TEMA #2 Cartas de Control - Detalle

ORURO BOLIVIA
Cartas de control
1
CARTAS DE CONTROL
Una de las herramientas de análisis y solución de problemas es la gráfica de control. Su objetivo
es observar y analizar por medio de datos estadísticos la variabilidad del proceso de interés
Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría
de los procesos.
Han sido difundidas exitosa mente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones
para el control del proceso.
Son una herramienta estadística utilizada para el estudio y control de procesos a través del
tiempo.
Es un diagrama que muestra los valores producto de la medición de una característica de
calidad, ubicados en una serie cronológica.
TIPOS DE GRÁFICOS DE CARTAS DE CONTROL:
Existen dos tipos generales de cartas de control: para variables y para atributos. Las cartas de
control para variables se aplican a características de calidad de tipo continuo, que intuitivamente
son aquellas que requieren un instrumento de medición (peso, volumen, voltaje, longitud,
resistencia, temperatura, humedad, etc.). Las cartas para variables tipo Shewhart más usuales
son:
• X (de medias).
• R (de rangos).
• S (de desviaciones estándar).
• X (de medidas individuales).
Las distintas formas de llamarle a una carta de control se deben al correspondiente estadístico
que se representa en la carta, y por medio de la cual se busca analizar una característica
importante de un producto o proceso.
Existen características de calidad de un producto que no son medidas con un instrumento de
medición en una escala continua o al menos en una numérica. En estos casos, el producto se
juzga como conforme o no conforme, dependiendo de si posee ciertos atributos; también, al
producto se le podrá contar el número de defectos o no conformidades que tiene. Este tipo de
características de calidad son monitoreadas a través de las cartas de control para atributos:
• p (proporción o fracción de artículos defectuosos).
Cartas de control
2
• np (número de unidades defectuosas).
• c (número de defectos).
• u (número de defectos por unidad).
La siguiente Figura 1, ilustra los tipos de graficas de control:
Figura 1
Análisis de las cartas de control:
Se supone que existe una variable característica y medible, que determina la calidad de un
producto. Luego se supone que esta variable está sujeta a una variabilidad natural, incluso
cuando el proceso en el cual se produce el producto, está bajo control. Esto significa que en las
mediciones de esta variable no encontraremos siempre los mismos valores, sino siempre valores
diferentes.
Puede ocurrir evidentemente que se encuentre un valor diferente es la consecuencia de un azar
aceptable o de una perturbación del proceso. En el último caso puede ser que se haya perdido el
control sobre el proceso, y se buscará la posibilidad de restablecer el control. A continuación,
en este capítulo discutiremos sobre la pregunta de cuánto un valor medido puede desviar de una
norma. Para que podamos hablar todavía de un azar aceptable. De esta manera trataremos
automáticamente la pregunta con que desviación se puede constatar que el proceso está fuera de
control.
Supongamos que la variable característica tiene una variabilidad natural que puede ser descrita
por la distribución normal. Cuando indicamos la variable con X, entonces tenemos:
𝑋 = 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )
Cartas de control
3
Seguramente no todas las variables determinantes de la calidad tienen esta distribución. En el
caso en que la variable determinante de la calidad siguiera otra distribución (exponencial,
lognormal, Raylegh, …), se pueden desarrollar las siguientes ideas para aquella distribución.
Sin embargo, esto es trabajo especializad para el estadístico. Felizmente muchas variables
determinantes de la calidad pueden ser descritas para la distribución normal (o en todo caso
aproximadamente). Cuando más adelante en este capítulo trabajemos con el promedio de una
muestra, el teorema central del límite del cálculo de probabilidades indica que este promedio
tiene aproximadamente una distribución normal, independiente de la naturaleza de la
distribución de las observaciones individuales. Esta parte de la teoría es por lo tanto
generalmente aplicable.
Una propiedad conocida de la distribución normal dice:
𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎) = 0.9973
Gráficamente esta propiedad muestra que la parte sombreada constituye 99.73% de la superficie
total debajo de la curva en la figura 2. De acuerdo a esta propiedad, cuando se mide X. habrá
solo una probabilidad pequeña de encontrar un valor fuera del intervalo.
[𝜇 − 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎]
Para ser preciso, esta probabilidad es solo 27 en 10000, o con una aproximación a rasgos más
grandes, de 3 en 1000. En la teoría de control de calidad encontramos así un límite para la
decisión: azar aceptable o fuera de control. Cuando una medición de X está en el intervalo
mencionado, entonces hablamos de un azar aceptable. Sin embargo, cuando una medición de X
genera un valor fuera del intervalo mencionado, entonces suponemos que el proceso ha llegado
a ser fuera de control. Constatamos esta suposición con alguna prudencia, porque sabemos que
un proceso controlado generará en alrededor de 3 en 1000 mediciones un valor fuera del
intervalo mencionado.
𝜇 − 3𝜎
𝜇
Figura 2
Cartas de control
4
𝜇 + 3𝜎
Supongamos que una variable determinante de la calidad sigue una distribución normal con
𝜇=38 y 𝜎 2 =16. El intervalo dentro del cual se esperan observaciones “normales” es por lo
tanto [26,50] (38±3∙4= [26,50]). Se encuentra la siguiente serie de mediciones: 42, 37, 39, 31,
46, 38, 44, 41, 34, 41, 28, 51…
Grafica de la carta de control:
Figura 3
En el Grafico 3, la última medición (51) se encuentra un valor que puede significar que se haya
perdido el control sobre el proceso.
