Física Experimental I

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS
LABORATORIO DE FÍSICA
INSTRUCTIVO DE ACTIVIDADES
EXPERIMENTALES
ENERO DE 2OO8
AUTORES:
M. EN I. MIGUEL GARCÍA MORALES
M. EN C. JOSÉ LUIS MORALES HERNÁNDEZ
PROLOGO
Las razones que me motivaron para emprender la tarea de escribir estas notas, fueron entre otras, la preocupación por definir un enfoque y una forma de enseñar la Física Experimental, que considere su desarrollo histórico, sus procedimientos y su método en la adquisición del conocimiento. Y de esta forma, mostrar que la Física Experimental merece un lugar
de mayor importancia y de mayor peso del que actualmente tiene en los planes de estudio
de toda escuela de Ciencias e Ingeniería. Desde la primera aparición de estas notas y su
utilización como guía básica en los cursos de la asignatura de Metodología Científica Aplicada a la Mecánica Clásica, ha sufrido varias modificaciones y correcciones, basadas en las
observaciones y comentarios de los profesores de las Academias de Física. A cada uno de
ellos les agradezco su colaboración, su participación y su apoyo para que estas notas se
consideren realmente como una guía básica de los cursos de Física Experimental y muy especialmente agradezco al profesor Fernando Garzón Garces sus observaciones respecto al
cálculo del coeficiente de correlación y sus implicaciones.
Espero seguir mejorando el contenido de estas notas y contribuir, de esta forma, en la preparación de nuestros estudiantes hasta alcanzar la excelencia.
ATENTAMENTE
EL AUTOR
ENERO 2008
upnesa
INSCRIPCIÓN.
ASISTENCIA.
AULA
REGLAMENTO INTERNO
PARA EL LABORATORIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
SEMESTRE AGOSTO-DICICEMBRE 2007
a) Los grupos de Laboratorio de Física son de un máximo de 20 alumnos para
las secuencias numéricas y 20 para las alfabéticas. Los profesores de las
secuencias no darán autorización para inscribir alumnos.
b) Sólo se atenderán los alumnos inscritos oficialmente.
c) El laboratorio no aceptará alumnos una vez concluido el período de inscripción
d) El laboratorio aceptará alumnos que estén en proceso de inscripción, dependiendo del número de alumnos inscritos y que asistan, así como del cupo de
cada secuencia.
a) La tolerancia máxima de entrada al laboratorio será de 15 minutos.
b) El retardo a clase se considera máximo a los 20 minutos del horario asignado.
c) Tres faltas, causan baja y reprobación del curso.
d) Cinco retardos, causan baja y reprobación del curso.
e) Cualquier retardo o falta del profesor deberá ser reportado a la Jefatura de
los Laboratorios.
f) La ausencia del personal del almacén de los laboratorios deberá ser reportada a la Jefatura de la Sección.
g) Cualquier falta colectiva no justificada a la clase del laboratorio, será considerada como experimento visto.
h) Los alumnos podrán reponer hasta dos prácticas durante el semestre, dependiendo de las condiciones de espacio y tiempo, así como de los acuerdos de
Academia.
a) Los equipos de trabajo se integrarán dependiendo de los materiales y aparatos, lo ideal es de 4 alumnos por equipo.
b) Los integrantes de los equipos deberán participar en el desarrollo de los experimentos.
c) El alumno deberá presentar su instructivo, en caso contrario no se le permitirá el acceso al laboratorio.
d) Los alumnos deberán estudiar su instructivo y el tema a desarrollar, con base
a su plan de trabajo, en caso contrario el profesor podrá sancionar con la suspensión de la actividad experimental.
e) En las mesas de trabajo se tienen 4 divisiones para que los alumnos depositen su material escolar, razón por la cual sólo se permitirá sobre las mesas el
instructivo, material y equipo a utilizar.
f) El alumno que se siente sobre las mesas de trabajo será sancionado con la
suspensión del experimento.
g) No se permite la estancia en los laboratorios cuando no haya clase.
a) Las clases deberán ser de 100 minutos.
CLASES.
b) No se deberá realizar más de un experimento por sesión.
c) No se permitirá
mismo profesor.
realizar experimentos en otras secuencias, aunque sean del
d) Las clases inician la primer semana del calendario oficial, excepto en casos de
fuerza mayor.
MATERIALES-
a) Se deberá llenar un vale al almacén y anexar la credencial actualizada para que
se preste el equipo y los materiales a utilizar.
b) Los integrantes de los equipos de cada secuencia se harán responsables del
equipo y los materiales que ampara el vale.
c) El equipo y los materiales dañados por los alumnos serán repuestos en un plazo
máximo de dos semanas, de no ser así se quedará la credencial en el almacén
y se reportará a las autoridades.
d) El personal del almacén deberá entregar el material y equipo limpio y en buen
estado, en caso contrario deberá reportarse a la Jefatura de los Laboratorios.
e) Al finalizar el experimento, los alumnos deberán entregar en el almacén el material y equipo completo y en buen estado para recoger su credencial.
f) Cuando se adeude material, los alumnos quedarán sin derecho al examen departamental correspondiente.
g) Para utilizar equipo y material fuera del horario de la secuencia correspondiente,
se deberá contar con la autorización de la Jefatura de los Laboratorios y dentro
del horario del personal del almacén.
SEGURIDAD
HIGIENE
a) Se establecerán las disposiciones necesarias y suficientes para el uso de altos
voltajes que puedan poner en peligro la integridad de las personas dentro de los
laboratorios al realizar los experimentos.
b) Los alumnos no deben permanecer sentados en las escaleras y/o platicar en los
pasillos.
c) Se realizarán simulacros de evacuación por lo que es necesario que las puertas
de acceso a los laboratorios queden abiertas.
d) Las aulas al iniciar las clases deberán estar limpias en los pizarrones, mesas de
trabajo y piso. Se tendrán recipientes para la basura y de ser posible hacer la
separación de la misma. Cualquier anomalía, reportarla a la Jefatura de los
Laboratorios.
e) No se permite fumar en las aulas de los laboratorios.
EVALUACIÓN
a) El laboratorio se considera acreditado cuando la calificación sea mínimo de seis.
b) El porcentaje mínimo de asistencia para tener derecho a acreditar el laboratorio
es del 80%.
c) Los alumnos que reprueben el laboratorio, deberán cursarlo por segunda vez.
En caso de reprobar por segunda ocasión, tendrán derecho a presentar un período de acreditamiento durante el período de E.T.S., el que se programará al
finalizar el semestre y dependiendo de los acuerdos de las Academias.
d) En el formato de actividades se establecen los porcentajes de evaluación.
PLAN DE TRABAJO PARA EL LABORATORIO
DE FÍSICA EXPERIMENTAL I
SEMESTRE AGOSTO - DICIEMBRE 2007
FECHA
/
/
SESIÓN
01
02
03
04
05
FECHA
SESIÓN
06
07
08
09
FECHA
SESIÓN
10
11
12
13
14
1er. DEPARTAMENTAL
• Planteamiento del curso. Película.
• La observación científica, el proceso de medición y sus
errores.
Medición de cantidades físicas de tres
experimentos.
• Incertidumbre en las mediciones y construcción de
histogramas. Se utilizan las mediciones de la sesión 2
• Teoría de errores. Parámetros estadísticos involucrados.
Errores aleatorios en las mediciones de los tres
experimentos efectuados en la sesión 2.
• Error de escala, error total y propagación de errores.
Trabajo propuesto 1.5b y 1.6d.
2o. DEPARTAMENTAL
~
• Hipótesis científica y contrastación empírica.
Presentación de un experimento sencillo para generar una
hipótesis y realizar su contrastación experimental.
Interpretación gráfica. Trabajo experimental propuesto
2.4a (Hokke)
• Método de mínimos cuadrados, su uso para determinar
los parámetros de la línea recta de mejor ajuste. Trab.
Exp. propuesto 2.6a (Movimiento lineal).
• Coeficiente de correlación, criterio de aceptación. Ley
Física. Movimiento lineal. Trabajo experimental
propuesto 3.2.c. Propuesta experimental 3.3.
• Ley física no lineal. F.CTE. Trabajo propuesto 3.6 ó
Adquisición de datos por medio de una PC(lnterfases y
Videocom Leybold). Movimiento Uniformemente
Acelerado.
3er. DEPARTAMENTAL
• Ley física no lineal. F.CTE. Justificación de uso de una
transformación. Ajuste de datos para una parábola.
• Ley física no lineal. La transformación Z=Y/X. Trabajo
experimental propuesto: Plano inclinado.
• Trabajo experimental propuesto: Caída libre
• Trabajo exp. 4.5a. Trabajo Exp. propuesto: Máquina de
Atwood.
• Entrega de reporte de 4.6
ACTIVIDAD A EVALUAR
Desarrollo Experimental
Reporte por equipo
Tres exámenes departamentales
Proyectos Experimentales
%CON PROYECTO
EXPERIMENTAL
%SIN PROYECTO
EXPERIMENTAL
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN. La Física Experimental..........................................................
i
a. Desarrollo Histórico de la Física Experimental y su Metodología .......................
iii
CAPÍTULO 1
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LAS MEDICIONES.
1.1.- Observación Científica.....................................................................................
1
1.2.-El proceso de Medición y sus Errores...............................................................
2
1.3- Trabajo Experimental Propuesto.......................................................................
4
1.3.a.- Choque Unidimensional.
1.3.b.- Movimiento sobre un Plano Horizontal.
1.3.C- Caída Libre.
1.4 - lncertidumbre en las Mediciones........................................................................
