Límite de una Función-Parte 1 De forma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punto como el valor al que se aproxima la función f(x) cuando la variable independiente x se acerca al punto. Esta idea intuitiva se formaliza en la siguiente Definición: Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a xo es el número real L, y se representa lim f ( x)= L , x→ x 0 si para cada ε > 0 que fijemos, se puede encontrar algún δ > 0 verificando que x→ xo (“x tiende a xo “) para todo x ∈ Df (Dominio f(x) ) que cumpla 0 < |x − xo| < δ se verifica |f (x ) − L| < ε Ejemplo 1. Hallar el límite de la función f(x)=x+1 cuando x tiende a 2 (x➙2) . lim f ( x)= lim x + 1=2+ 1 ⤇ x→ x0 x→2 lim x + 1=3 x→ 2 2 Ejemplo 2. Hallar el límite de la función f(x)=x +2x cuando x tiende a 3. lim f ( x)= lim x2 + 2 x=32 + 2 • 3=9+ 6 ⤇ x→ x 0 x→ 3 lim x2 + 2 x=15 x→ 3 Ejemplo 3. Hallar el límite de la función f(α)=cos (α)+sen(α) cuando α tiende a π. lim f ( α )= lim cos ( α) + sen( α )=cos (π )+ sen ( π )=1+ 0⤇ α → α0 α→ π lim cos( α)+ sen(α )=1 α→ π Límites Laterales Al estudiar el valor al que tiende una función cuando x se aproxima a un punto xo, a veces es conveniente considerar por separado los valores próximos a xo que sean menores y los que sean mayores que L. Esto da lugar a los límites laterales que se definen a continuación. • Se dice que L1 es el límite por la derecha de f y se representa como lim f ( x)= L 1 si la función se ¿ x → x+ 0 aproxima a este valor al acercarse x a xo+ siendo x > xo+. • Se dice que L2 es el límite por la izquierda de f y se representa como se aproxima a este valor al acercarse x a xo-siendo x <xo-. Ejemplo 4: La función a trozos { f ( x)= 1 si x ≤ 0 cuya gráfica es x si x> 0 lim f ( x)= L1 si la función ¿ x → x− 0 cumple que lim f ( x)⤇ lim f ( x)= lim 1=1 y x→ 0− ¿ x→ 0− ¿ x → 0− ¿ lim f ( x)⤇ x→ 0+ ¿ lim f ( x)= lim x=0 x→ 0−¿ según se ve en el dibujo. x → 0+ ¿ Cuando existen los dos límites laterales se verifica la siguiente equivalencia: lim f ( x)= lim f ( x)= L ¿ x → x+ 0 ¿ x → x− 0 Una consecuencia inmediata de esta equivalencia es que si los límites laterales cuando x→ x0 son distintos, el límite de la función cuando x→ x0 no existe, es decir lim f ( x) ≠ lim f ( x) ⤇ L∄ ¿ x → x+ 0 Así, como en el ejemplo 4 el lim f ( x)=1 es diferente del x → 0− ¿ Límite por la izquierda { f ( x)= lim f ( x)= 9 x→ 3+ ¿ lim f ( x)= 9 x→ 3− ¿ Como los dos límites son iguales el límite L de la función es lim f ( x)= lim f ( x)= L= 9 x→ 3+ ¿ x→ 3− ¿ x→ 0+ ¿ f ( x)= 1 si x ≤ 0 No existe L ∄ x si x> 0 Ejemplo 5: Determine el límite de la función a trozos Límite por la derecha lim f ( x)=0 x→ 0− ¿ lim f ( x)≠ lim f ( x) ⤇ el límite de x→ 0+ ¿ ¿ x → x− 0 { 3 x si x > 3 cuya gráfica es x2 si x ≤3 Ejemplo 6: Determine los límites laterales x➙0 de la función f ( x)= 1 x cuya gráfica es + Si los valores de x se aproximan a 0 por la derecha el valor de la función crece indefinidamente, es decir, Límite por la derecha lim f ( x)= +∞ x→ 0+ ¿ - Si los valores de x se aproximan a 0 por la izquierda el valor de la función crece indefinidamente, es decir, Límite por la izquierda lim f ( x)=−∞ x→ 0− ¿ Como los dos límites son diferentes el límite L de la función NO existe lim f ( x)≠ lim f ( x)= L∄ x → 0− ¿ x→ 0+ ¿ Propiedades de los límites 1. El límite de una función, si existe, es único. 