx. y mín. con el SWR (db) Máximo 53.2 Mínimo 65.8 Máximo 75.7 Mínimo 86.9 Máximo 97.1 Mínimo 107.8 Tabla 2 Como ahora tenemos un cortocircuito, el valor de SWR →∞ (la aguja se nos salía de la escala del SWR-meter), y el |G| = 1, por eso ponemos > 0.82, que es lo que nos sale con los datos que pudimos medir, sin embargo lo que nos interesa en este caso son las posiciones, no los valores de SWR, |G| ... Aunque tomamos los datos de máximos y mínimos lo que realmente nos importa ahora son los mínimos, ya que la diferencia entre dos mínimos consecutivos nos sirve para obtener cual es la longitud de onda en la guía λg. Posición mínimos (mm) Distancia entre dos mínimos consecutivos (cm) 65.8 2.11 86.9 2.09 107.8 Tabla 3 La distancia del mínimo al plano de referencia es 4.95 cm, ahora la dividimos por λg ,y para obtener esa λg multiplicamos por 2 la separación entre dos mínimos consecutivos (haciendo la media entre 2.11 y 2.09 cm) λ g = 2 ⋅ dcia = 2 ⋅ 2,1 = 4.2 cm calculamos λg para estos datos, con el cortocircuito, porque es mas precisa que si tomamos los datos donde esta la carga. Dcia. normalizada = Z min λg = 1,178 mm Ahora dividimos el valor de 1,178 entre λg para saber que cantidad tenemos que girar en el diagrama de Smith, tenemos que buscar el valor de 0.28 towards the load (hacia la carga). 1,178 λg ⋅ λ g = 0,28 ⋅ λ g La impedancia en el diagrama de Smith sale: Z = 1.43 + 0.2 j Medida de la impedancia normalizada II Juntamos las 2 tablas que tenemos de antes en una sola, y miramos la diferencia que hay entre los mínimos de las dos tablas, la tabla 1 corresponde a la posición de los mínimos cuando estaba la carga dL, y la tabla 2, es la posición de los mínimos cuando estaba el cortocircuito. Tabla 1 Posición (mm) - dL Tabla 2 Posición (mm) - dC Máximo 47.5 Máximo 53.2 Mínimo 58.5 Mínimo 65.8 Máximo 68.4 Máximo 75.7 Mínimo 79.8 Mínimo 86.9 Máximo 90.3 Máximo 97.1 Mínimo 100.1 Mínimo 107.8 Tabla 4 Diferencia (cm) 0.73 0.71 0.77 | dL –dC | = 0.737 cm Diferencia / λg = 0,737 / 4,2 = 0,175 Como dC esta a la izquierda de dL, nos desplazamos una cantidad 0.175 hacia el generador. Si nos vamos al diagrama de Smith, obtenemos que la impedancia vale Z = 1.25 + 0.4 j Cambio del plano de referencia Ponemos el plano de referencia al final de la guía ranurada con tornillo micrométrico. Para ello ponemos al final del tornillo micrométrico el cortocircuito. Medimos igual que antes la posición de los mínimos. Posición (mm) Mínimo 52.1 Máximo 62.5 Mínimo 73.7 Máximo 88.7 Mínimo 95.3 Máximo 106.0 Mínimo 116.4 Tabla 5 Repetimos los cálculos hechos en el apartado de antes, la posición del primer mínimo es 52.1 cm, la distancia al plano de referencia es 20.71 cm (es mucho mas grande que antes porque ahora tenemos el tornillo micrométrico), dividimos por λg y obtenemos. Dcia. normalizada = Z min λg = 20,71 = 4.93 cm 4,2 Juntamos ahora las tablas 1 y 4, para determinar la impedancia respecto al nuevo plano de referencia. Tabla 1 Posición (mm) - dL Tabla 2 Posición (mm) - dC Diferencia (cm) Mínimo 58.5 Mínimo 52.1 0.64 Mínimo 79.8 Mínimo 73.7 0.61 Mínimo 100.1 Mínimo 95.3 0.48 Mínimo 124.9 Mínimo 116.4 0.85 Tabla 6 | dL –dC | = 0.645 mm Diferencia / λg = 0,645 / 4,2 = 0,154 Como dC ahora esta a la derecha de dL, nos desplazamos una cantidad 0.154 hacia la carga. Si nos vamos al diagrama de Smith, obtenemos que la impedancia vale: Z = 1.18 + 0.4 j CONCLUSIONES Me pareció una práctica entretenida (entre otras cosas porque teníamos que cambiar de montaje y así no se hacía monótona) y hemos podido conocer diferentes métodos para poder hallar la impedancia cambiando el plano de referencia. Y también hemos podido ver que a través de una serie de medidas con el diagrama de Smith, se pueden obtener muchos parámetros, aunque solo hayamos hecho uso de él para obtener la impedancia. BIBLIOGRAFÍA Práctica 4. Laboratorio de ondas electromagnéticas. 2002 / 2003 www.google.com http://mailweb.udlap.mx/~lgojeda/apuntes/electro/capitulo7/chapter7.htm http://mailweb.pue.udlap.mx/~lgojeda/tutoriales/ie38001/page75.htm