08. Fraciones Algebraicas

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Fracciones algebraicas
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
FRACCIONES ALGEBRAICAS
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios:
P (x )
Q(x )
Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Como no se
puede dividir por cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son
aceptables.
Ejemplos.
3x 2 + 5x − 7
1) En la expresión racional
, x no puede ser 0
x
x
2) En la expresión racional
, x no puede ser − 2
x+2
4
3) En la expresión racional
, x no puede ser igual a y .
x− y
Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen
factores comunes diferentes de 1 y − 1
Ejemplos.
x+6
es su mínima expresión ya que ni 5 ni x son factores de x + 6
5x
7( x − 2 )
2) La fracción
no es su mínima expresión ya que x − 2 es un factor común del numerador y del
x (x − 2 )
1) La fracción
denominador.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplifican números
racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se simplifican hasta 1 . La
expresión simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos valores en los que el factor que se
cancele sea igual a cero.
Ejemplos.
Simplificar las siguientes expresiones racionales:
1)
4x − 8
4x
1
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
4 x − 8 4( x − 2 ) x − 2
=
=
4x
4x
x
x 2 −1
x 2 + 3x + 2
(x + 1)(x − 1) = x − 1
x 2 −1
=
2
x + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) x + 2
2)
5 − 2x
6 x − 15
− 1(2 x − 5)
5 − 2x
5 − 2x
1
=
=
=−
6 x − 15 3(2 x − 5) 3(2 x − 5)
3
3)
2 x 2 − 12 x − 14
4)
4 x 2 + 8x + 4
2 x 2 − 12 x − 14 2 x 2 − 6 x − 7 2( x + 1)(x − 7 )
x−7
=
=
=
2
2
4 x + 8x + 4
4 x + 2 x + 1 4( x + 1)( x + 1) 2( x + 1)
(
(
(3x
5)
(3x
2
)(
)
)
− 12 y 2 x 2 − 2 xy + y 2
(x − y )2 (6 x + 12 y )
)(
)
) (
)
− 12 y 2 x 2 − 2 xy + y 2
3 x 2 − 4 y 2 (x − y )
3( x + 2 y )( x − 2 y ) 3( x − 2 y )
=
=
=
2
2
6( x + 2 y )
6
(x − y ) (6 x + 12 y )
6( x − y ) ( x + 2 y )
x − 2y
=
2
2
x − 2x
6)
x
En esta expresión racional x no puede ser 0 , y como es el factor que se cancela entonces se cumple que:
x 2 − 2 x x(x − 2)
=
= x − 2 porque x ≠ 0 .
x
x
2
2
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para sumar algebraicamente fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se
suman números racionales. En general:
•
•
•
•
Se reducen las fracciones lo más posible.
Se descomponen los denominadores
Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, obteniendo así el denominador
común.
Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente
obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe
descomponerse en factores para finalmente simplificar.
2
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Ejemplos.
Efectuar las operaciones algebraicas siguientes:
1)
x − 2 3x + 2
+
4
6
Solución.
Se obtiene el MCM de los denominadores: 12 :
