Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenci

Instituto Tecnológico de Costa Rica
Ecuaciones Diferenciales
MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor
Escuela de Matemática
II Semestre de 2012
Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1. Problemas de enfriamiento
La razón de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la
diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente.
Sea:
T:
temperatura del cuerpo
Tm: temperatura del medio ambiente
dT
: razón de cambio de la temperatura del cuerpo
dt
Entonces se tiene que:
dT
 k (T - Tm )
dt
donde k es una constante de proporcionalidad positiva.
2. Problema de crecimiento y decrecimiento
Si N(t) denota la cantidad de sustancia (o población) presente en un tiempo t determinado y si
la razón de cambio de esta sustancia con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad de
sustancia presente, entonces se tiene que:
dN
 kN(t )
dt
donde:
dN(t )
: denota la razón de cambio de la sustancia
dt
k: denota la constante de proporcionalidad
3. Caída de cuerpos con resistencia del aire
Consideremos un cuerpo de masa m que cae verticalmente. En esta caída influye la gravedad
y existe una resistencia del aire (la cual en muchos problemas se asume que es proporcional a
la velocidad del cuerpo). En este tipo de problemas, también se asume que tanto la gravedad
como la masa permanecen constantes. Además por conveniencia se asume que la dirección
hacia abajo es positiva.
Segunda ley de Newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón de
cambio en el tiempo del momentum, o para una masa constante:
dv
(1)
Fm
dt
1
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donde:
F: es la fuerza neta que se ejerce sobre el cuerpo
v: es la velocidad del cuerpo.
Para la situación considerada existen dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
a. La fuerza g de impulso, debida a la gravedad, la cual viene dada por el peso w del cuerpo,
y por lo tanto viene descrita por mg, o sea que w = mg.
b. La fuerza de resistencia debido al aire, dada por –kv, donde k  0, es la constante de
proporcionalidad
Como la fuerza neta F se descompone como: F = Fimpulso + Fresistencia se tiene que:
F = mg – kv
(2)
De acuerdo a (1) y (2) se tiene que:
dv
= mg – kv
m
dt
(3)
La cual simplificada conduce a:
dv k
 vg
dt m
(Ecuación del movimiento)
Cuando no se conoce la masa del cuerpo, sino más bien su peso, entonces (3) se puede
expresar así:
w dv
(4)
 w - kv
g dt
Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k = 0, y la ecuación del
movimiento se reduce a:
dv
g
dt
Notas:
a. En las ecuaciones anteriores se supone que el sistema de medidas es el CGS (centímetros,
gramos, y segundos) aunque los resultados son válidos para el sistema PLS (pie, libra y
segundos) y para el sistema MKS( metro, kilogramo, segundo).
b. En el sistema CGS, la gravedad viene dada por g = 980cm/seg2.
En el sistema PLS, la gravedad viene dada por g = 32pies/seg2.
En el sistema MKS, la gravedad viene dada por g = 9,8 mts/seg2.
2
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4. Problemas de soluciones químicas
Considérese un tanque, el cual inicialmente contiene V0 galones de solución salina y a libras
netas de sal. Otra solución salina que contiene b libras de sal por galón, se vierte en el tanque
a razón de e galones por minuto, mientras que simultáneamente, la solución mezclada sale a
una razón de f galones por minuto.
Problema: Encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante.
Sea:
Q: cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
dQ
: razón de cambio de Q con respecto al tiempo.
dt
V0 + et - ft: volumen de la solución salina en cualquier tiempo t.
fQ
: razón de cambio a la cual sale la sal al tanque (cantidad de sal que sale
V0  et  ft
por minuto).
be: razón de cambio a la cual entra la sal en el tanque (cantidad de sal que entra al
tanque por minuto).
Por lo que:
dQ
fQ
con la condición Q(0) = a
 be dt
V0  et  ft
O sea:
dQ
fQ

