Subido por Roberto Roldán

Repaso Lúdico de Números Complejos

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Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006
Profesor Francisco Humberto Tolosa
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Roberto Gabriel Roldán - PPD3
Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006
Profesor Francisco Humberto Tolosa
Espacio Curricular: Matemática.
Nombre del profesor a cargo: Silvana Díaz
Nombre de profesor practicante: Roberto Roldán
Fecha: A convenir
Hora: de 8:00 hs a 10:20 hs
Curso y División: 4° 2°.
Saberes:

Realizar operaciones de distinta índole, distinguiendo distintos grupos
numéricos, sus alcances y limitaciones. Utilizar el plano y la recta como
elemento de representación geométrica de conceptos algebraicos.
Aprendizajes específicos:
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
Concepto de número complejo, unidad imaginaria y su relación con los
números reales.
Plano complejo. Representación gráfica de un número complejo.
Conjugado y Opuesto de un número complejo.
Suma, resta, multiplicación y división de números complejos.
Objetivos:
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Reforzar los conocimientos previos y reflexionar acerca de la naturaleza
de los números.
Presentar alternativas al modo de enseñar, de aprender y de estudiar las
matemáticas.
Tiempo: 120 minutos
Recursos:
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

Pizarrón.
Fibrones.
Juegos de mesa.
Capacidades:

Relacionar el conjunto numérico complejo y su posible uso.
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Identificar números complejos y representarlos en forma binómica y
cartesiana.
Interpretar el opuesto y el conjugado de un número complejo.
Adquirir criterios y estrategias para resolver adecuadamente las
operaciones con números complejos (suma, resta, multiplicación y
división).
Evaluación:
Técnicas:

