NOTA: SOLUCIÓN: a) 𝑋: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠 𝛺 = {𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐶𝑆, 𝐶𝐶𝑆𝐶, 𝐶𝐶𝑆𝑆, 𝐶𝑆𝐶𝐶, 𝐶𝑆𝐶𝑆, 𝐶𝑆𝑆𝐶, 𝐶𝑆𝑆𝑆, 𝑆𝐶𝐶𝐶, 𝑆𝐶𝐶𝑆, 𝑆𝐶𝑆𝐶, 𝑆𝐶𝑆𝑆, 𝑆𝑆𝐶𝐶, 𝑆𝑆𝐶𝑆, 𝑆𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆𝑆} 𝑅𝑋 = {0,1,2,3,4} Función de probabilidad ( Variable aleatoria es discreta) 𝑋=𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0 1 2 3 4 1 4 6 4 1 16 16 16 16 16 Gráfica de bastones b) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 2) = 𝑓(1) + 𝑓(2) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 4 16 + 6 16 = 10 16 = 0.625 a) Si 𝑥 < 0 entonces 𝐹(𝑥) = 0 Si 0 ≤ 𝑥 < 1 entonces 𝐹(0) = 𝑓(0) = 1 16 1 4 + 16 16 = 5 16 Si 2 ≤ 𝑥 < 3 entonces 𝐹(2) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) = 1 16 + Si 1 ≤ 𝑥 < 2 entonces 𝐹(1) = 𝑓(0) + 𝑓(1) = 4 16 Si 3 ≤ 𝑥 < 4 entonces 𝐹(3) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) = Si 𝑥 ≥ 4 entonces 𝐹(4) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) + 6 16 = 11 16 1 4 6 4 15 + + + = 16 16 16 16 16 1 4 6 4 1 = + + + + 16 16 16 16 16 =1 0 , 𝑥<0 1 , 16 5 , 𝐹(𝑥) = 16 11 , 16 15 , 16 { 1 0≤𝑥<1 1≤𝑥<2 2≤𝑥<3 3≤𝑥<4 , 𝑥≥4 b) 𝑃(0 < 𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 ≤ 2) − 𝑃(𝑥 ≤ 0) = 𝐹(2) − 𝐹(0) = 11 1 − 16 16 = 10 16 = 0.625 EJEMPLO: Se venden 500 boletos de una rifa que consiste de un premio de $200. 4 premios de $50, y 10 premios de $5 Si cada boleto cuesta 1$, y si Ud. adquiere un boleto, hallar la función de probabilidad de la utilidad. a) qué probabilidad hay de ganar algún premio? b) qué probabilidad hay de ganar dos premios? Solución 𝑋: 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 Función de probabilidad -1 4 49 199 𝑥𝑖 4 1 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 485 10 500 500 500 500 a) qué probabilidad hay de ganar algún premio? 15 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜) = = 0.03 500 b) qué probabilidad hay de ganar dos premios? 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 $200 𝑦 $50) + 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 $200 𝑦 $5) + 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 $50 𝑦 $5) 1 4 1 10 4 10 54 = + + = = 0.000216 500 500 500 500 500 500 250000 ∞ a) ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 1 2 ∫ 𝑐𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 0 2 𝑐𝑥 3 [ ] =1 3 0 8𝑐 −0=1 3 ⇒ 𝑐= 3 8 3 2 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,2] 𝑓(𝑥) = {8 0 , 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [0,2] 3 𝑥3 13 b) 𝑃(0 < 𝑥 ≤ 1) = ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = [ 8 1 𝑥3 1 1 ] = [ ] = − 0 = 0.125 8 3 0 8 0 8 Propiedades: Sea X una variable aleatoria, la distribución de probabilidades f, satisface las siguientes propiedades: 1. Si 𝑋 es discreta, entonces, para cualquier 𝑥 ∈ 𝑅𝑋 : 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥). 2. Si 𝑋 es continua, entonces, para cualquier valor 𝑥 se tiene que 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0. 3. Para cualquier 𝑥 ∈ 𝑅𝑋 se cumple que 𝑓(𝑥) ≥ 0. 4. Si 𝑋 es discreta, se tiene que ∑𝑥∈𝑅𝑋 𝑓(𝑥) = 1 5. Si 𝑋 es continua, se tiene que ∫𝑅 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝑋 6. Si 𝑋 es continua, se cumple que 𝑓 es el modelo probabilístico de 𝑋 si y sólo si para cualesquiera 𝑎 < 𝑏: 𝑏 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑎 7. Si 𝑋 es continua, para cualesquiera 𝑎 < 𝑏, se tiene que: 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) SOLUCIÓN 3 4 a) (1, 𝐶) 𝑦 (3, ) 𝐿: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0 3 𝐶− 4 (𝑥 − 3) + 3 𝑓(𝑥) = 1−3 4 −4𝐶𝑥 + 12𝐶 + 3𝑥 − 3 𝑓(𝑥) = 8 Para hallar C usamos el área de un triángulo más un rectángulo 3 2 ( − 𝐶) 1 4 + 2𝐶 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶 = 2 4 b) Si 𝑥 < 1 entonces 𝐹(𝑥) = 0 𝑥𝑡 4 𝑡2 𝑥 ] 8 1 1 Si 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 entonces 𝐹(𝑥) = ∫1 𝑑𝑡 = Si 𝑥 > 3 entonces 𝐹(𝑥) = 𝐹(3) = 32 8 = 𝑥2 8 − 1 8 − =1 8 0 , 𝑥<1 𝑥2 1 𝐹(𝑥) = { − , 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 8 8 1 , 𝑥>3 c) 5 𝑃( 4 <𝑥≤ 5 ) 2 = 5 𝐹( ) 2 5 −𝐹( ) 4 5 2 = (2) 8 1 − − 8 5 2 ( (4) 8 1 8 − ) = 0.5859