Universidad Central del Ecuador Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía Modelos de Programación Lineal-Ejercicios- Grupo N° 2: Mikaela Pacheco Fernanda Cuvi Dayanara Terán Juan Pozo Isabel Almeida Maycol Herrera Karina Andagua QUITO, 12 DE OCTUBRE DE 2015 Ejercicio N°1, Página 2 Un agente vendedor maneja dos productos. El no espera vender más que 10 unidades/mes del producto 1 o 39 unidades/mes del producto 2. Para evitar una multa él debe vender al menos 24 unidades del producto 2. El recibe una comisión del 10% sobre todas las ventas y debe pagar sus propios gastos los cuales se estiman en $1,50 por hora gastada en hacer visita. El trabaja sólo una parte del tiempo y debe trabajar hasta un máximo de 80 horas/mes. El producto 1 se vende en $150 por unidad y requiere un promedio de 1,50 horas porcada visita; y la probabilidad de hacer una venta es 0,5. El producto 2 se vende en $ 70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos para cada visita; y la probabilidad de hacer una venta es 0,6. ¿Cuántas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto? 1) DEFINIR LAS VARIABLES 𝑋1 = Cantidad de visitas del producto 1 𝑋2= Cantidad de visitas del producto 2 FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar las ventas 3) REALIZAR CUADRO DE EXPLICACIÓN DESCRIPCIÓN Horas/mes Ventas del productos 1/mes Ventas del productos 2/mes Ventas del productos 2/mes TIPOS DE PRODUCTOS X1 X2 1,5 0,5 0,5 DISPONIBILIDAD O REQUERIMIENTO 0,6 ≤ 39 0,6 ≥ 24 PRODUCTO 1: (P.VTAS*COMISIONES*PVp1)-(COSTO HORA *TIEMPO) 150*0.10*0.5-(1.50*1.50)=5.25 PRODUCTO 2: (P.VTAS*COMISIONES*PVp1)-(COSTO HORA *TIEMPO) 70*010*0.60-(1.50*0.5)=3.45 ≤ 80 ≤ 10 Z (MAX)= 5,25X₁ + 3,45X₂ Sujeto a: 0.5X₁ 0.6 X₂ 0.6 X₂ 0,5X₂ 1,5X₁ ≤ 10 ≤ 39 ≥ 24 ≤ 80 X₁, X 2 ≥ 0 Ejercicio N°3 página 2. Straton Company produce dos tipos básicos de tubo de plástico. Tres recursos son fundamentales para la producción de esos tubos: Las horas de extrusión, las horas de embalaje y un aditivo especial para las materias primas del plástico. Los siguientes datos representan la situación correspondiente a la semana próxima, todos los datos se expresan en unidades de 100 pies de tubo: PRODUCTO RECURSO TIPO 2 Extrusión TIPO 1 4 6 DISPONIBILIDAD 48 Horas Embalaje 2 2 18 Horas Mezcla aditiva 2 1 16 Libras La contribución a las utilidades por cada 100 pies de tubo es de $34 para el de tipo 1 y $40 para el tipo 2. Formule un modelo de P.L. para determinar qué cantidad de cada tipo de tubo será necesario producir para maximizar la contribución a las utilidades. Preguntas: a. ¿Valdrá la pena incrementar las capacidades en el área de embalaje o extrusión, si el costo es de $8 más por hora, por encima de los costos normales? b. ¿Valdrá la pena incrementar la capacidad de embalaje si su costo es de $6 adicionales por hora? c. ¿Valdrá la pena comprar más materias primas?, y ¿cuánto? Tipos de tubo: Tubo tipo 1 = 𝑥1 Tubo tipo 2 = 𝑥2 Función objetiva: Maximizar la contribución a las utilidades. DESCRIPCIÓN OBJETIVO Y RESTRICCIONES Utilidad por cada tubo de 100 pies Disponibilidad departamento de extrusión Disponibilidad departamento de embalaje Mezcla aditiva TIPO DE TUBO X1 X2 $34 $40 DISPONIBILIDAD O REQUERIMIENTO 4 6 ≤ 48 horas por semana 2 2 ≤ 18 horas