Subido por antonio alcalde creo

Q2 Tema0 Repaso de calculo diferencial e integral

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QUIMICA II
Primer Curso – Segundo cuatrimestre
Grado en Ciencias del Mar
Facultad de Ciencias del Mar
REPASO DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Función: y = f(x) o y = y(x) significa que para cada valor dado de x (independiente)
existe un valor especificado de y (dependiente). Se puede despejar x = g(y), de forma
que es una cuestión de conveniencia cuál de las variables se considera independiente.
Límite de una función: limx→a f(x) = c significa que para todos los valores de x
suficientemente próximos a a (pero no necesariamente iguales) la diferencia entre f(x) y
c puede hacerse tan pequeña como se quiera.
Ejemplo: para calcular límx→0 (sen x)/x no vale hacer x = 0 porque da 0/0 que es
indeterminado. Para hacerlo, calculamos los siguientes valores de (sen x)/x, donde x se
da en radianes: 0,99833 para x = ±0,1; 0,99958 para x = ±0,05; 0,99998 para x = ±0,01,
etc. Por lo tanto,
Pendiente. La pendiente de una línea recta se define como:
(y 2 -y1 )/(x 2 -x1 ) =Δy/Δx
siendo 1 y 2 son las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta. Si escribimos
la ecuación de la recta en la forma y = mx + b, se deduce que la pendiente de la recta
es m y b es la ordenada en el origen (valor de y cuando x = 0).
La pendiente de una curva en un punto P se define como la pendiente de la recta
tangente a la curva en P.
Derivadas. Si en una función y = f (x) la variable independiente cambia su valor de x a
x + h entonces y cambiará su valor de f(x) a f(x + h). El límite de la velocidad de cambio
cuando la variación Δx tiende a cero se denomina derivada de la función f(x)
En la figura se muestra que la derivada de la
función y = f (x) en un punto dado es igual a la
pendiente de la curva de y frente a x en ese punto.
Según se acerca el punto 2 al punto 1, la magnitud
Δy / Δx = tanθ se aproxima a la pendiente de la
tangente a la curva en el punto 1.
Ejemplo: y = x2
Puesto que f'(x) se define por medio de un límite, para pequeñas variaciones de x e y la
derivada f'(x) será aproximadamente igual a Δy / Δx . Por lo tanto, Δy ≈ f'(x)Δx , para
valores pequeños de Δx. Esta ecuación se hace más y más exacta a medida que Δx
disminuye. Se puede concebir un incremento infinitesimal de x, que representamos por
dx, y si la variación infinitesimal de y es dy, entonces dy = f' (x)dx ó también dy = y'(x)dx
Las cantidades dy y dx se llaman diferenciales y la notación dy/dx es una
alternativa para la derivada.
Reglas de manejo de derivadas:
1.- suma de funciones:
2.- producto de funciones:
3.- cociente de funciones
4.- regla de la cadena. Sea una función z = z (x), pero a su vez x = x (r). Entonces z es
función de r, z = z (x) = z[x(r)] = g(r). La regla de la cadena establece que
dz ⎛ dz ⎞ ⎛ dx ⎞
=
dr ⎜⎝ dx ⎟⎠ ⎜⎝ dr ⎟⎠
Ejemplo: queremos obtener d sen 3r2/ dr. Si z = sen x y x = 3r2 entonces z = sen 3r2 y
la regla conduce a dz/dr = (cos x) (6r) = 6r cos 3r2
Algunos ejemplos de derivadas.
Sean a y n constantes y las funciones u = u (x) y v = v (x):
y las diferenciales son:
Máximos y mínimos
Hemos dicho que la derivada dy/dx en un punto es la pendiente de la función
y(x) en ese punto. Con la excepción de y(x) = cte, las funciones pueden crecer o
disminuir al variar x. Calculando la derivada (pendiente) en un punto podemos saber si
la función va a crecer o decrecer al variar x, sin necesidad de hacer la representación
gráfica. Si dy/dx > 0 la función y(x) crece al crecer x. Si dy/dx < 0 la función y(x)
decrece al crecer x
De la misma forma, la derivada permite determinar el máximo o el mínimo (si los
hay) de una función y(x). Para una función con derivada continua, la pendiente de la
curva tiene que ser cero en los máximos y en los mínimos. Por tanto, para localizar un
extremo buscamos los puntos donde se cumpla que dy/dx = 0
Ejemplo. Función cúbica y = 2x3 -6x +2, cuya representación se ve en la figura.
