juegos7

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Teoría de juegos:
Juegos estáticos con información
incompleta
Rafael Salas
mayo de 2004
Juegos con información incompleta
Hasta ahora hemos visto juegos con información completa.
Es previsible que los agentes económincos no conozcan la
información relevante a cerca de las funciones de pagos o
conjuntos de estrategias del resto de los jugadores. Este es el
caso de información incompleta o asimétrica.
Harsanyi (1967) propone una solución de tales juegos
mediante el planteamiento de juegos bayesianos, para ello
tenemos que hacer unos supuestos que nos permitan
reformular el juego de información incompleta como uno de
información imperfecta equivalente y aplicar la regla de Bayes.
Juegos con información incompleta
Vamos a analizar separaradamente los juegos:
A. Juegos estáticos
B. Juegos dinámicos
C. Juegos de señalización
Empecemos con los primeros...
Un ejemplo:
Un monoplista existente (empresa 2) conoce perfectamente
los pagos de un entrante potencial (empresa 1). Éste sin
embargo tiene ciertas dudas sobre los pagos del monopolista
en determinadas circunstancias. Se trata de un juego
simultáneo en el que las estrategias del monopolista son
acomodarse o luchar (A ó L) y las de la empresa 1 son entrar
o no entrar (E, NE).
Además la siguiente incertidumbre en los pagos por parte de
la empresa 1 hace que exista información incompleta o
asimétrica:
Pagos:
Emp 2
A
L
1
E
1
k
-1
Emp 1
3
3
NE
0
0
La empresa 1 desconoce los pagos de 2 con certeza. No obstante,
conoce que la empresa 2 tiene un k = 2 (es del tipo KI) con
probabilidad p y un k= -1 (es del tipo KII) con probabilidad 1-p
.
Juegos con información incompleta:
conceptos previos
Un juego estático con información incompleta en forma
normal G consiste en:
G={1,...N; S1,...SN; U1,...,UN; T1,...,TN; }
donde 1,...,N es el número de jugadores
Si= conjunto de estrategias puras del jugador i
Ui= conjunto de pagos de i
Ti= conjunto de tipos de jugadores i
=distribución de probabilidad sobre los distintos tipos de jugadores
posibles
La novedad es que puede debemos poder establecer conjeturas
sobre los tipos de jugadores a los que nos enfrentamos y una
distribución de probabilidad sobre ellos.
Juegos con información incompleta:
conceptos previos
Un juego estático con información incompleta en forma
normal G se puede representar de la forma habitual:
G={i,-i; Si,S-i; Ui,U-i; Ti,T-i; }
donde los pagos son para todas las estrategias puras (condicionadas
a los tipos):
Ui(si(ti), s-i(t-i), ti, t-i)
y la utilidad esperada:
UEi (si, s-i, ti, t-i)= t-i Ui(si(ti), s-i(t -i), ti, t-i) i(t -iti)
Juegos con información incompleta:
Harsanyi (1967) demuestra que un juego estático con información
incompleta en forma normal G se puede traducir en un juego de
información imperfecta para el que el equilibrio de Nash está bien
definido. Lo denomina equilibrio de Nash bayesiano ENB.
La idea es que al jugador con información incompleta sobre las
funciones de pagos del resto, se le considera como incierto sobre el
tipo de jugador(es) con el (los) que se enfrenta(n). Tiene
incertidumbre sobre el tipo de jugador -que están bien definidos- y
conoce la distribución de probabilidades. Ésta es información de
dominio público.
Se trata de un juego bayesiano de información imperfecta: la
naturaleza mueve primero, y determina el tipo de jugador. Después
mueven los jugadores (simultáneamente)...
Juego de información imperfecta en forma
extensiva equivalente
N
kII con 1-p
kI con p
 1
NE
E
2
A

