la escuela pitagórica: a escuela de Pitágoras tenía varias particularidades. Cada miembro tenía la obligación de pasar un período de cinco años de contemplación, manteniendo un silencio perfecto. Los miembros tenían todo en común, debían abstenerse de alimentos de origen animal y tenían una fe ardiente hacia su maestro y fundador de la escuela. una sociedad o secta científica y religiosa, también política (con un signo conservador, ligada a grupos de filiación aristocrática). Era monástica, pero aceptaba hombres y mujeres con iguales derechos. No había obligación de celibato. El conocimiento generado debía ser considerado una obra colectiva. Se sabe que sus enseñanzas a los seguidores se vieron envueltas en dos divisiones principales: la ciencia de los números y la teoría de la grandeza. La primera división está compuesta por dos ramas: la aritmética y la armonía musical, la segunda también se subdividió en dos ramas, la geometría y la astronomía. Las peculiaridades más llamativas de sus doctrinas estaban relacionadas con los conceptos matemáticos, las ideas y las simbolizaciones numéricas en la que descansaba su filosofía. Los pitagóricos consideraban el número como la base del universo, todas las cosas se podían contar, incluyendo la longitud. Contar con una longitud era necesario como los pitagóricos y asume que siempre podría encontrar una unidad de medida. Una vez que la medida se encuentra en un problema particular, sería la unidad y no podría dividirse. Fuente original: Escuelapedia.com Existía un nivel de secreto en sus enseñanzas: y en cada categoría y nivel de educación se daba una enseñanza de algunos estudios específicos. El único mérito que obtenían los pitagóricos era la capacidad para permitir el paso a una clase superior y el conocimiento de los misterios más recónditos. Se suele atribuir a los pitagóricos el primer reconocimiento del carácter abstracto de las matemáticas. Su más famosa idea, tal vez, fue el considerar los números como elementos constituyentes de la realidad. Algo así como que los números eran los átomos del mundo. Otro elemento central para la definición de las matemáticas. La teoría pitagórica de los números tuvo importantes implicaciones en el desarrollo de las matemáticas En las primeras etapas esta consideración de los números como constituyentes de la realidad era prácticamente literal, de hecho para los pitagóricos los números eran puntos o nudos geométricos (números triangulares, etc.). En las siguientes etapas hay una mayor persistencia de problemas abstractos. Eudemo afirma que Pitágoras fue el creador de las matemáticas puras. Aunque, debe tenerse en mente, muchos griegos expresamente afirmaron que el origen de las matemáticas estaba en Egipto; por ejemplo, el mismo Aristóteles. PROBLEMA DE LOS IRRACIONALES Paradójicamente, el descubrimiento de los números irracionales lo realizaron a través del teorema de pitagoras, cuando vieron que era imposible encontrar una unidad que permitiera medir de manera exacta, simultáneamente la diagonal y el lado del cuadrado o bien la diagonal y el lado de un pentágono regular, debido a que su resultado es la raíz cuadrada de dos, y su cálculo es el número uno seguido de infinitas cifras (1,4142135...). En otras palabras, se encontraron con los números inconmensurables, un torpedo en la línea de flotación del pensamiento pitagórico que concebía el orden cósmico como una unión armoniosa de números racionales. El descubrimiento de los números irracionales fue una catástrofe para la Escuela Pitagórica, e incluso se dice que provocó su destrucción y la muerte para quien divulgó el secreto. Una de las consecuencias de la no aceptación de los irracionales por parte de los pitagóricos fue la pérdida de la identificación de los números con la geometría: mientras que en la geometría era válido considerar longitudes, áreas, y diversos tipos de razones, a la hora de establecer relaciones numéricas solo se admitieron aquellas conmensurables. Eso redujo las potencialidades de la geometría, de la aritmética y del álgebra. La geometría griega no era una geometría realmente métrica. OBJETOS MATEMATICOS el teorema de Pitágoras: elaciona los tres lados de un triángulo rectángulo mediante el siguiente enunciado: «En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos». Si las longitudes de los catetos son “a” y “b”; y la hipotenusa es “c”, entonces se cumple la siguiente fórmula de Pitágoras: c2= a2+ b2 En forma gráfica: números primos: ¿Qué es un número primo? Los números primos son aquellos números enteros mayores que cero que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1, es decir, que tienen exactamente dos divisores. Ejemplos de números primos: 2 5 7 11 Progresiones: Una progresión o sucesión matemática es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por anan, siendo nn la posición del término en la secuencia. Ejemplos: La progresión de los números impares es una secuencia infinita: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... El primer término es a1=1a1=1 y el quinto término es a5=9a5=9. La progresión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de cinco términos). El segundo término es a2=2a2=2 y el cuarto es a4=4a4=4. Una progresión puede ser Creciente: si cada término es mayor o igual que el término que ocupa una posición anterior (an+1≥anan+1≥an). Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5,... Decreciente: si cada término es menor que el término que ocupa una posición anterior (an+1≤anan+1≤an). Ejemplo: 7, 5, 3, 1, -1,... Constante: si todos (an+1=anan+1=an). los términos son iguales Ejemplo: 1, 1, 1, 1, 1,... Alternada: si el signo de cada término es distinto del signo del término anterior. Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32,... Razones: Una razón es una relación multiplicativa entre dos números naturales diferentes de 0. Hablamos así de la razón “dos a tres”,“1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”. Hay que saber distinguir entre los conceptos de razón y de fracción. Este último alude a la relación también multiplicativa entre la parte y el todo respectivo. En el ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción ya simplificada correspondiente al número de hombres (18) con respecto al total de personas presentes (18 + 27 = 45). En el concepto de razón no está presente esta relación de carácter parte-todo proporciones. La igualdad entre dos razones es una proporción. Se lee: a es a b como c es a d. También puede escribirse a: b = c: d En toda proporción se tiene: En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esta relación se conoce como Teorema fundamental de la proporción, es decir. Un ejemplo de proporción es 2/3 = 4/6, cuya lectura es “2 es a 3 como 4 es a 6”. De nuevo hay que recordar la distinción entre razones y fracciones, para no ver en la expresión anterior “la equivalencia de dos fracciones” (que será la lectura correcta cuando se hable de fracciones, pero no ahora...).
