Clasificación de las funciones Se clasifican de acuerdo con su definición en: Implícitas: En estas funciones no hay variable despejada, ni se sabe quién es la variable dependiente ni la variable independiente: y²-3x+x²-8 Explicitas: En estas funciones existe una variable despejada y están indicadas las operaciones que se requieren realizar para obtener su valor: y=x^2-3 Y de acuerdo con su expresión: Funciones Algebraicas: Una función algebraica es aquella cuya variable dependiente se obtiene combinando un número finito de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces en los que se involucra la variable independiente. Ejemplos: Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente forma parte del exponente o de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una relación trigonométrica. Funciones explícitas y funciones implícitas 1 En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación Y= 4x² +3 dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. 𝑑𝑦 Si queremos hallar la derivada 𝑑𝑥 para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / X = X-1, obteniendo su derivada fácilmente: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = X-2 = 1 𝑋2 El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación X2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x? El método de regla de la cadena para funciones implícitas Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena. Ejemplo1: 𝑑 𝑑𝑥 (X3) = 3x2 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente. Ejemplo 2: 𝑑 𝑑𝑥 (Y3) = 3Y2 𝑑𝑦 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena. 𝑑𝑥 Ejemplo 3: Hallar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de la función implícita: ax6 + 2x3 y – y7 x = 10 Aplicando la notación a 𝑑 𝑑𝑥 (x6) + 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 , a cada término y extrayendo las constantes; (x3y) - 𝑑 (y7x) = 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 (10) En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término. 6ax5 + 2[ 𝑑 𝑑𝑥 (x³) y + x³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ]-[ 𝑑 𝑑𝑥 (y7) x + La regla de la cadena se aplica el término el segundo paréntesis, 6ax5 + 2[ 3(x2 y + x³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ] - [ 7y6 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 (x)y7= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 - 7y6 𝑑𝑦 𝑑𝑥 x + y7= 0 x + y7= 0 𝑑𝑥 (10) (y7), como puede observarse a continuación claramente en quitando paréntesis y ordenando los términos, 6ax5 + 6x2 y + 2x³ 𝑑 pasando algunos términos al lado derecho, 2x3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 - 7xy6 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = y7 - 6ax5 - 6x2 y extrayendo el factor común 𝑑𝑦 (2x3 - 7xy6 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , = y7 - 6ax5 - 6x2 y y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 7 −6𝑎𝑥 5 −6𝑎2 𝑦 2𝑥 3− 7𝑥𝑦 6 dy/dx con derivadas parciales Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente: 𝑑𝑦 =- 𝑑𝑥 donde y 𝑎𝑓 𝑎𝑦 𝑎𝑓 𝑎𝑥 𝑎𝑓 𝑎𝑥 𝑎𝑓 𝑎𝑦 , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x, , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y. Ejemplo 4: Hallar 𝑑𝑦 , de la función implícita: 𝑑𝑥 ax6 + 2x3 y – y7 x = 10 Solución: Primero, segundo, 𝑎𝑓 𝑎𝑥 𝑎𝑓 𝑎𝑦 = 6ax5 + 6x2 y – y7 = 2x3 – 7xy6 ahora el cociente, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =- 𝑎𝑓 𝑎𝑥 𝑎𝑓 𝑎𝑦 =- 6𝑎𝑥 5 +6𝑥 2 𝑦−𝑦 7 2𝑥 3 −7𝑥𝑦 6 acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =- 𝑦 7 −6𝑎𝑥 5 −6𝑥 2 𝑦 2𝑥 3 −7𝑥𝑦 6 Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita. Nota: Solo doy un ejemplo ya que para el buen entendido del tema es suficiente. Cada lector puede consultar libros sobre el tema y probar la fórmula que proponemos. 2 FUNCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS Se dice que una función está expresada en forma explícita cuando en su ecuación la variable dependiente o función está despejada. Es decir, cuando adopta la forma: y = f(x) es decir, la variable dependiente y está despejada. En caso contrario, si en su ecuación la variable dependiente no está despejada, se dirá que la función se halla en forma implícita, es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0. Por ejemplo, la función y=5x3 - 4x²+1 está en forma explícita, mientras que la función 3x²y - 5xy²-x2 +y3 -1=0 se encuentra en forma implícita. Para pasar una función de forma explícita a implícita, basta con pasar todos los términos de su ecuación a un solo miembro. Esta transformación siempre es posible. Ejemplo. Pasar a forma implícita la función: y= Quitando denominadores: y (x3 - 1) = x2 - 5x + 2 Operando: x3 y - y = x2 - 5x + 2 Pasando todo al primer miembro: x3 y - x2 + 5x - y - 2 = 0 que sería la función dada, pero en forma implícita. Para pasar de forma implícita a explícita, basta con despejar la función y en la primera. Ejemplo. Pasar a forma explícita la función: Xy2 – 5y2 + 3x - 4 = 0 Dejemos en el primer miembro de la ecuación todos los términos que presenten la variable dependiente, con lo que: xy2 – 5y2 = 4 - 3x Sacando y2 factor común en dicho primer miembro: y2 (x - 5) = 4 - 3x Despejando la y: y2 = El paso de una función en forma implícita a su correspondiente forma explícita no siempre es posible. REGLAS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente: Duda una función F(x, y ), implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f ´(x). Si consideramos y= f (x)es una función en términos de la variable independiente xyG (y) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que y=f(x), entonces para obtener la derivada: Dx (G (y)) = Dx (G(f(x))) = G' (f(x)) (f '(x)) DERIVADAS IMPLÍCITAS EJERCICIOS RESUELTOS 2 3 2 Obtener la derivada de: 6x y + 5y + 3x = 12 – x2 y2 El término 6x² se puede considerar que son dos funciones, 6x2 y y por lo que se derivará como un producto: 𝑑𝑦 Dx (6x2y) = (12x)*y +(6x2 )* ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 El término 5y se deriva como: Dx (5y3) = 15y2 * ( ) 3 𝑑𝑥 El término 3x2 se deriva de forma normal como: Dx (3x2 )=6x El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante. Dx (12 )=0 El término x2 y2 se puede considerar como un producto y se deriva como: Dx (x2y2) = 2xy2 + x2 (2𝑦 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) Al unir todos los términos se obtiene: 12xy + 6x2 * Ordenando: 6x2 * 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 15y2 * + 15y2 * 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6x = - 2xy2 - 2x2y * + 2x2y * 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Factorizando respecto a ( ) los valores son: Finalmente despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =- 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = -12xy -6x -2xy2 (6x2 + 15y2 + 2x2y) * 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - (12xy + 6x + 2x2 ) se obtiene la derivada de la función implícita: 𝑑𝑥 12𝑥𝑦+6𝑥+2𝑥𝑦 2 6𝑥 2 +15𝑦 2 +2𝑥 2 𝑦 REGLA DE LA CADENA La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = [f (g(x))] = f '(g(x))*g'(x) Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas f son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica. Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c. Existen seis funciones trigonométricas: Seno El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c). Su abreviatura son sen o sin (del latín sinus). La gráfica de la función seno es: La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos. Dominio: Condominio: Derivada de la función seno: Integral de la función seno: Coseno El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c). Su abreviatura es cos (del latín cosinus). La gráfica de la función coseno es: La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes). Dominio: Condominio: Derivada de la función coseno: Integral de la función coseno: Tangente La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b). Su abreviatura es tan o tg. La gráfica de la función tangente es: La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes). Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2; … Condominio: Derivada de la función tangente: Integral de la función tangente: Cosecante La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1. La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a). Su abreviatura es csc o cosec. La gráfica de la función cosecante es: La función de la cosecante es periódica de período (2π radianes). Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero. Condominio: Derivada de la función cosecante: Integral de la función cosecante: 360º Secante La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es decir sec α · cos α=1. La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b). Su abreviatura es sec. La gráfica de la función secante es: La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes). Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;… Condominio: Derivada de la función secante: Integral de la función secante: Cotangente La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1. La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a). Su abreviatura es cot, cotg o cotan. La gráfica de la función cotangente es: La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes). Dominio: número entero. (excepto a · π), siendo a un Condominio: Derivada de la función cotangente: Integral de la función cotangente: Analiza los siguientes planteamientos, cópialos en el documento anterior y contesta correctamente. 1. Tipos funciones algebraicas: a) Es una función de la forma donde los coeficientes a, b, c y d son números reales, y la variable x toma valores reales, y a ≠ 0. b) Es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. c) Es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. 2. Función cubica. a) Es una función de la forma donde los coeficientes a, b, c y d son números reales, y la variable x toma valores reales, y a ≠ 0. b) Es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. c) Es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. 3. Es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo. a) Trascendente. b) Inyectiva. c) Identidad. 4. Si cada elemento del conjunto final y tiene un único elemento del conjunto inicial x al que le corresponde. a) Trascendente. b) Inyectiva. c) Identidad. 5. Tipos de funciones trascendentes. a) Lineal y cuadrática. b) Exponencial y logarítmica. c) Explicitas e implícitas. 6. 5x2 + 6x + 45 es una función de tipo: a) Lineal. b) Cuadrática. c) Logarítmica. 7. Ejemplo de gráfica trigonométrica: 8. Gráfica de la función tangente 9. Tipo de función explicita. a) x2 + y2 = 16 b) y = mx + b c) ex. 10. Tipo de función que se utiliza en el crecimiento bacteriano: a) Lineal. b) Trigonométrica. c) Exponencial.
