Límite de una función

Capitulo 2 Limite de una funci6n y = !(x) I I I I I I I I I I I I I I I :: +- x ~a7--:--<-M+ ~x Ii En este capitulo En un curso tfpico de calculo se incluyen muchos temas. Sin embargo, los tre s temas mas importantes en este estudio son los conceptos de limite, derivada e integral. Cad a uno de estos conceptos esta relacionado con las funciones, razon par la cual em pezamos con una revision de algunos hechos importantes sobre funciones y sus graticas. Historicamente, para introducir los enunciados fundamentales del calculo se han usado dos pro blemas: el problema de la recta tangente y el problema del area. En este capftulo y en capftulos posteriores veremos que la solucion de ambos problemas implica el concepto de limite. 2.1 Umites: un enfoque informal 2.2 Teoremas sabre limites 2.3 Continuidad 2.4 Umites trigonometricos 2.5 Umites que involucran el infinito 2.6 Umites: un enfoque formal 2.7 EI problema de la recta tangente Revisi6n del capitulo 2 67 CAPITULO2 Limite de una fun ci6n 68 2.1 Limites: un enfoque informal I Introduccion Las dos grandes areas del calculo, denominadas calculo diferencial y calculo integral, se basan en el concepto fundamental de l{mite. En esta secci6n, el enfoque que haremos a este importante concepto sera intuitivo, centrado en la comprensi6n de que es un lfmite mediante el uso de ejemplos numericos y gnificos. En la siguiente secci6n nuestro enfoque sera analftico; es decir, usaremos metodos algebraicos para calcular el valor del lfmite de una funci6n. I Limite de una funcion: enfoque informal Considere la funci6n f(x) = 11 ~ ;2 (1) cuyo dominio es el conjunto de todos los numeros reales excepto - 4. Aunque no es posible evaluar f en -4 porque al sustituir -4 por x se obtiene la cantidad indefinida 0/0, f(x) puede calcularse en cualquier numero x que este muy pr6ximo a -4. Las dos tablas x f(x) -4.1 -4.01 -4.001 8.1 8.01 8.001 x -3.9 - 3.99 -3.999 7.9 7.99 7.999 f(x) (2) y -- ---~ I --- I I I I I I I I I I I I I I I I 16 -x2 4+ x y= -- muestran que cuando x tiende a -4 por la izquierda 0 por la derecha, parece que los valores de la funci6n f(x) tienden a 8; en otras palabras, cuando x esta pr6xima a -4, f(x) esta cerca de 8. Para interpretar de manera grafica la informaci6n numerica en (1) , observe que para todo numero x -=1= -4, la funci6n f puede simplificarse por cancelaci6n: I I f( x ) I I I I -4 FIGURA 2.1.1 Cuando x esta pr6xima a - 4, fix) esta cerca de 8 = 16 - x 4 +x 2 = (4 + x)(4 4 +x x) =4 _ x. Como se ve en la FIGURA 2.1.1, la grafica de f es esencialmente la grafica de y = 4 - x con la excepci6n de que la grafica de f tiene un hueco en el punto que conesponde a x = -4. Para x suficientemente cerca de - 4, representado por las dos puntas de flecha sobre el eje x, las dos puntas de flecha sobre el eje y, que representan los valores de la funci6n f(x), simultaneamente se aproximan cada vez mas al numero 8. En efecto, en vista de los resultados numericos en (2), las puntas de flecha pueden hacerse tan pr6ximas como se quiera al nllmero 8. Se dice que 8 es ellimite de f(x) cuando x tiende a -4. I Definicion informal Suponga que L denota un numero finito. El concepto def(x) que tiende a L a medida que x tiende a un numero a puede definirse informalmente de la siguiente manera. • Si f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6ximo al numero L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un numero a, por la izquierda y por la derecha de a, entonces el limite de f(x) cuando x tiende a a es L. I Notacion El analisis del concepto de lfmite se facilita al usar una notaci6n especial. Si el simbolo de flecha ---+ representa la palabra tiende, entonces el simbolismo x ---+ a - indica que x tiende al numero a por la izquierda, es decir, a traves de los numeros que son menores que a, y x ---+ a + significa que x tiende a a por la derecha , es decir, a traves de los numeros que son mayores que a. Finalmente, la notaci6n x ---+ a significa que x tiende a a des de ambos [ados, en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de a sobre una recta numerica. En la tabla izquierda en (2) se hace x ---+ -4 - (por ejemplo, - 4.001 esta a la izquierda de -4 sobre la recta numerica), mientras en la tabla derecha x ---+ -4 + . I Limites laterales En general, una funci6nf(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a un numero L al tomar x suficientemente cerca, pero sin que sea igual, a un numero a por la izquierda; entonces se escribe J f(x) ---+ L cuando x ---+ aJ o bien, (3) 2.1 Umites un enfoque informal 69 Se dice que el numero L I es el limite por la izquierda de I(x) cuando x tiende a a. De manera semejante, si f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a un numero L2 al tomar x suficientemente cerca a, pero diferente de, un numero a por la de recha, entonces L2 es el limite por la derecha de I(x) cuando x tiende a a y se escribe f (x ) ---+ ~ cuando x ---+ a + 0 bien, lim X---7{/+' lex) = Lo. (4) - Las cantidades en (3) y (4) tambien se denominan Iimites laterales. y = !(x) I Limites por dos lados Si tanto el Ifmite por la izquierda limJ(x) como el limite por la derecha lim+f(x) existen y tienen un valor comun L, X-HI I I I I I I X---lo-(l limJ(x) = L x --+a lim f(x) = L , y X---7{/+ "" limf(x) = L. (5) X---lo-(J Se dice que un limite como (5) es por los dos lados. Yea la FIGURA 2.1.2. Puesto que las tablas numericas en (2) sugieren que f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4- f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4 + , y L !(x) entonces se dice que L es el limite de I(x) cuando x tiende a a y se escribe (6) I l-'H"~~C+' FIG URA 2.1.2 f(x) -+ L cuando x -+ a si y solo si f(x) -+ L cuando x -+ a - y f(x) -+ L cuando x -+ a + es posible sustituir las dos decIaraciones simb6licas en (6) por la decIaraci6n f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4 0, en forma equivalente, 16 - x 2 lim 4 + = 8. x->-4 X (7) I Existencia 0 no existencia Por supuesto, un limite (por un lado 0 por dos lados) no tiene por que existir. Pero es importante no olvidar 10 siguiente: • La existencia de un Ifmite de una funci6n f cuando x tiende a a (desde un lado 0 desde ambos lados) no depende de si f esta definida en a, sino s610 de si esta definida para x cerca del mimero a. y I ----- ..... ,, ,,. ,, , I , I , I Por ejemplo, si la funci6n en (1) se modifica de la siguiente manera f(x) = 16 - x 2 4 +x ' 5, 1 x * -4 x = -4, 1~ ~ Xx x->-4 8y= 116-x2 4+x ' 5, x= -4 " I" , ,I -+-LI-'' +-+--+-+-f-+--+-''\.c-+~ x " 2 entoncesf( -4) esta definida y f( -4) = 5, pero lfm ---- = 8. Yea la FIGURA 2.1.3. En gene- -4 FIGURA 2.1.3 El hecho de que f este definida 0 no en a es irrelevante con respecto a la existencia del limite de f(x) cuando x -+ a ral, el limite por los dos lados lim f(x) no existe X---lo-a • si alguno de los dos limites laterales, limJ(x) 0 lfl1\f(x) no existe, 0 x-+a x---+a • si x~a lim- f(x) = L) y x--+a+ lim f(x) = L 2 , pero L) 1! @'iIQ!.M' *L 2. Un limite que existe La grafica de la funci6n f(x) = - x 2 + 2x + 2 se muestra en la FIGURA 2.1.4. Como se observa en la grafica y en las tablas acompafiantes, parece valido que limJ(x) = -6 x->4 y lim f(x) x-+4+ = -6 -+-+-+~-+~n-~x y, en consecuencia, Ifm f(x) = -6. X---74 x ---+4 f(x) 3.9 3.99 3.999 -5.41000 - 5.94010 - 5.99400 x---+4+ f(x) 4.1 4.01 4.001 -6.61000 - 6.06010 - 6.00600 • Observe que en el ejemplo 1 la funci6n dada ciertamente esta definida en 4, pero en ningun momento se sustituye x = 4 en la funci6n para encontrar el valor de Ifm f(x) . x--+4 FIGURA 2.1.4 Gnifica de la funcion en el ejemplo I 70 CAPITULO 2 LImite de una funci6n UWMIQ!'W) y Un limite qu e existe La gr:ifica de la f unci6n definida por partes lex) = . < 2 x> 2 {X2, - x + 6, x se muestra en la FIGURA 2.1.5. O bserve que f (2) no esti defi nido, aunque esto no tiene ningu na consec uencia cuando se considera Ifm f(x) . A partir de la gnifica y de las tablas acompaiiantes, x-+2 2 FIGURA 2.1.5 G rafica de la f llncion en el ejemplo 2 x -+ 2 - 1.9 1.99 1.999 x-+2 + 2. 1 2. 01 2. 001 f (x) 3.61000 3.96010 3.99600 f(x) 3.90000 3.99000 3.99900 observamos que cuando x se hace pr6xima a 2, f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a 4, y asf IfmJ(x ) = 4 = Es decir, Ifmf(x ) x--+2 y 7 U!!3MQ!'.' -<- ______ _ I + __ _ x--+2+ • 4. Un limite que no existe La gnifica de la funci6n definida por partes I 5 Ifm f( x ) = 4. y x-+ 2 - --[-~ I I I lex) = {x + . I I I I I - x 2, + x :5 5 x> 5 10, se muestra en la FI GURA 2.1.6. A partir de la gnifica y de las tablas acompafiantes, parece que cuando x se hace pr6xima a 5 a traves de numeros menores que 5, Ifm_ f (x ) = 7. Luego, cuando I 5 x->5 FIGURA 2.1.6 Gnitica de la flln cion en e l eje mplo 3 X tiende a 5 a traves de numeros mayores que 5 parece que IfrR f(x) x->5 lfmJ(x ) x--+ 5 "* = 5. Pero puesto que lim f(x) , x-+5 + se concluye que Ifmf(x) no exi ste. x --+s x -+5 - 4.9 4.99 4.999 x-+5 + 5. 1 5.01 5.001 f( x ) 6.90000 6.99000 6.99900 f(x) 4.90000 4 .99000 4.99900 U!J§MQ!'W' La i"lInc ion e ille ro mayor se a na li l.6 e n la secc i6 n I I . y 4 y= LxJ Un limite que no existe funcion entero mayor 0 parte entera f(x ) = lx J se define como el mayor entero que es menor 0 igual que x . EI dominio de f es el conjunto de numeros reales (- 00, (0). A partir de la grMica en la FIGURA 2.1.7 vemos quef(n) esta definida para todo entero n; a pesar de ello, para cada entero n, Ifmf(x) no existe. Por ejemplo, cuando x tiende, por ejemplo, al numero 3, los dos Ifmites laterales exi sten pero sus valores son diferentes: ~ Recuerde que la X~1I 3 2 • ........a limJ(x) = 2 x--+3 mientras que IfmJ(x ) = 3. x--+ ) (8) . , - t -+--o-.,-t-+--+-- x En general, para un entero n, - 2 -I 2 345 IfmJ(x) =n- 1 mientras que FIGURA 2.1.7 G nHica de la fllnc ion en e l eje mplo 4 Y~, FIGU RA 2.1.8 Grafica de la fllncion en el ejemplo 5 .::tII3MQ!,4j Ifm f(x ) X--+ll + X -+/l = n. • Un limite par la derecha A partir de la FIGURA 2.1.8 debe resultar evidente que f(x ) lim x--+ o+ Vx = = Vx -+ 0 cuando x -+ 0 +, es decir, O. Serfa incorrecto escribir Ifm Vx = 0 puesto que esta notaci6n implica la connotaci6n de que x--+o los Ifmites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales a O. En este caso Ifm. Vx x-+o no existe puesto quef(x) = Vx no esta definida para x < O. • 2.1 Umites un enfoque informal 71 Si x = a es una asintota vertical para la grafica de y = f(x), entonces lim f(x) nunca existe porq ue los valores de la funci6n f(x) deben vol verse sin lfmite desde por 10 menos un lade de la recta x = a. .r~a OOMQ!.I$ y Un limite que no existe f(x ) Una asintota vertical siempre carresponde a una ruptura infinita en la grMica de la funci6n f. En la FIGURA 2.1.9 observamos que el eje y 0 x = 0 es una asintota vertical para la grMica de f (x) = I/ x. Las tab las x~o - -0.1 -0.0 1 - 0.001 x~o + 0.1 0.01 0.001 f(x) -10 -100 - 1000 f(x) 10 100 1000 Illuestran claramente que los valores de la funci6n f(x) se vuelven sin limite en valor absoluto cuando se tiende a O. En otras palabras, f(x) no tiende a un numero real cuando x ~ 0 - ni cuando x ~ 0 +. En consecuencia, ni el limite par la izquierda ni el limite par la derecha existen cuando x tiende a O. Par tanto, es posible concluir que limf(x) no existe. • I y= -x FIGURA 2.1.9 Griitlca de la funci6n en el ejemplo 6 x---t O HiI3MQ!.Wj Un lilllite trigonometrico importante Para caleular las funciones trigonometricas sen x, cos x, tan x, etc., es import ante darse cuenta de que la variable x es un numero real 0 un angulo medido en radianes. Con eso en mente, considere los valores numericos def(x) = (sen x)/ x cuando x ~ 0 + dados en la tabla siguiente. x~O+ 0.1 0.01 0.001 0.0001 f(x) 0.99833416 0.99998333 0.99999983 0.99999999 Resulta facil ver que se cumplen los mismos resultados proporcionados en la tabla cuando > 0 y - x < 0, se tiene sen(- x) = - sen x y en consecuencia, .r ~ 0- . Debido a que sen x es una funci6n impar, para x fe-x) = sene-x) = senx -x = =----:x ~""' y f(x ). x ~x 7T ::;:::::>1 - 7T COIllO puede verse en la FIGURA 2.1.10, f es una funci6n par. La tabla de valares numericos , asf COIllO la grafica de f sugieren fuertemente el siguiente resultado: lim sen x x ..... o = 1. x (9) • EI limite en (9) es un resultado muy importante que se usara en 1a secci6n 3.4. Otro limite trigonometrico que se Ie pedira comprobar como ejercicio esta dado por 0 ' 1 - cos x I1m = . .\" ..... 0 (10) X Yea el problema 43 en los ejercicios 2.1. Debido a su importancia, tanto (9) como (l0) se demostraran en la secci6n 2.4 . I Una forma indeterminada Se dice que el limite de un cociente f(x) / g(x), donde tanto el nu merador como el denominador tienden a 0 cuando x ~ a, tiene una forma indeterminada 0/ 0. EI limite (7) en el analisis inicial tenia esta forma indeterminada. Muchos limites importantes, como (9) y (10), y el limite , 11m h ..... O f(x + h) - f(x) 11 ' que constituye la columna vertebral del caleulo diferencial , tam bien tienen 1a forma indetermi nada 0/ 0. FIGURA 2.1.10 Grafica de la fu n- ci6n en el ejemplo 7 72 CAPITULO 2 LImite de una funci6n ,¥!@@!,W:. Una forma indeterminada EI Ifmite 11m Ixll x tiene la forma indeterminada 010, pero, a diferenc ia de (7), (9) y (10), este x~o Ifmite no existe. Para ver por que, analizaremos la grMica de la funcion f(x) = Ixll x. Para Y Ixl Y=---x x* 0, Ixl = {x,-x, xx<> 00 y asf reconocemos a f como la funcion definida par partes f(x) = ------~------~x - I FIGURA 2.1.11 GnHica de la funcio n en el ejemplo 8 hlx = {I, x > O -I, x (1 I ) < o. A partir de (II) y de la gnifica de f de la FIGURA 2.1.11 debe resultar evidente que los dos lfmites de j ; izquierdo y derecho, existen y y Debido a que estos lfmites laterales son diferentes, se conc\uye que Ifm Ixll x no existe. • x~o lim x--)a NOTAS DESDE ELAULA Aunque las gnlficas y tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un limite existe 0 no, usted ciertamente esta enterado de que todas las calculadoras y computadoras funcionan solo con aproximaciones, y que las graficas pueden trazarse de manera inexacta. Un uso ciego de las calculadoras tambien puede conducir a una conclusion falsa. Por ejemplo, se sabe que lim sen(7Tlx) no existe, pero a partir de los val ores tabulares x~o f(x) ::to. 1 ::to.OI o o podrfa concluirse en forma natural que lil11 sen(7Tlx) trarse que el limite x-' o = o. Por otra parte, puede demos- (12) existe y es igual a ±. Yea el ejemplo 11 en la seccion 2.2. Con calculadora se obtiene x--)O ::t o.OOOOI ::to.OOOOOI ::to.OOOOOOl fex) 0.200000 0.000000 0.000000 El problema al calcular (I2) para toda x proxima a 0 es que en forma correspondiente, W+4 esta muy proximo a 2. Cuando se restan dos numeros casi iguales en una calculadora, es posible que ocurra una perdida de cifras significativas debido al error par redondeo. Ejercicios 2.1 Las respuestas de los prob lemas impares se leccionados com ienzan en la pagina RES-B. = Fundamentos En los problemas 1-14, trace la grMica de la funcion para encontrar el limite dado, 0 concluya que no existe. 1. lfm e3x + 3. Ifm(1 x ..... o +x x~2 2) 7 r 1 x-I Ix - 31 ' x~1x-3 11. , X4 - 1 10• 11111 - 2-- -x"'" 1 x - 1 l~fex) donde fex) = {~; l'3, ~ ~ ~ X---72 12. Ifmfex) donde fex) 1) ' X2 - 1 5 . ]Im--- - X ..... 2. IfmCx2 - 1) x3 9. Ifm x-.o x x ..... 2 , X2 6• 11m 3x - x ..... o X , Ixl 8 • I1m x ..... o X 13. Ifm fex) donde fCx) = x ..... 2 x = { x, X 1 + , h l :x2 - x x < 2:: 2x, 6x + 8, 2 2 ~: ~ x > 2 2.1 Um ites un enfoque informal l X 14..Ifm f(x) dondef(x) ,--.0 2 30. a) lim f(x) x < 0 x = 0 x>O = 2,' Vx - 1, x--+ - 3 !fm f(x) Ifm f (x ) b) x ------+ I I .\"----7- 3 e) Ifm f(x) f) Ifm f(x) x----tO c) lim f(x ) X-7 1 y d) lim f (x) .\"----71 - X ----71 16. y 15. ........, y I-I-- I--- V y = f(x) • V- """- /C - 1 x ._ - '--- --~ x --+----i~+-_+-+- x FIGURA 2.1.17 FIGURA 2.1.13 Grafica para el problema 16 FIGU RA 2.1.12 Gnltica para el problema 15 17. lim f(x) d) x----7- 3' En los problemas 15-18, use la gnifica dada para encontrar el valor de cada cantidad, 0 conc1uya que no existe. a)f( l) 11m f(x) b) r ---+ - 5 c) 73 En los problemas 31 -34, trace una gr<ifica de la funcion f con las propiedades dadas. 31. f( - 1) = 3, f(O) = - I,f(l) = 0, Ifm f(x) no existe X---7 0 32. f(-2) = 3, Ifmf(x) = 2, Ifm f(x) = -1,f(1) = -2 18. Y Y • Gnitica para el problema 30 X---70 y = f (x) X--+ O+ 33. f(O) = 1, lim f(x) = 3, Ifm f(x) = 3,f(l) esta indeX---7] + X---7I - finido, f(3) = 0 -t--+---t--t-+-~x 34. f( -2) = 2,f(x) = I , -] lim f(x) no existe, f(2) x i-+-\-+-++-+~ 1, lim f(x) :S X :S =3 = 1, x--> - I x-->I =Problemas con calculadora/SAC FIGURA 2.1.14 Grafica para el problema 17 FIGURA 2.1.15 GrMlca para el problema 18 En los problemas 19-28, cada Ifmite tiene el valor 0, pero al guna notacion es incorrecta. Si la notacion es incorrecta, escriba la dec1aracion correcta. 19. Ifm -Vx = 0 20. lim \YX = 0 21. Ifm~ = 0 22. 23. IfmJxJ 24. Ifm lx J = 0 x-->o x --+I x-->o = 25. Ifm senx 0 = Ifm x--+ - 2+ Y.X+2 = 0 26. Ifm 0 COS- I x x ---+ l =0 x--> l En los problemas 29 y 30, use la gnifica dada para encontrar cada Ifmite, 0 concluya que no existe. Ifm f(x) b) x ----7 - 4+ Ifm f(x) x ----7 - 2 c) Ifm f(x) d) lim f(x) .\---+ 0 x-,)-3 ~ x 37. ((x) = 2 . -x9 [V9=X - v'9+X] 39. f(x) = e- 2x - 1 x 40. f(x) = In Ixl x En los problemas 41-50, proceda como en los ejemplos 3, 6 y 7 y use una caIculadora para construir tablas de valores funcionales. Conjeture el valor de cada limite 0 conc1uya que no existe. 