 be , con la condición Q(0) = a
dt V0  et  ft
5. Circuitos eléctricos
I. Términos Generales:
a. Tensión
Es la expresión más utilizada para designar la presión eléctrica existente entre dos
puntos y que es capaz de provocar la circulación de una corriente al cerrar el
mecanismo de conexión entre ambos.
Las expresiones fuerza electromotriz, potencial, diferencia de potencial y caída de
voltaje se usan como sinónimos de tensión.
Actúa como una fuente de energía, tal como una batería.
3
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b. Inductancia.
Propiedad de un circuito o elemento de éste que se opone a la variación de la
corriente. La inductancia determina, por tanto, variaciones de corriente retrasadas
respecto a las variaciones de tensión.
c. Inductor
Un determinado número de vueltas de alambre enrollados en forma de espiral, el cual
es utilizado para aportar inductancia a un circuito eléctrico y para producir flujo
magnético, o para reaccionar mecánicamente ante una variación del flujo magnético.
d. Corriente.
Circulación de electricidad de un punto a otro. La corriente consiste por lo general de
un desplazamiento de electrones.
La corriente eléctrica en un hilo (mediante electrones) va desde el polo negativo al
positivo, aunque en algunos contextos se usa una dirección “convencional”.
e. Carga eléctrica
Cantidad de electricidad que circula en una corriente eléctrica. Cantidad de energía
eléctrica almacenada en un condensador.
Las cargas eléctricas pueden ser positivas o negativas.
f. Resistencia
Propiedad de los circuitos o componentes de éste, que transforman la energía eléctrica
en energía calorífica (como una bombilla, tostador, etc).
g. Capacitancia
Propiedad de un condensador que determina cuánta carga es capaz de almacenar, para
una tensión determinada entre sus terminales.
II. Símbolos y Unidades
Término
Voltaje, fem, tensión
Resistencia
Inductancia
Capacitancia
Corriente
Carga
Símbolo
EoV
R
L
C
I
Q
Unidad
Voltio
Ohmio
Henrio
Faraday
Amperio
Coulomb
La unidad de corriente el amperio, corresponde a una carga de un coulomb que
pasa por un punto dado del circuito por segundo.
III. Planteo del problema
4
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La corriente es la razón de cambio de la carga con respecto al tiempo, esto es:
I
dQ
dt
Ley de Kirchhoff
La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero.
Otra manera de enunciar esta ley, es que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de
las caídas de voltaje.
Caso 1: Circuito RL (resistencia-inductor)
Considérese un circuito eléctrico que consiste de una fuente de voltaje E (batería o
generador), una resistencia R, un inductor L (bobina) como se indica en siguiente figura:
Donde se conviene que la corriente fluye del lado positivo (+) de la batería o generador a
través del circuito hacia el lado negativo (-). Bajo las condiciones anteriores, se tiene según la
Ley de Kirchhoff que:
L
dI
 RI  E
dt
con I la corriente que fluye a través de la resistencia, y además:
L
dI
: denota la caída del voltaje a través del inductor
dt
RI: denota la caída del voltaje a través de la resistencia.
Caso 2: Circuito RC (resistencia-condensador)
Suponga que se tiene un circuito eléctrico que consiste de una batería o generador de E
voltios en serie, con una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios, tal y como
se muestra en la siguiente figura:
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Bajo las condiciones anteriores se cumple que:
dQ Q
R
 E
dt C
donde Q es la carga eléctrica en el condensador en el instante t, y además:
R
dQ
: denota la caída del voltaje a través de la resistencia.
dt
Q
: denota la caída del voltaje a través dl condensador.
C
PROBLEMAS RESUELTOS
1. La fuerza de resistencia del agua sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea, y
es tal que a 20 pies/seg. la resistencia del agua es de 40 lb.
El bote pesa 320 libras y el único pasajero 160 libras y el motor puede ejercer una fuerza
estable de 50 libras en la dirección del movimiento. Si se asume que el bote parte del reposo,
encuentre la distancia x(t) y velocidad v(t) del bote en cualquier tiempo t.
Solución:
Ecuación a utilizar:
w dv
 Fimpulso  kv . Sistema de medidas: PLS
g dt
Condiciones iniciales:
v(0) = 0 ; x(0) = 0
i.Cálculo de la constante de proporcionalidad k.
Como FR = kv, entonces 40 = k20, o sea que k = 2
ii. Fuerza de impulso: FR = 50
iii. Problema a resolver:
480 dv
 50  2v , con v(0) = x(0) = 0
32 dt
480 dv
 50  2v
32 dt
dv
 15  50  2v
dt
6
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15dv
 dt
50  2v
 15

ln 50  2v  t  c1
2
 2t 2
 ln 50  2v 
 c1
15 15
 50  2v  e 2t 15  e 2c1 15
 50  2v  ce 2t 15
c
 v(t )  25  e 2t 15 , v(0) = 0
2
c
 0 = 25  , por lo que c = 50, o sea que v(t )  25  25e2t 15
2

Como v(t) = x’(t) , entonces integrando v(t) se tiene que x(t )  25t 
Usando el hecho de que x(0) = 0 se tiene que c2 =
De donde x(t )  25t 
 375
2
375  2t 15
e
 c2
2
375  2t 15 375
e

2
2
2. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de solución salina
y 0.2 libras de sal por galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón se
agrega en el tanque a una razón de 2 galones por minuto, mientras que la solución bien
mezclada sale a una razón de 3 galones por minuto. Determine:
a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.
b. La cantidad de sal presente cuando el tanque contenga la mitad de la solución original,
y la concentración de sal en ese instante.
Solución:
dQ
fQ
Ecuación a utilizar:

 be , con la condición : Q(0) = a.
dt V0  et  ft
Para este caso V0 = 50, a = 10, b = 1, e = 2, f = 3
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, obtenemos:
(*)
dQ
3Q

 2 , con la condición Q(0) = 10
dt 50  t
La cual es una ecuación diferencial lineal con factor integrante:
 3dt

u(t) = e 50t  e
 3 ln 50 t
3
 eln(50t )  (50  t )3
Multiplicando la ecuación (*) por el factor integrante u(t) se tiene que:
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dQ
(50  t ) 3  3(50  t )  4 Q  2(50  t ) 3
dt


'
 Q(t )  (50  t )3  2(50  t )3
 Q(t )(50  t )3  2 (50  t )3 dt
 (50  t )2
c
2
 Q(t )(50  t )3  (50  t )2  c
 Q(t )  50  t  c(50  t )3 ,
 Q(t )(50  t ) 3  2
Como Q(0) = 10 , entonces Q(0) = 50 + c(50)3 = 10, de donde c 
 40
 0.00032
(50)3
Así: Q(t )  50  t  0.00032(50  t )3
Para determinar la cantidad de sal en el tanque para cuando este contenga la mitad de la
solución original determinemos el tiempo t, para el cual 50 – t = 25, esto se logra cuando t =
25.
Por lo que Q(25) = (50 – 25) –0.00032(25)3 = 25 – 5 = 20
La concentración cuando t = 25 se obtiene calculando el cociente
Q(25) 20