La idea de W.A. Shewhart fue colocar las mediciones en un diagrama llamado carta de control.
La carta de control es un dibujo, con un sistema de coordenadas rectangular. La Figura 4, en el
eje x está el número de la observación y en el eje y los valores de X. En la carta de control se
dibuja además una línea central paralelamente al eje x a la altura de 𝜇. También se dibujan 2
líneas paralelamente al eje x a las alturas 𝜇 − 3𝜎 y 𝜇 + 3𝜎. Estas son las llamadas límites de
acción.
Cartas de control
5
𝜇 + 3𝜎
𝜇
𝜇 − 3𝜎
Figura 4
Para un proceso controlado, alrededor de 3 en 1000 valores de medición caerán fuera de los
límites de acción. En estos casos se inicia una investigación para saber si el proceso ha llegado
a ser fuera de control. Si esto ocurre demasiado frecuentemente (por ejemplo porque los costos
de esta investigación son muy altos) entonces se pueden elegir límites más amplios (por ejemplo
porque los costos de esta investigación son muy altos) entonces se pueden elegir límites más
amplios (por ejemplo 𝜇 ± 5𝜎).
Cuando el proceso ya no está bajo control, existen en principio 3 causas posibles:
a. El valor determinante de la calidad ya no sigue la distribución normal.
b. El valor de 𝜇 ha cambiado.
c. El valor de 𝜎 2 .
La primera posibilidad se deja generalmente fuera de consideración. Para las otras posibilidades
se desarrollará técnicas de control especiales más adelante en este capítulo.
En la práctica muchas veces no es posible medir todos los productos individualmente. Por eso
se trabaja generalmente con una muestra aleatoria. Para limitar la influencia de una medición
muy divergente (un pico). Se trabaja además con el valor promedio de las mediciones de la
muestra.
Supongamos que se trabaje con una muestra aleatoria de n observaciones. De esta muestra se
calcula el promedio 𝑋̅. Si las mediciones individuales siguen una distribución normal N (𝜇, 𝜎 2 ),
entonces el promedio del muestreo también está distribuido normalmente:
𝑋̅ = 𝑁(𝜇, 𝜎 2 /𝑛)
Cartas de control
6
Vemos que la varianza de esta distribución es más pequeña cuando n, el tamaño de la muestra,
se vuelve más grande. Por lo tanto, está claro que los límites de acción en una carta de control
̅ estarán más cerca de la línea central 𝜇, a medida que n sea más grande.
para X
Cuando las observaciones individuales siguen otra distribución con valor esperado y varianza
conocidos, entonces para valores de n algo más grandes (digamos n>5) , de acuerdo al teorema
central del límite, el promedio del muestreo tendrá aproximadamente una distribución normal.
̅ valen por lo tanto más o menos independiente de la distribución
Las cartas de control para X
de X.
Para decidir si el proceso está bajo control, se utiliza el mismo criterio con en observaciones
individuales. El criterio está basado en la siguiente propiedad:
𝑃 (𝜇 − 3
𝜎
√𝑛
< 𝑋̅ < 𝜇 + 3
𝜎
√𝑛
) = 0.9973
̅ está a la altura de 𝜇. Los límites de acción estarán
La línea central en la carta de control de X
en 𝜇 ± 𝐴𝑛 𝜎 con 𝐴𝑛 = 3/√𝑛. La siguiente tabla da para algunos valores de n el valor
correspondiente de 𝐴𝑛 .
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝐴𝑛
3.000
2.121
1.732
1.500
1.342
1.225
1.134
1.061
1.000
0.949
Tabla I
Ejemplo 1.
Supongamos que la variable determinante de la calidad tiene una distribución normal con 𝜇 =
20 y 𝜎 =3. Siempre se toman muestras aleatorias de 5 unidades, y se elabora una carta de control
para el promedio de la muestra. La línea central en la carta de control está en la altura de 20 y
los límites de acción en 20±1.342×3= 20 ±4.03. Los resultados de las cuatro primeras muestras
son los siguientes:
Cartas de control
7
20.4
25.7
27.2
19.6
16.3
13.4
26.8
30.4
18.7
21.2
17.2
16.2
21.3
19.0
20.3
21.3
19.0
20.1
18.1
22.8
̅ =19.14
X
̅ =19.88
X
̅
X =21.92
̅ =22.06
X
De acuerdo a la carta de control para ̅
X no hay particularidades. Sin embargo, en una carta de
control para observaciones individuales hay señales de un posible descarrilamiento del proceso.
Figura 5.
Figura 5.
