Documento elaborado por Luis Guillermo Caro Pineda, docente de Estadística
GIMNASIO NICOLÁS DE FEDERMAN
TERCER BIMESTRE
ESTADÍSTICA
GRADO SÉPTIMO
DOCENTE: LUIS GUILLERMO CARO PINEDA
2021
ESTUDIANTE: ___________________________ FECHA: ________________
“FORMACIÓN EN VALORES PARA UNA CONVIVENCIA PACÍFICA A TRAVÉS
DE COMPETENCIAS Y DESTREZAS”
Presentación
En el presente módulo estudiaremos los conceptos básicos de la teoría de Probabilidades.
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son
diferentes, aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las
mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras veces
resultará sello. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la
incertidumbre. En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable
que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.
Imagen tomada de http://entenderlasmates.blogspot.com/2018/05/aplicaciones-de-la-probabilidad-e n-la.html
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con
situaciones de este tipo. Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la
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recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona
una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias
realizadas.
Imagen tomada de http://entenderlasmates.blogspot.com/2018/05/aplicaciones-de-la-probabilidad-e n-la.html
El objetivo del Cálculo de Probabilidades es el estudio de métodos de análisis del
comportamiento de fenómenos aleatorios.
FORTALEZAS A EVALUAR
NOTA
1. Aplicar el concepto de probabilidades al analizar y
solucionar problemas.
2. identificar e interpretar los diferentes tipos de
muestreo.
3. Aplicar las reglas de probabilidades en la solución
de problemas en varias disciplinas.
Metodología
La metodología que se aplicará para el desarrollo de las actividades propuestas en la guía
de trabajo y las que se propondrán en clase. Los ejemplos y esquemas conceptuales serán,
luego se profundizarán los temas mediante el desarrollo de cuestionarios o talleres, junto
con controles de lectura y evaluaciones escritas parciales sobre cada tema. A
continuación, se presentarán las actividades a realizar por cada una de las fortalezas. En el
transcurso de las clases se darán las fechas en que los estudiantes deberán presentar sus
tareas, actividades, exposiciones, evaluaciones parciales y carpetas; las fechas que se
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establezcan irán apuntadas en la agenda escolar y en el cuadro que se encuentra a
continuación y no serán modificadas, por tanto se exige responsabilidad en todas las
entregas, en caso contrario, automáticamente se obtendrá calificación de 10 (Desempeño
bajo), excepto cuando se tenga justificación médica y excusas de autorizaciones por parte
de la coordinación académica, que deberán ser presentadas al docente de la asignatura el
mismo día que son firmadas por dicha dependencia.
CRONOGRAMA
ACTIVIDAD
SESIONES/FECHAS
VALORACIÓN
FIRMA
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MAPA TEMÁTICO
Imagen tomada de http://blog.educastur.es/baudiliotercera11/category/matematicas/
Conceptualización
MUESTREO Y Conceptos básicos de PROBABILIDADES
MUESTREO1
Los trabajos estadísticos deben cumplir con uno de los siguientes objetivos:
1. Describir cuantitativamente una población estudiando la totalidad de sus
elementos, o
2. Describir cuantitativamente una población a partir de una pequeña parte del total
de sus elementos.
Durante el proceso de investigación se debe procurar alcanzar el primer objetivo. Por
desgracia, esto no siempre es posible, por lo que se opta por estudiar sólo una parte, o
muestra, del universo. Entre los diversos motivos que obligan a esto se encuentran:
1
Bioestadística, Celis de la Rosa, sección 3, página 63.
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El universo de interés es infinito, o finito pero enorme, por lo que es imposible estudiar a
todos sus elementos. Por ejemplo, existe interés en estudiar el peso y la talla de todos los
humanos que viven en la actualidad. El universo de interés es tan grande, disperso y difícil
de localizar que el investigador decide estudiar una muestra.
• Parte de la población no está disponible para el estudio.
Por ejemplo, el interés reside en estudiar el efecto de un medicamento en un grupo de
enfermos, pero algunos elementos de la población están recibiendo otro tratamiento que
modifica la respuesta del que se quiere probar.
• Para estudiar sus características es necesario destruir a los elementos.
