RESUMEN DE PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES

PRINCIPIOS DE TRABAJO VIRTUAL
Autores:
Manuel A. Chilán, Leonardo A. García, Bryan G. Pionce, Cristina E. Solórzano, John M.
Toala y Camilo A. Villamar
Facultad de Ciencias Técnicas, Universidad Estatal Del Sur De Manabí
Análisis Matricial de Estructuras
Ing. Gery Lorenzo Marcillo Merino
09 de diciembre de 2020
PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL
El Principio de los Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue empleado por primera vez por Galileo
(1564-1642) en el cálculo de mecanismos. Sin embargo, fue enunciado de una forma más
rigurosa por Lagrange (1736-1813), ya que este desarrolla la teoría variacional y sienta las
bases de la “Mecánica Analítica”.
“Un sistema material está en equilibrio en una cierta posición para cualquier
desplazamiento compatible con los enlaces cuando la suma de los trabajos
virtuales de las fuerzas directamente aplicadas sea nulo.”
Este principio es muy importante dado que establece una relación entre el trabajo de las cargas
o acciones exteriores, que se componen luego en las solicitaciones (esfuerzos normales,
cortantes, flectores y tortores), con la energía de deformación interna, que dependería del
estado tensional y de las deformaciones del cuerpo.
El teorema de los trabajos virtuales se formula en la Mecánica Racional del modo siguiente: Si
una partícula se encuentra en equilibrio bajo la acción de un grupo de fuerzas, el trabajo
desarrollado por esta, al recorrer la partícula cualquier desplazamiento virtual, es malo.
FÓRMULA PARA EL TRABAJO DE LA FUERZA GENERALIZADA
E = módulo de elasticidad longitudinal.
G = módulo de elasticidad transversal.
I = momento de inercia de la sección transversal de la pieza.
A = área de la sección transversal de la barra
Este método es bastante útil a la hora calcular algunas reacciones en vigas o pórticos con varios
soportes, en cálculos con estructuras reticuladas, en sólidos deformables, etc.
Pasos a seguir para resolver un P.T.V.
Se estiman los posibles trabajos virtuales (Si el desplazamiento es distinto de cero en dos
soportes no se podrá calcular nada pues se obtendrás una ecuación con dos incógnitas). Estos
posibles trabajos virtuales deben ser compatibles con la geometría de la estructura.
A la hora de definir los desplazamientos virtuales es útil considerar que en muchos casos la
rótula es un punto de cambio de tendencia (es decir a partir de este punto si los desplazamientos
crecían comienzan a decrecer y viceversa).
Se formula la ecuación general de los desplazamientos virtuales, esto es, cada fuerza por su
desplazamiento virtual (análogo para momentos). Se obtendrá una ecuación con varias
incógnitas.
Parametrizamos la ecuación anterior para así obtener otra con dos incógnitas, con una de ellas
común a todos los términos y diferente a cero que puede ser simplificada.
Si se ha calculado previamente el valor de la reacción mediante las ecuaciones de equilibrio de
la estática, se podrá chequear el resultado. Si está mal o bien ha sido causa de un cálculo
numérico erróneo o bien se ha empleado una geometría que no era compatible con la estructura.
EJERCICIO DE APLICACIÓN
P1
P2
I1
1m
P3
I2
1m
I3
1m
1m
Analizando el desplazamiento S11
1
a=1
b=3
Escriba aquí la ecuación.