2. 3. 4. 5. lim ( f + g) ( x)= lim f (x )+ lim g( x) excepto si x → x0 x→ x 0 x → x0 lim f ( x)=±∞ y x→ x0 lim g( x)=±∞ x→ x 0 lim k • f (x) =k • lim f ( x) donde k es un npumero real cualquiera, k∈ℝ x → x0 x→ x 0 lim ( f • g)( x)= lim f ( x) • lim g( x) excepto si x → x0 x→ x0 f lim ( )( x)= x→ x 0 g x → x0 lim f ( x)=0 y x→ x 0 lim g( x)=±∞ o viceversa x→ x 0 lim f ( x) x → x0 con lim g( x) lim g( x)≠ 0 excepto si x→ x 0 lim f ( x)= lim g( x)=0 o x→ x 0 x → x0 x → x0 lim f ( x)= lim g( x)=±∞ en cuyos casos el x→ x 0 6. lim ( f ( x) x→ x 0 y x → x0 g(x) ) = lim lim g( x)=0 o x→ x 0 x → x0 f lim ( ) ( x) ∄ x→ x 0 g lim g ( x ) f ( x) x→ x0 lim f ( x)=1 x→ x 0 excepto si lim f ( x)= lim g( x)=0 o x→ x0 x → x0 lim f ( x)=±∞ x→ x 0 lim g( x)=±∞ x→ x 0 7. Si es f (x) una función acotada en un entorno de x0, es decir, si por ejmplo, si x1 < x0 < x2 entoces f (x1) < f (x) < f (x2) y lim g( x)=0 entonces x→ x 0 Ejercicios. Calcular los siguientes límites lim ( f • g)( x)=0 x→ x 0 lim ( x2 + e x )=0 a) x→ 0 b) lim 5 x⋅ln( x) x→ 1 x3+ 2 x→ 3 x−1 c) lim lim ( x−1) d) 2 3 x→ 0 e) 1 x→ +∞ x + 3 f) 1 lim x⋅sen( ) x x→ 0 lim 3 En los casos en los que la aplicación directa de estas propiedades no permite calcular el límite (ver las excepciones que aparecen en las propiedades de los límites), se dice que hay una indeterminación y es necesario calcular el límite de otra manera. Utilizando notación simbólica las indeterminaciones son: 00 , + ∞−∞ , 0⋅(±∞ ), 0 ±∞ , 0 , 0 ±∞ , ±∞ 1± ∞ Ejemplo 7: Calcular los siguientes límites: x 3−27 a) lim 2 Esta indeterminación se resuelve factorizando los polinomios con objeto de simplificar el x→ 3 x −9 factor x – 3 común al numerador y al denominador, ya que al sustituir x = 3 anula a ambos 3 3 3 x −27 3 −3 0 lim 2 = 2 2 = . Aquí usamos los métodos de factorización de la diferencia de cubos y 3 −3 0 x→ 3 x −9 cuadrados, es decir, a 3− b3 =(a− b)( a2 + ab+ b 2) y (a 2−b 2)=( a−b) (a + b) luego ( x−3)( x 2 + 3 x+ 32 ) x 3−27 x 3−33 lim 2 = lim 2 2 = lim ⤇ ( x− 3) ( x+ 3) x→ 3 x −9 x → 3 x −3 x→3 3 2 2 2 2 2 2 x −27 x + 3 x + 3 3 + 3⋅3 + 3 9+ 9 + 9 3 + 3⋅3+ 3 27 lim 2 = lim = = = = ⤇ x+ 3 3+ 3 6 3+ 3 6 x→ 3 x −9 x→3 x 3− 27 9 lim 2 = : 2 x→ 3 x −9 x−2 0 = Esta indeterminación se resuelve multiplicando numerador y denominador por el x→ 2 1− √ ( x−1) 0 conjugado del denominador, El conjugado de un binomio (a+b) es (a-b), de (a-b) es (a+b), esto se hace cada vez que se tengan rraíces en denominador, el nuerados o en ambos. Por lo tanto, b) lim ( x−2)( 1+ √ ( x−1)) ( x−2)(1+ √ ( x−1)) x−2 = lim = lim ⤇ 2 2 x→ 2 1− √ (x−1) x → 2 (1− √ (x−1)) (1+ √ ( x−1)) x → 2 1 −( √ ( x−1)) lim ( x−2)( 1+ √ ( x−1) ) ( x−2)( 1+ √ ( x−1)) x−2 = lim = lim =−(1+ √ (2−1) )⤇ 1−( x−1) −(x−2) x→ 2 1− √ (x−1) x → 2 x→2 lim lim x→ 2 x−2 1− √ ( x−1) =−2 4 c) 4 x +5 +∞ x +5 +∞ Usando la propiedad 5, reenemos lim = = ⤇ 4 4 +∞ x→ +∞ 2 x −3 x→ +∞ 2 x −3 +∞ lim x4 + 5 lim =+ ∞⤇ 4 x→ +∞ 2 x −3