sucesiones y series

Capı́tulo 2
Sucesiones y Series
2.1.
2.1.1.
Progresiones aritméticas y geométricas
Sucesiones
Definicion 1 Se llama sucesión a cualquier secuencia infinita y ordenada de números
({aj }j∈N = a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) tal que cualquier elemento de esta secuencia este únicamente determinado.1
Ejemplo 2.1.1 (de sucesiones)
2, 6, 12, 20, 30, . . . , an = n(n + 1)
1,2, 2,3, 3,4, 4,5, 5,5, . . . , an = 0,1 + 1,1n
1
1 1 1 1 1
, , , , , . . . , an =
2
2 5 10 17 26
n +1
150, 200, 250, 300, . . . , an = 150 + (n − 1)50
1, 2, 8, 16, 32, . . . , an = 2n−1
1, 4, 1, 5, 9, . . . , an = nesimo decimal de π
2.1.2.
Progresiones aritméticas
Una sucesión de números reales, es una progresión aritmética (P.A) si la diferencia entre cada término y el anterior es constante. La constante en una P.A se llama
diferencia común y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede completamente definida, además de especificar su diferencia común d, debemos especificar
el primer término de la progresión que usualmente se denota a1 .
Ejemplo 2.1.2 (de P.A.’s)
0, 1, 2, 3, 4, . . .
a1 = 0, d = 1
7, 14, 21, 28, 35, . . .
a1 = 7, d = 7
10, 1, −8, −17, −26, . . .
1
a1 = 10, d = −9
Más técnicamente, una sucesión de números reales es cualquier función f : N 7→ R
44
Sucesiones y Series
Observación 1 Si a1 es el primer término de una progresión aritmética cuya diferencia
común es d ,entonces :
an = a1 + (n − 1)d
Suma de los primeros n términos de una P.A.
Un problema muy frecuente, es saber calcular la suma de los primeros n términos de
una progresión aritmética. Existe un método, bastante sencillo e ingenioso para calcular
dicha suma y se ilustra a continuación.
Consideremos una P.A. definida por a1 = 1, d = 1. Llamemos Sn a la suma de los
primeros n términos de esta P.A. Nuestra tarea será calcular Sn .
Sn =
1
+
2
+
3
+ ··· +
n
Sn =
n
+ (n - 1) + (n - 2) + · · · +
1
2Sn = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) = n (n + 1)
⇒
Sn = n2 (n + 1)
(2.1)
Ejemplo 2.1.3 Calcular la suma de los primeros 100 números naturales.
S100 = 1 + 2 + . . . + 100 =
100 · 101
100(100 + 1)
=
= 5050
2
2
Ejercicio 2.1.1 Sea {aj }j∈N una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y
cuya diferencia común es d. Demostrar que la suma de los primeros n términos es :
a1 + a2 + · · · + an =
2.1.3.
n
[2a + (n − 1)d]
2
Progresiones geométricas
Una sucesión de números reales es una progresión geométrica (P.G) si el cuociente de cada término con el anterior es constante. Esta constante se llama razón
común y la denotaremos con la letra r. Además, para que una P.G quede completamente definida, debemos especificar el primer término de la progresión que denotaremos
a1 .
Ejemplo 2.1.4 (de P.G.)
1, 2, 4, 8, . . .
−3, 3, −3, 3 . . .
2
3
x, mx, m x, m x, . . . ,
a1 = 1, r = 2
a1 = −3, r = −1
a1 = x, r = m
Observación 2 Si a1 es el primer término de una progresión geométrica cuya razón
común es r, entonces :
an = a1 rn−1
2.1 Progresiones aritméticas y geométricas
45
Suma de los primeros n términos de una P.G.
Consideremos una P.G cuya razón común es r y cuyo primer término es a1 . Llamemos
Sn a la suma de los primeros n términos de esta progresión. Nuestra tarea será calcular
Sn .
Sn
= a1 + a1 r + a1 r2 + · · · + a1 rn−1
rSn
=
a1 r + a1 r2 + · · · + a1 rn−1 + a1 rn
Sn − rSn = a1 - a1 rn
Sn (1 − r) = a1 - a1 rn
⇒
n
Sn = a1 1−r
1−r
(2.2)
Series geométricas
Sea Sn la suma de los primeros n términos de una P.G. De acuerdo a 2.2 ,sabemos
que :
1 − rn
a1
a1 n
Sn = a1
=
−
r
(2.3)
1−r
1−r 1−r
Definicion 2 Llamaremos serie geométrica a la suma de los infinitos términos de una
progresión geométrica y la denotaremos S∞ .
A primera vista, puede que para alguien la suma de infinitos términos deba ser infinita.
En realidad, esto no es necesariamente cierto. De hecho, los griegos se sorprendieron
mucho con este hecho. Pero, ¿como se comporta la expresión Sn si hacemos crecer n
hacia el infinito, es decir, si la convertimos en su serie geométrica S∞ ? Para responder
a la pregunta enunciemos lo siguiente :
Principio 1 Sea c una constante, entonces


 |r| < 1
⇒ crn → 0 a medida que n → ∞
Si |r| = 1 ⇒ |crn | = c ∀n


|r| > 1 ⇒ |crn | → ∞ a medida que n → ∞
Ahora, claramente el primer término de 2.3 permanecerá constante(no depende de n)
mientras que el segundo término de 2.3 variará dependiendo del valor de n. De acuerdo
al principio 1, la única manera de que el valor de S∞ esté bien definido y sea finito (o
converja) es que |r| < 1. En caso contrario, S∞ crece al infinito (o diverge) incluido el
caso en que r = 1 (¿por que?).
