GUÍA PARA ESTUDIANTES TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
La integral en rojo, se denomina integral interior y debe ser más fácil o de igual nivel que la integral
propuesta. Para que esto ocurra, es conveniente elegir bien la función "𝑢".
ELECCIÓN DE "𝒖".
Se debe priorizar el siguiente orden de las funciones que aparecen en el integrando:
Trigonométricas inversas (I), logarítmicas (L), algebraicas (A), trigonométricas (T) y exponenciales (E).
Para recordar utilice la inicial que se encuentra en cada paréntesis ILATE
EJEMPLO 1
Halle  xsenxdx
Como vemos en el integrando tenemos x una función algebraica(A) y senx que es trigonométrica(T). De
acuerdo al ILATE, primero es la función algebraica, entonces u=x y todo lo demás es dv
u=x
 dv   senxdx
du=dx
V=-cosx
Por consiguiente al aplicar la fórmula (2) tenemos:
 x sen xdx  uv   vdu  x( cos x )   ( cos x )dx
 x sen xdx   x cos x   ( cos x )dx
 x sen xdx   x cos x  sen x  C
Halle  x ln xdx
EJEMPLO 2
En este caso tenemos la función x (algebraica) y la función lnx (logarítmica), de acuerdo al ILATE, primero es la
logarítmica y esta debe ser “u”
 dv   xdx
u=lnx
du=1/x dx
𝒗=
∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥.
EJEMPLO 3
𝒙𝟐
𝟐
𝑥2
𝑥2 1
𝑥2
1
𝑥2
1 𝑥2
𝑥2
𝑥2
− ∫ . 𝑑𝑥 =
𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑙𝑛𝑥 − . + 𝐶 =
𝑙𝑛𝑥 − + 𝐶
2
2 𝑥
2
2
2
2 2
2
4
Halle  ln xdx
En este caso, sólo tenemos una función en el integrando, por lo tanto esa es u
Elegimos
u  ln x
du 
1
dx
x
dv  dx
 dv   dx
vx
Luego aplicando la fórmula (4.2)
1
 ln x  uv   vdu  x ln x   x. x dx  x ln x   dx
 ln x  x ln x  x  C
EJEMPLO 4
Evalúe  x 2e xdx
Elegimos
u  x2
dv  e x dx
du  2 xdx


dv  e x dx
v ex
Luego aplicando la fórmula (4.2)
 x e dx  uv   vdu  x e   e .2xdx  x e
2 x
2 x
x
2 x
 2 xexdx
(I)
La integral obtenida es más sencilla que la propuesta, pero aún falta resolverla. Lo hacemos otra vez
por partes
u=x
dv  e x dx
du=dx


dv  e x dx
v ex


xe x  xe x  e x dx  xe x  e x
Entonces sustituyendo en (I)



x 2 e x dx  e x .2 xdx  x 2 e x  2 xe x dx  x 2 e x  2( xe x  e x  C )
x
2 x
e
 x 2 e x  2 xe x  2e x  2C  x 2 e x  2 xe x  2e x  k
EJEMPLO 5
Evalúe
 e senxdx
x
SI en el integrando tenemos funciones exponencial y trigonométrica, cualesquiera de las dos puede ser “u”. EN este
caso elegiremos “u” a la función exponencial. Queda como ejercicio que usted elija u=senx y comprobará que los
resultados serán los mismos.
Elegimos
uex
du  e x dx
dv  sen xdx
 dv   sen xdx
v   cos x
Luego aplicando la fórmula (4.2)
e
x


sen xdx  e x .  cos x   cos x .e x dx  e x cos x  e x cos xdx
Como podemos ver es necesario integrar por partes nuevamente la expresión:
e
x
cos xdx
Haciendo:
uex
du  e x dx
dv  cos xdx
 dv   cos xdx
v  sen x
e
x

cos x  e x sen x  sen x .e x dx
Ahora remplazamos en la expresión
 e sen xdx  e cos x   e cos xdx
x
x
x
x
 e sen xdx  e cos x  e sen x   e . sen xdx
x
x
x
Como podemos ver la expresión anterior es una ecuación y
signos distintos, de tal forma que:
x
x
x
x
 e senxdx   e .senxdx  e cos x  e senx
2  e xsenxdx  e x cos x  e xsenx
 e x cos x  e x senx
C
2
1 x
x
 e senxdx  2 e senx  cos x   C
x
 e senxdx 
e
x
senx dx aparece en ambos lados con
EJEMPLO 6