RESUMEN
Para un producto existe una variable ̅
X que determina la calidad. Suponemos que el valor
2
esperado 𝜇 y la varianza 𝜎 de esta variable son conocidos. Esto por ejemplo es el caso cuando
desde hace mucho tiempo trabajamos con el proceso y sabemos, de datos históricos, cuando el
proceso está bajo control, y cuáles son en este caso los valores de 𝜇 y. Si 𝜎 2 sabemos que la
distribución de X es normal, podemos trabajar con una carta de control para observaciones
individuales con línea central 𝜇 y límites de acción 𝜇 ± 3𝜎. Independiente de la distribución de
X podemos trabajar con una carta de control para el promedio 𝑋̅ de la muestra (tamaño de la
muestra n), con línea central 𝜇 y límites de acción 𝜇 ± 𝐴𝑛 𝜎, donde los valores de 𝐴𝑛 se
encuentran en la tabla 1.
Cartas de control
8
OBSERVACIONES ADICIONALES.
1. Cuando el valor de una medición sobrepasa un límite de acción, esto puede significar
que el proceso ya no está bajo el control original. Esto no representa siempre una
situación indeseable. Cuando por ejemplo el valor determinante de la calidad es la
solidez del material de producto, y sobrepasamos el límite de acción 𝜇 + 3𝜎, entonces
esto significa que el proceso genera un producto más sólido que lo esperado, y esto puede
ser una situación muy ventajosa. En este caso no se debe tomar ninguna acción. También
esta situación puede ser un motivo para investigar cómo fue posible fabricar un producto
más sólido. Cuando la investigación llega a una producción reproducible. entonces se ha
logrado un mejoramiento de la calidad. Con este objetivo Shewhart desarrolló su técnica
de cartas de control.
2. Trabajar con límites de acción “bonitos”, como 𝜇 ± 3𝜎, no genera probabilidades de
traspaso interesantes (como aproximadamente 0.0027). También podemos partir de
probabilidades de traspaso “bonitos” como exactamente 0.002. Esto genera límites de
acción menos interesantes como 𝜇 ± 3.1𝜎 (3.1 es aquí un número redondeado).
3. Cuando una observación queda justo debajo del límite de acción, no se decide en base a
la regla de decisión discutida más arriba, que el proceso está fuera de control. Sin
embargo, una tal observación es para muchos "sospechosa". Dos observaciones
“sospechosas”, seguidas son entonces una razón absoluta para pensar que el proceso ya
no está bajo control. para formalizar esto, se dibujan en la carta de control límites de
advertencia en las alturas 𝜇 ± 2𝜎. Cuando dos observaciones seguidas pasan el mismo
límite de advertencia, se sospecha por lo tanto que el proceso ha llegado a estar fuera de
control.
4. También cuando toda una serie de observaciones seguidas está al mismo lado de la línea
central, surge la sospecha que el proceso ya no está bajo el control original. Como
criterio se utiliza a menudo 7 observaciones consecutivas al mismo lado de la línea
central. cuando el proceso estuviera bajo control, habría solo una probabilidad de
(0,5)7 =0.008 de que 7 observaciones consecutivas se encuentren al mismo lado de la
línea central.
Problema
C1 Sea la variable determinante de la calidad N (30.25).
a. Elabore una cana de control para las observaciones individuales.
b. Elabore una carta de control para muestras aleatorias de 3 observaciones.
c. Elabore una carta de control para muestras aleatorias de 6 observaciones.
Cartas de control
9
d. Examine para las siguientes observaciones si el proceso está todavía bajo control.
Utilice siempre todas las reglas de decisión mencionadas. Haga la investigación con
las cartas de control de a, b y c.
30
18
34
29
26
34
37
34
36
25
34
28
32
24
26
14
27
21
24
21
26
22
41
31
26
32
35
31
36
26
43
29
37
42
30
41
31
41
27
31
16
29
Cartas de control en el caso de parámetros desconocidos
Cuando los valores de los parámetros 𝜇 y 𝜎 son desconocidos, entonces se estiman sus valores
a partir de la muestra aleatoria. Se sabe que un estimador insesgado de 𝜇 es el promedio de la
muestra:
𝜇̂ = 𝑥̅ =
𝑥1 + 𝑥2 +. . . . . +𝑥𝑛
𝑛
Un estimador insesgado de 𝜎 2 también es conocido:
𝜎̂ 2 = 𝑠 2 =
(𝑥1 − 𝑥̅ )2 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 + … . +(𝑥𝑛 − 𝑥̅ )2
𝑛−1
A partir de esta ecuación se encuentra un estimador insesgado de o a través de la regla
𝑐𝑛 𝜎̂ = √𝑠 2
Los valores de 𝑐𝑛 se encuentran en la tabla II.
La carta de control para los siguientes promedios de muestra contiene entonces, por analogía
con la situación con los valores de parámetros conocidos, una línea central a la altura de 𝑥̅ y los
límites de acción en:
𝜇̂ ± 3
= 𝑥̅ ±
𝜎̂
√𝑛
3
𝑐𝑛 √𝑛
√𝑠 2
= 𝑥̅ ± 𝐴𝑛 √𝑠 2
Cartas de control
10
Donde 𝐴𝑛 =
3
. Los valores de estos constantes se encuentran en la tabla II.
𝑐𝑛 √𝑛
𝑛
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝑐𝑛
0.7979
0.8862
0.9213
0.9400
0.9515
0.9594
0.9650
0.9693
0.9727
𝐴𝑛
2.659
1.954
1.628
1.427
1.287
1.182
1.099
1.032
0.975
Tabla II
Ejemplo 2.
