valvula

Ejercicio Válvula
Una mezcla gaseosa que contiene 30%, en moles, de CO2 y 70%, en moles, de CH4, se pasa
a través de una válvula de expansión de Joule – Thomson. La mezcla gaseosa entra en la
válvula a 70 bar y sale a 10 bar en su punto de rocío. Calcule la temperatura de entrada de
la válvula. Supóngase que las capacidades caloríficas son independientes de la temperatura.
Datos (1=𝐶𝐻4 ; 2 = 𝐶𝑂2 )
𝐶𝑝,1 = 35,8 𝐽 ∗ 𝑚𝑜𝑙 −1 ∗ 𝐾 −1
𝐶𝑝,2 = 37,2 𝐽 ∗ 𝑚𝑜𝑙 −1 ∗ 𝐾 −1
Consideraciones: Para llegar al valor de la temperatura de Roció, se realizó un proceso en la
herramienta Excel que se adjuntara al archivo.
Inicialmente se reconocieron los datos que proporcional el problema, tales como la presión,
los componentes y las fracciones de estos dentro de la mezcla, 𝐶𝑝 de cada sustancia, los
coeficientes variales de sustancia 1 y 2, coeficiente virial mixto y la ecuación virial de
dióxido de carbono.
Como se conoce la presión de vapor del 𝐶𝑂2, cuando el sistema alcanza su punto de roció
se puede suponer que el único componente que se condensa el 𝐶𝑂2, situación que se
asemeja a la realidad.
Procedimiento.
En el planteamiento del ejercicio se especifica que a la salida de la válvula la mezcla está
en su punto de roció, por tanto, el primer dato que se debe hallar es el valor de la
temperatura de roció, es decir la temperatura a la cual se forman las primeras gotas, la cual
será equivalente a la temperatura de salida del sistema.
Para encontrar la temperatura de roció, se organizaron los datos que ya se conocen para
tener más facilidad l acceder a alguno de ellos.
Tabla 1. Composiciones y capacidades caloríficas
#
y
Cp (J/mol-K)
1
CH4
0.7
35.8
2
CO2
0.3
37.2
3
  40.4  25.39*103 T 1  68.7 *105 T 2
B22 cm

mol

3
  41.4  19.50*103 T 1  37.3*105 T 2
B12 cm
mol 

3
  42.5  16.75*103 T 1  25.05*105 T 2
B11 cm
mol 

Se diseño una tabla en la que se identificaron los datos necesarios para lograr hallar el valor
para la temperatura de salida, se establecieron 2 corrientes F (alimento) y O (salida).
Se debe considerar una temperatura de entrada y de salida tentativa, con las cuales se
iniciará el cálculo, teniendo en cuenta que la temperatura de entrada debe ser mayor a la
temperatura de salida.
Tabla 2. Temperatura y presión a la entrada y salida del sistema
corriente
p/bar
T/K
T/Celsius
F
70
300
27
O
10
250
-23
En el caso las temperaturas a considerar son 300 y 250k que en grados Celsius equivale a
26.85 y -71.962 °C respectivamente.
Tabla 3. Coeficientes viriales y de fucacidad
cm3/mol
cm3/mol
cm3/mol
cm3/mol
B11
B12
B22
Bmix
-41.16666667
-65.0444
-120.567
-102.64329
-147.6766
-255.529
bar
c.fugacidad_1
c.fugacidad_2
psat_2
-58.34133333
0.744650449
67.10107066
-135.31694
0.874277389
2.622832063
A continuación, se presenta un atabla con todos los datos necesarios para llegar a la
temperatura de salida, se explicará el procedimiento para obtener cada uno.
El enunciado del problema facilita los coeficientes viriales de cada sustancia y el mixto, a
partir de los cuales se pueden obtener los datos B1,1 – B1,2 – B2,2.
1. Para hallar el primer valor de B1,1:
cm3
𝐵11 [ mol ] = 42.5 − 16.75 ∗ 103 𝑇 −1 − 25.05 ∗ 105 𝑇 −2
Entonces:
16750
𝐵1,1 (F) = 42.5 − ( 300𝑘 )-(
2505000
𝑐𝑚3
3002
𝑚𝑜𝑙
) = −41.1666667
Nota: Se debe tener en cuenta que el valor de la temperatura varia dependiendo de la
corriente en la que se está trabajando, el valor anterior corresponde al valor de 𝐵1,1 para la
corriente del alimento F y a continuación el valor para la corriente de salida O.
16750
𝐵1,1 (O) = 42.5 − ( 250𝑘 )-(
2505000
𝑐𝑚3
2502
𝑚𝑜𝑙
) = −64,58
2. Para obtener el valor de B1,2:
3
  41.4  19.50*103 T 1  37.3*105 T 2
B12 cm