por semana 2 1 ≤16 libras 𝐳 (𝐦𝐚𝐱) = 34 𝑥1 + 40 𝑥2 Sujeto a: 4𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 48 2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 16 Condición de negatividad 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 0 Ejercicio N° 6, página 3. Una compañía transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 40.000 libras y 5 camiones de 30.000 libras de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación de 30 centavos por km. y los más pequeños de 25 centavos por km. En la próxima semana la compañía debe transportar 400.000 libras de malta para un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos significa que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta? (ignorar el hecho de que la respuesta debe darse en forma de números enteros) Variable: 𝑋1 = 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑋2 = 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 Función objetiva: Minimizar los costos por transporte. Precio por recorrido Camión grande 800 𝑘𝑚 ∗ $0,30 = $240 Cto por camión Camión pequeño 800𝑘𝑚 ∗ $0.25 = $200 Cto por camión Camiones mantenidos en reserva 2𝑋2 ≥ 𝑋1 2𝑋2 − 𝑋1 ≥ 0 Descripción de F. objetiva y restricciones Costo y camión Disponibilidad camión grande Disponibilidad camión pequeño Pedidos transporte malta Camiones mantenidos en reserva Tipos de camión 𝑿𝟏 𝑿𝟐 $240 $200 1 1 40.000 30.000 -1 2 Planteamiento del problema 𝑧(𝑚𝑖𝑛) = 240𝑋1 + 200𝑋2 Sujeto a: 𝑋1 ≤ 10 𝑋2 ≤5 40.000𝑋1 + 30.000𝑋2 = 400.000 −𝑋1 + 2𝑋2 ≥0 Condición No Negatividad: 𝑋1 , 𝑋2 ≥0 Requerimiento ≤10 camiones ≤ 5 camiones = 400.000 lb de malta ≥0 Ejercicio 2 página 6 Un fabricante de café quiere mezclar tres tipos de granos en una mezcla final del producto. Los tres tipos de granos le cuesta $1.20; $1.60: y, $1.40 por libra respectivamente. El fabricante quiere mezclar un lote 40000 libras y tiene un presupuesto de $57000 para la compra de los granos de café. Al mezclar el café, una restricción es que la cantidad usada del componente dos debe ser el doble de la del componente uno (el fabricante piensa que esto es necesario para evitar un sabor amargo). El objetivo es averiguar si hay una combinación de los tres tipos de granos que lleve a una mezcla definitiva. Variables: X1: tipo de grano #1 X2: tipo de grano #2 X3: tipo de grano #3 Descripción tipos de grano X2 X1 X3 costo por libra 1,2$ 1,6$ mezcla de café Presupuesto 1 -2 1 1 Planteamiento del problema -2X1+ 1X2 = 0 1,20 X1 + 1,60 X2 + 1,40 X3 = 57000 X1 + X2 + X3 = 40000 Condición de no negatividad X1, X2, X3 = 0 disponible = 57000 presupuesto para 1,4$ compra de café = 40000 libras 1 para mezcla 0 =0 Ejercicio 2 página 8 Una compañía distribuidora comercializa gasolina de dos grados: la extra y la súper. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en la siguiente tabla: GASOLINA OCTANAJE MINIMO PRESION MAXIMA DE VAPOR PRECIO DE VENTA (POR BARRIL) EXTRA 80 9 $21.00 SUPER 100 6 $24.00 Se utiliza tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas extra y súper. Las características de las gasolinas se muestran en la siguiente tabla. La compañía se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30000 barriles de gasolina extra por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina