1 Instituto Tecnológico de Mérida. Campus Norte NOMBRE DE LA MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS NOMBRE DE LA ACTIVIDAD: Ensayo - Cuadro Comparativo de métodos numéricos Maestra: ISC. Elsa Isela Nabté Núñez NOMBRE DEL ALUMNO: Xool Castro Ernesto Eduardo GRUPO: 4Q1 FECHA: DOMINGO 17 DE SEPTIEMBRE DEL 2021 2 Empecemos partiendo del tema iteraciones en la asignatura de métodos numéricos. Nos vamos a plantear una pregunta para empezar a desarrollar el tema la cual es. ¿Cuál es el objetivo de esta herramienta?. En mi punto de vista trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde unos valores iniciales que con ayuda de alguna fórmula que tienen la propiedad o sea el método empleado nos va dar va a producir un resultado más cercano a la respuesta a partir de un valor estimado previo, al obtener el resultado de la fórmula, este se convierte en el nuevo valor y se repite la fórmula esperando mejorar la respuesta a modo de aproximarse al resultado más cercano, en resumen, los métodos iterativos se acercan a la respuesta mediante aproximaciones sucesivas. Sin embargo, hay que tomar en cuenta ciertos aspectos, como la elección del valor inicial, así como la propiedad de convergencia de la fórmula y un criterio especial para terminar las iteraciones. Como ya se ha mencionado anteriormente las iteraciones su importancia es que en un método iterativo es un método que progresivamente se va calculando con ayuda de las aproximaciones a la solución de un problema. En un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente tenga como resultado ciertos requisitos. La principal diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para obtener una respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución la cual sea esperada. Se hace hincapié en esto ya que es un elemento en contra de los métodos iterativos ya que sólo calculan aproximaciones. Las ventajas de estos métodos es que se pueden utilizar cuando no se conoce un método para obtener la solución en forma exacta. Sobre los métodos que existen más adelante se presenta una tabla comparativa con los métodos ya vistos en la unidad al igual que 2 métodos extras con sus respectivas comparaciones. Regresando al tema principal también se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere 3 mucho tiempo de cálculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de iteraciones es relativamente reducido. Bien ahora método iterativo cuenta con los siguientes pasos a realizar para obtener las aproximaciones: 1- Inicia con una solución aproximada que en algunos casos como ya se ha visto en clase se le denomina semilla 2- Ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia. 3- Se repite el paso anterior, pero usando ahora los nuevos de la semilla inicial de la aproximación obtenida.En clase han sido cubiertos ciertos métodos iterativos correspondientes a la unidad, así como uno basado en técnicas de optimización los métodos de iteración son • Punto fijo • Método de Jacobi • Método de Gauss-Seidel Concluyendo en tema de las iteraciones con base a mi punto de vista la utilidad que le podemos dar en nuestra carrera sería un de los claros ejemplos que en lo cual es útil, sinceramente serían muchos, ya que en la ingeniería usan el proceso iterativo para desarrollar funciones nuevas, implementar reparaciones de errores o realizar pruebas, implementación nuevas de estrategias, etc. En muchos casos, los equipos de ingeniería crean algunas iteraciones que consideran que tienen las mismas posibilidades de prosperar, después las prueban con los usuarios. De este modo, detectan los puntos débiles y también los fuertes. Después, siguen desarrollando la propuesta que resultó mejor en la prueba, sin embargo otro ejemplo podría ser en los desarrollos de productos de igual forma una aplicación que me robó mucho la atención es que esta herramienta también puede ser utilizada en procesos para la destilación según J. Méndez Barriga, L. Ibarra-Bracamontes, G. González-Avalos y C. Rubio-Maya: en la destilación es la técnica de separación más común para mezclas líquidas con dos o más componentes. Mediante el uso de etapas en serie se logran separaciones de alta pureza que no son viables por otros medios. El principal inconveniente de la destilación tradicional es su enorme consumo de energía, para reducirlo se han empleado diversas metodologías de 4 integración energética (IE), que en esencia buscan usar las corrientes calientes de salida (que queremos enfriar) para