 1
2
L
A

(1, 1) (-1, 2) (0, 3)
El EN es el ENB
NE
E
2
2
L
A
L A



(0, 3) (1, 1) (-1, -1) (0, 3)
L

(0, 3)
Juego de información imperfecta en forma
extensiva equivalente (alternativo)
Dado que es un modelo simultáneo existe otra forma de representarlo:
N
kII con 1-p
kI con p
 2
 2
L
A
1
A
1
E
NE


E
1
L
1
NE
E
NE E
NE




(1, 1) (0, 3) (-1, 2) (0, 3) (1, 1) (0, 3) (-1,-1) (0, 3)
La solución es equivalente. Lo comprobaremos.
Estrategias puras y conjuntos de
información:
La empresa 1 tiene un conjunto de información y la empresa 2
tiene dos conjuntos de información. Cada jugador dispone de
tantos conjuntos de información como tipos puede adoptar
(porque sabe cuál es él, pero no necesariamente el resto).
Tipos:
T1={t} y T2={kI,kII}
Estrategias puras Si de cada jugador se traduce en una acción en
cada conjunto de información, que aquí es el tipo de jugador:
S1={S1(t)} = {E, NE}
S2= {S2(kI), S2(kII)}={{A,L},{A,L}}={AA,AL,LA,LL}
Por lo tanto, son estrategias condicionadas al tipo de jugador que es.
Pagos:
La empresa 1 tiene unos pagos:
UE1(s1,s2, t) =
U 1(s1(t); s2(kI)) (kIt) + U1(s1(t); s2(kII)) (kIIt)
donde (kIt) = p y (kIIt) = 1- p
Por su parte, la empresa 2 tiene unos pagos:
UE2 (s1, s2, kI) = U2(s1(t); s2(kI)) (tkI)
UE2 (s1, s2, kII) = U2(s1(t); s2(kII)) (tkII)
donde (tkII) = (tkI) = 1
Juego de información imperfecta en forma
estratégica:
EMP 2
AA
AL
(1,1)
E
1
LA
(1,-1)
2p-1
LL
(2,1)
1-2p
(2,-1)
-1
EMP 1
(3,3)
(3,3)
(3,3)
(3,3)
NE
0
0
0
0
Por ejemplo: 2p-1 sale de U1(E, AL)=1*p+(-1)*(1-p)=2p-1
U2(E, AL, kI)=1 y U2(E, AL, kII)= -1
.
Salvedad:
La empresa 2, aunque tiene información completa, establece
estrategias sobre los dos tipos de jugadores que puede ser
(aunque sabe cuál es). A este respecto, dos consideraciones:
1. El jugador 1 no lo sabe y puede jugar un cierto
comportamiento estratégico con ello.
2. El juego es de información imperfecta también, lo cual
introduce algo de incertidumbre sobre la empresa 2.
Equilibrio de Nash Bayesiano
El ENB es (si*,s -i*) tal que:
t-i Ui(si*(ti), s-i*(t -i), ti, t-i) i(t -iti) 
t-i Ui(si(ti), s-i*(t -i), ti, t-i) i(t -iti)
para todo i , si Si y ti Ti
El ENB lo encontramos de la forma estratégica: en este caso la
empresa 2 tiene una estrategia dominante jugando LA con
pagos (2,1) ó (3,3), que simplifica las cosas. Y la empresa 1
jugará E si p1/2 y NE si p1/2. Cierta lógica, la decisión de E
ó NE dependerá de si el monopolista lucha.
ENB={E, LA, P1/2} y ={NE, LA, P1/2}
Práctica
(1) Modelo de Cournot con información asimétrica:
Dos empresas que producen un producto homogéneo,
compiten en cantidades simultáneamente. La demanda
agregada es P=a-X, donde X=X1+X2 y los costes de la
empresa 1 son C1=c X1, donde a y c>0, que es de
dominio público. La empresa 1 sólo conoce su función
de costes pero no la de la empresa 2. No obstante,
conoce que los costes de 2 son:
C2= cA X2 con probabilidad p
C2= cB X2 con probabilidad 1-p
con cA>cB
¿Cuál es el equilibrio de Nash bayesiano? Comparad
con el equilibrio con información completa.
.
Solución:
Existe información asimétrica. La empresa 1 no sabe los
costes de la 2. La empresa 2 conoce los de la 1. Cada jugador
dispone de tantos conjuntos de información como tipos puede
adoptar. La empresa 1 tiene un conjunto de información y la
empresa 2 tiene dos conjuntos de información
Tipos:
T1={c} y T2={cA,cB}
Estrategias puras Si de cada jugador se traduce en una acción en
cada conjunto de información, que aquí es el tipo de jugador:
S1={S1(c)} = {x1}  [0,a] :
ESTRATEGIAS CONTÍNUAS
S2= {S2(cA), S2(cB)}={{x2 (cA)},{x2 (cB)}} donde {x2 (cj)}  [0,a]
j=A,B
Por lo tanto, son estrategias condicionadas al tipo de jugador que es.
Solución:
N
cB con 1-p
cA con p
 2
 2
x2
x2
1   1 1
1  1  1
x1
x1