Una primera muestra aleatoria de 7 valores genera los siguientes números:
25.3
24.3
27.4
24.9
25.2
26.3
25.8
El promedio de la muestra es 𝑥̅ = 25.6 y la varianza es 𝑠 2 = 1.033. La carta de control para los
siguientes promedios de muestra tiene por lo tanto una línea central a la altura de 25.6. Los
límites de acción en esta carta de control están a las alturas 25.6±1.182x1.017=25.6±1.2.
Problema.
C2 Repita el problema C1 pero ahora sin utilizar los datos 𝜇 = 30 y 𝜎 2 = 25.
Cartas de control para la dispersión
Cuando trabajamos con una muestra aleatoria, podemos conseguir, a partir de estos datos,
información sobre la dispersión de las observaciones. Entonces podemos controlar si la
desviación estándar 𝜎 todavía satisface las expectativas. Esto podemos hacer llevando la
información obtenida en una carta de control aparte para 𝜎. Un estimador natural para 𝜎 es la
desviación estándar s de la muestra. Los valores de s encontramos extrayendo la raíz cuadrada
de los valores de 𝑠 2 , donde:
𝑠2 =
(𝑥1 − 𝑥̅ )2 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 + … . +(𝑥𝑛 − 𝑥̅ )2
𝑛−1
Por muestra se encontrará un valor diferente de s. La desviación estándar de una muestra
aleatoria es una variable con una variabilidad natural, o sea una variable aleatoria S. De la teoría
del cálculo de probabilidades se sabe que esta variable tiene una distribución determinada. Esta
distribución seguramente no es la distribución normal. Al elaborar una carta de control para S
Cartas de control
11
hacemos como si esta variable en realidad siguiera la distribución normal. Por supuesto hacernos
teóricamente un error con esta manera de trabajar. Sin embargo el error de aproximación no es
grave. Cuando queremos realizar un cálculo teóricamente correcto, tendremos que saber más
sobre la naturaleza precisa de la distribución de S. Sin embargo esto llevaría demasiado lejos en
el marco de esta introducción. Lo que sí necesitamos para nuestro enfoque, son los parámetros
de la distribución normal de S. Los valores se deducen directamente del siguiente resultado
teórico. El valor esperado y la varianza de esta distribución de S son:
𝐸 (𝑆) = 𝑐𝑛 𝜎
var(𝑆) = (1 − 𝑐𝑛 2 )𝜎 2
Cuando 𝜎 es conocido, se deducen de ello los datos necesarios para la carta de control S;
Línea central:
𝑐𝑛 𝜎
Límites de acción: 𝑐𝑛 𝜎 ± 3√𝑣𝑎𝑟(𝑆)
= 𝑐𝑛 𝜎 ± 3√1 − 𝑐𝑛 2 𝜎
= (𝑐𝑛 ± 3√1 − 𝑐𝑛 2 ) 𝜎
El límite de acción superior (donde se elige "+") se indica como 𝐵2𝑛 𝜎. El limite de acción
inferior se indica como 𝐵1𝑛 𝜎. Puesto que S es una variable positiva por definición, un valor
negativo de 𝐵1𝑛 no tiene sentido: en este caso ponemos esta constante simplemente en 0. Los
valores de las constantes 𝑐𝑛 , 𝐵1𝑛 y 𝐵2𝑛 se encuentran en la tabla III.
𝑛
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝑐𝑛
0.7979
0.8862
0.9213
0.9400
0.9515
0.9594
0.9650
0.9693
0.9727
𝐵1𝑛
0.000
0.000
0.000
0.000
0.029
0.113
0.178
0.232
0.277
𝐵2𝑛
2.606
2.276
2.088
1.964
1.874
1.806
1.752
1.707
1.669
Tabla III
En el caso en que 𝜎 es desconocido, podemos trabajar otra vez con un valor estimado de 𝜎 a
partir de una muestra aleatoria. Calculamos s de una muestra aleatoria con tamaño n. Manejamos
la relación:
𝑐𝑛 𝜎 = 𝑠
Cartas de control
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para eliminar 𝜎 en las expresiones anteriormente deducidas para las líneas en la carta de control
de la dispersión:
Línea central:
s
Límites de acción: 𝑐𝑛 𝜎 ± 3√𝑣𝑎𝑟(𝑆)
(1 ± 3√𝑐𝑛 −2 − 1)𝑠
El límite de acción que corresponde al “+” indicamos como 𝐵4𝑛 𝑠. El otro límite de acción
indicamos como 𝐵3𝑛 𝑠 . Otra vez los valores negativos de 𝐵3𝑛 no tiene sentido así que en estos
casos ponemos el valor de esta constante en 0.
Los valores de 𝑐𝑛 , 𝐵3𝑛 y 𝐵4𝑛 se encuentran en la tabla IV.