mol

Entonces:
𝐵1,2 (F) = 41.4 − (
19500
300𝑘
)-(
3730000
𝑐𝑚3
3002
𝑚𝑜𝑙
19500
𝐵1,2 (O) = 41.4 − ( 250𝑘 )-(
)= -65.0444
𝑐𝑚3
3730000
)= -96,28 𝑚𝑜𝑙
2502 𝑘
3. Para hallar el valor de 𝐵2,2.
3
  40.4  25.39*103 T 1  68.7 *105 T 2
B22 cm
mol 

Entonces:
25390
𝐵2,2 (F) = 40.4 − ( 300𝑘 )-(
25390
𝑐𝑚3
6870000
𝐵2,2 (O) = 40.4 − ( 250𝑘 )-(
3002 𝑘
)= -120.567 𝑚𝑜𝑙
6870000
2502𝑘
𝑐𝑚3
)= -171,08 𝑚𝑜𝑙
Nota: Para facilidad de cálculos se tomaron los valores de los coeficientes sin notación
científica.
4. Para determinar el valor de 𝑩𝒎𝒊𝒙 se utiliza la siguiente ecuación:
Es decir que:
𝑩𝒎𝒊𝒙 (F) = −𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕(𝟎. 𝟕)𝟐 + 𝟐(𝟎. 𝟕)(𝟎. 𝟑) ∗ (−𝟔𝟓. 𝟎𝟒𝟒𝟒) +
𝑐𝑚3
(−𝟏𝟐𝟎. 𝟓𝟔𝟕)(𝟎. 𝟑)𝟐 = −𝟓𝟖. 𝟑𝟒𝟏 𝑚𝑜𝑙
𝑩𝒎𝒊𝒙 (O) = −𝟔𝟒, 𝟓𝟖(𝟎. 𝟕)𝟐 + 𝟐(𝟎. 𝟕)(𝟎. 𝟑) ∗ (−𝟗𝟔, 𝟐𝟖) + (−𝟏𝟕𝟏, 𝟎𝟖)(𝟎. 𝟑)𝟐 =
𝑐𝑚3
−𝟖𝟕, 𝟒𝟕𝟗 𝑚𝑜𝑙
5. Componentes de fugacidad: Para este cálculo es importante tener presente que solo
debe hallarse el coeficiente de fugacidad para el componente 2, es decir, para el 𝐶𝑂2
dado que en la ecuación de equilibrio solo se encuentra este término para dicho
componente.
y2ˆ2V p  p2sat
Para encontrar el coeficiente de fugacidad del 𝐶𝑂2 se utiliza.
 