Igualando a 0 la derivada: dy/dx = 6x2 – 6 = 0, se obtiene que x2 – 1 = 0, de modo que
para x = +1 o -1 hay máximo o mínimo (en esos valores de x la pendiente es nula)
El valor de y en los extremos es y(1) = -2 y de y(-1) = 6. Para saber si tenemos un
máximo o un mínimo tendríamos que calcular valores de la función para valores
positivos de x algo mayores y algo menores que x = 1. Si estos valores de y son
mayores que -2 se trata de un mínimo. De igual forma si para valores negativos de x
cercanos a x = -1 se obtienen valores de y < 6, se trata de un máximo. Sin embargo
hay un procedimiento mucho más cómodo para saber si un punto de una función es
máximo o mínimo
Segunda derivada
La segunda derivada se define como la derivada de la primera derivada: d2y /dx2
= d (dy/dx)/ dx.
Si se calcula el valor de la derivada segunda en el punto extremo se decide qué
tipo de punto es, ya que:
Si en ese punto de d2y/dx2 > 0 se trata de un mínimo
Si en ese punto de d2y/dx2 < 0 se trata de un máximo
Si en ese punto de d2y/dx2 = 0 se trata de un punto de inflexión (punto en el que
una función cambia para pasar de una zona de máximo a otra de mínimo o
viceversa)
En el ejemplo anterior la derivada segunda es d2y/dx2 = 12 x, de modo que si x = +1
entonces d2y/dx2 = 12 > 0 ( y el punto (-2,1) es mínimo) y si x = -1 d2y/dx2 = -12 < 0 (y el
punto (6, -1) es máximo). Obsérvese que el punto (2,0) es un punto de inflexión
Derivadas parciales
En Termodinámica se trabaja mucho con funciones de dos o más variables. Sea
z una función de x e y; z = f(x, y). POR DEFINICIÓN la derivada parcial de z respecto
ax
que es análoga a la definición de la derivada ordinaria, ya que si y fuera una constante
la derivada parcial se convertiría en la derivada ordinaria dz / dx. En Termodinámica hay
muchas variables posibles, y para evitar confusiones es esencial indicar qué variables
se mantienen constantes en una derivada parcial. Análogamente la otra parcial es
Puede haber más de dos variables independientes. Por ejemplo, sea z = g (w, x, y). La
derivada parcial de z respecto a x para w e y constantes es
¿Cómo se calculan las derivadas parciales? Para hallar (∂z / ∂x )y tomamos la derivada
ordinaria de z respecto a x, considerando y como una constante, y lo contrario para
calcular (∂z / ∂y )x .
Ejemplo.
Para la función
(∂z / ∂x )y =2.xy3 + y eyx
z = x2y3 + eyx
(∂z / ∂y )x = 3x2y2 + x eyx
Diferencial total
Sea z = f(x, y). Si x cambia una cantidad infinitesimal dx mientras que y
permanece constante ¿cuál es el cambio infinitesimal dz? Si z fuera una función de x
exclusivamente, entonces dz = (dz/dx)dx pero como z depende también de y, la
variación infinitesimal de z con x para y constante viene dada por la expresión
dz =(∂z/∂x)y dx . De la misma forma, si x se mantuviera constante, tendríamos
dz =(∂z/∂y )x dy . Si tanto x como y experimentan cambios infinitesimales, la dz es la
suma de las variaciones infinitesimales debidas a dx y dy:
Esta expresión de dz se denomina diferencial total de z(x,y), muy frecuente en
termodinámica. En general, para una función u =u (x1, x2, x3,…) la diferencial total es
Para entender el significado de las parciales consideremos el volumen de un
cilindro de base de radio r y altura h, V = f (r , h ) = π r 2 h . Cualquier cambio infinitesimal
en r, dr, o en h, dh, causará en cambio infinitesimal en V, dV y así:
Sin embargo la forma en la V cambia con r, no es lo mismo que con h. Las parciales
son:
con lo que el cambio total es
. La cantidad 2π rhdr es el
volumen de un cilindro hueco de espesor dr y altura h, y el volumen total podríamos
verlo como la suma de los volúmenes de muchos cilindros huecos concéntricos desde r
= 0 hasta r = r. Cualquier cambio en r afecta al volumen total porque aumentará o
disminuirá el número de cilindros concéntricos. Por otra parte la cantidad π r 2dh es el
volumen de una delgada placa circular de espesor dh. Ahora el volumen total puede
tomarse como la suma de muchas placas desde h = 0 hasta h = h. Cualquier cambio de
h afecta al volumen porque variará el número de placas apiladas. El cambio en el
volumen es la suma de estos dos cambios
Relaciones útiles entre derivadas parciales
a) Para un proceso infinitesimal en el que y no cambia, la variación infinitesimal
dy es 0, y entonces
donde el subíndice y indica que estas variaciones infinitesimales ocurren a y constante.