Se trata de buscar el ENB como las estrategias o respuestas
óptimas condicionadas a cada conjunto de información (en
este caso, tipo de jugador):
Solución:
La empresa 1 tiene unos pagos:
E1(x1, x2, c) =
1(x1(c); x2(cA)) (cAc) + 1(x1(c); x2(cB)) (cBc)
donde (cAc) = p y (cBc) = 1- p
Por su parte, la empresa 2 tiene unos pagos:
E2 (x1, x2, cA) = 2(x1(c); x2(cA)) (ccA)
E2 (x1, x2, cB) = 2(x(c); x2(cB)) (ccB)
donde (ccA) = (ccB) = 1
Solución:
La empresa 1 tiene una mejor respuesta:
Max E1(x1, x2, c) =
= [(a - x1 - x2(cA) - c) x1 p] + [(a - x1 - x2(cB) - c) x1 (1-p)]
E1/x1=0 
x1={[(a - x2(cA) - c) p] + [(a - x2(cB) - c) (1-p)]}/2 (MR Jugador 1 si c)
Por su parte, la empresa 2 tiene una mejor respuesta:
Max E2(x1, x2, cA) = [(a - x1 - x2(cA) - cA)] x2
Max E2(x1, x2, cB) = [(a - x1 - x2(cB) - cB)] x2
E2/x2=0  x2=(a - x1 - cA)/2
E2/x2=0  x2=(a - x1 - cB)/2
(MR Jugador 2 si cA)
(MR Jugador 2 si cB)
Solución:
Resolviendo el sistema encontramos el ENB:
x2*(cA) = (a - 2cA + c)/3 + (cA + cB)(1-p)/6
x2*(cB) = (a - 2cA + c)/3 - (cA + cB)(1-p)/6
x1*(c) =(a - 2c + p cA + (1-p) cB )/3
INTERPRETACIÓN: Con información completa:
x1**(c) =(a - 2c + ci)/3
x2**(ci) = (a - 2ci+ c)/3, donde ci el valor correcto
si ci=cA  x1*(c) < x1**(c) y x2*(cA) > x2**(cA) La empresa 2 también
cambia: intenta aprovecharse del desconocimiento de la otra. Produce de más para que
la otra interprete que tiene costes bajos, aún sabiendo que son altos, le interesa.
si ci=cB  x1*(c) > x1**(c) y x2*(cB) < x2**(cB) Lo contrario.
Práctica
(2) Modelo de Cournot con información asimétrica:
Dos empresas que producen un producto homogéneo,
compiten en cantidades simultáneamente. La demanda
agregada es P=a-X, donde X=X1+X2 y los costes
Ci=c Xi, donde a y c>0. La empresa 2 sólo conoce que
la función de demanda es alta (a=aA) con probabilidad
p o baja (a=aB) con probabilidad 1-p. No obstante, la
empresa 1 sabe el verdadero valor.
¿Cuál es el equilibrio de Nash bayesiano? Plantea al
menos cuáles son las condiciones de equilibrio.
.
Solución:
Existe información asimétrica. La empresa 1 conoce la
demanda y la empresa 2 no la conoce. La empresa 1 tiene dos
tipos o conjuntos de información y la empresa 2 tiene un tipo
o conjunto de información:
Tipos:
T1={aA, aB} y T2={a}
Solución:
N
aB con 1-p
aA con p
 1
 1
x1
x1
2   2 2
2  2  2
x2
x2






