EJERCICIOS RESUELTOS TEMA2 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases: a) la mitad de un número más ocho. x/2+8 b) el doble de un número, menos su mitad 2x-x/2 c) aumenta en cuatro el triple de un número 3x+4 d) la suma de los cuadrados de dos números x2+y2 disminuye en seis el doble del cuadrado de un número 2x2-6 e) 2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la base y la altura de un rectángulo: a) la base es el doble que la altura. b=2a b) la base excede en cinco unidades a la altura. a+5=b c) La altura es dos quintos de la base. a=2/5b d) El área del rectángulo es de 75 cm2. a·b=75 e) La base y la altura difieren en 3 unidades b-a=3 3. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor de la variable que se indica: a) 3x + 2y, para x = 1; y = 0 3·1 +2·0= 3 +0 = 3 2 b) 3(x + 2) , para x = 1 3( 1+2)2=3 · 9= 27 para x = –2 3(-2+2) 2 =3·0=0 para x = 3/2 3(3/2+2)2 =3(7/2) 2=3· 49/4=147/4 c) 2(x – y)2, para x = 2; y = –3 2(2-(-3))2= 2(2+3) 2=2· 25=50 4. Desarrolla las siguientes igualdades: a) b) c) d) e) f) g) (a + b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+b2 +2ab (a – b)2 (a+b)2=(a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+b2 +2ab (1 – a) (1 + a)=1-a2 (3 + b)2=9+6b+b2 (b + 6) (b – 6)= b2-36 (2a – 1)2=42-4ª+1 Comprueba que son identidades cada uno de los apartados anteriores dando diversos valores y viendo que los resultados coinciden. 5. Expresa como potencias o productos las siguientes sumas: a) x2 – 1=(x+1)(x-1) b) x2 + 4 + 4x=(x+2)2 c) 49 – 9x2=(7-x)(7+x) d) 9x2 – 6x + 1=(3x-1)2 e) x2 – 12x + 36=(x-6)2 f) x2 – y2=(x-y)(x+y) 6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x + 28 = 12 x=12-28=-16 b) x – 10 = 12 x=10+12=22 c) x + 2 = 8 x=8-2=6 5-3=x=2 d) 5 – x = 3 e) 9 – x = 0 9=x f) x + 5 = 81 x=81-5=76 8-1=x=7 g) 8–x=1 7. Resuelve estas ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g) h) x=6/3=2 3x = 6 5x = 25 x=25/5=5 9x = 99 x=99/9=11 2x = 64 x=64/2=32 x=5/2 2x = 5 6x = 1 x=1/6 x=3/7 7x = 3 12x = 21 x=21/12=7/4 8. Halla el valor de la incógnita en cada ecuación: a) 3x – 6 = 0 b) 5s – 4 = 16 c) 7y + 5 = 33 3x=6 x=6/3=2 5s=16+4 5s=20 s=4 7y=33-5=28 y=28/7=4 d) 1 – 2x = 0 1=2x 1/ 2=x e) 190 – 9z = 100 190-100=9z 90=9z 90/9=z=10 36/3=x f) 37 – 3x = 1 37-1=3x 36=3x 12=x 9. Encuentra el valor de x: a) b) c) d) e) f) g) h) x=12/12=1 5x + 7x = 12 12x=12 9x + 14x = 50 23x=50 x=50/23 5=x 3x – 2 = 4x – 7 7-2=4x-3x 2x – 7 = 3x + 8 -7-8=3x-2x -15=x 11x + 7x + 3x = 7 21x =7 x=7/21=1/3 4x + 12x = 30 + 15x 16x=30+15x 16x-15x=30 x=30 29=17x+5x 29=22x 29/22=x 29 – 17x = 5x –3x + 2 = x – 10 10+2=x+3x 12=4x 12/4=x=3 10. Resuelve: 2x-2=0 2x=2 x=1 2(x – 1) = 0 5-5x=0 5=5x 5/5=x=1 5(1 – x) = 0 7(x – 2) = 42 7x-14=42 7x=42+14=56 7x=56 x=56/7=8 9(2x – 3) = 9 18x-27=9 18x=9+27=36 x=36/18=2 9+3x=2x+10 3x-2x=10-9 x=1 3(3 + x) = 2x + 10 f) (x – 1)9 = 6x + 18 9x-9=6x+18 9x-6x=18+9 3x=27 x=27/3=9 g) x + 7 = 2(x – 3) x+7=2x-6 7+6=2x-x 13=x h) 12 + 2(x – 3) = 3 12+2x-6=3 2x=3+6-12 2x=-3 x=-3/2 a) b) c) d) e) 