Por ejemplo, al médico le interesa conocer la concentración de glucosa en sangre de su
paciente. Dado que estudiar toda la sangre probablemente represente la muerte del
paciente, sólo se toma una parte de ella (no más de 10 ml de sangre) para realizar el
estudio.
• Es imposible identificar todos los elementos del universo de interés.
Por ejemplo, a un epidemiólogo le interesa describir los antecedentes hereditarios de los
enfermos de diabetes mellitus. Dado que no todos estos enfermos están identificados, se
conforma con estudiar una muestra de ellos.
• Existen pocos recursos (económicos, humanos, tecnológicos) para estudiar el universo.
Por ejemplo, durante la investigación surge la necesidad de practicar una tomografía axial
computarizada (TAC) a los elementos del universo de interés. Desgraciadamente, no hay
personal capacitado en cantidad suficiente para realizar el estudio en todo el universo y la
capacitación de ellos excede los límites de la investigación (mucho tiempo y dinero para
ello). Los investigadores deciden practicar la TAC en una parte del universo.
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Muestra
Como muestra se define una parte del universo o población, y 𝒏 representa el total de
elementos en la muestra. Cuando no es posible estudiar el total del universo, se selecciona
una muestra y, a partir de ella, se hacen inferencias sobre la población; éste es el campo
de la estadística inferencial. Pero para que las inferencias sean útiles, la muestra debe ser
un reflejo del universo a partir del cual se obtuvo. Por desgracia,
no hay una manera infalible de obtenerla a pesar de que se han descrito diversos
procedimientos para ello.
En términos generales, existen dos tipos de procedimientos mediante los cuales se
obtiene una muestra:
muestreo probabilístico, y
muestreo no probabilístico.
Sólo para el muestreo probabilístico existen procedimientos estadísticamente seguros
que permiten hacer inferencias, a partir de una muestra, sobre la población.
Muestreo probabilístico
Una muestra probabilística es una muestra extraída de una población, de tal manera que
todo miembro de la población tenga una probabilidad conocida, mayor de 0, de ser
incluido en la muestra.
Se reconocen cuatro tipos de muestreo probabilístico:
1. Aleatorio simple.
2. Aleatorio estratificado.
3. Por racimos o conglomerados.
4. Sistemático.
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Aleatorio simple
Cuando todas las muestras posibles de ese tamaño 𝒏 tienen la misma probabilidad de ser
seleccionadas.
Aleatorio estratificado
Dividir la población en estratos con el fin de obtener representatividad de los distintos
subgrupos que componen la población y hacer comparaciones entre ellos. Una vez que se
ha decidido cuántos elementos de cada estrato se deben seleccionar, sólo resta aplicar los
criterios del muestreo aleatorio simple a cada estrato.
Por racimos o conglomerados
Se pueden identificar ciertos agrupamientos naturales que sí es posible enumerar, y es
factible realizar el muestreo considerando los diferentes subgrupos o conglomerados, sólo
algunos subgrupos se seleccionan aleatoriamente, muestreo en etapas, en el que cada
etapa es en sí un muestreo aleatorio simple.
Sistemático
Se seleccionan los elementos de la muestra determinando de antemano cuántos
elementos se dejarán pasar antes de seleccionar el que se tomará en cuenta para integrar
la muestra.
Muestreo no probabilístico
El muestreo no probabilístico se justifica por la comodidad y la economía, pero tiene el
inconveniente de que los resultados de la muestra no siempre pueden generalizarse para
toda la población.
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Entre los tipos de muestreo no probabilístico se encuentran:
1. Muestreo de casos consecutivos.
2. Muestreo de conveniencia.
3. Muestreo en bola de nieve.
4. Muestreo a criterio.
Muestreo de casos consecutivos
Consiste en estudiar a todos los sujetos accesibles que se puedan identificar durante el
tiempo en que se realiza el estudio.
Muestreo de conveniencia
La muestra se conforma por sujetos que pueden ser fácilmente accesibles en la población
que se desea estudiar
Muestreo en bola de nieve
A los sujetos estudiados se les pide que recomienden a otros sujetos, a los que se buscará
para entrevistarlos.
Muestreo a criterio
La selección de sujetos que, a juicio del investigador, podrán proporcionar mayor
información entre la población estudiada.
ACTIVIDAD EN CASA. Muestreo
I.
