DINAMICA ESTRUCTURAS

INGENIERÍA SISMORESISTENTE
“DINÁMICA DE ESTRUCTURAS-VIBRACIÓN FORZADA SISTEMAS NO
AMORTIGUADOS”
DOCENTE: MG. ING. GABRIEL CACHI CERNA
CICLO: 9ª
CAMPUS CAJAMARCA
VIBRACIÓN FORZADA; CARGA ARMÓNICA
SIN AMORTIGUAMIENTO
μ = (t=0)
𝑃 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
Anteriormente se explicaron ecuaciones fundamentales
con vibración libre, ahora es forzada, es decir mediante
una carga armónica durante el tiempo. En el gráfico
vemos que la carga es la carga armónica, 𝑃 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
𝜔: 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝜔𝑛 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
2𝜋
𝜔=
𝑇
El gráfico mostrado, es la función de la carga 𝑃 𝑡 = 𝑃0 sin 𝜔𝑡 , teniendo en cuenta que
𝜔 ≠ 𝜔𝑛
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VIBRACIÓN FORZADA; CARGA ARMÓNICA
SIN AMORTIGUAMIENTO
2𝜋
𝜔𝑛 =
𝑇𝑛
La ecuación que representa este tipo de
movimiento, es la siguiente:
𝒎𝒖ሷ 𝒕 + 𝒌𝒖 𝒕 = 𝟎
𝑃 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
𝑢(𝑡)
𝑚𝑢ሷ 𝑡 + 𝑘𝑢 𝑡 = 𝑃𝑡
𝑚𝑢ሷ 𝑡 + 𝑘𝑢 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
𝑢 0 ,
𝑢(0)
ሶ
𝑇𝑝 = 2𝜋/𝜔
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Este periodo y esta frecuencia, son diferentes a la
natural 𝜔𝑛 , ya que la natural tiene que ver en
relación con la edificación, en cambio, el valor 𝜔,
tiene que ver con la frecuencia impuesta por
fuerza externa aplicada a la edificación P(t). (Ver
figura anterior)
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VIBRACIÓN FORZADA; CARGA ARMÓNICA
SIN AMORTIGUAMIENTO
Ver detalle de la solución de la
ecuación.
𝑚𝑢ሷ 𝑡 + 𝑘𝑢 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
La solución de esta ecuación es:
En la ecuación, se muestra que u(t) contiene dos componentes de vibración
distintos: (1) el término senωt, que proporciona una oscilación con la frecuencia de
excitación o forzamiento, y (2) los términos sen𝜔𝑛 t y cos 𝜔𝑛 t, que dan una oscilación
con la frecuencia natural del sistema. El segundo término es la vibración forzada o
la vibración de estado estacionario, que esta presente debida a la fuerza
aplicada, independientemente de las condiciones iniciales.
El primer término, en cambio es la vibración libre o vibración transitoria, que
depende del desplazamiento y la velocidad iniciales.
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𝑎𝑢′′ + 𝑏𝑢′ + 𝑐𝑢 = 0
𝑎𝑢′′ + 𝑏𝑢′ + 𝑐𝑢 = 𝑃𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)=P(t)
Ecuación
General
𝑎𝑢′′ + 𝑏𝑢′ + 𝑐𝑢 = 0
Ecuación
General
Ecuación
Particular
𝑢(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
𝒎𝒖ሷ 𝒕 + 𝒌𝒖 𝒕 = 𝟎
𝑢 𝑡 = 𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 ∗ 𝑡) + 𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 ∗ 𝑡)
𝒎𝒖ሷ 𝒕 + 𝒌𝒖 𝒕 = 𝑃𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
Método de coeficientes
indeterminados.
P(t): Continua.