𝑛
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝑐𝑛
0.7979
0.8862
0.9213
0.9400
0.9515
0.9594
0.9650
0.9693
0.9727
𝐵3𝑛
0.000
0.000
0.000
0.000
0.030
0.118
0.185
0.239
0.284
𝐵4𝑛
3.266
2.568
2.266
2.089
1.970
1.882
1.815
1.761
1.716
Tabla IV
Ejemplo 3
Supongamos que disponemos de los datos de un número de muestras aleatorias en las cuales se
ha medido una variable determinante de la calidad. Supongamos que la variabilidad de esta
variable puede ser descrita por una distribución normal. Las muestras aleatorias consisten
siempre de 4 mediciones.
51
55
47
55
58
56
55
45
63
53
51
51
54
49
57
68
61
48
56
51
55
53
58
55
54
62
61
53
48
46
55
57
Cuando no conocemos los parámetros 𝜇 y 𝜎, utilizamos la primera muestra para determinar 𝑥̅
y 𝑠 2 : 𝑥̅ = 56.5 y 𝑠 2 = 27.0. Ahora podemos elaborar las cartas de control para 𝑋̅ y S.
Cartas de control
13
Carta de control para 𝑋̅:
Línea central:
56.5
Límites de acción: 56.5 ± 1.628 × 5.196
Ver la (tabla II)
56.5 ± 8.5
Carta de control para S:
Línea central:
5.2
Límites de acción:
Es la raíz de 27.0
límite inferior:
Límite superior:
0.0
2.266x5.2=11.8
Ver la (tabla IV)
(ídem)
Problemas.
C3
Examine, en base a las demás muestras aleatorias, si el proceso está todavía bajo el
control original, tanto para 𝜇 como para 𝜎.
C4
Elabore las cartas de control para 𝑋̅ y S cuando las muestras aleatorias no consisten de
4 sino de 8 mediciones (las observaciones de la misma línea consisten entonces una
muestra).
Cartas de rango
En los párrafos anteriores se ha establecido que la desviación estándar de una muestra aleatoria
es una variable evidente para estimar la dispersión de una variable X. Además de la teoría de
cálculo de probabilidades se sabe que este estimador es el "mejor" por sus propiedades. Sin
embargo. la desviación estándar tiene 2 (pequeños) inconvenientes. En primer lugar el trabajo
de cálculo para la determinación de esta variable es algo complicado. Con las posibilidades
actuales de aparatos de cálculo, este problema apenas tiene relevancia. pero es necesario
realizarse que las cartas de control no se llevan siempre en condiciones donde se tiene fácil
acceso a estos aparatos. Otro inconveniente es que en general sólo después de una capacitación
continua, se reconoce la desviación estándar como una variable con una relación evidente con
la dispersión. Cada trabajador debe ser capaz de llevar cartas de control; por eso las herramientas
sencillas son preferidas. La desviación estándar “avanzada” no es por lo tanto la primera
elección.
Felizmente hay una variable más sencilla que estima la dispersión de pequeñas muestras
aleatorias casi con la misma eficiencia. Se trata del rango R, que es la diferencia entre la
observación mayor y la observación menor de la muestra. Se sabe que el rango tiene una
variabilidad natural que ciertamente no puede ser descrita por la distribución normal, pero para
deducir las cartas de control adoptamos como aproximación la distribución normal, igual como
Cartas de control
14
en el caso de las cartas de S. El valor estimado y la varianza del rango se expresan teóricamente
en 𝜎 , a través de las siguientes relaciones:
𝐸 (𝑅𝑛 ) = 𝑑𝑛 𝜎
var(𝑅𝑛 ) = 𝑒𝑛 𝜎 2
Los valores de las constantes 𝑑𝑛 y 𝑒𝑛 se encuentran en la tabla V.
Cuando 𝜎 es conocido, se pueden deducir de una manera sencilla los datos para la carta del
rango R, a partir de las ecuaciones anteriores:
Línea central:
𝑑𝑛 𝜎
Límites de acción: 𝑑𝑛 𝜎 ± 3√𝑒𝑛 𝜎 2
= (𝑑𝑛 ± 3√𝑒𝑛 ) 𝜎
El límite de acción superior “+” se indica cómo 𝐷2𝑛 𝜎 y el límite de acción inferior 𝐷1𝑛 𝜎.
Los valores de las constantes 𝐷1𝑛 y 𝐷2𝑛 , se encuentran en la tabla. Por supuesto se
han reemplazado los valores negativos por 0.
𝑛
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝑑𝑛
1.128
1.693
2.059
2.326
2.534
2.704
2.847
2.970
3.078
𝑒𝑛
0.7968
0.7823
0.7738
0.7467
0.7191
0.6939
0.6724
0.6529
0.6352
𝐷1𝑛
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.205
0.387
0.546
0.687
𝐷2𝑛
3.686
4.358
4.698
4.918
5.078
5.203
5.307
5.394
5.469
Tabla V
Cuando los parámetros 𝜇 y 𝜎 son desconocidos, entonces tanto en la carta de control de 𝑋̅ como
en la carta de control de R se deberá trabajar con una estimación de 𝜇 y 𝜎 . La estimación de 𝜇
será otra vez el prornedio 𝑥̅ de la muestra, y la estimación de 𝜎 estará basada en el rango r de
la muestra aleatoria. Empezamos con la carta de control para 𝑋̅.