súper. A la compañía le gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades. GASOLINA BASE OCTANAJE DISPONIBILIDAD PRESION MAXIMA DE VAPOR (BARRILES) COSTO POR BARRIL TIPO 1 108 4 32000 $22.00 TIPO 2 90 10 20000 $20.00 TIPO 3 73 5 38000 $19.00 X1: gasolina extra con base gasolina tipo 1 X2: gasolina extra con base gasolina tipo 2 X3: gasolina extra con base gasolina tipo 3 X4: gasolina super con base gasolina tipo 1 X5: gasolina super con base gasolina tipo 2 X6: gasolina super con base gasolina tipo 3 f. objetiva: maximización de las utilidades por tipo de gasolina Descripción función objetiva y restricción Utilidad por barril Pedido comprometido gasolina extra Disponibilidad gasolina tipo 1 Disponibilidad gasolina tipos 2 Disponibilidad gasolina tipo 3 Presión vapor extra Presión vapor supera Octanaje mínimo extra Octanaje mínimo súper X1 $-1 Tipos de gasolina X2 X3 X4 X5 $1 $2 $2 $4 1 1 X6 $5 ≥ 30.000 barriles gasolina extra por semana ≤ 32.000 barriles por semana 1 1 1 1 -5 1 1 -4 -2 10 ≤ 20.000 barriles por semana 1 1 28 Disponibilidad o requerimiento -7 8 ≤0 4 -1 ≤ 0 ≥0 -10 -27 ≥ 0 Presión máxima por vapor Extra: 9 4𝑋1 10𝑋2 + 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 5𝑋3 ≤9 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 4𝑋1 + 10𝑋2 + 5𝑋3 ≤9 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 4𝑋1 + 10𝑋2 + 5𝑋3 ≤ 9(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 ) 4𝑋1 + 10𝑋2 + 5𝑋3 ≤ 9𝑋1 + 9𝑋2 + 9𝑋3 ) −5𝑋1 + 𝑋2 − 4𝑋3 ≤ 0 Súper: 6 4𝑋4 10𝑋5 + 𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 + ≤ 38.000 barriles por semana 5𝑋6 ≤6 𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 4𝑋1 + 10𝑋2 + 5𝑋3 ≤9 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 4𝑋4 + 10𝑋5 + 5𝑋6 ≤ 6(𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 ) 4𝑋4 + 10𝑋5 + 5𝑋6 ≤ 6𝑋4 + 6𝑋5 + 6𝑋6 −2𝑋1 + 4𝑋2 − 1𝑋3 ≤ 0 Octanaje mínimo: Extra 80 Súper 108 108𝑋1 + 90𝑋2 + 73𝑋3 ≥ 80 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 108𝑋4 + 90𝑋5 + 73𝑋6 ≥ 100 𝑋4 + 𝑋5 + 𝑋6 Sistemas de restricciones Z(Max)= -X1+ X2+2X3+3X4+4X5+5X6 X1 X1 X2 X3 X4 -5X1 X2 X2 X2 X5 -4X3 28X1 10X2 -7X3 X6 -2X4 4X5 -1X6 8X4 -10X5 -27X6 ≥ 30 ≤ 32.000 ≤ 20.000 ≤ 38.000 ≤0 ≤0 ≥0 ≥0 Ejercicio 10 página 12 La Overland Farm Company es una cooperativa agrícola grande. La compañía tiene 130 acres en los que produce tres artículos principales: frijol de soya, trigo y maíz. Los productos de la cooperativa son para consumo de sus miembros y venta en el exterior. La cooperativa está organizada de tal manera que deben satisfacer primero las demandas de sus miembros antes de vender en el exterior cualquier artículo. Todos los excedentes de producción se venden al precio del mercado. La siguiente tabla resume para cada producto, durante la temporada de cultivo, el rendimiento proyectado por acre, el número de búshels que los miembros solicitan, la demanda máxima del mercado (en búshels), y la utilidad estimada por bushel. Plantee un modelo de PL para el problema que permita a la cooperativa determinar el número de acres que deben asignarse a cada producto para que se maximicen las utilidades. Cultivo Frijol de soya Rendimiento (búshels por acre) Demanda de los miembros (búshels) Demanda del mercado (búshels) Utilidad ( $/ por