9
1.4.a.- Trabajo Propuesto.
1.4.b- Error Aleatorio.
1 .4.a- Trabajo Propuesto.
1.5.-Error de Escala ..................................................................................................
14
1.5.a-Error Sistemático.
1.5.b-Trabajo Propuesto.
1.6- Propagación de Errores ......................................................................................
16
1.6.a.- Para una Función de una sola Variable Z = F(y).
1. 6b- Ejemplo Numérico.
1.6c- Para una Función de dos Variables Z = F(x,y).
1.6.d.- Trabajo Propuesto.
CAPÍTULO 2.
HIPÓTESIS CIENTÍFICAS.
2.1.-Hipótesis Científicas .........................................................................................
21
2.2.-Contrastacion Empírica .....................................................................................
22
2.3.-Interpretación Gráfica .....................................................................................
26
2.4.- Trabajo Experimental Propuesto......................................................................
27
2.4.a- Deformación de un Resorte.
2.5.-Interpretación Analítica ...................................................................................
29
2.6.- Trabajo Experimental Propuesto.......................................................................
32
2.6.a.- Movimiento Rectilínea de un Móvil sobre un Plano Horizontal.
CAPÍTULO 3.
LEY FÍSICA PARA CANTIDADES FÍSICAS CON ALEATORIEDAD NO
CUANTIFICADA.
3.1.- Coeficiente de Correlación...............................................................................
36
3.1.a.- Criterio de Aceptación.
3.2.- Comparación de Resultados cuando la Ley Física es Lineal...............................
39
3.2.a- Caracterización del Fenómeno.
3.2b.-Evaluación del Experimento.
3.3- Trabajo Experimental Propuesto........................................................................
44
3.4.-Ley Física No Lineal ..........................................................................................
44
3.4.a- Transformación ZETA (Z).
3.5- Comparación de Resultados cuando la Ley Física es Cuadrática ........................
49
3.5.a- Caracterización del Fenómeno.
3.5.b.- Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.
3.6- Trabajo Experimental Propuesto.......................................................................... 54
3.6.a.- Movimiento Rectilíneo de un Móvil bajo la acción de una Fuerza
Constante.
3.7.- Trabajo Experimental Propuesto.......................................................................... 57
3.7.a- Movimiento Rectilíneo de un Móvil sobre un Plano Inclinado.
3.7.b.- Adquisición de Datos por medio de una PC (Interfases Leybold).
3.7.b.l- Trabajo Experimental Propuesto. Movimiento Uniformemente
Acelerado con Interfase.
3.7.b.2- Trabajo Experimental Propuesto. Movimiento Uniformemente
Acelerado con Videocom.
3.8-Transformación
.............................................................................
66
3.9.- Trabajo Experimental Propuesto .....................................................................
66
3.9.a.- Movimiento de un objeto en Caída Libre.
3.10.- Transformación
..........................................................................
71
3.11.-Trabajo Experimental Propuesto.....................................................................
71
3.11 .a.- Máquina de Atwood.
CAPÍTULO 4.
CONCLUSIONES.
APÉNDICE A.- Sugerencias para elaborar un Reporte del Trabajo Experimental.
APÉNDICE B.- Condiciones de la Matriz Hessiana.
APÉNDICE C- Análisis del Error Residual.
APÉNDICE D.- Cálculo del Error Estándar en los Parámetros de Línea de Mejor Ajuste.
Referencias Bibliográficas.
Bibliografía Adicional.
Física Experimental I
INTRODUCCIÓN
LA FÍSICA EXPERIMENTAL
La Física Experimental es la parte de la física cuyo propósito es adquirir conocimiento de
las cosas, tomando como punto de partida los Hechos. El procedimiento o camino que se
sigue para que se adquiera el conocimiento de los fenómenos de la naturaleza es algo que
se debe enfatizar en los cursos básicos de toda carrera de ingeniería. En la descripción de
este camino o método de la Física Experimental, se encuentran términos y conceptos que
el estudiante de ingeniería debe conocer y entender. Este conocimiento le servirá para
realizar una investigación bien dirigida, ordenada y fructífera y poder entonces así,
recorrer el camino que lo llevará al conocimiento de aspectos y conceptos en otros
ámbitos de la ciencia, tales como la Economía, Administración, Cibernética, entre otras.
Para proveer a los estudiantes de estas herramientas de investigación, se preparó este
curso que se inicia en esta misma introducción, con un breve bosquejo del desarrollo
histórico de la física experimental, su metodología y con el propósito de enfatizar los
pasos que se siguen en la Física Experimental, se preparó un programa de computadora
interactivo que simula todo el proceso de la investigación experimental aplicado a
fenómenos sencillos.
El proceso de la Física Experimental es expuesta en estas notas con la exposición
detallada de cada uno de los conceptos y términos que la componen, se incluyen también
casos prácticos realizables en todo laboratorio de física. El orden de estas notas es el
siguiente: El capítulo 1 se inicia con la exposición de la primera parte de la metodología
de la física experimental que trata el proceso de Observación de un fenómeno y el
proceso de Medición de cantidades físicas, así como la tipificación y cuantificación de
los errores que se comenten al efectuar una medición. El segundo capitulo se inicia con la
formulación de las hipótesis científicas, para continuar con la verificación de dicha
hipótesis utilizando el proceso de Experimentación. En esta descripción de pasos se
incluye el análisis estadístico necesario para determinar la existencia de una Ley Física.
En el capítulo 3 se determina las condiciones necesarias para que la línea de mejor ajuste
Física Experimental I
se considere una Ley Física, en el caso que no se detecta aleatoriedad en la cantidad
física
dependiente. Finalmente para el capítulo 4 se concluye el proceso de la física
experimental al proponer realizar una generalización de los conocimientos adquiridos
empíricamente y expresados en leyes físicas o leyes Empíricas. Se incluyen en la parte
final de estas notas una lista de las referencias utilizadas y cuatro apéndices: el primero de
ellos contienen una propuesta del orden y contenido de los reportes de trabajo (reportes de
prácticas). El segundo apéndice contiene las condiciones necesarias y suficientes de un
punto óptimo no restringido. En el tercer apéndice se expone un estadístico que se utiliza
para determinar la aleatoriedad en los valores experimentales alrededor de la línea de
mejor ajuste y por último en el apéndice D se encuentra el cálculo del error al determinar
los parámetros de la línea de mejor ajuste.
Física Experimental I
CAPITULO 1
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LAS MEDICIONES
La metodología de la Física Experimental se inicia en un Fenómeno o Hecho de la
naturaleza del cual se tiene un conocimiento inicial que puede ser simple o sofisticado,
limitado o amplio. Con ayuda de los sentidos del ser humano y de los instrumentos
disponibles, se realiza una Observación Científica, que pretende dar una descripción del
fenómeno formada por un conjunto de propiedades cualitativas y cuantitativas, también
llamadas Datos que cuantifícan en forma clara y sin ambigüedad alguna propiedad del
fenómeno de la naturaleza (PÁRRAFO 1: Solo acepte como verdadero lo evidenciado).
Los datos así generados presentan propiedades importantes que se abordarán en varias
secciones de este capítulo. Este capítulo se inicia con la sección 1.1 donde se expone de la
primera parte de la metodología de la física experimental que trata con en el proceso de
Observación de un fenómeno. En la sección 1.2 se expone el proceso de Medición de
cantidades físicas y se tipifican los errores que ocurren en todo proceso de medición. En la
sección 1.3 se propone la repetición de mediciones con la ayuda de tres dispositivos capaces
de cuantificar varias cantidades físicas. En la sección 1.4 se inicia el estudio estadístico de
las mediciones para cuantificar los errores aleatorios que ocurren en todo proceso de
medición. El estudio de los errores implícitos de todo instrumento, denominados errores de
escala se realiza en la sección 1.5. Este capítulo termina con la sección 1.6 en donde se
expone la cuantificación del efecto que provocan los errores en las cantidades físicas
indirectas.
1.1.- OBSERVACIÓN CIENTÍFICA.
El término Observación se entenderá como un proceso mediante el cual se obtienen Datos,
estos pueden ser del tipo cualitativo o cuantitativo. El proceso de observación requiere de
los cuatro elementos siguientes:
OBJETO .- Es el ente que está expuesto a la observación.
SUJETO .- Es aquel que quiere hacer la observación.
1
Física Experimental I
MEDIO AMBIENTE .- Otros objetos o cosas que puedan distinguirse del sujeto.
MEDIOS DE OBSERVACIÓN .- Consisten en los sentidos, instrumentos y
el conocimiento.
La interacción entre estos elementos forma el proceso de la Observación que consiste en: a)
Tomar conciencia del objeto por parte del sujeto; b) Reconocer el objeto y distinguirlo de su
medio ambiente y c) Describir el objeto.
El termino "reconocer" significa interpretar una señal, que utiliza el conocimiento ordinario
o científico para atribuirle propiedades al objeto observado o también significa interpretar la
señal que envía un instrumento para obtener un Dato. Esto significa que se necesita un
conocimiento inicial del objeto de estudio para realizar una observación (de aquí en adelante
se denominará Fenómeno Físico al objeto de estudio) para distinguir sus propiedades y
cuantificar la intensidad de ellas mediante la interpretación del sujeto hacia el fenómeno
físico. El conjunto de datos obtenidos por la observación de algún fenómeno físico se le
llama Descripción del fenómeno.
1.2.- EL PROCESO DE MEDICIÓN Y SUS ERRORES.