11. Resuelve las ecuaciones: a) 2 (x + 3) – 6 (5 + x) = 4x + 8 2x+6-30-6x=4x+8 -4x-24=4x+8 -24-8=4x+4x -32=8x -32/8=-4=x b) 5 (2 – x) + 3 (x + 6) = 10 – 4 (6 + 2x) 10-5x+3x+18=10-24-8x 28-2x=-14-8x 8x-2x=-14-28 6x=-42 c) 3x + 8 – 5x – 5 = 2 (x + 6) – 7x -2x+3=2x+12-7x 7x-2x-2x=12-3 3x=9 x=3 d) 4x – 2 + 6 (x – 4) = 6 + 2x 4x-2+6x-24=6+2x 10x-26=6+2x 10x-2x=6+26 8x=32 x=4 12. Resuelve las ecuaciones: a) (− 3)+ x = 4 − 3 + x = −8 x = −8 + 3 = −5 = x −2 x=-42/6=-7 x +3 = x + 5 x + 3 = 3·(x + 5 ) x + 3 = 3x +15 b) 3 3 − 15 = 3x − x − 12 = 2x − 12 / 2 = −6 = x x-1 c) − 5 = 3 x− 1= − 15 x= 1− 15= − 14 2x + 6 = x - 5 2x + 6 = -2( x - 5 ) 2x + 6 = -2x +10 d) − 2 2x + 2x = 10 - 6 4x = 4 x = 1 13. Resuelve las ecuaciones: 2 35 x + = MCM 4,3 ,12 = 12 4 3 12 x 2 35 a) 12 4 + 3 = 12 3x 8= 35 3x= 35− 8= 27 x= 27/3= 9 3x 4 2x 12 + = 7 5 2 35 ⎛ 3x 4 2x 12 ⎞ b) 70⎜ + = - ⎟ 30 x + 56 = 70 x − 24 ⎝ 7 5 2 35 ⎠ 56 + 24 = 70 x − 30 x 80 = 40 x 2 = x c) x + 3 - x - 3 = x - 5 - 1 10 8 4 MCM( 8,10,4 ) = 40 x+3 x - 3 x - 5 = - 1) 10 8 4 5(x + 3 ) − 4(x − 3 ) = 10(x − 5 ) − 40 40( 5x + 15 − 4x + 12 = 10 x − 50 − 40 x + 27 = 10 x − 90 27 + 90 = 10 x − x 117 = 9x 117 / 9 = 13 = x 95 - 10x 10x - 55 = 2 2 20 x − ( 95 − 10 x) = ( 10 x − 55 ) d) 10x - 20 x − 95 + 10 x = 10 x − 55 20 x = 95 − 55 = 40 x = 40 / 20 = 2 e) 5x - 3 10 + 5x 5 = 5x 4 5 2 MCM( 4,5,2 ) = 20 − 5( 5x − 3 ) = 100 x − 4( 10 + 5x ) − 50 − 25 x + 15 = 100 x − 40 − 20 x − 50 − 25 x + 15 = 80 x − 90 90 + 15 = 80 x + 25 x 105 = 105 x x =1 5x + 40 ⎛ 3x 5x ⎞ 5x - ⎜ + ⎟ = 6x + f) 5⎠ 5 ⎝ 3 5x + 40 5x + 40 3x = 6x + 5x - 2 x = 6x + 5 5 5x + 40 5x + 40 3x − 6x = − 3x = 5 5 − 15 x = 5x + 40 − 40 = 5x + 15 x − 40 = 20 x x = −2 g) 5x + 2 ⎛ 3x - 1 ⎞ 3x + 20 ⎛ x + 4 ⎞ -⎜x-⎜ + 5⎟ ⎟= 3 2 ⎠ 2 ⎝ ⎝ 6 ⎠ 5x + 2 3x − 1 3x + 20 x + 4 - x+ = −5 3 2 2 6 2( 5x + 2 ) − 6x + 3( 3x − 1 ) = 3( 3x + 20 ) − (x + 4 ) − 30 10 x + 4 − 6x + 9x − 3 = 9x + 60 − x − 4 − 30 13 x + 1 = 8x + 26 5x = 25 x = 5 13x − 8x = 26 − 1 h) 20 x5 ⎛ ⎞ 3 3x + 2⎜ 4x - ⎟ = 9x + 5 6⎠ 2 ⎝ x 20 x 10 10 5 = 9x + 5 − + 3x + 8x − 3x + 8x − = 9 x + 5 − + 6 2 6 3 2 3 18 x + 48 x − 10 = 54 x + 30 − 3 x + 20 56 x − 10 = 51x + 50 5 x = 60 x= 60 = 12 5 56 x − 51x = 50 + 10 14. ¿Qué número sumado con 15 da 28? X+15=28 x=28-15=13 15. ¿Qué número multiplicado por 3 y sumando luego 7 da 19? 3x+7=19 3x=19-7 3x=12 x=12/3=4 16. La suma de dos números impares consecutivos es 32. ¿Cuáles son dichos números? x+x+2=32 2x=32-2 2x=30 x=15 17 17. Tres números pares consecutivos suman 150. ¿De qué números se trata? X+x+2+x+4=150 3x+6=150 3x=144 x=144/3=48 50 52 18. Halla tres números consecutivos que sumen 663. ¿Existirán tres números pares consecutivos que sumen 663? X+x+1+x+2=663 3x+3=663 3x=660 x=660/3= 220 221 222 19. Halla dos números impares consecutivos sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 24. X X+2 x2+4+4x-x2=24 4x+4=24 4x=20 x=5 7 (x+2)2-x2=24 20. Si al doble de un número le sumamos 5 obtenemos su triple. ¿De qué número hablamos? X 2x+5=3x 5=3x-2x 5=x 21. Encuentra dos