Encuentre
La integral la podemos escribir como
2
x 3 e x dx

2
2
2
x
x
x . 2 xe x dx , en vista de que la derivada de e es 2 xe .
Ahora elegimos
u  x2
2
du  2 xdx
dv  xe x dx

dv 
v

2
xe x dx
1 x2
e (*)
2
Reemplazando
2
1 x2
1 2 x2
3 x2
2 1
x2
xe x dx
 x e dx  x . e   e .2 xdx  x e  


2
2
2
(*)
La integral del segundo miembro marcada con (*) es la misma que aparece en la sustitución inicial. Así

2
x 3 e x dx 
EJEMPLO 7
1 2 x2 1 x2
x e  e C
2
2
Evalúe

tan 1 xdx
Es necesario indicar que las integrales cuyos integrando es una función trigonométrica inversa y la
integral no es elemental, se integran siempre por partes
Eligiendo u y dv tenemos
u  tan  1 x
du 
dx
1  x2
dv  dx
 dv   dx
vx
Reemplazando


tan 1 dx  tan 1 x . x  x .
dx
1 x2
La integral interna la resolvemos por sustitución


2
Evalúe (ln x ) dx

tan 1 dx  xtan1 x 
EJEMPLO 8
x
1
 xtan1 x  ln 1  x 2  C
2
1  x 2 dx
Eligiendo u y dv, tenemos
dv  dx
u  (ln x ) 2
du  2 ln x .
1
dx
x
2 ln x
du 
dx
x
 dv   dx
vx
Reemplazando en la fórmula (4.2)
2 ln x
dx
x
2
2
ln xdx
 (ln x ) dx  x (ln x )  2


2
2
 (ln x ) dx  (ln x ) . x   x .
(**)
La integral (**) fue evaluada anteriormente, obteniéndose xlnx-x, de modo que:
 (ln x )
2
dx  x(ln x ) 2  2( x ln x  x )  C
Usted puede resolver ahora ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙𝟐
𝒅𝒙
Esta técnica es más general que las otras, porque sirve también para resolver integrales elementales y que no
contienen formas radicales.
TABLA DE SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS a=constante; u=f(x)
Expresión
Sustitución
Identidad