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS en EXCEL
Ingrese a la página
https://www.youtube.com/watch?v=dXS-7KBGlg4
observe el video tutorial Muestreo aleatorio simple en Excel.
Diríjase a la base de datos TIENDAS PELICAN.
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Elabore una muestra aleatoria que esté compuesta por 15 clientes de la tienda, siguiendo
las instrucciones del tutorial visto.
II.
SELECCIÓN DE UNA MUESTRA ESTRATIFICADA.
Ingrese a la página
https://www.youtube.com/watch?v=UFzgvklEwRI
0bserve el video tutorial Muestreo aleatorio estratificado - Afijación proporcional en
EXCEL.
Diríjase a la base de datos TIENDAS PELICAN, a la variable EDAD.
Siguiendo las instrucciones del tutorial visto, elabore una muestra aleatoria estratificada,
organizando tres estratos de la siguiente manera:
Estrato 1. Edades entre 20 y 40 años
Estrato 2. Edades entre 41 y 60 años
Estrato 3. Edades entre 60 y 80 años
III.
MAPA CONCEPTUAL en CmapTools
Ingrese a la página
https://cmaptools.uptodown.com/windows/descargar.
Allí puede descargar la herramienta CmapTools, herramienta útil y fácil para elaborar
mapas conceptuales.
Usando CmapTools elabore un mapa conceptual que relacione todos los casos posibles
para seleccionar muestras probabilísticas y no probabilísticas.
IV.
PRUEBA DE EMPAREJAMIENTO2
Las siguientes son etapas que deberían cumplirse para varios tipos de muestreo: aleatorio
simple, aleatorio estratificado, aleatorio por conglomerados, sistemático y de casos
consecutivos. Las etapas no están en orden y han sido mezcladas.
2
Bioestadística, Celis de la Rosa, sección 3, página 70.
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Etapas de muestreo:
A. Los sujetos que integrarán la muestra se seleccionan aleatoriamente
mediante sorteo o tabla de números aleatorios.
B. Sólo es necesaria una aproximación del tamaño del universo en
estudio.
C. El marco muestral se divide en estratos.
D. No se requiere de una lista de todos los sujetos en el universo.
E. Dentro de cada conglomerado se podrán seleccionar todos los
sujetos que formen parte de él o una muestra aleatoria.
F. Los sujetos que integrarán la muestra se seleccionan mediante
sorteo de los conglomerados.
G. A partir de la muestra seleccionada se calculan los estadísticos de
interés.
H. Se requiere un marco muestral o lista de los sujetos en el universo.
I.
Los sujetos se seleccionan de manera consecutiva hasta que se
completa el tamaño de la muestra.
J. Se requiere una lista de conglomerados.
K. Los sujetos que conformarán la muestra se seleccionan
sistemáticamente, dejando pasar un cierto número antes de estudiar el
siguiente.
A partir de la lista anterior, usted deberá seleccionar y ordenar las opciones según
corresponda al tipo de muestreo.
Es posible que una o dos tenga que repetirse en varios tipos de muestreo.
a. Muestreo aleatorio simple.
b. Muestreo aleatorio estratificado.
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c. Muestreo aleatorio por conglomerados.
d. Muestreo sistemático.
e. Muestreo de casos consecutivos.
PROBABILIDADES3
Conceptos básicos
EXPERIMENTO, es todo proceso de observación
EN CIENCIAS, cuando realizamos un experimento, “sabemos lo que va a suceder”,
lo que esperamos del experimento
EN ESTADÍSTICA, no tenemos el conocimiento de lo que va a suceder con
exactitud, es decir, hay INCERTIDUMBRE
CUANDO lanzamos un dado, sabemos que puede salir
1, 2, 3, 4, 5, ó 6
PERO, no sabemos cuál de ellos va a salir
ESPACIO MUESTRAL
SUCESO
PUNTO MUESTRAL (RESULTADO)
En el campo de las probabilidades se designa como experimento a todo proceso de
observación. En asociación con todo experimento, existen resultados posibles que se
entienden como elementos de un conjunto. Este conjunto, que agrupa todos los
resultados u observaciones posibles obtenidos en un experimento estadístico, recibe el
nombre de espacio muestral y se simboliza con la letra 𝑺.
