Tercera sesión Cálculo de Probabilidades - CM1H2 Jonathan Munguia1 José Zamudio2 1,2 Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingenierı́a 09 de junio de 2020 Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 1 / 33 Probabilidad Frecuencia relativa Outline 1 Probabilidad Probabilidad: frecuencia relativa Probabilidad: Subjetiva Probabilidad: Definición formal Ejemplos:espacios muestrales finitos Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable Ejemplos:espacios muestrales continuos Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 2 / 33 Probabilidad Frecuencia relativa Usando frecuencia relativa En muchos experimentos aleatorios, no es posible aplicar equiprobabilidad a sus sucesos. Ejemplo 1 Considere la selección de un tornillo. Observamos si cumple con las especificaciones o no. Hay dos resultados posibles: conforme y no conforme. Pregunta: ¿Deberı́amos considerar los resultados como igualmente probables? Si no, ¿cómo podemos asignar cierta probabilidad al suceso de encontrar un tornillo conforme? Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 3 / 33 Probabilidad Frecuencia relativa Usando frecuencia relativa Respuesta: Seleccione una gran cantidad de tornillos. Cuente la cantidad de tornillos conformes. Halle la proporción de tornillos conformes en la muestra. Use esta proporción como una aproximación de la probabilidad de encontrar un tornillo conforme. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 4 / 33 Probabilidad Frecuencia relativa Usando frecuencia relativa Definición 1 Sea Ω el espacio muestral de un experimento aleatorio ε y F un espacio de eventos. Si repetimos n veces ε. Definimos entonces la función P : F → [0, 1] tal que: fn (E ) n→∞ n P(E ) = lı́m ∀E ∈ F , donde fn (E ) representa la cantidad de veces (frecuencia) que ocurre el evento E entre los n ensayos del experimento. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 5 / 33 Probabilidad Frecuencia relativa Usando frecuencia relativa Observación 1 Bajo la hipótesis de equiprobabilidad, se puede encontrar una relación entre la definición de probabilidad de modelos igualmente probables y la definición de probabilidad de nuestro modelo de frecuencia relativa: Esta relación fue encontrada por James Bernoulli y es conocida como: ¡Ley de los grandes números! Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 6 / 33 Probabilidad Frecuencia relativa Usando frecuencia relativa Ejemplo 2 La intuición de que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 1/2, se basa en la idea de equiprobabilidad y puede ser verificada experimentalmente. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 7 / 33 Probabilidad Apuestas Outline 1 Probabilidad Probabilidad: frecuencia relativa Probabilidad: Subjetiva Probabilidad: Definición formal Ejemplos:espacios muestrales finitos Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable Ejemplos:espacios muestrales continuos Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 8 / 33 Probabilidad Apuestas Probabilidad: Subjetiva i) Este tipo de probabilidad es usado en predicciones donde no podemos aplicar los modelos de equiprobabilidad y frecuencia relativa. ii) Esta basado en la experiencia que tiene el sujeto que hace la predicción y en la información histórica que se tenga. Observación 2 El uso de cierta información para dar una probabilidad subjetiva a un evento puede vista como actualizar la probabilidad que se tenı́a hasta ese momento, la que se conoce como probabilidad a posteriori. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 9 / 33 Probabilidad Apuestas Probabilidad: Subjetiva Definición 2 (Apuestas) Sea E un evento cualquiera. Se dice que las apuestas a : b están a favor del evento E , en el sentido de que hay a casos favorables (o posibilidades) de la ocurrencia de E frente a un total de a + b casos. Por lo tanto, se define a P(E ) = . a+b Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 10 / 33 Probabilidad Apuestas Probabilidad: Subjetiva Ejemplo 3 En una carrera de autos. Se tiene que los corredores del equipo Ferrari tienen la siguientes apuestas: 6 : 2 y 8 : 4 en contra. Determine la probabilidad de que gane el equipo Ferrari. Solución Supongamos que ambos corredores son mutuamente excluyente. Sea A el primer corredor y B el segundo. Luego, las probabilidades de ganar son P[A] = 2 1 4 1 = , P[B ] = = . 6+2 4 8+4 3 Entonces, la probabilidad de ganar es P[A ∪ B ] = Munguia y Zamudio (FC-UNI) 1 1 7 + = . 