números naturales que sumen 48 y que al dividir uno entre otro se obtenga 3 de cociente y 4 de resto. X ,48-x 48-x 4 x 3 48-x=3x+4 44=4x 11=x 48-11=37 22. Juan tiene 28 años menos que su padre. Dentro de 15 años, la edad del padre será el doble de la de Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno? Pasado Juan Padre (x+28+15)=2(x+15) x+43=2x+30 Presente x X+28 43-30=2x-x Futuro X+15 X+28+15 13=x Juan tiene 13 años Su padre tiene 41 años 23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el padre el doble de la edad del hijo? X:= años que tienen que pasar Pasado Hijo Padre Presente 8 30 Futuro 8+x 30+x (30+x)=2(x+8) 30+x=2x+16 30-16=2x-x 14=x dentro de 14 años el padre tendrá el doble que el hijo. 24. Un profesor tiene 42 años y su alumno 12. ¿Cuántos años faltan para que la edad del profesor sea el triple que la del alumno? Pasado Presente 12 42 Alumno Profesor 42+x=3(12+x) 42+x=36+3x Han de pasar 3 años 42-36=3x-x 6=2x Futuro 12+x 42+x 3=x 25. La edad de una madre es el triple de la de su hijo y, dentro de 16 años, sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno? Pasado Presente Futuro Hijo X X+16 Madre 3x 3x+16 3x+16=2(x+16) 3x+16=2x+32 Hijo 16 años Madre 3·16=48 años 3x-2x=32-16 x=16 26. Un padre tiene 48 años y su hijo 25. Averigua cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea doble que la del hijo. X:=años que han de trascurrir Pasado Hijo Padre 48+x=2(25+x) 48+x=50+2x Presente 25 48 -2=x Ninguno fue hace dos años Futuro 25+x 48+x 27. Juan le preguntó a María cuántos años tenía, y ésta le respondió: “El doble de los años que tenía hace quince años más los que tengo ahora, es el triple de los que tenía hace diez años”. ¿Cuántos años tiene María? Pasado hace 15 x-15 María Pasado hace 10 x-10 Presente X 2·( x-15)+x=3·(x-10) 2x-30+x=3x-30 3x=3x x=x 28. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la madre tuviera treinta años menos y la hija 8 años más, tendrían la misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la madre y la hija? Pasado Hija Madre Presente x 3x 3x-30 3x-30=x+8 2x=38 Futuro X+8 x=19 madre 57 29. La base de un rectángulo es 3 cm mayor que la altura. Si aumentamos en 2 cm tanto la base como la altura del rectángulo, su área aumenta en 26 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo inicial? a a+2 a+3 a+5 (a+5)(a+2)-(a+3)·a=26 a2+5·a+2·a+10-a2-3·a=26 4 a=16 a=4 El rectangulo original tine 4x7 cm. 30. Si aumentamos en 3 cm el lado de un cuadrado obtenemos otro cuadrado con 51 cm2 más de área. ¿Cuánto mide el lado del primer cuadrado? a a+3 a a+3 (a+3)(a+3)-a·a=51 6 a=51-9 6·a=42 a2+ 3 a+3 a+9-a2=51 a=7 31. Los dos catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en 2 cm. Si disminuimos 2 cm en cada uno de los lados obtenemos otro triángulo con 12 cm2 menos de área. ¿Cuál es el área del triángulo original? X+2 x X x-2 Área del grande=x(x+2)/2 x ( x + 2) ( x − 2) x − = 12 2 2 x 2 + 2 x − x 2 + 2 x = 24 Área del pequeño=(x-2)x/2 MCM = 2 4 x = 24 x( x + 2) − x( x − 2) = 12 ( x 2 + 2 x) − ( x 2 − 2 x) = 24 x=6 Luego el triángulo original es de catetos 6 y 8 32. De un cuadrado de cartón reciclado recortamos un rectángulo cuya base tenga 2 cm menos que el lado del cuadrado y cuya altura sea también 2 cm. ¿Qué medida debe tener el cuadrado de cartón para que el área de la segunda figura sea la misma que el área de otro cuadrado, que resulta de restar 2 cm a cada lado del primero? 