3
Bioestadística, Celis de la Rosa, sección 3.
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Así, como resultado de un lanzamiento de un dado, el espacio muestral es
𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}.
A cada resultado (evento) del espacio muestral S se le llama elemento o punto muestral
del conjunto. Los eventos constituidos por un solo elemento se denominan eventos
simples.
Imagen tomada de https://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf15e/frames6_1.html
Ejercicio 1. Un experimento en el que tiramos un par de dados distinguibles (un rojo, un
verde) y observamos los números orientados hacia arriba, por ejemplo, escribir "( 2, 6)"
significa rojo = 2, verde = 6. Por lo tanto, "(3, 1)" significa rojo = 3, verde = 1.
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Imagen tomada de https://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf15e/frames6_1.html
El espacio muestral para este experimento es:
Imagen tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/558/html/Unidad06/pagina_7.html
Son 𝟔 posibilidades para cada dado, hay un total de 𝟔 ∗ 𝟔 = 𝟑𝟔 resultados posibles.
Ejercicio 2. Al lanzar una moneda puede salir cara (𝒄) o sello (𝒔). Se lanza una moneda tres
veces seguidas y se observa el número de veces que salen caras. El espacio muestral es:
a. {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑}
b. {(𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔 )}
c. {(𝒄, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒄, 𝒔, 𝒔), (𝒔, 𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒔 ), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔, 𝒔)}
d. {𝒔, 𝒄}
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En este experimento no observamos la secuencia de caras y sellos que salen. Lo que
hacemos es contar el número de veces que salen caras. Las posibilidades son:
𝟎 (𝒏𝒐 𝒔𝒂𝒍𝒆𝒏 𝒏𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔)
𝟏 (𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒔𝒂𝒍𝒆𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒆𝒛)
𝟐 (𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒔𝒂𝒍𝒆𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔)
𝟑 (𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒔𝒂𝒍𝒆𝒏 𝒓𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔)
Ejercicio 3. Al lanzar una moneda puede salir cara (𝒄) o sello (𝒔). Se lanza una moneda tres
veces seguidas y se observa la secuencia de caras y sellos que salen. El espacio muestral
es:
a. {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑}
b. {(𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔 )}
c. {(𝒄, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒄, 𝒔, 𝒔), (𝒔, 𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒔 ), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔, 𝒔)}
d. {𝒔, 𝒄}
Imagen tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/558/html/Unidad06/pagina_7.html
Ejercicio 4. Un trabajador en los estados unidos durante 2009 podía ser cubierto o no
cubierto por un plan de salud. Si era cubierto el trabajador, podía ser bajo el plan de su
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empleador o de otro plan. En el caso de otro plan, podía ser en su propio nombre o en el
nombre de su esposo.
Consideramos el experimento "Elija un trabajador en los estados unidos al azar y
determine si o no está cubierto y también el tipo de cobertura".
Los resultados posibles son
Cubierto por plan de empleador, 𝑪
Cubierto por plan en su propio nombre, 𝑪𝑵
Cubierto por plan en el nombre de esposa, 𝑪𝑬
No cubierto, 𝑵𝑪
El espacio muestral apropiado para este experimento es
𝑺 = {𝑪, 𝑪𝑵, 𝑪𝑬, 𝑵𝑪}
Imagen tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/558/html/Unidad06/pagina_7.html
Suceso
Sea 𝑺 un espacio muestral, entonces un suceso 𝑬 es un subconjunto de 𝑺. Se refieren a los
resultados en 𝑬 como los resultados favorables.
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Decimos que ocurre 𝑬 en un experimento particular si el resultado de tal experimento es
uno de los elementos de 𝑬, es decir, si el resultado del experimento es favorable.
Ejercicio 5. Regresemos al ejercicio 4. Seleccionemos el suceso 𝑬 de que un trabajador en
los estados unidos no está cubierto por el plan de empleador.
Recordemos que el espacio muestral apropiado para este experimento es
𝑺 = {𝑪, 𝑪𝑵, 𝑪𝑬, 𝑵𝑪}
Los resultados posibles son
Cubierto por plan de empleador, 𝑪
Cubierto por plan en su propio nombre, 𝑪𝑵
Cubierto por plan en el nombre de esposa, 𝑪𝑬
No cubierto, 𝑵𝑪
El suceso 𝑬 constará de todos los resultados en S que son favorables para que se cumpla
condición solicitada por el suceso 𝑬, es decir,
𝑬 = {𝑪𝑵, 𝑪𝑬, 𝑵𝑪}
Ejercicio 6. Regresemos al experimento de un lanzamiento de un dado, el espacio muestral
es
𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}.
