Matemáticas I Grao en Robótica Curso 2020/21 Tema 1: Preliminares Juan Bosco Ferreiro Darriba Departamento de Matemática Aplicada 2 de outubro do 2020 A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Operación interna Definición Denomínase operación interna ∗ nun conxunto A a unha correspondencia ∗ : A × A → A. Denótase ∗(a, b) = a ∗ b = c Nota Adoitase a contemplar dúas operacións internas, chamadas suma (+) e producto (·). Propiedade asociativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀a, b, c ∈ A Propiedade conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ A Elemento neutro: ∃e ∈ A | a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ A Suma → 0 Produto → 1 Elemento simétrico: dado a ∈ A, ∃a0 ∈ A | a ∗ a0 = a0 ∗ a = e Suma → elemento oposto →−a 1 −1 Producto → inverso → a se ∗ é conmutativa a A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Estrutura de grupo Definición Un conxunto onde está definida unha operación interna (A, ∗) dise que ten estrutura de grupo se: ∗ cumpre a propiedade asociativa existe un elemento neutro para ∗ cada elemento de A ten un elemento simétrico respecto de ∗ Definición Un grupo (A, ∗) dise conmutativo ou abeliano se a operación ∗ cumpre a propiedade conmutativa. Exemplo (Z, +), (R, +), (R \ {0}, ·) son grupos conmutativos A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Estrutura de anel Definición Un conxunto con dúas operacións internas (A, +, ·) dise que ten estrutura de anel se: (A, +) é un grupo conmutativo · cumpre a propiedade asociativa cúmprese a propiedade distributiva do producto respecto da suma ∀a, b, c ∈ A a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c Definición Un anel (A, +, ·) dise conmutativo se a operación · cumpre a propiedade conmutativa Definición Un anel (A, +, ·) dise unitario se a operación · ten elemento neutro A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Estrutura de anel Definición Un conxunto con dúas operacións internas (A, +, ·) dise que ten estrutura de anel se: (A, +) é un grupo conmutativo · cumpre a propiedade asociativa cúmprese a propiedade distributiva do producto respecto da suma Definición Un anel (A, +, ·) dise conmutativo se a operación · cumpre a propiedade conmutativa Definición Un anel (A, +, ·) dise unitario se a operación · ten elemento neutro Exemplo (Z, +, ·) é un anel conmutativo e unitario A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Estrutura de corpo Definición Un conxunto con dúas operacións internas (A, +, ·) dise que ten estrutura de corpo se: (A, +, ·) é un anel (A \ {0}, ·) é un grupo Definición Un corpo (A, +, ·) dise conmutativo se a operación · cumpre a propiedade conmutativa Exemplo (Q, +, ·), (R, +, ·) son corpos conmutativos A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios O corpo dos números reais Relación de orde ≤ é unha relación de orde no conxunto dos números reais R Propiedade reflexiva: a ≤ a para todo a ∈ R a≤b Propiedade antisimétrica: ⇒ a = b, ∀a, b ∈ R b≤a a≤b Propiedade transitiva: ⇒ a ≤ c, ∀a, b, c ∈ R b≤c ≤ é unha relación de orde total no conxunto dos números reais R a≤b ou/e Dados a, b ∈ R ⇒ b≤a A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios O corpo dos números reais Relación de orde ≤ é unha relación de orde total compatible coas operacións do corpo R ∀x, y, λ ∈ R, x≤y ⇒x+λ≤y+λ ∀x, y, λ ∈ R, x ≤ y, 0 < λ ⇒ λx ≤ λy ∀x, y, λ ∈ R, x ≤ y, λ < 0 ⇒ λy ≤ λx ∀x, y, ∈ R 0<x<y⇒0< 1 1 < y x A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios O corpo dos números reais Intervalos Definición Dados a < b ∈ R, os seguintes conxuntos son intervalos limitados (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} Intervalo aberto de extremos a e b [a, b ] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Intervalo pechado de extremos a e b [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} Intervalo pechado en a e aberto en b (a, b ] = {x ∈ R | a < x ≤ b} Intervalo aberto en a e pechado en b Definición [a, b] ⊂ R denomínase intervalo compacto Definición Dado a ∈ R, os seguintes conxuntos son intervalos non limitados (a, ∞) = {x ∈ R | a < x}, (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}. Abertos [a, ∞) = {x ∈ R | a ≤ x}, (−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}. Pechados A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos O corpo dos números reais Valor absoluto Definición Dado un número real x ∈ R, defínese o seu valor absoluto como ( x, se 0 ≤ x |x| = −x, se x < 0 Propiedades |x| ≥ 0, ∀x ∈ R. |x| = 0 ⇔ x = 0 |x| = | − x|, ∀x ∈ R |x · y| = |x| · |y|, ∀x, y ∈ R |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ R Dado r > 0, |x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r ⇔ x ∈ [−r, r] Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos O corpo dos números complexos Definición Un número complexo é un par de números reais z = (a, b). a é a parte real do número