33. Una circunferencia tiene un radio que mide 8 cm. ¿Cuánto hemos de aumentar el radio para que la longitud de una nueva circunferencia sea el triple de la longitud de la primera? L Pequeña=2∏8 2∏(8+x)=3·2∏8 x=32∏/2∏=16 r=8 cm L grande 2∏(8+x) 16∏+2∏x=48∏ r=8+x cm 2∏x=48∏ -16∏ = 32∏ 34. Tengo una habitación cuadrada. Para ampliarla corro el tabique un metro, con lo que obtengo una habitación rectangular cuya superficie ha aumentado 4 m2. Calcula los lados de la nueva habitación. x X x+1 Área grande x(x+1) Área Pequeña x2 X(x+1)-x2=4 x2+x-x2=4 x=4 Luego las dimensiones del nuevo rectñangulo son 5 , 4 35. El área de un rectángulo aumenta en 185 cm2 cuando la base y la altura vienen aumentadas en 5 cm cada una. Halla las dimensiones del rectángulo sabiendo que la primera es el triple de la segunda. X x+5 3x Área del grande (x+5)(3x+5) Área del pequeño 3x2 (x+5)(3x+5)- 3x2=185 3x+5 3x2+5x+15x+25-3x2=185 20x=185-25=160 x=160/20=8cm Luego el rectángulo será 8 y 24 cm respectivamente 36. La longitud de la base de un rectángulo es 4 m mayor que la longitud de su altura. Si la longitud de la base aumenta en 2 cm y la altura en 3 cm, el área aumenta en 58 cm2. Halla las dimensiones del rectángulo X x+3 X+4 X+6 Área del grande (x+6)(x+3) Área del pequeño x(x+4) (x+6)(x+3) - x(x+4)=58 (x2+3x+6x+18)-(x2+4x)=58 (x2+3x+6x+18-x2-4x)=58 5x+18=58 5x=40 x=8 Luego el rectángulo tenía 8 y 12 m. 37. Dos fuentes abiertas simultáneamente llenan un depósito en 3 horas. Una de ellas, en solitario, lo llenaría en 4 horas. ¿Cuántas horas tardaría la segunda en llenarlo ella sola? 1 1 11 1 1 1 + = = − = 4 x 3 x 3 4 12 x=12 horas 38. Dos hombres tardan 5 horas en levantar una pequeña tapia de ladrillo. Uno de ellos, que trabaja más que el otro, lo haría él solo en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el segundo trabajando en solitario? 39. Un depósito se llena con un grifo en 2 horas y, con otro, en tres horas. Averigua el tiempo que tarda en llenarse el depósito si se abren los dos grifos a la vez. 40. Un obrero ha empleado 25 días en la realización de un trabajo. Si hubiera dedicado dos horas más por día hubiera terminado en 20 días. ¿Durante cuántas horas trabajó diariamente? 25x=20(x+2) 25x=20x+40 5x=40 x=8 h. 41. Un depósito se llena con un grifo en 4 horas; con otro tarda en llenarse 6 horas, y se vacía por un desagüe en 3 horas. Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres. 42. Dos personas, A y B, que distan entre sí 45 km, empiezan a caminar por la misma carretera pero en sentido contrario. La primera (A) con velocidad de 5 km/h y la segunda (B) con velocidad de 4 km/h. ¿Cuándo y dónde se encontrarán? 43. Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo punto y salen también del mismo punto. La velocidad de A es de 30 km/h y la de B es de 37’5 km/h. El ciclista B sale 2 horas más tarde que A y lo alcanza en el momento de llegar ambos al punto de cita. ¿Cuánto tiempo ha empleado B y qué distancia ha recorrido? 44. Una persona va de una población a otra en un tranvía que lleva una velocidad de 14 km/h y regresa andando con una velocidad de 4 km/h. ¿Qué distancia hay entre las dos poblaciones si tarda seis horas en ir y volver? 45. A las 10h 45 m sale un avión de Madrid hacia Nueva York, siendo su velocidad de crucero de 1.000 km/h. A la misma hora sale de Nueva York un reactor hacia Madrid con una velocidad de 800 km/h. ¿A qué distancia de Madrid y a qué hora se cruzarán ambos aviones? (La distancia de Nueva York a Madrid es de 7.800 km) 46. A un vinatero le encargaron 60 l de vino a un precio de 1’1 euros/l. El comerciante sólo dispone de vino a 1’2 euros/l, así que decide echarle agua hasta obtener una mezcla del precio pedido. ¿Cómo debe hacerse la mezcla si suponemos que el agua es gratis? 47. El agua del mar tiene un 3 % de sal. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar a 25 kg de agua de mar para que tenga sólo un 2 % de sal? RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROBLEMAS DE NÚMEROS 1º). La suma de dos números impares consecutivos es 32. ¿Cuáles son dichos números? x=1º número impar x+2=2º impar x+x+2=32 2x=32-2 15+2=17 2x+2=32 2x=30 x=30/2 x=15 , 18.Halla tres números consecutivos que sumen 663. ¿Existirán tres números pares consecutivos que sumen 663? X=1º número X+1=2º X+2=3º X+x+1+x+2=663 3x+3=663 3x=663-3 3x=660 x=660/3=220 220,221,222 2 apto. No porque tres pares suman un número par. 17. Tres números pares consecutivos suman 150. ¿De qué números se trata? X X+2 X+4 X+x+2+x+4=150 3x+6=150 3x=150-6=144 x=144/3=48 48,50,52 20. Si al doble de un número le sumamos 5 obtenemos su triple. ¿De qué número hablamos? X=número 2x =el doble 3x=el triple +2x+5=3x 5=3x-2x 5=x Problemas de edades 23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el padre el doble de la edad del hijo? X=años que han de pasar Pasado Presente Futuro 30+x=2(x+8) 30+x=2x+16 14=x Hijo Padre 8 8+x 30 30+x 30-16=2x-x 22. Juan tiene 28 años menos que su padre. Dentro de 15 años, la edad de éste será el doble de la de Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno? X=edad de juan Pasado Presente Futuro Juan Padre x X+15 X+28 X+28+15 X+28+15=2(x+15) X+43=2x+30 43-30=2x-x 13=x padre=41 28 56 24. Un profesor tiene 42 años y su alumno 12. ¿Cuántos años faltan para que la edad del profesor sea el triple que la del alumno? X=años que faltan (42+x)=3*(12+x) Profe Triple En el futuro 42+x=36+3x 6=2x años Alumno 42-36=3x-x 6/2= x=3 Faltan 3 25. La edad de una madre es el triple de la de su hijo y dentro de 16 años, sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno? X=edad del hijo. 3x=edad madre. 