p
ln ˆ2   2  y1 B21  y2 B22   Bmix 
RT
Se debe despejar el valor de 𝜙̂2 , y se obtiene:
𝐶𝑓 (F) = 𝑒(2 ∗ (0.7 ∗ −65.0444 + 0.3 ∗ (−120.567)) − (−58.34133) ∗
(
70 𝑝𝑎
𝑏𝑎𝑟∗𝑐𝑚3
83.144
∗300𝑘
𝑚𝑜𝑙∗𝑘
) = 0.744
𝐶𝑓 (O) = 𝑒(2 ∗ (0.7 ∗ (−96,28) + 0.3 ∗ (−171,08)) − (−87,479) ∗
(
10 𝑝𝑎
𝑏𝑎𝑟∗𝑐𝑚3
83.144
∗250𝑘
𝑚𝑜𝑙∗𝑘
) = 0.93039
6. El último dato que se debe encontrar es el valor de la presión de saturación a las
temperaturas estimadas, a través de la siguiente ecuación y despejando el valor
solicitado.
ln  p2sat  bar   10.807 
1980.24
T K 
Entonces:
𝑃𝑠𝑎𝑡 (𝐹) = 𝑒 10.807−
1980.24
300𝑘
= 67.10107066𝑏𝑎𝑟
1980.24
250𝑘
= 17,92 𝑏𝑎𝑟
𝑃𝑠𝑎𝑡 (𝑂) = 𝑒 10.807−
Una vez obtenidos estos valores se procede a establecer una función objetivo la cual a
través del solver Excel nos permitirá modificar la temperatura de salida hasta que el valor
de dicha función sea igual a cero.
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = 0.3 ∗ 0,93 ∗ 10 − 17,92
Ilustración 1 Función Solver
Ilustración 2
Una vez desarrollado el procedimiento el valor de temperatura a la salida obtenido para que
la función objetivo sea igual a cero es 201.1877718 k que corresponde al valor de la
temperatura de roció.
Luego de obtener el valor de la temperatura de salida se debe realizar un proceso similar
para determinar el valor de la temperatura a la entrada del sistema.
Se utilizarán las mismas corrientes, pero el valor de la temperatura de salida es el que se
determinó anteriormente, entonces los datos conocidos son:
corriente
p/bar
T/K
F
70
300
O
10
201.1878
La tabla presentada a continuación
temperatura inicial del sistema.
T/Celsius
27
-71.96222825
contiene los datos necesarios para hallar el valor de la
1. Para encontrar el valor de 𝑑𝐵1,1 se utiliza:
cm3
𝑑𝐵11 [
] = −42.5 ∗ 𝑇 −2 + 2 ∗ (16.75 ∗ 103 ) ∗ 𝑇 −3 + 3 ∗ (25.05 ∗ 105 ) ∗ 𝑇 −4
mol
Entonces:
−42.5
16750
𝑑𝐵1,1 (F) = ( 3002 ) + 2 ( 3003 ) + 3 (
−42.5
16750
𝑐𝑚3
2505000
) = 0.001696 𝑚𝑜𝑙
3004
𝑐𝑚3
2505000
𝑑𝐵1,1 (O) = ( 2502 ) + 2 ( 2503 ) + 3 (
2504
) = 0.007650625 𝑚𝑜𝑙
2. Valor 𝑑𝐵1,2 se utiliza:
cm3
𝑑𝐵12 [
] = −41.4 ∗ 𝑇 −2 + 2 ∗ (19.5 ∗ 103 ) ∗ 𝑇 −3 + 3 ∗ (37.3 ∗ 105 ) ∗ 𝑇 −4
mol
Entonces:
−41.4
19500
𝑑𝐵1,2 (F) = ( 3002 ) + 2( 3003 )+ 3(
−41.4
19500
3730000
3004
𝑐𝑚3
) = 0.0023659 𝑚𝑜𝑙
3730000
𝑐𝑚3
𝑑𝐵1,2 (O) = (201.182 ) + 2(201.183)+ 3( 201.184 ) = 0.010596275 𝑚𝑜𝑙
3. Para obtener el valor de 𝑑𝐵2,2 se utiliza:
𝑑𝐵22 [
cm3
] = −40.4 ∗ 𝑇 −2 + 2 ∗ (25.39 ∗ 103 ) ∗ 𝑇 −3 + 3 ∗ (68.7 ∗ 105 ) ∗ 𝑇 −4
mol
Entonces:
𝑑𝐵2,2 (F) =
−40.4
3002
25390
−40.4
𝑐𝑚3
6870000
+ 2 ( 3003 ) + 3 (
3004
25390
) = 0.003976 𝑚𝑜𝑙
𝑐𝑚3
6870000
𝑑𝐵2,2 (O) = 201.182 + 2 (201.183 ) + 3 ( 201.184 ) = 0.01781716 𝑚𝑜𝑙
4. Para hallar el valor de 𝑑𝐵𝑚𝑖𝑥 :
𝑑𝐵𝑚𝑖𝑥 (F) = 𝑦1 2 ∗ 𝑑𝐵1,1 + 2(𝑦1 ∗ 𝑦2 ∗ 𝑑𝐵1,2 ) + 𝑦2 2 ∗ 𝑑𝐵1,1
Se obtiene:
𝑑𝐵𝑚𝑖𝑥 (F) = (0.72 ) ∗ (0.00169629) + 2(0.7 ∗ 0.3 ∗ 0.0023659) + (0.32 ∗ 0.003976) =
𝑐𝑚3
0.0021827 𝑚𝑜𝑙
𝑑𝐵𝑚𝑖𝑥 (𝑂) = (0.72 ) ∗ (0.007650625) + 2(0.7 ∗ 0.3 ∗ 0.010596275) + (0.32 ∗
𝑐𝑚3
0.01781716) = 0.00980 𝑚𝑜𝑙
Una vez obtenidos estos datos, se procede a encontrar el valor de la entalpia residual para
cada corriente, mediante la siguiente ecuación despejando el valor requerido.