Observación sistemática y participativa.
Instrumentos:
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Registro escrito de las actividades realizadas.
Planilla de seguimiento.
Entrega de las producciones realizadas en clase.
Criterios:
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Participación respetuosa.
Comportamiento adecuado en el aula.
Bibliografía:
Matemáticas Simplificadas – 2º Edición. CONAMAT
Guía de trabajo provista por la profesora Silvana Díaz.
https://www.actiludis.com/2017/12/10/juego-serpientes-escaleras-palillos/
https://www.pinterest.es/
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Naturales_complejos/1
0_division.htm
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Inicio (20 min)
1. Comienzo saludando a los estudiantes y presentando a la profesora a
cargo de la observación.
2. Para empezar la recuperación de conocimiento previo se formula la
siguiente pregunta:
¿Qué tienen en común estas tres situaciones? Escribiendo estas tres
ecuaciones en el pizarrón:
a. √−9
b. Factorear el binomio (
c.
+1=0
+ 2 ) recurriendo al señor PIPI (6º caso)
Respuesta esperada: Qué no tienen solución con los números que conocemos
o que no se pueden solucionar con los números reales (respuesta optimista).
3. Continuo con el desarrollo de dos soluciones en el pizarrón.
Por ejemplo: la ecuación
+ 1 = 0 impone la necesidad de que
esta igualdad no se cumple para ningún número real.
= −1 y
¿Quién podrá ayudarnos en este embrollo?
“i”
¡la unidad imaginaria! que cumple con la propiedad de
= −1 y
por lo tanto se define como = √−1.
Asi que
+1=0→
= −1 →
= √−1 →
=
Por otro lado teníamos que
√−9 =
9 ∗ (−1) = √9 ∗ √−1 = 3 ∗ = 3
Este número (3 ) acompañado de la unidad imaginaria se llama
Y como recuerdan, la combinación de los números reales y los números
imaginarios daba lugar a los
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4. Continuamos recuperando conocimiento previo.
¿Recuerdan que dos maneras teníamos de escribir los números complejos?
Respuesta y desarrollo en pizarra.
Notación cartesiana
Z = (a,b) donde Re(Z)= a y Im(Z)= b
Por ejemplo: Z=(-1,5), donde Re(z)=-1 y Im(Z)=5
Notación binómica
Z = a+bi donde Re(Z)= a y Im(Z)= b
Por ejemplo: Z=-1+5i, donde Re(z)=-1 y Im(Z)=5
¿Y cómo representamos gráficamente los números complejos?
Respuesta esperada y esquema en pizarra
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Los números complejos se representan en un plano cartesiano denominado
, donde el eje x se denomina eje real y el eje y, eje
imaginario.
Para terminar el repaso ¿Cómo se obtiene el conjugado y el opuesto de un
número complejo?
Respuesta estimada: Para obtener el conjugado de un complejo solo debo
cambiar de signo la parte imaginaria y para obtener el opuesto, debo cambiar
el signo tanto de la parte real, como de la imaginaria.
Opuesto: Dado un número complejo Z = a+bi, su opuesto –Z se obtiene
cambiando de signo su parte real y su parte imaginaria, - Z = -a+(-b)i.
Conjugado: Dado un número complejo Z = a+bi, su conjugado
se obtiene
cambiando de solo su parte imaginaria, = a+(-b)i
OPUESTO
CONJUGADO
A continuación se les entrega a los estudiantes un texto que les servirá de
ayuda memoria en el juego que se desarrollara a continuación.
Desarrollo.
Juego 1: Conceptos básicos de complejos. Escaleras &
Serpientes. (40 min)
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A continuación se armaran grupos de 4 estudiantes, donde jugaran 2
contra 2.
Se repartirán dos tableros de escaleras y serpientes, uno con las
actividades y otro con las respuestas correctas, dos fichas, un dado y
algunos planos cartesianos impresos.
Brevemente se explicarán las reglas del juego, que estarán impresas en
el tablero de las respuestas. Se les pedirá que resuelvan todos los
ejercicios en una hoja, con nombre y apellido de los miembros del
equipo para ser entregada al final del juego para corrección.
Se hace un lanzamiento inicial del dado y el grupo que saque el número
más alto comienza el juego.
Los jugadores comienzan con una ficha en la casilla inicial turnándose
para lanzar un dado para avanzar las casillas correspondientes. Las
fichas se mueven según la numeración del tablero, en sentido
ascendente.
Si al finalizar un movimiento un jugador cae en un casillero en donde
comienza una escalera, sube por ella hasta el casillero donde ésta
termina.
Si, por el contrario, cae en uno en donde comienza la cabeza de una
serpiente, desciende por ésta hasta el casillero donde finaliza su cola.
A continuación realizara en una hoja un ejercicio indicado en el casillero.
Si lo hace correctamente, avanza una casilla más, caso contrario
retrocede una casilla.
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o Si avanza hacia una cabeza de víbora por responder
correctamente, no deberá bajar hacia su cola.
o Si retrocede hacia una cabeza de víbora por responder
incorrectamente, deberá bajar hacia su cola.
o Si avanza hacia una escalera por responder correctamente, podrá
ascender por ella.
El jugador que logra llegar al casillero final es el ganador, aunque se
puede acordar obtener exactamente el número que le falta para llegar a
la casilla final, mientras no lo consiga rebotara y andará hacia atrás.
Nota: Se dispondrá de varios tableros con distintos ejercicios para que
aquellos que vayan terminando se mantengan ocupados y no se dispersen.
Poco antes del recreo se procederá a la recolección de todo el material
producido por los estudiantes.
Operaciones con números complejos (30
min)
1. Volviendo del recreo se entregará a los alumnos un texto a modo de
resumen con las operaciones con complejos vistas en clase y se les
brindará una muy breve explicación.
Algunos tips para recordar:
Suma: Para obtener la parte real de la
suma, sumamos las partes reales de los
complejos sumados. Para obtener la
parte imaginaria de la suma, sumamos
las partes imaginarias.
Resta: Siendo Z1 y Z2 dos números
complejos, su resta Z1 - Z2 = Z1 + (-Z2).
Es decir, para restar dos números
complejos, sumamos al minuendo Z1, el
opuesto del sustraendo –Z2.
Multiplicación: Acá hay que recordar dos cosas: Primero, hay que aplicar
propiedad distributiva. Segundo: i2 = -1.
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División: Para dividir dos complejos se multiplica el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador, así el denominador pasará a
ser un número real.
Finalmente se separan la parte real y la parte imaginaria.
Ejemplo:
3. Se les hará entrega de tableros de escaleras y serpientes con
ejercitación sobre operaciones con complejos. Las reglas y modo de
trabajo no varían respecto del momento anterior.
Cierre (10 min)
1. Se les pedirá a los estudiantes un momento de atención del juego que
están efectuando.
2. A continuación se mostraran a los alumnos unas imágenes y se
efectuara la pregunta ¿Tiene algo que ver esto con los números
complejos?
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3. Luego de mostrar esas imágenes se hablara de la importancia y el
extenso campo de aplicación de los números complejos, de su
importancia en el desarrollo tecnológico y en nuestra vida diaria.
4. Se les entregará a los alumnos el texto: Los Números Complejos ¿Se
Usan Para Algo?
5. Se agradece a todos los presentes, se solicita que entreguen las hojas
con los ejercicios producidos y se da por finalizada la clase.
Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya
descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos
números.
Como ejemplos de aplicación podemos citar:
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En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma
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
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permita que el aire fluya sin turbulencias.
El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la
ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y
astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la
ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de
energía, el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En
el lenguaje para describir las señales y en las herramientas para
analizarlas intervienen los números complejos.
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para
la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el
tiempo como una variable imaginaria.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica.
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Juegos alternativos.
Juego 1: Notación Cartesiana
complejo. Juego de memoria.
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y
binaria.
Plano
En este primer juego dispondremos fichas boca abajo con números
complejos en notación binómica y en notación binaria, acompañadas de
una hoja con un sistema de ejes cartesianos.
El objetivo será formar pares de fichas coincidentes y representar el
número complejo hallado en un plano complejo.
El participante con más pares formados y correctamente ubicados en el
plano complejo, ganara el juego.
El par mal representado será anulado.
Juego 2: Conjugados y opuestos. Casita Robada
1. Se reparten 4 cartas a cada jugador y otras 4 se ponen sobre la mesa.
2. A su turno, cada jugador puede robar cartas que estén sobre la mesa y
que sean opuestos o conjugados de la carta que tiene en la mano. Por
ejemplo, si en la mesa hay un 1-5i, se puede robar con otra carta 1+5i
(conjugado) o con un -1+5i (opuesto).
3. Si al turno de jugar no se tiene ninguna carta para levantar, debe tirar
una.
4. Las cartas robadas se dejan apiladas al lado del jugador que las ha
cogido (“casita”) con la numeración hacia arriba, para que el contrincante
pueda verlas y se puede robar el opuesto o el conjugado de la carta. La
casita se roba cuando el contrincante tenga es opuesto o el conjugado y
alguno de estos no se encuentre sobre la mesa.
5. Se van repartiendo en cada mano 3 cartas y se va robando la casita
siempre y cuando se tenga la carta de la casita.
6. Gana, cuando se acaban las cartas, el que tiene la casa más grande.
7. Si un individuo pudo robar ya sea carta del centro o de una casa otro
jugador podrá "soplar" y realizar la jugada no efectuada anteriormente.
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