4 3 12 Tercera sesión Junio 09 11 / 33 Probabilidad Definición formal Outline 1 Probabilidad Probabilidad: frecuencia relativa Probabilidad: Subjetiva Probabilidad: Definición formal Ejemplos:espacios muestrales finitos Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable Ejemplos:espacios muestrales continuos Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 12 / 33 Probabilidad Definición formal Los modelos de equiprobabilidad y frecuencia relativa pueden ser estudiados como casos particulares del siguiente modelo axiomático: Definición 3 (Función de probabilidad) Sea Ω un espacio muestral y F un espacio de eventos. Se dice que, P : F → [0, 1] es una función de probabilidad, si cumple: P(Ω) = 1. Normalización: No negatividad: P(A) ≥ 0 ∀A ∈ F . Aditividad: Para cada sucesión, {Ai }i ∈N , de eventos mutuamente excluyentes de F , se tiene que P ∞ ] Ai ∞ = i =1 Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión ∑ P(Ai ). i =1 Junio 09 13 / 33 Probabilidad Definición formal Observación 3 1 Si un evento tiene probabilidad cero, ese evento no puede ocurrir; 2 si tiene una probabilidad 1, entonces es seguro que ocurrirá. Observación 4 Se puede obtener funciones de probabilidad al normalizar alguna medida de una magnitud, ejemplos: 1. Si el espacio muestral (Ω) es finito. Se puede medir sus eventos a través de la medida de conteo, | · |. Luego su probabilidad correspondiente será: |·| P(·) := . |Ω| Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 14 / 33 Probabilidad Definición formal Observación (cont...) 2. En el caso de eventos de R, se puede usar una medida de longitud, long (·). Entonces, la función de probabilidad será: P(·) := long (·) . long (Ω) 3. En caso de eventos de R2 , se puede usar una medida de area, area(·). Luego, se tiene que area(·) P(·) := . area(Ω) 4. Finalmente, para eventos de R3 , se puede usar una medida de volumen, vol (·). Obteniendo, P(·) := Munguia y Zamudio (FC-UNI) vol (·) . vol (Ω) Tercera sesión Junio 09 15 / 33 Probabilidad Definición formal Teorema 1 Dados E , F ∈ F , se cumple las sgtes propiedades sobre P: (i) P(∅) = 0. (ii) E ∩ F = ∅ ⇒ P(E ∪ F ) = P(E ) + P(F ). (iii) P(E c ) = 1 − P(E ). (iv) E ⊂ F ⇒ P(E ) ≤ P(F ). (v) 0 ≤ P(E ) ≤ 1. Demostración (i) Aplicando el axioma de aditividad a la sucesión de eventos A1 = Ω, Ai = ∅, para i > 1, se tiene P( Ω ) = P( Ω ) + ∑ P( ∅ ) ⇒ i >1 ∑ P(∅) = 0. i >1 Luego, necesariamente P(∅) = 0. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 16 / 33 Probabilidad Definición formal Demostración (cont...) (ii) Dada la sucesión de eventos A1 = E , A2 = F , Ai = ∅, para i > 2, aplicando nuevamente el axioma de aditividad, P(E ∪ F ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ∑ P(∅) i >2 | {z } 0 = P(E ) + P(F ), donde hemos concluido, usando (i). (iii) Del hecho que Ω = E ∪ E c , usando el axioma de normalización y (ii), obtenemos que 1 = P(E ) + P(E c ), de lo cual se concluye inmediatamente. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 17 / 33 Probabilidad Definición formal Demostración (cont...) (iv) De los axiomas de aditividad y no negatividad, y del hecho F = E ∪ (F − E ), se tiene que P(F ) = P(E ) + P(F − E ) ≥ P(E ). | {z } ≥0 (iv) Se sigue del hecho que E ⊂ Ω, de (iv), y del axioma de no negatividad. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 18 / 33 Probabilidad Definición formal Propiedades importantes de la probabilidad Proposición 1 (Aditividad finita) Para cada secuencia A1 , . . . , An de eventos de F , mutuamente excluyentes. Se cumple que P(A1 ∪ · · · ∪ An ) = P(A1 ) + · · · P(An ). Proposición 2 (Principio de inclusión-exclusión) Dados dos eventos cualesquiera A y B de F , se tiene que P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B ) Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 19 / 33 Probabilidad Definición formal Demostración Dado que A ∪ B = A ∪ (B − A) y B = (A ∩ B ) ∪ (B − A), se tiene por el axioma de aditividad: P(A ∪ B ) = P(A) + P(B − A), (1) P(B ) = P(A ∩ B ) + P(B − A). (2) Luego, se concluye de (1) y (2). Proposición 3 El principio de inclusión-exclusión se puede generalizar como ! P n [ l =1 Munguia y Zamudio (FC-UNI) n Al = ∑ (−1)l +1 αl , l =1 Tercera sesión Junio 09 20 / 33 Probabilidad Definición formal Proposición 3 (Cont...) donde los αl son las sumas de las probabilidades de todas las posibles intersecciones de l eventos tomados de los n. n α1 = α2 = ∑ P(Ai ), i =1 ∑ P(Ai ∩ Aj ), 1≤i <j ≤n α3 = ∑ P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ), 1≤i <j <k ≤n αn Munguia y Zamudio (FC-UNI) .. . = P(A1 ∩ · · · ∩ An ). Tercera sesión Junio 09 21 / 33 Probabilidad Definición formal Proposición 4 (Continuidad) Si {An }n∈N es una sucesión monótona de eventos de F , es decir: i) Si A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , entonces P( S∞ = lı́mn→∞ P(An ). ii) Si A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , entonces P( n=1 An ) = lı́mn→∞ P(An ). n=1 An ) T∞ Demostración Verificaremos solo (i), para lo cual consideremos la nueva sucesión de eventos mutuamente excluyentes: B1 = A1 , Bj = Aj − Aj −1 si j > 1. P ∞ [ An = ∞ n ∑ P(Bj ) = nlı́m ∑ P(Bj ) →∞ j =1 n =1 = j =1 lı́m P n→∞ n [ Bj = lı́m P(An ), j =1 n→∞ donde hemos aplicado el axioma de aditividad. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 22 / 33 Probabilidad Ejemplos Outline 1 Probabilidad Probabilidad: frecuencia relativa Probabilidad: Subjetiva Probabilidad: Definición formal Ejemplos:espacios muestrales finitos Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable Ejemplos:espacios muestrales continuos Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 23 / 33 Probabilidad Ejemplos Ejemplo 4 Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda. Sean los eventos: 1 H1 : sale cara en el primer lanzamiento, 2 H2 : sale cara en el segundo lanzamiento. Halle P(H1 ∪ H2 ). Solución Si suponemos que son igualmente probable los sucesos, entonces P ( H 1 ∪ H2 ) = P ( H1 ) + P ( H2 ) − P ( H1 ∩ H 2 ) = Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión 1 1 1 3 + − = . 2 2 4 4 Junio 09 24 / 33 Probabilidad Ejemplos Ejemplo 5 Consideremos el experimento de lanzar dos dados distintos (observar los resultados en orden). El espacio muestral es Ω = (x, y ) : x, y ∈ {1, 2, . . . , 6} . Halle la probabilidad de obtener como suma 9 de los resultados de un lanzamiento. Solución Suponiendo equiprobabilidad y |Ω| = 36, se tiene P(suma = 9) = P {(6, 3), (3, 6), (4, 5), (5, 4)} |{(6, 3), (3, 6), (4, 5), (5, 4)}| 36 1 = . 9 = Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 25 / 33 Probabilidad Ejemplos Outline 1 Probabilidad Probabilidad: frecuencia relativa Probabilidad: Subjetiva Probabilidad: Definición formal Ejemplos:espacios muestrales finitos Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable Ejemplos:espacios muestrales continuos Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 26 / 33 Probabilidad Ejemplos Ejemplo 6 Lanzamos una moneda repetidamente hasta que aparezca la primera cara. El resultado del experimento es la cantidad de lanzamientos necesario para obtener cara por primera vez. Halle la función de probabilidad. Solución Espacio muestral Ω = {1, 2, 3, · · · }. Supongamos que la probabilidad de obtener cara es 1/2. El evento {2} corresponde al resultado (S, C ), luego por principio de multiplicación, se puede definir P({2}) = Munguia y Zamudio (FC-UNI) 1 1 1 × = . 2 2 4 Tercera sesión Junio 09 27 / 33 Probabilidad Ejemplos Solución (cont...) De manera similar, el evento {n } corresponde al resultado (S, S, · · · , S, C ). Luego, se define la función de probabilidad como n −1 1 1 1 × = n. P({n }) = 2 2 2 Verificamos que P(Ω) = 1: P( Ω ) = ∞ ∞ i =1 i =1 1 ∑ P({i }) = ∑ 2i = 1. La no negatividad es obvia y la aditividad se deja para el lector. Luego nuestra definición es consistente. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 28 / 33 Probabilidad Ejemplos Outline 1 Probabilidad Probabilidad: frecuencia relativa Probabilidad: Subjetiva Probabilidad: Definición formal Ejemplos:espacios muestrales finitos Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable Ejemplos:espacios muestrales continuos Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 29 / 33 Probabilidad Ejemplos Ejemplo 7 En un experimento que mide el peso de los residentes en una región geográfica determinada, el rango de pesos varı́a de 50 a 200 kilos. Halle La probabilidad de obtener una medida entre 60 y 90. 1 Espacio muestral: Ω = [50, 200]. 2 Evento: E = [60, 90]. 3 Si la distribución de probabilidad es uniforme en todo el espacio muestral, se tiene que: P(E ) = 4 |90 − 60| = 0,2. |200 − 50| Es importante observar que este modelo es impreciso. Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 30 / 33 Probabilidad Ejemplos Ejemplo 8 Se tiene un tablero circular de radio 1. Halle la probabilidad de que al lanzar una flecha esta caiga alrededor del centro en un radio de 0,1. Suponga que el tirador no busca dar a ningún lugar especı́fico. Solución Espacio muestral: n o p Ω = (x, y ) ∈ R2 : x 2 + y 2 < 1 . Evento: n o p A = (x, y ) ∈ Ω : x 2 + y 2 < 0,1 . De la hipótesis, se puede considerar que la distribución de probabilidad es uniforme, luego P(A) = Munguia y Zamudio (FC-UNI) π 0,12 = 0,01. π 12 Tercera sesión Junio 09 31 / 33 Probabilidad Ejemplos Anexos 1 https://tereom.github.io/est-computacional-2018/ probabilidad-definicion-matematica.html Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 32 / 33 Probabilidad Ejemplos FIN Munguia y Zamudio (FC-UNI) Tercera sesión Junio 09 33 / 33