P(t)= Trigonométrica
Polinómica o Exponen
3. Determinar la solución particular: “A”
𝑢𝑝 = 𝑢(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝒎𝒖ሷ 𝒕 + 𝒌𝒖 𝒕 = 𝑃𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
𝑢ሶ 𝑝 = 𝑢(𝑡)
ሶ
= 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑢ሷ 𝑝 = 𝑢ሷ 𝑡 = −𝐴𝜔²𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝒎(−𝐴𝜔²𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡) + 𝒌(𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡) = 𝑃𝑜 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)
𝒎(−𝐴𝜔²) + 𝒌(𝐴) = 𝑃𝑜
𝒌
𝑃𝑜
2
−𝐴𝜔 + ( )(𝐴) = ( )
𝒎
𝐦
𝑝𝑜
1
𝑃𝑜
2
2
𝐴
=
(
)
−𝐴𝜔 + 𝜔 𝑛 (𝐴) = ( )
2
𝑘
𝜔
𝐦
1−
𝜔𝑛
𝑢𝑝 = 𝑢 𝑡 =
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𝑝𝑜
𝑘
1
1−
𝜔
𝜔𝑛
2
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
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𝑢 𝑡 = 𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 ∗ 𝑡) + 𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 ∗ 𝑡)
4. Solución total:
𝑢𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑢(𝑡) = 𝑢𝑔 + 𝑢𝑝 = 𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 + 𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡+
𝑢(𝑡) = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 + 𝐷𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡+
𝑝𝑜
𝑘
𝑝𝑜
𝑘
1
1−
𝜔 2
𝜔𝑛
1
1−
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝜔 2
𝜔𝑛
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
t=0, u(t)=𝑢 0 ,
t=0.𝑢ሶ 𝑡 = 𝑢(0)
ሶ
𝑢 𝑡 = 0 = 𝑢 𝑜 = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 0 + 𝐷𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 0+
𝑢 𝑜 = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 0
𝑝𝑜
𝑘
1
1−
𝜔 2
𝜔𝑛
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔0
𝑢 𝑜 = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 0
𝑢 𝑜 =𝐶
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𝑢ሶ 𝑡 = 0 = 𝑢ሶ (𝑜)
𝑢(𝑡) = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 + 𝐷𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡+
𝑝𝑜
𝑘
1
1−
𝑢ሶ 𝑡 = −𝐶𝜔𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑡 + 𝐷𝜔𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡+
𝜔 2
𝜔𝑛
𝑝𝑜
𝑘
1
1−
𝑢ሶ 𝑡 = 0 = 𝑢ሶ (𝑜) = −𝐶𝜔𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 0 + 𝐷𝜔𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 0+
𝑢ሶ (𝑜) = 𝐷𝜔𝑛 +
𝑝𝑜
𝑘
1
1−
𝜔 2
𝜔𝑛
∗𝜔
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝜔 2
𝜔𝑛
𝑝𝑜
𝑘
∗ 𝜔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
1
1−
𝜔 2
𝜔𝑛
𝑢ሶ (𝑜) 1
𝐷=
−
𝜔𝑛 𝑘
∗ 𝜔 ∗ 𝑐𝑜
𝑝𝑜 ∗
𝜔
1− 𝜔
𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 +
𝑢ሶ 𝑜
(
𝜔𝑛
−(
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𝜔
𝑝𝑜 ∗( )
𝜔𝑛
𝑘∗ 1−
𝜔 2
𝜔𝑛
))𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 𝑡+
𝑝𝑜
𝑘
1
1−
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𝜔
𝜔
VIBRACIÓN FORZADA; CARGA ARMÓNICA
SIN AMORTIGUAMIENTO
ሶ = 0 a:
Si se imponen, condiciones iniciales como 𝑢 0 = 𝑢(0)
en este caso, la ecuación se define como:
𝑢 𝑡 =
𝑝𝑜
∗
𝑘
1
𝜔
1− 𝜔
𝑛
2
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 −
𝜔
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑡
𝜔𝑛
El componente transitorio, se muestra como la diferencia entre las líneas continua y
discontinua en la figura siguiente, donde se ve que continua indefinidamente. Esta es solo
una solución académica, porque el amortiguamiento inevitablemente presente en los
sistemas reales hace que la vibración libre decaiga con el tiempo. Es por tal razón que este
componente se denomina vibración transitoria.