 0.8
50  25 25
3. Un tanque con capacidad para 70 galones contiene inicialmente 50 galones de solución salina
y 0.2 libras de sal por galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón se
agrega en el tanque a una razón de 3 galones por minuto, mientras que la solución bien
mezclada sale a una razón de 2 galones por minuto. Determine:
a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.
b. La cantidad de sal presente cuando el tanque este lleno, y la concentración de sal en
ese instante.
2000
Respuestas: a. Q(t )  2(50  t ) 
(50  t ) 2
b. El tanque se llena cuando t = 20. ¿Porqué? y la concentración en
Q(20)
ese instante se obtiene calculando el cociente
. Justifique
70
4. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta a una altura de 1000 pies, sin velocidad inicial.
El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad instantánea. Si la
velocidad límite vl es de 320 pies/seg. , determine:
a. La velocidad v(t) y posición x(t) del cuerpo en cualquier tiempo t
mg
Nota: vl 
k
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Solución:
Para resolver este problema utilizaremos la ecuación: m
dv
 w  kv
dt
(*)
La información dada es m = 10, g = 32, vl = 320.
Como w = mg entonces w = (10)(32) = 320
mg
320
Además de vl 
se tiene que 320 
, de donde k = 1
k
k
Realizando las correspondientes sustituciones en (*) se obtiene:
dv
10  (10)(32)  v
dt
dv
10  (10)(32)  v
dt
dv 1

 v  32 , ecuación lineal, con factor integrante u(t )  et 10
dt 10
dv t 10 1 t 10

e  e v  32et 10
dt
10


'
 vet 10  32et 10
 vet 10  320et 10  c
 v(t )  320  ce t 10 , como v(0) = 0, se tiene que c = -320
De donde v(t )  320  320et 10
Integrando v(t) se tiene que:
x(t )  320t  3200et 10  c , usando que x(0) = 0
x(0) = 0 + 3200 + c = 0, por lo que c = -3200
Por consiguiente x(t )  320t  3200et 10  3200 .
5. La velocidad de desintegración del radio (elemento químico) es proporcional a la cantidad
presente. Si el radio tiene una vida media de 2000 años. ¿Qué tiempo tomará para que su
masa inicial se reduzca en un 30%?
Solución:
N(t): denota la cantidad de radio presente en el tiempo t.
N0 : masa inicial del radio
Condición inicial N(0) = N0
1
Información: N(2000) = N 0
2
dN
Ecuación diferencial:
 kN
dt
Solución general de la ecuación diferencial: N (t )  ce kt o N (t )  N0ekt
Calculemos el valor de k:
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Como N (2000) 
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1
N 0 entonces
2
1
N 0  N 0e2000k
2
1
 ln( 2)
  e 2000k , de donde ln(1 2)  k (2000) , o sea k 
2
2000
Por lo que N (t )  N0et ln 2 2000
Se debe determinar t, tal que N (t )  N0  0.3N0  0.7 N0
0.7 N0  N0et ln 2 2000
 0.7  et ln 2 2000
 ln 2
 ln(0.7) 
t
2000
(2000)ln(0.7)
t
 1029
 ln2
6. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad
presente. Si después de una hora se observa que el 10% del material se ha desintegrado, hallar
la vida media del material.
Respuestas: N (t )  N0e0.105t ; Vida Media: 6.6 hrs.
1
de libra de sal por
8
galón. Para t = 0, otra solución salina que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el
tanque a una razón de 4 gal/min. Mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a
una razón de 8 gal/min. Determine:
a. La cantidad de sal en cualquier tiempo t.
b. La cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 gal. de solución
salina
7
Respuestas: a. Q(t ) 
(20  t )2  4(20  t )
40
b. Primero verificar que el tanque contiene 40 galones de solución
salina en t = 10 y que en este tiempo el tanque contiene 22.5 libras
7. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con
8. Un cuerpo cuya temperatura inicial se desconoce es colocado 10:00 am en un refrigerador el
cual tiene una temperatura constante de 00. Si a las 10:10 am la temperatura del cuerpo es de
300F y a las 10:25 am la temperatura del cuerpo es de 200F. Determine la temperatura inicial
del cuerpo.
Solución:
Para simplificar el trabajo con las horas, digamos que las 10:00 am dentro del problema
corresponde a t = 0, las 10:10 a t = 10 y las 10:25 a t = 25.
T(t): corresponde a la temperatura del cuerpo en el tiempo t.
10
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Tm : temperatura del refrigerador.
dT
 k (T  Tm )
dt
Solución general: T (t )  ce  kt  Tm
Información:
Tm = 0; T(10) = 30; T(25) = 20
Ecuación diferencial:
Como Tm = 0, se obtiene que T (t )  ce  kt
Además:
T (10)  ce 10k  30 , por lo que ce 10k  30 (*)
T (25)  ce 25k  20 , por lo que ce 25k  20 (**)
30
De (*) se tiene que c  10k  30e10k y sustituyendo este valor de c en (**) obtenemos:
e
25k
10k 25k
ce
 25  30e e
 20
20
2
 e 15k 
=
30 3
ln2 3
  15k  ln(2 3) , o sea que k 
 0.027031
 15
Como c  30e10k entonces c  30e10(0.027031)  39.31112
Así T (t)  39.31112e0.027031t
De donde T(0) = 39.31112 (temperatura inicial).
9. Se sabe que la población de un estado crece a una razón proporcional al número de habitantes
que viven actualmente en el estado. Si después de 10 años la población se ha triplicado y
después de 20 años la población es de 150 000 habitantes, hallar el número de habitantes que
había inicialmente en el estado.
Respuesta: N (t )  16.620e0.11t , N0 = 16.620
10. Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 libras. En el instante en que el paracaídas se abre,
él está viajando verticalmente hacia abajo a 40 pies/seg. Si la resistencia del aire varía
directamente proporcional a la velocidad instantánea y la resistencia del aire es de 80 libras
cuando la velocidad es de 20 pies/seg. Encuentre la distancia recorrida y la velocidad de caída
del paracaidista en el tiempo t.
Solución:
Ecuación:  F  m  a ; donde  F  FPROPULSIÓN  FRESISTENCIA
 En este problema nos dan el peso, usemos que W  mg para calcular m
W
200
25
m
m m
g
32
4
 En este caso la fuerza de propulsión la da el peso W del cuerpo, donde W  200
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 Fuerza de resistencia: FR  k  v
Como FR  80 cuando v  20
 80  k  20
k  4
Ecuación diferencial
25 dv