Línea central:
𝜇 = 𝑥̅
Límites de acción: 𝜇 ± 3
𝜎
√𝑛
Cartas de control
15
= 𝑥̅ ± 3 𝑑
𝑟
𝑛 √𝑛
= 𝑥̅ ± 𝐴2∙𝑛 𝑟
Ahora la carta de control para R.
Línea central:
𝑑𝑛 𝜎 = 𝑟
Límites de acción: (𝑑𝑛 ± 3√𝑒𝑛 )𝜎
𝑟
= (𝑑𝑛 ± 3√𝑒𝑛 ) 𝑑
𝑛
= (1 ± 3
√𝑒𝑛
𝑑𝑛
)𝑟
El límite superior se indica como 𝐷4𝑛 𝑟 y el límite inferior como 𝐷3𝑛 𝑟. Los valores de 𝐴2𝑛 , 𝐷3𝑛
y 𝐷4𝑛 están representados en la tabla VI, donde otra vez se han sustituido los valores negativos
por 0.
𝑛
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝐴2𝑛
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.289
𝐷3𝑛
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.076
0.136
0.184
0.223
𝐷4𝑛
3.267
2.574
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
Tabla VI
Ejemplo 4.
Tomaremos los datos del ejemplo 3.
Primero suponemos que 𝜇 y 𝜎 son conocidos: 𝜇 = 55 y 𝜎 = 5.
La carta de control para 𝑋̅ es la siguiente:
Línea central:
Línea de acción:
55
55±1.5x5
= 55±7.5
(tabla I)
La carta de control para R tiene las siguientes características:
Línea central:
2.059 x 5 = 10.5
Cartas de control
16
(tabla V)
Línea de acción:
límite inferior:
0.0
límite superior:
4.698 x 5 = 23.5
(ídem)
(ídem)
Cuando los valores de 𝜇 y 𝜎 no son conocidos, utilizamos los datos de la primera muestra,
𝑥̅ =56.5 y r=63-51=12.
La carta de control para 𝑋̅ es la siguiente:
Línea central:
Línea de acción:
56.5
56.5±0.729 x 12 = 56.5 ± 8.8
(El valor 0.729 viene de la tabla VI.)
La carta de control para R:
Línea central:
Línea de acción:
12
límite inferior:
0.0
límite superior:
2.282 x 12 = 27.4
Vemos que utilizando estimaciones de 𝑐 en ambas cartas de control, la distancia entre los
límites de acción se ha ampliado. Esto significa que habrá menos traspasos de los límites de
acción.
Gráficas de control para atributos.
Las gráficas de control para 𝑥̅ 𝑦 𝑅 no son aplicadas cuando se están muestreando atributos, los
cuales se clasifican típicamente como defectuosos o no defectuosos. La medición de defectos
implica el contarlos (por ejemplo, la cantidad de focos deficientes en un lote dado, o cantidad
de letras o de registros de captura de datos escritos con errores); donde las variables se miden
generalmente por longitud o peso. Existen dos tipos de gráficas de control más utilizados para
atributos: (1) aquellas que miden el porcentaje de defectuosos en una muestra – llamadas
gráficas –p, y (2) aquellas que cuentan el número de defectuosos – llamadas gráficas –c.
Gráficas – p. El uso de las gráficas-p es la principal manera de controlar los atributos. Aunque
los atributos, ya sean, buenos o malos siguen la distribución binomial, se puede utilizar la
distribución normal para calcular los límites de la gráfica –p cuando los tamaños de las muestras
son demasiado grandes. El procedimiento se asemeja al sistema de la gráfica - 𝑥̅ , que se basa en
el teorema del límite central.
Las fórmulas para los límites superior e inferior de control para la gráfica –p se encuentran a
continuación:
𝑈𝐶𝐿𝑝 = 𝑝̅ + 𝑧𝑠𝑝
Cartas de control
17
𝐿𝐶𝐿𝑝 = 𝑝̅ − 𝑧𝑠𝑝
Donde:
𝑝̅ = Media de la fracción defectuosa en la muestra.
𝑧 = Cantidad de desviación estándar (z = 2 para límites de 95.5%; z = 3 para límites de 99.7%)
𝜎𝑝 = Desviación estándar de la distribución de las muestras.
𝜎𝑝 se estima por medio de cada muestra de la fórmula:
𝑝̅ (1 − 𝑝̅ )
𝑠𝑝 = √
𝑛
Cuando n = tamaño de cada muestra.
Ejemplo:
El tribunal Supremo Electoral, utiliza un Sistema de Información automatizado para actualizar
los datos de los ciudadanos bolivianos e introducen miles de solicitudes de registros de
confirmación de datos, inscripción de nuevos y defunciones diariamente. Las muestras del
trabajo de los 20 empleados se muestran a continuación. Cien registros capturados por cada
empleado fueron examinados cuidadosamente para asegurarse que no tenían errores;
posteriormente, se calculó la fracción defectuosa en cada muestra.
Establecer límites de control que incluyan el 99.7% de la variación aleatoria en el proceso de
captura cuando se encuentra bajo control.