41 x ---+l f) e) Ifm f(x) I x 36. f(x) = x cos - =0 28. Ifm lnx 29. a) 1 x 35. f(x) = cos- 38. f(x) = x--+~ X --+7T En los problemas 35-40, use una caIculadora 0 un SAC para obtener la gr<ifica de la funcion dada f sobre el intervalo [ -0.5, 0.5] . Use la grafica para conjeturar el valor de lim f (x), o conc1uya que el Ifmite no existe. x --> o Ifm f(x) r 6Vx-6~ • x~1f x-I ' Inx 42 . Ilm - x--> I x - I X---74- y ~ 1 I 1 . . . . . v 1\ i/ I I ! FIGURA 2.1.16 \V V V I x' ' I - cosx 43 · Ilin ' 1 - cosx 44 • I1m x-->o x2 45. lim-x- ' tanx 46.lm I - - x--> o 47. lim x--> 4 I Gratica para el problema 29 X x--> o sen 3x Vx X - 4 x--> O 2 ' X4 + X - 2 49 I • x~1f x - I r X [6 48. x~ x 2 - 9 , x3 + 8 50. hm - x--> - 2 X + 2 6v'.X=2] x2 - 9 74 CAPITULO 2 Limite de ulla fUllci on 2.2 Teoremas sobre limites I Introduccion La intenci6n del amHisis informal en la secci6n 2.1 fue proporcionarle una comprensi6n intuitiva de cuando un lfmite existe 0 no. Sin embargo, no es aconsejable ni practico, en ninguna instancia, \legar a una conclusi6n respecto a la existencia de un limite con base en una grafica 0 tabla de val ores numericos. Debe ser posible evaluar un limite, 0 concluir su no existencia, de alguna forma mecanica. Los teoremas que se consideraran en esta secci6n establecen tales mecanismos. Las demostraciones de algunos de estos resultados se muestran en el apendice. El primer teorema proporciona dos resultados basicos que se usaran en todo el analisis de esta secci6n . Teorema 2.2.1 Dos limites fundamentales i) lim c = c, donde c es una constante. X->£I ii) lfm x = a .\'4 £1 Aunque ambas partes del teorema 2.2.1 requieren una demostraci6n formal, el teorema 2.2.1ii) es casi tauto16gico cuando se plantea verbalmente: • El limite de x cuando x tiende a 0 es o. En el apendice se proporciona una demostraci6n del teorema 2.2.10. U!!3f1!Q!'W, a) Usa del teorema 2.2.1 A partir del teorema 2.2.1i), lim 10 = 10 x~ 2 b) lim y 1T .<->6 = 1T . A partir del teorema 2.2.l ii), lim x = 2 x~ 2 lim x = O. y x->o • El limite de una constante por una funci6n f es la constante por el limite de f cuando x tiende a un numero a. Teorema 2.2.2 Limite de una funci6n multiplicada por una con stante Si c es una constante, entonces 11m c f(x) = c lim f( x ). X411 X----+ lI Ahora es posible empezar a usar los teoremas combinados. U!!3MQ!'*J Usa de los teoremas 2.2.1 y 2.2.2 A partir de los teoremas 2.2.1 ii) Y 2.2.2, a) b) lim 5x x->8 = 5 lim x x!iIE2 (-~x) x-> 8 = 5.8 = 40 -~x!iIE2X = (-~) = . (-2) = 3. • El siguiente teorema es particularmente impOltante pOl'que constituye un medio para calcular limites de manera algebraica. 2.2 Tearemas sabre limites Teorema 2.2.3 U mites de una suma, un producto y un cociente Suponga que a es un numero real y que 11m f(x) y 11m g(x) existen. Si lim f(x) = L j Y 11m g(x) = L 2 , entonces ,-'" x .... a x .... " \ -4 (1 i) lfm [f(x) ± g(x) 1 = lfm f(x) + lfm g(x) x - >a .\~ ({ ii) lfm [f(x)g(x) 1 = (lfm f(x»)(lfm g(x») .y -+n = x-+a .r-+o x-+ a = Lj ± L 2, L L 2, y j ~ f(x)~~~/(x) Lj iii)! ~ g(x) =ii;;g:D:5 L 2 ' L2 =F O. X -----+{/ El teorema 2.2.3 puede plantearse coloquialmente como • Si ambos Hmites existen, entonces i ) el limite de una suma es la suma de los lfmites, ii) el lfmite de un producto es el producto de los lfmites y iii) el lfmite de un cociente es el cociente de los 11mites, en el supuesto que el lfmite del denominador no es cero. Nota: Si todos los lfmites existen, entonces el teorema 2.2.3 tambien es valida para 11mites laterales; es decir, la notaci6n x ~ a en el teorema 2.2.3 puede sustituirse por x ~ a - 0 por x ~ a +. Ademas, el teorema 2.2.3 puede extenderse a diferencias, sumas, productos y cocientes que implican mas de dos funciones. Consulte el apendice para ver una demostraci6n del teorema 2.2.3. l#!!JAAMlg!,.1 Usa del tearema 2.2.3 Evalue 11m (lOx x-t S + 7). Solucion Por los teoremas 2.2.1 y 2.2.2, sabemos que lfm 7 y lfm lOx existen. Por tanto, a . de1 teorema 2 .2.3·) x .... 5 x-->5 partir I , lfm (lOx x-+5 + 7) = xlfm lOx + lfm 7 -+5 x---+ 5 10 lfm x x---+5 + xlim 7 ---+5 10·5 + 7 = 57. • I Limite de una potencia El teorema 2.2.3ii) puede usarse para calcular el lfmite de una potencia entera positiva de una funci6n. Por ejemplo, si lim f(x) = L , entonces por el teox-> a rema 2.2.3ii) con g (x) = f(x), Por el mismo razonamiento es posible aplicar el teorema 2.2.3ii) al caso general en que f(x) es un factor n veces. Este resultado se plantea en el siguiente teorema. Teorema 2.2.4 U mites de una potencia Sean lfm f(x) = L Y n un entero positivo. Entonces X--HI lfm [f(x) l" = [lfm f(x )]" = L" . x ----+u x-+a Para el caso especial f(x) = x", el resultado proporcionado en el teorema 2.2.4 produce lfmx" x---+a = a". (l) 75 76 CAPITULO 2 LImite de una funci6n U!!3MR!'.' Uso de (1) y el teorema 2.2.3 Evallte Ifmx3 a) b) x~IO !fm~. 2 .\"->4 x Solucion a) Por (1), Ifm x 3 = 10 3 = 1000. x~ I O b) 5 y lim Por el teorema 2.2.1 y (1) sabemos que lim 5 cuencia, por el teorema 2.2.3iii), x-+4 lim 5 Ifm ~ - .<->4 !fm x 2 x->4 X2 - - - ~ 42 - - 16 X2 x ---+ 4 "* O. En conse- ~ • 16· x->4 'ii@!§Miij!.*j Evalue lim (x Uso del teorema 2.2.3 2 - + 5x x---+3 6). Solucion Debido a los teoremas 2.2.1, 2.2.2 Y (1), todos los limites existen. En consecuencia, por el teorema 2.2.3i), Ifm (x 2 5x - x---+3 l'l3fMQ!.lij + 6) = Ifm x 2 Ifm 5x - x---+3 x--+3 + x--+3 Ifm 6 = 32 - 5 .3 + 6 = o. • Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.4 EvalUe Ifm (3x - 1) 10. x---+ I Solucion Primero, por el teorema 2.2.3i) se observa que Ifm (3x - 1) = lim 3x - Hm I = 2. x---+ l x---t l x---+ I Luego, por el teorema 2.2.4 se concIuye que lim(3x - 1)1 0 = [lim(3x - 1)]10 = 2 10 = 1024. x--+ I x--+ I • Algunos limites pueden evaluarse por sustituci6n directa. Para ca1cular ellimite de una funci6n polinomial general pueden usarse (1) y el teorema 2.2.3i). Si I Limite de funciones polinomiales es una funci6n polinomial, entonces limf(x) x---+a = Hm(cIl x" x---+a + cn - I X,, - I + ... + CIX + co) = limc"x" + x--+a Ifmc n _ Ixn - 1 + ... + Hm clx + Hmco x--+a x--+ a X-hi = cna" + cn- Ia,, - I + ... + cia + co. +-f esta detin ida en x = a y este lim ite es j(a) En otras palabras, para evaluar el Ifmite de una funci6n polinomial f cuando x tiende a un numero real a, s6lo es necesario evaluar la funci6n en x = a: lim f(x) = f(a). (2) x---+a Al revisar el ejempl0 5 observamos que lim f(x), donde f(x) = x 2 - 5x + 6 esta dada por f(3) = O. X-> 3 Debido a que una funci6n racional f es el cociente de dos polinomios p(x) y q(x), por (2) y por el teorema 2.2.3iii) se concluye que el lfmite de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) tambien puede encontrarse al evaluar f en x = a: , lun ((x) x->{/ · ,p(x) pea) = x->{/ lIm = -q(a) . q(x) (3) 2.2 Teoremas sobre Ifmites 77 por supuesto, es necesario agregar a (3) el siempre importante requi sito de que el Ifmite del denomi nador no sea cero; es decir, q(a) =1= O. [:!II3M1ij!••, ' I'1m Evalue >--> - 1 Usa de (2) y (3) 3x - 4 -0 - - -- + 8x- 2x - 2 ' , raClOna . I, d e mo d 0 que 2 3x - 4 es una f unclOn 8x + 2x - 2 polinomios p(x) = 3x - 4 y q(x) = 8x 2 + 2x - 2, entonces por (2) , Solucion f() x = lim p(x) = p(-I) = - 7 =1= se Id'fi entl Ican los lfm q(x)=q(-I)=4. y x~-J Puesto que q( -]) Sl" X---7 - ( 0, por (3) se concluye que ' I1m .H - I 3x - 4 pC-I) -7 8x2 + 2x - 2 q(-l) 4 • Usted no debe quedarse con la impresi6n de que siempre es posible encontrar el lfmite de una funci6n al sustituir el numero a directamente en fa funci6n . 1:t!I3Mlij!.M:i ' I'1m Eva Iue 2 Usa del tearema 2.2.3 x-I ,--> 1 X +X - 2 Solucion En este lfmite la funci6n es racional, pero si en la funci6n sustituimos x = 1, se observa que ellfmite tiene la forma indeterminada 0/0. No obstante, si primero se simplifica, despues puede aplicarse el teorema 2.2.3iii): ' Ilin ,H I I' x - ] x2 +X 2 - = lin x--> I x (x - l )(x = lfm - lx .1'-->1 + lfm 1 lfm(x + <- ca ncelar es valido en el I Slipues(o que .r '* 2 1 X---7 1 x---t l + 2) 2) 3' • Si un lilllilC de una fUll c ion rac io nal lie ne In for illa indelerIllin ada % cuando x ~ a, cnlonces por el teorem3 dc l fac lor de l Cllgebra ,r - a dcbc ser lin fac tor tanto de l nllillcrador CO Ill O • del denoillin ador. Estas c ~lIlti cla des se factorizan y se cance la e l factor x - (/ . Algunas veces es posible afirmar a primera vista cufmdo no existe un limite . Teorema 2.2.5 Sean lfmf(x) x -----t(/ Un Ifmite que no existe = L] =1= 0 Y Ifm g(x) = O. Entonces X - HI ' f(x) I1m - - x-->a g(x) no existe. DEMOSTRACION Se proporcionani una demostraci6n indirecta de este resultado, basada en el teorema 2.2.3. Suponga que Ifm f(x) = L, =1= 0 Y lim g(x) = 0, y tambien que lim (f(x) / g(x)) X---7(/ x---ta existe y que es igual a ~. Entonces x~ a L, = Ifmf(x) = lfm(g(X) J((X))), x-->a x-->a = (lfm g(x)) (lfm f((X))) X---t{/ x---tQ g X g g(x) =1= 0, X = 0 . L2 = O. EI teorema se ha demostrado por contradicci6n de la hip6tesis LI =1= O. • 78 CAPiTULO 2 Limite de una funci6n I=!!JijM4!'.' Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.5 Evalue Xl - lOx - 25 x->5 X - 4x - 5 Ifm - xx->5X - 5 a) , x - 5 1 . x->5X - lOx + 25 b) Ifm "-----,2,-----::....::..:..:c--=- c) hm Solucion Cada funcion en los tres incisos del ejemplo es racional. a) Puesto que el Ifmite del denominador x es 5, pero el limite del denominador x - 5 es 0, concluimos del teorema 2.2.5 que el Ifmite no existe. b) Al sustituir x = 5, tanto el denominador como el numerador se hacen iguales a 0, de modo que el Ifmite tiene la forma indeterminada 0/0. POl' el teorema del factor del algebra, x - 5 es un factor tanto del numerador como del denominador. Asi, x 2 - lOx - 25 , (x - 5f lim 2 = hm +- se x->5 X - 4x - 5 x->5 (x - 5)(x + 1) cancela cl f' lctm .f - :; ' x - 5 = I1 m-x->5 X + I o - -6 -- 0 . c) +- e l lim ile exis le De nuevo, el limite tiene la forma indeterminada 0/0. Despues de factorizar el denominador y cancelar los factOl'es, poria manipulacion algebraic a lim x - 5 = lim x - 5 x->5 x 2 - lOx + 25 x->5 (x - 5f r 1 = xll,~ x - 5 se ve que el limite no existe puesto que el Ifmite del numerador en la ultima ex presion ahora es 1, pero el limite del denominador es O. • I Limite de una raiz EI limite de la raiz n-esima de una funcion es la raiz n-esima del Ifmite siempre que el limite exista y tenga una raiz n-esima real. El siguiente teorema resume este hecho. Teorema 2.2.6 Sean lim f(x) x-+a Limite de una raiz = L y n un entero positivo. Entonces ' '"~f'() I lin V t(x) X--hl' en el supuesto que L 2: = \11'1m f'() x = ,1lr;L V L, X-+l1' 0 cuando n es par. Un caso especial inmediato del teorema 2.2.6 es (4) en el supuesto que a 1=!!13~@! •• ['1 2: 0 cuando n es par. Por ejemplo, IfmvX = [limx] I/2 = 9 1/ 2 = 3. x->9 x->9 Uso de (4) y del teorema 2.2.3 ' I' x - VX E vaI ue x-->1m -2 2X + 10' Solucion que Puesto que lim (2x x---+-8 vx x lim x->-82x + 10 + 10) = -6 =1= 0, pOI' el teorema 2.2.3iii) y (4) observamos x!!,IEsx - [x!!'IE sXf /3 lim (2x + 10) x-+-8 - 8 - (_8)1/3 -6 -6 -6 l. • Cuando el limite de una funcion algebraic a que implica radicales tiene la forma indeterminada 0/0, algo que puede intentarse es racionalizar el numerador 0 el denominador. 2.2 Tearemas sabre Ifmites IEMIQ«--" ' I'1m Eva I Lie .1'-->0 Racionalizaci6n de un numerador ~-2 . x2 Solucion Puesto que lim V x 2 + 4 = Vlfm(x 2 + 4) = 2 por in speccion vemos que ellfmite x----t O .\---7 0 dado tiene la forma indeterminada 0/ 0. Sin embargo, al racionali zar el numerador obtenemos ' I1m ~- 2.~+ 2 x-->O x2 VX" + 4 + 2 \.1?"+4 x x-->O 2 =lm I' 2 (x 2 + 4) - 4 = Ifm - -'----====-x--> o X2(VX 2 + 4 + 2) o x- = lim - --=== - - +- se cancelan las .r H O X2(~ ' + 2) 1 = I1m ~ x--> o + 2 +- el limite ya . 11 0 es 0/ 0 Ahora ya es posible que apliql1emos los teoremas 2.2.3 y 2.2.6: ' I1m \.1?"+4 - 2 = I'1m x2 x-->o x--> o 1 \.1?"+4 + 2 Ifml X---70 Vlfm(x 2 x--+O + 4) + X---7 Ifm2 0 • En caso de que alguien se pregunte si puede haber mas de un !fmite de una funcion f(x) cLiando x ~ a, para que quede registro se plantea el ultimo teorema. Teorema 2.2.7 Existencia implica unicidad Si Ifmf(x) existe, entonces es unico. X ~ (j lim x ~a 79 NOTAS DESDE EL AULA ....................................................................................................................................................................... . En matematicas es tan importante saber 10 que un teorema 0 una definicion no dice, as! como saber 10 que dice. i) La propiedad i) del teorema 2.2.3 no dice que ellfmite de una suma siempre es la suma de los Ifmites. Por ejemplo, lfm (1 / x) no existe, de modo qLle X-4 0 ' rill-+- - - -r- I'Im-1 - I'Im -1. I1m x-->O X X A pesar de ello, puesto que 1/x - 1/x = x-->o X x--> o X ° *" 0, el lfmite de la diferencia existe. para x = x-->o lim lfm[1. - 1.] X X x-->o °= 0. ii) En forma semejante, ellimite de un producto pl1ede existir y no obstante no ser igual al producto de los Ifmites. Por ejemplo, x / x = 1, para x 0, y as! *" Ifm .1'-->0 (x .1.) X lim (x . 1.) X pero x-->o puesto que Ifm X-40 (1/ x) no existe. = Ifm 1 x-->O = 1 *" (!fm x) (lfm 1.) x-->o x-->o X .... 1::11 la sccc i6n "'Nolas cl esde e l aul a". al fin al e1e la seccillil 1. 1. viIII os cs le Iimile e ll la cC l.lClcill ll ( 11) 80 CAPITULO 2 LIm ite de una funci6n iii) EI teorema 2.2.5 no afirma que el Ifmite de un cociente no existe cuando el lImite del denominador es cero. EI ejemplo 8 es un contraejemplo de esa interpretaci6n . No obstante, el teorema 2.2.5 establece que el !fmite de un cociente no existe cuando el lfmite del denominador es cero y el lImite del numerador no es cero. Ejercicios 2.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-S. = Fundamentos En los problemas 1-52, encuentre el limite dado, que no existe. 0 concluya 39. Ifm)-h (h2 - 16)2 40. IfmCt lH4 h + 5 h - 4 ' ..... 2 -yi lim 41. 64x x 2 + 2x X3 - 42. 1. lim 15 2. lfmcos 11' 3. Ilm(-4)x 4. lfm(3x - 9) 43. Hm(at 2 - bt)2 5. !fm x 2 6. lfn} (- x 3 ) , (8 + h)2 - 64 45. Iim - - -- 11 .....0 h x ..... o .. ->- 4 x~3 x-+) 3 4x + 1) - x......,. - I 8. lfm( - 5x x ..... 6 2x + 4 ' 7 11. Hm(3t - 1)(5t 2 + 2) 12. ,-> 1 ' 13· I1m S s->7 + 2 3 X )1 3S 16. Ifm x--+- I ....... 2 I Vi t + x2 48. lim - (3x - 7x v ..... o (x 2 _ 2)36 x ..... 2 2 X - ' t 3 - 2t 29 • IUTI 3 H I t + t2 28. (\IX + 4)2 33. lfm [ x2 + 3x - 1 x->o X 34. Ifm [ - 1 _ 2 x .....2 X - 2 x , (x + 3)2 35. Inn.,;--;: x"'" 3 V X - 3 37. Ifm) 2xlOx+ 5 x-> IO + 32. l] x 6 + 2x - 8 ] \IX (x> Vi - 1 vi + 0) ' I 50 • u~ - 5 v-I Vu+4 - , 4 52 . I1m x-> I 3 5 u - Vx+15 x2 - 1 X-HI , 1 55 · I1m-x ..... " g(X) 56. lim)-f(X) ' t3 + 1 IIm - - - 57 I' f(x) · x'.!:}'f(x) - 2g(x) , [f(x) ] 2 - 4 [g(X)] 2 58. lim--'--------='--x--+a f(x) - 2g(x) lim _2x_+_6_ -3 4x 2 - 36 59. lim xf(x)g(x) 60. ' ..... - lt 2 - 1 = lim xY.X+4 --Vx - x---+a g(x) .~~ Xf~~ : :(X)' a 0/= -~ Piense en ello 2X2 + 3x - 9 !fm---,....--::-x"'" 1.5 X - l.5 x-> - 2 concluya que no existe. x->a x ..... a S x--+O + h 54. Hm [f(x)] 3 2 , (x + 2)(x - 1)3 31. lim-- - - - - Vx+h - x---+a + 1 - x h 53. lim[5f(x) + 6g(x)] +2 x ..... , x 3 + 3x 2 - lOx 27. 11m ~-~---=---=-=.:.:. h)3 - 1] x~a 24 . 26. 11 ..... 0 0 x3 - 1 23. lim - - ....... 1 x- I (x - 8) + 46. 11m -hi [(l = 2. Encuentre el limite dado, u 2 - 5u - 24 22. Ifm ---....,.-u->8 U - 8 IO Hm Y'U-=-2X-=2-+-2-x-u- +- En los problemas 53-60, suponga que lim f (x) = 4 y lim g(x) -Vx) x ..... 2 (x - 2)(x + 5) 25. lfm - -- - - x h , v'25+V 51 · I1m, ~ 4tO (8X + l)5 x lim x-+ I+ x---+- I 49. I,!:!R t - 1 +6 20. Ifmx2Yx2 + 5x t - 2 ' 6x 4)1 /3 ..!..(_l_ -..!..) + 11 ..... 0 yZ - 25 21. Ifm-- y ..... - 5 y + 5 .H 8) 11 .....0 X2 - x"'" 8 x--+6 H + + 4? 18. !fm(1 + 17. lfmY2x - 5 2 ' ..... - 2 x ..... 6 15. !fm (x + x 2 + ' 19· I1m 6x 47. lfm lfm Ct ' 14. I1m 21 S2 - + [' -x +- 5 10.Im x ..... o 3x 9. lI m - - .. ->2 X - 2 44. ' ..... 1 .1:-+2 x--+ -2 7. Ifm(x .. ->0- + 2)3/2(2t + 6 En los problemas 61 y 62, use el primer resultado para encontrar los lfmites en los incisos a)-c). Justifique cada paso de su trabaj o citando la propiedad id6nea de los limites. , x lOO - 1 = 100 61. lim x"'" I x - I , (x IOO _ 1)2 x lOO - 1 , x 50 - 1 a) 2 b) lim '-----'- c) 11m -'---- - x ..... I x - I x ..... I x - I x ..... 1 (x - 1)2 Ifm 62. lim senx = 1 x ..... o x 2x , a ) In T I - x ..... o sen x c) lim 8x x ..... o 2 sen x - x senx , 63 · U se I1m - = 1, para mostrar que I'1m sen x = 0 . x ..... o X x ..... o " 2f(x) - 5 64. SI lim 3 = 4, encuentre limf(x) . x->2 x + x ..... 2 2.3 Continuidad 81 2.3 Continuidad I Introduccion En el amilisis de la seccion 1.1 sobre funciones y grMicas se uso la frase "estos puntos se unen con una curva suave". Esta frase invoca la imagen que es una curva continua agradable; en otras palabras, una curva sin rupturas, saltos 0 huecos. En efecto, una funcion continua a menudo se describe como una cuya grafica puede trazarse sin levantar el lapiz del pape!. En la seccion 2.2 vimos que el valor funcional f(a) no desempenaba ningun papel en la determinacion de la existencia de lim f(x). Pero en la seccion 2.2 observamos que los limites cuando x -+ a de funciones polinoU;"Gtles y ciertas funciones racionales pueden encontrarse simplemente al evaluar la funcion en x = a. La razon por la que puede hacerse 10 anterior en algunas instancias es el hecho de que la funcion es continua en un numero a. En esta seccion veremos que tanto el valor de f(a) como ellfmite de f cuando x tiende a un numero a desempenan papeles primordiales al definir el concepto de continuidad. Antes de proporcionar la definici6n, en la FIGURA 2.3.1 se ilustran algunos ejemplos intuitivos de funciones que no son continuas en a. y y y )' • +-- ....a--~x -t---+---~x a I I a) Ifm f(x) no existe b) Ifm f(x) no ex iste -I----t--_x a -I----+--~x c) lim f(x) existe d) lfm f(x) existe, a x--+ o x --+ a X--+(l X--+(l y f(a) no esta definida pero f(a) esta definida pero f(a) no est!l definida f(a) esta definida, pero lfm f(x) "* f(a) x--+a FIG URA 2.3.1 Cuatro ejemplos de f no continua en a La figura 2.3.1 sugiere la siguiente condicion tripartita de continuidad de una funcion f en un numero a. I Continuidad en un numero Definicion 2.3.1 Continuidad en a Se dice que una funcion f es continua en un numero a si i) f(a) esta definido, iii) Hm f(x) = f(a). ii) lfm f(x) existe y x----+a x--+a Si alguna de las condiciones en la definicion 2.3.1 no se cumple, entonces se dice que f es dis continua en el numero a . •i@ HhM4!.M. Tres funciones Determine si cada una de las siguientes funciones es continua en 1. a) x3 - x3 - 1 1 f(x) = ~ b) g(x) = x - I' 2, l x x3 - 1 =1= c) hex) = x= l x-I' x =1= x= 3, Solucion a) b) f es discontinua en 1 puesto que al sustituir x = 1 en la funcion se obtiene 0/ 0. Se afirma que f(l) no esta definida, de modo que se viola la primera condici6n de continuidad en la definicion 2.3.1. Debido a que g esta definida en 1, es decir, g( 1) = 2, a continuacion se determina si Hm g(x) existe. Por ... Rec ue rde d e sus co noc imi e ntos de a lgebra que x-> I x3 - 1 l f m - - = Hm x-+l X x-+1 1 (x - 1)(x 2 X - +1 X + 1) = Hm(x2 + .1' ..... 