 200  4v , con la condición v(0) = 40, x(0) = 0
4 dt
25 dv

 200  4v
4 dt
dv
 25  800  16v
dt
dv
dt


800  16v 25
1
1

ln 800  16v 
t C
16
25
 16
 ln 800  16v 
t  16C
25
 800  16v  e
16
t
25
800  640  e 16C
 800  16v  e

16
t
25
16
 e 16C , como v(0)  40 se tiene que_
1
 160  e 16C  ln 160  C
16
e
16
1
ln 160
16
t
 800  16v  e 25  160
 50  v  e

16
t
25
 10
Por lo que la velocidad viene dada por
16
t
25
 v(t )  50  10e
Si x(t ) denota la distancia recorrida, entonces tenemos que resolver:
16
t
dx
 50  10e 25
dt
16
t
25
 x(t )  50t  10  e 25  C
16
Como x(0)  0
25
0  0  10 
C
16
 125
C 
8
16
125 25 t 125
Por lo que la distancia recorrida viene dada por: x(t )  50t 
e

8
8
12
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11. Un tanque A contiene 50 galones de una solución en la que se ha disuelto 50 lb. de sal. Agua
pura a razón de 2 gal/min. entra en el A, y se mezcla uniformemente. Esta mezcla pasa a la
misma velocidad del tanque A a un segundo tanque B que contiene inicialmente 50 gal. de
agua pura. La mezcla uniforme resultante sale del tanque B a razón de 2 gal/min.
a. Determine la cantidad de sal en el tanque A en cualquier instante.
b. Determine la cantidad de sal por galón que contiene el tanque A.
c. Determine la cantidad de sal en el tanque B en cualquier instante.
Solución
Sea Q(t ) : la cantidad de sal en el tanque A, en cualquier instante
a. Determinemos la cantidad de sal en el tanque A en cualquier instante.
dQ 2Q

 (0)  (2)
dt 50
dQ Q


0
dt 25
dQ dt


0
Q 25
t
 ln Q 
C
25
 Q(t )  e
t
25
 e C , como Q(0)  50
0
 50  e 25  e C
C  ln 50
 50  e C
t
t
Por lo que Q(t )  e 25  e ln 50  e 25  50
t
Respuesta: La cantidad de sal en el tanque A viene dada por Q(t )  50e 25
b. Determine la cantidad de sal por galón que contiene el tanque A.
Cantidad de sal por galón es igual a la cantidad de sal dividida entre volumen del líquido, es
Q (t )
decir
V0
t
25
C s. p. g
t
50e

 e 25
50
Respuesta: La cantidad de sal por galón en A, en el instante t viene dado por e
c. Determinemos la cantidad de sal por galón que contiene el tanque B.
Sea R(t ) la cantidad de sal presente en el tanque B en cualquier instante
t
dR 2 R

 2e 25
dt 50
13
t
25
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t

dR R


 2e 25
dt 25
t
25
 e R'
t
25
e
R2
25
 t 
  e 25 R  =2


t
 e 25  R  2t  C
t
t
Respuesta: La cantidad de sal presente en el tanque B viene dada por R(t )  2te 25  Ce 25
12. Una pequeña gota de aceite de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el reposo. Para una
velocidad de 40 cm/seg. la fuerza debido a la resistencia del aire es de 160 dinas. Asumiendo
que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad determine la velocidad y la
distancia recorrida como una función del tiempo.
Solución:
dv k
Ecuación
 v  g , v(0) = 0, x(0) = 0
dt m
En este caso: m  0,2 g , g  980 cm
. Además se sabe que FR  160
seg
Como FR  kv
 160  k  40 k  4
Por lo que
dv
4

v  980
dt 0,2
dv

 20v  980
dt
dv

 dt
980  20v
1

ln 980  20v  t  C
20
 ln 980  20v  20t  20C
 980  20v  e 20t  e 20C
Como v(0) = se tiene que 980  e 20C
C 
1
ln 980
20
 980  20v  e 20t  980
 49  v  49e 20t
 v(t )  49 1  e 20t
49
Además: x(t )  49t  e 20t  C , como x(0)  0
20


14
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0  0
49
C
20
C 
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 49
20
Por lo que la distancia viene dada por x(t )  49t 
49 20t 49
e