2
2
1  sen 2  cos2 



2
2
1  tan2   sec2 
a2  u2
u  asen,
a2  u2
u  a tan ,
u2  a2
u  a sec,0   

3
ó 
2
2
sec2   1  tan2 
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4 Hallar la integral ∫
√𝑥 2 −1
𝑥4
El radical del integrando es de la forma √𝑢2 − 𝑎2 donde u=x y a=1. Usamos la sustitución trigonométrica
𝑢 = 𝑎𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑥 = 1𝑠𝑒𝑐𝜃
x
√𝑥 2 − 1
𝑥
𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1 ,
Donde 0 < 𝜃 ≤
1
𝜋
2
𝑜𝜋≤𝜃<
𝜋
2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 ; 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃
𝑥 2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑥 4 = 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃
Reemplazamos en la integral dada y reducimos:
|𝑡𝑎𝑛𝜃|
√𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1
√𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝑡𝑎𝑛2 𝜃
∫
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 = ∫
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 = ∫
𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 = ∫
𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑐 4 𝜃
𝑠𝑒𝑐 4 𝜃
𝑠𝑒𝑐 4 𝜃
𝑠𝑒𝑐 3 𝜃
Podemos reducir el integrando a seno y coseno:
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑡𝑎𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
=
=
= 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
3
2
1
𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 ⇒ ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 =
𝑢3
3
+𝐶
∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 =
𝑠𝑒𝑛3 𝜃
3
+𝐶
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
Usando el triángulo rectángulo y reemplazando en la integral trigonométrica:
3
√𝑥 2 − 1
√𝑥 2 − 1
∫
𝑑𝑥
=
(
) +𝐶
𝑥4
𝑥
También se puede resolver la integral usando la identidad para 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝑡𝑎𝑛2 𝜃
∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 𝑑𝜃=∫
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃−1
𝑠𝑒𝑐 3 𝜃
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
1
𝑑𝜃 = ∫ (𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 − 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃) 𝑑𝜃, seguir
LA TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA ES MÁS GENERAL QUE LAS OTRAS, PORQUE SE
PUEDE APLICAR EN UNA INTEGRAL ELEMENTAL Y TAMBIÉN EN LAS QUE NO TIENEN FORMAS
RADICALES
I Si el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, se debe realizar la división larga:
EJEMPLO 2
𝒙𝟐
Encuentre ∫ 𝒙𝟐 +𝟏 𝒅𝒙, como vemos el grado del numerado es igual al grado del denominador, tenemos
que hacer la división polinómica o larga
𝑥2
𝑥2 + 1
1
−𝑥 2 − 1
-1
∫
EJEMPLO
𝒙𝟐
𝟏
𝒅𝒙 = ∫ (𝟏 − 2
) 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒙) + 𝑪
𝟐
𝒙 +𝟏
𝑥 +1
x2
3. Resuelva 
dx
x1
El grado del numerador es 2 y el del denominador es 1. Por lo tanto la fracción es
impropia y es necesario
x2
dividir el numerador por el denominador:
x+1
- x2
-x
/
-x
x-1
x
+1
/
1
La división se escribe
x 1
1
.
x 1
La integral se evalúa
x2
1 
x2

dx

x

1

dx

 x  ln x  1  C

 x  1  
x  1
2
II Si el grado del numerador es menor al grado del denominador, se debe utilizar el Método de Descomposición
en Fracciones Parciales .Tenemos 4 casos
EJEMPLO 1
Resuelva
 x2  4
dx
Como el grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 2, la fracción es propia. Para
descomponerla en fracciones parciales,
1° Factorizamos el denominador de la expresión:
1
x2 4

1
( x  2)( x  2)
2° Como los factores del denominador son lineales y distintos, la descomposición es así:
1
A
B


( x  2)( x  2) x  2 x  2
3° Realizando las operaciones
A( x  2)  B( x  2) Ax  2 A  Bx  2 B ( A  B) x  (2 A  2 B)
1



( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)
4° Tenemos entonces que
A+B=0
-2A+2B=1
5° Resolviendo el sistema
2A+2B=0
-2A+2B=1, 4B=1 de donde B=1/4 y A=-1/4
6°
1
1/ 4 1/ 4


( x  2)( x  2) x  2 x  2
Así la integral planteada se resuelve así:
dx
 1/ 4
1/ 4 
1
dx
1
dx
1
1
 x 2  4    x  2  x  2 dx  4  x  2  4  x  2  4 ln x  2  4 ln x  2  c
También se puede usar en este caso el método de eliminación (recomendable)
1
A( x  2)  B( x  2)

( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)
Igualamos los numeradores:
1 = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 + 2)
Para eliminar A, x=2, entonces
1 = 𝐴(2 − 2) + 𝐵(2 + 2)
1 = 𝐴(0) + 𝐵(4) ,4𝐵 = 1 ,𝐵 =
1
4
Para eliminar B, x=-2, entonces
1 = 𝐴(−2 − 2) + 𝐵(−2 + 2)
1 = 𝐴(−4) + 𝐵(0), −4𝐴 = 1 ;𝐴 = −
1
4
Como vemos, son los mismos valores que encontramos resolviendo el sistema.
También se puede usar en este caso el método de eliminación (recomendable). Encuentre los valores
usando eliminación y compare cn los encontrados usando sistemas de ecuaciones.
EJEMPLO 3
Resuelva

5x  1
dx
( x  1)( x  1)( x  2)
1° La fracción es propia pues el grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 3.
2° Como los factores del denominador son lineales y distintos, la descomposición en fracciones es:
5x  1
A
B
C



( x  1)( x  2)( x  2) x  1 x  2 x  2
3° Realizando las operaciones
A( x  1)( x  2)
B( x  1)( x  2)  C( x  1)( x  1)