El proceso de cuantificación de la intensidad de las propiedades del fenómeno físico en un
número real se denomina Medición. Esta se realiza mediante una comparación de un
elemento de referencia llamado " PATRÓN ", con el objeto a medir. Para que esta
comparación sea correcta, es necesario que el elemento de referencia tenga el mismo tipo de
propiedad que la que se desea cuantificar. Con el elemento de referencia adecuado, la
cuantificación consiste en especificar que tantas veces es más grande o más pequeña la
intensidad de la propiedad del objeto respecto a la intensidad del elemento de referencia. El
resultado del proceso de Medición es un Dato, formado por un Número Real acompañado
por una abreviatura (Unidad de Referencia) que representa al elemento de referencia
utilizado
DATO => NUMERO REAL + UNIDAD DE REFERENCIA
Física Experimental I
El proceso de Medición requiere de una Técnica, un Instrumento y de una Percepción. La
Técnica; se necesita seleccionar el tipo instrumento y la forma de utilizarlo; Un Instrumento
que refleje la intensidad de la propiedad y de una Percepción del observador, ya que debe
interpretar la señal que le envía el instrumento y representarla con un número real.
Supóngase que se desea realizar la medición de la longitud de un cierto objeto, donde se
utiliza como instrumento una regla graduada en centímetros.
1.- Técnica: Coloque en forma paralela el objeto y el instrumento.
2.- Instrumento: Una regla con escala en centímetros.
3.- Percepción: El observador hace uso de su sentido de la vista para interpretar la señal
dada por el instrumento.
Figura 1.1.- Medición de un objeto utilizando una escala graduada.
Para el caso mostrado en la figura 1.1 se puede establecer dos cifras 1.8 sin ninguna
controversia, pero el instrumento envía una señal que indica que la intensidad de la
propiedad a medir está entre 1.8 y 1.9, con el propósito de realizar una buena medición se
determina una tercera cifra que dependerá directamente de la agudeza visual del observador:
1.87 cm.
El proceso que se realiza para obtener el número real conlleva un error que se muestra al
comparar el resultado de esta medición con otra medición y constatando una diferencia
entre ellas. Esto indica que el intento por determinar la intensidad de la propiedad no
siempre es idéntico y las condiciones en que se realiza no siempre son las mismas, de tal
forma que se presentan las siguientes cuatro componentes que intervienen en todo proceso
de Medición.
1o COMPONENTE..- Lo referente a la técnica de medición. El observador no aplica la
técnica en forma idéntica en mediciones consecutivas (Factor Aleatorio).
Física Experimental I
2o COMPONENTE.- Lo referente al instrumento. El observador percibe la señal que
proporciona el instrumento en forma diferente de una medición a otra medición utilizando
un instrumento analógico (Factor de Escala).
3o COMPONENTE.- Lo referente a la propiedad que se desea cuantificar. Por efecto del
medio ambiente o por un control inadecuado de las condiciones ambientales, la instensidad
de la propiedad es cambiante (Factor Aleatorio).
4o COMPONENTE.- El instrumento utilizado es copia de la unidad de referencia. Es
posible que el instrumento tenga defectos en su construcción o esté mal calibrado (Factor
Sistemático).
Como consecuencia, se dice que en toda medición existen tres tipos de errores:
a) Error Aleatorio = EA
b) Error de Escala (o de Aproximación) = EE
c) Error Sistemático = ES
d) Error Total = ET = EA + EE + ES
1.3.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO:
1.- Realizar las mediciones de cada una de las cantidades físicas que se indican para cada
uno de los tres fenómenos físicos que a continuación se detallan (5).
1.3.a.-CHOQUE UNIDIMENSIONAL.
Es un fenómeno físico que muestra las características energéticas y cinemáticas de un objeto
cuando realiza una colisión con otro objeto.
Material Utilizado:
Riel para colchón de Aire.
Deslizador
Compresor
Procedimiento de Medición.
1.- Ensamble el riel para colchón de aire y las terminales del compresora como indica la
figura 1.2
Física Experimental I
2.- Coloque el riel para colchón de aire en una posición inclinada como indica la figura 1.2
3.- Coloque el deslizador en la posición de 100 cm. utilizando la escala del riel de colchón
de aire.
4.- Accione el compresor y deje deslizar libremente el deslizador
5.- Registre la distancia máxima alcanzada por el deslizador después del primer rebote
(denótela por X1) y después del segundo rebote (denótela por X2 ).
Efectúe este procedimiento cada integrante del grupo de trabajo. Anote sus mediciones en la
tabla 1.1.
Figura 1.2 .- Choque Unidimensional
MEDICIÓN
X1(cm)
X2(cm)
1
2
3
4
Tabla 1.1.- Mediciones repetitivas del experimento de choque unidimensional.
Física Experimental I
1.3.b.- MOVIMIENTO SOBRE UN PLANO INCLINADO.
Este es un fenómeno físico en donde se pueden observar las características de movimiento
de objetos dentro del campo gravitacional terrestre.
Material Utilizado.
Riel para Colchón de Aire.
Deslizador.
Compresor.
Cronómetro Manual.
Calibrador Vernier.
Procedimiento de Medición.
1.- Ensamble el riel para colchón de aire y las terminales del compresor como indica la
figura 1.3.
2.- Coloque el riel para colchón de aire en un posición inclinada como ilustra la figura 1.3
3.- Sostenga el deslizador a una distancia L = 150 cm medida en la escala del riel.
4.- Accione el compresor y deje deslizar libremente el deslizador. En ése mismo instante,
accione el cronómetro y mida el tiempo que tarda el deslizador en llegar al otro extremo del
riel (denótelo por T). Mida también las alturas H1 y H2 como ilustra la figura 1.3.
Efectúe este procedimiento cada uno de los integrantes del grupo de trabajo. Anote sus
mediciones en la tabla 1.2.
MEDICIÓN
H1 (cm)
H2(cm)
T(seg)
1
2
3
4
Tabla 1.2.- Mediciones repetitivas del experimento de movimiento sobre un plano
inclinado.
6
Física Experimental I
Figura 1.3.- Movimiento sobre un Plano Inclinado
1.3.c- CAÍDA LIBRE.
Experimento clásico de la cinemática donde se observa el efecto del campo gravitacional
terrestre sobre una partícula libre.
Material Utilizado.
Pie en "A"
Nuez Doble
Varilla Cuadrada (1,25 m)
Aparato de Caída Libre.
Regla Graduada.
Contador Digital Electrónico (PHYWE).
Cables.
Balín.
Conexiones: Los cables superiores del aparato de caída libre entran en STAR/STOP. Los
cables inferiores entran en STOP. En ambos casos no importa la polaridad.
Procedimiento de Medición.
1.- Encienda el reloj contador y espere cinco segundos. Oprima la tecla FUNKTION.
2.- Con la tecla TIGGER seleccione la columna del símbolo
3.- Coloque el platillo interruptor hacia arriba y sostenga el balín con el disparador.
Física Experimental i
4.- Oprima la tecla STOP y después RESET. El reloj debe quedar en ceros.
5.- Oprima la tecla STAR . El reloj esta listo para iniciar el conteo.
6.- Suelte el balín y registre la lectura (denótela como t).
7.- Mida la distancia que recorre el balín (denótela como h).
Efectúe este procedimiento cada uno de los integrantes del grupo de trabajo. Anote sus
mediciones en la tabla 1.3.
MEDICIÓN
h(cm)
t(seg)
1
2
3
4
Tabla 1.3.- Mediciones repetitivas del experimento de caída libre.
Figura 1.4.- Caída Libre.
8
Física Experimental I
1.4 .- INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES.
El estudio de las mediciones consiste en caracterizar su comportamiento, tipificar los
errores
y desarrollar procedimientos que cuantifiquen las magnitudes de estos errores. Para ello se
expondrá a continuación el error aleatorio, sus características, sus orígenes y el
procedimiento para cuantificarlo.
Supóngase que se desea cuantificar la intensidad de alguna propiedad de un objeto, ésta se
realiza a través de un instrumento de medición que refleje la intensidad de la propiedad en
algo observable. Mediante una técnica utilizando un instrumento e interpretando su señal, se
obtiene un número real ( Yi) y un símbolo que representa la unidad de referencia. Pero este
número es un valor aproximado del Valor Verdadero( Ŷ). Para obtener el mejor valor
aproximado (la mejor estimación de un valor desconocido), es necesario realizar varias
veces la medición de la propiedad de interés. Para ejemplificar lo anterior, considere que se
desea medir:
" La distancia que recorre un móvil sobre un plano Inclinado después de sufrir un choque en
la parte más baja del plano inclinado".
TÉCNICA : Colocar el instrumento de medición en forma paralela al plano inclinado,
ubicando el cero del instrumento en el punto más bajo del plano inclinado.
INSTRUMENTO : Dada la propiedad que se desea cuantificar, se selecciona como
instrumento una réplica del metro patrón con escala hasta milímetros.
PERCEPCIÓN : El experimentador hace uso de su sentido de la vista para determinar el
momento de máximo avance e interpretar la señal que envía el instrumento, obteniéndose la
medición cuando el movimiento tiene como origen una distancia de 100.0 cm.
El conjunto de datos generados en la sección 1.3.a, referidos a este mismo experimento, se
obtuvieron midiendo varias personas la distancia del máximo avance después del primer
choque, cuando el origen del movimiento es un punto común. Este conjunto de datos reúne
las características de repetitividad que se requiere para realizar un análisis estadístico que se
Física Experimental I
inicia con la construcción de la tabla de datos de la cantidad física X1 . La tabla 1.4 reúne
los datos obtenidos en la sección 1.3.a.