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar el dado el resultado sea mayor de 4, es decir,
𝑬 = {𝟓, 𝟔}.
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar el dado el resultado sea 3, es decir,
𝑬 = {𝟑}.
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar el dado el resultado sea menor de 1, es decir,
𝑬 = { } = ∅.
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar el dado el resultado sea un número de 1 al 6, es
decir,
𝑬 = 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}.
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Ejercicio 7. Regresemos al ejercicio 3. Se lanza una moneda tres veces seguidas y se
observa la secuencia de caras y sellos que salen. El espacio muestral es:
𝑺 = {(𝒄, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒄, 𝒔, 𝒔 ), (𝒔, 𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒔 ), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔, 𝒔 )}
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar la moneda tres veces seguidas, el resultado
sean dos caras, es decir,
𝑬 = { (𝒄, 𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒄) }
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar la moneda tres veces seguidas, el resultado sea
mínimo dos caras, es decir,
𝑬={
(𝒄, 𝒄, 𝒄),
(𝒄, 𝒄, 𝒔 ), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒄)}
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar la moneda tres veces seguidas, el resultado sea
máximo dos sellos, es decir,
𝑬={
}
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar la moneda tres veces seguidas, el resultado sea
máximo una cara, es decir,
𝑬={
}
Seleccionemos el suceso 𝑬 de que al lanzar la moneda tres veces seguidas, el resultado
seas tres sellos, es decir,
𝑬={
}
Ejercicio 8. Sucesos complementarios.
El complemento, 𝑬′, de un suceso 𝑬 es el suceso de que 𝑬 no ocurre. Es el conjunto de
todos los resultados que no pertenecen al conjunto 𝑬.
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Consideremos el experimento de lanzar un par de dados al aire y observemos la suma de
los números orientados hacia arriba. El espacio muestral para este experimento es
𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐}.
Si 𝑬 es el suceso de que la suma es par, entonces 𝑬′ es el suceso de que la suma es impar:
𝑬 = {𝟐, , 𝟒, , 𝟔, , 𝟖, , 𝟏𝟎, 𝟏𝟐}.
𝑬′ = {𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟏}.
Ejercicio 9. Unión de sucesos.
La unión, 𝑬 ∪ 𝑭, de los sucesos 𝑬 y 𝑭 es el suceso de que ocurre o bien el suceso 𝑬 o bien
el suceso 𝑭 (o los dos).
Regresemos al ejercicio 3. Se lanza una moneda tres veces seguidas y se observa la
secuencia de caras y sellos que salen. El espacio mestral es:
𝑺 = {(𝒄, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒄, 𝒔, 𝒔), (𝒔, 𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒔), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔, 𝒔)}
Seleccionemos el suceso E de que al lanzar la moneda tres veces seguidas, el resultado
sean dos caras, es decir,
Si 𝑬 es el suceso de que salen caras solo una vez, y 𝑭 es el suceso de que salen sellos solo
una vez, entonces 𝑬 ∪ 𝑭 es el suceso de que salen caras solo una vez o salen sellos solo
una vez:
𝑺 = {(𝒄, 𝒄, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒄, 𝒔, 𝒔), (𝒔, 𝒄, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒔), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒔, 𝒔)}
𝑬 = {(𝒄, 𝒔, 𝒔), (𝒔, 𝒄, 𝒔), (𝒔, 𝒔, 𝒄)}
𝑭 = {(𝒄, 𝒄, 𝒔), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒄)}
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𝑬 ∪ 𝑭 = {(𝒄, 𝒔, 𝒔 ), (𝒔, 𝒄, 𝒔 ), (𝒔, 𝒔, 𝒄), (𝒄, 𝒄, 𝒔), (𝒄, 𝒔, 𝒄), (𝒔, 𝒄, 𝒄)}
Ejercicio 10. Intersección de sucesos.
La intersección, 𝑬 ∩ 𝑭, de sucesos 𝑬 y 𝑭 es el suceso de que ambos sucesos, 𝑬 y 𝑭
ocurren.