3
4
1
4
X
4-X
3
∑M izq. = 4 x
0<x≤1
1
∑M der = 4 (4-x)
1 < x ≤4
∫ 11 =
2
1 1 3
(
𝑥)
𝑑𝑥
∫
𝐸𝐼 0 4
∫ 11 =
1 1 9𝑥 2
1 3
𝑥 𝑥2
1 4
𝑥 𝑥2
∫ (
∫ (1 − + ) 𝑑𝑥 +
∫ (1 − + ) 𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 +
𝐸𝐼 0 16
𝐸𝐼 1
2 16
𝐸𝐼 3
2 16
∫ 11 =
∫ 11 =
1
2𝐸𝐼3
1 𝑥3
9
9
31
[3]+
16𝐸𝐼01
𝐸𝐼
12
1
[ − 0] +
16𝐸𝐼 3
9
1
1 3
∫ (1
𝐸𝐼 1
+
1
𝐸𝐼2
64
𝑋 2
− 4 ) 𝑑𝑥 +
[𝑥] −
3 1
12𝐸𝐼2
[3 − 1] −
1 4
∫ (1
𝐸𝐼 3
𝑥2
𝑥 2
− 4) 𝑑𝑥
𝑥3 4
3 1
1
1
1
2𝐸𝐼2
9
3
2
1
4
1
3
2𝐸𝐼3
[𝑥] −
[ 2 ] + 16 𝐸𝐼 [ 3 ] + 𝐸𝐼
3
1
1
1
[2 − 2] + 16 𝐸𝐼 [9 − 3] + 𝐸𝐼
2
3
𝑥2 4
𝑥3
1
[ 2 ] + 16 𝐸𝐼 [ 3 ]
3
3
[4 − 3] −
[8 − 2] + 16 𝐸𝐼 [ 3 −]
3
∫ 11 =
3
2
2
13
1
7
37
+
−
+
+
−
+
16𝐸𝐼
𝐸𝐼2 16𝐸𝐼2 24𝐸𝐼2 𝐸𝐼1 4𝐸𝐼1 48𝐸𝐼1
∫ 11 =
3
13
1
+
−
16𝐸𝐼2
24𝐸𝐼2 48𝐸𝐼1
∫ 11 =
10
13
+
48𝐸𝐼1
24𝐸𝐼2
∫ 11 =
10
13
+
= 0,000479𝑚
48(106 )(0,001)
24(106 )(0,002)
P=1
a=2
b=2
Escriba aquí la ecuación.
2m
2m
1
2
1
2
4-X
X
3
∑M izq. = 4 x
1
∑M der = 4 (4-x)
0<x≤1
1 < x ≤4
∫ 22 =
2
1 1 1
(
𝑥)
𝑑𝑥
∫
𝐸𝐼 0 3
∫ 22 =
1 1 2
1 2 2
1 3
𝑥2
1 4
𝑥2
∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
∫ (4 − 2𝑥 + ) 𝑑𝑥 + ∫ (4 − 2𝑥 + ) 𝑑𝑥
4𝐸𝐼 0
4𝐸𝐼 1
𝐸𝐼 2
4
𝐸𝐼 3
4
∫ 22 =
1
4𝐸𝐼1
𝑥
+
2
1 2 1
(
𝑥)
𝑑𝑥
∫
𝐸𝐼 1 2
+
1 3
𝑥 2
(2
−
) 𝑑𝑥
∫
𝐸𝐼 2
2
1 1 𝑥3
1 2 𝑥3
4 3
2
[ 3 ] + 4𝐸𝐼 [ 3 ] + 𝐸𝐼 [𝑥] + 𝐸𝐼
4𝐸𝐼1
2 1
2 2
2
0
3
[3]
1
4
𝑥 2
+ ∫3 (2 − ) 𝑑𝑥
𝐸𝐼
2
3 𝑥2
1 3 𝑥3
4 4
2 4 𝑥2
[ 2 ] + 4𝐸𝐼 [ 3 ] + 𝐸𝐼 [𝑥] − 𝐸𝐼 [ 2 ] +
2 2
4 3
1
2
3
1 1
1
[ − 0] + 4𝐸𝐼
4𝐸𝐼 3
2
2
9
1
64
[8 − 2]+ 4𝐸𝐼 [ 3 − 9]
𝐸𝐼1
1
∫ 22 =
8
1
4
𝐸𝐼2
[ 3 − 3] +
[3 − 2] +
2
𝐸𝐼2
9
1
[2 − 2] + 4𝐸𝐼
2
∫ 22 =
1
7
4
5
19
4
37
+
+
−
+
+
−
12𝐸𝐼
12𝐸𝐼2 𝐸𝐼2 𝐸𝐼2 12𝐸𝐼1 𝐸𝐼1 12𝐸𝐼1
∫ 22 =
1
7
+
6𝐸𝐼1
6𝐸𝐼2
∫ 22 =
1
+
6(106 )(0,001)
7
6(106 )(0,002)
8
[9 − 3] +
4
𝐸𝐼1
[1] −
= 0,000750𝑚
Analizando el desplazamiento S33
P=1
b=1
Escriba aquí la ecuación.