Número Cantidad de
de la
errores
muestra
Fracción
defectuosa
Número
de la
muestra
Cantidad de
errores
Cartas de control
18
Fracción
defectuosa
1
6
0.06
11
6
0.06
2
5
0.05
12
1
0.01
3
0
0.00
13
8
0.08
4
1
0.01
14
7
0.07
5
4
0.04
15
5
0.05
6
2
0.02
16
4
0.04
7
5
0.05
17
11
0.11
8
3
0.03
18
3
0.03
9
3
0.03
19
0
0.00
10
2
0.02
20
4
0.04
Σ = 80
𝑝̅ =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠
80
=
= 0.04
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (100)(20)
𝜎𝑝 = √
(0.04)(1 − 0.04)
= 0.02
(100)
(Nota: 100 es el tamaño de cada muestra = n)
𝑆𝐶𝐿𝑝 = 𝑝̅ + 𝑧𝑠𝑝 = 0.04 + 3(0.02) = 0.10
𝐼𝐶𝐿𝑝 = 𝑝̅ − 𝑧𝑠𝑝 = 0.04 − 3(0.02) = 0
(Dado que no es posible tener un porcentaje defectuoso negativo)
Cuando se grafican los límites de control y la fracción defectuosa de la muestra, se encuentra
que únicamente el trabajo de un empleado de captura (número 17).
La empresa puede examinar el trabajo de dicho individuo de una forma más cercana para ver si
existe un problema serio (véase figura 6).
Cartas de control
19
Fracción defectuosa
𝑈𝐶𝐿𝑝 = 0.10
𝑝̅ = 0.04
𝐿𝐶𝐿𝑝 = 0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de muestra
Figura 6. Gráfica – p para la información capturada del ejemplo.
Gráfica – c. En el ejemplo anterior, contamos el número de registros defectuosos capturados,
de la base de datos. Un registro defectuoso era aquel que no era exactamente correcto. Sin
embargo, un mal registro puede contener más de una falla. Se utilizan las gráficas – c para
controlar la cantidad de defectuosos por unidad de salida (o por registro de seguridad en el caso
anterior).
Las gráficas de control para defectos son valiosas en el monitoreo de procesos donde pueden
ocurrir un gran número de errores potenciales, pero el número real de estos sucesos es
relativamente pequeño. Los defectos pueden ser palabras mal escritas en un periódico, circuitos
defectuosos en un microchip, tachaduras en una tabla o falta de pepinillos en una hamburguesa
de comida rápida.
La distribución de probabilidad de Poisson, la cual tiene una varianza igual a su media, es la
base de las gráficas – c. Ya que 𝑐̅ es el número medio de defectos por unidad, la desviación
estándar es igual a √𝑐̅. Para calcular los límites de control de 𝑐̅ del 99.7% se utiliza la fórmula:
𝑐̅ ± 3√𝑐̅
Ejemplo: La cooperativa Urkupiña de transporte recibe varias quejas diariamente acerca del
comportamiento de sus choferes. En un periodo de nueve días (donde los días son unidades de
medición), el dueño recibió las siguientes cantidades de llamadas de pasajeros molestos con el
servicio: 3, 0, 8, 9, 6, 7, 4, 9, 8, para un total de 54 quejas.
Para calcular los límites de control de 99.7%, se toman:
𝑐̅ =
54
= 6 𝑟𝑒𝑐𝑙𝑎𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
9
Entonces:
Cartas de control
20
𝑈𝐶𝐿𝑐 = 𝑐̅ + 3√𝑐̅ = 6 + 3√6 = 6 + 3(2.45) = 13.35
𝐿𝐶𝐿𝑐 = 𝑐̅ − 3√𝑐̅ = 6 − 3√6 = 6 − 3(2.45) = 0
Luego, con el resumen de estos datos, el directorio dibujo una gráfica de control, que después
situó en un lugar destacado del vestidor de los choferes, el número de llamadas recibidas se
redujo a un promedio de tres diarias. ¿Puede explicar por qué sucedió esto? (véase figura 7).
Figura 7.
Problemas.
C5
Examine en base a las demás muestras aleatorias si el proceso está todavía bajo el control
original, tanto para 𝜇 como para 𝜎.
Problemas diversos con relación a las cartas de control.
C6 El siguiente juego de datos representa 30 muestras aleatorias, cada una dc 3 observaciones.
Las primeras 3 muestras están en la primera fila. Elabore cartas de control para 𝑋̅ y R.
Indique claramente en qué momentos posiblemente tenemos una pérdida de control del
proceso. Utilice las 3 reglas de decisión mencionadas.
Cartas de control
21
22.83
25.55
18.69
25.57
25.24
26.90
23.59
26.94
24.91
25.17
25.39
23.80
25.51
22.96
23.10
23.71
23.11
25.84
25.70
26.39
23.41
24.99
22.86
22.40
23.57
28.82
23.50
20.02
25.73
23.54
27.23
26.22
25.83
28.77
20.38
19.82
21.12
23.76
25.04
26.78
25.52
22.10
24.54
23.72
23.86
23.29
21.05
21.61
27.76
23.32
23.19
24.32
25.62
28.55
26.35
23.53
26.95
21.83
25.26
26.88
22.22
23.09
20.01
25.52
25.48
23.64
23.48
24.60
22.70
28.51
23.15
24.13
22.77
22.61
21.58
24.27
25.84
25.10
25.31
25.02
22.75
26.37
23.14
25.23
22.76
24.02
21.42
22.06
22.76
24.16
Repite este problema sabiendo que 𝜇 = 24.0 y 𝜎 = 1.7. Compare los resultados de
ambos procedimientos.