3( x − 2) + 2(3 x + 2 ) 3 x − 6 + 6 x + 4 9 x − 2
=
=
12
12
12
x − 2 3x + 2 9 x − 2
∴
+
=
4
6
12
=
2)
x − y 2x + y y − 4x
+
+
12
15
30
Solución.
Se obtiene el MCM de los denominadores:
5( x − y ) + 4(2 x + y ) + 2( y − 4 x )
60
60 :
reduciendo:
5x − 5 y + 8x + 4 y + 2 y − 8x 5x + y
=
60
60
x − y 2 x + y y − 4 x 5x + y
∴
+
+
=
12
15
30
60
3)
2a
5a
12 a
+
+ 2
a+3 a −3 a −9
Solución.
Se descompone el tercer denominador en sus factores:
=
2a
5a
12a
+
+
a + 3 a − 3 (a + 3)(a − 3)
se obtiene el MCM de los denominadores:
=
(a − 3)2a + (a + 3)5a + 12a
(a + 3)(a − 3)
(a + 3)(a − 3) :
eliminando paréntesis:
=
2a 2 − 6a + 5a 2 + 15a + 12a
7a 2 + 21a
=
(a + 3)(a − 3)
(a + 3)(a − 3)
factorizando:
7 a (a + 3)
7a
=
(a + 3)(a − 3) a − 3
2a
5a
12 a
7a
∴
+
+ 2
=
a +3 a −3 a −9 a −3
=
4)
x+2
x−3
x+3
+ 2
+ 2
2
x − 4 x − 9 x + 6x + 9
Solución.
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Se descomponen los denominadores en sus factores:
=
x+2
x −3
x+3
+
+
(x + 2)(x − 2) (x + 3)(x − 3) (x + 3)2
reduciendo:
=
1
1
1
+
+
x−2 x+3 x+3
se obtiene el MCM de los denominadores:
( x + 3) + ( x − 2 ) + ( x − 2 )
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x + 3) :
eliminando paréntesis:
3x − 1
(x − 2)(x + 3)
x+2
x−3
x+3
3x − 1
∴
+ 2
+ 2
=
2
x − 4 x − 9 x + 6 x + 9 ( x − 2 )( x + 3)
5)
a+5
a −3
a +1
+ 2
+ 2
a + 7 a + 10 a − a − 6 a + 3a + 2
2
Solución.
Se descomponen los denominadores en sus factores:
=
a+5
a −3
a +1
+
+
(a + 5)(a + 2) (a − 3)(a + 2 ) (a + 1)(a + 2)
reduciendo:
1
1
1
3
+
+
=
a+2 a+2 a+2 a+2
a+5
a −3
a +1
3
∴
+ 2
+ 2
=
2
a + 7 a + 10 a − a − 6 a + 3a + 2 a + 2
=
x
1− x2
6) 2
−
x + x x2 −1
Solución.
Se descomponen los denominadores en sus factores:
x
1− x2
=
−
x( x + 1) ( x + 1)( x − 1)
se obtiene el MCM de los denominadores:
=
(
)
x( x − 1) − 1 − x 2 x
x( x + 1)( x − 1)
x( x + 1)( x − 1) :
eliminando los paréntesis y ordenando:
x 2 − x − x + x3 x 2 − 2x + x3
x3 + x2 − 2x
=
=
=
x( x + 1)( x − 1) x( x + 1)( x − 1) x( x + 1)( x − 1)
factorizando el numerador y simplificando:
=
(
)
x x2 + x − 2
x( x + 2)( x − 1) x + 2
=
=
x( x + 1)( x − 1) x( x + 1)( x − 1) x + 1
4
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x
1− x2 x + 2
−
=
x 2 + x x2 −1 x + 1
∴
x+ y
x2 − y2
+
7)
2x − 2 y 6x − 6 y
Solución.
Se descomponen los denominadores en sus factores:
=
x− y
x2 − y2
+
2( x − y ) 6( x − y )
se obtiene el MCM de los denominadores:
=
(
3( x − y ) + x − y
6(x − y )
2
2
)
6(x − y ) :
factorizando el numerador y simplificando:
=
∴
3( x − y ) + ( x + y )( x − y ) ( x − y )(3 + x + y ) 3 + x + y
=
=
6( x − y )
6( x − y )
6
x+ y
x2 − y2 3 + x + y
+
=
2x − 2 y 6x − 6 y
6
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones racionales se procede de forma similar que con los números racionales.
Ejemplos.
Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas:
1)
 x 2 − 3 x − 10  x − 2 
 2