a=3
3m
1
4
1m
X
3
4
4-X
𝑥
∑M izq. = 4 x
3
4
∑M der = (4-x)= 3-
3𝑥
4
∫ 33 =
1 1 𝑥 2
∫ ( ) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 4
∫ 33 =
1
3
1
1
1 4
9𝑥 9𝑥 2
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 +
∫ (9 −
+
) 𝑑𝑥
16𝐸𝐼 0
16𝐸𝐼 1
𝐸𝐼 3
2
16
∫ 33 =
1 1 𝑥3
1 3 𝑥3
1 4
1 4 9𝑥
1 4 9𝑥 2
[ ]+
[ ]+
∫ (9𝑑𝑥) −
∫
𝑑𝑥 +
∫
𝑑𝑥
16𝐸𝐼1 0 3
16𝐸𝐼2 1 3
𝐸𝐼1 3
𝐸𝐼1 3 2
𝐸𝐼1 3 16
∫ 33 =
1
13 −03
1
[
] + 16𝐸𝐼
16𝐸𝐼
3
2
∫ 33 =
1
1
1
[ ] + 16𝐸𝐼
16𝐸𝐼 3
2
∫ 33 =
1
26
9
63
111
+
+
−
+
48𝐸𝐼
48𝐸𝐼2 𝐸𝐼1 4𝐸𝐼1 16𝐸𝐼1
∫ 33 =
5
13
+
24𝐸𝐼1
24𝐸𝐼2
+
1 3 𝑋 2
∫ ( ) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 1 4
26
33
13
+
[3 − 3] +
[3]+
9
𝐸𝐼1
1 4
3𝑥 2
(3
−
) 𝑑𝑥
∫
𝐸𝐼 3
4
9 4
9 4 𝑥2
9 4 𝑥3
[𝑥] −
+
[
]
[ ]
2𝐸𝐼1 3
2 𝐸𝐼1 3 2
16𝐸𝐼1 3 3
[1] −
9
2 𝐸𝐼1
7
9
[2] + 16𝐸𝐼
1
37
[3]
∫ 33 =
5
24(106 )(0,001)
+
13
24(106 )(0,002)
= 0,000479𝑚
ANALIZANDO DESPLAZAMIENTO EL S21
P=1
a=1
b=3
Escriba aquí la ecuación.
3
4
1
4
4-X
X
P=1
b=2
Escriba aquí la ecuación.
a=2
1
2
4-X
X
1
2
3
M izq. = 4 x
𝑥
∑M izq. = 2
𝑋
M der = 1- 4
𝑋
∑M der = 2- 2
1 𝑥
1 1 3
1 2
𝑥 1 𝑥
1 3
𝑥 1
𝑥
∫ ( 𝑥) (2) 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 ∫1 (1 − 4) (2) 𝑑𝑥 + 𝐸𝐼 ∫1 (1 − 4) (2 − 2) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 4
1 4
𝑥
𝑥 1
+𝐸𝐼 ∫3 (1 − 4) (2 − 2) 𝑑𝑥
∫ 21 =
∫ 21 =
4
3
1 1 3𝑥2
1 2 𝑥 𝑥2
1 3
𝑥 𝑥 𝑥2
∫
𝑑𝑥 +
∫ − 𝑑𝑥 +
∫ (2 − − + ) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 8
4𝐸𝐼 1 2 8
𝐸𝐼 2
2 2 8
4
2
1
𝑥 𝑥 𝑥
+ ∫ (2 − − + ) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 3
2 2 8
0
4
3
2
2
3
3
3
4
1
1
2
2
2
3
3 1 2
1 2
1 2 2
2 3
1 3
∫ 21 =
∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 𝑑𝑥 −
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥
8𝐸𝐼 0
2𝐸𝐼 1
8𝐸𝐼 1
𝐸𝐼 2
𝐸𝐼 2
3
4
4
4
1
2
1
1
+
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥2 𝑑𝑥
8𝐸𝐼 2
𝐸𝐼 3
𝐸𝐼 3
8𝐸𝐼 3
3 1 𝑥3
1
[ 3 ] + 2𝐸𝐼
8𝐸𝐼1
2
2
1
𝑥2
1
𝑥3
[𝑥] −
[ 2 ]+ 8𝐸𝐼 [ 3 ]
𝐸𝐼1
𝐸𝐼1
1
∫ 21 =
𝑥2
[2]−
4
8𝐸𝐼2
𝑥3
2
[ 3 ] + 𝐸𝐼
2
[𝑥] −
1
𝐸𝐼2
1
3
7
2
5
19
2
7
37
+
−
−
+
+
+
+
+
8𝐸𝐼
4𝐸𝐼2 24𝐸𝐼2 𝐸𝐼2 2𝐸𝐼2 24𝐸𝐼2 𝐸𝐼2 2𝐸𝐼1 24𝐸𝐼1
∫ 21 =
1
3
+
6𝐸𝐼1
4𝐸𝐼2
1
6(106 )(0,001)
+
3
4(106 )(0,002)
= 0,000542𝑚
ANALIZANDO DESPLAZAMIENTO EL S31
P=1
a=1
3
4
b=3
Escriba aquí la ecuación.