1 x + 1) = 3 (1) 'b' b) a' - . = (a (a 2 + ab + b 2 ) 82 CAPITULO 2 Limite de una funci6n concluimos que Ifm g(x) existe y es igual a 3. Puesto que este valor no es el mismo x~l que g(l) = 2, se viola la segunda condicion de la definicion 2.3.1. La funcion g es discontinua en I. Primero, hO) esta definida; en este caso, h(1) = 3. Segundo, Ifm hex) = 3 por (1) del inciso b). Tercero, se tiene Ifm hex) = hO) = 3. Por tanto~-'~e cumplen las tres .\"--+1 condiciones en la definicion 2.3.1 y as! la funcion h es continua en 1. Las grc'ificas de las tres funciones se comparan en la FIGURA 2.3.2. e) y y y = f(x) y y = g(x) 3 y=h(x) / 3 2 -t-+--+--t---t+-x -t-+--+--t---t+-x ~ FIGURA 2.3.2 -t-+---t--t---t+- x ~ c) Graficas de las funciones en el ejemplo I 'ii@!#@!.Wl • Funci6n definida par partes Determine si la funcion definida por partes es continua en 2. x < 2 x = 2 X2 f(x) = ( Y 5 • Solucion 5,' -x + 6, x> 2. Primero, observe que f(2) esta definida y es igual a 5. Luego, por 2 IfmJ(x) = lfm_ x = 4 ) X 2 f( ) - X 2 ( + 6) _ 4 implica lfmf(x) x2.rr+ x - x2.~ -x x-->2 r 2 FIGURA 2.3.3 Grafica de la funci6n en el ejemplo 2 r =4 observamos que el Ifmite de f existe cuando x ---+ 2. Por ultimo, debido a que Ifm f(x) x------+2 "* f(2) = 5, por iii) de la definicion 2.3.1 se concluye que f es discontinua en 2. La grc'ifica de f se muestra en la FIGURA 2.3.3. • I Continuidad sobre un intervalo A continuacion veremos que el concepto de continuidad en un numero a se extiende a continuidad sobre un intervalo. Definicion 2.3.2 Continuidad sobre un intervalo Una funcion f es continua i) sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en todo numero en el intervalo; y ii) sobre un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y, ademas, Ifm f(x) X-70T = f(a) y Ifm f(x) = feb). x--+b- Si se cumple la condicion Ifmite por la derecha Ifm f(x) = f(a) dada por ii) de la defix--+a + nicion 2.3.1, se dice que f es continua por la derecha en a; si Ifm f(x) = feb), entonces f x----+b- es continua por la izquierda en b . Extensiones de estos conceptos a intervalos como [a, b), (a, b], (a, 00), ( -00, b), (-00, 00), [a, 00) y (-00, b] se hacen como se espera. Por ejemplo, f es continua en [1, 5) si es continua en el intervalo abierto (1, 5) y es continua por la derecha en l. 2.3 Continuidad mxt1MIQ!,.' a) Cantin uidad sab re un intervala Como observamos en la FIGURA 2.3.4a ), f(x) = I/~ es continua sobre el intervalo abierto (- 1, 1) pero no es continua sobre el intervalo cerrado [- 1, I], ya que ni f( - 1) ni f(1 ) estlin definidos. b) f(x) = ~ es continua sobre [-I, I ]. Observe por la fi gura 2.3.4b) que lim f(x ) = f(-I) = x -----"7 - I + c) y f( x ) ° I , I \'= ~ ~ 1- x 2 -+--+--1---+- x -": - I y Ifm...f(x) = f(l) = 0. X-----"71 a) = -v:x=-T es continua sobre el intervalo no acotado [ 1, (0), ya que limf(x) = Ylim(x - I ) = x---+ a x ---+a para cualquier numero real a que cumpl a a puesto que lim x-t [ + ' v"Cl=l = f(a ), > I, Y f es continua por la derecha en 1 -v:x=-T = f(1) = 0. • I Continuidad de una suma, producto y cociente Cuando dos fu nciones f y g son continuas en un numero a, entonces la combinaci6n de las funciones formadas por suma, multiplicaci6n y divisi6n tam bien es continua en a. En el caso de la divisi6n fl g es necesario, por supuesto, requerir que g(a) 0. '* Continuidad de una suma, un productoy un cociente Si las funciones f y g son continuas en un mimero a, entonces la sumaf fg y e1 cociente fig (g(a) 0) son continuos en x = a. '* + g, el producto DEMOSTRACION DE LA CONTINUIDAD DEL PRODUCTO Ig Como una consecuencia de la hip6tesis de que las funciones f y g son continuas en un numero a, podemos decir que ambas funciones estan definidas en x = a, los limites de las dos funciones existen cuando x tiende a a y limf(x) = f(a) y x I b) Una revisi6n de las gnificas en las figuras 1.4.1 y 1.4.2 muestra que y = sen x y y = cos x son continuas en (- 00, (0) . Las figuras 1.4.3 y 1.4.5 muestran que y = tan x y y = sec x son discontinuas en x = (2 n + 1) 7T12, n = 0, ± 1, ± 2, ... , mientras las figuras 1.4.4 y 1.4.6 muestran que y = cot x y y = csc x son discontinuas en x = n7T, n = 0, ± 1, ± 2, . .. Las funciones trigonometricas inversas y = sen - I x y Y = cos - I x son continuas sobre el intervalo cerrado [ - 1, IJ. Yea las figuras 1.5.9 y 1.5.12. La funci6n exponencial natural y = eX es continua sobre el intervalo (-00, (0), mientras que la funci6n logaritmo natural y = In x es continua sobre (0, (0). Yea las figuras 1.6.5 y 1.6.6. X----'1'(1 ~ - I Yea 1a figura 2.3.4c) . Teorema 2.3.1 v='o'l~ - x· lfmg(x) = g(a). X ----'?(f Debido a que e1 lfmite existe, sabemos que ellfmite de un producto es el producto de los lfmites: 1~(f(x)g(x» = O~f(x»)O~g(x») = f(a)g(a) . Las demostraciones de las partes restantes del teorema 2.3.1 se obtienen de manera semejante . • Puesto que 1a definici6n 2.3.1 implica que f(x) = x es continua en cualquier numero real x, a partir de aplicaciones sucesivas del teorema 2.3.1 se observa que las funciones x , x 2 , x 3 , . • • , x" tambien son continuas para cualquier x en el intervalo (-00, (0) . Debido a que una funci6n polinomial es justo una suma de potencias de x, otra aplicaci6n del teorema 2. 3.1 muestra 10 siguiente: • Una funci6n po1inomial f es continua en (-00, (0). Se dice que las funciones, como las polinomia1es, el seno y el coseno, que son continuas para todos los numeros reales, es decir, sobre el intervalo ( -00, (0), son continuas en todas partes. De una funci6n que es continua en todas partes tambien se dice que es continua. Luego, y y = ~x - I -+--+----~x c) FIGURA 2.3.4 Graticas de las funcione s en el ejemplo 3 83 84 CAPITULO 2 Limite de una funci 6n si p(x) y q(x) son funciones polinomiales, por el teorema 2.3 .1 tambien se concluye directamente que • Una funcion racional f(x) = p(x)/ q(x) es continua excepto en numeros en los que el denominador q(x) es cero. y I Terminologia Una discontinuidad de una funcion f a menudo se denomina de manera especial. • Si x = a es una aSlntota vertical para la gnifica de y tiene una discontinuidad infinita en a. --+-1----1--1--+* x - I FIGURA 2.3.5 Discontinuidad tipo saito en x = 0 • Si !fm f(x) = L] Y !fm f(x) = L2 y L] x~a - ~ x~a + x I =1= ~, = x --+ a a 0 f(a) que f tiene una discontinuidad removible en a. =1= Ifm f(x) , entonces se dice x---ta Por ejemplo, la funcion f(x) = (x 2 - 1)/ (x - 1) no esta definida en x Al definir f(1) = 2, la nueva funcion x 2 -I y= {~' 2, entonces se dice que f tiene una dis- una discontinuidad de tipo saIto en a. • Si!fm f(x) existe pero f no esta definida en x a) No es continua en 1 ~ 0 La funcion y = f(x) dada en la FIGURA 2.3.5 tiene una discontinuidad de tipo saIto en 0, puesto que !fm f(x) = -1 Y !fm f(x) = 1. La funcion entero mayor f(x) = lx J tiene una discontiX~ OX--+O+ nuidad de tipo saIto en todo valor entero de x. I I entonces se dice que f La figura 2.3.1a) ilustra una funcion con una discontinuidad infinita en a. continuidad finita _ X2- 1 y - x -I = f(x), = 1 pero lim f(x) x--+I = 2. x= 1 x I b) Continua en I FIGURA 2.3.6 Discontinuidad removible en x = I f(x) = l x2 - 1 x - I ' 2, x =1= x = es continua en todas partes. Yea la FIGURA 2.3.6. I Continuidad de f -1 La validez del siguiente teorema se concluye del hecho de que la grafica de la funcion inversa f - ] es una reflex ion de la grafica de f en la recta y = x. Teorema 2.3.2 Continuidad de una funcion inversa Si f es una funcion continua uno a uno sobre un intervalo [a, b], entonces f- l es continua ya sea sobre [f(a),J(b)] 0 sobre [f(b),J(a)]. La funcion seno,j(x) = sen x, es continua sobre [ - n/ 2, 7T/ 2], y como ya se observo, la inversa de f, y = sen -] x, es continua sobre el intervalo ceO'ado [f( - 7T/ 2),J( 7T / 2)] = [-1, 1] . EI siguiente teorema establece que si una funcion es continua, entonces el limite de esa funcion es la funcion del limite. La demostracion del teorema 2.3.3 se proporciona en el apendice. I limite de una funci6n compuesta Teorema 2.3.3 Limite de una funcion compuesta Si !fm g(x) = L y f es continua en L, entonces x --+ a l.~f(g(x)) = fU~g(x)) = f(L). EI teorema 2.3.3 es util en la demostracion de otros teoremas. Si la funcion g es continua en a y f es continua en g(a), entonces vemos que 2.3 Continuidad 85 lim f (g (x )) = f(lfmg (x)) = f( g(a)) . x ------'>' (( x---+a Acabamos de demostrar que la composicion de dos funciones continuas es continua. Teorema 2.3.4 Continuidad de una funcion compuesta Si g es continua en un numero a y f es continua en g(a) , entonces la funcion compuesta (f g)(x) = f(g(x)) es continua en a. 0 f:!IiMiQl•• , Y Continu idad de una func i6n compuesta f (x) = Vx es continua sobre el intervalo [0, (0) y g(x) = x 2 + 2 es continua sobre (-00, (0) . Pero, puesto que g(x) ~ 0 para toda x, la funcion compuesta (f 0 g)(x) = f(g(x)) = v'?"+2 • Si una funcion f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces, como se ilustra en la FIGURA 2.3.7, f asume todos los valores entre f(a) y feb) . Dicho de otra manera, una funci6n continua f no omite ningun valor. Teorema del valor intermedio * Si f denota una funcion continua sobre un intervalo cerrado [a, b] para el cual f(a) feb), y si N es cualquier numero entre f(a) y feb), entonces existe por 10 menos un numero c entre a y b tal quef(c) = N. UII3MQ«.4j Co nsecuenc ia de la continu idad La funcion polinomial f(x) = x 2 - X - 5 es continua sobre el intervalo [- I, 4] y f (-1) = -3, f(4 ) = 7. Para cualquier numero N para el eual -3 :s; N :S; 7, el teorema 2.3.5 garantiza que hay una solueion para la eeuaeion f(c) = N, es deeir, c2 - c - 5 = N en [-1,4]. Especifieamente, si se eseoge N = 1, entonees c 2 - c - 5 = 1 es equivalente a o bien, (c - 3)(c + 2) = Aunque la ultima eeuaeion tiene dos solueiones, solo el valor c = o. 3 esta entre - 1 y 4. • El ejemplo anterior sugiere un eorolario al teorema del valor intermedio. • Si f satisfaee las hip6tesis del teorema 2.3 .5 y f(a) y feb) tienen signos algebraieos opuestos, entonees existe un numero x entre a y b para el que f(x) = O. Este heeho se usa a menudo para localizar eeros reales de una funcion continua f Si los valores f(a) y feb) tienen signos opuestos, entonees al identificar N = 0 podemos afirmar que hay por 10 menos un numero c en (a, b) para el cual f(c) = O. En otras palabras, si f(a) > O,f(b) < 0 0 f(a) < 0, feb) > 0, entonces f(x) tiene por 10 menos un cero c en el intervalo (a, b) . La validez de esta conclusi6n se ilustra en la FIGURA 2.3.8. f(a) y y = f (x) '1 y = f(x ) ,, : feb) >0 ," b a ,, x ' feb) < 0 f(a) < 0 . I , -,-- j\j t , , t ,, , I f( a) es continua en todas partes. Teorema 2.3.5 feb) >0 b a) Un cera c en (a , b) b) Tres ceros en c 1' c2 ' c3 en (a , b) FIGURA 2.3.8 Localizaci6n de ceros de funciones usando el teorema del valor intermedio x ~ a c b FIGURA 2.3.7 Un a fun ci6n continua f asume todos los valores entre f (a) y f eb) x 86 CAPITULO 2 LImite de una funci6n I Metoda de bisecci6n Como una consecuencia directa del teorema del valor intermedio, es posible concebir un medio para aproximar los ceros de una funci6n continua hasta cualquier grado de precisi6n. Suponga que y = f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a , b] tal que f(a) y feb) tienen signos algebraicos opuestos. Luego, como acabamos de vel', f tiene un cero en [a, b] . Suponga que el interval0 [a, b] se biseca encontrando el punto medio 1111 = (a + b)/ 2. Si f(l11l) = 0, entonces 1111 es un cero de f y ya no se continua, pero si f(l11l) 0, entonces puede afirmarse 10 siguiente: *" d P lllliO • Si f(a) y f(l11l) tienen signos algebraicos opuestos, entonces f tiene un cero c en [a, I11d . • Si f(l11l) Y f(b) tienen signos algebraicos opuestos, entonces f tiene un cero c en [111 I, b]. med io es una aproxirnacitm I.:cro de I ' 11 l:Cf(l • aC I ~ x b ini FIGURA 2.3.9 El numero 11l, es una aproximaci6n al numero c *" Es decir, si f(l11l) 0, entonces f tiene un cero en un interval0 que mide la mitad del interval0 original. Yea la FIGURA 2.3.9. A continuaci6n se repite el proceso al bisecar este nuevo interval0 aJ encontrar su punto medio 1112. Si 1112 es un cero de f, entonces detenemos el proceso, pero si f(1112) 0, hemos 10calizado un cero en un intervalo que mide la cuarta parte del intervalo [a , b]. Continuamos este proceso de localizar un cero en f de manera indefinida en intervalos cada vez mas cortos. Este metoda de aproximar un cero de una funci6n continua por medio de una sucesi6n de puntos medios se denomina metodo de biseccion. Al volver a inspeccionar la figura 2.3.9 se observa que el error en una aproximaci6n a un cero en un intervalo es men os de la mitad de la longitud del intervalo. *" 1::t!i#MQ!.la a) b) Ceros de una funci6n polinomial Demuestre que los ceros de la funci6n polinomial f(x) = x 6 real en [-1,0] Y en [1 , 2]. Aproxime el cero en [1, 2] basta dos cifras decimales. 3x - 1 tiene un cero - Soluci6n a) Observe que f( - 1) = 3 > 0 y f(O) = -1 < O. Este cambio de signo indica que la gnifica de f debe cruzar el eje x por 10 menos una vez en el intervalo [ - 1, 0]. En otras palabras, hay por 10 menos un cero en [- 1, 0] . De manera semejante, f(l) = - 3 < 0 y f(2) = 57 > 0 implican que hay por 10 menos un cero de f en el interval0 [1, 2]. b) Una primera aproximaci6n al cero en [1, 2] es el punto medio del intervalo: 111 [ 1+2 3 1 error < 2(2 - 1) = 0.5. = - 2 - = 2 = 1.5, Luego, puesto que f(l11l) = f(~) > 0 Y f(1) < 0, se sabe que el cero esta en el intervalo [1 , ~]. La segunda aproximaci6n al cero es el punto medio de [1 , ~]: y 1112 1 + ~ = 4" 5 = =2 1(3 error < 2 2 - I 1.25, ) = 0.25. n n -+-~+--++--++-x Puesto que f(1112) = fm < 0, el cero esta en el interval0 [t La tercera aproximaci6n al cero es el punto medio de [~, 2 FIGURA 2.3.10 Grafica de la funci6n en el ejemplo 6 Si se clesea qu e la apro ximacion ~ sea prec isa ha sta ' res cifra s clec im alcs. continu <l mos hasta que c l error se vuel va menor n13 ~+~ 11 = -2- = 8 = 1(3 4"5) = error < 2 2 - 1.375, 0.125. Despues de ocbo calculos, encontramos que I11s = 1.300781 con error menor que 0.005 . Por tanto, 1.30 es una aproximaci6n al cero de f en [1, 2] que es precisa basta dos cifras decimales. La grafica de f se proporciona en la FIGURA 2.3.10. • qu e 0 .0005. Y <lsi suces iv<llllente. Ejercicios 2.3 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-S. = Fundamentos En los problemas 1-12, encuentre los mimeros, en caso de haberlos, en que la funci6n f dada es discontinua. 1. f(x) = x 3 - 4x 2 + 7 2. f(x) = _ 2 x_ x + 4 3. f(x) = (x 2 - x-I 9x 5. f(x) = - 2 sen x + 18) - 1 4. f(x) = 6. f"cx) . = x2 - 1 -4-x-I tanx +3 x 2.3 Conti nu idad 7. f(x) = {x, x 2 x<O 0:S:x < 2 x> 2 r , x, 9. f(x) = IO. f(x) = x - 25 5 ' 10, 1 x -- Il' v'X = = {'xI x' x*-O 1, x=O x*-5 x = FIGURA 2.3. 12 GrMica para el problema 24 5 a) [2, 4] x*-1 x = 1 25. f(x) 12. f(x) 2 +\n x = 2 x e - e = {m:, x En los problemas 13-24, determine si la funci6n nua en el intervalo indicado. 13. f(x) =x + 1 b) [5 ,00) 28. f(x) = b) (0,00) 1 = v'X a) (0, 4] 16. f(x) = vx b) [1, 9] 2 9 - a) [-3,3] 17. f(x) = = b) [-1T/ 2, 1T/ 2] csc x b) (21T, 31T) ~ x + x=3 x > 3 { -2x + 9, 5, { 2mx x < l x = 1 x > 1 11 , + 11, = l2x - IJ 30. f(x) = lxJ - x En los problemas 31 y 32, determine si la funci6n dada tiene una discontinuidad removible en el numero dado a. Si la discontinuidad es removible, defina una nueva funci6n que sea continua en a. x-9 31. f(x) = ,r: ' a = 9 vx - 3 b) (-00,00) 1 Ixl - 4 a) ( - 00, - 1] 32. f(x) = X4 - 1 -?--, r-1 a =1 a) (-00,00) 34. limcosv'X X~7Tl X->7T/ 6 b) [1,6] 35. lim sen (cos x) 36. X- '>7T/ 2 b) [1T/ 2, 31T/2] 1 22. f(x) = sen x a) [1 / 1T, 00) E n los problemas 33-42, use el teorema 2.3.3 para encontrar el limite dado. 33. lim sen(2x + 1T / 3) x 21. f(x) = 2 + sec x 23. x 11 , 8 a) [-4, -3 ] 20. f(x) = < 3 mx, En los problemas 29 y 30, lx J denota el mayor entero que no ex cede a x. Trace una grMica para determinar los puntos en que la funci6n dada es discontinua. 29. f(x) tan x a) (0 ,1T) 19. f(x) = x=2 b) [3 ,00) a) [0,1T] 18. f(x) x*-2 x - 2' m, mx - = -x1 a) (-00,00) IS. f(x) es conti- 27. f(x) = a) [ - 1, 4] 14. .((x) f de 4 X2 { 11 x<4 x2:4 x, 26. f(x) = 2 b) [1,5] En los problemas 25-28, encuentre los va10res de m y tal manera que la funci6n f sea continua. ~ 2' ll. f(x) 8. f(x) 87 37. lim cos 1- >7T C2t -- 1T1T 2) 38. lim tan( 1-+0 39. limVt - 1T + cos 2 t 1..... 1 41. lim sen - { x ..... -3 y 2 1Tt ) t + 3t 40. lim(4t + sen 2m? 1-'>7T b) [- 2/ 1T, 2/ 1T] lim (1 + cos(cos x» X- '>7T/ 2 + 3 ) + 4x + 3 2 X X 42. lim eCos 3x X--+7T En los problemas 43 y 44, determine el (los) intervalo(s) donde f og es continua. FIGURA 2.3. 