20
20
13. Un tanque tiene 100 gal de agua salada con 40 lb. de sal disuelta. Agua pura entra a 2
gal/min. y sale con la misma tasa. ¿Cuándo la concentración de sal será 0,2 lb/gal?
Solución
Sea Q el número de libras de sal en el tanque después de t minutos.
dQ
es la razón de cambio de la cantidad de sal con respecto al tiempo.
dt
dQ  tasa de cantidad   tasa de cantidad 


dt  de sal ganada   de sal perdida 
Puesto que entran 2 gal/min conteniendo 0 lb/gal. tenemos que la razón con la sal ganada es 0
Qlb 2 gal Q lb
y la pérdida es de


100 gal min 50 min
dQ Q


dt
50
dQ dt


Q
50
t
  ln Q 
C
50
Qe

t
50
 eC
Como Q(0)  40 entonces 40  eC  ln 40  C
 Concentración 0,2 lb/gal
t
50
Q 40e
2 t

  e 50  0, 2
100 100
5
t
50
 2e  1
t
1
50
e 
2
t
1

 ln
50
2
 t  50  ln
 t  34,657
1
2
15
t
 Q(t )  40e 50
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14. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su velocidad es proporcional al
producto de su posición instantánea x (medida desde x = 0) y el tiempo t (medido desde t =
0). Si la partícula está localizada en x = 54 cuando t = 0 y x = 36 cuando t =1, determine x(t).
Solución
dx
 kxt
dt
dx
 kxt
dt
dx

 tk  dt
x
dx
  kt  dt  C
x
t2
 ln x  k  C
2
Como x(0)  54
 ln 54  C
t2
 ln x  k  ln 54
2
Además x(1)  36
k
 ln 36   C
2
 k  2  ln 54  ln 36   k  2 ln
3
2
3 t2
 ln x  2 ln   ln 54
2 2
3
 ln x  ln  t 2  ln 54
2
15. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su velocidad
instantánea, y es tal que a 20 pies/seg. la resistencia del agua es de 40lb. Si el bote pesa 320 lb
y el único pasajero 160 lb y si el motor puede ejercer una fuerza estable de 50 lb en la
dirección del movimiento. Encuentre la distancia recorrida y la velocidad en cualquier tiempo
si se asume que el bote parte del reposo.
Solución
 Fuerza de resistencia FR  kv . Entonces 40  k  20  k  2

Fuerza de propulsión FP  50

Masa W  m  g  480  m  32
480

m
 m  15
32
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a. Calculemos la velocidad del bote.
dv
15  50  2v
dt
dv 2
10

 v
dt 15
3
15dv

 dt
50  2v
15

ln 50  2v  t  C
2
2t 2
 ln 50  2v 
 C
15 15
 50  2v  e
2 t
15
e
2
C
15
Como v(0)  0 entonces
15
C
ln 50
2
Entonces
2t
50  2v  e 15  50
2t
 25  v  e 15  25
2 t


 v(t )  25 1  e 15 


Integrando la velocidad obtenida con respecto a t tenemos que : x(t )  25t 
375 152t
e
2
16. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 1 lb de sal.
Parte t = 0 otra solución salina que contiene 1 lb de sal por galón se agrega al tanque a una
razón de 3 gal/min mientras que otra solución bien mezclada sale del tanque a lamisca razón.
Halle:
a. La cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
b. El tiempo en el cual la mezcla que está en el tanque contiene 2 lb de sal.
Solución:
En este caso V0  100 , a  1, b  1, e  f  3
Por lo que:
dQ
fQ

 be
dt V0  et  ft
dQ
3Q


3
dt 100  3t  3t
dQ
3


Q3
dt 100
17
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dQ
 3  0, 03Q
dt
dQ

 dt
3  0, 03Q
 Q  Ce0,03t  100
Si t  0  a  1 por lo que C  99
Respuesta: Q(t )  99e0,03t  100

b. Q(t )  2 entonces
2  99e0,03t  100
 t  0,338 min
17. En t = 0 una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2 henrios
en serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t=0. Determine la
corriente para cualquier instante.
Solución
En este caso E  20, L  2, R  40
Ecuación
dI
L  RI  E
dt
dI
 2  40 I  20
dt
dI
 2  40 I  20
dt
dI

 10  20 I
dt
dI

 dt
10  20 I
1
 ln 10  20 I  t  C
20
1
 I (t )  Ce20t 
2
Como condición inicial I (0)  0
1
 0  Ce200 
2
1
C 
2
1
 I (t )  1  e20t 
2
18
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18. Una resistencia de 200 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0,01 faradios y una
fem en voltios dada por 40e3t  20e6t . Si Q  0 en t  0 , muestre que la caída máxima en el
condensador es de 0,25 colombios.
Solución:
dQ Q
 E
dt C
R  20, C  0.01, E  40e3t  20e6t
R
dQ
Q

 40e3t  20e 6t
dt 0,01
dQ
20
 100Q  40e3t  20e 6t
dt
dQ
 5Q  2e3t  e 6t
dt
 e5t Q '  2e2t  et
 Qe5t  e2t  et  C
 Q(t )  e3t  e6t  Ce5t
20


Como la condición inicial Q(0)  0
 Q(t )  e3t  e6t
Ahora
Q' (t )  3e3t  6e6t
 3e3t  6e6t  0
 3e3t  1  2e3t  0
 2e3t  1
1
 e  3t 
2
1
 3t  ln
2
1  1 
t 
 ln  
3
2