Escoja un número de tres dígitos (000-999) al azar. Si 𝑬 es el suceso de que el primer dígito
es 𝟗, y 𝑭 es el suceso de que los demás digitos suman 𝟐, entonces 𝑬 ∩ 𝑭 es el suceso de
que el primer dígito es 9 y los demás suman a 2, es decir, que se cumplan las dos
condiciones de manera simultánea:
𝑺 = 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
𝑺 = {𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏, 𝟎𝟎𝟐, … , 𝟗𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟏, … , 𝟗𝟗𝟗}
𝑬 = 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝟗𝟎𝟎 𝒂𝒍 𝟗𝟗𝟗
𝑬 = {𝟗𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟏, 𝟗𝟎𝟐, … , 𝟗𝟗𝟗}
𝑭 = 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 #𝟎𝟐, #𝟏𝟏, 𝒐 #𝟐𝟎
𝑬 ∩ 𝑭 = {𝟗𝟎𝟐, 𝟗𝟏𝟏, 𝟗𝟐𝟎}
Ejercicio 11. Operaciones entre sucesos.
En el experimento en lo que se lanza un par de dados (un rojo, un verde) al aire y se
observa el número orientado hacia arriba de cada uno, sea 𝑬 el suceso de que la suma de
los números es 4, 𝑭 el suceso de que la suma es impar, 𝑮 el suceso de que la suma es par,
𝑯 el suceso de que la suma es múltiplo de 3, 𝑱 el suceso de que la suma es múltiplo de 5.
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Imagen tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/558/html/Unidad06/pagina_7.html
Imagen tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/558/html/Unidad06/pagina_7.html
Determinen los siguientes sucesos
𝑬 = {(𝟏, 𝟑) , (𝟐, 𝟐), (𝟑, 𝟏)}
𝑬′ = {
}
(𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟒) , (𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟏) , (𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟓), (𝟑, 𝟐), (𝟑, 𝟒), (𝟑, 𝟔), (𝟒, 𝟏), (𝟒, 𝟑), (𝟒, 𝟓),
𝑭={
}
(𝟓, 𝟐), (𝟓, 𝟒), (𝟓, 𝟔) , (𝟔, 𝟏) , (𝟔, 𝟑), (𝟔, 𝟓)
𝑭′ = {
}
𝑮={
}
𝑮′ = {
}
𝑯={
}
𝑯′ = {
}
𝑱= {
}
𝑱′ = {
}
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𝑬 ∪ 𝑭 ={
}
𝑬 ∪ 𝑭′ = {
}
𝑮 ∪ 𝑯′ = {
}
𝑬 ∪ 𝑬′ = {
}
𝑮 ∪ 𝑯={
}
𝑮′ ∪ 𝑯 = {
}
𝑬 ∩ 𝑭={
}
𝑮 ∩ 𝑭={
}
𝑯 ∩ 𝑭={
}
𝑮 ∩ 𝑱={
}
𝑱 ∩ 𝑭={
}
𝑬 ∩ 𝑯′ = {
}
𝑮 ∩ 𝑯′ = {
}
𝑯′ ∩ 𝑭 = {
}
TEORÍA DE PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Mediante la probabilidad asignada a un evento se expresa el grado de confianza de que tal
evento ocurra al observar un experimento. La probabilidad se representa como un número
que va en el rango de 𝟎 𝒂 𝟏, de manera que el 𝟏 indica que un evento ocurrirá con toda
seguridad, mientras que el 𝟎 corresponde a un evento que con toda seguridad NO ocurrirá.
A cada evento del espacio muestral se le asigna una probabilidad de ocurrir, en donde la
suma de todas las probabilidades debe ser igual a 𝟏, de tal forma que:
𝟎 < 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
𝑷(∅) = 𝟎
𝑷(𝑺) = 𝟏
Probabilidad a priori
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Si antes de realizar un experimento se conocen todos los elementos de un espacio de
eventos y todos tienen la misma oportunidad de ocurrir, la probabilidad de observar un
evento simple en particular es:
𝑷(𝑬) =
𝒏
𝑵
donde 𝒏 es el número de resultados que corresponden al evento 𝑬 y 𝑵 es el total de
elementos del espacio muestral de eventos.
