Unidad 1: Fundamentos Básicos Tasa de interés: concepto. Unidad de tiempo y unidad de capital. Plazo. Operaciones en base a interés simple: características fundamentales de la operatoria. Aplicaciones. Operaciones en base a interés compuesto: Cálculo de los elementos. Aplicaciones. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA La señora Ahorro es propietaria, desde hace 5 años, de un comercio ubicado en un barrio de la ciudad de Córdoba. Tiene varios clientes habituales, a los cuales les vende mercadería a crédito. Sin embargo, en los últimos meses ha notado que algunos de ellos se atrasan en el pago de sus deudas, por lo que ha decidido cobrarles intereses por mora. Se pregunta ¿cómo calcular esos intereses? Los conocimientos que desarrollaremos a continuación le ayudarán a dar respuesta a la situación planteada. La Matemática Financiera, como rama de las ciencias matemáticas destinada a resolver problemas de naturaleza económicos-financieros comprende el estudio analítico y sistemático de las operaciones financieras. Una operación financiera “es una operación que consiste en un intercambio no simultáneo de capitales, a título oneroso”. Es decir, estamos hablando de una operación, o de una relación entre dos partes intervinientes opuestas, en este caso, deudor y acreedor. El intercambio consiste en que una parte cede un bien a otra que lo recibe con capacidad para producir nuevos bienes o servicios. Este bien es el capital. El hecho que el capital varía en función del tiempo, es decir, el intercambio se efectúa en distintos momentos del tiempo, hacen que este intercambio sea no simultáneo. La Matemática Financiera se basa en dos conceptos o pilares fundamentales: 1. La Capitalización: trata de estudiar y explicar los procesos de traslado de valores del presente al futuro. 2. La Actualización: permite estudiar y explicar los procesos de traer los valores del futuro al presente. 1 CAPITALIZACIÓN: Trasladar valores PRESENTE FUTURO ACTUALIZACIÓN: Traer valores 1) Postulado Fundamental de la Matemática Financiera El Postulado fundamental de la Matemática Financiera es un principio que no requiere demostración y que se enuncia de la siguiente manera: “El capital crece con el transcurso del tiempo aplicado a una operación financiera. Ese crecimiento del capital, en sentido positivo, se produce en forma continua, progresiva y acumulativa, y es lo que se conoce como Interés”. Entonces, podemos considerar al capital como una función continua de la variable tiempo, f t . Si suponemos que a partir del momento “t”, han transcurrido “n” unidades de tiempo, tendremos el valor del capital al momento “t+n”. f(t)* t * Valor del capital en el momento t. f t n f t 2 f(t+n) t+n t (tiempo) f t n f t interés Estos intereses se producen en forma continua, y no de golpe, pero por razones prácticas, en la realidad, dicho crecimiento se mide en intervalos discretos de tiempo. De esta manera, surge el concepto de Unidad de tiempo: Unidad de Tiempo, es el período al final del cual se calculan los intereses, ya sea para ser pagados y/o capitalizados. 2) Tasa de interés Podemos decir que la tasa de interés es el crecimiento, incremento, o interés de una unidad de moneda inicial en una unidad de tiempo. Es decir, la tasa de interés contiene los siguientes elementos: 1) Unidad de moneda: el rendimiento financiero o el interés se expresa en la misma moneda que el capital. De esta manera, si la unidad de moneda en una operación financiera es el peso ($), la tasa de interés me indicará el interés de $1. Es común en la realidad mencionar como tasa de interés el interés por cada cien (100) unidades de capital (%). 