Ecuaciones Diferenciales
Grupo 26
UNAM / FI / DBC(DIE)
Semestre 2021-1
Proyecto Modelado de Sistemas Vibratorios
Método Balance de Fuerzas
Don Juan López Julio Abisai, González Ortega Maximiliano, Reyes Ocampo Saúl
¿Qué es la vibración? Es Cualquier movimiento que se repita después de un cierto intervalo de
tiempo. La vibración de un sistema involucra la transferencia de su energía potencia a energía
cinética, y viceversa, de forma alternativa. Por lo tanto, un sistema vibratorio tiene un medio para
almacenar energía potencial (resorte o medio elástico), y un medio para almacenar energía cinética
(masa o inercia-resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento). Presentándose de
diferentes maneras en la vida diaria, desde el amortiguador de un coche hasta propulsores de aviones
los cuales siempre experimentan problemas vibratorios.
El problema propuesto se basa en un sistema de vibración que simule el funcionamiento de
un amortiguador cuando este se encuentre en un punto 𝑥 en el cual se le aplicó una fuerza. Se planteó
un diagrama de cuerpo libre que parta desde una posición inicial con el objetivo de obtener la ecuación
que resuelva su comportamiento.
Partiendo de las condiciones propuestas para el sistema, para su resolución se ocuparon
diversos conocimientos en relación con mecánica, específicamente en movimiento circular uniforme
(abarcando movimiento y aceleración angular). Para finalmente resolver la ecuación diferencial
resultante por el método de coeficientes indeterminados.
Ahora bien, el problema propuesto se representa con el siguiente diagrama, constituido a
grandes rasgos de una barra sujeta por una tensión y un resorte con una masa adicional.
En la resolución se dividió el sistema en dos, uno que contuviera la fuerza c junto con la barra
y otro que contenga al resorte. Primero se planteó un diagrama de cuerpo libre para la parte del resorte
y posteriormente proponer una ecuación que represente las fuerzas que actúan sobre él, teniendo como
resultado nuestra primera ecuación.
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = ∑ 𝐹𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠
(1)
−𝑇 − 𝑘𝑥 = 𝑀𝑥′′ (2)
𝑇 = −𝑘𝑥 − 𝑀𝑥′′ (3)
Siendo T la tensión y k una constante de elasticidad. Para la barra se tomo en cuenta el uso
de fórmulas, con base a la geometría de movimientos tenemos la siguiente formula.
𝐿
2
𝑥 = 𝜃 → 𝜃 = 𝑥 (𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟)
2
𝐿
Aquí L representando la longitud de arco y 𝜃 el ángulo hacia donde se movería nuestro
sistema. Una vez con la formula se derivó a esta misma respecto al tiempo, obteniendo lo siguiente.
2
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝜃 ′ = 𝑥 ′ (4)
𝐿
2
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝜃 ′′ = 𝑥 ′′ (5)
𝐿
Para entender mejor esta parte se realizó igualmente un diagrama de cuerpo libre,
demostrando las fuerzas que actúan y como afectan a su movimiento. Y así obtener la ecuación
necesaria para completar el sistema.
∑(𝑀0 )𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = ∑(𝑀0 )𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 (6)
𝐿
𝐿
𝐿
(−𝑐 𝜃′) + 𝑇 = 𝐼0 𝜃 ′′ (7)
2
2
2
Sustituimos 4 y 5 en 7:
−𝑐
𝐿2 2 ′
𝐿
1
2
( 𝑥 )+𝑇 =
𝑚𝐿2 ( 𝑥 ′′ )
4 𝐿
2 12
𝐿
𝐿
𝐿 1
−𝑐 𝑥′ + 𝑇 = 𝑚𝐿𝑥′′
2
2 6
(8)
(9)
Una vez simplificada la ecuación 9, sustituimos 3 en 9 para obtener finalmente la ecuación
diferencial que se va a trabajar.
𝐿
𝐿 1
−𝑐 𝑥 ′ + (−𝑘𝑥 − 𝑀𝑥 ′′ ) = 𝑚𝐿𝑥 ′′ (10)
2
2 6
𝑐𝑥 ′ − 𝑘𝑥 − 𝑀𝑥 ′′ =
(𝑀 +
𝑚 ′′
𝑥
3
(11)
𝑚 ′′
) 𝑥 + 𝑐𝑥 ′ + 𝑘𝑥 = 0
3
(12)
Una vez que obtuvimos la ecuación diferencial lo que hicimos después de dar los valores de
las constantes, adicionalmente este modelo es general para cualquier sistema vibratorio que tenga
unas características similares.
𝑀 = 2𝑘𝑔
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚 = 1𝑘𝑔
𝑐 = 0.86
𝑘 = 0.72
Una vez reemplazando los datos propuestos la ecuación que obtuvimos fue la siguiente
(decidimos dejar en notación decimal cada constante).
2.33𝑥 ′′ + 0.86𝑥 ′ + 0.72𝑥 = 0
Para su resolución (como ya se mencionó) decidimos utilizar el método de coeficientes
indeterminados. Entonces lo primero que se hizo fue obtener la ecuación auxiliar para y así obtener
las raíces m1 y m2.