Medición
X1(cm)
Medición
X1(cm)
Medición X1(cm)
Medición
1
6
11
16
2
7
12
17
3
8
13
18
4
9
14
19
5
10
15
20
X1(cm)
Tabla 1.4.- Mediciones obtenidas en el primer choque del experimento 1.3.a.
Como se puede apreciar, los resultados de las mediciones son diferentes. Este aspecto de
variación en los resultados de las mediciones puede ser explicado por la presencia de
factores que intervienen en el proceso de medición, entre ellos se pueden mencionar:
lo.- La intensidad de la propiedad no siempre es la misma en sucesos consecutivos del
choque, ocasionado por : a) La posición inicial, no es la misma; b ) El choque no presenta
las mismas características (el dispositivo se deforma).
2o.- Las condiciones en que se realiza el evento no permanecen constantes: a) Variación en
el ángulo de inclinación; b) Variación en la presión del aire en el compresor; c) Las
condiciones ambientales no permanecen constantes.
La presencia de estos factores hacen prever que es prácticamente imposible definir el
resultado de la medición antes de realizar la medición, solo será posible definir un rango de
posibles resultados. Este aspecto se presenta en muchos de los fenómenos de la naturaleza.
El ejemplo más sencillo es el proceso del juego del dado, donde se conocen los resultados
{1,2,3,4,5,6}, pero no es posible definir con exactitud el resultado de un evento futuro.
Estos eventos descritos se denominan Eventos Aleatorios y como tales, el proceso de
medición se considera un evento aleatorio. El estudio teórico(6) (Teoría de la
Probabilidad y la Estadística) de estos eventos o procesos aleatorios se realizan utilizando
una relación entre los resultados del evento aleatorio y una entidad matemática, denominada
10
Física Experimental i
Variable Aleatoria (V.A.). Esta teoría representa matemáticamente el comportamiento del
evento aleatorio por medio de la Función de Distribución ( f(y) ). Existen varios tipos de
funciones de Distribución que representan a otros eventos aleatorios, entre ellas se pueden
mencionar a: Binomial, Poisson, Exponencial, Gaussiana o Normal, Log-Normal,
Uniforme, Gamma, entre otras más. Fué en 1812 cuando R. Laplace(ó), demostró que el
comportamiento de las mediciones repetitivas es representado por una función de
distribución tipo Gaussiana. La Distribución Gaussiana de una variable aleatoria Y esta
dada por:
Está expresada por dos parámetros m (media) y S (desviación estándar) y su representación
gráfica se muestra en la figura 1.5.
Figura I.5.- Gráfica de la distribución Gaussiana
En la figura 1.5 se observa su simetría respecto a un eje vertical que pasa por la media y un
intervalo [m - s , m + s] que define el 68% del área total bajo la curva. El área bajo la curva
entre los valores Y1,Y2 se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria Y se
11
Física Experimental I
encuentre entre dichos valores. Con el concepto anterior y la figura 1.6, se puede explicar el
comportamiento gausssiano de la manera siguiente: En la figura 1.6 se muestra que la
probabilidad del intervalo central I1 es mayor que la probabilidad del intervalo no central I2,
siendo estos intervalos del mismo ancho, lo que equivale a decir, que la variable aleatoria
tiene una probabilidad mayor de adquirir valores cercanos al valor central que valores
lejanos al central.
Figura 1.6.- Área bajo la curva = Probabilidad
Para mostrar en forma sencilla si un conjunto de mediciones posee la característica de una
función de distribución Gaussiana, se organizan estas mediciones para formar un
Histograma de Frecuencias(7). Si éste presenta, en términos generales, que el intervalo
central es el de mayor ocurrencia, significa que el conjunto de mediciones es un conjunto
adecuado de datos. En caso contrario, es posible que:
a.- No se reproduzca el evento en forma adecuada para que se pueda considerar que se mide
en forma repetitiva el mismo evento.
b.- El o los que realizan las mediciones no dominan la técnica de medición.
c- El número de mediciones es reducido.
1.4.a.- TRABAJO PROPUESTO.
1.- Construya los histogramas de frecuencias de cada conjunto de mediciones X1,X2
(Choque Unidimensional); T,H1 ,H2 (Movimiento sobre un Plano Inclinado); t,h(Caída
Libre).
12
Física Experimental I
2.- Especifique con detalle los factores aleatorios que interviene en el proceso de
medición
de los fenómenos físicos, a) Movimiento sobre un Plano Inclinado; b) Caída Libre.
1.4.b.- ERROR ALEATORIO (E.A.)
La característica aleatoria de las mediciones es causada por la intervención de los factores
aleatorios en el proceso de medición. Si estos factores interviene en forma intensa, ocasiona
que el rango de variación sea amplio, en caso contrario, cuando la intervención es escasa, se
obtiene un rango de variación pequeño. Esta interrelación se utiliza para cuantificar el efecto
de los factores aleatorios en el proceso de medición mediante las siguientes expresiones:
Cuantificación de los Factores Aleatorios = Error Aleatorio = E.A.
donde : Yi = medición i-esima.
Se considera que el valor más representativo del conjunto de mediciones es la media
aritmética o valor más probable ( Y ), el cual se le conoce también como el Estimador de
la Media de la Distribución Normal. Sy y S2y son también estimadores de la desviación
Estándar s y de la varianza s2 respectivamente.
Relacionado con el aspecto aleatorio de las mediciones repetitivas, se define el término
Precisión al grado de reproductibidad de las mediciones, es decir, la precisión se establece
13
Física Experimental I
en base al rango de variación de las mediciones, de tal forma que si la desviación estándar
es grande el instrumento será poco preciso y por lo contrario será más preciso si la
desviación es pequeña.
1.4.c- TRABAJO PROPUESTO.
1.- Determinar el estimado de la media de la Distribución y el estimado de la Desviación
Estándar de cada uno de los conjuntos de mediciones de los fenómenos: Choque
Unidimensional, Movimiento sobre un Plano Inclinado y Caída Libre.
2.- Determinar el error aleatorio de cada uno de los tipos de mediciones. ( Choque
Unidimensional X1 X2; Movimiento sobre un Plano Inclinado T, H1 ,H2; Caída Libre t,h).
3.- Describir con detalle las posibles mejoras que se le pueden hacer a cada uno de los tres
dispositivos experimentales para mejorar el proceso de medición. Considere que no existe
limitación en los recursos financieros.
1.5 .- ERROR DE ESCALA ( E.E. ).
El observador, al hacer una medición, percibe la señal que proporciona el instrumento y la
interpreta. Por ejemplo, considere la medición de la longitud de un cuerpo sólido utilizando
una regla graduada en centímetros, como muestra la figura 1.7
Figura I.7.- Medición de un objeto con una escala graduada.
La señal que proporciona el instrumento, establece que la longitud del cuerpo sólido se
encuentra entre 1.4 y 1.5 cm., pero debido a la irregularidad del cuerpo sólido, es necesario
en forma imaginaria dividir al milímetro (escala mínima del instrumento), en diez partes
iguales y determinar la división que corresponde con la frontera del cuerpo sólido para
definir una tercera cifra. Como se puede observar en el dibujo anterior, esta tercera cifra
14
Física Experimental I
puede ser 2. Esta misma señal la percibe otra persona y bajo su particular interpretación
definirá la tercera cifra como 3. Si este proceso se realiza por varios observadores, se
obtendrán resultados, que en términos generales, se diferencian por la última cifra. La fuente
de discrepancia de los resultados, es la escala del instrumento y por tal motivo se le
denomina Factor de Escala.
Cuantificación del Factor de Escala = ERROR DE ESCALA = E.E.
E.E. = Mínima División del Instrumento/2
Esta cuantificación se aplica a instrumentos de medición de Escala Fija. Cuando se trata de
instrumentos de Escala Móvil se tiene que:
E.E. = Máxima Aproximación del Instrumento/2
Para los instrumentos digitales, la señal que proporciona obviamente ya no esta sujeta a la
interpretación del observador. Pero el resultado de la medición con un instrumento digital
tiene implícito un error por su limitación de proporcionar un determinado número de
dígitos. Por ejemplo, considere un contador digital que mide las vueltas en una
audiocasettera, al utilizar este instrumento se obtiene, por ejemplo el número 345,
significando que el audiocasette giró 345 vueltas. Pero como el instrumento no es capaz de
medir fracciones de vuelta, este resultado tiene un error. No es posible distinguir si se trata
de una medición de 345.0 vueltas o de 345.9 vueltas. Por lo anterior, los instrumentos
digitales tiene un error que por su naturaleza de le denomina Error de Aproximación
(E.AP).
Cuantificación del Error de Aproximación = E.AP.
E.AP. = Máxima Aproximación/2
1.5.a .- ERROR SISTEMÁTICO ( E.S.).
El error sistemático se presenta cuando se utiliza un instrumento que no esta calibrado, es
decir que por defecto en el instrumento, la señal que envía al observador no sea confiable.
Por ejemplo, para un cronómetro no calibrado éste puede registrar los segundos con una
15
Física Experimental I
duración menor o mayor que el valor de referencia. La característica de este tipo de error es
que tiene una magnitud constante, es invariante con respecto al número de mediciones. Es
conveniente establecer que es necesario revisar y calibrar el instrumento cuando sea posible.
En caso contrario NO efectuar mediciones cuando se sabe que el instrumento no esta
calibrado. Respecto a este tipo de error, se define Exactitud de un instrumento como la
proximidad de sus señales respecto a la magnitud de la intensidad real de la propiedad.