1
4
4-X
X
P=1
a=3
1
4
1
8𝐸𝐼2
∫ 21 =
∫ 21 =
𝑃3
𝐿
𝑥2
[2]+
X
b=1
Escriba aquí la ecuación.
4-X
3
4
𝑥3
[3]−
3
M izq. = 4 x
𝑥
∑M izq. = 4
𝑋
M der = 1- 4
∑M der = 3-
3𝑋
4
∫ 31 =
1 1 3𝑥
𝑥
∫ ( ) (4) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 4
1 2
𝑥
𝑥
∫ (1 − 4) (4) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 1
∫ 31 =
1 1 3𝑥 2
1 2 𝑥 𝑥2
1 3 𝑥 𝑥2 1 4
3𝑥 3𝑥 3𝑥 2
∫
𝑑𝑥 +
∫ − 𝑑𝑥 + ∫ −
+ ∫ (3 −
−
+
) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 16
𝐸𝐼 1 4 16
𝐸𝐼 2 4 16 𝐸𝐼 3
4
4
16
∫ 31 =
1
2
3
3
1 2
1
1 3
1
3 4
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 𝑑𝑥 −
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 +
∫ 𝑑𝑥 −
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥
16𝐸𝐼 0
4𝐸𝐼 1
16𝐸𝐼 1
4𝐸𝐼 2
16𝐸𝐼 2
𝐸𝐼 3
+
1 3
𝑥
𝑥
∫ (1 − 4) (4) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 2
+
1
4
𝑥
+𝐸𝐼 ∫3 (1 − 4) (3 −
3 4
3 4 2
−
∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 𝑑𝑥
2𝐸𝐼 3
16𝐼 3
3
∫ 31 =
2
3𝐸𝐼1
𝑥2
3
1 𝑥3
3
1
[ 3 ] + 4𝐸𝐼
16𝐸𝐼1
2
3
[ 2 ]+ 16𝐸𝐼
1
𝑥2
[2]−
1
16𝐸𝐼2
𝑥3
1
[ 3 ] + 4𝐸𝐼
2
𝑥2
1
[ 2 ] − 16𝐸𝐼
2
𝑥2
[3]+
3
𝐸𝐼2
𝑥3
[3]
∫ 31 =
1
3
7
5
19
3
21
37
+
−
+
−
+
−
+
16𝐸𝐼
8𝐸𝐼2 48𝐸𝐼2 8𝐸𝐼2 48𝐸𝐼2 𝐸𝐼2 4𝐸𝐼1 16𝐸𝐼1
∫ 31 =
1
11
+
8𝐸𝐼1
24𝐸𝐼2
∫ 21 =
1
11
+
= 0,000354𝑚
8(106 )(0,001)
24(106 )(0,002)
ANALIZANDO DESPLAZAMIENTO EL S32
[𝑥] −
3𝑥
) 𝑑𝑥
4
P=2
a=2
b=2
Escriba aquí la ecuación.
I2
I1
1
2
I3
1
2
4-X
X
P=2
a=3
b=1
Escriba aquí la ecuación.