Corolario : Sea Sn una progresión geométrica cuya razón común es |r| < 1. Entonces,
su serie geométrica converge(es finita y bien definida) y es:
S∞ =
a1
1−r
(2.4)
Ejemplo 2.1.5 (series geométricas) Expresarar, en forma racional, las siguientes
series geométricas :
46
Sucesiones y Series
1.
0, 3 = 0, 3333 . . . = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + · · · = S∞
Esta es una serie geométrica definida por a1 = 3/10 y r = 1/10. Entonces, según
la ecuación 2.4,
3/10
3/10
3
1
=
= =
S∞ =
1 − 1/10
9/10
9
3
2.
3.
1 1 1
1
+ + +
+ · · · = S∞
2 4 8 16
Esta es una serie geométrica definida por a1 = 1/2 y r = 1/2. Entonces, según la
ecuación 2.4,
1/2
1/2
S∞ =
=
=1
1 − 1/2
1/2
1 1 1
1
− + −
+ · · · = S∞
2 4 8 16
Esta es una serie geométrica definida por a1 = 1/2 y r = −1/2. Entonces, según
la ecuación 2.4,
1/2
1
1/2
=
=
S∞ =
1 − (−1/2)
3/2
3
4.
0, 183 = 0, 18383 . . . = 0, 1 + 0, 083 + 0, 00083 + 0, 0000083 + · · · = S∞
|
{z
}
serie geometrica
Dejemos a un lado, por mientras, el primer término de esta serie. Entonces, tenemos una serie geométrica definida por a1 = 83/1000 y r = 1/100. Entonces,
utilizando la ecuación 2.4 y considerando el primer decimal que habı́amos dejado
a un lado, tenemos que:
S∞ =
1
83/1000
1
83/1000
1
83
1
83
+
=
+
=
+
=
+
10 1 − 1/100
10
99/100
10 990
10 990
=
182
91
99 + 83
=
=
990
990
95
2.2 Sı́mbolo de sumatoria y sus propiedades
2.2.
47
Sı́mbolo de sumatoria y sus propiedades
Supongamos que tenemos una sucesión de números reales tales que sus términos
están dados mediante una fórmula en términos de una variable que llamaremos ı́ndice y
que toma valores enteros consecutivos. Cada término de esta sucesión depende del valor
del ı́ndice i y lo denotaremos ai (ai se denomina el término general de la sucesión).
Ejemplo 2.2.1
2, 6, 12, 20, 30, . . .
ai = i(i + 1)
4, 7, 10, 13, 16, . . .
1 1 1 1 1
, , , , ,...
2 4 6 8 10
ai = 3i + 1
1
ai =
2i
Denotamos la suma de todos los términos de una sucesión desde el que corresponde al
ı́ndice p hasta el que corresponde al ı́ndice q mediante :
q
X
ai = ap + ap+1 + ap+2 · · · + aq .
i=p
Ejemplo 2.2.2
8
X
i(i − 2) = 3 + 8 + 15 + 24 + 35 + 48 = 133
i=3
Ejemplo 2.2.3
n
X
(i2 + 1) = 2 + 5 + 10 + 17 + · · · + (n2 + 1)
i=1
Ejemplo 2.2.4
n
X
i=1
i
1
2
3
4
n
=
+
+
+
+ ··· +
(2i − 1)(2i + 1)
1·3 3·5 5·7 7·9
(2n − 1)(2n + 1)
Ejemplo 2.2.5
n
X
i = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n
i=1
entonces, según la fórmula 2.1,
Pn
i=1 i
=
n(n+1)
2
48
Sucesiones y Series
Propiedades de la
P
(sumatoria)
1. Propiedad 1 Sea c una constante cualquiera, entonces :
q
X
i=p
c = |c + c + c{z+ . . . + c} = (q − p + 1) · c
q−p+1 veces
2. Propiedad 2 (de homogeneidad) Sea c una constante cualquiera, entonces :
q
X
cai = c
i=p
q
X
ai
i=p
En efecto,
q
X
cai = cap + cap+1 + cap+2 + · · · + caq = c(ap + ap+1 + ap+2 + · · · + aq = c
i=p
q
X
ai
i=p
3. Propiedad 3
q
X

 

q
q
X
X
(ai + bi ) =  ai  +  bi 
i=p
i=p
i=p
En efecto,
n
X
(ai + bi ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + · · · + (an + bn) =
i=1
= (a1 + a2 + a3 + · · · + an ) + (b1 + b2 + b3 + · · · + bn ) =
à n
X
!
ai +
à n
X
i=1
!
bi
i=1
Comúnmente esta propiedad junto con la anterior de homogeneidad se ensamblan
para formar una sola propiedad que se denomina la propiedad de linealidad y se
enuncia a continuación.