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VIBRACIÓN FORZADA; CARGA ARMÓNICA
SIN AMORTIGUAMIENTO
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∗
VIBRACIÓN FORZADA; CARGA ARMÓNICA
SIN AMORTIGUAMIENTO
𝑝𝑜
= 𝑢𝑠𝑡(𝑜)
𝑘
La respuesta dinámica en estado estacionario, considerando una oscilación sinusoidal con la
frecuencia de excitación, se puede expresarse como:
1
𝜔
1− 𝜔
𝑛
2
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 −
𝜔
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑡
𝜔𝑛
Si se hace caso omiso de los efectos dinámicos representados por el termino de aceleración
0
en la ecuación:
𝑝𝑜
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑘
𝑝𝑜
(𝑢𝑠𝑡 )𝑜 =
𝑘
(𝑢𝑠𝑡 ) =
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d
Relación de Rd y frecuencias.
Rd
El valor que se muestra a continuación, se le llama
factor Rd, se gráfica como se muestra en la figura
con respecto a la relación de frecuencias 𝜔/𝜔𝑛 .
Como se puede observar para un valor 𝜔/𝜔𝑛 <1 o
𝜔 < 𝜔𝑛 , el factor Rd es positivo, lo que indica que
u(t) con respecto a p(t), están en la misma
dirección. En el caso de 𝜔 > 𝜔𝑛 , diremos que u(t)
y p(t) están fuera de fase.
𝑅𝑑 =
1
𝜔
1− 𝜔
𝑛
2
𝜔 = 𝜔𝑛 , en este caso
se produce resonancia.
Más adelante se detalla.
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P=9*sen(10t) (tn.)
𝜔𝑛 =
m
𝑘
𝑟𝑎𝑑
= 20
𝑚
𝑠𝑒𝑔
Po=5 Tn
𝜔=17 rad/seg
𝑢𝑠𝑡 𝑜 =
Kl
𝑝𝑜
5 000 𝑘𝑔
=
𝑘
20000 𝑘𝑔/𝑐𝑚
m
𝑢𝑠𝑡 𝑜 =
𝑝𝑜
= 0.25 𝑐𝑚.
𝑘
𝑘 = 20000 𝑘𝑔/𝑐𝑚
𝜔
17 rad/seg
=
= 0.85
𝜔𝑛 20 rad/seg
𝑅𝑑 =
1
1 − 0.85
2
= 3.57
𝑝𝑜
𝑢𝑡 𝑜 =
∗ 3.57 = 0.25 ∗ 3.57 = 8
𝑘
P=5*sen(30t) (tn.)
𝜔
30 rad/seg
=
= 1.5
𝜔𝑛 20 rad/seg
Po=5 Tn
𝜔=30 rad/seg
𝑢𝑠𝑡 𝑜 =
𝑝𝑜
5 000 𝑘𝑔
=
𝑘
20000 𝑘𝑔/𝑐𝑚
𝑅𝑑 =
1
1 − 1.5
2
= −0.80
𝑝𝑜
𝑢𝑡 𝑜 =
∗ 0.80 = 0.25 ∗ 0.80 = 0.20 𝑐𝑚.
𝑘
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SIN AMORTIGUAMIENTO
𝑢 𝑡 =
𝑝𝑜
∗
𝑘
1
𝜔
1− 𝜔
𝑛
Esto se puede expresar, de la manera siguiente, teniendo en
cuenta lo explicado anteriormente.
