TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SU
INVERSA
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TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SU INVERSA
2019
Objetivos de esta guía
Analizar señales y sistemas en tiempo continuo para sistemas lineales e
invariantes en el tiempo
Transformada de Laplace de Laplace y transformada inversa de Laplace.
Aplica la transformada de Laplace y/o su inversa por medio del uso de tablas de
transformadas a diferentes funciones.
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2. FUNDAMENTO TEÓRICO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Consideremos una función del tiempo 𝑓(𝑡) definida para 𝑡 > 0. Si la función es
una función seccionalmente continua en el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑇 y de orden
exponencial para 𝑡 > 𝑇, su transformada de Laplace se define como:
TABLA DE TRANSFORMADAS
Por integración directa se puede verificar la tabla que se muestra a continuación:
Dominio de tiempo
Dominio de la
frecuencia
𝛿(𝑡)
1
𝐾𝑢(𝑡)
1
𝑒𝑎𝑡𝑢(𝑡)
𝑠−𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑢(𝑡)
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑢(𝑡)
𝑡𝑛𝑢(𝑡)
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
Propiedad
Linealidad
Traslación lineal
𝜔
𝑠>𝑎
𝑠2 + 𝜔2
𝑠
𝑛!
𝑠𝑛 +1
𝑠2 + 𝜔2
𝑛 = 0,1,2,3, …
Dominio de
tiempo
Dominio de la frecuencia
𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)
𝑎𝐹(𝑠) + 𝑏𝐺(𝑠)
𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)
𝐹(𝑠 − 𝑎)
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𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑢(𝑡 − 𝑎)
Traslación real
Corolario
Derivada en el
tiempo
𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠)
𝑓(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎)
𝑒−𝑎𝑠𝐿{𝑓(𝑡 + 𝑎)}
𝑓(𝑛)(𝑡)
𝑠𝑛𝐹(𝑠) − 𝑠𝑛−1𝑓(0) − ⋯ − 𝑓(𝑛−1)(0)
𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝑓′(𝑡)
Corolario
Integral en el
tiempo
𝑡
∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏
0
Multiplicación
por t
−𝐹′(𝑠)
𝑡𝑓(𝑡)
𝑡(𝑛)𝑓(𝑡)
Corolario
(−1)𝑛𝐹(𝑛)(𝑠)
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝑛𝑇)
Función
periódica
𝑡>0
𝑇
∫0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
1 − 𝑒−𝑇𝑠
𝑇
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐿{𝑓(𝑡)} − 𝑒−𝑇𝑠𝐿{𝑓(𝑡 + 𝑇)}
0
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Dada una función en el dominio de la frecuencia 𝐹(𝑠), su inversa es una función
de tiempo y viene dada por:
𝑓(𝑡) = 𝐿−1{𝐹(𝑠)}
TABLA DE TRANSFORMADAS
A partir de la tabla de transformadas directas se obtiene la siguiente tabla que
se repite por comodidad.
Dominio de la
frecuencia
Dominio de tiempo
1
𝛿(𝑡)
1
𝑠−𝑎
𝑠>𝑎
𝐾𝑢(𝑡)
𝑒𝑎𝑡𝑢(𝑡)
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1
𝑠2 + 𝜔2
𝑠
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑢(𝑡)
𝑠2 + 𝜔2
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
𝑡 𝑛 −1
𝑢 (𝑡)
(𝑛 − 1)!
Propiedad
Dominio de la frecuencia
Dominio de
tiempo
Linealidad
𝑎𝐹(𝑠) + 𝑏𝐺(𝑠)
𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)
𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠)
𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑢(𝑡 − 𝑎)
𝐹(𝑠 − 𝑎)
Traslación lineal
Traslación real
𝑒−𝑎𝑠𝐿{𝑓(𝑡 + 𝑎)}
Multiplicación
por 𝑠
𝑠𝐹(𝑠)
División por 𝑠
𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝑎)
𝑓′(𝑡)
𝑠𝑖 𝑓(0) = 0
𝑡
∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏
0
Derivada en el
dominio de 𝑠
𝐹′(𝑠)
3. OBJETIVO
−𝑡𝑓(𝑡)
Aplicar la transformada de Laplace y/o su inversa, por medio del uso de tablas de
transformadas, a diferentes funciones.
4. RECURSOS REQUERIDOS
-
Material bibliográfico de apoyo
5. PROCEDIMIENTO O METODOLOGÍA PARA EL DESARROLLO
Ejercicios propuestos:
1. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
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a)
b) 𝑔(𝑡) = [𝑡 +𝑠𝑒𝑛(2𝑡)]𝑢(𝑡−𝜋)
c)
d) 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)𝑢(𝑡−𝜋/2)
e)
f) 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡)𝑢(𝑡−1)
g)
h) 𝑔(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)𝑢(𝑡−𝜋)
2. Calcule la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:
a) Calculando los coeficientes
b) Sin calcular los coeficientes
c) Calculando los coeficientes
d) Sin calcular los coeficientes
e) Sin calcular los coeficientes
f) Sin calcular los coeficientes
3. Resuelva los problemas de valor inicial:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6. BIBLIOGRAFÍA
-
Zill, D. & Cullen, M. Ecuaciones Diferenciales. 3 ed. McGraw-Hill, 2008.
724 p ISBN 978-970-10-6514-3
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-
Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales. 2
ed. México: Thomson. ISBN 970686038X
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