Por lo tanto el Error Total al medir una cantidad [ Y ] se expresa como :
E.Ty = E.Ay + E.Ey (Para instrumentos Analógicos).
E.Ty = E.Ay + E.APy (Para instrumentos Digitales).
Finalmente se expresan las magnitudes de las cantidades medidas, con un nivel de confianza
del 68%, por medio de un intervalo dado en los términos siguientes:
[Y -E.Ty, Y + E.Ty]
1.5.b.- TRABAJO PROPUESTO.
1.- Exponer la técnica, especificar el instrumento y explicar la percepción para realizar la
medición de las tres cantidades fundamentales: Masa, Longitud y Tiempo.
2.- Calcular el error total al medir cada una de las cantidades físicas de los tres experimentos
estudiados: Caída Libre ( E.T.t, E.T.h), Movimiento sobre un Plano Inclinado (E.T.H1,
E.T.H2, E.T.T), Choque Unidimensional ( E.T.x1, E.T.X2).
1.6 .- PROPAGACIÓN DE ERRORES.
En el fenómeno del movimiento Pendular Simple, una de las características del objeto
suspendido es su Forma Esférica y su cuantificación se realiza por la medición de su
diámetro (D). Con el conocimiento de su diámetro es posible Calcular (No Medir) el
volumen del objeto, esto mismo sucede con la superficie y el perímetro de dicha esfera.
Consideremos la superficie del objeto esférico (S) como la propiedad desconocida y que se
desea conocer su valor. Como se sabe, una de las formas para cuantificar esta propiedad es
utilizando una expresión que relaciona la cantidad desconocida (Cantidad Física
Indirecta) con la cantidad medible (Cantidad Física Directa), esta expresión es la
siguiente:
16
Física Experimental i
Superficie = S = U * D2
Para calcular la superficie de la esfera seD necesita conocer el valor de su diámetro (D) y
sustituirlo en la expresión anterior, pero no se conoce el valor verdadero del diámetro, solo
se conoce su valor más probable ( D ), entonces es posible calcular el valor más probable de
la superficie de la esfera S = p* ( D )2. Es de suponer que la superficie calculada tendrá un
error que debe estar relacionado con el error del diámetro. Se dice entonces, que el error de
la cantidad física medida se propagó a la cantidad física calculada. A este concepto se le
conoce como Propagación de Errores.
La magnitud del error propagado en la cantidad calculada puede ser mayor, menor o igual
que el error de la cantidad medida, esto depende de la forma analítica de la relación
utilizada para hacer el cálculo.
1.6.a.- PARA UNA FUNCIÓN DEUNA SOLA VARIABLE Z= F(y).
Supóngase que Z es función de una sola cantidad física directa (y). El Error Aleatorio
Propagado al Calcular Z (E.A.z) está dado por:
De forma análoga el Error de Escala Propagado al Calcular Z (E.E.z) está dado por:
17
Física Experimental i
Para formar el denominado:
Error Total al Calcular Z = E.T.Z = E.A.Z + E.E.Z
Y por tanto se dice que el valor calculado de Z se encuentra dentro del intervalo
[Z - E.T.z , Z + E.Tz] con un nivel de confianza del 68%.
1.6.b.- EJEMPLO NUMÉRICO.
Considere el conjunto de 20 mediciones repetitivas del diámetro de la esfera con un
instrumento de escala fija con divisiones mínimas de lmm. De este conjunto se obtiene un
valor promedio ( D ) de 3.5 cm. y una desviación cuadrática media (SD ) de 0.3 cm. Se desea
calcular el valor esperado de la superficie ( S ) de la esfera y el error total propagado al
calcular
S:
SD2 = 0.09 cm2
Para la cantidad Física Indirecta se tiene :
Para el error de Escala Propagado se tiene:
El error total propagado al calcular S es :
E.Ts = 1.4752 +1.0995 = 2.5747 cm2
Entonces, existe un nivel de confianza del 68% que el valor
calculado de la superficie se encuentre dentro del intervalo :
[38.4846-2.5747, 38.4846 + 2.5747]
18
Física Experimental I
1.6.c- PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Z = F(x,y)
Cuando la cantidad física calculada requiere de dos cantidades físicas directas X,Y, es
decir, que Z = F(x, y), las expresiones para el cálculo de los errores propagados son:
Estas expresiones se pueden proyectar en forma análoga para cantidades físicas indirectas
que requieran de tres o más cantidades físicas directas.
1.6.d.- TRABAJO PROPUESTO.
1.- Determine los errores propagados de la aceleración de la gravedad (g), para el
experimento de caída libre, utilizando la expresión:
Utilice los datos medidos de h y t.
2.- Determine los errores propagados de la aceleración de la gravedad (g), para el
experimento de Movimiento sobre un Plano Inclinado, utilizando la expresión:
Utilice los datos medidos de H1,H2 y T, considere que el valor de L es igual a 150 cm.
3.- Determine los errores propagados del coeficiente de restitución ( e ), para el
experimento de choque unidimensional, utilizando la expresión:
Utilice los datos de las mediciones de X1 y X2.
19
Física Experimental I
CAPITULO 2
HIPÓTESIS CIENTÍFICAS Y SU CONTRASTACIÓN
Después de analizar el concepto de aleatoriedad en las mediciones y establecer que el
conjunto de mediciones forman lo que se conoce como la descripción del fenómeno. El
trabajo científico continua cuando existe alguna Inquietud, Pregunta, Duda, referente al
fenómeno, a su comportamiento de alguna de sus facetas o a sus elementos que lo
constituyen. Esta fase esta definida en el 2a Párrafo descrito por R. Descartes el cual
establece las bases del llamado Pensamiento Reduccionista que consiste en desmembrar
en sus partes más simples un todo más complicado, con el propósito de conocer con mayor
detalle cada una de ellas y de esa forma conocer el todo original.
Con cada una de estas facetas o partes mas simples se debe estructurar una Hipótesis, que
debe tener la forma de una Aseveración o Negación que reúna la o las inquietudes o dudas
originales. La falsedad o veracidad de la hipótesis y sus implicaciones se deben probar
mediante la llamada Contrastación Formal o mediante la Contrastación Empírica. Con
la primera, se utilizan las estructuras teóricas referente al fenómeno y con la segunda se
utilizan los hechos como única forma de validar las implicaciones o aseveraciones
contenidas en las hipótesis y es esto precisamente lo que se emplea en la metodología de la
Física Experimental. La respuesta a las diversas preguntas, la validez o falsedad de
aseveraciones se deben encontrar en la naturaleza misma, mediante procedimientos que
conduzcan a los fenómenos o hechos a la dirección adecuada o deseada. Este procedimiento
se le denomina Experimentación, que consiste de una serie de pasos que tienen como
propósito final el de verificar la hipótesis planteada, pero para esto es necesario determinar
previamente la Ley Física o Ley Empírica. Esta ley física especifica el comportamiento
observado por el fenómeno en uno de sus aspectos y entonces realizar una comparación de
lo afirmado en la hipótesis y lo encontrado como respuesta en el fenómeno o en los hechos.
El resultado de la comparación, ya sea verificando lo establecido en la hipótesis o
20
Física Experimental I
contradiciendo la misma, se considera como un conocimiento adicional que será incluido en
el marco de conocimiento del fenómeno. Este capítulo se desarrolla en el siguiente orden:
En la sección 2.1 se introduce el concepto de Hipótesis Científica y su relación con el 2a
Párrafo dado a conocer por R. Descartes; En la sección 2.2 se especifican, en forma breve,
cada una de los pasos que forman el proceso de Experimentación. En la sección 2.3 se
desarrolla el paso denominado Interpretación utilizando un procedimiento Gráfico que
servirá como antecedente para el desarrollo y la mejor comprensión del mismo paso de
Interpretación pero utilizando conceptos analíticos. En la sección 2.4 se aplican los
conceptos de la interpretación gráfica a un fenómeno de la cinemática. Para la sección 2.5 y
2.6 se expone la interpretación analítica y su aplicación a un fenómeno de la cinemática,
respectivamente. Con el propósito de dosificar los temas a exponer, se abordarán los dos
últimos pasos del proceso de experimentación ( definición de la ley física y su
comprobación) en el capítulo siguiente.
2.1.- HIPÓTESIS CIENTÍFICA.
Una hipótesis científica es una suposición que permite establecer relaciones entre hechos, la
cual debe ser susceptible de verificarse, de tener un poder predictivo o explicativo y ser
sencilla. Estas hipótesis son las que dirigen la investigación y con ellas se han construido
valiosas guías que se han utilizado para la formulación de teorías científicas. La formulación
de una hipótesis no es una tarea fácil porque requiere de capacidad creativa para expresar lo
relevante de los hechos; requiere del conocimiento de otros hechos ya confirmados, para
plantear nuevos aspectos de los hechos y de una capacidad de observación para detectar
propiedades o características no investigadas.
Al observar la caída libre de un objeto, se puede plantear la siguiente hipótesis científica:"
La velocidad de caída de los cuerpos depende de la masa de ellos". Esta hipótesis
plantea un aspecto del fenómeno de la caída libre que parece equivocado, pero sin importar
esto, su verdadero valor radica en las posibilidades experimentales para verificar su falsedad
o veracidad ya que las hipótesis son tan valiosas para la investigación que aún las que se
21
Física Experimental I
consideran falsas o incorrectas, se abandonan para formular otra hipótesis que la
reemplace
y de esta forma se inicia otra vez el proceso. El concepto fundamental que se debe
considerar en el planteamiento de las hipótesis está expresado en el 2a párrafo de R.