2.33𝑚2 + 0.86𝑚 + 0.72 = 0
𝑚=
(13)
−0.86 ± √0.862 − 4(2.33)0.72
2(2.33)
𝑚1,2 = −
43
± 0.5244𝑖
233
La ventaja al plantear este sistema fue que la ecuación diferencial resultante fue homogénea,
de este modo la solución particular se obtiene de una forma más directa, sin embargo, en este caso
las raíces de la ecuación auxiliar terminaron siendo parte del dominio de los números imaginarios.
Entonces, la solución general quedaría de la siguiente manera.
43𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑒 −233 (𝐶1 sin(0.5244𝑡) + 𝐶2 cos (0.5244𝑡))
(14)
Para el problema del valor inicial propusimos los siguiente: partiendo del hecho en el que este
sistema parte desde un punto inicial con 𝑥 fuerza aplicada, con una cantidad de fuerzas que se aplican,
desde un tiempo nulo 𝑡(𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜) = 0. Pero, un sistema vibratorio suele depender tanto de las
condiciones iniciales como de las excitaciones externas por lo que para tomar los valores de 𝑥(0) y
𝑥′(0). Se recurre a analizar el comportamiento habitual de un resorte (en este caso es el que provee
el cambio de vibraciones al sistema), la fórmula es 𝐹 = −𝑘𝑥 para que produzca el menor movimiento
la cantidad de fuerza aplicada al resorte sería proporcional a su coeficiente de elasticidad. Por lo que
𝑥(0) = 1 y 𝑥 ′ (0) = 0 (ya que esta última vendría representando la velocidad inicial).
Para resolver las condiciones propuestas de debe derivar la ecuación 14 para poder obtener
los valores de 𝐶1 y 𝐶2 del sistema de ecuaciones resultante.
43𝑡
43𝑡
𝑥 ′ (𝑡) = 0.5244𝑒 −233 𝐶1 cos(0.5244𝑡) − 0.5244𝑒 −233 𝐶2 sin(0.5244𝑡) ⋯
43𝑡
⋯−
sin(0.5244𝑡) (43𝐶1 𝑒 −233 )
233
43𝑡
−
cos(0.5244𝑡) (43𝐶2 𝑒 −233 )
(15)
233
Sustituyendo el PVI y simplificando ambas ecuaciones tenemos que:
43(0)
1 = 𝑒 − 233 (𝐶1 sin(0.5244(0)) + 𝐶2 cos (0.5244(0)))
43(0)
(16)
43(0)
0 = 0.5244𝑒 − 233 𝐶1 cos(0.5244(0)) − 0.5244𝑒 − 233 𝐶2 sin(0.5244(0)) ⋯
43(0)
⋯−
sin(0.5244(0)) (43𝐶1 𝑒 − 233 )
233
43(0)
−
cos(0.5244(0)) (43𝐶2 𝑒 − 233 )
233
(16.1)
1 = 𝐶2
0 = 0.5244𝐶1 −
(17)
43𝐶2
233
(17.1)
Una vez resolviendo ese sencillo sistema de ecuaciones obtuvimos los valores de 𝐶1 y 𝐶2 , se
sustituyen en la ecuación 14 para al final obtener la solución particular.
𝑥(𝑡) =
𝐶1 = 0.3519
𝐶2 = 1
43𝑡
−
𝑒 233 (0.3519 sin(0.5244𝑡) + cos (0.5244𝑡))
(18)
Adicionalmente a este método esta ecuación se puede resolver transformándola a un sistema
de ecuaciones diferenciales de primer orden, debido a que el sistema propuesto es homogéneo de
coeficientes constantes al transformarlo su forma matricial tendrá la forma de 𝑥 ′ = 𝐴𝑥. De la
ecuación 12 ya con los datos sustituidos calculamos el sistema.
2.33𝑥 ′′ + 0.86𝑥 ′ + 0.72𝑥 = 0
(19)
𝑥 = 𝑤1
𝑥 = 𝑤1′ = 𝑤2
𝑥 ′′ = 𝑤1′ = 𝑤2′
′
𝑥 ′′ =
0.86𝑥′ + 0.72𝑥
0.86𝑤2 + 0.72𝑤1
= 𝑤2′ =
2.33
2.33
𝑤1′ = 𝑤2
(20)
0.86𝑤
+
0.72𝑤
2
1
𝑤2′ =
2.33
0
1
𝐴 = [0.86 0.72]
2.33 2.33
(21)
𝑤1
𝑥 = [𝑤 ]
2
Debido a que este sistema posee condiciones iniciales no nulas la solución va a estar dada
por la siguiente ecuación.