Planteamiento:
La empresa 1 tiene unos pagos:
E1 (x1, x2, aA) = 1(x1(aA); x2(a)) (aaA)
E1 (x1, x2, aB) = 1(x(aB); x2(a)) (aaB)
donde (aaA) = (aaB) = 1
La empresa 2 tiene unos pagos:
E2(x1, x2, a) =
2(x1(aA); x2(a)) (aAa) + 2(x1(aB); x2(a)) (aAa)
donde (aAa) = p y (aBa) = 1- p
Práctica
(3) Considerad un duopolio fijador de precios. Las
empresas no tiene costes de producción y se enfrentan
a demandas individuales:
X1= a+0,5 p2/p1 - p1
X2= b+0,5 p1 - p2
Sin embargo, los valores a y b son inciertos (solo los
conocen ellos mismos pero no los contrarios): pueden
ser: (a=aA) ó (a=aB) altos o bajos respectivamente y
(b =bA) ó (b=bB). La distribución de probabilidades
conjunta es (aA,bA)=0,5; (aA,bB)= (aB,bA)= 0,125
y (aB,bB)=0,25
¿Cuál es el equilibrio de Nash bayesiano? Plantea al
menos cuáles son las condiciones de equilibrio.
.
Planteamiento:
La empresa 1 maximiza con respecto a dos tipos aA y aB:
Max 1(p1(aA); p2(bA); aA) (bAaA)+ 1(p1(aA); p2(bB); aA) (bBaA)
Max 1(p1(aB); p2(bA); aB) (bAaB)+ 1(p1(aB); p2(bB); aB) (bBaB)
donde (bAaA) = 0,5/0,625 = 0,8 ; (bBaA) = 0,125/0,625 = 0,2
(bAaB) = 0,125/0,375 = 1/3 ; (bBaB) = 0,25/0,375 = 2/3
La empresa 2 maximiza con respecto a dos tipos bA y bB:
Max 2(p1(aA); p2(bA); bA) (aAbA)+ 2(p1(aB); p2(bA); bA) (aBbA)
Max 2(p1(aA); p2(bB); bB) (aAbB)+ 2(p1(aB); p2(bB); bB) (aBbB)
donde (aAbA) = 0,5/0,625 = 0,8 ; (aBbA) = 0,125/0,625 = 0,2
(aAbB) = 0,125/0,375= 1/3; (aBbB) = 0,25/0,375=2/3
Práctica
(4) Calcula el equilibrio de Nash bayesiano de este
juego de los presos reformulado con información
incompleta:
N

1-p
p
 1
N
C
2
C

 1
2
N

C
N
C
2
2
N
C
N C



N

(-5, -5) (-1,-10) (-10,-1)(0, -2) (-5, -11)(-1,-10)(-10,-7)(0, -2)
.
Práctica
(5) Subasta al segundo precio.
Suponga dos jugadores y cada jugador conoce su
valoración de un objeto vi , pero no la del otro. Se
subasta y gana el que puje más alto y paga el precio del
segundo. En caso de empate se lo reparten a medias.
Demuestra que el ENB es pujar la valoración correcta.
.
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Teoría de juegos:
Juegos estáticos con información
incompleta
Rafael Salas
mayo de 2004