2) Unidad de tiempo: si la unidad de tiempo es el mes, la tasa es mensual; si los intereses se pagan cada 60 días, la unidad de tiempo será 60 días. La tasa de interés es la que corresponde al período de pago o de capitalización de los intereses. i Interés (de la unidad de tiempo) I para la unidad de tiempo considerada. Capital inicial f 0 Así por ejemplo, si se coloca un capital de $10.000 a plazo fijo y al final del mes se pagan en concepto de intereses $500, ¿cuál es la unidad de tiempo de la operación y cuál es la tasa de interés? f 0 $10000 I $500 unidad de tiempo mes i I 500 i 0,05 mensual f 0 10000 3 A partir de la definición de tasa de interés sabemos que los intereses se retiran o se capitalizan al final de cada unidad de tiempo. Consideraremos para nuestro análisis un capital inicial de $1 colocado al 0,05 de interés mensual. El período de análisis será de un año. Vamos a hacer el análisis desde dos puntos de vista: 1) Los intereses se retiran o se cobran al final de cada mes: Los intereses, calculados para este caso son: I1 f 0.i 1x0,05 0,05 I 2 f 0.i 1x0,05 0,05 El comportamiento del capital y de los intereses durante los doce meses será el siguiente: Si observamos el gráfico vemos que al final de cada mes los intereses que se retiran son siempre iguales e iguales a $0,05 y que el capital al comienzo de cada mes es siempre el mismo ($1). Si sumamos los intereses, tendríamos: 4 0,05 0,05 ... 0,05 0,05x12 0,60 2) Los intereses se capitalizan al final de cada mes: La evolución del capital inicial de $1 a la tasa de interés mensual de 0,05 quedaría reflejada en la siguiente tabla: Unidad de tiempo (meses) Capital inicial 1 2 Intereses acumulados Capital al final de cada unidad de tiempo. 1 1,05 Intereses al final de cada unidad de tiempo 0,05 0,0525 0,05 0,1025 I1 1x0,05 0,05 I 2 1,05x0,05 0,0525 3 1,1025 0,0551 0,1576 I 3 1,1025x0,05 0,0551 … 11 12 … … … … 1,7104 0,0855 … 0,7104 0,7959 I12 1,7104 x0,05 0,0855 Podemos observar que los intereses a medida que transcurre el tiempo son cada vez mayores al final de cada mes. Por lo tanto, un capital de $1 produce un interés de $0,7959 al cabo de un año. Es decir, que 0,7959 representa el interés de $1 en 12 meses. 3) Interés Simple e Interés Compuesto Existen dos formas básicas de operar financieramente y son: Retirando los intereses al final de cada unidad de tiempo, “Interés Simple”. Capitalizando los intereses al final de cada unidad de tiempo, “Interés Compuesto”. A. INTERÉS SIMPLE Es conveniente que complemente la explicación de este tema con el video que está en el Aula Virtual 5 Si tomamos un capital inicial de f 0 , y trabajamos para “n” unidades de tiempo a la tasa “i” de interés: En este caso: f (1) f (0) f (0).i antes de retirar los intereses Estos intereses se retiran y por lo tanto el valor del capital al finalizar la primera unidad de tiempo, después de retirar los intereses, será el valor del capital al comienzo de la segunda unidad de tiempo, o sea: f (1) f (0) después de retirar los intereses Al final de la segunda unidad de tiempo, tendremos: f (2) f (1) f (1).i f (2) f (0) f (0).i Esta expresión representa el valor del capital al final de la segunda unidad de tiempo antes de retirar los intereses. 