Ley de Hooke TRABAJO PRÁCTICO N°1 ALMEIDA, MARÍA ESPERANZA AÑO 2020 FACULTAD DE INGENIERÍA | UNMDP 1 Resumen A partir de la aplicación experimental de la Ley de Hooke se determinará la constante de elasticidad de un resorte de material plástico, haciendo uso de un método gráfico. Los resultados obtenidos son consistentes y el error relativo porcentual de los resultados, aceptable en casi todos los casos. Será posible disminuir, para futuros experimentos, la incertidumbre en las mediciones aplicando ciertas recomendaciones que se detallan al final del trabajo. Introducción La Ley de Hooke establece una relación entre el desplazamiento del equilibrio que sufre un resorte y la fuerza que se aplica para que esto ocurra. Esta Ley establece que la fuerza aplicada (F) es proporcional a la deformación elástica (Δx) por una constante (k), mejor conocida como “constante de elasticidad”: 𝐹 = 𝑘 ∗ ∆𝑥 = 𝑘 ∗ 𝑥𝐹 − 𝑘 ∗ 𝑥0 En la Figura 1, se presenta una imagen que ilustra la expresión anterior. Figura 1 - Representación del resorte con su respectiva notación. Puntualmente, cuando el resorte se coloca en posición vertical y se estira debido a que se cuelga un objeto por su extremo inferior, la fuerza aplicada es equivalente al peso de este cuerpo y queda definida por la siguiente expresión, siendo “m” la masa del objeto y “g” la aceleración de la gravedad: 𝐹 =𝑃 =𝑚∗𝑔 Colocando diferentes pesos en el extremo del resorte y realizando luego las mediciones pertinentes, se puede confeccionar un gráfico de F en función de xF, a partir del cual se obtienen k y x 0. 1 Los objetivos de este trabajo práctico serán: Determinar la constante de elasticidad de un resorte dado. Hallar el valor de x0 a partir del gráfico mencionado con anterioridad y compararlo con la medida directa efectuada en primera instancia. Establecer un criterio adecuado para determinar la incertidumbre asociada a cada medición. Procedimiento Se colocará un resorte en posición vertical y en su extremo inferior se ubicará un soporte (cuya masa no es despreciable y deberá ser considerada) sobre el cual podrán depositarse diferentes pesos, tal como se muestra en la Figura 2. Previo a la colocación del soporte, se mide la longitud inicial del resorte (x0), haciendo uso de una cinta métrica. Posteriormente se registran las masas de todos los objetos (soporte y masas) que se utilizarán en la experiencia, empleando una balanza digital. Esto se realizará de dos modos para la posterior comparación: pesando el soporte y las masas, agregándolas una a una, pesando cada objeto por separado. Finalmente, se colocarán una a una las masas sobre el soporte, registrando en cada caso la distancia entre el extremo superior del resorte y el extremo inferior, con cinta métrica. Figura 2 - Esquema del arreglo experimental 2 Análisis de datos Al medir la longitud inicial (x0) del resorte se observa que este no mantiene una posición vertical, como se muestra en la Figura 3. Esto será relevante a la hora de determinar la incertidumbre de la medición. El instrumento utilizado para determinar x0 (cinta métrica) tiene una resolución de 0,1 cm, sin embargo, se asume de manera arbitraria que la incertidumbre en la medición es mayor a dicha resolución e igual a 1 cm debido al efecto antes mencionado, sumado al error de paralaje que implica leer una medida a través de una foto y, finalmente, el hecho de que la cinta métrica no estaba en posición perfectamente vertical. Los datos obtenidos se presentan en la Tabla 1. Tabla 1 - Posición inicial del resorte y su error absoluto. x0 [m] 0,18 Δx0 [m] 0,01 Por otro lado, se cuenta con cinco objetos para colocar sobre el soporte que penderá del resorte, siendo las masas de los objetos 2 a 5 iguales entre sí y diferentes a la masa del objeto 1 y el soporte. Además, se define: Figura 3 - Resorte en su posición inicial. Carga A: soporte + objeto 1. Carga B: soporte + objetos 1 y 2. Carga C: soporte + objetos 1 a 3. Carga D: soporte + objetos 1 a 4. Carga E: soporte + objetos 1 a 5. A la hora de determinar la masa de cada carga se han planteado dos posibles formas mencionadas a continuación, teniendo en cuenta que la resolución del instrumento de medida utilizado (balanza digital) es de 0,1 g: Tomar la masa de cada objeto por separado y luego calcular cada carga. De las mediciones realizadas se obtienen los resultados que se presentan en la Tabla 2. Tabla 2 - Masa de cada objeto con su respectivo error absoluto. Objeto m [g] Δm [g] Soporte (mS) 11,4 0,1 3 1 (m1) 24,7 0,1 2 (m2) 25,4 0,1 Como se mencionó anteriormente, las masas de los objetos 2 a 5 son iguales entre sí, motivo por el cual no se han incluido en la Tabla 2. Se calcula, a partir de estos valores, la masa de cada carga con su respectivo error, presentando los resultados en la Tabla 3. 𝐶𝐴 = 𝑚𝑆 + 𝑚1 ∆𝐶𝐴 = ∆𝑚𝑆 + ∆𝑚1 𝐶𝐵 = 𝑚𝑆 + 𝑚1 + 𝑚2 ∆𝐶𝐵 = ∆𝑚𝑆 + ∆𝑚1 + ∆𝑚2 𝐶𝐶 = 𝑚𝑆 + 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 ∆𝐶𝐶 = ∆𝑚𝑆 + ∆𝑚1 + ∆𝑚2 + ∆𝑚3 𝐶𝐷 = 𝑚𝑆 + 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 ∆𝐶𝐷 = ∆𝑚𝑆 + ∆𝑚1 + ∆𝑚2 + ∆𝑚3 + ∆𝑚4 𝐶𝐸 = 𝑚𝑆 + 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 + 𝑚5 ∆𝐶𝐸 = ∆𝑚𝑆 + ∆𝑚1 + ∆𝑚2 + ∆𝑚3 + ∆𝑚4 + ∆𝑚5 Tabla 3 - Masa de cada carga con su respectivo error absoluto. Carga m [g] Δm [g] A 36,1 0,2 B 61,5 0,3 C 86,9 0,4 D 112,3 0,5 E 137,7 0,6 Tomar la masa de los objetos en conjunto. En este caso se obtienen los resultados listados en la Tabla 4. Tabla 4 - Masa de cada carga con su respectivo error absoluto. Carga m [g] Δm [g] A 36,1 0,1 B 61,5 0,1 C 87,0 0,1 D 112,4 0,1 E 137,7 0,1 4 Ahora bien, analizando los valores presentados en las Tablas 3 y 4, se observa que las masas de cada carga son muy similares pero el error absoluto de cada medición es menor en el caso en que se pesan los objetos en conjunto. Es por esto que, para realizar los cálculos posteriores, se utilizarán los datos de la Tabla 4. Con respecto a la medición de la posición final del resorte al colocar cada carga (xF) el instrumento de medición utilizado (cinta métrica) presenta una incertidumbre de 0,1 cm. Si bien en este caso el resorte sí se encuentra en posición vertical debido a la colocación de las cargas (no como ocurría con la medición de x0) de cualquier modo habrá que considerar el error de paralaje. Se propone que la medición tendrá una incertidumbre de 0,5 cm. Los resultados para cada carga se presentan en la Tabla 5. Tabla 5 – Longitud del resorte para cada carga con su error absoluto. Carga xF [m] ΔxF [m] Soporte 0,207 0,005 A 0,258 0,005 B 0,310 0,005 C 0,361 0,005 D 0,413 0,005 E 0,464 0,005 Finalmente, para el cálculo de la fuerza ejercida sobre el resorte se sabe que: 1𝑘𝑔 1𝑘𝑔 𝐹 = 𝑔 ∗ 𝑚 ∗ 1000𝑔 [=] 𝑁 ∆𝐹 = 𝑔 ∗ ∆𝑚 ∗ 1000𝑔 [=] 𝑁 Siendo g = 9,81 m/s2 la aceleración de la gravedad, constante, se obtiene para cada carga el valor de F presentado a continuación en la Tabla 6. Tabla 6 – Fuerza ejercida sobre el resorte para cada carga con su error absoluto. Carga m [g] Δm [g] F [N] ΔF [N] Soporte 11,4 0,1 0,112 0,001 A 36,1 0,1 0,354 0,001 B 61,5 0,1 0,603 0,001 C 87,0 0,1 0,853 0,001 D 112,4 0,1 1,103 0,001 E 137,7 0,1 1,351 0,001 5 La Ley de Hooke relaciona F con la posición del resorte x F por medio de la siguiente expresión: 𝐹(𝑥𝐹 ) = 𝑘 ∗ 𝑥𝐹 − 𝑘 ∗ 𝑥0 Donde “k” es la pendiente y “- k.x0” es la ordenada al origen. Por lo tanto, con los datos disponibles de F y xF para cada carga se puede construir un gráfico que relacione estas variables. Sobre papel milimetrado se ubican en abscisas los valores de xF con sus respectivas barras de error y en ordenadas los valores de F también con sus barras de error. De este modo se trazan las rectas de máxima y mínima pendiente que pasen por todos los puntos considerados y, a partir de ellas, se calcula el mejor valor para la pendiente y ordenada, ambas con su error absoluto. Al efectuar el gráfico pertinente (se encuentra al final del presente trabajo) la incertidumbre en el valor de F es tan pequeña con respecto a la escala utilizada, que se consideró despreciable. La recta 1 pasa por los puntos: (0,213; 0,112) y (0,460; 1,351). La recta 2 pasa por los puntos: (0,203; 0,112) y (0,470; 1,351). 