𝑥(𝑡) = ℒ −1 {(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0)}
(𝑠𝐼 − 𝐴) = [ 𝑠
0
(𝑠𝐼 − 𝐴)−1
0
1
𝑠
−1
0
0.86
0.72
0.86
0.72]
]−[
]=[
−
𝑠−
𝑠
2.33 2.33
2.33
2.33
(22)
2.33𝑠 − 0.72
2.33
2
2
= [2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86 2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86]
0.86
2.33𝑠
2
2
2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86 2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86
(23)
2.33𝑠 − 0.72
2.33
2 − 0.72𝑠 − 0.86 2.33𝑠 2 − 0.72𝑠 − 0.86
1
2.33𝑠
(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0) = [
].[ ]
0.86
2.33𝑠
0
2
2
2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86 2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86
(24)
2.33𝑠 − 0.72
2
= [2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86]
0.86
2
2.33𝑠 − 0.72𝑠 − 0.86
2.33𝑠 − 0.72
ℒ −1 {
}
2.33𝑠 2 − 0.72𝑠 − 0.86 ]
ℒ −1 {(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0)} = [
0.86
ℒ −1 {
}
2.33𝑠 2 − 0.72𝑠 − 0.86
(25)
Debido a que nuestro dominador en la matriz no es factorizable, la transformada no se puede
realizar directamente por lo que tuvimos que completar el TCP del denominador para poder resolver
la transformada inversa.
2.33𝑠 2 − 0.72𝑠 − 0.86 = 2.33 (𝑠 2 −
2𝑎 = −
2.33 (𝑠 2 −
0.72
2.33
0.72
0.86
𝑠−
)
2.33
2.33
(26)
𝑎 = −0.154
0.72
0.86
𝑠−
+ (−0.154)2 − (−0.154)2 )
2.33
2.33
(27)
De la forma 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2 tenemos la siguiente ecuación para después
completar el TCP.
𝑠2 −
0.72
𝑠 + (−0.154)2 = (𝑥 − 0.154)2
2.33
2.33 ((𝑠 − 0.154)2 −
(28)
0.86
− (−0.154)2 ) = 2.33(𝑠 − 0.154)2 − 0.915
2.33
(29)
Sustituyendo lo obtenido en la ecuación 29 en la 25 podremos obtener las respectivas
transformadas y obtener la solución de este sistema.
2.33𝑠 − 0.72
}
2.33(𝑠 − 0.154)2 − 0.915
−1 {(𝑠𝐼
−1
ℒ
− 𝐴) 𝑥(0)} =
0.86
ℒ −1 {
}
[
2.33(𝑠 − 0.154)2 − 0.915 ]
ℒ −1 {
−0.247𝑒 0.154𝑡 sinh(0.626𝑡) + 𝑒 0.154𝑡 cosh (0.626𝑡)
𝑥(𝑡) = [
]
0.588𝑒 0.154𝑡 sinh (0.626𝑡)
(30)
(31)
Si bien el sistema propuesto a pesar de haber sido de homogéneo de coeficientes constantes
su resolución al transformarlo en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se vio más
laboriosa, sin embargo, se puedo resolver. Un sistema así ayuda a comprender mejor o al menos dar
la predicción del comportamiento a unos cuantos fenómenos físicos relacionados a este. Así teniendo
más conciencia sobre su funcionalidad o comportamiento.
- El objetivo general de este proyecto se llevó al éxito, quiero decir, que la realización de este
fue completada gracias a todos los conocimientos impartidos por el profesor durante todo el semestre.
Pusimos en práctica todo lo aprendido y pudimos realizar de forma correcta los pasos que debíamos
seguir para completar nuestra ecuación y así mismo, para poder dar una explicación del porqué nos
interesó esa propuesta. Además de que explicamos qué es lo que pasa cuando la ecuación se va
transformando.
Fue un proyecto bastante interesante de realizar, ya que, al ir desarrollando la ecuación, nos
dimos cuenta de que ya era más sencillo de solucionarla a base de los distintos métodos que
aprendimos durante el curso. Mis compañeros y yo, nos dimos a la tarea de buscar un método que
fuera claro para poder darle una solución a la ecuación y así mismo darle un buen final a este proyecto.
– Don Juan López Julio Abisai
- Como pudimos notar, este proyecto demuestra la culminación de una larga carrera de
conocimientos matemáticos, siendo que en un problema tan trivial como el de este amortiguador,
haya sido necesaria la utilización de varios de ellos, repasando conceptos de cálculo, hasta de
mecánica, y llegando a utilizar gran parte de los temas abordados en este curso. Se ha demostrado
que se requiere de un alto nivel de análisis, abstracción, y aplicación de fórmulas para emprender en
ejercicios de aplicación a la ingeniería, y así, observar los frutos de un largo esfuerzo. -González
Ortega Maximiliano
- Con este proyecto fuimos capaces de aplicar y reforzar diversos conocimientos matemáticos
ya adquiridos, desde algo simple como un convertir polinomios hasta lo mas reciente como lo son las
ecuaciones diferenciales. Incluyendo la búsqueda de vías alternas de resolución para poder llegar a la
solución propuesta, a pesar de que el problema parezca no tenerla. Se pude decir que se logro el
objetivo propuesto de entender más la aplicación de las ecuaciones diferenciales a sistemas físicos
que uno puede encontrar en su vida diaria. Después de la realización de este proyecto somos más
conscientes de la importancia de lo hay detrás de algún fenómeno en un sistema ingenieril. – Reyes
Ocampo Saúl