𝑢 𝑡 =
𝑝𝑜
𝑘
𝜙 = 0, 𝜔 < 𝜔𝑛
∗ 𝑅𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)
𝜙 = 0, 𝜔 < 𝜔𝑛
𝜙 = 180, 𝜔 > 𝜔𝑛
ϕ = 180, ω > ωn
𝑢(𝑡)
𝑢(𝑡)
𝑃 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
𝑃 𝑡 = 𝑃0 sin(𝜔𝑡)
𝜔 = 𝜔𝑛 , caso particular (resonancia)
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2
En resumen:
La respuesta dinámica en estado estacionario, puede
expresarse como:
Respuesta dinámica
Respuesta dinámica máxima
o
Si se hace caso omiso de los efectos
dinámicos representados por el término
de aceleración en la ecuación general, se
obtiene la deformación estática (indicada
por el subíndice “st”) en cada instante:
Respuesta estática
Respuesta estática máxima
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𝑝𝑜
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
𝑘
𝑝𝑜
(𝑢𝑠𝑡 )𝑜 =
𝑘
𝑢𝑠𝑡 𝑡 =
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SIN AMORTIGUAMIENTO
También podemos relacionar, el valor de respuesta dinámica y estática
como:
Respuesta dinámica máxima
Respuesta estática máxima
(𝑢)𝑜 = (𝑢𝑠𝑡 )𝑜 ∗
(𝑢𝑠𝑡 )𝑜 =
𝑝𝑜
𝑘
1
𝜔
1−
𝜔𝑛
2
Si dividimos valores anteriores, obtenemos podemos obtener otra forma de expresar Rd:
Que en otras palabras, quiere decir que la respuesta máxima dinámica
respecto a la estática es un valor Rd
𝑅𝑑 =
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𝑚á𝑥 𝑢𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑜
𝑚á𝑥 𝑢𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜
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SIN AMORTIGUAMIENTO
Analogía norma:
Podemos relacionar esto a priori, con la
normativa E030 (considerando fuerzas). Si
determinamos un valor de cortante en el
primer piso (método dinámico), no podrá ser
menor que el valor de cortante, en el primer
piso, por sistema de fuerzas equivalentes
(método estático) para una estructura regular
(80%), para una irregular (90%)
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Ejemplo:
𝑉𝑒𝑠𝑡 = 20 𝑇𝑛
𝑉𝑑𝑖𝑛.𝑚𝑖𝑛 = 80% ∗ 20 𝑇𝑛 = 16 𝑇𝑛 (𝑅)
𝑉𝑑𝑖𝑛.𝑚𝑖𝑛 = 90% ∗ 20 𝑇𝑛 = 18 𝑇𝑛 (𝐼𝑅)
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2
Esta figura es otra manera de analizar el valor Rd, que
se muestra la ecuación, para Rd graficada en función
de la relación de frecuencias 𝜔/𝜔𝑛 , se pueden hacer
varias observaciones: si 𝜔/𝜔𝑛 es pequeña (es decir, si
la fuerza “varia lentamente”), Rd es solo un poco mas
grande que 1 y la amplitud de la deformación dinámica
es en esencia igual a la deformación estática. Si ω/ 𝜔𝑛 >
2(es decir, si ω es mayor que 𝜔𝑛 2), Rd < 1 y la
amplitud de la deformación dinámica es menor que la
deformación estática. A medida que ω/𝜔𝑛 aumenta mas
allá de 2, Rd se hace mas pequeña y se aproxima a
cero cuando ω/ 𝜔𝑛 , → ∞ lo que implica que la
deformación vibratoria debida a una fuerza que “varia
rápidamente” es muy pequeña. Si ω/ 𝜔𝑛 es cercana a 1
(es decir, si ω es cercana a 𝜔𝑛 ), Rd es mucho mayor
que 1, lo que implica que la amplitud de la deformación
dinámica es mucho mayor que la deformación estática.
Figura: Factor de amplificación dinámica de deformación y
ángulo de fase para un sistema no amortiguado excitado por
una fuerza armónica.
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EJEMPLO APLICACIÓN
Se tiene la edificación analizada anteriormente, (colegio) de 1 piso de 4
pórticos (simétrico), que tiene una distancia entre columnas de L=4.00 mts, la
losa se comporta como diafragma rígido, h=2.50 mts. (piso a techo). f’c= 210
kg/cm². Esta edificación es movida una carga sinusoidal, que tiene una carga
máxima de 𝑃𝑜 = 75 𝐾𝑁, primero con una frecuencia de excitación de 𝜔 =
𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
10
, posterior con una frecuencia de 𝜔 = 80
.
𝑠𝑒𝑔
𝑠𝑒𝑔
Se pide analizar:
a) La amplitud máxima generada en cada una
de las frecuencias, considerando que la
velocidad y desplazamiento en tiempo inicial es
L=4.0
0.