Dividiendo por dzy, se obtiene
ya que a partir de la definición de derivada parcial, el cociente de infinitésimos es una
derivada parcial. Por lo tanto,
Obsérvese que la misma variable, y, se mantiene constante en ambas derivadas
parciales
b) Para un proceso infinitesimal en el que z = cte
Dividiendo por dyz y teniendo en cuenta que dxz/dyz es igual a (∂x/∂y )z
donde se ha usado el recuadro anterior con x e y intercambiados. Multiplicando por
(∂y/∂z )x se llega a la relación
Esta ecuación (regla de la cadena de Euler) parece terrible pero es fácil de recordar
debido a la sucesión simple de variables y además la variable que se mantiene
constante en cada parcial es la que no aparece en esa derivada. Los términos no se
cancelan para dar +1 en lugar de -1 ya que sólo se pueden cancelar cuando se
mantiene constante la misma variable en cada derivada parcial. La variación
infinitesimal dyz con x para z constante no es igual a la variación infinitesimal dyx en la
que x es constante y z varía.
c) Volviendo al caso en que la variación infinitesimal dy es 0
y sea ahora u otra variable. Dividiendo por duy, se obtiene
con lo que
Se pueden dar cancelaciones y la igualdad se cumple porque se mantiene constante la
misma variable en cada derivada parcial.
d) Para una función f(x,y,z) se puede demostrar que se cumple que:
e) Una función de dos variables independientes z(x, y) tiene cuatro derivadas
parciales segundas:
Si ∂z 2 / ∂x ∂y y ∂z 2 / ∂y ∂x son continuas, como suele suceder en aplicaciones físicas,
se puede demostrar que son iguales:
de modo que el orden de la diferenciación no importa
Ejemplo. Para la función f = ax3y + by2 las derivadas parciales son
la diferencial total es
y se cumple que
f) La diferencial de una función f(x,y)
se dice que es una diferencial exacta cuando se cumple que:
Cuando no se cumple se llama diferencial inexacta. La integral de una diferencial exacta
entre unos límites es independiente del camino
Ejemplo: La diferencial df = 3x2y3dx + 3y2x3dy es exacta ya que g(x, y) = 3x2y3 y h(x, y)
= 3y2x3, de modo que (∂g/∂y)x = 9x2y2 y (∂h/∂x)y = 9x2y2
REPASO DE CÁLCULO INTEGRAL
Integral indefinida Con frecuencia se quiere encontrar una función y(x) de la que se
conoce su función derivada dy/dx = f(x). La función y(x) más general que satisface esta
ecuación se llama integral indefinida de f(x), y se representa por ∫ f(x) dx
La función f(x) que se integra en se denomina integrando. Como la derivada de una
constante es cero, la integral indefinida de cualquier función contiene una constante
aditiva arbitraria. La integración de una función es el proceso inverso de la
diferenciación. Si se integra una función y después se diferencia la función resultado,
tiene que volverse a la función original.
Ejemplo. Si f(x) = x, su integral indefinida es y(x) = (1/2) x2 + c, donde c es una
constante arbitraria. Se puede comprobar este resultado ya que (d/dx) ((1/2)x2 + c) = x.
Para ahorrar espacio, las tablas de integrales indefinidas omiten a menudo la constante
arbitraria C.
