SEGUNDO PARCIAL DE ESTADÍSTICA GRADO EN INGENIERÍA DE iNFORMÁTICA NOMBRE:______________________________________________________________ Resuelve cada pregunta de manera ordenada, especificando la variable aleatoria de la que se trata y su distribución, o sucesos según corresponda. Además, describe lo que se pide en términos de probabilidades, para posteriormente realizar el desarrollo y encontrar el resultado. 1. (2 puntos) En una fábrica que elabora sistemas de riego, se inspeccionan 50 sistemas al final del día. Si alguno es defectuoso, se revisa el proceso de producción en busca de averías. Un determinado día, el 4.8% de la producción total resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que se decida revisar el proceso después de la inspección? Solución: X = nº de defectuosos en 50 sistemas Nos dan la probabilidad de que la producción total sea defectuosa: 𝑝 = . = 0.048 La V.A. X sigue una distribución Binomial de parámetros: 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚(50, 0.048) Se decide revisar el proceso si alguno es defectuoso. Es decir, nos piden calcular: 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − = 1 − 1 ∙ 1 ∙ 0.952 50 0.048 (1 − 0.048) 0 = 1 − 0.085 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟓 2. (4 puntos) El tiempo de vida de una flor en una población de cierto tipo de planta se distribuye como una Normal con media 10 días y varianza 4. a. (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que una flor escogida al azar dure más de 14 días? b. (1.5 puntos) ¿Cuál es el porcentaje de flores que duran entre 7 y 10 días? c. (1.5 puntos) ¿En qué intervalo de tiempo centrado en la media se encuentra el 20% de las flores? Solución: X = tiempo de vida de una flor 𝑋 ~ 𝑁(10, 4) 𝜇 = 10, 𝜎 = 2 a) Probabilidad de que una flor dure más de 14 días 𝑃(𝑋 > 14) = 𝑃 𝑍 > 14 − 10 = 𝑃(𝑍 > 2) = 1 − 𝛷(2) = 1 − 0.9772 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟐𝟖 2 b) Porcentaje de flores que duran entre 7 y 10 días 𝑃(7 < 𝑋 < 10) = 𝑃 <𝑍 < = 𝑃(−1.5 < 𝑍 < 0) = 𝛷(0) − 𝛷(−1.5) = 𝛷(0) − 1 − 𝛷(1.5) = 0.5 − 1 + 0.9332 = 0.4332 El 43.32% de flores duran entre 7 y 10 días. c) Intervalo de tiempo centrado en la media donde se encuentra el 20% de las flores Intervalo centrado en la media: [𝜇 − 𝑑, 𝜇 + 𝑑], donde d es la mitad del ancho del intervalo. Probabilidad que nos dan: 𝑃(𝜇 − 𝑑 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑑) = 0.2 Tipificamos: 𝑃 𝑃 (𝜇 − 𝑑) − 𝜇 (𝜇 + 𝑑) − 𝜇 −𝑑 𝑑 <𝑍< =𝑃 <𝑍< = 0.2 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 −𝑑 𝑑 𝑑 −𝑑 𝑑 𝑑 <𝑍< = 𝛷 −𝛷 =𝛷 − 1−𝛷 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 Despejamos 𝛷 :𝛷 = . = 2𝛷 𝑑 − 1 = 0.2 𝜎 = 0.6 Buscamos dentro de la tabla de la Normal el valor 0.6: 𝑑 = 0.25 𝜎 Entonces: 𝒅 = 0.25 𝜎 = 0.25 ∙ 2 = 𝟎. 𝟓 El intervalo de tiempo es: [𝟗. 𝟓, 𝟏𝟎. 𝟓] 3. (4 puntos) En una empresa se utilizan tres tipos de máquinas para la elaboración del yogurt siendo las producciones de cada máquina las siguientes: A (30%), B (10%) y C (60%). Algunas de las máquinas, a su vez, tienen cámaras para la conservación del yogurt fabricado. Los porcentajes de máquinas con cámara son, para cada tipo, 20%, 40% y 5%, respectivamente. a. (1.5 puntos) Calcula la probabilidad, de que una máquina elegida al azar tenga cámara. b. (1.5 puntos) Calcula la probabilidad de que una máquina sin cámara sea del tipo A. c. (1 punto) Si una máquina elegida al azar tiene cámara, ¿a qué tipo es más probable que pertenezca? Solución: Sea los siguientes sucesos T = Tener cámara A = máquinas de tipo A B = máquinas de tipo B C = máquinas de tipo C De acuerdo al enunciado, tenemos las siguientes probabilidades. P (A) = 0.3; P (B) = 0.1; P (C) = 0.6; P (T/A) = 0.2; P (T/B) = 0.4; P (T/C) = 0.05 Los sucesos A,B,C son un recubrimiento total de nuestro espacio de sucesos (máquinas) y son disjuntos. Además, no podemos suponer que el suceso T sea independiente de los sucesos A, B y C, puesto que el enunciado no dice nada acerca de la independencia y por lo tanto tendríamos que demostrarlo. Veremos posteriormente que P(T/A) = 0.2 es distinta a P(T), condición indispensable para que exista independencia. (a) Aplicando la fórmula de la probabilidad total, se tiene que: P (T) = P (T|A)*P (A) + P (T|B)*P (B) + P (T|C)*P (C) = 0.2*0.3 + 0.4*0.1 + 0.05*0.6 = 0.06 + 0.04 + 0.03 = 0.13 Por lo que la elección al azar de una máquina que tenga cámara es bastante baja, solo tiene una probabilidad de 0,13. b) La probabilidad que se nos pide es condicionada, tenemos un conocimiento a priori, ese conocimiento es que la máquina no tiene cámara y queremos conocer la probabilidad de que pertenezca al tipo A. Para resolverlo aplicamos el teorema de Bayes: P(A|Tc)= P(A∩ Tc) /P (Tc) = [1−P (T|A)]*P (A) / 0.87 = (0.8*0.3)/ 0.87 = 0.276 c) La probabilidad que se nos pide es condicionada, tenemos un conocimiento a priori, que es que tiene cámara, y queremos conocer la probabilidad para cada tipo de máquina para elegir el tipo de máquina más probable con cámara. Aplicando el teorema de Bayes: P(A/T)= [P(T/A) *P(A)]/ P(T) = (0,3*0,2)/0,13 = 0,46 P(B/T) = [P(T/B) *P(B)]/ P(T) = (0,4*0,1)/0,13 = 0,3 P(C/T) = [P(T/C) *P(C)]/ P(T) = (0,05*0,6)/0,13 = 0,23 Por lo que el tipo más probable es el A.