6 Después de retirarlos se tendrá: f (2) f (0) Esto representa el valor del capital al comienzo de la tercera unidad de tiempo. Así podemos generalizar, diciendo: f (n) f (0) f (0).i Este es el comportamiento del capital en un período de análisis correspondiente a “n” unidades de tiempo cuando se trabaja a INTERÉS SIMPLE. Si queremos sumar los intereses retirados al final de cada unidad de tiempo: I s f (0).i.n Y si a este valor le sumamos el capital inicial obtendremos la fórmula de Monto a Interés simple, al final de las “n” unidades de tiempo: f (n) s f (0) f (0).i.n f (n) s f 0 . 1 .i.n Cabe aclarar que esta fórmula no tiene valor desde el punto de vista financiero ya que surge de la suma de valores heterogéneos financieramente. Se la utiliza para calcular intereses comerciales, judiciales o impositivos. Esta fórmula de Monto a Interés Simple supone que los intereses serán cobrados al final de las “n” unidades de tiempo, por lo tanto se deduce que la “i” que aparece en la fórmula no representa la tasa de interés de la operación por cuanto no hay capitalización de intereses. >Cálculo del Interés Matemáticamente el interés simple se obtiene a partir de la siguiente fórmula: I f (0).R.T 100.ut 7 Donde: I: Representa el interés. f(0): Capital que devenga intereses. R: Razón o tanto por ciento. T: Tiempo durante el cual se calcula el interés. ut: La unidad de tiempo: 1 si T está expresada en años. 12 si T está expresada en meses. 365 si T está expresada en días. La fórmula citada puede reexpresarse: I f (0). R T . 100 ut (1) Donde R/100 es la tasa de interés i, que es el interés que gana un capital igual a uno durante un período: R i 100 (2) El tercer factor de (1) es el periodo n durante el cual se calcula el interés. Haciendo: T n t (3) Reemplazando en (1) por (2) y (3) I f (0).i.n El factor n puede ser una entero o fraccionado: Entero: Cuando la tasa de interés está expresada en los períodos a los que se impone el capital Fraccionado: Cuando el tiempo esta expresado en un periodo menor al de la tasa Si “n” es ENTERO 8 Cuando el capital se impone: - A una tasa anual durante una cantidad determinada de años - A una tasa mensual durante un número establecido de meses Los siguientes ejemplos explican cada una de estas situaciones: a) Tiempo expresado en años y tasa de interés anual: ¿Cuánto ganará un capital de $15000 impuesto a un interés simple del 20% anual durante un período de 2 años? f(0) = 15000 i 20 0,20 anual 100 n=2 I 15000 . 0,2 .2 6000 El interés ganado será de $6000 b) Tiempo expresado en meses y tasa de interés mensual Calcular el interés que genera un capital de $12000 impuesto a un interés simple del 2% mensual durante 7 meses. F(0) = 12000 i 2 0,02 mensual 100 n=7 I 12000 . 0,02 .7 1680 El interés ganado es de $1680 Si “n” es FRACCIONARIO Cuando el tiempo está expresado en un período menor al de la tasa, n será una fracción que: - En el numerador se registra la cantidad de meses o días a las que se impone el capital - En su denominador se indica: a) 12 Si la tasa es anual con periodos mensuales b) 365 Con la tasa anual y períodos diarios c) 30 Con tasa mensual y períodos diarios Analicemos los siguientes ejemplos: a)Tiempo expresado en meses y tasa de interés anual 9 Calcular el interés que ganará un capital de $ 30000 impuesto a un interés anual del 24 % durante 8 meses F(0) = 30000 i I 30000 . 0,24 . 24 0,24 anual 100 n 8 12 8 4.800 12 El interés que ganará es de $ 4800 b) Tiempo expresado en días y tasa de interés anual Calcular el interés ganado por un capital de $ 27500 impuesto a un interés del 15% anual durante 45 días F(0) = 27500 i I 27500 . 