Es necesario repasar la integración de las funciones más esenciales.
Algunas integrales indefinidas (a y n son constantes no nulas y C es una constante
arbitraria):
Para funciones mas complicadas hay Tablas de integrales y también pueden
calcularse por medio de métodos de análisis numérico que se usan mediante
programas de ordenador.
Algunas técnicas de integración útiles
1. Método de Integración por partes. Para dos funciones f y g
2.- Método de fracciones parciales. Para resolver una integral de la forma, siendo a y b
constantes
Se hace:
y entonces
Integral definida La integral definida de una función f(x) entre los límites a y b se
representa mediante el símbolo
Es un número cuyo valor se halla de la siguiente forma. Partiendo de la representación
gráfica de la función f(x), al área bajo la función, entre los límites a y b, se calcula
dividiéndola en muchos rectángulos de anchura δx. El área es la suma de todos los
productos entre el valor de la función en un punto
(altura) y la anchura del intervalo la suma de las
áreas de todos los rectángulos), es decir:
área entre a y b =
Si se hace que el intervalo sea infinitamente
pequeño, es decir, que sea diferencial, dx, la suma
se extiende a infinitos rectángulos de espesor
infinitesimal y la integral definida es límite del
sumatorio cuando δx→0:
área entre a y b =
Por lo tanto, se puede interpretar la integral definida como un área. Las áreas situadas
por debajo del eje x, donde f(x) es negativa, dan lugar a contribuciones negativas a la
integral definida.
El cálculo de una integral definida mediante la determinación gráfica de un área
es tedioso y está sometido a errores. Hay que hacerlo así si no se dispone la expresión
de la función a integrar, pero si se dispone de esa función entonces hay un teorema
fundamental del cálculo integral (demostrable) que permite evaluar una integral definida
de f(x) a partir de la integral indefinida y(x), según:
Ejemplo. Si f(x) = x y los límites son a = 2 y b = 6, podemos tomar y = (1/2)x2 (o añadir
una constante C) y
∫
6
2
xdx = (1/2)(62 ) - (1/2)(22 ) =16 .
A partir de lo anterior dos identidades que se obtienen directamente son
El cambio de variable es un método importante para evaluar integrales. Ejemplo. Para
calcular
∫
3
2
x exp( x 2 )dx , se puede hacer z = x2, con lo que dz = 2xdx y entonces
Hay que observar que los límites han cambiado de acuerdo con la sustitución z = x2
Es importante observar que la derivada de una integral indefinida es una función
igual al integrando: (d/dx) ∫ f(x)dx = f(x). Sin embargo, como una integral definida es un
número su derivada es nula:
Integración de funciones de mas de una variable
La integración respecto a x de una función de dos variables se define de forma
similar a la anterior. Si y(x, z) es la función más general que satisface
entonces la integral indefinida de f(x, z) respecto a x es
Ejemplo. Si f(x, z) = xz3 entonces y(x, z) = (1/2)x2z3 + g(z), donde g es una función
arbitraria de z.
Lo mismo que antes, la integral definida de f(x, z) viene dada por
Ejemplo.
Las integrales indefinida y definida anteriores son similares a las integrales de
una función f(x) de una sola variable, ya que al integrar se considera la otra variable
independiente z como constante; z se comporta más como un parámetro que como una
variable. (Parámetro: magnitud que es constante en cada caso particular pero cuyo
valor puede cambiar de un caso a otro. P. ej. en la segunda ley de Newton F = ma, la
masa m es un parámetro. Para un cuerpo dado cualquiera m es constante, pero su
valor cambia de un cuerpo a otro.)
A diferencia de lo anterior en Termodinámica hay que integrar con frecuencia
una función de dos o más variables en la cual todas las variables cambian en la
integración. Tales integrales se denominan integrales de línea
BIBLIOGRAFIA
Levine, I. N., Fisicoquímica (5ª Ed.), Vol. 1, Mc Graw Hill, 2004
Atkins, P. W., De Paula, J., Fisicoquímica (8ª Ed.), Panamericana, 2008
Barrante, J. R., Applied Mathematics for Physical Chemistry (3th Ed.), Prentice
Hall, 1998
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