11 a) [-1,3] 43. f(x) = ~, 44. f(x) = x-I Gnltica para el problema 23 b) (2, 4] 5x x _ l' g(x) g(x) =x + = (x 4 - 2)2 88 CAPITULO 2 LImite de L1na funcion En los problemas 45-48, compruebe el teorema del valor intermedio para f en el intervalo dado. Encuentre un numero c en el intervalo para el valor indicado de N. 45. f(x) = x 2 46. f(x) = x 2 47. f(x) = x 3 48. f(x) = x 2 2x, [1,5]; - N = 8 + X + 1, [- 2, 3]; - 2x + 1, [-2,2]; lO + l' a) Demuestre que el radio r del cilindro debe satisfacer N = 1 x2 + 1 52. - x+3 (0, 1) X4 + 1 +-=0 x-4 ' senx x 1 2' - I 800r + 6000. para encontrar las dimensiones del cilindro correspondientes al volumen y area superficial dadas en el inciso b) . Use una precision de dos cifras decimales. =Piense en ello 61. Dado que f y g son continuas en un numero a, demuestre que f + g es continua en a. 62. Dado que f y g son continuas en un numero a y g (a) -=F 0, demuestre que fl g es continua en a. f(x) = En los problemas 55 y 56, use una calculadora 0 un SAC para obtener la gnifica de la funcion dada. Use el metodo de biseccion para aproximar, con precision de dos cifras decimales, los ceros reales de f que descubra a partir de la gn'ifica. 5x 3 2nr 3 e) Use la gr<ifica en el inciso b) y el metodo de biseccion (n/2, n) - . Use un SAC para obtener la gr<ifica de 0 64. Considere las funciones =Problemas con calculadora/SAC 55. f(x) = 3x S = 2 63. Sean f(x) = lx J la funcion entero mayor y g(x) = cos x. Determine los puntos en que fog es discontinua. (-3,4) 53. e- x = In x, (1,2) 54. una calculadora fer) En los problemas 51-54, muestre que la ecuacion dada tiene una solucion en el intervalo indicado. 1 - x, 3 b) Suponga que V= 3 000 pies y S = I 800 pies N = 8 [0, 1]; 50. Dado que f y g son continuas sobre [a, b] de modo que f(a) > g(a) y feb) < g(b), demuestre que hay un numero c en (a, b) tal que f(c) = g(c) . [Sugerencia: Considere la funcion f - g.] = la ecuacion 2n? - Sr + 2V = O. N = 6 49. Dado que f(x) = x 5 + 2x - 7, demuestre que hay un numero c tal que f(c) = 50. 51. 2x 7 60. Suponga que un cilindro circular recto cerrado tiene un volumen V y un area superficial S (lado lateral, tapa y base). - 1 56. f(x) = x 5 + x - I 57. Use el metodo de biseccion para aproximar el valor de c en el problema 49 hasta una precision de dos cifras decimales. 58. Use el metodo de biseccion para aproximar la solucion en el problema 51 hasta una precision de dos cifras decimales. 59. Use el metodo de biseccion para aproximar la solucion en el problema 52 hasta una precision de dos cifras decimales. 2.4 Ixl g(x) = {x + 1, x-I, y Trace las graficas de fog y g g 0 f son continuas en o. 65. Un c1asico matematico f(x) = 0 x<O x 2:: o. f Determine si fog y La funcion de Dirichlet {I, 0, x racional x irracional recibe su nombre en honor del mate matico aleman Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 -1859). A Dirichlet se debe la definicion de una funcion como se conoce actualmente. a) Demuestre que f es discontinua en todo numero real a. En otras palabras, f no es una funci6n continua en ninguna parte. b) LComo se ve la grafica de f? e) Si r es un numero racional positivo, demuestre que f es r-periodica; es decir, f(x + r) = f(x). Umites trigonometricos I Introducci6n En esta seccion se analizan Hmites que implican funciones trigonometricas. Como se ilustrara con los ejemplos de esta seccion, el calculo de Hmites trigonometricos supone manipulaciones algebraicas y conocimiento de algunas identidades trigonometric as basicas. Empezaremos con algunos resultados simples sobre Hmites que son consecuencia de la continuidad. I Uso de la continuidad En la seccion precedente vimos que las funciones seno y coseno son continuas en todas partes. Por la definicion 2.3.1 se concluye que para cualquier numero real a, lfm sen x = sen a, (1) X-7U Hm cos x = cos a. x ..... a (2) 2.4 Umites trigon ometricos 89 Ell for ma semejante, para un numero a en el dominio de la funci 6n trigonometrica dada x-+t1 x-*a lim cot.\' = cot a, (3) lim secI' = sec a , Ifm csc x = csc a. (4) Ifm tan x = tan a , r - hl .r~a HUMM'.' Uso de (1) y (2) A partir de (I) Y (2) se tiene Ifm sen x = sen 0 = 0 y .\,-+0 lim cos x = cos 0 = I. (5) • x ---?o Los resultados en (5) se obtendran en el siguiente analisis sobre el caleulo de otras Ifmites trigonometricos. Pero primero se considera un teorema que reviste una utilidad particular cuando se trabaja con limites trigonometricos. y I Teorema de compresion El siguiente teorema posee muchos nombres, algunos de estos son: teorema de com presion, teorema del pellizco, teorema del emparedado, teorema del juego de compresion y teorema de Flyswatter. Como se muestra en la FIGURA 2.4.1, si la grafica de f(x) se "comprime" entre las graficas de otras dos funciones g(x) y hex) para toda x pr6xima a a, y si las funciones g y h tienen un limite comun L cuando x ~ a, tiene senti do afirmar que f tambien tiende a L cuando x ~ a. La demostraci6n del teorema 2.4.1 se proporciona en el apendice. Teorema 2.4.1 y = I (x) ,. = glr) -+- ---'---"*x a FIGURA 2.4. 1 GrMica de f oprimida entre las gnificas de g y h Teorema de compresi6n Suponga que!, g y h son funciones para las cuales g(x) :S f(x) :S hex) para toda x en un intervalo abierto que contiene a un numero a, excepto posiblemente al mismo a. Si lim g(x) = L y x-+a entonces Ifm f(x) lim hex) = L , x~ o <l1li Un co lega ruso clijo qu e este res ull aclo ,e cleno illi naba tcorem a de los dos sold a dos cuando estaba en la esc ue la . Pi e nsc Cll c li o. = L. X-HI Antes de aplicar el teorema 2.4.1 se considerara un limite trigonometrico que no existe. 1=!I3MM'.) Un limite que no existe EI Ifmite llm sen(l/x) no existe. La funci6n f(x) X~ O La grMica oscila entre - 1 y 1 cuando x ~ 0: 1 sen- = ±l para x I x - 7T' = - 2 + sen(l/ x) es impar pero no es peri6dica. n7T' ' n = 0, ± I, ±2, ... Por ejemplo, sen(l/x) = 1 para n = 5000 x = 0.00064, y sen(l/x) = - 1 para n = 501 0 x = 0.00063. Esto significa que cerca del origen la grMica de f se vuelve tan comprimida que parece ser una mancha continua de color. Yea la FIGURA 2.4.2. 1::t!I3MM'.' • Uso del teorema de compresi6n Encuentre el limite limx 2 sen 1. . x->o Solucion X Primero observe que lim x 2 sen 1. x-> o X -=1= (lim x2)(lim sen 1.) x->o x->o X pOl'que en el ejemplo 2 acabamos de vel' que lim sen(l/ x) no existe. Pero para x X--*O - I :S sen(l/ x) :S l. En consecuencia, -=1= 0 tenemos FIGURA 2.4.2 Gnifica de la funci6n en el ejemplo 2 90 CAPITULO 2 Limite de una funci6n Luego, si hacemos las identificaciones g(x) = - x 2 Y hex) = x 2 , por (1) de la secci6n 2.2 se sigue que Ifm g(x) = 0 y lim hex) = O. As!, por el teorema de compresi6n concluimos que x~o x~o En la FIGURA 2.4.3 observe la pequena escala en los ejes x y y . y 0.01 0.005 y= - 0.1 ? x-sen x1 0.1 - 0.005 Y ? - .c = -0.01 FIGURA 2.4.3 Aunque la funci6n f(x) = (sen x)/x no esta definida en x = 0, la tabla numerica en el ejemplo 7 de la secci6n 2.1 y la grMica en la FIGURA 2.4.4 sugieren que lim (sen x)/ x existe. Ahora ya es posible demostrar esta conjetura usando el teorema de compre~i6n. Considere un cfrculo con centro en el origen 0 y radio 1. Como se muestra en la FIGURA 2.4.5a), sea la regi6n sombreada OPR un sector del cfrculo con angulo central t tal que o < t < 7T/2 . A partir de los incisos b ), c) y ri) de la figura 2.4.5 se observa que I Un limite trigonometrico importante y FIGURA 2.4.4 • Gnifica de la funci6n en el ejemplo 3 Gn\fica de f(x) = (sen x) / x area de t6.0PR :s area del sector OPR :s area de t6.0QR. (6) Por la figura 2.4 .Sb), la altura de t6.0PR es OPsen t = 1 . sen t = sen t, yas! area de t6.0PR = Por la figura 2.4.Sri), QR/ OR 1- 1 1 "2 OR . (altura) = "2 . 1 . sen t = "2 sen t. (7) = tan to QR = tan t, de modo que 11 1 area det6.0QR = - OR ' QR = -·1 . tan t = -tan t 2 2 2' (8) y Q Q +-----~J---~~x P P ~ o ~ o R ~ o R b) Triangu lo OPR c) Sector OPR d) Triangulo rectangu lo OQR Circunferenc ia unitaria junto con dos triangulos y un sector c ircular a) Circu nferencia unitaria FIGURA 2.4.5 R 2.4 Lfmites trigonometricos por ultimo, el area de LIn sector del cfrculo es ~r2e, donde res el radio y e es el angulo central medido en radianes. As!, area del sector OPR = ~. ~t. 12 . t = (9) AI Llsar (7), (8) y (9) en la desigualdad (6) se obtiene I - sent 2 < I - t 2 < I -tant 2 1< _ t _ sen t o bien, < _1_. cos t Por las propiedades de las desigualdades, la ultima desigualdad puede escribirse como sen t <-< cos t t 1. Ahora se hace t ~ 0 + en el ultimo resultado. Puesto que (sen t) / testa "comprimida" entre y cos t (del cual se sabe por (5) que tiende a 0), a partir del teorema 2.4.1 se concluye que (sen t) / t ~ 1. Aunque se ha supuesto 0 < t < 1T /2, el mismo resultado se cumple para t ~ 0 cuando -1T/2 < t < O. Al usar el s!mbolo x en lugar de t, el resultado se resume como sigue: lim senx = I. (10) x x--.o Como se ilustra con los siguientes ejemplos, los resultados en (1), (2), (3) y (10) se usan a menudo para calcular otms limites. Observe que ellimite (0) es de la forma indeterminada 0/0. DIMiuc.al Usa de (10) '· I' E nCLlentre eI I ImIte 1m lOx - 3 senx x--> o X . Soluci6n La expresion fraccionaria vLlelve a escribirse como dos fracciones con el mismo denominador x: lim lOx - 3senx = lim[ lOx _ 3senx ] x-->O X x-->O X X = lim lOx _ 3 lim senx x-->o x-->o X X = lim 10 - 3 lim senx x--> o x-->o pueSlO que ambos Ifm iles existcn . <- las x lambien se cance lan en la pril1lcra expresitin +- ahora se usa ( 10 ) X =10-3 · 1 = DlM@!.&j • 7. Usa de la f6rmula del angula dable sen 2x. , . I'1m EnCLlentre e I 1ImIte -x-->o X Soluci6n Para evaluar el limite dado se usan la formula del angul0 doble sen 2x = 2 sen x cos x de la seccion 1.4, y el hecho de que el limite existe: ' sen 2x I' 2cosx sen x IIm--- = 1m x-->O X x-->O X ' (cos x . senx) = 2 lIm x--.O X = 2 (lim cosx) (lim sen x). x-->o x--.o X Por (5) y (10) se sabe que cos x ~ 1 Y (sen x)/ x ~ 1 cuando x ~ 0, de modo que la linea precedente se vuelve lim sen 2x = 2 . 1 . I = 2. x--> O X • 91 92 CAPITULO 2 LImite de una funci6n UWlMQ!.aa Usa de (5) y (10) , . , tan x Encuentre el lumte lim - - . .. --> 0 Solucion X Al usar tan x = (sen x)1 cos x y el hecho de que el limite existe, puede escribirse (senx)/ cosx tan x lim-- = Ifm--- - x -->o X x--> o X = Ifm _1_ . sen x x--> o cos X X 1) \/1'Im-sen x) ' - (1 Im-x--> o cos X = 1.. , 1 = J x -->o 1. <- X • po r (S)y(IO) I Uso de una sustituci6n A menudo se tiene inten!s en Ifmites semejantes a los considera5 P . I0, I'1m sen · I - 5x - , eI proced"Imlento dos en e I eJemp 0 . ero Sl. queremos encontrar, por eJemp x-->o X empleado en el ejemplo 5 deja de funcionar a nivel practico puesto que no se cuenta con una identidad trigonometrica a la mana para sen 5x. Hay un procedimiento alterno que permite . I'1m sen kx, d ' con stante real, al slmplemente . eneontrar rapldamente - onde k O =1= es cualqUler x -->O X cambiar la variable por medio de una sustitucion. Si se hace t = kx, entonees x = tl k. Observe que cuando x ~ 0 entollces necesariamente t ~ O. Asf, es posible escribir pOl (1 0) lim sen kx x -->O X = lim sen t = Ifm(sen t . !) = k 17m sen t = k. 1-->0 tl k 1-->0 1 t 1-->0 t Par tanto, se ha demostrado el resultado general ' sen [Im - -kx= k'. x-->o (11) X Por (Il), con k = 2, se obtiene el mismo resultado Ifm sen 2x = 2 que se obtuvo en el ejemx -->o X po. I 5 '!liMA!'. Una sustituci6n sen (x - 1) Eneuentre el limite lim 2 . x--> 1 X + 2x - 3 Solucion Antes de empezar, observe que el limite tiene la forma indeterminada 010 cuando x ~ 1. Al factorizar x 2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) el limite dado puede expresarse como un limite de un producto: , sen(x - 1) hm 2 x + 2x - 3 x->I = , hm x-->I (x sen(x - 1) + 3)(x - 1) Luego, si se haee t = x-I, veremos que x ~ = ,[ 1 sen (x - 1)] hm - - . - -- - X+ 3 x - I . x--> I 1 impliea t ~ O. En eonseeueneia, 'm sen(x - 1) _ Il' m sen t __ I. Il x - I 1--> 0 t <- pO l' ( 10) x -->l Al volver a (12) es posible escribir , sen(x - 1) ,[ 1 sen(x - 1)] hm = hm - - . ---'-- - 2 x --> 1 x + 2x - 3 x-> I X + 3 x-I _1_) (lim _se_n--'..(X_ - _ l--'.») .. +3 x-I sent) (1I' m+1- -3 )(1'Im-t = (lim - x--> 1 X \x--> I x-->l X 1-->0 (12) 2.4 Umites trigonometricos puesto que ambos limites existen. Asi, I, lITI x-->[ I!t9MQ!.M:. sen (x - 1) = x 2 + 2x - 3 (1'1m -+1) - (1' 3 t) = -I . senlITI 1-->0 t x-->[ X • 4 Usa de una identidad pitagorica , · I' 1 - cosx Encuentre e1 I Imlte 1m x-->o X Soluci6n Para caIcular este limite empezamos con un poco de ingenio algebraico al multiplicar el numerador y el denominador por el factor conjugado del numerador. Luego us amos la identidad pitag6rica fundamental sen 2 x + cos 2 X = 1 en la forma 1 - cos 2 X = sen 2 x: r x~ 1 - cos x X r = x~ , = 11m x--->o = Hm x-->o 1 - cos x X . 1 1 + cos x + cos x 1 - cos 2 X x(1 + cos x) 2 sen x x(1 + cos x) . Para el siguiente paso de nuevo se acude al algebra para volver a escribir la expresi6n fraccionaria como un producto, y luego se usan los resultados en (5): , 1 - cos x l' 11m = 1m x--->O X x--->O sen 2 x x(1 + cos x) = Hm (sen x. x--->o X = (lim sen x-->O Debido a que Hm (sen x)/(l x--+o + X sen x 1 + cosx ) x) .(lim 1 +sencosx x ). x--->o cos x) = 0/2 = 0 se tiene y , 1 - c..osx 11m x--->o X = 0 [ (13) • . Puesto que el limite en (13) es igual a 0, puede escribirse cosx -1 y~- lim x--->o 1 - c s 0 X x = lim - (cos x-I) x--->o = (-I)lim _co_s_x_-_ X x--->o I x = O. X Luego, al dividir entre - 1 se obtiene otro importante limite trigonometrico: , cos x - I 0 11m = . .1'-->0 (14) .r -[ En la FIGURA 2.4.6 se muestra la gr:ifica de f(x) = (cos x -1)/x. Los resultados en (10) y (14) se lIsaran en los ejercicios 2.7 y tambien en la secci6n 3.4. Ejercicios 2.4 Las respuestas de los problemas impares se leccionados comienzan en la pagina RES-B. = Fundamentos 7. lim En los problemas 1-36, encuentre ellimite dado, 0 concluya que no existe. sen ( - 4t) sen3t 1. rIm-2. Hm 1-->0 2t 1--->0 t 3. r senx x~ 4 + cosx cos2x 5. I'1 m -x--->o cos3x FIGURA 2.4.6 GrMica de f(x) = (cos x -1)/ x 4. I' 1 x~ 1 + sen x + cos x tanx 6. rIm-x--->o 3x 1--->0 1 t sec t csc 4t 8. Hm 5t cot 2t 1-->0 2 9. lfm 1--->0 2sen t t cos 2 t 10. lim 1--->0 13. lfm x--+I t sen(x - 1) 2x - 2 sen t 1--->0 2 sen 6t 11. rIm--2 sen 2 (t/2) t3 sen 3t 12. lim--2 1--->0 14. lim X~21T x - 27T senx 93 94 CAPITULO 2 Limite de una func i6n I-15. I'l I Tcosx x--+o 17. Hm 16. cos(3x - 7T 12) 18. x x--+o r sen 3t 19. l m - 1--+0 sen 7t 21. t2 (x 25. Ifm lim 1--+0 26. lim x 4x 28. lim 33. Ifm sen(x - 2) ? x- + 2sen4x x--+o 32. lim 2x - 8 x--+3 + 1 - cosx 34. Ifm 43. lim f(x) donde 2x - I X 44. lim f(x) donde If(x) - 11 - 9 2 senx X 1 - tanx cos2x 36. lim cosx - senx x-->7r/4 cosx - senx 37. Suponga que f(x) = sen x. Use (10) y (14) de esta secci6n junto con (17) de la secci6n 1.4 para encontrar el limite: 35. :S: f(x) :S: x2 lim x-->7r/4 =1= 2 :S: x 2, x 0 =1= Piense en ella En los problemas 4 S-48, use una sustitucion idonea para encontrar el limite dado. 45. X-7T lim senx - cosx x-->7r/4 X - 7TI 4 46. l i m - X-->7r tan 2x sen (7T Ix) 47. x-->l lim x- I ETz 48. cos( 7T Ix) x - 2 49. Analice: i,La funcion sen x x' \ 1, limf(i + 11) - f(i). + 3, x = f(x) = 38. Suponga que f(x) = cos x . Use (10) y (14) de esta seccion junto con (18) de la seccion 1.4 para encontrar el lfmite: 2x - x---+2 x-->o - x-->o X 42. Si If(x) I :S: B para toda x en un intervalo que contiene a 0, demuestre que lim x~f'(x) = O. + tanx sen(x - 3) 4x 2 0 41. Use las propiedades de los Ifmites dadas en el teorema 2.2.3 para demostrar que 2 x2 = x 30. Ifm 1 - cost 1--+0 x2 X x-->O En los problemas 43 y 44, use el teorema de compresion para establecer el limite dado. senx t 40. lfm x 2 cos 7T X x-->o x-->o (1 - cosx? x-->o rIm sen-Sxx-->2 39. lfmx sen l = 0 cos8t 2 31. Ifm + 10) +8 1 - cosVt Vt x--+o cosx - 1 27. Ifm x--> o cos 2x - 1 x--+o En los problemas 39 y 40, use el teorema de compresion para establecer el lfmite dado. rIm cos4t - 24. + 2Vsenxf x--+o+ 29. e sen(Sx x--+ - 2 I' 22. I~rp. t2 1--+0 cos 1--+0 St sen t - + sene 20. lim sen 2t csc 3t r sent I~rp. Vt 23. Ifm 1 Ifm 8-He/2 X es continua en x =1= 0 x=o o? 50. La existencia de lim senx no implica la existencia de x--> O X sen-Ixl. ExpI lque ' . no eXlste. . ' por que' eI segund0 I'Imite I 1m x-->o X h h-->O 2.5 Limites que involucran el infinito I Introduccion En algunos tex tos sc usa cl silllbolo +00 y las palabras 111(1.1 ill/ill i/o en lugar de 00 C illjllli/o . ~ En las secciones 1.2 y 1.3 se consideraron algunas funciones cuyas gnificas poseian asintotas. En esta seccion se vera que las asintotas vertical y horizontal de una grafica estan definidas en terminos de lfmites que implican el concepto de infinito. Recuerde, los simbolos de infinito, -00 ("menos infinito") y 00 ("mas infinito") son herramientas de notaci6n usadas para indicar, a su vez, que una cantidad decrece 0 crece sin limite en la direccion negativa (en el plano cartesiano esto significa a la izquierda para x y hacia abajo para y) y en la direccion positiva (a la derecha para x y hacia arriba para y). Aunque la terminologia y notacion usadas cuando se trabaja con ±oo son estandar, lamentable mente son ligeramente desafortunadas y pueden ser confusas. Asi, desde el principio se advierte que se consideraran dos tipos de limites. Primero se analizaran • lfmites infinitos. La expresi6n limites infinitos siempre se refiere a un [[mite que no existe porque la funcion f exhibe un comportamiento no acotado: f(x) ---+ -00 0 f(x) ---+ 00. Luego se consideraran • lfmites en el infinito. 