( x  1)( x  2)( x  2)
( x  1)( x  2)( x  2)
queda en el numerador
A( x 2  3x  2)  B( x 2  x  2)  C ( x 2  1)  ( A  B  C ) x 2  (3 A  B) x  (2 A  2B  C )
4° El sistema por resolver es
A+B +C=0
3A+B =5
2A-2B-C=1
donde A=1,B=2,C=-3
5° La integral se resuelve:
5x  1
 1
2
3 
1
2
3
 ( x 1)( x  1)( x  2) dx    x 1  x  1  x  2 dx   x 1 dx   x  1 dx  x  2 dx

c( x  1)( x  1) 2
1
dx
dx
dx  2
 3
 ln x  1  2 ln x  1  3 ln x  2  c  ln
x 1
x 1
x2
( x  2) 3
También se puede usar en este caso el método de eliminación
(recomendable)
5x  1
A( x  1)( x  2)  B( x  1)( x  2)  C( x  1)( x  1)

( x  1)( x  2)( x  2)
( x  1)( x  2)( x  2)
Igualando numeradores:
5𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
Para hallar B, eliminamos A y C; haciendo x= -1
5(−1) + 1 = 𝐴(−1 + 1)(−1 + 2) + 𝐵(−1 − 1)(−1 + 2) + 𝐶(−1 − 1)(−1 + 1)
−5 + 1 = 𝐴(0)(1) + 𝐵(−2)(1) + 𝐶(−2)(0)
−4 = 𝐵(−2)(1);𝐵 = 2
Para hallar A, eliminamos B y C, haciendo x=1
5(1) + 1 = 𝐴(1 + 1)(1 + 2) + 𝐵(1 − 1)(1 + 2) + 𝐶(1 − 1)(1 + 1)
6 = 𝐴(2)(3)
6 = 6𝐴;𝐴 = 1
Para hallar C, eliminamos A y B, haciendo x=-2
5(−2) + 1 = 𝐴(−2 + 1)(−2 + 2) + 𝐵(−2 − 1)(−2 + 2) + 𝐶(−2 − 1)(−2 + 1)
−9 = 3𝐶 ;𝐶 = −3
Cuyos valores coinciden con los hallados con el sistema de ecuaciones.
EJEMPLO 1
Encuentre ∫
𝟐𝒙+𝟑
𝒙𝟑 −𝒙𝟐
𝒅𝒙
Como vemos el grado del numerador es menor al grado del denominador, entonces veamos cómo se
descompone el denominador:
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟐𝒙 + 𝟑
= 𝟐
=
𝟑
𝟐
𝒙 −𝒙
𝒙 (𝒙 − 𝟏) 𝒙. 𝒙(𝒙 − 𝟏)
En el denominador el factor x, se repite dos veces, por lo tanto es factor repetido y el factor x-1, es un
factor no repetido, que corresponde al primer caso. La expresión se descompone en tres fracciones
parciales de la siguiente manera:
𝟐𝒙 + 𝟑
𝑨 𝑩
𝑪
= + 𝟐+
𝒙. 𝒙(𝒙 − 𝟏) 𝒙 𝒙
𝒙−𝟏
Siendo el m.c.m 𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏)
𝟐𝒙 + 𝟑
𝑨𝒙(𝒙 − 𝟏) + 𝑩(𝒙 − 𝟏) + 𝑪𝒙𝟐
=
𝒙. 𝒙(𝒙 − 𝟏)
𝒙. 𝒙(𝒙 − 𝟏)
Dado que los denominadores son iguales y se conocen, trabajamos sólo en el numerador:
𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝑨𝒙(𝒙 − 𝟏) + 𝑩(𝒙 − 𝟏) + 𝑪𝒙𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝑨𝒙𝟐 − 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 − 𝑩 + 𝑪𝒙𝟐
Ordenamos los términos y factorizamos:
𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒙𝟐 − 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 − 𝑩
𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝒙𝟐 (𝑨 + 𝑪) + (−𝑨 + 𝑩)𝒙 − 𝑩
Igualamos los coeficientes:
𝐴+𝐶 =0
{−𝐴 + 𝐵 = 2
−𝐵 = 3
Resolviendo el sistema: 𝐵 = −3; 𝐴 = −5; 𝐶 = 5. La integral se reduce a :
−𝟓 −𝟑
𝟓
𝟑
∫(
+ 𝟐 +
) 𝒅𝒙 = −𝟓𝒍𝒏|𝒙| + + 𝟓𝒍𝒏|𝒙 − 𝟏| + 𝑪
𝒙
𝒙
𝒙−𝟏
𝒙
EJEMPLO 2
Evalúe
5x 2  4x  2
 ( x  4)( x  3) 2 dx
1° La integral contiene una fracción propia pues el grado del numerador es 2 y del denominador es 3.
2° El denominador tiene el factor lineal (x-4) que no se repite y (x+3) que es factor lineal que se
repite dos veces, por lo tanto la descomposición de la fracción dada es:
5x 2  4x  2
( x  4)( x  3) 2