Descartes en los siguientes términos:
" La división de cada una de las dificultades con que tropieza la inteligencia al
investigar la verdad, en tantas partes como fuera necesario para resolverlas ".
De lo anterior se desprende que para entender toda una problemática, es necesario dividir a
la problemática total en problemáticas más pequeñas, que sea posible entender sus
características, sus propiedades y sus comportamientos. El fenómeno puede presentar varias
facetas que pueden estar involucradas todas o algunas de las cantidades físicas contenidas
en la descripción del fenómeno. Un intento por dividir al fenómeno en sus partes
fundamentales es:
"Proponiendo interrelaciones entre cantidades físicas Directas"
Esto significa que se propone una Hipótesis que establece una relación entre dos cantidades
físicas directas (X,Y) como una interrelación importante y predominante en el
comportamiento y desarrollo del fenómeno. Es conveniente decir, que las interrelaciones
son solo escalones, la finalidad es obtener un conjunto de relaciones funcionales que
representen estructuras. Estas interrelaciones son antorchas que ilumina la búsqueda de
estructuras, pero no es la única antorcha en la búsqueda del conocimiento ni tampoco es
infalible.
2.2.- CONTRASTACIÓN EMPÍRICA.
La contrastabilidad es la propiedad metodológica, que permite determinar si una hipótesis es
verdadera o falsa. Existen dos formas de contrastar una hipótesis, la formal y la empírica. La
contrastación formal consiste en fundamentar las hipótesis con bases teóricas ya
22
Física Experimental I
establecidas, en cambio la contrastación empírica se apoya en los hechos. Es la
contrastación empírica la que se utiliza en la física experimental y al procedimiento para
constratar una hipótesis se le conoce como Experimentación. Este procedimiento está
formado por los siete pasos siguientes:
1°) Definición de Variables.- Definir las cantidades relevantes y de interés del fenómeno.
En esta etapa de desarrollo metodológico, se considera solo dos cantidades físicas que
pueden cuantificarse directamente (cantidades físicas que sean posible medir).
2 o ) Diseño del Dispositivo.- Diseñar un dispositivo donde sea posible controlar y
cuantificar alguna de las dos variables y ésta considerarla como la variable independiente
(X) y al mismo tiempo sea posible cuantificar la otra variable considerada como variable
dependiente (Y). La variable independiente es aquella que será posible cambiarla en forma
controlada (Causa o Estímulo) y la variable dependiente es aquella que se considerará
como Respuesta o Efecto.
3o) Reproductividad del Fenómeno.- Este paso consiste en reproducir varias veces el
fenómeno físico cambiando los valores de la cantidad física independiente y registrando los
valores de la cantidad física dependiente. Es importante destacar que es necesario mantener
durante este proceso de repetición, las condiciones externas sin variación y de esa forma
reunir los resultados en la tabla 2.1.
CANTIDAD FÍSICA
CANTIDAD FÍSICA
INDEPENDIENTE
DEPENDIENTE
(U.R.)
(U.R.)
x1
x2
x3
Y1
X4
Y4
x5
x6
x7
x8
Y5
Y2
Y3
Y6
Y7
Y8
23
Física Experimental I
X9
Y9
X10
Y10
Tabla 2.1.- Tabla de Resultados.
4o ) Gráfica de Dispersión.- Consiste en construir una Gráfica de Dispersión tridimensional formada por puntos en un plano que son determinados por las parejas
ordenadas de la tabla de resultados. En el eje horizontal se gráfica la cantidad física
Independiente y en el eje de las ordenadas la cantidad física Dependiente. En esta etapa ya
es posible observar en forma general el tipo de interrelación que existe entre las dos
cantidades físicas. Este tipo de interrelación puede ser de relación Directa cuando el
aumento de la cantidad física independiente ocasiona un aumento de la cantidad física
dependiente (figura 2.1.a). También se puede observar una relación inversa cuando el
aumento de la cantidad independiente ocasiona una disminución de la cantidad física
dependiente (figura 2.1.b). Es posible observar que existe un comportamiento de
indefinición de la cantidad física dependiente cuando la gráfica de dispersión tiene el
aspecto general mostrado en la figura 2.1.c.
Figura 2.2 (a, b, c ).- Gráficas de Dispersión
24
Física Experimental /
5o) Interpretación.- Este paso consiste en interpretar en forma analítica la interdependencia
entre las dos variables, mediante la determinación de una relación lineal utilizando el
procedimiento de "Ajuste de los valores experimentales a una Línea Recta".
6o) Definición de la Ley Física.- Se conoce como una Ley Física o Ley Empírica a una
expresión matemática que represente "adecuadamente" el comportamiento de un proceso
físico. Si se logra obtener, en forma clara y contundente, una relación entre las variables
involucradas, como la obtenida en la línea de mejor ajuste, entonces ésta será considerada
como una posible Ley Física. Es decir, si la línea de mejor ajuste representa adecuadamente
el comportamiento del fenómeno, entonces esta línea será considerada como Ley Física. En
este curso se utilizarán dos criterios de aceptación que permite definir la ley física con un
nivel de confianza adecuado. Estos criterios se aplican según las características aleatorias de
las variables involucradas.
7o) Comparación de Resultados.- Este paso consiste en comparar lo expresado o inferido
de la hipótesis con lo establecido por la Ley Física, de tal forma que se pueda concluir la
falsedad o veracidad de la hipótesis planteada.
En las dos siguientes secciones se desarrolla el concepto de "ajuste de valores
experimentales a una línea recta", en la primera sección bajo el titulo de Interpretación
Gráfica se aborda el concepto y se utilizan fenómenos sencillos para su aplicación. En la
segunda sección con el titulo de Interpretación Analítica se utiliza el concepto gráfico
para dar un sentido práctico al método analítico, así también se utilizan fenómenos físicos
sencillos para ejemplificar dicho método.
Es conveniente aclarar en este momento, que el propósito de este curso es exponer cada uno
de los pasos que se siguen en la física experimental y hasta este momento falta exponer los
criterios estadísticos de aceptación para definir la ley física y la comparación de resultados,
que serán desarrollados en el capítulo siguiente.
25
Física Experimental I
2.3.- INTERPRETACIÓN GRÁFICA (Método Gráfico)
Esta interpretación se basa principalmente en el aspecto que presenta la gráfica de
dispersión. Consiste en expresar en forma clara y sencilla el comportamiento del fenómeno,
por ejemplo, si en una gráfica de dispersión se observa una relación de proporcionalidad
directa en las variables graficadas, entonces una forma sencilla de expresar esta relación de
proporcionalidad es por medio de la ecuación de una línea recta de pendiente positiva. Se
puede decir que esta interpretación consiste en determinar la ecuación de la línea recta que
represente el comportamiento del fenómeno. El procedimiento para obtener los parámetros
de la ecuación de esta línea recta es el siguiente:
a.- Trazar una línea recta sobre la gráfica de dispersión procurando que ésta pase por los
puntos experimentales lo mas cerca posible, como se muestra en la figura 2.2 (a, b, c).
b.- Considere dos puntos sobre la línea recta trazada (figura 2.7), sean estos el punto A de
coordenadas (X1°, Y1°) y el punto B de coordenadas (X20, Y20), donde es necesario que X1 °
sea menor que X20. Debido a que estos dos puntos están sobre la línea recta trazada y ésta
tiene una pendiente m° y una ordenada b°, entonces se pueden establecer las igualdades
siguientes:
0
5
10
15
20
25
Figura 2.2(a, b, c).- Ajuste de los Valores Experimentales a una Línea Recta
26
Física Experimental I
Para el primer punto
Para el segundo punto
yx = m°xx + b° ............. ec.2.l
y 2 = m°x2 + b° ........... ec.2.2
Re stando la ec.2.1 menos la ec.2.2, se tiene :
y 2 - y 1 - m°x 2 - m°x 1 = m°(x 2 - x 1 )
............................. ec.2. 3
Despejando : m ° =
Ahora, sustituyendo la ec.2.3 en la ec 2.2, se tiene:
Con las ecuaciones ec.2.3 y ec.2.4, es posible calcular los parámetros de una línea recta que
pasa lo más cerca posible de los puntos experimentales. A este proceso se le conoce como
"Ajustar los Puntos Experimentales a una Línea Recta" o también se le conoce como la
determinación de " La Línea de Mejor Ajuste". Por lo tanto, la línea de mejor ajuste esta
dadapor:Y = m°X + b°.
Figura 2.3.- Cálculo de la Pendiente en el Método Gráfico
2.4.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
2.4.a.- Deformación de un Resorte.
Material Utilizado
1.- Dinamómetro.
27
Física Experimental I
2.- Varilla de 50 cm.
3.- Una base de tipo A.
4.- Un marco de pesas.
1.- Considere un dispositivo mostrado en la figura 2.4, que consiste de un resorte colocado
en posición vertical, con el extremo superior sujeto a un punto fijo y el otro extremo a un
soporte con una pesa.
2 .- Describa con todos los detalles posibles el dispositivo y obtenga la mayor cantidad de
datos cuantitativos de diferente naturaleza y en caso necesario incluir datos cualitativos.
Figura 2.4.- Deformación de un Resorte.
3 .- Desarrolle el proceso de Experimentación en sus primeros cinco pasos para encontrar
la línea recta de mejor ajuste utilizando la interpretación gráfica. Proceda en el orden
siguiente:
28
Física Experimental I
1o) Considere las cantidades físicas directas del fenómeno:
Longitud del Resorte ( DL ). y Masa de los objetos colocados en la parte inferior del
Resorte
(M).