𝑚1 = 1,351 − 0,112 = 5,01619 𝑁/𝑚 0,460 − 0,213 𝑚2 = 1,351 − 0,112 = 4,64044 𝑁/𝑚 0,470 − 0,203 Con cada pendiente se determina una ordenada, reemplazando en la ecuación de una recta especializada en alguno de los puntos por los cuales se sabe que la misma pasa: 𝑦 =𝑚∗𝑥+𝑏 𝑏1 = 1,351 𝑁 − 5,01619 𝑁 ∗ 0,460 𝑚 = −0,95644 𝑁 𝑚 𝑏2 = 1,351 𝑁 − 4,64044 𝑁 ∗ 0,470 𝑚 = −0,83000 𝑁 𝑚 A continuación, se calcula la mejor pendiente y ordenada con sus respectivos errores que ajusten a los puntos obtenidos experimentalmente: Pendiente (m): 𝑚= 𝑚1 + 𝑚2 = 4,82832 𝑁/𝑚 2 𝑚1 − 𝑚2 ∆𝑚 = | | = 0,1878 𝑁/𝑚 2 6 𝑚 = (4,83 ± 0,19) 𝑁/𝑚 Ordenada (b): 𝑏= 𝑏1 + 𝑏2 = −0,89322 𝑁 2 𝑏1 − 𝑏2 ∆𝑏 = | | = 0,06322 𝑁 2 𝑏 = (−0,89 ± 0,06) 𝑁 Con los valores de ordenada y pendiente es posible determinar la constante elástica del resorte (k) y la longitud inicial del mismo (x0) de la siguiente manera: 𝑘 = 𝑚 = (4,83 ± 0,19) 𝑁/𝑚 𝑥0 = − 𝑏 = 0,18426 𝑚 𝑘 ∆𝑥0 ∆𝑏 ∆𝑘 0,06 0,19 =| |+ =| |+ = 0,10675 → ∆𝑥0 = 0,01967 𝑚 𝑥0 𝑏 𝑘 −0,89 4,83 𝑥0 = (0,18 ± 0,02) 𝑚 Discusión En la Tabla 7 se presentan un resumen de los resultados obtenidos que son de interés para efectuar el análisis posterior. Tabla 7 - Resumen de resultados obtenidos. x0 (medido) (0,18 ± 0,01) m eP = 5,6 % m (4,83 ± 0,19) N/m eP = 3,9 % b (-0,89 ± 0,06) N eP = 6,7 % k (4,83 ± 0,19) N/m eP = 3,9 % x0 (calculado) (0,18 ± 0,02) m eP = 11 % Al comparar el valor de x0 medido con el valor calculado a partir de la ordenada de la recta hallada se observa que los mismos son muy similares e incluso, teniendo en cuenta el 7 error que puede estar presente en la medición, los intervalos se solapan, con lo cual se puede confiar en los resultados de la experiencia. Por otro lado, el error relativo porcentual en la determinación de “k” ronda el 4% con lo cual, si bien podría mejorarse la exactitud de este valor, el mismo es aceptable para la clase de experimento que se ha realizado. En cuanto a los errores asignados de forma arbitraria a las mediciones iniciales se intentó trabajar de la manera más conservadora posible sin caer en errores relativos porcentuales mayores al 10%, dado que al efectuar la propagación de los mismos se hubiesen obtenido resultados con gran incertidumbre. El único caso que escapa a lo antedicho es x0, aunque no de forma significativa. Conclusión De la comparación de x0 medido y calculado se obtienen resultados muy similares, excepto por su error absoluto. El mayor error absoluto obtenido para x0 calculado puede deberse a la propagación sucesiva de errores en cada paso de este cálculo. Sin embargo, como el mejor valor de x0 es el mismo en ambos casos se concluye que los resultados del trabajo son consistentes. Trabajando con un resorte que no estuviese inicialmente curvado, utilizando una balanza con un orden más de precisión, midiendo cada longitud en el laboratorio para disminuir el error de paralaje, utilizando un papel milimetrado de dimensiones superiores de forma tal que se pudiera ubicar cada punto con mayor exactitud dentro del gráfico serían algunas formas de mejorar los resultados obtenidos. Una opción que sustituye la de utilizar una balanza de mayor precisión es la de colgar del resorte cuerpos más pesados, disminuyendo así el error relativo tanto de la medición de la masa del objeto como la de la distancia que el resorte se estira. Sin embargo, se deberá tener presente que no se puede exceder el límite elástico del resorte, verificando que luego de colgar el objeto, vuelva a su posición inicial. 8 Método gráfico para la determinación de k y x0 1,40 Recta 1 1,26 1,12 0,98 F [N] 0,84 0,70 0,56 0,42 0,35 0,28 Recta 2 0,21 0,14 0,07 0,05 0,1 0,05 0,15 0,05 0,2 0,05 0,25 xF [m] 0,05 0,3 0,05 0,35 0,05 0,4 0,05 0,5 0,45 0,05 0,05 9 00 00 0