Imagen tomada de https://quizizz.com/admin/quiz/5d65db18ff22be001aa9aa8e/conceptos-probabilidades
Probabilidad a posteriori
Para calcular una probabilidad, se puede estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia de
un evento una vez que el experimento ha sido realizado. Para ello, se divide el número de
veces que se observó el evento de interés entre el total de veces que el experimento se
realizó, 𝑵. A medida que 𝑵 se aproxima a infinito, el procedimiento a posteriori
brinda el mismo resultado que el a priori. Esto facilita el cálculo de
probabilidades cuando se conoce el espacio de eventos, pero la oportunidad de que un
evento ocurra no es la misma entre los elementos que lo componen.
Probabilidad subjetiva
Además de las probabilidades a priori y a posteriori, también se reconoce una tercera
manera de calcular probabilidades: la probabilidad subjetiva. Su estimación no se basa en
frecuencias relativas, sino en apreciaciones y conocimientos previos que tienen quienes
realizan la estimación.
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Tal es el caso cuando un médico, ante un paciente con cáncer en fase terminal, pronostica
que difícilmente
sobrevivirá otro día. En este caso, el médico basa su estimación en el conocimiento del
paciente y en su evolución, así como en su propia experiencia y los recursos de que
dispone para la atención del enfermo.
Ejercicio 13. Probabilidades de sucesos.
𝑷(𝑬) =
𝒏
𝑵
donde 𝒏 es el número de resultados que corresponden al evento 𝑬 y 𝑵 es el total de
elementos del espacio muestral de eventos.
En el experimento en lo que se lanza un par de dados (un rojo, un verde) al aire y se
observa el número orientado hacia arriba de cada uno, sea 𝑬 el suceso de que la suma de
los números es 4, 𝑭 el suceso de que la suma es impar, 𝑮 el suceso de que la suma es par,
𝑯 el suceso de que la suma es múltiplo de 3, 𝑱 el suceso de que la suma es múltiplo de 5.
Imagen tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/558/html/Unidad06/pagina_7.html
Determinen las siguientes probabilidades de los sucesos
𝑬 = {(𝟏, 𝟑) , (𝟐, 𝟐), (𝟑, 𝟏)}
𝑷 (𝑬) =
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝟑
𝟏
=
=
= 𝟎, 𝟎𝟖
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔
𝟑𝟔 𝟏𝟐
𝑷(𝑬′ ) =
𝑷 (𝑭) =
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝟏𝟖 𝟏
=
= = 𝟎, 𝟓
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔
𝟑𝟔 𝟐
𝑷(𝑭′ ) =
𝑷(𝑮) =
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Documento elaborado por Luis Guillermo Caro Pineda, docente de Estadística
𝑷(𝑮′ ) =
𝑷(𝑯) =
𝑷(𝑯′ ) =
𝑷(𝑱) =
𝑷(𝑱′ ) =
𝑷(𝑬 ∪ 𝑭) =
𝑷(𝑬 ∪ 𝑭′ ) =
𝑷(𝑮 ∪ 𝑯′ ) =
𝑷(𝑬 ∪ 𝑬′ ) =
𝑷(𝑮 ∪ 𝑯) =
𝑷(𝑮′ ∪ 𝑯) =
𝑷(𝑬 ∩ 𝑭) =
𝑷(𝑮 ∩ 𝑭) =
𝑷(𝑯 ∩ 𝑭) =
𝑷(𝑮 ∩ 𝑱) =
𝑷(𝑱 ∩ 𝑭) =
𝑷(𝑬 ∩ 𝑯′ ) =
𝑷(𝑮 ∩ 𝑯′ ) =
𝑷(𝑯′ ∩ 𝑭) =
Referencias bibliográficas
Anderson D., Sweeney D., Williams T. Estadística para la administración y economía.
Décima edición. Cengage Learning. 2008
Berenson M., Levine D., Krehbiel T. Estadística para administración. Segunda edición.
Prentice Hall. 2000
Devore J. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Séptima edición. Cengage
Learning. 2008
Johnson R. Probabilidad y Estadística para ingenieros. Octava edición. Pearson. 2012
Meyer P. Probabilidad y Aplicaciones estadísticas. Edición revisada. Addison Wesley
Logman. 1998
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