0,15 . 15 45 0,15 anual n 365 100 45 508,56 365 El interés que ganará es de $ 508,56 c)Tiempo expresado en días y tasa de interés mensual Calcular el interés que genera un capital de $ 6580 impuesto a un interés mensual del 1,5% durante 50 días F(0) = 6580 i 50 1,5 0,015 mensual n 30 100 I 6580 . 0,015 . 50 164,50 30 El interés ganado es de $ 164,50 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1) Calcular el interés simple: a) f(0) = $ 112500 b) f(0) = $ 215500 c) f(0) = $ 8640 10 i = 0,25 anual i = 0,015 anual i = 0,015 anual Plazo = 96 días Plazo = 23 días Plazo = 23 días d) e) f) g) f(0) = $ 42380 f(0) = $ 9641 f(0) = $ 31615 f(0) = $ 63890 i = 0,26 anual i = 0,01 anual i = 0,22 anual i = 0,23 anual Plazo = 42 días Plazo = 5 meses Plazo = 55 días Plazo = 8 meses >Cálculo del capital, la tasa y el período I f (0).i.n A partir de: Se deduce que: f (0) I i.n i I f (0).n n I f (0).i Veamos los siguientes ejemplos: 1) Determinar el capital ¿Qué capital se habrá impuesto a un interés del 2 % mensual durante 24 días, habiéndose obtenido un interés de $ 406,40? I = 406,40 i 2 24 0,02 mensual n 100 30 406,40 25400 24 0,02 . 30 El capital impuesto a interés fue de $ 25400 f (0) 2) Determinar la tasa ¿Qué tasa de interés anual se cobró para obtener un interés de $ 484,55, habiéndose impuesto un capital de $ 13215 durante 2 meses? I = 484,55 i f(0) = 13215 n 2 12 484,55 0,22 2 13215 . 12 11 La tasa cobrada fue 0,22 anual. 3) Determinar el periodo ¿A cuántos meses se habrá colocado un capital de $ 21140 que a un interés simple del 2,5 % mensual generó un interés de $ 1585,50? I = 1585,50 n f(0) = 21140 i 2,5 0,025 mensual 100 1585,50 3 21140 . 0,025 El capital se colocó a 3 meses. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 2) Para los siguientes ejercicios a interés simple: a) Determinar el capital I. I = $ 42084 i = 0,28 anual II. I = $ 5437, 80 i = 0,02 mensual III. I = $ 420 i = 0,01 mensual b) Determinar la tasa I. I= $ 55368 f(0) = $61520 II. I=$ 535,35 f(0) = $17845 III. I=$9661,50f(0) = $96615 c) Determinar el periodo I. I=$12490,40 f(0)=$31226 II. I=$816,40 f(0)=$20410 III. I=$ 7200 f(0)=$60000 Plazo = 2 años Plazo = 2 meses Plazo = 4 meses i=0,20 anual i=0,01 anual i=0,02 anual >Cálculo del Monto 12 Plazo = 2 años Plazo = 6 meses Plazo = 20 días Tasa anual Tasamensual Tasamensual Plazo ( años) Plazo (meses) Plazo ( meses) Para calcular matemáticamente el monto a interés simple f(n)s, hay que sumar al capital f(0), los intereses devengados por el mismo: I f (0).i.n f (n) s f (0) f (0).i.n f (n) s f (0).(1 i.n) Así, por ejemplo: ¿Cuál será el monto que se obtendrá al imponer un capital de $ 51200 a un interés simple del 18% anual durante 6 meses? F(0)= 51200; i 18 0,18 anual 100 n 6 12 6 F (n) s 512001 0,18 . 12 F(n)s = 55808 El monto a obtener será de $ 55808 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 3) Determinar el monto simple a obtener por las siguientes operaciones: a) F(0) = $ 13600 b) F(0) = $ 43800 c) F(0) = $ 21200 i = 0,20 anual i = 0,015 mensual i =0,02 mensual Plazo = 45 días Plazo = 5 meses Plazo = 70 días >Determinación del capital, la tasa y el período en el monto a interés simple. 13 A partir de f (n) s f (0).