Elabore con el mismo juego de datos cartas de control para 𝑋̅ y S. Suponga en este caso
quc las muestras aleatorias consisten de 9 observaciones: la primera fila contiene las 9
observaciones de la primera muestra.
C7
El porcentaje de humedad en un producto de harina es un factor determinante de la
calidad. Para control se hacen mediciones con una precisión de 0.l%. Se plantea que el
máximo grado de humedad es de 4.0 %. Más abajo se encuentran los resultados
resumidos de 20 muestras aleatorias. Para ser completo indicamos los resultados de la
primera muestra: 4.0, 4.2, 3.6, 3.8 y 3.ó.
muestra
𝑥̅
r
muestra
𝑥̅
r
1
3.84
0.6
11
3.70
0.9
2
3.54
0.4
12
3.64
0.7
3
3.96
1.1
13
3.564
0.6
4
3.58
0.3
14
3.52
0.6
5
3.50
0.9
15
3.58
1.1
6
3.34
0.6
16
4.04
0.6
7
3.76
0.5
17
3.42
0.9
8
3.74
0.9
18
3.86
1.3
9
3.56
0.5
19
3.94
0.5
10
3.58
1.0
20
4.04
1.4
a. Elabore cartas de control para 𝑋̅ y R.
b. ¿Se mantiene el proceso debajo del límite autorizado?
C8
Un proceso se control mediante muestras aleatorias. Por muestra se realizan 8
observaciones. Las observaciones de la primera muestra son: 13.2, 14.6, 13.8, 13.5, 13.8,
12.3, 13.9 y 14.2. Los resultados resumidos de las muestras están representados en la
siguiente tabla.
Elabore cartas de control para 𝑋̅ y S.
Muestra
𝑥̅
1
13.675
2
13.350
3
13.213
Cartas de control
22
4
14.250
5
13.738
6
13.410
𝑠2
Muestra
𝑥̅
𝑠2
Muestra
𝑥̅
𝑠2
0.735
7
13.613
0.234
13
13.500
0.579
0.621
8
13.875
0.589
14
13.754
0.215
0.621
9
13.600
2.314
15
13.287
1.589
0.289
10
14.025
0.378
16
13.921
0.754
0.823
11
12.855
1.211
17
14.000
0.729
1.342
12
13.754
0.932
18
13.265
1.875
Problema para Atributos:
C9. Una empresa que fabrica palos de golf controla su proceso de producción tomando
periódicamente una muestra de 100 palos de la línea de producción. Se inspecciona cada uno en
busca de características defectuosas. Se desarrollan límites de control con tres desviaciones
estándar a partir de la media como límite. Durante las últimas 16 muestras se registra la
proporción de aspectos por muestra de la siguiente manera:
.01
.02
.01
.03
.02
.01
.00
.02
.00
.01
.03
.02
.03
.02
.01
.00
a. Determine la proporción media defectuosa, el LSC y el LIC.
b. Dibuje una gráfica de control y ubique cada una de las mediciones en ella.
c. ¿Parece que el proceso para fabricar palos de golf está bajo control?
C10. Supóngase que se toman muestras de 200 registros de una operación de ingreso de
datos a intervalos de dos horas para controlar el proceso de ingreso de datos. Se encontró que
el porcentaje de registros equivocados durante las últimas 11 muestras fue de .5, 1.0, 1.5, 2.0,
1.5, 1.0, 1.5, .5, 1.0, 1.5 y 2.0 por ciento. Graficar la Carta de Control después de calcular los
diferentes límites.
Cartas de control
23
C11. -En la siguiente tabla tenemos el número de defectos por unidad observados en 26
muestras sucesivas de 100 filtros de seguridad. Construir el grafico c y dar su interpretación.
FILTRO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
DEFECTOS Ci
21
24
16
12
15
5
28
20
31
25
20
24
16
19
10
17
13
22
19
39
30
24
16
19
17
15
Cartas de control
24
Cartas de control
25
Confianza
1
𝑍𝑜 = 𝑡
𝑍𝑜 = 𝑡
50%
0,50
0,6745
92%
0,92
1,7511
NIVEL
68,27% 80%
0,6827 0,80
1,0
1,2617
93%
0,93
1,8125
DE CONFIANZA 𝛾 = 1 − 𝛼
84%
85%
88%
90%
0,84
0,85
0,88
0,90
1,4053
1,4393 1,555
1,645
NIVEL DE CONFIANZA 𝛾 = 1 − 𝛼
94%
95%
95,45% 96%
97%
0,94
0,95
0,9545 0,96
0,97
1,88
1,96
2,0
2,054
2,17
Formula de interpolación:
𝑦𝑥 = 𝑦0 +
(𝑥 − 𝑥0 )
∗ (𝑦1 − 𝑦0 )
(𝑥1 − 𝑥0 )
90,70%
0,9070
1,68
98%
0,98
2,3267
91%
0,91
1,6956
99%
0,99
2,575
99,73%
0,9973
3,0