Segundo examen parcial 14 24 19 3 2 9 15 12 2 5 9 7

1
Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada
MA-2210 Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
31 mayo. II ciclo del 2008. 1pm
Duración 180 minutos
Segundo examen parcial
El examen debe escribirse con bolígrafo, si alguna parte del examen se escribe con lápiz, no se admiten reclamos. Justifique e
interprete sus respuestas.
Pregunta 1 (15 puntos)
x
y
7z
9w
5
x
2y
12 z
15w
9
2x
3y
19 z
24 w
14
Hallar la solución general del sistema de ecuaciones:
Pregunta 2 (20 puntos)
Un tanque contiene 9 galones de agua en los cuales está distribuida uniformemente una libra de sal. A partir del tiempo cero,
se vierte en el tanque una solución a razón constante de 6 galones/minuto y concentración constante de 1/3 de libra de
sal/galón. Simultáneamente sale del tanque la solución a razón constante de 3 galones/minuto. Asumiendo que la mezcla en el
tanque se mantiene homogénea, hallar la función que determina la cantidad de sal en el tanque en cada instante.
Pregunta 3 (15 puntos)
Un objeto de masa
velocidad inicial
m
constante, en el tiempo
v0 . En cada instante t
velocidad (denote con
Para cada instante
t
0,
se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura
y0
y con una
actúa sobre el cuerpo su peso y la resistencia del viento, que es proporcional a la
tal constante de proporcionalidad).
t , sean y t
la posición del objeto medida desde el origen y
y t
vt
su velocidad instantánea.
a)
Escriba una ecuación diferencial lineal y condiciones iniciales que modelen el problema
b)
Demuestre que la velocidad está dada por:
vt
gm
v0
gm
e m
t
Pregunta 4 (25 puntos)
Resolver la ecuación diferencial
y iv
96 x 2
4y
Pregunta 5 (25 puntos)
Considere las ecuaciones diferenciales
yc
Ax
Bx 2
a)
Demuestre que
b)
Hallar una solución particular de
E
H
x3 y
2x2 y
4 xy
4y
0,
x
0
E
x3 y
2x2 y
4 xy
4y
x,
x
0
Cx 2 ln x , A, B, C
constantes arbitrarias, es solución general de
H
2008 primer ciclo
solución 2do parcial
2
2er examen parcial
solución
Pregunta 1
1 1
7
9 5
1 2
12
2 3
19
11
7
9 5
15 9
01
5
6 4
24 14
2 F1 F3 0 1
F1 F2
5
F2 F1 1 0
2
3 1
0 1
5
6 4
F2 F3 0 0 0
6 4
0 0
solución
x
y
1
4
z
w
Pregunta 2
xt
Sea
Volumen:
cantidad de sal en el tanque en el instante
x0
1
V t
9 3t
Ecuación diferencial
cantidad inicial de sal
dx t
dt
dx
dt
dx
dt
6 1
3
3
3
1
x
9 3t
1
3 t
xt
V t
x
2
2
1
dt
Multiplica por el factor integrante e 3 t
3 t
dx
dt
x
d 3 t x
xt
Aplica
x0
1
y obtiene:
2 3 t dt
1
3 t
xt
3 t
23 t
C
3 t 2
en esa solución y obtiene
Con esta la solución es:
e ln 3 t
3 t 2
3 t x
Solución general
t
1
3 t
1
C
1
9 C
3
3 t 2
C
6
6
Pregunta 3
Para cada instante
t , sean y t
a)
Ecuación diferencial
b)
Toma
v
y
:
la posición del objeto medida desde el origen y
my
W
y
mv
W
v
condiciones
y0
y0
y 0
v0
vt
su velocidad instantánea.
2z
5z
3w
6w
2008 primer ciclo
solución 2do parcial
mv
v
v
e m
Multiplica por el factor integrante
W
v
m
t
em v
g
dt
em
t
t
t
e m gdt
t
gm m t
e
em v
gm
vt
gm
v0
La velocidad está dada por
em g
v
e m gdt
em v
v0 :
y obtiene:
t
m
t
y 0
t
t
em
d em v
Aplica
3
Ce m
t
C
gm
vt
C
C
v0
gm
e m
v0
gm
t
Pregunta 4
ED dada
y iv
4y
96 x 2
ED homogénea:
y iv
4y
0
r4
4r 2
Auxiliar
r2 r2
4
0
0
Soluciones
r
0
r
con multiplicidad 2
2i
Solución de ED homogénea
ED no homogénea
Como
y iv
4y
h x
96x 2
yp
ax 2
cada una con multiplicidad 1
yc
A Bx C cos 2 x
96 x 2
supone que tiene solución particular
bx
c x2
ax 4
bx 3
cx 2
Esen 2 x
,
A, B, C , E
parámetros
2008 primer ciclo
solución 2do parcial
yp
4ax 3
3bx 2
2cx
yp
12ax 2
6bx
2c
yp
24ax
y iv
p
24a
Sustituye en la ED
24a
4 12ax 2
48ax 2
24bx
48a
6b
y iv
y
96 x 2
96
a
2
0
b
0
0
c
6
8c
para obtener:
96 x 2
24a 8c
2x4
Solución particular y p
Solución general
96 x 2
4y
6bx 2c
24b
24a
4
A Bx C cos 2 x
6x2
Esen 2 x
2x4
6x2
yp
yc
Pregunta 5
yc
a)
Ax
Bx 2
Cx 2 ln x
tiene tres parámetros y la ED
Ahora calcule las derivadas de
Bx 2
xy
y
0
es de orden tres.
Cx 2 ln x
yc
Ax
yc
A 2 Bx C 2 x ln x
yc
2 B C 2 ln x
yc
2C
x
x
3
Sustituye en
x3 y
2x2 y
2C
x
x3
2Cx 2
4 xy
4y
2 x 2 2 B C 2 ln x
3
4 x 2 B 4Cx 2 ln x 6 x 2C
4 x A 2 Bx C 2 x ln x
4 Ax 8 Bx 2
8Cx 2 ln x
x
4Cx 2
4 Ax
Bx 2
4 Ax
Cx 2 ln x
4 Bx 2
4Cx 2 ln x
0
b)
Supone
Calcula
yp
1
x x
2
x x2
3
x x 2 ln x
es solución particular de
x3 y
2x2 y
4 xy
4y
x
2008 primer ciclo
x x2
W
solución 2do parcial
x 2 ln x
1 2 x 2 x ln x
0 2
2 ln x
x
x 2 x 2 ln x 3
0 x2
x 2 ln x
W2
x
x
2
x
x
x2
dx
x2
ln x 1
x
ln x 1
x
3 x
Solución particular
2 x 2 ln x
1
x2
x 2 x ln x
x
x 2 ln x
3x 2
dx
Partes
dv
1
x2
x
ln x 1
1
ln x 1
1
x2
dx
du
v
1
dx
x
1
x
dx
1
x
ln x 2
x
1
x
ln x x
1
ln x 2 2
x
x
2
x2
2 x 2 ln x
x2
u
dx
yp
2 x 2 ln x
ln x
ln x 1
x
2x
2 x 3 ln x
2x2
2
4 x ln x
x
2
1
1 2x 0
1
0 2
x2
x
x 2 2 ln x 3
x
x 2 2 x ln x
1
x x2 0
1
2
x 2 ln x
1 0 2 x ln x x
1
0
2 ln x 3
x2
W3
6x
1
0 2 x 2 x ln x x
1
2 2 ln x 3
x2
x 0
2 2 x ln x
3
x 4 x ln x
W1
5
1 2
x ln x
x
x ln x
2x
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