2.5 Lfmites que involucran el infinito La expresi6n en el infinito significa que se esta intentando determinar si una funci6n f posee un lImite cuando se deja que el valor de la variable x disminuya 0 aumente sin limite: x ---+ - 00 o X ---+ 00. Estos lImites pueden 0 no existir. El limite de una funci6n f no existe cuando x tiende a un numero a siempre que los val ores de la fu nci6n crecen 0 decrecen sin Ifmite. El hecho de que los valores de la fu nci6n f(x) crecen sin Ifmite cuando x tiende a a se expresa simb6licamente por I Limites infinitos f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a o bien, Iimf(x) = (1) 00 . .:( --"' (1 Si los valores de la funci6n decrecen sin Ifmite cuando x tiende a a, se escribe f(x) ---+ -00 cuando x ---+ a o bien, limf(x) = (2) -00 . x~a Recuerde que el uso del sfmbolo x ---+ a significa que f muestra el mismo comportamiento -en este caso, sin lImite- a ambos lados del numero a sobre el eje x. Por ejemplo, la notacion en (1) indica que f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a- f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a +. y Yea la FIGURA 2.5.1. Yt Y x = ({ Y = I(x ) Y = I(x) ---~-r-1-~ X x a a) Ifm I(x) = b) Ifm Iex) = 00 X--7(f -00 X--7{1 FIGURA 2.5.1 Dos tipos de limites infinitos En forma semejante, la FIGURA 2.5.2 muestra el comportamiento sin limite de una funci6n f cuando x tiende a a por un lado, Observe en la figura 2.S.2c) que no es posible describir el comportamiento de f cerca de a usando un solo sfmbolo de Ifmite. Y Y Y I 1 Y I(x) I I I I x=a I x = (/ = Y = I(x ) I ---+--~--~'--~~x v= -~---r+-----~x lex) a) Ifm I(x) = b) 00 Ifm Iex) = c) Ifm I(x) -00 X-7a- X-711 + FI GURA 2.5.2 = 00 y Ifm Iex) = -00 X-hl+ Tres tipos mas de Ifmites infinitos En general, cualquier lfmite de los seis tipos = -00, lfm f(x) = -00 , lim f(x) = -00, IfmJ(x) r-----+a r-----+a+ X -----7Q = 00 , lim f(x) = 00 , = 00, limJ(x) x-----';a x--+({+ limf(x) x-----ta (3) se denomina limite infinito. De nuevo, en cada caso de (3) simplemente se esta describiendo de manera simb6lica el comportamiento de una funci6n f cerca del numero a. Ninguno de los Ifll1 ites en (3) existe. En la secci6n 1.3 se repas6 c6mo identificar una asfntota vertical para la grafica de una fu nci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) . Ahora ya podemos definir una asfntota vertical de cualquier funci6n en terminos del concepto de lfmite. ~ A 95 10 largo de loLio cl ClnCi lisi .s. no o l vid e qu e -0(.' Y IX) no rCjJl"l' - senla n numeros rea les y III1I1Cli dcbctl m anipu larsc ar il mcl icame nle como se haec con los niilllcros . CAPITULO 2 Limite de una funci6n 96 Definicion 2.5.1 Asfntota vertical I Se dice que una recta x = a es una asintota vertical para la grafica de una funci6n f si par 10 menos una de las seis afirmaciones en (3) es verdadera. Yea la figura 1.2. 1. .. En el repaso de las funciones en el capitulo 1 se vio que las gnificas de funciones racionales a menudo poseen asfntotas . Se vio que las gr£lficas de las funciones racionales y = 1Ix y y = l/x 2 eran semejantes a las graficas en la figura 2.5.2c) y 2.5.1a), respectivamente. EI eje y, es decir, x = 0, es una asfntota vertical para cada una de estas funciones. Las gr£lficas de 1 y=x-a Y y= y (4) (x - a? se obtienen al desplazar las graficas y = 11 x y y = 1I x 2 horizontalmente la1unidades. Como se observa en la FIGURA 2.5.3, x = a es una aSlntota vertical para las funciones racionales en (4). Se tiene ---+----,-------~x lim ~l_ = x--"a- X - a -00 , I II m -- y X - Hl+ X - a = (5) 00 X={f ' I1m y a) X-->(l Y 1 (x - ? a)- (6) = 00 . Los Hmites infinitos en (5) y (6) son justo casos especiales del siguiente resultado general: I Y= ----(x - a)2 ' IlIn .1"--+11 - I (x - a )" = -00 ' I 1m y x~(J+(x 1 - a )" = 00, (7) para n un entero positivo impar y / 1 1Hl1-(-.----)" .\ a • x , = 00, (8) .\ - ( 1 .\"= (1 para n un entero positivo par. Como consecuencia de (7) y (8), la gr£lfica de una funci6n racional y = l/(x - a)" se asemeja a la gr£lfica en la figura 2.5.3a) para n impar 0 la de la tigura 2.5.3b) para n par. Para una funci6n racional general f(x) = p(x)1 q(x), donde p y q no tienen factores comunes, por este an£llisis debe resultar evidente que cuando q contiene un factor (x - a)", n un entero positivo, entonces la forma de la gr£lfica cerca de la recta vertical x = a debe ser alguna de las que se muestran en la figura 2.5.3 0 su ref1exi6n en el eje x. b) FIGURA 2.5.3 Gnifica de las fllllciones en (4) 1¥I9MU!.M' y Asintotas verticales de una funci6n racional Al inspeccionar la funci6n racional x+2 )'~ ~~ . .1'2(.1"+4) x+2 f(x) = x2(x x x= -4 .\"=0 FIGURA 2.5.4 GrMica de la fll nci6n e n el ejemplo I + 4) se observa que x = -4 y x = 0 son asfntotas verticales para la grafica de f Puesto que el denominador contiene los factores (x - (-4»1 y (x - 0)2, es de esperar que la gr£lfica de f cerca de la recta x = -4 se asemeje a la figura 2.5.3a) 0 a su ref1exi6n en el eje x, y la gr£lfica de f cerca de x = 0 se asemeje a la figura 2.5.3b) 0 a su ref1exi6n en el eje x. Para x pr6xima a 0 por cualquier lado, resulta f£lcil ver que f(x) > O. Pero para x cerca de - 4, por ejemplo x = -4.1 y x = -3.9, se tiene f(x) > 0 y f(x) < 0, respectivamente. Al usar la informaci6n adicional de que s610 hay una intersecci6n x simple (-2, 0), se obtiene la • grafica de f en la FIGURA 2.5.4. 1¥I9MQ"W.j Limite por un lado En la figura 1.6.6 se vio que el eje y, 0 la recta x logarftmica natural f(x) = In x puesto que Hm lnx x--"o+ = = 0, -00. es una aSlntota vertical para la funci6n 2.5 Umites que involucran el infinito 97 La gratica de la funci6n logarftmica y = In(x + 3) es la gratica de f(x) = Inx desplazada 3 uni clacles a la izquiercla. Por tanto, x = -3 es una asfntota vertical para la gratica de \' == In(x + 3) puesto que lfm In(x + 3) = - 00. • x---+ - 3 1 . (!l3iJ!Q!'.' Limite por un lado Grafique la funci6n f(x) = ~. x+2 Y Soluci6n Al inspeccionar f se observa que su clominio es el intervalo (-2, (0) Y la interseccion con el eje y es (0, 0). A partir de la tabla siguiente se concluye que f decrece x~-2 + - 1.9 -1.99 f(x) -6.01 -19.90 -1.999 -1.9999 -63.21 x Y --- ~x + 2 --:----+---,,+--+-+-- x - 199.90 sin I[m ite cuando x tiende a - 2 por la derecha: Ifm f(x) = I -00. x= -2 ..1"---+-2 + Por tanto, la recta x = - 2 es una asfntota verticaL La gratica de f se proporciona en la FIGURA 2.5.5. • FIGURA 2.5.5 Gnitica de la fun ci6n en el ejemplo 3 limites en el infinito Si llna funcion f tiende a un valor constante L cuando la variable independiente x crece sin limite (x ~ (0) 0 cuando x decrece (x ~ -(0) sin lfmite, entonces se escribe I lfm f(x) = L (9) Ifm f(x) = L o .\" -). - 00 X-). OO y se dice que f posee un Ifmite en el infinito. A continuacion se presentan todas las posibilidades para lfmites en el infinito lfm f(x) y Ifm f(x) : x ---+ - oo x ---+oo • Un limite existe pero el otro no. Tanto Ifm f(x) como lim f(x) existen y son iguales al mi smo numero. x---+-oo x---+oo • Tanto Ifm f(x) como JIm f(x) existen pero son numeros diferentes. x---+ -oo x---+oo • Ni lfm f(x) ni lim f(x) existen. x---+ - oo X-Hx:> Si por 10 menos uno de los lfmites existe, por ejemplo, lim f(x) = L, entonces la gnifica de f x---+oo puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L cuando x crece en la direccion positiva. Defi nicion 2.5.2 Asfntota horizontal Se dice que la recta y = L es una asintota horizontal para la grafica de una funcion por 10 men os una de las dos declaraciones en (9) es verdadera. f si En la FIGURA 2.5.6 se han ilust:rado algunas asfntotas horizontales tipicas. Se observa, junto con la figura 2.S.6d) que, en general, la gnifica de una funcion puede tener como maximo dos asfntotas horizontales, aunque la gnifica de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) puede tener cuando mucho una. Si la grafica de una funci6n racional f posee una asfntota horizontal y = L , entonces su comportamiento final es como se muestra en la figura 2 .S.6c); es decir: f(x) ~ L cuando x ~ -00 y y f(x) ~ L cuando x y ~ 00. Y Y Y=L Y=L Y= L --r------~ x 0) .r(x) --? L cuando x --? co --------+~~x b) fex ) --? L cuando x --? -co -----r-----~x c) f(x) f( x) --? --? L cuando x --? - co, L cuando x --? co -----+----~x d) f(x) --? L J cuando x--? -co, f(x) --? L2 cua ndo x--? 00 FIGURA 2.5.6 Y = L es una asfntota horizontal en a), b) y c); y = L J Y Y = L2 son asfntotas horizontales en d) 98 CAPITULO 2 Limite de una fu nci6n Por ejemplo, si X se vuelve sin lfmite en la direccion positiva nes en (4) tienden a 0 y se escribe lfm _1_ x--+ -oo x - a = 0, !fm _ 1_ x--+ooX - a = 0 0 en la negativa, las funcio- lfm 1 = 0, !fm 1 2 = O. x--+ - oo(x - a)2 x--+oo(x - a) y (l0) En general, si r es un numero racional positivo, y si (x - a)' esta definido, entonces ES los res ult ados lal11bi en SOil vcrdaderos cU<l nc\o .r - {/ se suslilu ye p OI' (/ -.r. en e l supu eslo que «(/ - .r )' CS le defillido . ~ !fm (X -1 a )' = 0 h!J3M14!.M' Asfntotas horizontal EI dominio de la funci onf(x) !fm (X - I aY = O. y x .... -oo (1) .1->00 y vertical = ~ es el intervalo ( -00, 2). En virtud de (1) puede escri2-x birse !fm 4 x--+ - oo ~ Observe que no es posible considerar el !fmite de f cuando x ---+ 00 pOl'que la funcion no esta definida para x 2: 2. No obstante, y 0 es una asintota horizontal. Luego, por el limite en infinito 4 v = ..J2="~ ' --+---+--+--+---+---+--+--+--+--+~ x FIGURA 2.5.7 ' I1m I x~2 ."=0 Grafica de la cion en el ejemplo 4 = O. fUIl - 4 x--+r~ = 00 se concluye que x = 2 es una asintota vertical para la grafica de f. Yea la FIGURA 2.5.7. • En general, si F(x) = f(x)/ g(x), entonces en la siguiente tabla se resumen los resultados para lfmites de las formas !fm F(x) , lim F(x) y Ifm F(x). EI simbolo L denota un numero reaL. x~ oo X-'J-lI x~ -00 forma !fmite: x ---+ a, 00, - 00 -- L ±oo - L ,L =F 0 el lfmite es: 0 infinito L +00 0' L =F 0 (12) infinito Se dice que Ifmites de la forma lfm F(x) = ±oo 0 lfm F(x) = ±oo son limites infinitos en x----+oo X --7 -00 el infinito. Ademas, las propiedades de los lfmites dadas en el teorema 2.2.3 se cumplen al sustituir el sfmbolo a por 00 0 -00 en el supuesto de que los lfmites existen. Por ejemplo, x~~f(x)g(x) = U!..~f{x»)U~~g(x») lfm f(x) f {x) lfm _ () =\I~OO ( ) , x->oog X lIng x y (13) .r~oo siempre que lim f(x) y !fm g(x) existan . En el caso dellfmite de un cociente, tambien debe x-+oo .\"---+00 tenerse lfm g(x) =F O. x---+ oo En la seccion 1.3 vimos que la forma en que una funcion f se comporta cuando Ixl es muy grande se denomina comportamiento final. Como ya se analizo, si lim f(x) = L, entonces la grafica de f puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L p-;;~ grandes valores positivos de x. La grafica de una funcion polinomial, I Comportamiento final f(x) = se asemeja a la grafica de y anx" = + a,, _ lx"- 1 + ... + a2x2 + alx + aa, a"x" para Ixl muy grande. En otras palabras, para f(x) = an x" I + G,, _ IX,,- I + ... +~ IX + Go I (14) Los terminos encen-ados en el rectangulo azul en (14) son in-elevantes cuando la grafica de una funcion polinomial se observa global mente; es decir, para Ix l muy grande. Asi, se tiene ' a"x,,' (a"x "+ a,,- Ix..,,-1 I 1m - I1m X -----7±OO x---+± oo + ... + [lI X + aD,) (15) cuando (15) es 00 0 - 00 dependiendo de an y n. En otras palabras, el lfmite en (15) constituye un ejemplo de lfmite infinito en el infinito . 2.5 Um ites que invo lucran el infinito ••j ~~a~ ! 99 Limite en el infinito 2 -6X4 + x + 1 Evaille Ifm----- 4 r-+CXJ 2x' - x Solucion No es posible aplicar la ley del limite de un cociente en (13) a la funci6n dada, puesto que lim (-6x 4 + x 2 + I) = -00 y lim (2x4 - x) = 00. No obstante, al dividir el 4 .\ --+ 00 x--+oo nu merador y el denominador entre x podemos escribir -6X4 lim + x2 + 4 2x - x r ..... CXJ EI limile del 1111meraci or existe. asi C0ll10 e l limite <:- Lid dCllo mill aLior. y cI lilllite del LiellolllinaLior no es cero = -6 + 0 + 0 = -3 2-0 . Esto significa que la recta y Solucion alterna mas alta: = - 3 es una asintota horizontal para la grafica de la funci6n. En virtud de (14) es posible descartar todas las potencias de x, menos la descartar lerminos de los recllaciros a/.ules t , -6x4 1+ x 2 + 11 hm 2x4 1- x-+CXJ I!!M@!.aa I X ,-6x4 , -6 = hm-- = hm- = - 3. x-+CXJ 2X4 x-+CXJ 2 • Limite infinito en el infinito 3 1- x , I' Eva Iue 1m 3 2· x-->oo X + Solucion Por (14), 3 X3 Ifm 1 - x = Ifm -3 = -.!.limx2 = x ..... oo 3x + 2 x-+oo x 3x-+CXJ -00. • En otras palabras, el limite no existe. DJsMQ!.-j y Grafica de una funci6n racional 2 Grafique la funci6n f(x) = ~. 1 - r Solucion Al inspeccionar la funci6n f se observa que su gr:ifica es simetrica con respecto al eje y, la intersecci6n con el eje y es (0, 0) y las asintotas verticales son x = -] y x = 1. Luego, a partir del limite 2 x2 Ifmf(x) = lfm~ = Ifm--2 = -liml = -I X-H:xJ 1 x x--+oo - x x--+oo x---+CXJ se conc1uye que la recta y = -} es una asintota horizontal. La gr:ifica de f se muestra en la FI GURA 2.5.8. • Otra ley de los lfmites que se cumple para limites en el infinito es que el Ifmite de una raiz n-esima de una funci6n es la raiz n-esima del limite, siempre que ellimite exista y la raiz n-esima este definida. En simbolos, si lim g(x) = L, entonces x --+ oo Ifm x--+oo en el supuesto de que L 2: \/g(X) = \/lfm g(x) = Vi, x--+OO 0 cuando n es par. El resultado tambien se cumple para x -+ (16) -00. y = -I I I \~ 'r x =- \ FIGURA 2.5.8 x= \ Gnifica de la funci6n en el ejel1lplo 7 100 CAPITULO 2 Limite de una funci6n 1¥J3MQ!'w:, Limite de una raiz cuadrada ' L' ~ 2x E va Lue 1m 3 - x-->oo 2 5x + 4x - 6 . 6x3 + 2x Solucion Debido a que el Ifmite de la fu nci6n racional en eL radical existe y es positivo, puede escribirse ' ~ 2x I1m 3 - x-->OO 5x 6x 3 l¥hhMR!'.' 2 + 4x + 2x - 6 3 = ~ I'1m 2x 5x 6x 3 - x-->oo 2 + 4x + 2x - 6 3 lim 2x = x-->oo 6x 3 = fi \j 3 = _ L_ vT • Grafica con dos asintotas horizontales ~ 2 Determine si La grafica de f(x ) = + x tiene aSlntotas horizontales. 4 Solucion Puesto que La funci6n no es racionaL, es necesario investigar eL limite de f cuando x ~ 00 y cuando x ~ -00 . Primero, recuerde del algebra que es no negativa, 0 mas al punto, W W = Ixl = {x,-x, x2:0 X < O. Luego, volvemos a escribir f como ~ W f(x) = = y ~ 00 Ifmf(x) = Ifm V= . 5x - x-->OO ~x2 + 4 x-->OO yx~- 00 Ixl ~1 + = lim 4 x2 x-->OO Ifm f(x) = Ifm x-->-oo y= - 5 FIGURA 2.5.9 Gnitica de la funci 6n en el ejemplo 9 x-->-oo R Ixl 1 TXT = Ifm + -2 x--> -ooR x son, respectivamente, 5x x ~1 + 5x y TXT v? 5x - y:::: 5 5x ~~ W Los Ifmites de f cuando x 5x !fm5 = --;:~X-->~OO== = 11 = 5, 4 x2 5x --x 1 Ifm(1 + 4) X-->OO X2 Ifm (-5) = + -2 x -5 x--> -oo ~ Ifm ( 1 + -4 ) 2 x-->-oo - 5. x Por tanto, La grafica deftiene dos aSlntotas horizontales y = 5 y y = -5. La gritica def, que es semejante a la figura 2.5.6d), se proporciona en La FIGURA 2.5.9. • En el siguiente ejempLo se ve que la forma del lfmite dado es existe y no es O. '¥liMR!.M'11 00 - 00, pero el lfmite Uso de racionalizaci6n Debido a que f(x) = x 2 - Vx 4 + 7x 2 + 1 es una funci6n par (compruebe que fe-x) = f(x» con dominio ( - 00 , (0), si Ifm f(x) existe, debe ser el mismo que Ifm f(x). Primero racionalizamos eL numerador: x .... oo x .... - oo Solucion 2.5 Umites que involucran el infi nito Luego, el numerador y el denominador se dividen entre W 101 = x 2: - 7x 2 -- - -- lim ----=-__-;7=X=2=-= I=:== = lim x-+oo x2 + Yx4 + 7x 2 + I x2 + x-+oo W W Yx4 + 7x 2 + W 1 -7 - 2 lim _ _--;===x== X-+ OO ~ 1+ lim X-+OO lim 1 + x--?oo + (-7 -~) Y x2 I \ji lfm (I + x7?- + .x----t OO -7 I 7 I 1+ - 2 + 4 x x ~) - ,X X 7 2' I t-t-+--+-+-t-t-+--+-+-+-+- x 1 7 14 ., y="-+7x'+ I 7 2 )1= - - . Con ay uda de un SAC, la gnifica de la funci6n f se proporciona en la FI GUR A 2.5.10 . La recta y = -~ es una asintota horizontal. Observe la simetria de la gnifica con respecto al eje y. • FIGURA 2.5. 10 Grafi ca de la funci6n en el ejemplo 10 y Cuando se trabaja con funciones que contienen la funci6n exponencial natural, los cuatro siguientes Ifmites ameritan una atenci6n especial: lime x = lim eX = 0, 00 , lfm e- x = lime- X = 0, x~ -oo x--?OO X-)OO 00 . .\'"---7- 00 (17) ---~~~~~--~~ X Como se analiz6 en la secci6n 1.6 y se comprob6 por los lfmites segundo y tercero en (17), y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de y = eX y y = e- x • Yea la FIGURA 2.5.11 . '::em MR!'." = 1 +6 e x y=O asfntota horizonta l FIGURA 2.5. 11 Gnificas de fun ciones exponenciales GrMica con dos asintotas horizontales Determine si la grafica de f(x) y=O asfn tota hori zontal tiene alguna asfntota horizontal. Solucion Debido a que f no es una funci6n racional, es necesario analizar lim f(x) y 11m f (x ). Primero, en virtud del tercer resultado proporcionado en (17) podemosxe'~ribir .\~ - OO lim 6 lim __6__ X-+OO 1 + e x 6 X-+ OO +e Hm(l X) = 1+() = 6. X-)OO y =6 ASI, y = 6 es una asintota horizontal. Luego, debido a que lfm e se conc]uye que x~-oo lim 6 x-+ - oo En consecuencia, y o es 1+ e x = x = 00 cuando a se sustituye por continua en L, entonces 6 Y = - -x I + e- f -;=:::\-1--+-t--+--I-----+-----+--+--++ x y= o se muestra en la FIGURA • El teorema 2.3.3, el lfmite de una funci6n compuesta, se cumple y el limite existe. Por ejemplo, si lfm g(x) = L Yf es - 00 0 00 x-->oo lim f(g(x» = f( lim g(x») x - ) OO - O. una asintota horizontal. La grafica de x----tOO -------..=.-=-- por la tabla en (12) 2.5.12. I Funciones compuestas y = f(L) . (18) EI res ultado del lImite en (16) es justo un caso especial de (18) cuando f(x) = Vx. EI resultado en (18) tambien se cumple para x ----+ - 00 . El ultimo ejemplo ilustra a (18) cuando implica un Ifmite en 00. FIGURA 2.5.12 Grafica de la fun ci6n en el ejemplo 1 I 102 CAPITULO 2 Limite de una funci6n "liMIQI'-f) v y= Otro repaso a un a fu nci 6n trigo nometrica En eJ ejemplo 2 de la secci6n 2.4 vimos que Ifm sen(l/x) no existe. No obstante, el Ifmite en el infinito, lim sen(l/ x), existe. Por la ec uaci6~---+(1 8), podemos escribir 1 sen x x----+oo ---------1~--~--~X y= o lim sen x--+oo FIGURA 2.5.13 Grafica de la funci6n en el ejemplo 12 Ejercicios 2.5 1. I'1m -IX--+S- X - 5 5. lim x--+ I 2. lim x--+6 7. lim x--+ o+ 9. lim00 x--+ It 6. 