A( x  3) 2  B( x  4)( x  3)  C ( x  4)
A
B
C



x  4 x  3 ( x  3) 2
( x  4)( x  3) 2
3° En el numerador tenemos:
A( x 2  6 x  9)  B( x 2  x  12)  C ( x  4)  ( A  B) x 2  (6 A  B  C ) x  9 A  12B  4C
4° Igualando términos semejantes, obtenemos el siguiente sistema
A+B=5
6A-B+C=4
9A-12B-4C=2, cuya solución es A=2;B=3;C=-5
5° La integral planteada
5x 2  4 x  2
 2
3
5

dx
dx
dx
 ( x  4)( x  3) 2 dx    x  4  x  3  ( x  3) 2 dx  2 x  4  3 x  3  5 ( x  3) 2

2 ln x  4  3 ln x  3 

5
5
 c  ln ( x  4) 2 ( x  3) 3 
c
x3
x3
Determine I  
EJEMPLO 3
x 4  2x 2  4x  1
dx
x3  x2  x  1
1° Como la fracción es impropia, dividimos numerador por denominador y resulta
x 4  2x 2  4x  1
 x 1
x3  x2  x 1
4x
x3  x2  x 1
2° Ahora factorizamos el denominador de la fracción anterior
x 1
3°
4x
( x  1) 2 ( x  1)
x 4  2x 2  4x  1
 x 1
x3  x2  x 1
4x
x3  x2  x 1
 x 1
4x
( x  1) 2 ( x  1)
4° La descomposición de la expresión fraccionaria en fracciones parciales es
4x
( x  1) 2 ( x  1)

A
B
C


x  1 ( x  1) 2 x  1
Multiplicando a todo por ( x  1) ( x  1) obtenemos
2
4 x  A( x  1)( x  1)  B( x  1)  C ( x  1) 2  ( A  C ) x 2  ( B  2C ) x  ( A  B  C )
5° Formulando el sistema de ecuaciones tenemos
A
+C =0
B -2C=4
-A +B +C=0, cuya solución es A=1; B=2,C=-1.
6° La integral planteada queda así