3x+16=2*(x+16) 3x+16=2x+32 3x-2x=32-16 x=16 =hijo 32 madre=48 64 28. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la madre tuviera treinta años menos y la hija 8 años más, tendrían la misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la madre y la hija? 3x-30=x+8 3x-x=8+30 2x=38 x=38/2=19 hija 19 madre 57 19+8=27 57-30=27 27. Juan le preguntó a María cuántos años tenía y ésta le respondió: “El doble de los años que tenía hace quince años más los que tengo ahora es el triple de los que tenía hace diez años”. ¿Cuántos años tiene María? 2(x-15)+x=3(x-10) 2x-30+x=3x-30 3x-30=3x-30 x=cualquier número 25. La edad de una madre es el triple de la de su hijo y, dentro de 16 años, sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno? 3x+16=2(x+16) 3x+16=2x+32 3x-2x=32-16 x=16 Actual hijo 16 madre 48 Pasados 16 años hijo 32 madre 64 La que tenía hace 22 años es la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años.¿Cual es mi edad? x-22= x 2 8 2(x-22)=x+8 2x-44=x+8 2x-x=8+44 x=52 28. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la madre tuviera treinta años menos y la hija 8 años más, tendrían la misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la madre y la hija? Problemas de áreas 29. La base de un rectángulo es 3 cm mayor que la altura. Si aumentamos en 2 cm tanto la base como la altura del rectángulo, su área aumenta en 26 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo inicial? x x x+2 x+3 x+3+2=x+5 AP=x(x+3) AG=(x+5)(x+2) (x+5)(x+2)= x(x+3)+26 x2+2x+5x+10=x2+3x+26 7x+10=3x+26 7x-3x=26-10 4x=16 x=16/4 x=4 cm 30. Si aumentamos en 3 cm el lado de un cuadrado obtenemos otro cuadrado con 51 cm2 más de área. ¿Cuánto mide el lado del primer cuadrado? X+3 X x x+3 AP=x2 AG=(x+3)(x+3) x2 +51=(x+3)(x+3) x2 +51=x2+3x+3x+9 51-9=6x 42=6x 51=6x+9 42/6=7=x 31. Los dos catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en 2 cm. Si disminuimos 2 cm en cada uno de los lados obtenemos otro triángulo con 12 cm2 menos de área. ¿Cuál es el área del triángulo original? Problemas de grifos u obreros . Dos fuentes abiertas simultáneamente llenan un depósito en 3 horas. Una de ellas, en solitario, lo llenaría en 4 horas. ¿Cuántas horas tardaría la segunda en llenarlo ella sola? X=horas que tarda el 2º grifo 1ºgrifo en una hora= 1/4 depósito 2ºgrifo en una hora= 1/x depósito 1º y 2ºgrifo en una hora= 1/3 depósito 1 1 1 = 4 x 3 1 1 1 4− 3 1 1 = − = = = x 3 4 12 12 x x= 12 hras X=horas en llenar el deposito 1º y 2º grifo 1º grifo en una hora=1/5 de deposito 2º grifo en una hora=1/8 de deposito 1º y 2º grifo en una hora=1/x 1 5 1 1 8 5 1 13 = = = = 8 x 40 x 40 40 x= 13 38. Dos hombres tardan 5 horas en levantar una pequeña tapia de ladrillo. Uno de ellos, que trabaja más que el otro, lo haría él solo en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el segundo trabajando en solitario? X=horas que tarda el mas perrangón 1º albañil en una hora 1/6 de tapia 2º albañil en una hora 1/x de tapia 1º