4. Propiedad 4 (de linealidad) Sean c y d constantes cualesquiera, entonces :




q
q
X
X
(cai + dbi ) = c  ai  + d  bi 
q
X
i=p
i=p
i=p
En efecto,
q
X
(cai + dbi ) = (cap + dbp ) + (cap+1 + dbp+1 ) + · · · + (caq + dbq ) =
i=p
= c(ap + ap+1 + · · · + aq ) + d(bq + bq+1 + · · · + bq ) =




q
q
X
X
c  ai  + d  bi 
i=p
i=p
2.2 Sı́mbolo de sumatoria y sus propiedades
49
5. Propiedad 5 (indice mudo)
q
X
ai =
i=p
q
X
aj
j=p
6. Propiedad 6 (corrimiento del ı́ndice) Sea c un número natural fijo, entonces
:
q
X
q−c
X
ai =
i=p
ai+c
i=p−c
7. Propiedad 7 (telescópica)
n
X
(ai+1 − ai ) = an+1 − a1
i=1
En efecto, los términos de la sumatoria se cancelan de a pares :
n
X
(ai+1 − ai ) = (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + (a4 − a3 ) + · · · + (an+1 − an ) = an+1 − a1
i=1
En general todas estas propiedades son muy importantes y elementales pero esta
última propiedad puede llegar a ser de mucha utilidad en el momento de querer
calcular sumatorias mas complicadas, como mostraremos en uno de los ejemplos
a continuación. Además de su utilidad en el cálculo de sumatorias, la propiedad
telescópica es la contrapartida del Teorema Fundamental del Cálculo para el caso
discreto. El Teorema Fundamental del Cálculo será visto en el capı́tulo 4.
Ejemplo 2.2.6 Calcular el valor de
8
X
P8
i=2 5.
5 = 5 · (8 − 2 + 1) = 5 · 7 = 35
i=2
Ejemplo 2.2.7 Calcular en términos de n la suma :
n
X
k2
k=1
Definamos ak =
k3 ,
entonces ak+1 = (k + 1)3 y, utilizando la propiedad telescópica,
n
X
(ak+1 − ak ) =
k=1
n ³
X
´
(k + 1)3 − k 3 = (n + 1)3 − 1
(2.5)
k=1
Por otro lado, (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1, por lo tanto,
n ³
X
k=1
(k + 1)3 − k 3
´
=
n
X
(3k 2 + 3k + 1)
k=1
n
X
= 3
= 3
k=1
n
X
k=1
2
k +3
n
X
k=1
k2 + 3
k+
n
X
1
k=1
n(n + 1)
+n
2
(2.6)
50
Sucesiones y Series
igualando 2.5 con 2.6 tenemos que:
(n + 1)3 − 1 = 3
n
X
k2 + 3
k=1
y despejando
Pn
k=1 k
2
n(n + 1)
+n
2
(2.7)
de 2.7,
3
n
X
k 2 = (n + 1)3 − 3
k=1
n(n + 1)
− (n + 1)
2
= (n + 1)[(n + 1)2 − 3n/2 − 1]
(n + 1)(2n2 + n)
=
2
⇒
Pn
k=1 k
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
(2.8)
Ejemplo 2.2.8 Calcular en términos de n la suma :
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
=
n
X
j=1
n
X
j(j + 1) =
=
=
(j 2 + j)
j=1
j2 +
j=1
=
n
X
n
X
j=
j=1
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
+
6
2
·
¸
n(n + 1) 2n + 1
n(n + 1) 2n + 1 + 3
+1 =
·
2
3
2
3
n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(2n + 4)
=
6
3
n(n + 1)(n + 2)
3
Ejemplo 2.2.9 Calcular en términos de n la suma :
n
X
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· + 2
=
2
3 15 35
4n − 1 k=1 4k − 1
Observemos que :
1
1
1
=
=
4k 2 − 1
(2k + 1)(2k − 1)
2
µ
1
1
−
2k − 1 2k + 1
¶
en efecto,
1
2
µ
1
1
−
2k − 1 2k + 1
¶
=
1 (2k + 1) − (2k − 1)
1
2
1
=
=
2 (2k − 1)(2k + 1)
2 (2k − 1)(2k + 1)
(2k − 1)(2k + 1)
entonces, tenemos que :
n
X
n
X
1
1
=
2
4k − 1 k=1 2
k=1
µ
1
1
−
2k − 1 2k + 1
¶
µ
=−
n
1X
1
1
−
2 k=1 2k + 1 2k − 1
¶
2.2 Sı́mbolo de sumatoria y sus propiedades
51
1
1
1
1
= 2k+2−1
definamos ak = 2k−1
. Luego, ak+1 = 2(k+1)−1
= 2k+1
y, producto de nuestra
definición, podemos escribir la sumatoria original como sigue :
µ
−
n
1X
1
1
−
2 k=1 2k + 1 2k − 1
¶
µ
=−
n
1X
1
1
1
(ak+1 − ak ) = (a1 − an+1 ) =
1−
2 k=1
2
2
2n + 1
Aquı́, hemos hecho uso de la propiedad telescópica.
¶
52
2.3.
Sucesiones y Series
Teorema del binomio y números combinatorios
Comenzaremos este capı́tulo enunciando el siguiente principio fundamental del análisis combinatorio.
Principio 2 Supongamos que tengo m maneras de realizar una cierta operación A y
que tengo n maneras de realizar otra cierta operación B. El número de maneras que
tengo de realizar conjuntamente las operaciones A y B es m · n.
Supongamos que tenemos n objetos distribuidos en n casilleros. ¿De cuantas maneras
podemos ordenar estos n objetos? En el primer casillero podemos colocar cualquiera
de los n objetos distintos. Una vez colocado un objeto en el primer casillero, tenemos
n − 1 objetos restantes, y por ende, n − 1 posibilidades para colocar un objeto en el
segundo casillero. Sabemos que el numero de maneras que tenemos para realizar ambas
operaciones, de acuerdo con el principio 2, es n · (n − 1). Es fácil darse cuenta que el
número de maneras en que podemos colocar, u ordenar, los n objetos distintos dentro
de los n casilleros es : n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
Definicion 3 Se define n! (léase n factorial) recursivamente como sigue :
(n + 1)! = n!(n + 1)
∀n ∈ N
0! = 1
Nota: n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1
∀n ∈ N
Corolario de la definición:
El numero de maneras de ordenar n objetos distintos es n!
