APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN LA ADMINISTRACIÓN LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes optimizan problemas aplicados a los negocios buscando maximizar o minimizar determinados resultados con el conocimiento del cálculo diferencial. RAZÓN DE CAMBIO Dentro de los problemas de máximos y mínimos que se presentan en la práctica están aquellos en los que se trata de optimizar una función, o sea buscar cómo maximizar o minimizar determinado resultados o variables por ejemplo encontrar cómo hacer algo que cueste lo menos posible, o que tenga el mayor volumen posible, entre otras posibilidades. A este tipo de situaciones se les denomina problemas de optimización o simplemente problemas sobre valores extremos. RAZÓN DE CAMBIO Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos Pasos para abordar problemas de optimización (maximizar o minimizar). 1. Analizar el problema y ver cúal es el objetivo: minimizar o maximizar. 2. Dibujar diagramas si fuera posible. 3. Determinar las variables que intervienen en el problema. 4. Determine la función objetivo 𝑓 la cual debe estar en función de una variable. 5. Definir el dominio de la función 𝑓. 6. Si 𝐷𝑓 = [a; b] y 𝑓 es continua en [𝑎; 𝑏] entonces aplicar la teoría de valores extremos en intérvalos cerrados, caso contrario, emplear el criterio de la primera o segunda derivada. Ejemplo Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $6 cada uno. El costo de producir 𝑥 artículos a la semana (en dólares) es : 𝐶(𝑥) = 1000 + 6𝑥 − 0.003𝑥 2 + 10−6 𝑥 3 ¿Qué valor de 𝑥 debemos seleccionar con objeto de maximizar las utilidades? Solución: El ingreso producido por la venta de x artículos a $6 cada uno es R(x) = 6x La utilidad es 𝑷 𝒙 = 𝑹 𝒙 − 𝑪 𝒙 𝑷 𝒙 = −𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎−𝟔 𝒙𝟑 𝑷 ′ 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝒙 − 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒙𝟐 H𝐚𝐜𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝑷 ′ 𝒙 = 𝟎 encontramos los puntos críticos 𝒙 = 𝐨 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐜𝐫𝐢𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐚 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝑷 ′′ 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔 − 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒙 De modo que 𝑷 ′′ 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔 > 𝟎 y 𝑷 ′′ 𝟐𝟎𝟎𝟎 = -𝟎. 𝟎𝟎𝟔 < 𝟎 Así que 𝒙 = 𝟎 es un mínimo local de P(x), mientras que 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 es un máximo local Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima. La utilidad está dada por 𝑷 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 Es decir $ 3000 por semana. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Una compañía de transportes aéreo ha comprobado que el número de viajeros depende del precio del pasaje, según la función: 𝑛 𝑝 = 3000 − 6𝑝. Donde 𝑛(𝑝) es el número de viajeros y 𝑝 es el precio del pasaje. Calcular a) La función que expresa los ingresos diarios de esta empresa en funcion del pasaje. 