2o) Considere a la masa de los objetos ( M ) como cantidad física independiente y a la
longitud del resorte (DL) como la cantidad física dependiente. Ensamble el dispositivo
y verifique la posición vertical del resorte.
3o) Reproduzca el fenómeno variando en forma ordenada las magnitudes de las masa y
registre las longitudes del resorte. Anote sus mediciones en una tabla de resultados.
4o) Construya la gráfica de dispersión.
5o) Utilice la interpretación gráfica para obtener los parámetros de la línea recta de mejor
ajuste y exprese la ecuación de esta línea recta.
2.5.- INTERPRETACIÓN ANALÍTICA.
El propósito de esta interpretación analítica es el mismo que la interpretación gráfica, pero
aquí se utilizan conceptos matemáticos que pertenecen al cálculo diferencial para obtener
los parámetros de la línea de mejor ajuste. A este procedimiento se le conoce como el
Método de los Mínimos Cuadrados y se basa en el concepto denominado Desviación (d).
El concepto de Desviación se muestra en la gráfica de dispersión de la Figura 2.5, en donde
se ha trazado una línea recta cualesquiera (no es la línea de mejor ajuste) cuya ecuación es
Y = mX+ b. En esta gráfica aparece la desviación en el punto experimental i-ésimo (di),
definida por la diferencia de la ordenada del punto experimental Yi menos la ordenada
definida por la línea recta Ŷi dada por Ŷi = mXi + b de tal forma que la desviación está
y»,
dada por la expresión: di = Yi - Ŷi = Yi - mXi - b. Estas desviaciones pueden ser positivas,
negativas o nulas, dependiendo de que los puntos experimentales se encuentren arriba, abajo
o sobre la línea trazada. Basándose en lo anterior se puede establecer que: La línea de mejor
ajuste, expresado en términos de desviaciones, es aquella que logra anular la suma de todas
las desviaciones.
29
Física Experimental I
Figura 2.5 .- El concepto de Desviación.
Si la suma de las desviaciones se representa por
), se
observa que esta función F es una función de dos variables (m, b) ya que (Xi, Yi) son los
valores experimentales contenidos en la tabla de resultados, entonces resulta inmediato que
el encontrar los valores de (m, b) para los cuales la función F es igual a cero equivale a
determinar las raíces de una función en el espacio de dos dimensiones (m, b). Existen varios
métodos para encontrar las raíces de una función, pero tienen la particularidad de que son
métodos de aproximación que se pueden aplicar a cualquier tipo de función pero su
convergencia, en algunos casos, es muy lenta, es decir, se requieren de muchas iteraciones
numéricas para encontrar una buena solución. Para evitar estas complicaciones y otras
referentes a la existencia de raíces múltiples de la función F, se considera una expresión
equivalente a esta función F, que está formada por la suma de los cuadrados de las
El problema del Mínimo de una Función es un problema clásico del cálculo diferencial, el
cual se resuelve en forma exacta utilizando conceptos sencillos de aplicar, siempre y
cuando la función sea doblemente diferenciable.
30
Física Experimental I
Este método consiste en determinar el punto M (en el espacio de dos variables (m,b)) que
cumpla con las dos condiciones siguientes:
Entonces, se dice que el punto M es un punto crítico y si este punto M también cumple con
la condición de segundo grado, entonces se dice que el punto M es el punto donde la
función G (m,b) adquiere su valor mínimo. Para mayor detalle de la condición del segundo
grado consulta el apéndice A.
Efectuando operaciones algebraicas en las expresiones anteriores se obtienen las ecuaciones
siguientes:
Esto quiere decir, que el punto M donde la función G (m,b) adquiere un mínimo es aquel
que satisface las ecuaciones 2.5. Entonces, si sustituimos los valores de las sumatorias
utilizando la tabla de valores, se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas m (pendiente)
y b (ordenada al origen). La solución simultánea de estas dos ecuaciones dan como
resultado un valor para m (m*) y otro valor para b (b*) que son las coordenadas del punto M
donde la función G (m,b) adquiere un mínimo.
Estos valores de los parámetros (m*,b*) definen una recta que minimiza la función G (m,b)
y como consecuencia esta línea recta anula la función F (m,b). Por lo tanto, se ha encontrado
la línea recta que más se ajusta a los puntos experimentales: Y = m*X + b*.
Una forma de comprobar que los parámetros m* y b* fueron correctamente calculados,
consiste en graficar la línea recta de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión y se debe
observar claramente que dicha línea recta pasa por los puntos experimentales lo más cerca
Física Experimental I
posible como lo establece el método de la interpretación gráfica. Finalmente se puede decir,
que la línea de mejor ajuste obtenida por el método gráfico y la obtenida por este método
analítico, deben tener los valores de sus parámetros muy semejantes.
2.6.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
2.6.a) Movimiento Rectilíneo de un móvil sobre un Plano Horizontal(5).
Material Utilizado.
1.- Riel de Colchón de Aire.
2.- Deslizador Amarillo con Acrílico.
3.- Compresor.
4.- Cinta Registradora.
5.- Generador de Descargas.
Procedimiento.
1.- Considere el dispositivo formado por un riel de colchón de aire horizontal y un
deslizador que pueda desplazarse a todo lo largo del riel (ver figura 2.6).
Figura 2.6.- Movimiento sobre un Plano Horizontal
32
Física Experimental I
2.- Coloque la cinta registradora a lo largo del riel. Seleccione una frecuencia en el
generador entre 10 y 30 Mhz.
3.- Encienda el generador de descarga y accione el compresor.
4.- Dé un impulso al deslizador y cuando se encuentre en movimiento el deslizador, accione
el generador de descargas para registrar por lo menos 10 puntos.
5.- Apague el generador y el compresor antes de retirar la cinta registradora.
6.- Describa en todos los detalles posibles el fenómeno que se desarrolla. Aquí es necesario
obtener la mayor cantidad de datos cuantitativos de diferente naturaleza y en caso necesario
incluir datos cualitativos.
7.- Desarrolle el proceso de Experimentación en sus primeros cinco pasos para encontrar
la línea recta de mejor ajuste, conforme al orden siguiente:
1o) Considere las cantidades físicas directas del fenómeno: Desplazamiento Horizontal del
Deslizador y Tiempo
2o) Considere al tiempo como cantidad física independiente (X). Y como cantidad física
dependiente (Y) al desplazamiento horizontal del deslizador.
3 o ) La reproducción del fenómeno se realizó registrando las posiciones en la cinta
registradora. La medición de las posiciones del deslizador (Y i) debe ser desde el primer
punto registrado y el tiempo (X 1 ) mediante el inverso de la frecuencia utilizada en el
generador de descarga, como ilustra la figura 2.7
Figura 2.7.-Toma de datos de la cinta registradora con frecuencia del generador de 15
MHz
Anote sus mediciones en una tabla 2.2.
33
Física Experimental I
N
xi
Yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 2.2.- Datos de Desplazamiento y tiempo del movimiento del deslizador
4o) Construya la gráfica de dispersión.
5o. a) Utilice la interpretación gráfica para obtener los parámetros de la línea recta de mejor
ajuste.
5°.b) Aplique la interpretación analítica para obtener los parámetros de la línea recta de
mejor ajuste. Grafique la línea recta de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión.
34
Física Experimental I
CAPITULO 3
LEY FÍSICA PARA CANTIDADES FÍSICAS CON
ALEATORIEDAD NO CUANTIFICADA.
El propósito de este capítulo es definir, con un alto nivel de confianza, que el comportamiento
observado en el fenómeno no es el resultado de un comportamiento fortituo, es decir, se debe
tener confianza que las implicaciones que se desprendan del comportamiento observado del
fenómeno sean siempre validas en el rango analizado. Para demostrar la validez de la relación
encontrada (línea de mejor ajuste), se recurren a pruebas estadísticas relacionadas con la
aleatoriedad de la cantidad física dependiente. Recuerde que cualquier cantidad física que se
mide, tendrá un comportamiento aleatorio representado por una función de distribución
Gaussiana. Por lo tanto, si se considera que la aleatoriedad de la cantidad física dependiente es
pequeña y que no es posible detectarla por las limitaciones del instrumental utilizado para
medir esta cantidad, entonces, se utiliza el concepto de Coeficiente de Correlación para
definir la Ley Física. En caso contrario, cuando se ha detectado una aleatoriedad en la
cantidad física dependiente, entonces se utiliza otra técnica estadística que requiere de un
conocimiento mayor de la estadística y que requiere también de un mayor control del proceso
de reproducción del fenómeno, dicha técnica será desarrollada en el capítulo 4. En la sección
3.1 de este capítulo se expone lo relacionado con el coeficiente de correlación, su propósito y
sus limitaciones, así como el criterio utilizado para definir la ley física. En la sección 3.2 se
expone una forma de generar las implicaciones de la ley física (caracterización del fenómeno),
para facilitar su comparación con las posibles implicaciones generadas por la hipótesis
previamente planteada. En la sección 3.3 se aplican los conceptos antes expuestos a un
fenómeno de la cinemática de las partículas En la sección 3.4 se expone una variante cuando
el coeficiente de correlación no está en el rango recomendado La comparación de resultados
cuando la ley física es no lineal se desarrolla en la sección 3.5 y se utiliza en la sección 3.6
otro fenómeno de la cinemática para ejemplificar esta variante.
35
Física Experimental I
3.1 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.