19. Se sabe que la población de ciertas bacterias aumenta a una razón proporcional al número de
bacterias presentes en el tiempo t. Para t = 0 la población inicial es N 0 . Si después de 2 años
la población se ha duplicado y después de tres años la población es de 20 000 bacterias,
determine al población inicial N 0 .
Solución
19
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Sea N población presente en el tiempo t
dN
 kN
dt
 N  Cekt

t 0
 N0  C

t2
 N  2 N0
 N  N0ekt
 2 N 0  N 0e 2 k
 2  e2 k
 ln 2  2k
1
 k  ln 2 .
2
 t 3
 N  20000
 1 ln 2 
 20000  N0e 2  3
  1 ln 2 
20000e 2
 N0 
3
 N0  70,71
20. Un circuito tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de 1
henrio y no tiene corriente inicial. Halle la corriente en el circuito para cualquier tiempo t.
Solución:
E  5,
R  50 ,
L  1,
dI
 50 I  5
dt
 I (t )  Ce 50t 
1
10
Como la condición I (0)  0
0C
1
10
1
10
 1 50t 1
 I (t ) 
e 
10
10
C 
21. Un tanque que contiene 100 litros de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos en
agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 lit/seg y la mezcla se extrae a la
20
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misma razón. ¿Cuánto tiempo transcurre antes que queden solamente 10 kg de sal en el
tanque?
Solución:
Q : cantidad de sal en el tiempo t
e : razón a la cual entra el líquido
f : razón a la cual sale el líquido
a : la cantidad de sal en el tanque si t=0
b : la cantidad de sal por litro que hay en el líquido que entra.
En este caso
e f 5
a  100
b0
Por lo que la ecuación diferencial viene dada por:
dQ 5Q

0
dt 100
dQ Q


0
dt 20
t
(t )  e 20
t
t
dQ Q 20

e  0
dt 20

 20t 
  Qe   0


 e 20 
 Qe
t
20
C
t
 Q(t )  Ce 20
Como la condición inicial es Q(0)  100
t
 Q(t )  100e 20
Ahora sabemos que Q(t )  10
t
 10  100e 20
t
1
20

e
10
21
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1
t

10 20
1
 20 ln
t
10
 ln
22. Un tanque contiene inicialmente 10 gal de agua pura. Para t=0 una solución salina que
1
contiene
libra de sal por galón. Se agrega en el tanque a una razón de 2 gal/min mientras
2
que una solución bien mezclada sale del tanque a la misma razón. Hallar
a. La cantidad de sal en el tiempo t
b. La concentración de sal en tanque en cualquier tiempo t
Solución:
V0  10 , a  0 ,
b
1
,
2
e  2,
f 2
dQ
2Q

1
dt 10  2t  2t
dQ Q

 1
dt 5
1t 
1t
 Qe 5  e 5
 
1t
1t
 Qe 5  5e 5  C
1t
 Q(t )  5  Ce 5
Como Q(0)  0 entonces C  5
1t
 Q(t )  5  5e 5
Se sabe que V  V0  et  ft por lo que V  10

Q(t ) 1 1 15 t
  e
V
2 2
23. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina, 8 libras de sal por galón. Para
t = 0, otra solución salina que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanque a una
razón de 4 gal/min mientras que la solución bien mezclada sale a una razón de 8 gal/min.
Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 gal de solución.
Solución:
22
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Tenemos que V0  80 , a  10 , b  1 , e  4 y f  8 .
dQ
8Q

4
dt 80  4t  8t
dQ
8Q


4
dt 80  4t
dQ
8Q


4
dt 80  4t
2 dt
1
 (t )  e  20t 
(20  t )2
Q
2Q
4



2
3
(20  t ) (20  t )
(20  t ) 2
 Q 

 4  (20  t )2
2
 (20  t ) 
Q

 4  (20  t )1  C
(20  t )2
 Q(t )  4  (20  t )  C(20  t ) 2
Como Q(0)  10
 10  80  400C
7
C 
40
7
(20  t ) 2
40
 40  80  4t
Por lo que Q(t )  4(20  t ) 
40  80  8t  4t
t  10
7
7
2
Q(10)  4  20  10    20  10   40  100   40
40
40
1
de libra
5
de sal por galón. Para t=0 se vierte agua pura en el tanque a una razón de 5 gal/min mientras
que sale del tanque una solución bien mezclada a la misma razón. Halle la cantidad de sal en
el tanque en el tiempo t.
24. Una tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene
Solución:
V0  100 ,
a  20 ,
b  0,
e5
dQ
5Q

0
dt 100  5t  5t
23
y
f 5
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dQ Q

0
dt 20
1 t 
 Qe 20  0



1 t
 Q(t )  Ce 20
Como Q(0)  20
 C  20 .
1 t
Q(t )  20e 20
25. Un cuerpo a una temperatura de 50°F se coloca al aire libre donde la temperatura es de
100°F. Si después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 60°F , encontrar
a) ¿Cuánto tiempo le tomará al cuerpo llegar a 75°F?
b) La temperatura del cuerpo después de 20 minutos
Solución:
T la temperatura del cuerpo
Sea:
Tm la temperatura del medio ambiente
dT
 kT  kTm
dt
dT
 kT  100k
dt
Condiciones:
t  0, T  50 (condición inicial)
t  5, T  60
T (t )  50e kt  100
a) T  75  t  15, 4 .
b) t  20  T  79,5F
26. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una
temperatura constante de 30°F. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0°F y
después de 20 minutos es de 15°F. Hallar la temperatura inicial del cuerpo.
Solución:
dT
 kT  30k
dt
 T  Ce kt  3
24
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 k  0, 069
 Ce10 k  30 