L=4.0
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1) Determinamos el desplazamiento máximo estático
𝑘𝑔 102 𝑐𝑚
𝑘 = 2 ∗ 5360.83
∗
= 1072166 𝑘𝑔/𝑚
𝑐𝑚
1𝑚
7647.87 𝑘𝑔
(𝑢𝑠𝑡 )𝑜 =
= 7.13 ∗ 10−3 𝑚 = 7.13 𝑚𝑚.
1072166 𝑘𝑔/𝑚
2) Consideremos el comportamiento dinámico, para cada una de las frecuencias:
𝜔𝑛 = 39.17 rad/seg
(𝑢)𝑜 = 7.13 ∗
1
10
1−
39.17
2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)
(𝑢)𝑜 = 7.13 ∗
1
80
1−
39.17
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∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜙)
El valor, para el
máximo será (-1)
El valor, para el
máximo será (1)
(𝑢)𝑜 = 7.62 𝑚𝑚.
2
(𝑢)𝑜 = 2.24 𝑚𝑚.
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𝜔
10
=
= 0.25
𝜔𝑛 39.17
𝜔
80
=
= 2.04
𝜔𝑛 39.17
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𝑅𝑑 = 1.06
𝑅𝑑 = −0.31
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CASO EFECTO DE
RESONANCIA.
𝜔 = 𝜔𝑛
Puente de Tacoma Narrows
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La resonancia bien entendida: El
puente de Tacoma Narrows
Pongámonos en situación. Nos vamos a los EEUU de los años treinta, época de
crisis económica en la que el Estado invierte fuertemente en infraestructuras (¿les
suena?). La ciudad de Tacoma, en el noroeste del país, necesita un puente para
conectarse con la península de Kitsap, al norte. El resultado fue un hermoso puente
colgante, inaugurado el 1 de julio de 1940. Su forma recuerda al famoso Golden Gate
de San Francisco, y era sólo algo más pequeño: más de 1.800 metros de longitud,
con una separación de 850 metros entre soportes. Fue en su momento el tercer
puente más grande del mundo, una mole compuesta por miles de toneladas de acero
y cemento, diseñado para durar. Y duró, ciertamente. Exactamente cuatro meses y
seis días, hecho realizado por resonancia.
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EFECTO DE RESONANCIA-VIBRACIÓN
FORZADA NO AMORTIGUADA
La frecuencia de resonancia, se define, como la frecuencia de
excitación en donde Rd es máxima. Para un sistema no
amortiguado, la frecuencia resonante es 𝜔 = 𝜔𝑛 y Rd->∞, esto lo
podemos deducir simplemente con la ecuación o con el gráfico siguiente.
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La frecuencia de resonancia se genera
cuando 𝑅𝐷 es máxima. Para un sistema no
amortiguado, la frecuencia resonante es 𝜔𝑛
y 𝑅𝐷 es infinito. Sin embargo, la deformación
vibratoria no se vuelve infinita de inmediato,
sino, poco a poco.
2
Si ω = ωn, la solución dada por la ecuación
siguiente, ya no es valida. En este caso la
vamos a tener falla al momento de solucionar
la ecuación particular (repuesta repetitiva).
(Revisar ecuaciones diferenciales método
de coeficientes indeterminados)
Para la solución particular se deberá de
multiplicar por 𝑢 = 𝑤𝑛 𝑡 que vendría hacer la
primera potencia para obtener la ecuación:
Aplicar método de ecuación diferencial
no homogénea, para el caso de
soluciones repetitivas.
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Con lo anterior y la solución complementaria, se
obtiene la solución completa teniendo en cuenta
las condiciones iniciales, en reposo 𝑢 0 =
0, 𝑢ሶ 0 = 0, con esto tenemos:
2
Si ahora, vemos la ecuación sin considerar
resonancia:
Se nota la diferencia, ahora ampliaremos la
ecuación para frecuencias iguales.
Figura: Factor de amplificación
dinámica de deformación y ángulo de
fase para un sistema no amortiguado
excitado por una fuerza armónica.