8. X x 2 - 3x 4x 2 + 5 12. 8 - Vx x --+oo 1 + 4 Vx 14. X4 X--+OO x x2.'11 17. + 1m - - 6x - 8 18. Vx2+1) 19. lim (x x --+oo 23. = sen 0 = O. lim sen - { 22. x V4x 2 + 31. f(x) = e x + e- x e ' ' I~ =~ I 30. f(x) = I + 32. f(x) = I -2-- lim esc x lim x--+ -oo 1 lITI I' - oo x--+ 37. f(x) = + I 1 - 2- - - X + - I) Vx + 7Vx 39. f(x) = ) 41. f(x) = 2Vx ffSf J 24. lim sen(3 1TX (x - 2) x ~1 x - 2 , ~ 2 V x + 1 27. f(x) = 2x + 1 V3x 2 + 1 - 40. f(x) = 42. f(x) = b) 6X lim f(x) d) c) - +1 x-I 1 +4 -:VXVx x + 3 ~ x-+ - oo lirn f(x) lim f(x) x-+oo y 43. ) FI GURA 2.5. 14 Grafica para el problema 43 -----1--~4---------*x + x2 + 1 x- x-+ 2 -5x 2 + 6x + 3 28. f(x) = -------;= = = = 4 11 4x 2 ~~x~ ~ 6 vx X x 38. f(x) = x2 a) Ifm. f(x) x ----+2 }~lnC ~ 8) 26. f(x) = Ix x x2 - x -2-- 44. Vx2+l 14xl + 36. f(x) = En los problemas 25-32, encuentre lim f(x) y lim f(x) para x---+ - oo x---+oo la funci6n dada f. 25. f(x) = 4x + 1 +e En los problemas 43 -46, use la grafica dada para encontrar: 7 - 16x x--+ - oo e - ?- X-Hr + I'1m (6 Vx 2e - x x 34. f(x) = x --+oo X x--+-oo X x2 35. f(x) = x + 1 20. lim ( Vx 2 + 5x - x) 21. lim cos(l) X --+OO x2.~Vx x )(4x + 1Y 16. lim ( ----x--+oo 3x + 1 2X2 + x rJ§ x --+oo = X 2 x - I ) 2 - 2x + 6 29. f(x) 33. fex) = -1 x--+ -00 13. lim 15. I' (3X r x2 10. lim x--+oo 1 + x - 2 2) 11. lim (5 - 1) En los problemas 33-42, encuentre todas las asintotas verticales y horizontales para la grafica de la funci6n dada f. Trace la gnifica. (x - 6)2 lO 4. I'1m ----x --+T x 2 - 4 + senx 2 X--+OO 4 2 + 4)3 I (x - sen ( Ifm eX - En los problemas 1-24, exprese el limite dado como un numero, como -00 , 0 como 00. I'1m = Las respuestas de los prob lemas impa res selecc ionados com ienzan en la pagina RES-B. Fundamentos x --+- 4+ (x X Como se observa en la FIGU RA 2.5.13, Y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de f(x) = sen(l / x) . Compare esta gnifica con la mostrada en la figura 2.4.2. • = 3. 1 FIGURA 2. 5.1 5 Grafica para el problema 44 2.6 Lfmites: un enfoque formal 45. \' 103 senta un n-gono regular inscrito en un cfrculo de radio r. Use trigonometrfa para demostrar que el area A(n) del n-gono esta dada por ~ J(xJ y (27T) n r 2 sen ----;; . A (n) -_ 2. b) Tiene sentido afirmar que el area A(n) tiende al area FIGURA 2.5.16 46. Gratica para el problema 45 del cfrculo a medida que aumenta el numero de lados del n-gono. Use una calculadora para obtener A(lOO) y A(l 000) . c) Sea x = 27Tln en A(n) y observe que cuando n ----700 entonces x ----7 O. Use (l0) de la secci6n 2.4 para demostrar que Ifm A(n) = 7Tr2. y ---4--~~------~x FIGU RA 2.5.17 1/---700 Grafica para el prob lema 46 En los problemas 47 -50, trace una gn'ifica de una funci6n f que satisface las condiciones dadas. 47. Ifm f(x) = - 00, x~ l-I x IfmJ(x) = - 00,f(2) = 0, Ifm f(x) = 0 x---+oo x---+ 1 FIGURA 2.5.1 8 l7-gono inscrito para el problema 56 48. f(O) = 1, Ifm f(x) = 3, Ifm f(x) = -2 x--+-oo 49. Ifmf(x) = ):---+2 00 , x---+oo Ifm f(x) = 00, .1---+ - 00 50. IfmJ(x) = 2, IfmJ(x) = x---+ ! -00, x---+I Ifm f(x) = 1 x--+ CXJ x---+oo Ifm [f(x) - g(x) 1 = x--+ 51. Use una sustituci6n id6nea para evaluar , 3 11m xsen - . x---+CXJ m = mol V 1 - v 2I c2 , donde mo es la mas a inicial y c es la velocidad de la luz. l,Que ocurre a m cuando V----7C - ? =Problemas con calculadora/SAC En los problemas 53 y 54, use una calculadora investigar el Ifmite dado. Conjeture su valor. X .\---+00 54. Ifm (cos .1--+00 ~ CXJ o. b) l, Que indica el resultado del inciso a) respecto a las X 52. Segun la teorfa de la relatividad de Einstein, la masa m de un cuerpo que se mueve con velocidad v es 53. Ifm x 2 sen 22 57. a) Suponga que f(x) = x 2/(x + 1) y g(x) = x - l. Demuestre que Ifm f(x) = 0, Ifm f(x) = 0 x---+-oo = Piense en ello f(~) = 0, f(3) = 0, 0 SAC para l)X graficas de f y g, donde Ixl es grande? c) De ser posible, asigne un nombre a la funci6n g. 58. Muy a menudo los estudiantes e incluso los profesores trazan incorrectamente graficas desplazadas verticalmente. Por ejemplo, las graficas de y = x 2 Y y = x 2 + I estan dibujadas incorrectamente en la FIGURA 2.5.19a) pero 10 estan correctamente en la figura 2.5 .19b). Demuestre que la figura 2.5 .19b) es correcta al mostrar que la distancia horizontal entre los dos puntos P y Q en la figura tiende a 0 cuando x ----7 00. X 55. Use una calculadora 0 un SAC para obtener la gnifica de f(x) = (l + x)J/x. Use la gn'ifica para conjeturar los valores de f(x) cuando a) x ----7 -1 +, b) x ----7 0 Y c) X ----7 00 . 56. a) Un n-gono regular es un poIfgono regular de n lados inscrito en un cfrculo; el poIfgono esta formado por n puntos equidistantes sobre el cfrculo. Suponga que el poIfgono que se muestra en la FIGURA 2.5.18 repre- 2.6 a) [ncorrecto FIGURA 2.5.19 b) Correcto Gnificas para el problema 58 Limites: un enfoque formal I Introducci6n En el analisis que se presenta a continuaci6n se considerara un enfoque alterno a la idea de Ifmite. que se basa en conceptos analfticos mas que en conceptos intuitivos. Una demostracion de la existencia de un lfmite jamas debe estar basada en la habilidad para elaborar graficas 0 en tablas de valores numericos . Aunque una buena comprensi6n intuitiva de CAPITULO 2 Limite de una funci6n 104 lim f(x) es suficiente para continual' con el estudio del calculo en este texto, en general L1l12 coihprension intuitiva es algo muy vago como para usarlo en la demostracion de teoremas . Pare presentar una demostracion rigurosa de la existencia de un limite, 0 para demostrar los importantes teoremas de la seccion 2.2, es necesario empezar con una definicion precisa de limite. Se intentara demostrar que lim (2x + 6) = 10 al trabajar la siguiente idea: "Si f(x) = 2x + 6 puede hacerse arbitrariamente'pfoximo a 10 al tomar x suficientemente proximo a 2, por ambos lados pero diferente de 2, entonces lim f(x) = 10." Es necesario precisar los conceptos arbitrariamente proximo y sujicientementi proximo. Para establecer Ul12 norma de proximidad arbitraria, se pedira que la distancia entre los numeros f(x) y 10 sec men or que 0.1; es decir, If(x) - 101 < 0.1 0 9.9 < f(x) < 10.1. (1; I Limite de una funcion Asi, l,cuan proximo a 2 debe estar x para satisfacer (1)? Para averiguarlo, es posible usar algebra normal para vol vel' a escribir la desigualdad 9_9 < 2x + 6 < 10.1 cuando 1.95 < x < 2.05. Al sumar -2 a ambos miembros de esta desigualdad simuItanea Se obtiene -0.05 < x - 2 < 0.05_ Al usar val ores absolutos y recordar que x *- 2, la Ultima desigualdad puede escribirse come 21 < 0_05. Asi, para una cercanfa arbitrariamente proxima a 10 de 0.1, sujicientemente proximo a 2 significa a menos de 0.05. En otras palabras, si x es un numero diferente de 2 tal que su distancia a 2 satisface Ix - 21 < 0_05, entonces se garantiza que la distancia de f(x) a 10 satisface If(x) - 101 < 0.1. Al expresarlo de otra manera, cuando x es un numere diferente de 2, pero que esta en el intervalo abierto (1.95, 2.05) sobre el eje x, entonces f(x: esta en e1 interva10 (9.9, 10.1) sobre el eje y. Se intentara generalizar usando el mismo ejemplo. Suponga que 8 (la letra griega epsilon: denota un numero positivo arbitrario que constituye la medida de la proximidad arbitraria a: numero 10_ Si se pide que o < Ix - y y=2x+6 If(x) - 101 entonces por 10 - 8 < 2x + < 8 0 6 < 10 +8 10 + 8, (2: Y pOl' algebra, se encuentra que o De nuevo, al usaI' valores absolutos y al recordar que x escribirse como 0< < f(x) < 10 - 8 Ix - -~ 2 *- ~ 2' 2, la ultima desigualdad en (3) puedt < x - 2 < 8 ({ 21 <"2- Si 8/2 se denota pOI' el nuevo simbolo 0 (Ia letra griega delta), (2) y (4) pueden escribirse come If(x) - 101 < 8 +---+-77'--t<x"'.'i,.--t--~ x 2-022+0 FIGURA 2.6. 1 f(x) esta en (10 - e, 10 + e) siempre que x este en (2 - 0, 2 + 0), x 2 '* siempre que 0 < Ix - 21 < O. Asi, para un nuevo valor para 8, pOl' ejemplo 8 = 0.00 I, 0 = 8/2 = 0_0005 establece la pm xi mid ad correspondiente a 2. Para cualquier numero x diferente de 2 en (1.9995, 2.0005),~ puede tenerse la certeza de que f(x) esta en (9.999, 10_001). Yea la FIGURA 2.6.1. I Una definicion El analisis anterior conduce a la definicion 8-0 de limite. Definicion 2_6_1 Definicion de limite Suponga que una funcion f esta definida en todas partes sobre un intervalo abierto, excepto quiz as en un numero a en el intervalo. Entonces lim f(x) = L x->a significa que para todo 8 > 0, existe un numero 0 > 0 tal que If(x) - LI ,. Por esta raz6n se usa 0 < de importancia. Ix - < 8 siempre que 21 < 0 en lugar de Ix - 0< Ix - al < o. 21 < O. AI considerar !fm f(x), no olvide quef en 2 careci x~ 2 2.6 Umites: un enfoque form al 105 > 0 es el numero que "funciona" en el sentido de la Sea Ifm f(x) = L y suponga que 15 x->a defin ic ion 2.6.1 para un e > 0 dado . Como se muestra en la FIGURA 2.6.2a) , toda x en 15, a + 15), con la posible excepcion de a mismo, tendra entonces una imagen f(x) en (L - e, L + e). Ademas, en la figura 2.6.2b), una eleccion 15 1 < 15 para la misma e tambien "funciona" en el sentido de que toda x diferente a a en (a - 15 1, a + 15 1) proporcionaf(x) en (L - e , L + e). No obstante, la figura 2.6.2c) muestra que al escoger un el, 0 < el < e , 'lHls pequeno, demanda encontrar un nuevo valor de 15. Observe en la figura 2.6.2c) que x esta en (a - 15, a + 15) pero no en (a - 15 1, a + 15,), de modo que f(x) no necesariamente esta en (L - e l, L + el)' (0 - y y L+B L+B ,, L L ' { L\l ~ ~ --- :- -- - - . L- s , ------rI I I ' ___ _ ___ _ __ 1-_1 I' ------~------- - ~ -- I , y L-B I I I , I I I I I i I I I I I I --4-----~--~~~~x L --1-----~--~~~~X a- o T a \x a+o a-o , a+o, a- oT a,\ a+8 a-o J a+ol a) Un 0 que funciona para un B dado B, , , , --~----~~r-~~~X a- o a X a+o FI GURA 2.6.2 f(x) esta en (L - , ------1--r-----r--, c) Un BI mas pequenorequiere un 0 1 <0. b) Un 0 I mas pequeno tambien funciona para el mismo B + e) siempre que x este en (a - 0, a + 0) , x 1= Para x en (a - 0, a + 0), f(x) no necesariamente esta en (L - B I , L + BI) a 1!I3MR!'.' Usa de la definici6n 2.6.1 Demuestre que lim (Sx + 2) = 17. x----t3 Solucion Para cualquier e > 0, arbitrario sin importar cuan pequeno sea, se quiere enconIrar un 15 de modo que I(Sx + 2) - 171 < siempre que e o< Ix - 31 < 15. Para haeer 10 anterior, eonsidere I(Sx + 2) - 171 = ISx - 151 = Six - 31. Asf, para haeer I(Sx + 2) - 171 = Six - 31 es deeir, se escoge 15 = e/S. Verificacion Si 0 ISx - 151 < < e, solo es neeesario haeer 0 < Ix - 31 < e/S; < Ix - 31 < e/S, entonees Six - 31 < e o bien, I(Sx+2)-171 <e e impliea o bien, If(x) - 171 < e. • A13MQ!'Wl Uso de la definici6n 2.6.1 16 - x 2 Demuestre que IE4 4 + x = 8. x!i Solucion Para x 111 ~ '* -4, ~ ;2 - 81 = 14 - x - 81 = 1- x - 41 = Ix + 41 Ix - (- 4)1 Asi, siempre que se tiene 0 I'J:!MQI'W' Este limite se anali za en ( I ) y de la seccian 2. 1. (2) < Ix - (-4)1 < e; es deeir, se eseoge 15 = e. Un limite que no existe Considere la funeion f(x) = {~: x ::; 1 x> 1. • 106 CAPITU LO 2 Limite de una fun ci6n o~--- En la FIGURA 2.6.3 se reconoce que f tiene una discontinuidad de tipo saIto en I, de modo que lim f(x) no existe. No obstante, para demostrar este ultimo hecho, se procedeni indirectamente. .r ~l Suponga que el limite existe; a saber, lim f(x ) = L. Luego, por la definici6n 2.6. I sabemos x---+! ) x FIGURA 2.6.3 EI limite de f no ex iste cu ando x tiende a I en el ejemplo 3 que para la elecci6n 8 = ! debe existir un 0 jf(x) - Lj < ± slempre que Luego, a la derecha de I se escoge x o< > 0 tal que 0 < jx - I j < O. = I + 0/2. Puesto que I + ~- I I I~ I < 0 debe tenerse It( + ~) I A Ia izquierda de I , se escoge x = I - < L I = j2 - Lj ±. (5) 0/2 . Pero = jO - L j = jL j < implica I 2' (6) Al resolver las desigualdades en valor absoluto (5) y (6) se obtiene, respectivamente, l<L<~ 2 --2I < y 2 I <-2' L Puesto que ningu n nu mero L puede satisfacer estas dos desigualdades, conc1uimos que lim f(x) no debe existir. • x---+1 En el siguiente ejemplo se considera el limite de una funci6n cuadnitica. Veremos que en este caso encontrar la 0 requiere un poco mas de ingenio que en los ejemplos I y 2. nW@Q!•• , Este lim ite se ~lIl ali /(i en el ejclllplo I de la ,ecci<in 2. I. Usa de la definicion 2.6.1 ~ Demuestre que lim (- x 2 x .... 4 Soluci6n Para un 8 + 2x + 2) = -6. > 0 arbitrario es necesario encontrar un 0 > 0 tal que j- x + 2x + 2 - (- 6) j 2 < 8 0< jx - 4 j < siempre que O. Luego, j-x 2 + 2x + 2 - (-6)j j( - I)(x 2 = En otras palabras, se quiere hacer minar valores de x cerea de 4, s610 Esta ultima desigualdad da 3 < x cuencia, podemos escribir jx + 2j 0< jx - 4j < I - 2x - 8)j j(x + 2)(x - 4) j jx + 2j jx - 4 j. jx + 2jjx - 4 j < 8 . Pero puesto que hemos acordado exase consideran aquellos valores para los cuales jx - 4 j < 1. < 5 0, de manera equivalente, 5 < x + 2 < 7. En conse< 7. Entonces, por (7), implica j- x 2 + 2x + 2 - (-6)j < 7jx - 4j. Si ahora 0 se escoge como el minimo de los dos numeros I y 8/7, escrito 0 se tiene 0< jx - 4 j < 0 implica (7) = mfn{ 1, 8/7} j-x 2 + 2x + 2 - (- 6)j < 7jx - 4j < 7 . ~ = 8. • EI razonamiento en el ejemplo 4 es suti!. En consecuencia, merece la pena dedicar unos minutos para volver a leer el analisis que esta inmediatamente despues de Ia definici6n 2.6.1, 2.6 Umites: un enfoq ue forma l volver a examinar la fig ura 2.3 .2b) y luego volver a pensar en por que 0 = min { I, e/7} es el que "funciona" en el ejemplo. Recuerde que el valor de 10 puede escogerse arbitrariamente; considere 0 para, por ej emplo, 10 = 8, 10 = 6 Y 10 = 0.01 . <,OJ I Limites laterales A continuaci6n se presentan las definiciones de los limites laterales, Ifm f(x ) y lim, f(x). I-HI .1.---+ 0 Definicion 2.6.2 Limite por la izquierda Suponga que una funci6n f esta definida sobre un intervalo abierto (c, a) . Entonces lim f(x) = L x---+ a - sign ifica que para todo > 0 existe una 0 > 0 tal que 10 If(x) - LI < a - 0 < x < a. siempre que 10 Definicion 2.6.3 Limite por la derecha Suponga que una funci6n f esta definida sobre un intervalo abierto (a, c). Entonces lim f(x) = L x--+a + significa que para todo > 0 existe una 0 > 0 tal que 10 If(x) - LI liI)iM'U«,"i a < x < a siempre que 10 + o. Usa de la definicion 2.6.3 Demuestre que x---+o+ lim vX = Solucion < o. Primero, podemos escribir IvX - 01 = IvXl = vX. Luego, IvX - 0 I < Verificacion 10 siempre que 0 < x < 0 Si 0 < x < 2 10 , entonces 0 < IvXl < f(x) --+ 00 vX < o bien, 10 I Limites que imp Ii can el infinito + 10 2• En otras palabras, se escoge 10 0 = 2 10 • implica IvX - 01 < e. • Los dos conceptos de limite infinito (0 bien, - (0) cuando x --+ a y limite en el infinito f(x) --+ L cuando x --+ 00 (0 bien, -(0) se formalizan en las dos secciones siguientes. Recuerde que un limite infinito es un limite que no existe cuando x --+ a. Definicion 2.6.4 Limites infinitos lim f(x) = 00 significa que para todo M> 0 existe un 0 > 0 tal que f(x) > M siempre que 0 < Ix - al < o. i i) lim f(x) = -00 significa que para todo M < 0 existe un 0 > 0 tal que f(x) < M siemx---+a pre que 0 < Ix - al < o. i) X ---)- Q 107 108 CAPITULO 2 Limite de una funci6n Los incisos i) y ii) de la definicion 2.6.4 se ilustran en la FIGURA 2.6.4a) y en la fig ura 2.6 respectivamente. Recuerde, si f(x ) ~ 00 (0 - (0) cuando x ~ a, entonces x = a es una . tota vertical para la graflca de f En el caso en que f(x) ~ 00 cuando x ~ a, entonces puede hacerse mas grande que cualquier nLllnero positivo arbitrario (es decir, j(x) > fI, tomar x suficientemente proximo a a (es decir, 0 < Ix - al < 0) . y ffi y , I 0-0 ax 0+0 ---r----~---r~r---~ x , ; I -r----~~-L--~--~ x a- o x a a +o a) Para un M dado. siempre que b) Para un M dado, siempre que a - 0 < x < a + 0, x '1= a, a - 0 < x < a + 0, x '1= a, se tiene que f( x) > M se tiene que f (x) < M FIGURA 2.6.4 Lfmites infinitos cuando x -7 a Los cuatro lfmites infinitos por un lado f(x) ~ 00 cuando x ~a -, f(x) ~ 00 cuando x ~ a + , f(x) ~ - 00 f(x) ~ -00 cuando x ~a cuando x ~ a+ se definen de forma analoga a la proporcionada en las definiciones 2.6.2 y 2.6.3. Definicion 2.6.5 Limites en el infinito i) lfm f(x) = L si para todo e > 0, existe un N > 0 tal que If(x) - L I < e x~ oo ii) siempre que x > N. Ifm f(x) = L si para todo e > 0, existe un N < 0 tal que If(x ) - L I < e x~ -oo siempre que x < N. Los incisos i) y ii) de la definicion 2.6.5 se ilustran en la FIGURA 2.6. 5a) y en la figura 2.6.5t respectivamente. Recuerde, si f(x) ~ L cuando x ~ 00 (0 -(0), entonces y = L es una as!, tota horizontal para la grafica de f En el caso en que f(x) ~ L cuando x ~ 00 , entonces grafica de f puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L (es decir, If(x) - LI < ~ al tomar x suficientemente lejos sobre el eje x positivo (es decir, x > N). y L +B L L- B y - - - - - -- - - -- - -- - - - - - - - - - - - - -- L +B ------------------, ---- - ----- L ------- f(x) -r--------+-----·~--~ x N x > N implica L-B <f(x ) < L+ B FIGURA 2.6.5 Lfmites en el infinito a) Para un B dado, x L -B f(x) -------+-+----------+~ x x B dado, x < N implica < f (x) < L + B b) Para un L- B N 2.6 Umites: un enfoque formal dIIIQ!