20 k
t  20, T  15  Ce
 15
 C  60
t  0,
t 0
T 0
 T  30F
27. Un condensador de 5 103 faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fem
de 50 voltios. El interruptor se cierra en t=0. Asumiendo que la carga en el condensador es
cero en t=0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
Solución:
En este caso E  50 ,
R  25 ,
C  5 103
Ecuación
dQ Q
 E
dt C
dQ
Q
25

E
dt 5 103
dQ
 25
 200Q  50
dt
dQ

 8Q  2
dt
dQ

 2  8Q
dt
dQ

 dt
8Q  2
1
 Q(t )  Ce8t 
4
Como Q(0)  0 entonces
R
0C
1
4
C  
1
4
1
1  e8t 

4
I (t )  Q(t )  2e8t
Q(t ) 
28. Una resistencia de 20 ohmios y un inductor de 5 henrios se conectan en serie en un circuito
eléctrico en el cual hay un flujo de corriente de 20 amperios en el tiempo t = 0. Encuentre la
corriente para t  0
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Solución:
R  20 ,
L  5,
E 0
dI
5  20 I  0
dt
dI

 4 I
dt
1 dI

 dt
4 I
1
  ln I  t  C
4
 ln I  4t  4C
 I  e4C  e4t
 I (t )  C  e4t
Como I (0)  20  C  20
y
I (0)  20
 I (t )  20e4t
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Ejercicios propuestos
1. Supongamos que un termómetro ha marcado 700F dentro de la casa, posteriormente el
termómetro se pone en el exterior de la casa, donde la temperatura del aire es de 100F. Si
3 minutos después se encuentra que el termómetro marca 250F, determine la temperatura
del termómetro fuera de la casa para cualquier tiempo.
2. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su velocidad
instantánea, y es tal que a 20 pies/seg la resistencia del agua es de 40 libras. El bote pesa
320 libras y el único pasajero pesa 160 libras. El motor puede ejercer una fuerza estable
de 50 libras en la dirección del movimiento. Encuentre la velocidad del bote en cualquier
instante, si se supones que éste parte del reposo.
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pies/seg. En el momento t = 0 que
3
se suelta la cuerda del remolque, un hombre que está en la lancha comienza a remar
siguiendo la dirección del movimiento y ejerciendo una fuerza estable de 20 libras. Si el
peso conjunto del hombre y la lancha es de 480 libras y la resistencia del agua es igual
1,75v, donde v está en pies/seg. Determine la velocidad de la lancha después de ½ minuto.
3. Se está remolcando una lancha a una velocidad de
4. Una masa es arrastrada por el hielo sobre un trineo, incluido el trineo el peso total es de
80 libras. Suponiendo que el trineo parte del reposo, que la resistencia del hielo es
despreciable y que el aire opone una resistencia es libras igual a 5 veces la velocidad (v
pies/seg), determine:
a. La fuerza constante ejercida por el trineo, si se sabe que la velocidad límite
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(velocidad cuando el tiempo tiende a infinito) es de
pies/seg.
3
b. La velocidad del trineo al cabo de 48 seg.
5. Un cuerpo con un peso de 320 libras se suelta desde una cierta altura, sin velocidad
inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional a su velocidad.
Si la velocidad límite es de 320 pies/seg determine:
a. La velocidad del cuerpo en cualquier instante
b. Tiempo requerido para alcanzar la velocidad de 160pies/seg.
6. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salada con 15
libras de sal por galón entra a 3 gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma razón.
a. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
b. Encuentre la concentración de sal después de 10 minutos.
7. Un tanque contiene 100 galones de una solución que consta de 100 libras de sal disueltas
en la solución. Se bombea solución pura hacia el tanque a una razón de 5 gal/min y la
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mezcla se extrae a la misma razón. ¿Cuánto tiempo transcurre antes de quedar solamente
10 libras de sal en el tanque?.
8. Se disuelven inicialmente 50 libras de sal en un tanque que contiene 300 galones de agua.
Posteriormente se bombea agua con sal a razón de 3 galones por minuto y luego la
solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones por
minuto. Si la concentración de sal en el agua que entra es de 2 lib/gal, determine la
cantidad de sal en cualquier instante. ¿Cuánta sal hay después de 50 minutos?.
1
de libra de sal por
8
galón. Para t = 0, otra solución que contiene 1 libra de sal por galón se agrega en el tanque
a una razón de 4 gal/min mientras que la solución bien mezclada sale a la misma razón.
Hallar la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante.
9. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con
10. Se sabe que un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad
presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 miligramos de material presente y
después de dos años se observa que el 5% de la masa original se ha desintegrado, hallar:
a. Una expresión para la masa presente en cualquier instante.
b. El tiempo necesario para que se haya desintegrado el 10% de la masa original.
11. Se sabe que la población de una cierta especie crece a una razón proporcional al número
de habitantes que viven actualmente. Si después de 10 años la población se ha triplicado y
después de 20 años la población es de 150 000, determine el número de habitantes
iniciales.
12. Una fem de 200 voltios se conecta en serie con una resistencia de 100 ohmios y un
condensador cuya capacitancia es de 5 x 10-6 faradios. Sabiendo que la corriente es de 0.4
amperios cuando t = 0, determine la carga y la corriente, para cualquier tiempo.
13. Una resistencia de 20 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0.01 faradios y
una fem en voltios dada por 40e 3t  20e 6t . Si Q = 0 en t = 0,determine la carga y la
corriente en el tiempo t. Demuestre que la caída máxima en el condensador es de 0.25
coulombs.