2.3.1.
Números combinatorios
Definicion 4 Se define el número combinatorial
à !
n
k
=
n!
k!(n − k)!
Ejemplo 2.3.1
à !
Ã
k
(léase n sobre k) como sigue :
n, k enteros positivos tales que 0 ≤ k ≤ n
4
2
Ejemplo 2.3.2
¡n¢
!
=
4!
24
=
=6
2!(4 − 2)!
2·2
10
10!
10 · 9 · 8
=
=
= 120
7
7!(3)!
3·2·1
2.3 Teorema del binomio y números combinatorios
2.3.2.
53
Triángulo de Pascal
Construyamos un triángulo o árbol invertido de tal manera que contenga puros 1’s
en sus bordes y que cada número restante sea resultado de sumar los dos números que
estén justo por encima de él. A este árbol se le conoce como triángulo de Pascal y se
presenta a continuación.
1
1
1
2
1
1
1
1
3
4
3
6
..
.
1
4
1
..
.
La utilidad de construir un triángulo de Pascal se debe a su directa relación con el cálculo
de los números combinatorios. A modo de ejemplo, calculemos los siguientes números
combinatorios :
à ! à ! à ! à ! à !
4
4
4
4
4
,
,
,
,
0
1
2
3
4
Estos números son iguales a 1, 4, 6, 4 y 1 respectivamente. Es decir, son exactamente
iguales a la 5◦ fila del triángulo de Pascal. En general, los números:
à ! à ! à !
à !
n
n
n
n
,
,
,...,
0
1
2
n
aparecen al escribir la (n + 1)esima fila en el triángulo de Pascal.
2.3.3.
Propiedades de los números combinatorios o coeficientes binomiales
Propiedad 8
à !
n
k
En efecto :
à !
n
k
Ejemplo 2.3.3
Ã
=
n
n−k
!
n!
n!
=
=
=
k!(n − k)!
(n − k)!(n − (n − k))!
à !
à !
n
0
=
à !
Ã
n
1
=
n
n
=1
∀n
!
n
n−1
=n
∀n
Ã
n
n−k
!
54
Sucesiones y Series
Propiedad 9
Ã
!
n+1
=
k
à !
Ã
n
n
+
k
k−1
!
Ejercicio 2.3.1 Demostrar la propiedad anterior
Ejemplo 2.3.4 Verificar que :
à !
8
3
En efecto,
à !
¡8¢
¡7¢ 3 ¡7¢
2
+
à !
7
7
=
+
2
3
)
=
56
= 21 + 35
3
=
Ejemplo 2.3.5 Verificar que :
à !
8
6
En efecto,
+
à !
7
7
=
+
5
6
¡8¢
¡7¢ 6 ¡7¢
5
2.3.4.
à !
6
=
28
= 21 + 7
)
=
Teorema del binomio
Cómo lo harı́a Ud. si se le pidiese desarrollar por ejemplo (a + b)10 ? Multiplicando
los diez factores término a término? Afortunadamente hay una manera más fácil de
hacerlo y se consigue empleando el Teorema del binomio. Enunciamos este teorema a
continuación.
Teorema 2.3.1 (del binomio)
à !
n
(a+b) =
à !
à !
Ã
!
Ã
!
à !
n n
n n−1
n n−2 2
n
n
n n
a +
a
b+
a
b +· · ·+
a2 bn−2 +
abn−1 +
b
0
1
1
n−2
n−1
n
Usando un ı́ndice k, el término general del teorema del binomio es:
à !
n n−k k
a
b
k
y luego,
n
(a + b) =
n
X
k=0
à !
n n−k k
a
b
k
(2.9)
2.3 Teorema del binomio y números combinatorios
55
Esta expresión se conoce como el teorema de binomio y nos dice como desarrollar un
binomio elevado a cualquier potencia natural. La demostración de este teorema la desarrollaremos al final del capı́tulo, cuando contemos con más herramientas para hacerlo.
Además, si el lector está interesado, le podemos contar que existen generalizaciones de
este teorema. Existe un teorema para desarrollar una potencia entera de un polinomio
denominado Teorema del Multinomio. Además, de la teorı́a de la variable compleja se
desprende una formula para desarrollar un binomio elevado a una potencia no necesariamente entera pero esta formula consiste en una serie de infinitos términos.
Ejemplo 2.3.6 Hallar el término central y el coeficiente de x14 en el desarrollo de
(1 − x)16
Solución :
16
(1 − x)
=
16
X
Ã
!
Ã
!
16
X
16 16−k
16
1
(−x)k =
(−1)k xk
k
k
k=0
k=0
El término central es el 9 y éste corresponde a k = 8 :
Ã
!
Ã
!
16
16 8
(−1)8 x8 =
x = 12870x8
8
8
Ahora, el coeficiente que acompaña a x14 corresponde a k = 14 y luego el coeficiente
es :
Ã
(−1)
14
!
Ã
!
16
16
=
= 120
14
2
Ejemplo 2.3.7 Hallar el término constante (independiente de x) en el desarrollo de
³
x2 −
1 ´12
x4
Solución :
³
Ã
!
Ã
!
12
12
X
X
1 ´12
12
1
12 24−2k 1
x − 4)
=
(x2 )12−k · (− 4 )k =
(−1)k
x
· 4k
x
k
x
k
x
k=0
k=0
2
=
1
X
Ã
2(−1)
k
x=0
La única manera de que (−1)k
!