••, Uso de la definicion 2.6.5;) ~ l 1m -X Denlllestre que x-).oo 3x + I = 3 . Solucion Por la definicion 2.6.5i), para cualquier 8 > 0 es necesario encontrar un numero N > 0 tal que siempre que x> N. Luego, al considerar x > 0, tenemos 3 = -3- <-<8 x + 1 x siempre que x> 3/8. Entonces, se escoge N = 3/8. Por ejemplo, si 8 = 0.01 , entonces = 300 garantiza que If(x) - 31 < 0.01 siempre quex > 300. • N = 3/(0.01) I Posdata: Un poco de historia Despues de esta seccion tal vez este de acuerdo con el filosofo, predicador, historiador y cientffico ingles William Whewell (1794-1866) , quien escribio en 1858 que "Un limite es una concepcion.. . peculiar" . Durante muchos afios despues de la invencion del calcu10 en el siglo XV II , los matematicos discutfan y debatfan acerca de la natura1eza de un lfmite. Habfa la percepcion de que la intuicion, las graficas y ejemplos numericos de razones de cantidades que desaparecen proporcionan cuando mucho un cimiento inestable para tal concepto fundamental. Como se vera al principio del siguiente capftulo, el concepto de lfmite juega un papel central en calculo. EI estudio del calculo paso por varios periodos de creciente rigor matematico empezando con el matematico frances Augustin-Louis Cauchy y luego con el matematico aleman Karl Wilhelm Weierstrass. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nacio durante una epoca de convulsion en la historia de Francia. Cauchy estaba destinado a iniciar una revolucion por sf mismo en matematicas. Por muchas contribuciones, pero especialmente debido a sus esfuerzos por clarificar cuestiones matematicas oscuras, su demanda incesante por con tar con definiciones satisfactorias y demostraciones rigurosas de teoremas, Cauchy a menudo es denominado "padre del analisis Cauchy moderno". Escritor prolffico cuyo trabajo solo ha sido superado por unos cuanlOS, Cauchy produjo casi 800 artfculos sobre astronomia, ffsica y matematicas. Sin embargo, la mis ma mentalidad que siempre estaba abierta y preguntaba sobre ciencia y matematicas tambien era estrecha y no cuestionaba muchas otras areas. Franca y arrogante, la postura apasionada de Cauchy respecto a asuntos polfticos y religiosos a menudo 10 alejaron de sus colegas. Karl Wilhelm Weierstrass (1815-1897) jUno de los analistas matematicos mas destacados del siglo XIX sin haber tenido ningun grado academico! Despues de especializarse en 1eyes en la Universidad de Bonn, aunque concentrado en esgrima y en beber cerveza durante cuatro afios, Weierstrass se "graduo" en la vida real sin ningun titulo. Al necesitar trabajo, Weierstrass aprobo un examen estata1 y recibio un certificado para ensefiar en 1841. Weierstrass Durante 15 afios como profesor de ensefianza secundaria, su genio matematico dorm ido florecio . Aunque la cantidad de sus investigaciones publicadas era modesta, especialmente en comparacion con la de Cauchy, la calidad de estos trabajos impresiono tanto a la co munidad matematica alemana que se Ie otorgo un doctorado , honoris causa, de la Universidad de Konigsberg, y finalmente fue contratado como profesor en la Universidad de Berlfn. Una vez ahf, Weierstrass obtuvo reconocimiento internacionaI como matematico y como maestro de matematicas. Una de sus estudiantes fue Sonja Kowalewski, la mas grande matemalica del siglo XIX. Fue Karl Weierstrass quien doto de solidos fundamentos al concepto de !fmite con la definicion 8-0. 109 110 CAPITULO 2 Limite de una funci6n Ejercicios 2.6 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-g. = 25. Para a > 0, use la identidad Fundamentos En los problemas 1-24, use las definiciones 2.6.1 , 2. 6.2 0 2.6.3 para demostrar el resultado sobre limites dado. 1. Ifm 10 = 10 2. x~5 3. Ifm x = 3 + 6) 7. Ifm (3x + 7) = 7 9. Ifm 4 , X 2 - 25 I x + 5 = - 10 11 . .I"~~5 , 13. hm + 8x 5 12x4 , 2X3 14. IlITI + 5x 2 x2 - x->1 - 1 15. Ifmx 2 = 0 x-+o+ V5x = 2 18. 20. lim-f(x) = 3, f(x) = .r-+ I 2 x-+3 2x Ifm .1"->(1 / 2)+ a, { 3, = 3 V2.X=l = 0 C' -1, 24. Ifm (x 2 2.7 a x x a = 1 :s 3 > 3' a = 3 x :s O a=O x, x > 0' = 0 31. Ifm 5x - 1 = ~2 .<->00 2x + 1 33 • = x :s 1 x > 1 X-4 5 0 para demostrar q En los problemas 31-34, use la definicion 2.6.5 para demo trar el resultado de Ifmites dado. x < 0 x > 0 + 1, x-> 2 + 4) = 1 x , InTI lOx -x -> - oo X - 3 10 32. Ifm 3 2x 8 .1"->00 34. X + = ~3 Xl Ifm - - = 1 .1"->-00 x 2 + 3 Piense en ello 22. lim (2X2 21. Ifmx = 9 28. f(x) 0, 30. f(x) = - ; = 7 x-tO 0 = {2, 2 - 2x - - 27. f(x) x < 1 x 2 l' 29. f(x) = {x, x-> o .\'-+ 1 5) = 48 7x + 12 2x - 6 x2 19. Ifmj(x) = -1 , f(x ) = {2X - 1, 23. lim (x 2 + 16. Ifm 8x 3 = 0 x-;,- o 17. Ifm Ifm 8(2x x---+3 2x - 5 vX +\ En los problemas 27-30, demuestre que Ifm f(x) no exist( 12 X4 x ->o 2 Ix - a =---'--- x--+ {/ .1"-> 1/2 12. Ifm vX va. = vX + va vX+va x--+2 x->l 10. va l' solo los numeros x tales que 1 < x < 3.] 8. lfm (9 - 6x) = 3 4 , r= 26. Demuestre que lim(l / x ) = ~. [Sugereneia: Considf x ->o = 1. 2x - 3 .1"->2 Ifm vX x--+a 6. Ifm(x - 4) =-4 = 5 , r: y el hecho de que 7T x->4 5. Ifm (x .1"->0 = 7T 4. lim 2x = 8 x~3 x---+- \ Ifm x ~-2 , r= , r: I v x- v al=l vx - + 4) = + 12 2x) = 35 35. Demuestre que Ifm f(x) = 0, X-)oO donde f(x) = {x, x ~aci~nal 0, x IlTaClOnal. EI problema de la recta tangente I Introduccion En un curso de calculo se estudian muchas cosas diferentes, pero como Sf menciono en la introduccion de la seccion 2.1, el tema "calculo" por 10 regular se divide er dos amplias areas -relacionadas entre sf- denominadas calculo diferencial y calculo inte· gral. EI analisis de cada uno de estos temas suele comenzar con un problema de motivacion que implica la grafica de una funcion. EI estudio del calculo diferencial se motiva con eJ siguiente problema. • Encontrar la recta tangente a la gr:ifica de una funcion f , mientras el estudio del calculo integral se motiva con el siguiente problema: • Encontrar el area bajo la grafica de una funcion f Recta L EI primer problema se abordara en esta seccion, el segundo se analizara en la seccion 5.3. I Recta tangente a una grafica FIGURA 2.7.1 La recta tangente L toea un cfreu lo en el punto P La palabra tangente surge del verbo latin tangere , que significa "tocar". Quiza recuerde del estudio de geometria plana que una tangente a un cfrculo es una recta L que corta, 0 toca, al cfrculo exactamente en un punto P. Yea la FIGURA 2.7.1. No resulta tan facil definir una recta tangente a la grafica de una funcion f La idea de {aear traslada del concepto de recta tangente a la grafica de una funcion, pero la idea de eartar fa grafica en un punta no 10 hace. 2.7 EI problema de la recta tan gente Suponga que y = f (x) es una funcion continua. Si, como se muestra en la FIGURA 2.7.2, f posee una recta tangente L a su gnifica en un punto P, entonces l,cual es la ecuacion de esta recta '! Para contestar esta pregunta requerimos las coordenadas de Pyla pendiente In tan de L. Las coordenadas de P no presentan ninguna dificultad, puesto que un punto sobre la grafica de LIlla funcion f se obtiene al especificar un valor de x en el dominio de f Asi, las cOOl'denadas del punto de tangencia en x = a son Ca, f(a». En consecuencia, el problema de encontrar LIll a recta tangente se vuelve en el problema de encontrar la pendiente Inta n de la recta. Como medio para aproxilnar Intan , es facil encontrar las pendientes Insec de rectas secantes (del verbo latino secare, que significa " cortar") que pasan por el punto P y cualquier otro punto Q sobre la grafica. Yea la FIGURA 2.7.3 . y L Recta +----,L~--------.. x FIGURA 2.7.2 Recta tangente L a una grMi ca en el punto P y L Recla I Pendiente de rectas secantes Si las coordenadas de P son (a, f(a» y las coordenadas de Q SOil (a + h,j(a + h», entonces como se muestra en la FIGURA 2.7.4, la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es cambio eny f(a + h) - f(a) In = cambio enx = (a + h) - a sec o bien, Insec = f(a + h) - f(a) h 111 Q +-,~f-------~ x (1) La expresion en el miembro derecho de la igualdad en (1) se denomina cociente diferencial. Cuando se hace que h asuma valores que cada vez son mas proximos acero, es decir, cuando h ~ 0, entonces los puntos Q(a + h,j(a + h» se mueven en la curva cada vez mas cerca del punto P(a,j(a». Intuitivamente, es de esperar que las rectas secantes tiendan a la recta tangente L, y que Insec ~ Inwn cLlando h ~ O. Es decir, FI GURA 2.7.3 Pendientes de rectas secantes aproximan la pendiente In'an de L y Q(a + II , f(a + il» L en el supuesto de que el lfmite existe. Esta conclusion se resume en L1na forma equivalente del limite usando el cociente diferencial (1 ) . f«(I Defin icion 2.7.1 Recta tangente con pendiente Sea y = f(x) continua en el numero a. Si el lfmite , f (a + h) - f(a) In ton = h m h. h-.O a (2) existe, entonces la recta tangente a la grafica de f en (a, f(a)) es la recta que pasa por el pu nto (a, f(a» con pendiente In tan . Justo como much os de los problemas analizados antes en este capitulo, observe que el lfm ite en (2) tiene la forma indeterminada % cuando h ~ O. Si el \fmite en (2) existe, el numero In tan tambien se denomina pendiente de la curva y = f(x) en (a,j(a». EI ccileulo de (2) es esencialmente un proceso de cuatro pasos, tres de los cuales implican solo preccileulo matematico: algebra y trigonometria. Si los tres primeros pasos se llevan a cabo con precision, el cuarto, 0 paso de caleulo, puede ser la parte mas sencilla del problema. Directrices para calcular (2) i) ii) iii) iv) Evaluar f(a) y f(a + h). Evaluar la diferencia f(a + h) - f(a) . Simplificar. Simplificar el cociente diferencial f(a + h) - f(a) h Caleular el limite del cociente diferencial , f(a lIm 11-.0 + h) - f(a) h . + iI) - J«(I) -+---I'---+----...,.---+- x a+h FI GURA 2.7.4 Rectas secantes giran en ta recta tangente L cuando h -> O 112 CAPITULO 2 LImite de una fu nci6n Nota ~ En muchas instancias, el calcul o de la diferencia f( a + 11) - f (a ) en el paso ii) es ( importante. Resulta imperativo que usted simplifique este paso cuanto sea posible. Un CI de c6mo hacerlo: en mucl10s proble mas que implican el calculo de (2) es posible facto! de la diferencia f(a + 11) - f(a). ':emmR!'.' EI proceso de cuatro pasos Encuentre la pendiente de la recta tangente a la grafica de y = x2 + 2 en x = l. Solucion El procedimiento de cuatro pasos presentado antes se usa con el numero 1 en del sfmbolo a. i) + 11). El paso inicial es el calculo de f(1) y f(1 Se tiene f(1) = 12 + 2 = 3, Y f( 1 + 11) = (l + 11)2 + 2 = (1 + 2h + 112) + 2 = 3 + 211 + 112. ii) Luego, por el resultado en el paso precedente, la diferencia es: f(1 + 11) - f(1) iii) = 3 + 211 + = 211 + h2 = h(2 + h). - 3 ~ ub,c rve e l fac tor de " f(1 + 11) - f(l) Ahora, el calculo del cociente diferencial h es directo. De nuevo, se usan los resultados del paso precedente: + h) - f(1) '--'-- -'-----"--'-= h f(1 iv) h2 h(2 + h) 11 = 2 + I",. ~ las" sc ca ncc la n Ahora el ultimo paso es faci!. Se observa que el Ifmite en (2) es pm e l pasu prcceuente f( 1 + h) t f(l) / '--------'-m t,," = 1h~ h y=2x + I = La pendiente de la recta tangente a la grafica de y a 1,1#IQi••) x2 t = 11->0 ll/m (2 + + I") ' = 2. 2 en (l , 3) es 2. Ecuaci6n de la recta tangente Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente cuya pendiente se ha1l6 en el ejemplo 1. Solucion Se conocen el punto de tangencia (1, 3) y la pendiente m tan = 2, de modo que la ecuaci6n punto-pendiente de una recta se encuentra y - 3 = 2(x - 1) FIGURA 2.7.5 el ejemplo 2 Recta tangente en o bien, y=2x+l. Observe que la ultima ecuaci6n es consistente con las intersecciones x y y de la recta roj . la FIGURA 2.7.5. 1'J§M4!'W' Ecuaci6n de la recta tangente Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la grafica de f(x ) = 2/ x en x = 2. Solucion Se empieza por usar (2) para encontrar mtan con a identificada como 2. EI segundo de los cuatro pasos es necesario combinar dos fracciones simb6licas por medio d, comun denominador. i) Se tiene f(2) ii) f(2 = 2/ 2 = 1 Y f(2 + h) = 2/ (2 + h). + h) - f(2) = _2_ - 1 2+ h 2 2 + h (- un COl11llll deno l11inau or cs 2 2+ h 2+11 2-2-h 2 + h -11 2 + h· ~ alJu i esta cl factor de " +" 2.7 EI problema de la recta ta ngente EI ultimo resultado debe dividirse entre h . I. 1 Y I1lUltlP lca por h: iii) -h f (2 + iv) _-_'_1 . _ = h) - f (2) = _2 _+_h = h mas precisamente, entre 0, +h 2 h 1 h _ -_ 1_ 2 + h· 11 4. Se invierte <- las " se c anc e lan y Por (2), m tnn es , mtan = hm + f(2 h) - f(2) -1 , = 11m - 2 h_ O +h = h h~O Punto de tangenc ia Como f(2) = 1, el punto de tangencia es (2, 1) Y la pendiente de la recta tangente en (2, 1) es m wn = - ~. Con base en la ecuaci6n punto-pendiente de una recta, la recta tangente es 1 Y - 1 = - (x - 2) o 2 Y = 1 - -x 2 + 2. La pendiente es m'an = - Las gnificas de y = 2/ x y la recta tangente en (2, 1) se muestran en la FIGURA 2.7.6. U!!§M40M' Pendiente de una recta tangente v:x=I en x = Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gnifica de f(x) = Soluci6n 5. Al sustituir a por 5 en (2) se tiene: i) f(5) = ii) • vs=l = v4 = 2, Y f( 5 + h) = Y5 + f(5 + h - 1 = "\I"4+h. La diferencia es h) - f(5) = "\I"4+h - 2. Debido a que se espera encontrar un factor de h en esta diferencia, procedemos a racionalizar el numerador: f(5 + h) - f(5) = "\I"4+h - 2 . "\I"4+h (4 + +2 "\I"4+h + 2 1 h) - 4 V4+h + 2 h <- este es el factor de " V4+h + 2· ././.) A' I . d· c . I f(5 / SI, e COClente llerenCla f(5 + h)h + h) - f(5) es: h "\I"4+h h - f(5) h + 2 h h("\I"4+h + 2) 1 iv) EI lfmite en (2) es , mtan = hm h_O f(5 + h) - f(5) h , = hm , IHO V 1 ~ 4 La pendiente de la recta tangente a la gnifica de f(x) +h+ = 2 v4 + 2 v:x=I en 4· (5, 2) es ~. El resultado obtenido en el siguiente ejemplo no es sorprendente. • FIGURA 2.7.6 el ejemplo 3 Recta tangente e' 114 CAPITULO 2 Limite de una funci6n '!@~IRC'''j Recta tangente a una recta Para cualquier funcion lineal y = mx + b, la recta tangente a su gnifica coincide con la recta misma. As!, no de manera inesperada, la pendiente de la recta tangente para cualquier numero x = a es / f(a + h) - f(a) / mea + h) + b - (ma + b) / mh / mt•' \Il = h->O lIm h = 11->0 hm I1 = 1111m -h = 11->0 hm m = m. ->0 y y = x l13 -----f----~ x FIGURA 2.7.7 Tangente vertical en el ej emplo 6 • EI lfmite en (2) puede no existir para una funcion f en x = a y aun as! ser una tangente en el punto (a,f(a » . La recta tangente a una grafica puede ser vertical, en cuyo caso su pendiente esta indefinida. EI concepto de tangente vertical se abordara en la seccion 3.1. I Tangentes verticales '!!i@RC.Wa Recta tangente vertical Aunque por esta ocasion no se abundara en los detalles, puede demostrarse que la grafica de f(x) = Xl/3 posee una tangente vertical en el Ol'igen. En la FIGURA 2.7.7 se observa que el eje y, es decir, la recta x = 0, es tangente a la grafica en el punto (0, 0). • La grafica de una funcion f que es continua en un numero a no tiene pOl' que poseer una recta tangente en el punto (a,f(a»). Dna recta tangente no existira cuando la grafica de f tenga un pico pronunciado en (a,f(a)). En la FIGURA 2.7.8 se indica que puede ser erroneo cuando la grafica de la funcion tiene un "pico". En este caso .f es continua en a, pero las rectas secantes que pasan por P y Q tienden a ~ cuando Q ---+ P, y las rectas secantes que pasan por P y Q' tienden a una recta diferente LI cuando Q' ---+ P. En otras palabras, el lfmite en (2) no existe porque los lfl11ites laterales del cociente diferencial son diferentes (cuando h ---+ 0 + Y cuando h ---+ 0 - ). I Una tangente que puede no existir y =.f(x) Q - - t - ---'--- - x a FIGURA 2.7.8 La tangente no ex iste en (a, f(a)) U!!3MRC'W, y ---~~--~ x FIGURA 2.7.9 Funcion en el ej emp lo 7 Grafica can un pica Demuestre que la gr:ifica de f(x) = Ixl no tiene tangente en (0, 0). Solucion La grafica de la funcion valor absoluto en la FIGURA 2.7.9 tiene un pico en el origen. Para del110strar que la grafica de f no posee una recta tangente en el origen es necesario examinar IfI11 f(O + h) - f(O) = Ifm 10 + hi - 101 - r 11--->0 h 11->0 h - II~~ h . ill Por la definicion de valor absoluto h, { -h, h > 0 h < 0 observamos que lim ill = h 11->0+ lfm!!:. = 1 11 --->0+ h l11i e n tras Puesto que los Ifmites por la derecha y por la izquierda no son iguales, se concluye que el lfmite (2) no existe. Aunque la funcion f(x) = Ixl es continua en x = 0, la gr:ifica de f no posee ninguna tangente en (0, 0) . • I Razon de cambio media En contextos diferentes el cociente diferencial en (1) y (2), 0 pendiente de la recta secante, se escribe en terminos de simbolos alternos. EI simbol0 h en (1) Y (2) a menudo se escribe como ~x y la diferenciaf(a + ~x) - f(a) se denota por ~y, es decir, el cociente diferencial es f(a + ~x) - f(a) f(a + ~x) - f(a) cambio en y (3) cambio en x (a + ~x) - a ~x Ademas, si XI = a + ~x, Xo = a, entonces ~x = XI - Xo Y (3) es 10 mismo que f(x I) - f(xo) XI - Xo ~y ~x · (4) La pendiente ~ y / ~x de la recta secante que pasa por los puntos (xo,f(xo)) y (x I ,f(x I)) se denomina razon de cambia media de la funcionfsobre el intervalo [xo, x Il. Asf, ellimite lim ~y/ ~x se denomina razon de cambia media instantanea de la funcion con respecto a ~'t;g Xo . Casi to do mundo tiene una nocion intuitiva de la velocidad como la razon a la cual se cubre una distancia en cierto lapso. Cuando, pOl' ejempl0, un autobus recorre 60 mi en 1 h, la 2.7 EI problema de la recta tangente 115 lle/ocidad media del autobUs debe haber sido 60 mi/h. Por supuesto, resulta diffcil mantener la razon de 60 mi/h durante to do el recorrido porque el autobus disminuye su velocidad al pasar por poblaciones y la aumenta al rebasar a otros vehfculos. En otras palabras, la velocidad cambia con el tiempo. Si el programa de la compafifa de transportes demanda que el autobus recorra las 60 minas de una poblacion a otra en 1 h, el conductor sabe instintivamente que debe compensar velocidades inferiores a 60 mi/h al conducir a velocidades superiores en otros puntos del recorrido. Saber que la velocidad media es 60 mi/h no permite, sin embargo, contestar la pregunta: ~cwil es la velocidad del autobUs en un in