(1 i.n) se deduce que: f ( n) s 1 f (0) i n f ( n) s f (0) 1 i.n f ( n) s 1 f (0) n i Los siguientes son ejemplos de cada una de las fórmulas mencionadas: 1. Determinar el capital ¿Qué capital se impuso a un interés del 15% anual durante 73 días, produciendo un monto a interés simple de $ 8404,80? i f(n)s = 8404,80 f (0) 15 0,15 anual 100 n 73 365 8404,80 8160 73 1 0,15 . 365 El capital impuesto fue de $ 8160 2. Determinar la tasa: ¿A qué tasa mensual se habrá colocado un capital de $ 15600 que durante 3 meses produjo un monto a interés simple de $ 15974,40? f(n)s = 15974,40 f(0) = 15600 n=3 15974,40 1 15600 i 0,008 mensual 3 La tasa fue de 0,008 mensual 3. Determinar el período ¿Durante cuantos meses se colocó un capital de $ 53000 que a un interés del 0,9 % mensual produjo un monto a interés simple de $ 55862? 14 f(n)s = 55862 f(0) = 53000 i 0,9 0,009 mensual 100 55862 1 53000 n 6 0,009 El capital fue impuesto a 6 meses ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 4) Resolver los siguientes ejercicios de monto a interés simple: a) Determinar el capital: I. F(n)s=$53016,25 i = 0,15 anual Plazo = 3 meses II. F(n)s=$13793,90 i = 0,012 mensual Plazo = 45 días III. F(n)s=$ 34851,32 i = 0,16 anual Plazo = 146 días I. II. III. b) Determinar latasa: F(n)s=$22170,40 F(n)s=$11687,60 F(n)s=$49650,30 f(0)=$21400 f(0)=$9580 f(0)=$46620 c) Determinar el plazo: I. F(n)s=$17002,70 f(0)=$15950 II. F(n)s=$40000 f0)=$25000 III. F(n)s=$32984,16 f(0)=$31235 Plazo=3 meses (i Mensual) Plazo=2 años (i Anual) Plazo=5 meses (i Mensual) i=0,011 mensual (Plazo en meses) i=0,20 anual (Plazo en años) i=0,008 mensual (Plazo en meses). 5) ¿Durante cuántos días se colocó un capital de $ 33.000 que a un interés del 1,3% mensual produjo un monto a interés simple de $ 33.171,60? 15 B. INTERÉS COMPUESTO Consideraremos un capital inicial “f(0)”, colocado en “n” unidades de tiempo, a la tasa de interés “i”: “f(1)” es el valor del capital al finalizar la primera unidad de tiempo i es igual a: f 1 f 0 f 0.i Sacando factor común f(o): f 1 f 0 . 1 i “f(2)” es el valor del capital al finalizar la segunda unidad de tiempo i es igual a: f 2 f 1 f 1.i f 2 f 1 . 1 i f 2 f 0 . 1 i 16 2 Generalizando, podemos decir que: f n f 0 . 1 i n Esta fórmula nos permite calcular el Valor Final o Monto de un capital inicial “f(0)”, al cabo de “n” unidades de tiempo, a la tasa de interés “i”: “n” indica la cantidad de unidades de tiempo en el plazo considerado y se obtiene a través del cociente entre: n Plazo unidad de tiempo de la tasa " i" Analizaremos los siguientes ejemplos: 1) Si depositamos a plazo fijo, en una entidad financiera, un capital de $3000, durante 8 meses, a una tasa de interés mensual de 0,02. ¿Cuál será el capital final o monto obtenido al cabo del plazo? f (0) 3000 plazo 8 meses i 0,02 mensual unidad de tiempo mes n 8 meses 8 mes f n f 0 . 1 i n f 8 3000.1 0,02 8 f 8 3514,98 Esto significa que el monto obtenido al cabo de 8 meses es de $3.514,98.2) Se efectúa un depósito en una entidad financiera, durante un año, lográndose formar un capital de $2985,13, a una tasa de interés bimestral de 0,03. ¿Cuál fue el capital depositado? 17 f (n) 2985,13 plazo 12 meses i 0,03 bimestral unidad de tiempo bimestre n 12 meses 6 bimestre f 0 f 0 f n 1 i n 2985,13 1 0,036 f 0 2500 El capital depositado durante un año fue de $2.500.3) ¿Durante cuánto tiempo permaneció depositado a plazo fijo, en una entidad financiera, un capital de $2000, para que, a una tasa de interés trimestral de 0,05, logre un monto de $2431,01? f (0) 2000 f (n) 2431,01 i 0,05 trimestral unidad de tiempo trimestre plazo ? n? f n f 0 . 