complexo. b é a parte imaxinaria do número complexo. Definición (0, 1) = i → unidade imaxinaria (1, 0) = 1 → unidade real (a, b) = a + bi → forma binómica C = {a + bi | a, b ∈ R} Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos O corpo dos números complexos Eixo imaxinario b z a + bi i a Eixo real Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios O corpo dos números complexos Operacións Definición Dados z1 = a1 + b1 i ∈ C e z2 = a2 + b2 i ∈ C, defínese a súa suma como z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i (C, +) → Grupo conmutativo 0 = 0 + 0i → Elementro neutro z = a + bi → Elemento oposto → −z = −a − bi A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios O corpo dos números complexos Operacións Definición Dados z1 = a1 + b1 i ∈ C e z2 = a2 + b2 i ∈ C, defínese o seu produto como z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i (C \ {0}, ·) → Grupo conmutativo 1 = 1 + 0i → Elementro neutro 0 6= z = a + bi → Elemento inverso → z −1 = 1 a − bi = 2 z a + b2 Definición Dado z = a + bi ∈ C defínese o seu conxugado como z̄ = a − bi z z̄ = a2 + b2 ⇒ z −1 = a2 z̄ + b2 ∀ 0 6= z ∈ C A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos O corpo dos números complexos (C, +, ·) −→ Corpo conmutativo Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos O corpo dos números complexos Forma trigonométrica Definición Dado z = a + bi ∈ C defínese o seu módulo como p |z| = + a2 + b2 Definición Dado z = a + bi ∈ C defínese o seu argumento como ( |z| cos (α) = a α ∈ (−π, π] |z| sen (α) = b z̄ |z|2 z = a + bi = |z| cos (α) + i sen (α) → Forma trigonométrica z −1 = Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos O corpo dos números complexos Operacións Eixo imaxinario z a + bi a2 i +b2 b Α a Eixo real Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios O corpo dos números complexos Forma exponencial Dado x ∈ R eix = cos (x) + i sen (x) → Fórmula de Euler z = a + bi = |z| cos (α) + i sen (α) = |z|eiα → Forma exponencial z1 z2 = |z1 |eiα1 |z2 |eiα2 = |z1 ||z2 |ei(α1 +α2 ) n z n = |z|eiα = |z|n eiαn A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Definición Dados n ∈ N, un corpo K e a0 , a1 , ... , an ∈ K, un polinomio P (x) de grao ≤ n nunha indeterminada x é unha combinación do tipo: n P (x) = an x + an−1 x n−1 + ··· + a1 x + a0 = n X k=0 x adoita a chamarse tamén variable a0 , a1 , ... , an denomínanse coeficientes a0 denomínase termo independente an denomínase coeficiente principal cada un dos sumandos denomínase monomio o grao dun monomio é o expoñente da variable o grao dun polinomio é o do monomio de maior grao ak xk Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Polinomios Definición K[x] = ( n X ) ak xk n ∈ N, ak ∈ K ∀k ∈ {0, 1, ... , n} k=0 x adoita a chamarse tamén variable a0 , a1 , ... , an denomínanse coeficientes a0 denomínase termo independente an denomínase coeficiente principal cada un dos sumandos denomínase monomio o grao dun monomio é o expoñente da variable o grao dun polinomio é o do monomio de maior grao A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Polinomios Definición p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ··· + a1 x + a0 ∈ K[x] q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + ··· + b1 x + b0 ∈ K[x] Supoñamos que m < n Definimos p(x) + q(x) como an xn + ··· + an+1 xn+1 + (am + bm )xm + ··· + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ) Definimos p(x) · q(x) como an bm xn+m + (an−1 bm + an bm−1 )xn+m−1 + ··· + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0 (K[x], +, ·) −→ Anel conmutativo unitario A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Division de polinomios Teorema Dados p(x), q(x) ∈ K[x] tales que gr(q(x)) ≤ gr(p(x)), existen dous únicos polinomios s(x), r(x) ∈ K[x] tales que p(x) = q(x)s(x) + r(x), e gr(r(x)) < gr(q(x)) (ou ben r(x) = 0). Teorema Dado p(x) ∈ K[x] tal que gr(p(x)) > 0 e λ ∈ K p(x) = (x − λ)q(x) + p(λ), onde gr(q(x)) = gr(p(x)) − 1 Polinomios A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Raíces de polinomios Definición Dado p(x) ∈ K[x], diremos que λ ∈ K é unha raíz de p(x) sempre que se cumpra que p(λ) = 0. Teorema Dado p(x) ∈ K[x], λ ∈ K é unha raíz de p(x) se e só se (x − λ) é un factor de p(x), é dicir, existe q(x) ∈ K[x] tal que p(x) = (x − λ)q(x) e gr(q(x)) = gr(p(x)) − 1 Definición Dados p(x) ∈ K[x] e λ ∈ K unha raíz de p(x), diremos que λ é de multiplicidade k ∈ N sempre exista p1 (x) ∈ K[x] tal que p(x) = (x − λ)k p1 (x) e p1 (λ) 6= 0. A estrutura de corpo O corpo dos números reais O corpo dos números complexos Polinomios Raíces de polinomios Teorema (fundamental da Álxebra) Un polinomio p(x) = n X ak xk ∈ C[x], con an 6= 0, ten exactamente n k=0 raíces complexas, contadas coa súa multiplicidade, é dicir p(x) = an (x − λ1 )α1 (x − λ2 )α2 ... (x − λr )αr , onde λ1 , λ2 , ... λr ∈ C, α1 , α2 , ... , αr ∈ N tales que α1 + α2 + ··· + αr = n