 x − 4 x + 4  x − 5 
Solución.
Se descompone la fracción en sus factores:
 x 2 − 3x − 10  x − 2  ( x − 5)( x + 2) x − 2
 2

⋅
=
x
−
4
x
+
4

 x − 5  ( x − 2)(x − 2) x − 5
simplificando:
x+2
x−2
x 2 − 3 x − 10 x − 2 x + 2
∴
⋅
=
x 2 − 4x + 4 x − 5 x − 2
2 y 2 − 10 y + 12 2
y + 4y + 4
2)
y2 − y − 6
=
(
)
Solución.
Se descompone la fracción en sus factores:
=
(
)(
2 y2 − 5y + 6 2
2( y − 3)( y − 2) 2
y + 4y + 4 =
y + 4y + 4
( y − 3)( y + 2)
( y − 3)( y + 2)
)
(
5
)
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factorizando el trinomio:
2( y − 3)( y − 2 )
( y + 2)( y + 2)
( y − 3)( y + 2)
simplificando:
= 2( y − 2 )( y + 2)
∴
2 y 2 − 10 y + 12 2
y + 4 y + 4 = 2( y − 2)( y + 2)
y2 − y − 6
(
)
 6 x 2 + 12 xy + 6 y 2  x 2 − y 2 

3) 
2

 2 x + 2 y 
(
)
x
+
y



Solución.
Tomando como factor común al
segunda:
(
 6 x 2 + 2 xy + y 2
= 
(x + y )2

)  x
6 en el numerador de la primera fracción y al 2 en el denominador de la
− y2 
 2( x + y ) 


2
factorizando:
 6( x + y )2  ( x + y )( x − y ) 


= 
2 
(
)
2
x
+
y
(
x
+
y
)




simplificando:
= 3( x − y )
 6 x 2 + 12 xy + 6 y 2  x 2 − y 2 

∴ 
 2 x + 2 y  = 3( x − y )
(x + y )2



2
2
 32 − 8a  a + 10a + 25  a − 9a + 14 




4)  2
 2

a+5
 a + 3a − 10  2a − 22a + 56 

Solución.
Tomando como factor común al
la segunda:
− 8 en el numerador de la primera fracción y al 2 en el denominador de
2
 − 8(a − 4 )  a + 10a + 25

= 2

2
 a + 3a − 10  2 a − 11a + 28
(
)
 a 2 − 9a + 14 


a
+
5


factorizando:
 − 8(a − 4 )  (a + 5)(a + 5)  (a − 2 )(a − 7 ) 


= 

a+5

 (a + 5)(a − 2 )  2(a − 7 )(a − 4 ) 
simplificando:
−8
= −4
2
2
2
 32 − 8a  a + 10a + 25  a − 9a + 14 



 = −4
∴  2
 2

a+5
 a + 3a − 10  2a − 22a + 56 

=
6
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DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números
racionales. Para dividir expresiones racionales, se multiplica la primera expresión por el recíproco del
divisor.
Ejemplos.
Dividir las siguientes expresiones algebraicas:
15 x 4
1) 3 2
5x
6
Solución.
Simplificando:
15 x 4 (6) 90 x 4
=
= 6x2
2
2
3 5x
15 x
4
15 x
3 = 6x2
∴
5x 2
6
( )
3x + 3
x2 −1
2)
x +1
2
x − 2x +1
Solución.
Factorizando las fracciones al máximo:
3( x + 1)
(x + 1)(x − 1)
x +1
(x − 1)(x − 1)
simplificando:
3( x + 1)( x − 1)( x − 1) 3( x − 1)
=
(x + 1)(x − 1)(x + 1) x + 1
3x + 3
x 2 − 1 = 3( x − 1)
∴
x +1
x +1
2
x − 2x +1
=
20 x 2 − 30 x
15 x 3 + 15 x 2
3)
4x − 6
x +1
Solución.
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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Factorizando las fracciones al máximo:
10 x(2 x − 3)
15 x 2 (x + 1)
=
2(2 x − 3)
x +1
simplificando:
=
10 x(2 x − 3)( x + 1)
10 x
1
=
=
2
2
15 x ( x + 1)2(2 x − 3) 30 x
3x
a
a
−
4) a + x 2a + 2 x
a
a
+
a−x a+x
Solución.
El MCM de a + x y de 2a + 2 x es: 2a + 2 x , por su parte, el MCM de a − x y a + x es:
por lo que escribiendo la expresión como el cociente de dos fracciones se tiene:
2a − a
2a + 2 x
=
(a + x )a + a(a − x )
(a − x )(a + x )
reduciendo:
a
a
= 2 2a + 2 x2
= 2a + 22 x
a + ax + a − ax
2a
(a − x )(a + x )
(a − x )(a + x )
factorizando:
a
a (a − x )(a + x )
2(a + x )
=
=
2
2a
2(a + x )2a 2
(a − x )(a + x )
simplificando:
=
(a − x )
4a
a
a
−
a−x
∴ a + x 2a + 2 x =
a
a
4a
+
a−x a+x
8
(a − x )(a + x ) ,