Se procede a despejar la ecuación anterior para poder hallar la entalpia residual, por lo tanto
la
ℎ𝑅 = −𝑃 ∗ 𝑇 2 ∗ 𝐵′𝑚𝑖𝑥
El valor de la entalpia resulta:
ℎ𝑅 (𝐹) = −70 ∗ 3002 ∗ 0.0021827 =
−13751,27
𝐽
= −1375,27
10
𝑚𝑜𝑙
ℎ𝑅 (𝑂) = −10 ∗ 201,18842 ∗ 0.00980 =
−3967,852
𝐽
= −396,7852
10
𝑚𝑜𝑙
𝐽
Para facilitar el cálculo se dejan los resultados en 𝑚𝑜𝑙.
A continuación, se debe obtener el valor que corresponde al 𝐶𝑝𝑚𝑖𝑥 el cual equivale a:
𝐶𝑝𝑚𝑖𝑥 = 0.7 ∗ 35.8 + 0.3 ∗ 37.2
𝐽
El valor obtenido es 36.22𝑚𝑜𝑙∗𝑘 . Este valor es el mismo para las dos corrientes del sistema.
El penúltimo dato que se requiere para la solución del problema es el valor de la Entalpía
ideal de cada corriente la cual se obtuvo:
ℎ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 (𝐹) = 36.22 ∗ (300𝑘 − 298.15𝑘) = 67,007
𝐽
𝑚𝑜𝑙
ℎ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 (𝐹) = 36.22 ∗ (201.18𝑘 − 298.15𝑘) = −3511,9491
𝐽
𝑚𝑜𝑙
El último dato corresponde a la entalpia real, la cual se puede hallar con los datos de
entalpia residual y entalpia ideal, como se expresa a continuación:
ℎ𝑟𝑒𝑎𝑙 = ℎ𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙 + ℎ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
ℎ𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝐹) = −1375,27
ℎ𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑂) = −396,7852
𝐽
𝐽
𝐽
+ 67,007
= −1308,12
𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑜𝑙
𝐽
𝐽
𝐽
+ −3511,9491
= −3908. .734
𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑜𝑙
Se establece una función objetivo mediante la cual se obtendrá finalmente el valor de la
temperatura inicial, mediante la función solver de Excel.
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = ℎ𝑟𝑒𝑎𝑙(𝐹) − ℎ𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑂)
𝐽
𝐽
𝐽
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 = −1308,12 𝑚𝑜𝑙 − (−3908. .734) 𝑚𝑜𝑙= 2600,615 𝑚𝑜𝑙
El valor que arroja la herramienta Excel para la temperatura de la corriente del alimento F
es: 244.69845k
En la siguiente tabla se puede observar, las nuevas propiedades, con la temperatura arrojada
por el solver:
Comentarios
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En el desarrollo del ejercicio propuesto se aprendió el uso de nuevas funciones en
Excel como lo fue el “Solver” que nos ayuda a encontrar un valor optimo para una
fórmula en una celda.
Se comprendió la importancia de la ecuación del Virial en procesos industriales y
como esta resulta funcional para encontrar otras variables importantes tales como: la
entalpia residual, ideal y como estas se relacionan para calcular la entalpia real a
partir de las composiciones de la mezcla, temperatura y presión del sistema
A partir de la identificación tanto de la temperatura de entrada como la de salida,
utilizando la válvula de Joule – Thomson se logro corroborar que estas válvulas son
utilizadas en procesos de enfriamiento para los gases.
Al realizar las derivadas de los coeficientes del Virial se identificó que estos solo
dependen de la temperatura
Se logro identificar que la entalpia de formación se aproxima a 0 debido a que no se
presentan reacciones durante el proceso.