y 2º albañil en una hora 1/5 de tapia 1 1 1 = 6 x 5 1 1 1 1 = − = x 5 6 30 x= 30 horas 39º) Un depósito se llena con un grifo en 2 horas y con otro en tres horas. Averigua el tiempo que tarda en llenar el depósito si se abren los dos grifos a la vez. X=horas que tardan los dos grifos juntos 1ºgrifo en una hora= ½ depósito 2ºgrifo en una hora= 1/3 depósito 1º y 2ºgrifo en una hora= 1/x depósito 1 1 1 = 2 3 x 3 2 1 5 1 = = 6 x 6 x 5x= 6 x= 6/5 horas 60= 360/5= 72 min= 1h 12 min 41. Un depósito se llena con un grifo en 4 horas; con otro tarda en llenarse 6 horas, y se vacía por un desagüe en 3 horas. Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres. 1º grifo en una hora ¼ de deposito 2º grifo en una hora 1/6 de deposito Desague en una hora 1/3 de deposito. Los tres juntos tardan x horas Los tres juntos en una hora 1/x de deposito. 1 4 1 1 1 − = 6 3 x 3 2− 4 1 1 = = 12 12 x x= 12 6 obreros tardan 4 dias en hacer una pocilga ¿Cuánto tardarían 4 obreros? 6 ob------------4 dias 4ob--------------x dias Inversa 4/x=4/6 4x=24 x=6 dias De móviles Dos personas, A y B, que distan entre sí 45 km, empiezan a caminar por la misma carretera pero en sentido contrario. La primera (A) con velocidad de 5 km/h y la segunda (B) con velocidad de 4 km/h. ¿Cuándo y dónde se encontrarán A X v=5km/h v=4km/h B 45 km e=v·t Vehi A Vehi B Vehi A Vehi B e v t e 45-e 5 4 t t e=5t 45-e=4t 45-5t=4t t=5 h 25 km=e 45=9t e=5t e=5*5= 44 Una persona va de una población a otra en un tranvía que lleva una velocidad de 14 km/h y regresa andando con una velocidad de 4 km/h. ¿Qué distancia hay entre las dos poblaciones si tarda seis horas en ir y volver? e=v·t Ida Vuelta E=14t E=4(6-t) 4(6-t)=14t e v t e e 14 4 t. 6-t 24-4t=14t 24=14t+4t 24=18t 24/18=t 4/3 horas =t=1,333333…..h e=14t=14*4/3==18,66km Jacarilla Disco AsRey 43. Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo punto y salen también del mismo punto. La velocidad de A es de 30 km/h y la de B es de 37’5 km/h. El ciclista B sale 2 horas más tarde que A y lo alcanza en el momento de llegar ambos al punto de cita. ¿Cuánto tiempo ha empleado B y qué distancia ha recorrido? e=v·t A B A B e v t e e 30 37,5 t t-2 e=30 t e=37,5·(t-2) 30t=37,5·(t-2) 30t=37,5t-75 75=37,5t-30t 75=7,5t 75/7,5=t=10 h A esta 10 h B esta 8 h e=30 t e=30·10=300km 45. A las 10h 45 m sale un avión de Madrid hacia Nueva York, siendo su velocidad de crucero de 1.000 km/h. A la misma hora sale de Nueva York un reactor hacia Madrid con una velocidad de 800 km/h. ¿A qué distancia de Madrid y a qué hora se cruzarán ambos aviones? (La distancia de Nueva York a Madrid es de 7.800 km) Mad NY A 1000 Km/h X 800 km/h 7800 distancia de Madrid a X =e distancia de Ny a X =7800-e e=v·t Madrid NY e v t e 7800-e 1000 800 t t e=1000t 7800-e=800t 7800-1000t=800t 7800=1000t+800t 7800=1800t 7800/1800=4.333 h=t e=1000 ·4,333=4333 km 10h 45 + 4h 20 min= 14h 65 min 15 h 5 min PROBLEMAS DE ECUACIONES DE 2ºGRADO 15.La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 265. ¿Cuáles son esos números? X= 1º número X+1=su consecutivo X2+(x+1)2=265 X2+ x2+2x+1=265 2x2+2x+1-265=0 2x2+2x-264=0 x2+x-132=0 − b± b2 − 4 ac 2a − 1± 1− 4 1 − 132 x= 2 1 − 1± 1 528 − 1± 23 = = x= 2 2 − 1 23 − 1− 23 = 11 = − 12 2 2 x= Si tenemos un cuadrado de 3 cm de lado, ¿cuánto debe valer el lado de otro cuadrado para que su área sea el doble que el área del anterior? 