calentar los materiales fríos que entran al proceso o para generar vapor y energía eléctrica en equipos de cogeneración, para así reducir el consumo de energía y servicios de enfriamiento. El modelo dinámico de una columna de destilación, para los casos tradicional e integrado, se puede describir como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que incluye los balances de materia y energía de cada etapa, cuando este modelo se lleva al estado estable, se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. En este trabajo se aplican diversos métodos de solución al sistema de ecuaciones no lineales, mostrando sus ventajas y desventajas, así como algunos problemas de convergencia que se presentan durante su solución numérica. 5 BIBLIOGRAFÍAS ● J. Méndez Barriga, L. Ibarra-Bracamontes, G. González-Avalos y C. Rubio-Maya, Aplicación de los métodos iterativos a la solución de sistemas de ecuaciones lineales para el control de columnas de destilación con integración de energía., Revista Mexicana de Métodos Numéricos (2017). Vol. 1 URL https://www.scipedia.com/public/Méndez_Barriga_Rubio-Maya._2017a. ● Gundersen, T. (1982). Aspectos numéricos de la implementación de ecuaciones cúbicas de estado en rutinas de cálculo flash. Computadoras e ingeniería química, 6 (3), 245-255. http://doi.org/10.1016/0098-1354(82)80015-X ● García B., S. (2017). Métodos numéricos. ● Martins, J. (2021, 20 abril). Cómo entender los procesos iterativos. Recuperado 16 de octubre de 2021, de https://asana.com/es/resources/iterative-process ● Ferrer, J. I. (2017). MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico. Recuperado 16 de octubre de 2021 6 CUADRO COMPARATIVO DE LOS METODOS. Función Ventajas Desventajas Diferencia Gradiente Tiene la propiedad No requiere álgebra Su convergencia Puede ser visto Conjugado de generar un lineal numérica, no suele ser lenta y no como un método conjunto de requiere ninguna son muy usados en la directo, ya que en un vectores no nulos matriz, por lo cual es práctica número finito de con una propiedad más efectivo que otros pasos conduce a la especial. métodos solución exacta. Gauss - Es un métod Se acerca más rápido Depende Es utilizado los Seidel iterativo utilizado a la aproximación fundamentalmente de valores de las para resolver cuando el método su criterio de incógnitas recién sistemas de convergente y se convergencia. calculados en la ecuaciones lineales puede llegar al misma iteración resultado con menos iteraciones Jacobi Es un método Es el proceso más Al usar este proceso Se utiliza el valor de iterativo, usado para sencillo al usar este de Jacobi la matriz no las incógnitas para resolver sistemas método iterativo. es diagonalmente por determinar una de ecuaciones lo tanto es nueva aproximación lineales del tipo. El probablemente que algoritmo toma su no tenga una nombre del convergencia. matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo. Punto Fijo El método del punto Resueove los No garantiza la Se converge a la fijo es un método sistemas de convergencia. La raíz, es continúa y iterativo que permite ecuaciones no función correcta diferenciable resolver sistemas necesariamente puede ser muy de ecuaciones no lineales. compleja de necesariamente Se puede emplear encontrar. No existe lineales. En para determinar raíces regla para escoger la particular se puede de una función correcta. utilizar para 7 determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios. intervalo Es aquel método Siempre llegas a la La velocidad de Se emplean para que necesita de dos convergencia. convergencia es de mejorar la valores iniciales Tambien funciona para las más lentas de convergencia del para encontrar su ecuaciones todos los métodos método de raíz, estos valores algebraicas y Gauss-Seidel deben estar a trascendentes considerando un ambos lados de la promedio de las raíz iteraciones anteriores y actuales Krylov Los métodos de Las aproximaciones a El método prototípico Los métodos del Krylov, una la solución se forman de esta clase es el subespacio de alternativa de minimizando el método del gradiente Krylov forman una solución para residuo en el conjugado. Otros base ortogonal de la sistemas lineales. subespacio formado métodos son el secuencia de se tiene dos tipos método del residuo potencias de la de problemas mínimo generalizado matriz por el residuo principales: Ax = b y y el método del inicial Ax = λx o Ax = λBx, gradiente biconjugado además de un nuevo problema de funciones de matrices y = f(A)x