X
1
4
4-X
3
4
𝑥
M izq. = 4
𝑥
∑M izq. = 2
M der = 3-
3𝑋
4
𝑋
∑M der = 2- 2
∫ 32 =
1 1 𝑥
𝑥
∫ ( ) (2) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 4
∫ 32 =
1 1 𝑥2
1 2 𝑥2
1 3 𝑥 𝑥2
1 4
3𝑥 3𝑥 3𝑥 2
∫
𝑑𝑥 +
∫
𝑑𝑥 +
∫ ( + ) 𝑑𝑥 + ∫ (6 −
−
+
) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 0 8
𝐸𝐼 1 8
𝐸𝐼 2 2 8
𝐸𝐼 3
2
2
8
+
1 2 𝑥
𝑥
∫ ( ) (2) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 1 4
+
1 3 𝑥
𝑥
∫ ( ) (2 − 2) 𝑑𝑥
𝐸𝐼 1 4
1
4
+𝐸𝐼 ∫3 (3 −
3𝑥
𝑥
) (2 − 2)
4
𝑑𝑥
∫ 32 =
∫ 32 =
1 1 2
1 2 2
1 3
1 4 2
6 4
3 4
∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 𝑑𝑥 +
∫ 𝑥 𝑑𝑥 −
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥
8𝐸𝐼 0
8𝐸𝐼 1
2𝐸𝐼 1
8𝐸𝐼 3
𝐸𝐼 3
𝐸𝐼 3
4
3
+
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
8𝐸𝐼 3
1 1 𝑥3
1 2 𝑥3
1 3 𝑥3
1 3 𝑥3
6 4
3 4 𝑥2
[𝑥] −
[ ]+
[ ]+
[ ]−
[ ]+
[ ]
8𝐸𝐼1 1 3
8𝐸𝐼1
3
2𝐸𝐼2 2 2
8𝐸𝐼2 2 3
𝐸𝐼3 3
𝐸𝐼3 3 2
1
0
3 3 𝑥3 0
+
[ ]
8𝐸𝐼3
3
∫ 32 =
1
7
5
19
6
21
37
+
+
−
+
−
+
24𝐸𝐼
24𝐸𝐼2 1𝐸𝐼2 24𝐸𝐼2 𝐸𝐼2 2𝐸𝐼1 8𝐸𝐼1
∫ 32 =
1
3
+
6𝐸𝐼1
4𝐸𝐼2
∫ 32 =
1
6(106 )(0,001)
+
3
4(106 )(0,002)
PLANTEANDO LA MATRIZ
𝑆11
𝑆12
𝑆13
𝑆31
𝑆32
𝑆33
M=[𝑆21 𝑆22 𝑆23 ]
0,000479
[0,000542
0,000354
0,000542
0,000750
0,000542
𝑆11 = 0,000479 𝑆21 = 𝑆12 = 0,000542
𝑆22 = 0,000750 𝑆31 = 𝑆13 = 0,000354
𝑆33 = 0,000479 𝑆32 = 𝑆23 = 0,000542
0,000354
10 0.01575
0,000542]*[10]=[0.01834]
0,000479
10 0.01375
CALCULANDO EL DETERMINANTE
0,000479
‖𝑀‖ [0,000542
0,000354
0,000542
0,000750
0,000542
0,000354
0,000542]
0,000479
DETERMINANTE= (1,721*10−10+1,040*10−10+1,040*10−10)(9,399*10−10+1,407*10−10+1,407*10−10)
DETERMINANTE= 3,801*10−10-3,753910−10
DETERMINANTE= 4,7110−12 = 0,00000000000471
CALCULANDO LA TRASPUESTA
0,000479
𝑀𝑇 [0,000542
0,000354
0,000542
0,000750
0,000542
0,000354
0,000542]
0,000479
= 0,000542𝑚
3
CALCULANDO LA MATRIZ ADJUNTA DE LA TRASPUESTA
+ − +
(− + −)
+ − +
0,000479
0,000542
0,000354
𝑀𝑇 [0,000542 0,000750 0,000542]
0,000354
0,000542
6,5486 ∗ 10−8
𝐴𝑑𝑗 (𝑀𝑇 ) [−6,775 ∗ 10−8
2,8264 ∗ 10−8
0,000479
−6,775 ∗ 10−8
1,0413 ∗ 10−7
−6,775 ∗ 10−8
2,8264 ∗ 10−8
−6,775 ∗ 10−8 ]
6,5486 ∗ 10−8
CALCULANDO LA MATRIZ INVERSA
𝑀−1 =
𝐴𝐷𝐽(𝑀 𝑇 )
𝐼𝑀𝐼
13903,18
𝑀𝑇 [−14384,29
6000,85
−14384,29
22108,28
−14384,29
6000,85
−14384,29]
13903,18
MATRIZ DE RIGIDEZ K
Conclusiones y resultados
Para el análisis matricial de estructuras es importante definir los desplazamientos
que las cargas impuestas puedan provocar así mismo verificar el módulo de las
deformaciones ocurridas en una estructura para esto se empelan varios métodos de cálculo
en este caso se explicó el método de los coeficientes de influencia y grados de libertad donde
se obtuvieron valores para condensarlos en la matriz de flexibilidad con la cual se pudieron
calcular las deformaciones en una viga simplemente apoyada sobre la cual actuaban varias
cargas, los resultados obtenidos fueron los siguientes: 0,01375m y 0,01834m para las cargas
laterales.