𝑰 𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟔𝒑 𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒑 − 𝟔𝒑𝟐 b) El precio del pasaje que hace máximos los ingresos. 𝑰′(𝒑) = 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝒑 = 𝟎 donde 𝒑 = 𝟐𝟓𝟎 es el candidato Aplicando el criterio de la segunda derivada: 𝑰′′(𝒑) = −𝟏𝟐 ′′ 𝑰 𝟐𝟓𝟎 = −𝟏𝟐 < 𝟎 Así 𝒑 = 𝟐𝟓𝟎 es el precio del pasaje que hace máximos los ingresos. c) ¿A cuánto ascenderá? 𝑰 𝟐𝟓𝟎 = 375000 serán los máximos ingresos. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 3. La relación de demanda de cierto artículo es: 𝒒 + 𝒑 = 𝟏𝟐 mientras que el costo está dado por: 𝑪 𝒒 = 𝟓𝒒𝟑 − 𝟏𝟐𝒒𝟐 − 𝟑𝟔𝒒. Determine: a) El número de unidades 𝒒 que maximizan la utilidad. Tenemos que 𝒑 = 𝟏𝟐 − 𝒒 𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 − 𝟐𝟒𝒒 + 𝒒𝟐 Utilidad: 𝑼 𝒒 = 𝑰 𝒒 − 𝑪 𝒒 = 𝑼 𝒒 = 𝟏𝟖𝟎𝒒 − 𝟏𝟐𝒒𝟐 − 𝟒𝒒𝟑 Puntos críticos: U 𝒒 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟐𝟒𝒒 − 𝟏𝟐𝒒𝟐 = −𝟏𝟐 𝒒 − 𝟑 𝒒 + 𝟓 = 𝟎 Así 𝒒 = 𝟑; 𝒒 = −𝟓 (𝑞 > 0): Criterio de la segunda derivada: 𝑼′′ 𝒒 = −𝟐𝟒 − 𝟐𝟒𝒒 𝑼′′ 𝟑 < 𝟎 El número de unidades que maximizan la utilidad será 𝑞=3 b) El precio 𝒑 y el ingreso correspondiente a la utilidad máxima. 𝒑 = 𝟏𝟐 − 𝟑 𝟐 =81 𝑼 𝟑 =324 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 5. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 𝒑 = 𝒒 es el número de unidades y 𝒑 el precio por unidad. 𝟖𝟎−𝒒 , 𝟒 𝟎 ≤ 𝒒 ≤ 𝟖𝟎, donde a) Para que valor de q se tendrá un ingreso máximo La función ingreso está definida por 𝑰 𝒒 = 𝒑𝒒 𝟖𝟎 − 𝒒 𝑰 𝒒 = 𝒒 𝟒 𝑰 𝒒 = 𝟐𝟎𝒒 − 𝒒𝟐 𝟒 Puntos críticos: 𝒒 𝑰′ 𝒒 = 𝟐𝟎 − = 𝟎 𝟐 𝒒 = 𝟒𝟎 Criterio de la segunda derivada: 𝟏 𝑰′′ 𝒒 = − 𝟐 𝑰′′ 𝟒𝟎 < 𝟎 El número de unidades que maximizan el ingreso es 𝑞 = 40 b) ¿Cuál es el ingreso máximo? 𝑰 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎𝟎 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 7- Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es 𝒑 = 𝟒𝟐 − 𝟒𝒒 y la función de 𝟖𝟎 costo promedio es 𝑪 = 𝟐 + . Encuentre el precio que maximiza la utilidad 𝒒 Solución: Criterio de la segunda derivada: Tenemos que 𝑪 𝒒 = 𝑪 𝒒 . 𝒒= 𝟐𝒒 + 𝟖𝟎 𝑼′′ 𝒒 = −𝟖 < 𝟎 Utilidad: 𝑼 𝒒 = 𝑰 𝒒 − 𝑪 𝒒 = 𝑼 𝒒 = 𝟒𝟐 − 𝟒𝒒 𝒒 − 𝟐𝒒 + 𝟖𝟎 𝑼 𝒒 = 𝟒𝟎𝒒 − 𝟒𝒒𝟐 − 𝟖𝟎 𝑼′′ 𝟓 < 𝟎 El número de unidades que maximizan la utilidad será 𝒒 = 𝟑 Puntos críticos: U’ 𝒒 = 𝟒𝟎 − 𝟖𝒒 = 𝟎 El precio 𝒑 que maximiza la utilidad: 𝒑 = 𝟐𝟐 Así, 𝒒 = 𝟓 FINALMENTE IMPORTANTE Determinar la razón de cambio promedio e instantáneo Datos/Observaciones PARA TI Gracias por tu participación Hemos visto la importancia de la razón de cambio promedio e instantáneo Ésta sesión quedará grabada 1. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión. 2. Consulta en el FORO tus dudas. LISTO PARA MI EJERCICIO RETO EJERCICIO RETO En una empresa los ingresos brutos y los costos producidos en la venta de un producto vienen dados por las siguientes expresiones: Número de unidades: 𝒙; Ingreso brutos: 𝑰 𝒙 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙; Costos: 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝟎𝒙 + 𝟓𝟎𝟎𝟎 a) ¿Qué número de unidades habría que vender para obtener un beneficio máximo, teniendo en cuenta que 𝐛𝐞𝐧𝐞𝐜𝐢𝐨 = 𝐢𝐧𝐠𝐫𝐞𝐬𝐨𝐬 𝐛𝐫𝐮𝐭𝐨𝐬 − 𝐜𝐨𝐬𝐭𝐨𝐬? b) ¿ Cuál sería el benefecio? Máximos y mínimos en la administración Datos/Observaciones