Ã
¡12¢ 24−6k
sea constante es que
k x
24 − 6k = 0
⇒
k=4
Por lo tanto, el término constante es :
Ã
(−1)
4
!
12
12 24−2k−4k X
12 24−6k
x
=
(−1)k
x
k
k
k=0
!
12
12!
=
= 495
4
4! · 8!
56
Sucesiones y Series
Ejercicio 2.3.2 Buscar el término independiente (que no depende de x) de :
µ
1
x − 3
x
2
Respuesta : 210
¶10
2.4 El principio de inducción y sus aplicaciones
2.4.
57
El principio de inducción y sus aplicaciones
2.4.1.
Introducción
¿Habrá alguna fórmula para calcular
n
X
k 3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + · · · + n3
?
(2.10)
k=1
Una manera de hacerlo es definir ak = k 4 y utilizar la propiedad telescópica, de igual
P
manera como hicimos para calcular nk=1 k 2 . De hecho, este método nos permite calcular
P
recursivamente nk=1 k m para cualquier m ∈ N. Pero existe otro método, bastante útil
para demostrar propiedades que involucran números naturales, denominado método
inductivo. La verdad es que este método no nos permite calcular expresiones complicadas pero, si somos capaces de intuir algún cálculo o alguna propiedad, este método nos
otorga una herramienta para probar la validez de dicho cálculo o propiedad para todo
natural.
A modo de ejemplo veamos si somos capaces de intuir, luego de un poco de experimentación, el valor de 2.10.
n
n
n
n
n
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
13
+
13 + 23 +
13 + 23 + 33 +
3
1 + 23 + 33 + 43 +
13
23
33
43
53
=
=
=
=
=
1
9
36
100
225
=
=
=
=
=
12
32
62
102
152
=
=
=
=
=
12
(1 + 2)2
(1 + 2 + 3)2
(1 + 2 + 3 + 4)2
(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
Sospechamos que :
·
13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 =
n(n + 1)
2
¸2
Para aceptar matemáticamente la fórmula anterior es necesario demostrar que se
cumple para cualquier entero positivo n, lo cual no hemos hecho todavı́a
Principio 3 (de inducción matemática) Consideremos el conjunto de los números
naturales N = {1, 2, 3 . . .}. Si A es una sucesión de números naturales que cumple lo
siguiente :
A contiene al 1
Si A contiene al número k, entonces necesariamente contiene al número natural
siguiente k + 1
entonces A = N .
Corolario
De acuerdo a este principio, para demostrar que una regla, teorema, propiedad,etc. se
cumple para cualquier entero positivo n, basta :
58
Sucesiones y Series
Demostrar o verificar que se cumple para n = 1.
Demostrar que si se cumple para n = k ≥ 1 entonces necesariamente debe cumplirse
para n = k + 1
Ejemplo 2.4.1 Demostrar por inducción matemática que :
·
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
n(n + 1)
2
¸2
∀n
Demostración :
Primero, verifiquemos que al propiedad se cumple para n = 1 :
µ
3
1 =
1(1 + 1)
2
¶2
1=1
Luego, la propiedad se satisface para n = 1.
Ahora, supongamos que la igualdad que queremos probar se cumple para n = k ≥ 1 ,o
sea,
¸
·
k(k + 1) 2
13 + 23 + 33 + · · · + k 3 =
(Hipótesis de inducción)
2
A partir de esta hipótesis, debemos probar que la igualdad se cumple para n = k + 1
, o sea,
¸
·
(k + 1)(k + 2) 2
13 + 23 + 33 + · · · + k 3 + (k + 1)3 =
2
En efecto,
¸
·
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1)
3
=
=
k 2 (k + 1)2
k(k + 1) 2
+ (k + 1)3 =
+ (k + 1)3
2
4
"
#
k 2 (k + 1)2 + 4(k + 1)3
(k + 1)2 k 2 + 4(k + 1)
=
4
4
= (k + 1)2
luego,
[k 2 + 4k + 4]
(k + 1)2 (k + 2)2
=
4
4
·
(k + 1)(k + 2)
1 + 2 + 3 + k + (k + 1) =
2
3
3
3
3
3
y, por lo tanto, la igualdad se cumple para n = k + 1.
Concluimos que la propiedad se cumple para todo n ≥ 1.
¸2
2.4 El principio de inducción y sus aplicaciones
59
Ejemplo 2.4.2 Demostrar por inducción matemática que 9n − 4n es divisible por 5 para
todo n ≥ 1
Demostración :
Primero, verifiquemos que la propiedad se cumple para n = 1. En efecto,
91 − 41 = 5
y 5 es divisible por 5, por tanto, la afirmación se cumple para n = 1.
Ahora, supongamos que la propiedad que queremos probar se cumple para n = k, o sea :
9k − 4k es divisible por 5.
(Hipótesis de inducción)
Tenemos que demostrar que la propiedad se cumple para n = k + 1, o sea,
9k+1 − 4k+1 es divisible por 5.
Por hipótesis, sabemos que 9k − 4k es divisible por 5. Esto significa que 9k − 4k = 5p con
p algún entero. Es decir 9k = 5p + 4k . Teniendo presente esta última expresión
9k+1 − 4k+1 = 9 · 9k − 4k+1
= 9(5p + 4k ) − 4k+1 = 45p + 9 · 4k − 4 · 4k = 45p + 5 · 4k
9k+1 − 4k+1 = 5(9p + 4k )(multiplo de 5)
Luego, la afirmación se cumple para n = k + 1 si se cumple para n = k.
Por lo tanto la afirmación es válida para todo entero n ≥ 1 quedando completada nuestra
demostración.
Una de las aplicaciones de la inducción consiste en generalizar propiedades.
