Lista de Ejercicios 1 1. Sean A y B dos matrices de n × m. Si hA, Bi = traza(A> B), (1) pruebe que (1) define un producto interno. Donde la traza de una matriz se define como la suma de los elementos de la diagonal. 2. Si u y w son respectivamente autovectores de A y A> correspondientes a autovalores λ 6= µ, pruebe que u y w son ortogonales. 3. Muestre la siguiente afirmación: Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo si, tiene n vectores caracteristicos linealmente independientes. 4. Una matriz triangular superior T = [tij ] de orden n es invertible si y sólo si, los elementos tii de su diagonal son todos diferentes de cero. En caso afirmativo la inversa t−1 es triangular superior y los elementos de su diagonal son t−1 ii . 5. Sea A = [aij ] una matriz de n × n. Demostrar las siguientes normas inducidas por normas vectoriales. a) kAk1 = máx 1≤j≤n b) kAk∞ = máx n X |aij | i=1 n X 1≤i≤n |aij | j=1 6. Sea A= 1 3 2 −4 Determine kAk1 , kAk2 y kAk∞ . p 7. Pruebe que kAkF = traza(A> A) ası́ definida cumple kABk ≤ kAkF kBkF . Y calcule kIkF . 1