x 4  2x 2  4x  1
x3  x2  x 1

dx 


1
2
1 


x 1
 dx
x  1 ( x  1) 2 x  1 

x2
2
 x  ln x  1 
 ln x  1  c
2
x 1
I
x2
2
x1
x
 ln
c
2
x1
x1
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1
𝑥 2 +2
∫ 𝑥(𝑥 2 +4)2 𝑑𝑥
Resolver
Descomponemos el integrando:
𝑥2 + 2
𝐴
𝐵𝑥 + 𝐶
𝐷𝑥 + 𝐸
=
+
+
𝑥(𝑥 2 + 4)2 𝑥 (𝑥 2 + 4)2 𝑥 2 + 4
El m.c.m es 𝑥(𝑥 2 + 4)2
𝑥2 + 2
𝐴(𝑥 2 + 4)2 + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥 + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥)(𝑥 2 + 4)
=
𝑥(𝑥 2 + 4)2
𝑥(𝑥 2 + 4)2
Igualamos los numeradores, multiplicamos y reducimos:
𝑥 2 + 2 = 𝐴(𝑥 2 + 4)2 + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥 + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥)(𝑥 2 + 4)
= 𝐴(𝑥 4 + 8𝑥 2 + 16) + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 4 + 4𝐷𝑥 2 +𝐸𝑥 3 + 4𝐸𝑥
𝑥 2 + 2 = 𝐴𝑥 4 + 8𝐴𝑥 2 + 16𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 4 + 4𝐷𝑥 2 +𝐸𝑥 3 + 4𝐸𝑥
𝑥 2 + 2 = 𝐴𝑥 4 + 𝐷𝑥 4 + 𝐸𝑥 3 + 8𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 2 + 4𝐷𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 4𝐸𝑥 + 16𝐴
𝐴+𝐷 =0
𝐸=0
8𝐴 + 𝐵 + 4𝐷 = 1
𝐶 + 4𝐸 = 0
{
16𝐴 = 2
1
1
1
Resolviendo el sistema: 𝐴 = 8 ; 𝐷 = − 8 ; 𝐶 = 0; 𝐸 = 0; 𝐵 = 2. Así reemplazando estos valores en las
fracciones parciales:
1
1
1
8 + 2𝑥 + 0 +−8𝑥 + 0
𝑥 (𝑥 2 + 4)2
𝑥2 + 4
Luego integrando:
∫
𝑥2 + 2
1 1
1
𝑥
1
𝑥
𝑑𝑥
=
∫
𝑑𝑥
+
∫
𝑑𝑥
−
∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 2 + 4)2
8 𝑥
2 (𝑥 2 + 4)2
8 𝑥2 + 4
∫
EJEMPLO 2
𝑥2 + 2
1
1 1
1
=
𝑙𝑛|𝑥|
−
−
𝑙𝑛|𝑥 2 + 4| + 𝐶
𝑥(𝑥 2 + 4)2 8
4 𝑥 2 + 4 16
TABLA PARA CÁLCULO INTEGRAL
1)
I IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
sen(  x )   senx
2)
cos( x )  cos x
senx
1
1
cos x
4) ctgx 
5) sec x 
6) csc x 
cos x
senx
senx
cos x
1
2
8) cos x  (1  cos 2 x )
9) sen2u  2senu cos u
2
3) tgx

10) cos 2u  cos
1
sen2 x  (1  cos 2 x )
2
u  sen 2u  1  2sen 2u
2
11)
1  tg2 x  sec2 x
13)
cos 2 x  sen 2 x  1
14) 𝒄𝒐𝒔𝑨 𝒄𝒐𝒔𝑩
7)
12)
1  ctg2 x  csc2 x
𝟏
= 𝟐 (𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) + 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩))
𝟏
15) 𝒔𝒆𝒏𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩 = 𝟐 (𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) − 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩))
𝟏
16) 𝒔𝒆𝒏𝑨𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟐 (𝒔𝒆𝒏(𝑨 − 𝑩) + 𝒔𝒆𝒏(𝑨 + 𝑩))
RAZONES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
CO
CA

1) tgx
2) senx 
CO
h
3) sec x

h
CA
II TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS


1. du  u  c

3. u ndu 
9.∫sec2 udu  tan u  c
2. adu  au  c
11.∫secutgudu  secu  c
un1
au
 c 4. a udu 
c
n1
ln a
12.∫csc uctgudu  - csc u  c

du
5.
 ln u  c
u
6. e du  e  c

7. senudu   cos u  c 8. cos udu  senu  c
u
10.∫
csc2 udu  - cot u  c
u
13.∫tan udu  - ln cos u  c  ln sec u  c
14.∫ctgudu  ln sen u  c
15.∫secudu  ln secu  tgu  c
16.∫csc udu  ln cscu  ctgu  c
17.
du

a 2  u2
 arcsen
du
1
u
u

arctan
c
 c 18. 2
a
a
u  a2 a

SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Expresión
a u
2
2
a2  u2
u2  a2
Sustitución



2
2


u  a tan ,   
2
2
u  asen,

3
u  a sec,0   
ó 
2
2
Identidad
1  sen 2  cos2 
1  tan2   sec2 
sec2   1  tan2 