Ejemplo 2.4.3 Probar la validez de la siguiente desigualdad y luego generalizarla para
n sumandos :
|a + b| ≤ |a| + |b|
³
Paréntesis :
Recordemos que si a es un número real, entonces:
(
|a| =
a
−a
si
si
a≥0
a<0
Algunas propiedades de |a| fácilmente verificables por el lector son:
|a|2 = a2
´
|ab| = |a||b|
60
Sucesiones y Series
Demostración:
|a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = |a|2 + 2ab + |b|2
pero ab ≤ |ab| = |a||b|, luego
|a + b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2
≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2
⇒
|a + b|2 ≤ (|a| + |b|)2
entonces
|a + b| ≤ ||a| + |b||
pero |a| + |b| ≥ 0, con lo cual podemos concluir :
|a + b| ≤ |a| + |b|
A modo de ilustración, sean a = 3, b = −5, entonces
|a + b| = |3 + (−5)| = | − 2| = 2
|a| + |b| = |3| + | − 5| = 3 + 5 = 8
)
claramente 2 ≤ 8. Por lo tanto, |a + b| ≤ |a| + |b|
Generalización :
Si a1 , a2 , a3 , · · · , an son números reales, entonces
|a1 + a2 + a3 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + |a3 | + · · · |an |
o sea
¯
¯
n
n
¯X
¯ X
¯
¯
ai¯ ≤
|ai|
¯
¯
¯
i=1
∀n ≥ 1
i=1
Demostración (por inducción sobre n) :
Primero, verifiquemos que la propiedad se cumple para n = 1,
¯P
¯
¯ 1
¯
¯ i=1 ai¯
⇒
P
1
≤
i=1 |ai|
|a1 | ≤ |a1 |
Efectivamente |a1 | ≤ |a1 | y, por lo tanto, la desigualdad se cumple para n = 1.
Supongamos que la desigualdad se cumple para n = k ,o sea,
|a1 + a2 + a3 + · · · + ak | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |ak |
(Hipótesis de inducción)
Demostraremos que en tal caso también se cumple para n = k + 1, o sea,
|a1 + a2 + · · · + ak + ak+1 | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |ak | + |ak+1 |
2.4 El principio de inducción y sus aplicaciones
61
pero
|a1 + a2 + · · · + ak + ak+1 | = | (a1 + a2 + · · · + ak ) +ak+1 | = |A + ak+1 |
|
{z
}
A
Como hemos demostrado que la desigualdad es válida para 2 sumandos (n = 2) entonces:
| (a1 + a2 + · · · + ak ) +ak+1 | ≤ |A| + |ak+1 | = |a1 + a2 + · · · + ak | + |ak+1 |
|
{z
}
A
≤ (|a1 | + |a2 | + · · · |ak |) + |ak+1 | = |a1 | + |a2 | + · · · + |ak | + |ak+1 |
o sea, bajo la hipótesis de inducción, la desigualdad también se cumple para n = k + 1.
Concluimos que la desigualdad es válida para todo número natural.
Ejercicio 2.4.1 Probar que :
|a1 a2 a3 a4 · · · an | = |a1 ||a2 ||a3 | · · · |an |
∀n ≥ 1
Demostración (por inducción) del teorema del binomio :
n
(a + b) =
n
X
k=0
à !
n n−k k
a
b =
k
à !
à !
à !
n n
n n−1
n n
a +
a
b + ··· +
b
0
1
n
Verifiquemos que el teorema se cumple para n = 1 :
(a + b)1 = a + b
¡1¢
¡ ¢
P1 ¡1¢ 1−k k
b = 0 a + 11 b = a + b
k=0 k a
)
=
luego el teorema del binomio se cumple para n = 1. Supongamos que el teorema del
binomio se cumple para n = p , o sea,
p
(a + b) =
p
X
k=0
à !
p p−k k
a b
k
(Hipótesis de inducción)
Demostraremos bajo la suposición anterior que el teorema se cumple para n = p + 1 , o
sea, debemos probar que:
p+1
(a + b)
=
Ã
p+1
X
k=0
!
p+1 p+1−k k
a
b
k
en efecto,
(a + b)p+1 = (a + b)(a + b)p = (a + b)
·Ã !
= (a + b)
à !
p
X
k=0
à !
p p−k k
a b
k
à !
Ã
!
à ! ¸
p p
p p−1
p p−2 2
p
p p
a +
a b+
a b + ··· +
+
b
0
1
2
p−1
p
62
Sucesiones y Series
à !
à !
à !
à !
p p+1
p p
p p−1 2
p p−2 3
a
+
a b+
a b +
a b + ···
0
1
2
3
=
Ã
!
à !
Ã
!
Ã
à !
à !
à !
p
p
p p
p p−1 2
p p−2 3
+
a2 bp−1 +
abp +
a b+
a b +
a b + ···
p−1
p
0
1
2
!
à !
p
p
p p+1
+
a2 bp−1 +
abp +
b
p−2
p−1
p
Factorizando de a pares y usando el hecho de que
Ã
p+1
(a + b)
=
!
p+1 p+1
a
+
0
"Ã
ahora, usando la propiedad
Ã
(a + b)
=
!
à !#
p
p
+
1
0
Ã
0
=
¡p+1¢
0
"Ã !
a b+
a b
+
¡p¢
p
=
¡p+1¢
p+1
à !#
"Ã !
2 p−1
y
p
p
+
2
1
p
!#
p
p
+
p−1
p−2
+··· +
p+1
"Ã !