bushel) 420 2000 10000 1.50 200 70 5000 1000 8000 3000 1.80 2.50 Trigo Maíz 1) Definir Variables 𝑋1= Acres de cultivo de frijol de soya 𝑋2= Acres cultivo de trigo 𝑋3= Acres cultivo de maíz 2) Definir la función objetivo Z= Maximizar las utilidades Utilidad por acre de frijol de soya 420 x 1.50 $ = 630$ Utilidad por acre de Trigo 200 x 1.80 $ = 360 $ Utilidad por acre de Maíz 70 x 2.50 $ = 175 $ PRODUCTO Frijol de soya DESCRIPCIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Y RESTRICCIONES Utilidad por cultivo Acres disponibles para el cultivo Demanda de frijol de soya (búshels) por parte de los miembros Demanda de trigo (búshels) por parte de los miembros Demanda de maíz (búshels) por parte de los miembros Trigo Maíz DISPONIBILIDAD O REQUERIMIENTO X1 X2 630 360 1 1 X3 175 1 ≤ 130 acres ≥ 2000 búshels/ durante la temporada de cultivo 420 ≥ 5000 búshels/ durante la temporada de cultivo 200 70 ≥ 1000 búshels/ durante la temporada de cultivo Demanda total (búshels) de frijol de soya ≤ 12000 búshels/ durante la temporada de cultivo 420 Demanda total (búshels) de trigo 70 Demanda total (búshels) de maíz 3) Plantear la función objetivo Maximizar Z= 630 𝑋1 + 360𝑋2 + 175 𝑋3 4) Sistemas de restricciones 𝑋1 ≤ 13000 búshels/ durante la temporada de cultivo 200 + 𝑋2 + 420 𝑋1 𝑋3 ≤ 130 ≥ 2000 200𝑋2 ≥ 5000 70 𝑋3 ≥ 1000 420 𝑋1 ≤ 200𝑋2 12000 ≤ 13000 70 𝑋3 ≤ 4000 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ≥ 0 ≤ 4000 búshels/ durante la temporada de cultivo Ejercicio 11 página 12 Una compañía tiene tres tipos de máquinas procesadoras, cada una de diferente velocidad y exactitud; la de tipo 1 puede procesar 20 piezas/hora con una precisión de 99 por ciento; la de tipo 2, 15 piezas/hora con una precisión de 95 por ciento; y la de tipo 3, 10 piezas/hora con una precisión de 100 por ciento. El funcionamiento de la de tipo 1 cuesta $2/hora; de la de tipo 2, $l, 75/hora; y la de tipo 3, $1,50 por hora. Cada día (8 horas) deben procesarse por lo menos 3.500 piezas y hay disponibles 8 máquinas de la de tipo 1, 10 máquinas de la de tipo 2, y 20 máquinas de la de tipo 3. Cada error le cuesta a la compañía $1. ¿Cuántas máquinas de cada tipo deben utilizarse para minimizar el costo? VARIABLES 𝑥1 : Número de máquinas tipo 1 𝑥2 : Número de máquinas tipo 2 𝑥3 : Número de máquinas tipo 3 OBJETIVO Minimizar costos Costo diario tipo 1 2 + 20(0,01)(1) = 2,2(8) = 17,6 Costo diario tipo 2 1,75 + 15(0,05)(1) = 2,5(8) = 20 Costo diario tipo 3 1,50 + 10(0)(1) = 1,5(8) = 12 Piezas buenas producidas maquina tipo 1 20(0,99) = 19,8(8) = 158,4 = 159 Piezas buenas producidas maquina tipo 2 15(0,95) = 14,25(8) = 114 Piezas buenas producidas maquina tipo 3 10(1) = 10(8) = 80 CUADRO DE RESUMEN DESCRIPCIÓN Costo Funcionamiento diario Piezas buenas producidas Disponibilidad maquina tipo 1 Disponibilidad maquina tipo 2 Disponibilidad maquina tipo 3 TIPOS DE MAQUINAS PROCESADORAS TIPO 1 ; TIPO 2 ; TIPO 3 ; X1 X2 X3 $ 17,60 $ 20,00 $ 12,00 159 114 80 1 1 1 FUNCIÓN OBJETIVO 𝒁(𝑴𝒊𝒏) = 17,6 𝑥1 + 20𝑥2 + 12𝑥3 Sujeto a. 159𝑥1 + 1𝑥1 114𝑥2 + 80𝑥3 ≥ 3500 ≤8 1𝑥2 ≤ 10 1𝑥3 ≤ 20 Condición de no negatividad 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥0 DISPONIBILIDAD O REQUERIMIENTO ≥ 3500 piezas/día ≤ 8 maquinas ≤ 10 maquinas ≤ 20 maquinas