sistema numeral

MODULO 11
SISTEMAS NUMERICOS
SITEMA BINARIO
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que
los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se
utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de
voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1,
apagado 0).
REPRESENTACION
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos
binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados
mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser
interpretadas como el mismo valor numérico binario:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
| - | - - | | - | x o x o o x x o x o
y n y n n y y n y n
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo.
En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes;
también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo",
"sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno;
esto depende de la nomenclatura usada.
De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números árabes, los
números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números
binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las
notaciones siguientes son equivalentes:

100101 binario (declaración explícita de formato)
 100101b (un sufijo que indica formato binario)
 100101B (un sufijo que indica formato binario)
 bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)

%100101 (un prefijo que indica formato binario)
 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de
programación)
Ejemplo
Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1
65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1
32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0
16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0
8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0
4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0
2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0
1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1
-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011
En sistema binario, 131 se escribe 10000011
Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en binario.
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números
primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste
también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar,
colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos
uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el
último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna
de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que
las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del
número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se
compone
de
diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete
(7); ocho (8) y nueve (9).
Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en
todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas
técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración
adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal.
Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito
depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de la unidades, el
dígito se multiplica por 100 (es decir 1) ; el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se
multiplica por 100); etc. Se puede extender este método para los decimales, utilizando las
potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.

Ejemplos:
;
;
;

El sistema de numeración romano es decimal, pero no-posicional: IX = 9 pero XI = 11.
SISTEMA HEXADECIMAL
El sistema Hexadecimal (no confundir con sistema sexagesimal), a veces abreviado
como Hex, —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la
informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u
octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 28 valores
posibles, y esto puede representarse
como
, que, según el
teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016,
dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma
línea de enteros— a un byte.
En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello,
sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras
del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por
tanto, el siguiente:
S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se
emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de
numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su
posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la
base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 +
0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera
vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por
la computadora Bendix G-15.
TABLA DE CONVERSIÓN ENTRE DECIMAL, BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL
0hex
=
0dec
=
0oct
0
0
0
0
1hex
=
1dec
=
1oct
0
0
0
1
2hex
=
2dec
=
2oct
0
0
1
0
3hex
=
3dec
=
3oct
0
0
1
1
4hex
=
4dec
=
4oct
0
1
0
0
5hex
=
5dec
=
5oct
0
1
0
1
6hex
=
6dec
=
6oct
0
1
1
0
7hex
=
7dec
=
7oct
0
1
1
1
8hex
=
8dec
=
10oct
1
0
0
0
9hex
=
9dec
=
11oct
1
0
0
1
Ahex
=
10dec
=
12oct
1
0
1
0
Bhex
=
11dec
=
13oct
1
0
1
1
Chex
=
12dec
=
14oct
1
1
0
0
Dhex
=
13dec
=
15oct
1
1
0
1
Ehex
=
14dec
=
16oct
1
1
1
0
Fhex
=
15dec
=
17oct
1
1
1
1
SISTEMA OCTAL
El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza
los dígitos 0 a 7.
Por ejemplo, el número 74 (en decimal) es 1001010
(en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, de
tal forma que obtengamos una serie de números en
binario de 3 dígitos cada uno (para fragmentar el
número se comienza desde el primero por la derecha
y se parte de 3 en 3), después obtenemos el número
en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De
modo que el número decimal 74 en octal es 112.
Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es necesario pasar por
el binario. Para llegar al resultado de 74 en octal se sigue esta serie: decimal -> binario ->
octal.
En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la
ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo,
para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es
completamente representable por dos dígitos hexadecimales.
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por
ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.
SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es
potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la
conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:
Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número
3452,32 tenemos que: 2*80 + 5*81 + 4*82 + 3*83+ 3*8-1 + 2*8-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 +
3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 + 0,40625d
Entonces, 3452,32q = 1834,40625d
El sub índice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra 'o'
y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la
hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los
dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal,
por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.
Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean
caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito
octal (del griego oktō 'ocho')