¡p¢
"Ã !
a
p−1 2
b +
Ã
!#
p
p
+
p
p−1
¡ n ¢ ¡n¢ ¡n+1¢
k−1 + k =
k , tenemos
!
Ã
!
Ã
!
, tenemos
à !#
p
p
+
3
2
Ã
!
p+1 p+1
ab +
b
p+1
Ã
p
!
p+1 p+1
p+1 p
p+1 p−1 2
p+1 p−2 3
a
+
a b+
a b +
a b
0
1
2
3
Ã
!
Ã
!
Ã
!
p+1 2 p−1
p+1
p+1 p+1
+··· +
a b
+
abp +
b
p−1
p
p+1
=
Ã
p+1
X
k=0
!
p+1 p+1−k k
a
b
k
y el teorema, bajo la hipótesis de inducción, es válido para n=p+1. Concluimos que el
teorema del binomio es válido para todo n natural.
ap−2 b3
2.5 Problemas propuestos
2.5.
63
Problemas propuestos
2.5.1.
Progresiones aritméticas y geométricas
1. El 2◦ término de una serie geométrica infinita es 4 y la suma de sus infinitos
términos es 25.
a) Hallar los posibles valores de la razón común.
b) Hallar la suma de todos los enteros desde 100 a 2000 que no sean múltiplos
de 4
2. El 20◦ término de una progresión aritmética es el triple del 10◦ término de ella y
la suma de los 20 primeros términos es 58.
a) Hallar el 1◦ término y la diferencia común.
b) Hallar el número mı́nimo de términos para que la suma sobrepase a 100.
3. El largo de los lados de un triángulo rectángulo son tres números consecutivos de
una progresión aritmética. Demuestre que el largo de los lados de este triángulo
están en la razón 3 : 4 : 5.
4. Expresar los siguientes números periódicos o semiperiódicos como fracciones :
a) 1, 417
b) 0, 183
c) 0, 61
5. Un carpintero quiere construir una escalera con nueve pelda
ños cuyos largos van disminuyendo uniformemente, en donde el primer pelda
ño mide 24cm. y el noveno mide 18cm. Determine el largo de los 7 pelda
ños restantes.
6. Sea {an }n∈N una progresión aritmética. Si ai = x, aj = y, ak = z para i, j, k ∈ N,
entonces pruebe que (j − k)x + (k − i)y + (i − j)z = 0
· · · 1}
7. Encuentre la suma Sn donde Sn = 1 + 11 + 111 + · · · + 11
| {z
n unos
Indicación : Calcular dos veces una progresión geométrica.
8. El segundo término de una progresión geométrica es − 40
3 . La suma infinita de la
correspondiente serie geométrica es 12. Encuentre el primer término y la razón
común de la progresión.
9. Se construye una pila de 20 cubos cuyas aristas forman una progresión geométrica
de razón 4/5. Hallar el volumen de la pila en m3 si el cubo mayor tiene una arista
de 60cm.
64
10.
Sucesiones y Series
a) Una progresión aritmética tiene diferencia común igual a p. Por otro lado una
progresión geométrica tiene razón común igual a p. Tanto el primer término de
la progresión aritmética como el primer término de la progresión geométrica
son iguales a 1.
1) Escriba, en función de p, los cuatro primeros términos de la progresión
geométrica y de la progresión aritmética.
2) Si el tercer término más el cuarto término de la progresión aritméticas es
igual al tercer término más el cuarto término de la progresión geométrica,
encuentre los 3 posibles valores para p.
3) ¿ Para cual de los valores de p hallados en (a)(ii) existe la suma de los
infinitos términos de la progresión geométrica ?
b) 1) Tomando el valor de p hallado en (a)(iii) halle el valor exacto de la suma
de los infinitos términos de esta progresión geométrica.
2) Tomando el mismo valor de p, halle la suma de los veinte primeros términos de la progresión aritmética escribiendo su respuesta en la forma :
√
a + b c a, b, c ∈ Q.
Indicación : p3 + p2 − 5p − 2 = (p − 2)(p2 + 3p + 1)
2.5.2.
El sı́mbolo de sumatoria y sus propiedades
1. Usar el sı́mbolo de
a) 1 −
1
2
b) an +
c)
1
3
+
P
para expresar las sumas siguientes:
1
1
1
3 − 4 + · · · − 100
an−1 b + an−2 b2 + an−3 b3
1
8
+
+
1
15
+
1
24
+
1
35
+ · · · + abn−1 + bn
+ · · · + hasta n términos
2. Calcular las sumas siguientes:
a)
b)
c)
P4
k=1 k
k
P5
2i−1
i=1 2
P6
1
r=1 r(r+1)
3. Suponiendo conocidas las fórmulas siguientes:
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
2
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
determinar en función de n las siguientes sumas:
a)
Pn
k=1 2k(2k
+ 1)
b) 3 + 8 + 15 + 24 + 35 + · · · + n términos
2.5 Problemas propuestos
4.
65
a) Usar la siguiente identidad
1
1
1
= −
i(i + 1)
i
i+1
para calcular, en términos de n, la siguiente suma:
n
X
i=1
P
b) Aplicar
1
i(i + 1)
a ambos lados de la identidad siguiente
(k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1
y obtener la fórmula para
Pn
k=1 k.