3cm x cm Ap=9 cm2 Ag=18 cm2=x2 18 =x2 x=raiz(18)=4,25 cm 20. Si el radio de un círculo aumenta 2 cm, el área aumenta 20π cm2. Averigua el radio de este círculo y su área. 17. El área de una parcela rectangular mide 37.500 m2. Si la base de la parcela mide 100 m más que la altura, ¿cuáles son sus dimensiones? 37500 m2 376033 X+100 250 X 150 x(x+100)=37500 X2+100x-37500=0 − 100± 100 2− 4 − 37500 = 2 − 100± 160000 − 100± 400 = = 150 − 250 2 2 x= 12. Dos tabletas de chocolate, uno negro y otro blanco cuestan 1’50 €. Si hemos comprado 7 tabletas de chocolate negro y 9 de blanco y nos ha costado todo 12’60 €, ¿cuánto cuesta cada tableta? 95 - 10x 10x - 55 = 2 2 95 - 10x 10x - 55 2· 10x -2· =2· 2 2 20 x− 1 95− 10 x = 1 · 10 x− 55 20 x− 95 10 x= 10 x− 55 30 x− 95= 10 x− 55 30 x− 10 x= 95− 55 20 x= 40 x= 40/20= 2 10x - 4 2x 12 3x + = 7 5 2 35 MCM 7,5 ,2,35 = MCM 2, 35 = 70 3x 4 2x 12 70· +70 · =70 · -70· 7 5 2 35 30 x 56= 70 x− 24 56 24= 70 x− 30 x 80= 40 x 80/40= x= 2 x-5 x+3 x-3 = -1 8 10 4 MCM 8, 10 ,4 = MCM 8, 10 = 40 x+3 x-3 x-5 40 · - 40. = 40· - 40· 1 8 10 4 5 x 3 − 4 x− 3 = 10 x− 5 − 40 5x 15− 4x 12= 10 x− 50− 40 x 27= 10 x− 90 90 27= 10 x− x 117= 9x 117 /9= 13= x ¿Qué número multiplicado por 3 y sumando luego 7 da 19? X=numero 3x+7=19 3x=12 3x=19-7=12 x=4 A una fiesta asisten 43 personas. Si se marchan 3 chicos, habría el triple de chicas que de chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay? X=nº chicas 43-x chicos se marchan 3 chicos 43-x-3=40-x 3(40-x)=x 120-3x=x 120=4x 120/4=30=x chicas 43-30=13 chicos Carmen tiene 42 años y su hijo 10. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad de Carmen sea el triple de la edad de su hijo? X=años que han de pasar 42+x=3(10+x) 42+x=30+3x 12=2x x=6 42-30=3x-x Una bodega ha exportado, el primer semestre del año , la mitad de sus barriles y, en los dos meses siguientes, un tercio de lo que quedaba.¿Cuántos barriles tenía la bodega al comienzo del año si ahora le quedan un total de 40.000 barriles? X=nº barriles 1ºS 2ºS vende x/2 vende(x/2)/3=x/6 x x 40000 = x 2 6 MCM 2,6 = 6 x x 6· 6· 6 · 40000= 6· x 2 6 3x x 240000= 6x 240000= 6x− 3x− x 240000= 2x 240000 /2= 120 .000= x X=precio tableta choco negro Y= precio tableta choco blanco x+y =1,5 7x+9y=12.6 x=1,5-y 7(1.5-y)+9y=12.6 10.5-7y+9y=12.6 2y=12.6-10.5=2.1 2y=2,1 y=2,1/2=1,05 euros x=1,5-1,05=0.45 euros 5. Encuentra dos números tales que el triple del primero aumentado en 10 unidades sea igual al segundo, mientras que el doble del segundo disminuido en 4 sea igual a 8 veces el primero. X=1º Y=2º 3x+10=y 2y-4=8x 2(3x+10)-4=8x 6x+20-4=8x 16=8x-6x=2x 16=2x x=8 3x+10=y 24+10=34=y