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Detallaremos una explicación de la ecuación anterior,
pero tratando de reemplazarla por otra forma:
𝑝𝑜
(𝑢𝑠𝑡 )𝑜 =
𝑘
Al dividir, estos dos términos y considerar el valor 𝜔𝑛
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=
2𝜋
𝑇𝑛
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Esta ecuación se puede representar gráficamente como:
Respuesta de un sistema no amortiguado ante una fuerza sinusoidal de frecuencia 𝜔𝑛 =
ሶ =0
𝜔; u(o)=𝑢(𝑜)
Este gráfico nos indica que la amplitud crece de manera indefinida, pero después de
un tiempo largo.
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P=5*sen(20t) (tn.)
m
𝜔𝑛 =
𝑘
𝑟𝑎𝑑
= 20
𝑚
𝑠𝑒𝑔
Po=5 Tn
𝜔=17 rad/seg
Kl
1 𝑝𝑜
𝑢 𝑡 = − ∗ ∗ (𝜔𝑛 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑡 − sen𝜔𝑛 𝑡)
2 𝑘
t= 4 seg.
1
𝑢 𝑡 = − ∗ 0.25 𝑐𝑚 ∗ (20 ∗ 4𝑐𝑜𝑠80 − sen80)
2
1
𝑢 𝑡 = − ∗ 0.25 𝑐𝑚 ∗ (−8.83 + 0.99)
2
𝑢 𝑡 = 0.98 𝑐𝑚.
t= 8 seg.
1
𝑢 𝑡 = − ∗ 0.25 𝑐𝑚 ∗ (20 ∗ 8
2
1
𝑢 𝑡 = − ∗ 0.25 𝑐𝑚 ∗ (−156
2
𝑢 𝑡 = 19.54 𝑐𝑚.
EJEMPLO APLICACIÓN
Se tiene la edificación analizada anteriormente, (colegio) de 1 piso de 4
pórticos (simétrico), que tiene una distancia entre columnas de L=4.00 mts, la
losa se comporta como diafragma rígido, h=2.50 mts. (piso a techo). f’c= 210
kg/cm². Esta edificación es movida una carga sinusoidal, que tiene una carga
máxima de 𝑃𝑜 = 75 𝐾𝑁, considerando que la frecuencia de vibración es 39.17
rad/seg. Considerando t=Tn
Se pide analizar:
a) La amplitud máxima generada en dicha
frecuencia, considerando que la velocidad y
desplazamiento en tiempo inicial es 0.
L=4.0
L=4.0
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1) Determinamos el desplazamiento máximo estático
𝑘𝑔 102 𝑐𝑚
𝑘 = 2 ∗ 5360.83
∗
= 1072166 𝑘𝑔/𝑚
𝑐𝑚
1𝑚
𝑃𝑜
7647.87 𝑘𝑔
(𝑢𝑠𝑡 )𝑜 =
=
= 7.13 ∗ 10−3 𝑚 = 7.13 𝑚𝑚.
𝑘
1072166 𝑘𝑔/𝑚
2) Consideremos el comportamiento dinámico, para cada una de las frecuencias:
𝜔 = 𝜔𝑛 = 39.17 rad/seg (Caso resonancia)
7.13
(𝑢)𝑜 = −
∗
2
𝑇𝑛 =
2𝜋
= 0.16 𝑠𝑒𝑔
𝜔𝑛
7.13
𝜔𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛 𝑡 = −
−
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2
∗ (6.26 cos 6.26 − 𝑠𝑒𝑛 6.26 )
7.13
∗ 6.22 − 0.10 = −21.82 𝑚𝑚.
2
MG. ING. GABRIEL CACHI CERNA
EJEMPLO APLICACIÓN
Hacer lo mismo pero con una carga 𝑃𝑜 = 275 𝐾𝑁, considerando que la
frecuencia de vibración es 39.17 rad/seg y t=𝑇𝑛 .
Se pide analizar:
a) La amplitud máxima generada en dicha
frecuencia, considerando que la velocidad y
desplazamiento en tiempo inicial es 0.
L=4.0
L=4.0
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GRACIAS