stante particular? Velocidad media En general, la velocidad media 0 rapidez media de un objeto en movimiento esta definida por cambio en distancia (5) Vpro = cambio en tiempo . I Considere un corredor que termina una carrera de 10 km en un tiempo de 1 h 15 mll1 ( 1.25 h) . La velocidad media del corredor, 0 rapidez media de la carrera, fue 10 - 0 vpro = 1.25 _ 0 = 8 kmlh. Pero suponga ahora que deseamos determinar la velocidad exacta v en el instante en que el corredor ya neva media hora corriendo. Si se mide que la distancia recorrida en el intervalo de 0 h a 0.5 h es igual a 5 krn, entonces 5 vpro 1,--_ -"-f;-"Ol_ JIr--'..l< _i"-,·--'I,--M~eta Salida = 0.5 = 10 kmlh. De nuevo, este numero no es una medida, 0 necesariamente incluso un indicador aceptable, de la velocidad instantanea v a que el corredor se ha movido 0.5 h en la carrera. Si determi namos que a 0.6 h el corredor esta a 5.7 km de la linea de salida, entonces la velocidad media de 0 h a 0.6 h es vpro = 5.7/0.6 = 9.5 kmlh. No obstante, durante el lapso de 0.5 h a 0.6 h, 5km cnO.5h +0,7km_1 enD.l h 1_---- IOkm ----~ en 1.25 h FIGURA 2.7.10 Corredor en una carrera de 10 kill 5.7 - 5 vpro = 0.6 _ 0.5 = 7 kmlh. EI ultimo numero es una medida mas realista de la razon v. Yea la FIGURA 2.7.10. Al "estirar" el lapso entre 0.5 h y el tiempo que corresponde a la posicion medida cerca de 5 km, se espera obtener incluso una mejor aproximacion a la velocidad del con'edor en el instante 0.5 h. p o Movimiento rectilineo Para generalizar el analisis precedente, suponga que un objeto, 0 partfcula, en el punto P se mueve a 10 largo de una recta de coordenadas vertical u horizon- I tal como se muestra en la FIGURA 2.7.11. Ademas, considere que la particula se mueve de modo que su posicion, 0 coordenada, sobre la recta esta dada por una funcion s = set), donde t representa el tiempo. Los valores de s son distancias dirigidas medidas a partir de 0 en unidades como centimetros, metros, pies 0 minas. Cuando Pesta a la derecha 0 arriba de 0, se considera s > 0, mientras s < 0 cuando Pesta a la izquierda 0 abajo de O. EI movimiento en linea recta se denomina movimiento rectilineo. Si un objeto, como un automovil de juguete, se mueve sobre una recta de coordenadas horizontal, se trata de un punto P en el instante to Y un punto pi en el in stante tJ, y entonces las coordenadas de los puntos, que se muestran en la FIGURA 2.7.12, son sUo) y set ]). Por (4), la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [to, t]] es cambio en posicion vpro i!!:!MU!.M:' = cambio en tiempo s(t ]) - s(to) t] - to I I I FIGURA 2.7.11 coordenadas I o .,;-' I. I I I .. p Rectas ~ 1 I ... ~'s O~P' FIGURA 2.7.12 Posici6n de un autom6vil de juguete sobre una recta coordenada en dos instantes (6) s 630 pies Ve locidad me dia La altura s por arriba del suelo a que se suelta una pelota desde la parte superior del Arco de San Luis Missouri esta dada por s(t) = -16t 2 + 630, donde s se mide en pies y t en segundos. Yea la FIGURA 2.7.13. Encuentre la velocidad media de la pelota que cae entre el instante en que se suelta la pelota y el instante en que golpea el suelo. Solucion El instante en que se suelta la pelota esta determinado por la ecuacion set) = 630 0 - 16t 2 + 630 = 630. Asi se obtiene t = 0 s. Cuando la pelota golpea el suelo, entonces FIGURA 2.7.13 el ejemplo 8 Pelota que cae en 116 CAPITULO 2 Limite de una funci6n sct) = 00 -16t 2 + 630 = O. Con la ultima ecuaci6n se obtiene t = Y3 15/8 = 6.27 s. As!, por (6) la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, Y315/8] es vpro Si se hace lente a tl = s ( V35I78) - s(O) Y3 51/8 - 0 = to + D..t, 0 D..t = II - 0 - 630 Y35 1/8 _ 0 to , Y D.. s = scto . = - 100.40 pies/s. • + D.. t) - scto), entonces (6) es equiva- (7) Esto sugiere que el Ifmite de (7) cuando D.. t ---+ 0 proporciona la razon de cambio instantanea de sct) en t = to, 0 velocidad instantanea. Definicion 2.7.2 Velocidad instantanea Sea s = s(t) una funci6n que proporciona la posici6n de un objeto que se mueve en Ifnea recta. Entonces la velocidad instanhinea en el instante t = to es (8) siempre que el Ifmite exista. Nota: Excepto por notaci6n e interpretaci6n, no hay ninguna diferencia matematica entre (2) y (8). Tambien, a menudo se omite la palabra instantanea, de modo que entonces se habla de la raz6n de cambia de una funci6n 0 la velacidad de una particula en movimiento. U!!3MQ!'.' Otro repaso al ejemplo 8 Encuentre la velocidad instantanea de la pelota que cae en el ejemplo 8 en t 3 = S. Solucion Se usa el mismo procedimiento de cuatro pasos que en los ejemplos anteriores con s = s(t) dada en el ejemplo 8. o ii) + 630 = 486. Para cualquier D..t "* 0, s(3 + M) = -16(3 + D..tf + 630 = -16(D..t)2 - 96D..t + 486. s(3 + M) - s(3) = [- 16(D..t? - 96M + 486] - 486 s(3) = -16(9) = -16(D..t)2 - 96D..t = D..t( -16D..t - 96) iii) _D.._s = _D.._t(_-_1_6"-AD.._t _-_ 9 _6_) = -16D..t - 96 D..t L.l t iv) Por (8), v(3) = Ifm ~s = LlI-->O L.l t Ifm (-16D..t - 96) = -96 pies/s o (9) • LlI-->O En el ejempl0 9, el numero s(3) = 486 pies es la altura de la pelota por arriba del nivel del suelo a 3 s de haber sido soltada. EI signo menos en (9) es importante porque la pelota se esta moviendo en direcci6n opuesta a la direcci6n positiva (hacia alTiba), es decir, se mueve hacia abajo. Ejercicios 2.7 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comi enzan en la pag ina RES-g. =Fundamentos En los problemas 1-6, trace la grMica de la funci6n y la recta tangente en el punto dado. Encuentre la pendiente de la recta sec ante que pasa por los puntos que cOlTesponden a los valores indicados de X . 1. f(x) = - x 2 2. f(x) = x 2 + 9, (2, 5); x = 2, x = 2.5 I + 4x, (0, 0); x = -4' x = 0 3. f(x) = x 3, ( - 2, -8);x = -2,x = -1 4. f(x) = l/x, (1, 1); x = 0.9, x = 1 5. f(x) = sen x, (7T/2, 1); x = 7T/2, x = 27T/3 6. f(x) = cos x, (-7T/3 , D; x = -7T/2, x = -7T/3 En los problemas 7-18, use (2) para encontrar la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funci6n en el valor dado de X. Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente en el punto cOlTespondiente. 2.7 EI problema de la recta tangente 7. ((x) = X 2 En los problemas 25 -28, use (2) para encontrar una formula para m ' an en un punto general (x,f(x» sobre 1a grafica de f Use la fo rmula m tan para determinar los puntos en que la recta tangente a la grafica es horizontal. 6, x = 3 - -3x 2 = + 10 , x = -1 2 9. f(x) = x - 3x, x = 1 10. f (x) = - x 2 + 5x - 3 ,x = - 2 8. lex) 11. lex) = -2x 3 + X, X = 12. f( x ) = 8x 2 3 4 ,x - = I 2 . 1 13. I(x) = 2x' x = -1 14. f(x) = - 15. f(x ) 8 16. f(x) = 4 - -, X = -1 1 2' (X - 1) = 17. f( x) = \IX, x = 4 x- 0 X = -1' x = 2 X 4 18. f(x) = 1 \IX' X = 1 En los problemas 19 y 20, use (2) para encontrar la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion en el valor dado de x. Encuentre una ecuacion de la recta tangente en el punto correspondiente. Antes de empezar, revise los limites en (10) y (14) de la seccion 2A, asf como las formulas de suma (17) y (18) en la seccion 1A. 19. f(x) = sen x, X = 7T/6 20. f(x) = cos x, X = 7T/4 En los problemas 21 y 22, determine si la recta que pasa por los puntos rojos es tangente a la grafica de f(x) = x 2 en el punto azul. 21. 22. y y (3, 9) +-+--+-+"~f++-+-~ +-t---II-f"t'f--t--t-~ x x 25. f (x ) = -x 2 + 6x 27. f (x) = x 3 - 3x FIGURA 2.7.15 Gnifica para el problema 22 23. En la FIGURA 2.7.16, la recta roja es tangente a la grafica de y = f(x) en el punto indicado. Encuentre una ecuacion de la recta tangente. l,eual es la interseccion y de la recta tangente? y En los problemas 33 y 34, la posicion de una partfcula que se mueve sobre una recta horizontal de coordenadas esta dada por la funcion. Use (8) para encontrar la velocidad instantanea de la partfcula en el instante indicado. 1 2 33. set) = -4t + lOt + 6, t = 3 34. set) = t 2 + 5t + l' t = 0 35. La altura por arriba del suelo a que se suelta una pelota a una altura inicial de 122.5 m esta dada por set) = -4.9t 2 + 122.5, donde s se mide en metros y ten segundos. c) y = f(x ) • x FIGURA 2.7.16 c) Gnifica para el problema 23 24. En la FIGURA 2.7.17, la recta roja es tangente a la grafica de y = f(x) en el punto indicado. Encuentre f( - 5). y 4 -+-------+--------~~ x - 5 tl) l,En que in stante el objeto choca contra el suelo? Si h = 100 pies, compare los instantes de impacto para la Tierra (g = 32 pies/s 2 ), Marte (g = 12 pies/s 2 ) y la Luna (g = 5.5 pies/s 2 ) . Use (8) para encontrar una formula para la velocidad instantanea v en el in stante general t. Use los instantes encontrados en el inciso b) y la formula encontrada en el inciso c) para calcular las velocidades de impacto correspondientes para la Tierra, Marte y la Luna. 37. La altura de un proyectil disparado desde el nivel del suelo esta dada por s = -16t 2 + 256t, donde s se mide en pies y t en segundos. y=f(x ) FIGURA 2.7.17 l,eual es la velocidad instantanea en t = 1? l,En que instante la pelota golpea el suelo? l, eual es la velocidad de impacto? 36. Al ignorar la resistencia del aire, si un objeto se dej a caer desde una altura inicial h, entonces su altura por arriba del nivel del suelo en el instante t > 0 esta dada por sCt) = -1 gt 2 + h, donde g es la aceleracion de la gravedad. b) I 26. f (x) = 2X2 + 24x - 22 28. f(x ) = - x 3 + x 2 29. Un automovil recorre 290 mi entre Los Angeles y Las Vegas en 5 h. l,eual es la ve10cidad media? 30. Dos senalizaciones sobre una carretera recta estan a una distancia de 1 mi entre sf. Una patrulla observa que un automovil cubre la distancia entre las marcas en 40 s. Suponiendo que la velocidad limite es 60 mi/h, l,el automovil sera detenido por exceso de velocidad? 31. Un avion se des plaza a 920 mi/h para recorrer los 3 500 km que hay entre Hawaii y San Francisco. l,En cuantas horas realiza este vuelo? 32. Una carrera de maraton se lleva a cabo en una pista recta de 26 mi. La carrera empieza a mediodfa. A la 1:30 p.m., un corredor cruza la marca de 10 mi y a las 3:10 p.m. el corredor pas a por la marc a de 20 mi. l,eual es la velocidad media del con'edor entre la 1:30 p.m . y las 3:10 p.m.? a) 6 +1 =Aplicaciones a) b) FIGURA 2.7.14 Gnifica para el problema 21 2 117 7 Grafica para el problema 24 a) Determine la altura del proyectil en t = 2, t = 6, t = 9 y t = 10. b) l, eual es la velocidad media del proyectil entre t = 2 Y t = 5? 118 CAPITULO 2 Limite de una funci6n c) Demuestre que la velocidad media entre t = 7 Y t = 9 es cero. Interprete ffsicamente. d) l,En que instante el proyectil choca contra el suelo? e) Use (8) para encontrar una f6rmula para la velocidad instantanea v en el instante general t. 1) Use el resultado del inciso d) y la f6rmula encontrada en el inciso e) para aproximar la velocidad de impacto final. g) l,Cual es la altura maxima que alcanza el proyectil? 38. Suponga que la grafica mostrada en la FIGURA 2.7.18 es la de la funci6n de posici6n s = set) de una partfcula que se mueve en una linea recta, don de s se mide en metros y t en segundos. S c) Ca1cule la velocidad inicial de la partfcula; es decir, su velocidad en t = O. d) Calcule el instante en que la velocidad de la partfcula es cero. e) Determine un intervalo en que la velocidad de la partfcula es decreciente. 1) Determine un intervalo en que la velocidad de la partfcula es creciente. =Piense en ello 39. Sea y = f(x) una funci6n par cuya grafica tiene una recta tangente In con pendiente (a,j(a». Demuestre que la pendiente de la recta tangente en (-a,j(a» es -In. [Sugerenc ia: Explique por que f( -a + h) = f(a - h).] S( I) II 40. Sea y = f(x) una funci6n impar cuya grafica tiene una recta tangente In con pendiente (a,j(a». Demuestre que la pendiente de la recta tangente en (-a, -f(a» es In. L ./' V FIGURA 2.7.18 a) Calcule la posici6n de la partfcula en t = 4 Y f = 6. b) Calcule la velocidad media de la partfcula entre t = 4 Y t = 6. 41. Proceda como en el ejemplo 7 y demuestre que no hay recta tangente a la grafica de f(x) = x 2 + Ixl en (0, 0) . Gnlilca para el problema 38 Revision del capitulo 2 las respuesta s de los problemas impares se leccionados comienzan en la pagina RES-g. A. Falso/verdadero _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ En los problemas 1-22, indique si la afirmaci6n dada es falsa (F) 3 = 12 1. lim x - 8 x--->2 x - 2 3. lim B x---> o X 2. lim x ---* 5 4. lfm e2x -x' = = 1 S. lim tan- I x->O+ / X = 3 y lim g(x) x~a Z3 6. 11m - x----ta verdadera (V). 0 00 X-> OO (1) no existe. _ _ 7. Si lim f(x) -v;=s = 0 2 Z z---> I = 0, entonces Ifm 2 no eXI.ste. + 8z + 9z - 10 f(x)/ g(x) no existe. _ _ x~a 8. Si Ifm f(x) existe y Ifm g(x) no existe, entonces lim f(x)g(x) no existe. _ _ x---+a x---+(/ X - HI = 00 10. Si Ifm f(x) = 00 9. Si Ifm f(x) x-.. . -H I x---+a y Ifm g(x) = 00, y lim g(x) = 00, x ---+a entonces Ifm f(x)/ g(x) x-.:;o = 1. _ _ entonces lim [f(x) - g(x) ] x---+a X-hi 11. Si f es una funci6n polinomial, entonces Ifm f(x) = = o. __ 00. _ _ x---+ oo 12. Toda funci6n polinomial es continua sobre 13. Para f(x) = x5 (-00,00). _ _ + 3x - 1 existe un numero c en [-1 , 1] tal que f(c) = o. __ 14. Si f y g son continuas en el numero 2, entonces f/ g es continua en 2. _ _ IS. La funci6n entero mayor f(x) = lx J no es continua sobre el intervalo [0, 1]. _ _ 16. Si lim f(x) y Ifm f(x) existen, entonces Ifm f(x) existe. _ _ x---+a - x---+o + x---+a 17. Si una funci6n f es discontinua en el numero 3, entonces f(3) no esta definido. _ _ 18. Si una funci6n f es discontinua en el numero a, entonces Ifm (x - a)f(x) = O. _ _ X-joll 19. Si f es continua y f(a)f(b) < 0, existe una rafz de f(x) = 0 en el intervalo [a, b]. _ _ Revisi6n del capitulo 2 l 2 X 20. La func i6n f(x) -6x+ 5 4 = x - 5 119 x,*5 ' es di scontinua en 5. , x= 5 Vx. , . I en x = - 1. , f() 21. La f uncI' on x = 1 tlene una aSll1tota vertlca x+ 22. Si y = x - 2 es una recta tangente a Ia gnifica de Ia funci6n y cesf(3) = I. _ _ = f(x ) en (3,1(3» , enton- B. Lie ne los espacios en blanco ___________________ En los problemas 1-22, Ilene los espacios en blanco. 1. lfm(3x 2 - 4x) = _ _ 2. Ifm(5x 2)o = _ _ 3 lfm 2t - 1 = • 1->00 3 - lOt 4. 1 - cos 2 (t - 1) 5 llm- ---'---• 1-+1 t - 1 6. Ifm se n 3x = 7. 11m e l/x = 8. . r ~2 x~3 Ifm x-+- oo x-+o , 11 1llTI - = 12. Ifm (5x + x ---tO~ = 1 -=-oo 3 • x-+- x - 2) = 22 X-7_ 13. Ifmx 3 = -00 14. Ifm, I; = 00 x-+_ .\"-+- 15. S if(x ) = 5x Ifme l / x .\"---:)00+ 9. Ifm e l / x ~ X + 1 = 2(x - 4)/ lx - 4 1,x 16. Suponga que x 2 x 4/ 3 - ::5 '* 4, Y f(4) f(x ) ::5 V x = 9, entonces lfm_ f(x) x~4 = __ . x 2 para toda x. Entonces \fm f (x) / x 2 = _ _ . x~o 17. Si f es continua en un numero a y Hm f(x) = 10, entonces f(a) = _ _ . x-...:;a 18. Si f es continua en x = 5,1(5) = 2, Y Hm g(x) = 10, entonces 1fm [g(x) - f(x)] x~5 19. f( x) = '* ~ es ! J:; -=- 11' 20. La ecuaci6n e- x ' (continua/discontinua) en el numero x x = lO.5, x2 = x~5 ~. I tiene precisamente _ _ rakes en el intervalo (- 00, (0). - 2 . , f() 21· L a f unClon x = -10 + -xx--- 2-4 x . " ' d ad femOVl'ble en x = 2 . P ara qUltar . twne una d lscontll1Ul la discontinuidad, es necesario definir que f(2) sea _ _ . 22. Si Ifm g(x) x----., - 5 = -9 y f(x) = x 2 , entonces Ifm f(g(x» X---7-5 = _ _. C. Ejercicios ___________________________ En los problemas 1-4, trace una gnifica de la funci6n f que satisface las condiciones dadas. 1. f (O) = 1,1(4) = 0,1(6) = 0, IfmJ(x) = 2, IfmJ(x) = 00, !fm f(x) = 0, Ifm f(x) = 2 x---t 3 2. x---t 3 x ---t - 00 x ---tOO !fm f(x) = 0,1(0) = I, lfmJ(x) = 00, Ifm f(x) = 00,1(5) = 0, Ifm f(x) = -I x---t4 x---t -00 3. Hm f(x) x---+-oo x ---t4 + x ---tOO = 2,1(-1) = 3,1(0) = O,f( - x) = -f(x) 4. Ifm f(x) = 0,1(0) = - 3,1( 1) = O,f(-x) = f(x) x---tOO En los problemas 5-10, establezca cmiles de las condiciones a)-j) son apJicables a la gnifica de y = f(x). a ) f( a) no esta definida b) f(a) = L c) f es continua en x = a d) f es continua sobre [0, a] e) f) Ifm f(x) = L g) Ifm If(x)1 = 00 h) lim f(x) = L i) j) Ifm f(x) = L X---7a + .\'--7{/ x-+a x---+ oo Ifm f(x) = -00 x-----+oo Ifm f(x) = 0 ..\"----+00 120 CAPITULO 2 Limite de una funci6n 5. y 6. y = .r(x) L --+-----<;>---- :t - 7. I I y I I Y = .r(x) I x a --I---j---+- x a FIGURA 2.R.l Grafica para el problema 5 8. y FIGURA 2.R.3 Grafica para el problema 7 FIGURA 2.R.2 Grafica para el problema 6 9. y = l(x) 10. T L y = f(x) y L I I i~) x a --II----+--_\_+_ x X a FIGURA 2.RA Gnifica para el problema 8 FIGURA 2.R.5 Griifica para el problema 9 FIGURA 2.R.6 Griifica para el problema 10 En los problemas 11 y 12, trace la gnifica de la funci6n dada. Determine los valores (ntlmeros), en caso de haber alguno, en que f es continua. x + 1, x < 2 2 < x<4 12. fex) = 3, 11. fex) = Ixl + x -x+7, x>4 I En los problemas 13-16, determine intervalos sobre los que la funci6n dada es continua. 13. f(x) = 15. f(x) = X3 +6 x - 14. f(x) = X vi-=-s x2 - 16. f(x) = 5 ~ x2 - 4x +3 ~s~xx Vx 17. Encuentre un numero k de modo que fex) = {~_+~: ;~; sea continua en el numero 3. 18. Encuentre numeros a y b tales que f(x) = x + 4, ax + b, 3x - 8, I X :S 1 l <x:s 3 x> 3 sea continua en todas partes. En los problemas 19-22, encuentre la pendiente de la recta tangente a la gnifica de la funci6n en el valor dado de x. Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente en el punto correspondiente. 19. f(x) = -3x 2 + 16x + 12, x = 2 20. fex) = ~ - x 2 , X = - 1 - 1 1 x = 22. fex) = x + 4 \IX, x = 4 2x 2 23. Encuentre una ecuaci6n de la recta que es perpendicular a la recta tangente en el punta (1, 2) sobre la grafica de f(x) = -4x 2 + 6x. 21. f(x) = -2' 24. Suponga que fex) = 2x + 5 y e = 0.01. Encuentre un 0 > 0 que garantice que If(x) - 71 < e cuando 0 < Ix - 11 < o. Al encontrar 0, (,que limite se ha demostrado?

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