14. En t = 0 una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2
henrios en serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t = 0,
determine la corriente para cualquier instante.
15. Un condensador de 5 x 10-3 está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fem de
50 voltios. El interruptor se cierra en t = 0. Asumiendo que la carga en el condensador es
cero en t = 0, determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
16. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 voltios a un circuito RC, en que la resistencia
es de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 x 10-6 faradios. Encuentre la carga Q(t) del
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capacitador si I(0) = 0.4 amperios. Determine la carga y la corriente para t = 0.005
segundos. Halle la carga cuando t  .
17. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es L = 0.1 y la resistencia es de 50 ohmios,
se le aplica una fem de 30 voltios. Determine I(t) si I(0) = 0. Determine I(t) cuando t .
18. Se está remolcando una barca a una velocidad de 12 millas por hora. En el momento t = 0
que se suelta la cuerda del remolque, un hombre, que está en la barca, comienza a remar
siguiendo la dirección del movimiento y ejerciendo una fuerza de 20 libras. Si el peso
conjunto del hombre y la barca es de 480 libras y la fuerza de resistencia (en libras) es
igual a 1.75 veces la velocidad instantánea (la velocidad está en pies/seg.) . Determine la
velocidad de la barca después de 0.5 minutos.
19. Desde una cierta altura se deja caer un objeto cuyo peso es de 96 libras con una velocidad
inicial de 10 pies/seg.
Asumiendo que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad
instantánea y que a una velocidad de 20 pies/seg. la fuerza debida a la resistencia del
aire es de 60 libras, determine la velocidad y la distancia recorrida como función del
tiempo. Determine la velocidad límite.
20. Un depósito contiene 100 galones de agua en las que hay disueltas 40 libras de sal. Se
desea reducir la concentración de sal hasta 0.1 libras por galón introduciendo agua pura en
el depósito a razón de 5 galones por minuto y permitiendo que la mezcla salga a la misma
razón. ¿En cuánto tiempo se logrará el propósito?
21. Un tanque contiene 50 galones de una solución en la que se ha disuelto 50 lib. de sal.
Agua pura a razón de 2gal/min entra en el tanque A, y se mezcla uniformemente. Esta
mezcla pasa a la misma velocidad del tanque A a un segundo tanque B que contiene
inicialmente 50 galones de agua pura. La mezcla uniforme resultante sale del tanque B a
una razón de 2 gal/min.
a.
b.
c.
d.
Determine la cantidad de sal en el tanque A en cualquier tiempo.
Determine la cantidad de sal por galón que contiene el tanque A.
Determínela cantidad de sal en el tanque B, en cualquier tiempo.
Determine la cantidad de sal en el tanque B, al cabo de una hora.
22. El isótopo radiactivo plutonio 241 decae de modo que satisface la ecuación diferencial:
dQ
 0.0525Q(t )
dt
donde Q está en miligramos y t en años.
a. Determine la vida media del plutonio 241.
b. Si se tienen en este momento 50 miligramos de plutonio, ¿Cuánto quedará al cabo de
10 años?.
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23. Un tanque contiene 100 galones de agua y en los cuales se disuelven 10 libras de sal. Una
solución salina que contiene 0.5 libras de sal por galón se bombea al tanque a una rapidez
de 6 galones por minuto y la solución adecuadamente mezclada, se bombea hacia fuera
del tanque a una razón de 4 galones por minuto.
a. Determine la cantidad de sal en el tanque como función del tiempo.
b. ¿Cuál es la cantidad y la concentración de sal que hay en el tanque cuando éste
contiene 200 galones de solución?
24. Determinación de fechas por medio del carbono radiactivo. Una herramienta
importante en la investigación arqueológica es la determinación de fechas por medio del
carbono radiactivo. Este es un medio de determinación de la edad de ciertos árboles y
plantas y, por lo tanto, de huesos de animales y humanos o de artefactos que se
encontraron enterrados en los mismos niveles. El procedimiento fue desarrollado por el
químico americano Willard Libby en los primeros años de la década de 1950 y tuvo como
resultado que ganara el premio Nóbel de química en 1960. Este método se basa en el
hecho de que ciertas maderas o plantas siguen conteniendo cantidades residuales de
carbono 14, un isótopo radiactivo del carbono. Este isótopo se acumula durante la vida de
la planta y empieza a decaer a su muerte. Puesto que la vida media del carbono 14 es larga
(aproximadamente 5600 años), después de muchos miles de años, permanecen cantidades
mensurables de carbono 14. Entonces Libby demostró que, por medio mediciones
aproximadas de laboratorio, si está aún presente aproximadamente 0.002 o más de la
cantidad original de carbono 14, puede determinarse con exactitud la proporción de la
cantidad original que persiste. En otras palabras, si Q(t) es la cantidad de carbono 14 en el
Q (t )
instante t y Q0 es la cantidad original, entonces puede determinarse la razón
al
Q0
menos si esta cantidad no es demasiado pequeña.
dQ
a. Suponiendo que Q satisface la ecuación diferencial
 kQ(t ) verifique que
dt
k = -0.00012378.
b. Si Q(0) = Q0 calcule Q(t)
c. Suponga que se descubren ciertos restos en los que la cantidad residual actual de
carbono 14 es el 20% de la cantidad original, determine la edad de estos restos.
25. Suponga que una gota de lluvia esférica se evapora a una rapidez proporcional a su área
superficial. Si el radio original es de 3mm y una hora después se redujo a 2 mm, verifique
que el radio viene dado por r(t) = 3 – t, donde 0 < t < 3.
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