5. Usar las propiedades del sı́mbolo
a)
b)
Pn
r=1 [a
Pn
Pn
k=1 k
P
2
suponiendo conocida la fórmula para
para probar que:
+ (r − 1)d] = n2 [2a + (n − 1)d]
i=1 ar
i−1
n
−1
= a rr−1
6. Si x1 , x2 , x3 , . . . , xn son n números reales, el promedio o medio aritmético de ellos
se define por,
n
1X
xi
X=
n i=1
Probar que :
7.
n
1X
(xi − X)2 =
n i=1
Ã
!
n
1X
2
x2i − X
n i=1
a) Calcular en términos de n la suma:
S=
n
1X
k2k
n i=1
Indicación : Calcular primero S-2S
b) Generalizar el procedimiento usado en (a) para calcular en términos de n y q
la suma:
S=
n
X
kq k
k=1
8. Calcular en términos de n las sumas:
a)
Pn
k=1 [3(k
+ 1) +
(−1)k
]
3k
b) 1 + 9 + 25 + 49 + · · · + hasta n términos
66
Sucesiones y Series
9. Usar la identidad (k + 1)4 − k 4 = 4k 3 + 6k 2 + 4k para obtener:
n
X
·
k3 =
k=1
n(n + 1)
2
¸2
10. En el triángulo ∆ABC rectángulo en B se tiene AB = BC = 1cm. y se divide
el lado AB en n partes iguales, construyéndose en cada subdivisión un rectángulo
como lo indica la figura.
Calcular en términos de n la suma de las áreas de todos los rectángulos. ¿Qué sucede
C
...
A
B
si n toma valores cada vez más grandes?
2.5.3.
Teorema del binomio. Triángulo de Pascal y números combinatorios
1. Usar el teorema del Binomio para desarrollar completamente:
a) (x − 7y)3
³
b)
1+
³
c)
2
3x
3
y
´3
+ 3xy
´4
2. Desarrollar (a+b)6 y comprobar que los coeficientes que acompañan a cada término
corresponden a los coeficientes del Triángulo de Pascal.
3. Hallar el/los término/s central/es de los siguientes binomios:
a) (1 + 4y)5
b) (2x − 3y)6
³
c)
4.
1−
x2
2
´1
3
a) Hallar el cuarto término del binomio siguiente:
µ
¶10
a
+ 9b
3
2.5 Problemas propuestos
67
b) Hallar el coeficiente de x18 del siguiente binomio:
µ
x3 +
3a
x
¶15
5. Hallar el desarrollo de (1 + 2x − x2 )4
6. Utilize el Teorema del Binomio para encontrar el valor de (1, 001)5 con 5 decimales
exactos.
Indicación: utilize el Teorema del Binomio, separando 1,001 en una suma, y luego
aproxime.
7. Demuestre que si n es un número natural mayor que cero, se tiene que:
à !
à !
à !
à !
à !
n
n
n
n
n
+
+
+
+ ··· +
0
1
2
3
n
= 2n
Indicación : Utilize el Teorema del Binomio, notando que 2n = (1 + 1)n .
8. Hallar la relación entre r y n para que los coeficientes de los términos de lugares
3r y (r + 2) del binomio (1 + x)2n sean iguales.
9.
a) Utilizando el Teorema del Binomio, desarrollar los siguientes binomios:
1) (x − 3)5
³
2)
2−
3x2
2
´4
b) Hallar el cuarto término y el término independiente de la siguiente expresión:
µ
3 2
1
x −
2
3x
¶9
10. Usando el Teorema del Binomio, encontrar el valor numérico de (0,998)6 con 5
decimales exactos.
11. Los 2◦ , 3◦ y 4◦ términos del desarrollo de (x + y)n son 240, 720 y 1080 respectivamente. Hallar x, y, n.
2.5.4.
Principio de Inducción y sus aplicaciones
1. Deducir y probar las correspondientes fórmulas para la suma de los primeros n
números pares e impares.
2. Demuestre por inducción que el número máximo de diagonales que se le pueden
dibujar a un polı́gono de n lados es igual a n(n−3)
.
2
3. Demostrar por inducción que xn − y n es divisible por x + y cuando n es par.
68
Sucesiones y Series
4. Ocupando sumas conocidas, encuentre la fórmula de :
S = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n
y demuéstrela por inducción.
5. Demuestre por inducción que para todo n natural :
1
1
1
1
n
+
+
+ ··· +
=
1·2 2·3 3·5
n · (n + 1)
n+1
6. Demuestre por inducción que para todo n natural :
2n
X
(−1)k (2k + 1) = αn
k=1
y determine el valor de la constante α.
7. Demuestre por inducción que para todo n natural :
µ
1
1+
1
¶2 µ
1
1+
2
¶3 µ
1
1+
3
¶4
µ
1
··· 1 +
n
¶n+1
=
(n + 1)n+1
n!
8. Sea
S = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 + · · · + n(n + 3)
a) Calcule el valor de S.
b) Demuestre su resultado por inducción.
9. Demuestre que para todo número natural n :
µ
1+
1
n
¶n
µ
≤ 1+
1
n+1
¶n+1
10. Demuestre por inducción que para todo n natural :
n(n+1)
2
2
n = n(n+1)(2n+1)
6
i2
h
n(n+1)
n3 =
2
a) 1 + 2 + 3 + · · · + n =
b) 12 + 22 + 32 + · · · +
c) 13 + 23 + 33 + · · · +
11. Demuestre que para todo n natural se tiene que :
√
1
1
1
1 + √ + √ + ··· + √ < 2 n
n
2
3
12. Demuestre por inducción que la suma de los ángulos interiores de un polı́gono de
n lados es igual a π(n − 2) .
2.5 Problemas propuestos
69
13. Pruebe que para todo n natural,
a) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7.
b) n3 + 5n es divisible por 6.
14. Pruebe por inducción que :
1+
1
1 1
1
+ + ··· + 2 ≤ 2 −
4 9
n
n