1 i n log f ( n) log(1 i) n f (0) log f ( n) n. log(1 i) f (0) 18 f ( n) log f (0) n log(1 i ) 2431,01 2000.1 0,05 n n 4 plazo 4 unidades de tiempo 4 trimestres 1 año 4) ¿A qué tasa de interés bimestral se realizó un depósito a plazo fijo, en una entidad financiera, si un capital de $ 4000, produjo durante 1 año y medio un monto de $5219,09, siendo la capitalización bimestral de los intereses? f (0) 4000 f (n) 5219,09 unidad de tiempo bimestre plazo 1 año y medio n9 n f n f 0 . 1 i f ( n) (1 i ) n f (0) i n f ( n) 1 f (0) 5219,09 4000.1 i 9 i 0,03 bimestral La tasa de interés fue de 0,03 bimestral. Es conveniente que complemente la explicación de este tema con el video que está en el Aula Virtual 19 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 6) Si depositamos a plazo fijo, en una entidad financiera, un capital de $2500, durante 1 año y medio, a una tasa de interés bimestral de 0,04. ¿Cuál será el capital final o monto obtenido al cabo del plazo? 7) Se efectúa un depósito en una entidad financiera, durante seis meses, lográndose formar un capital de $ 5923,11, a una tasa de interés mensual de 0,015. ¿Cuál fue el capital depositado? 8) ¿Durante cuánto tiempo permaneció depositado a plazo fijo, en una entidad financiera, un capital de $ 6800, para que, a una tasa de interés bimestral de 0,045, logre un monto de $10560.19? 9) ¿A qué tasa de interés mensual se realizó un depósito a plazo fijo, en una entidad financiera, si un capital de $ 1500, produjo durante 8 meses un monto de $2200, siendo la capitalización mensual de los intereses? 10) Complete el siguiente cuadro: Tasa de interés a) b) c) d) 0,04 0,06 0,09 Unidad de tiempo Mes 30 días Bimestre Trimestre Cantidad de u. de tiempo (n) 15 5 8 Capital inicial $ 2000 $ 1.000 $ 1.510 Monto $ 1.085 $ 2.290 $ 3.008,77 11) Una persona efectúa un depósito en caja de ahorro de $ 3560 en una entidad financiera, por un lapso de 10 meses. Durante los primeros 5 meses, la tasa que le pagaron fue del 0,013 mensual. Al final del quinto mes retira $ 1.300, momento a partir del cual rige una tasa de 0,009 mensual. Tres meses más tarde efectúa un depósito de $ 800, y en los últimos dos meses, la tasa retornó a su nivel inicial. Averiguar cuánto retira esta persona a su vencimiento, o sea al cabo de los 10 meses. 20 12) Para comprar un automóvil, Mariana realiza la siguiente operación: $15.000 de entrega inicial y $ 25.000 un año después. ¿Cuál es el precio de contado que debería pagarse si la tasa de interés que incluyó el vendedor en la cuota de $ 25.000 es del 0,06 trimestral? ACTIVIDAD INTEGRADORA: Al finalizar el texto encontrará la solución de la misma. La señora Ahorro decide verificar los saldos de cuentas por cobrar de su negocio, y encuentra lo siguiente: Cliente Sr. Pérez Sra. Martinez Importe adeudado 3.000,00 6.200,00 Tiempo transcurrido 45 días 2 meses Tasa de interés acordada 0,025 mensual 0,35 anual I. Necesita calcular: a) El interés que deberá abonar el Sr. Pérez (utilizando las fórmulas de interés simple) b) El importe total que tendrá que pagar la Sra. Martínez II. Con el importe total cobrado al Sr. Pérez realizó un plazo fijo en una entidad financiera, a la tasa de interés de 0,012 para 30 días, recibiendo al vencimiento un monto a interés compuesto de $3264,61. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado el capital? Es importante complementar los estudios de esta Unidad realizando los ejercicios de Autoevaluación previstos en el Aula Virtual de la materia 21 23