El coeficiente de correlación (r) es una entidad que pertenece a la teoría de la Probabilidad y
la
Estadística y como tal, requiere de amplios conocimientos de estas teorías para comprender
sus propiedades. Por estar fuera del alcance de este curso, no se profundiza en estos
conocimientos, pero para aquel lector que esté interesado en este tema, puede consultar las
referencias (10,11). Esto no impide que se puedan utilizar las propiedades y características de
esta entidad sin necesidad de demostrar su validez. Una de estas características, es la referente
a que esta entidad se determina en el espacio de dos variables aleatorias (X,Y) donde existe
una función de distribución conjunta que establece una dependencia entre las dos variables. Se
puede demostrar que si la variable aleatoria Y es directamente proporcional a la variable
aleatoria X, entonces el coeficiente de correlación es igual a 1. Si la variable aleatoria Y es
inversamente proporcional a la variable aleatoria X, entonces el coeficiente de correlación es
igual a -1. También se puede demostrar que el inverso de estas implicaciones son validas, es
decir:
Si r = 1, entonces Y = mX + b (con m > 0)
Si r = -1, entonces Y = mX + b (con m < 0)
3.1.a) CRITERIO DE ACEPTACIÓN.
El comportamiento de algún fenómeno físico es observado vía la medición de la cantidad
físicas dependiente Y y la cantidad física independiente X. Es de mucha importancia
determinar si la variación observada por la cantidad Y es atribuida a la variación de la
cantidad X y no es debida a un proceso fortuito. El parámetro que permite conocer estos
efectos de variación es el llamado Coeficiente de Determinación (r2), el cual especifica la
proporción de la variación observada en Y que es atribuida a la variación de X.
Coeficiente de Determinación = (Coeficiente deCorrelación)2 = r2
Para algún caso cuando r2 = 0.985 indica que el 95% de la variación mostrada por Y se le
atribuye a la variación de X. De tal forma que, si dos cantidades X,Y están relacionadas
linealmente como Y=mX+b, entonces: r 2 = (r)2 = (1) =1, indicando que el 100% de la
variación de Y es atribuida a la variación de X.
36
Física Experimental I
En el mundo real, al considerar un dispositivo experimental con X, Y como cantidades
físicas
involucradas en el fenómeno y debido que está presente un proceso de medición de X y Y y
como no existe un control absoluto en el dispositivo experimental, se observa que al construir
la gráfica de dispersión con los valores medidos, estos puntos experimentales no están
perfectamente alineados. Es decir que existe una variación en Y que no se puede explicar con
la variación de X. Por tanto, en un proceso experimental, no es posible observar una relación
lineal perfecta entre dos variables y en consecuencia no es posible obtener un coeficiente de
determinación igual uno.
Por lo tanto, es recomendable aceptar que existe una relación lineal entre dos cantidades
físicas cuando el coeficiente de Determinación es muy cercano a uno. La cercanía a uno del
coeficiente de Determinación depende de la aleatoriedad en Y que se espera observar en el
proceso experimental, de tal forma para nuestro caso en particular, es aceptable tener por lo
menos un coeficiente de determinación de un valor de 0.985
CRITERIO DE ACEPTACIÓN:
Se acepta que existe una relación lineal entre las variables X, Y cuando su Coeficiente de
Determinación es de por lo menos de 0.985
Por lo tanto se dice que:
La línea de mejor ajuste Y = m*X + b* representa adecuadamente el comportamiento
del fenómeno o se considera como una Ley Física si su coeficiente de Determinación es
de por lo menos de 0.985
El Coeficiente de Determinación se calcula con la expresión siguiente:
37
Física Experimental I
PRIMERA RECOMENDACIÓN EN EL ANÁLISIS.
Para determinar una ley física, no se debe limitar solo al cálculo del coeficiente de
Determinación y aplicar el criterio anterior, sino que se debe realizar un análisis conjunto en
los términos siguientes:
ANÁLISIS CONJUNTO:
Primero.- Mediante una inspección visual a la gráfica de dispersión, se debe definir la
posible tendencia de los puntos graficados. Esta puede ser lineal, parabólica,
exponencial, logarítmica, inversa etc.
Segundo.- Calcular el Coeficiente de Determinación y verificar si su valor lo hace
congruente con la tendencia definida en el primer punto.
En caso de que la tendencia resulte lineal, continuar al paso siguiente:
Tercero.- Trazar la línea de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión y observar que
los puntos graficados muestren una ubicación aleatoria alrededor de dicha línea de
mejor ajuste.
Este análisis conjunto es necesario porque se dan casos en que el coeficiente de
Determinación es muy cercano a uno, más sin embargo, la línea de mejor ajuste no muestra la
representatividad de los valores experimentales. También se presenta el hecho de que se
cumplen las dos primeras condiciones (l° Pasa la inspección visual y 2o El coeficiente de
Determinación es muy cercano a uno), más sin embargo, se observa que los puntos graficados
presentan un pequeño patrón de comportamiento que la línea de mejor ajuste no puede
38
Física Experimental I
representar. Es decir, que los puntos graficados no están colocados en forma aleatoria
alrededor de la línea de mejor ajuste. Para ilustrar este aspecto observe la la figura 3.0, para
mayor información puede consultar el apéndice B de estas notas.
Figura 3.0.- Puntos graficados con una tendencia diferente a la lineal
Por tanto, surge una contradicción, puesto que se observa que la línea de mejor ajuste no sigue
la tendencia que los valores experimentales graficados. Esta contradicción invita a realizar
otra prueba estadística para comprobar la linealidad o la no-linealidad entre las cantidades
físicas involucradas. Una de estas pruebas, que se expondrá en las siguientes secciones, es la
referente a la determinación del exponente de la variable independiente utilizando el método
de la Transformación Z.
3.2.- COMPARACIÓN DE RESULTADOS CUANDO LA LEY FÍSICA ES LINEAL.
En esta sección se aborda el último paso del proceso de experimentación, el cual consiste en
determinar si la hipótesis planteada es falsa o verdadera. Esta determinación se logra
comparando a la Ley Física y con lo expresado en la hipótesis planteada.
Pero debido a que la Ley Física es una expresión matemática y la hipótesis en una expresión
textual, se hace necesario interpretar a la ley física en los mismos términos utilizados en la
hipótesis y de esta forma tener la posibilidad de realizar una comparación y determinar la
39
Física Experimental I
similitud entre ambas partes (Hipótesis Verdadera) o la contradicción en las partes
(Hipótesis Falsa). Una forma de generar implicaciones o de interpretar la Ley Física, consiste
en caracterizar al fenómeno, utilizando conceptos ya conocidos y aceptados.
3.2.a.- CARACTERIZACIÓN DEL FENÓMENO.
La Ley Física define la existencia de una relación entre dos cantidades físicas ( X,Y ) que se
considera válida en las condiciones en que se realizó el proceso de experimentación y dentro
del rango de variación de la variable independiente. En consecuencia, esta Ley Física puede
ser utilizada para caracterizar o interpretar una cierta faceta del fenómeno estudiado. Por
ejemplo, en el caso del fenómeno anterior, se considera a:
Cantidad física independiente X → tiempo ( seg).
Cantidad física dependiente Y → Magnitud del vector desplazamiento(D).
Ley Física → D = m* t + b*
Esta Ley Física establece la magnitud más probable del vector desplazamiento de un móvil
(deslizador) que se mueve sobre una línea recta (riel de colchón de aire) para cualquier tiempo
t que se encuentra dentro de su rango de variación.
La figura 3.1 muestra la gráfica de la ley física que representa adecuadamente las
características del movimiento de la partícula.
Figura 3.1.- Gráfica de la Ley Física.
Considere un punto de coordenadas (t1, D1) sobre la línea recta, entonces: D1 = m*t1+b* Y
40
Física Experimental I
el punto de coordenadas (t2, D2 ) también está sobre la línea recta:
D2 = m*t2+b
De la figura 3.1 se observa que la razón de cambio del desplazamiento con respecto al
tiempo
para dos instantes de tiempo t1, t2:
La ecuación anterior significa que el cambio del desplazamiento con respecto al tiempo es m*.
Esta relación es válida para dos instantes de tiempo cualesquiera (ver figura 3.1).
A esta razón de cambio se le llama Rapidez Media (v), cuyas unidades son [v] = L/T.
Donde el símbolo [ W ] significa las unidades de referencia de la cantidad física W y donde L
indica unidades de Longitud tales como: Metros, centímetros, Kilómetros, pulgadas, etc. Y la
literal T indica unidades de tiempo tales como: Segundo, hora, minuto, etc. Entonces se dice
que la partícula desarrolla un movimiento con rapidez media constante. Es importante
observar que el valor de la rapidez media de la partícula no depende del valor b*, el cual se
puede interpretar al considerar un tiempo inicial t0 = 0 seg, que significa que las mediciones
de tiempo se inician con los relojes ajustados a 0.0 seg. Si este tiempo se sustituye en la ley
física obtenida, se tiene que el desplazamiento Inicial Do es: Do = m*(0)+b* = b*, lo que
indica que el parámetro b* de la ley física, representa el desplazamiento que tiene la partícula
con respecto al sistema de referencia cuando se inicia el análisis del movimiento de la
partícula.
En el cálculo de la rapidez media es suficiente saber los valores iniciales y finales del
movimiento rectilíneo de la partícula, sin importar como fue el movimiento entre dichos
puntos. Con el propósito de conocer con mayor detalle la forma de movimiento de la partícula
a lo largo de todo su movimiento, consideremos dos instantes de tiempo t1 y t2 muy cercanos,
es decir, que el intervalo de tiempo
t = t 2 - t1 sea muy pequeño. Para este caso se observa
que la razón de cambio del Desplazamiento con respecto a este intervalo de tiempo es m*,
debido a que la pendiente de la línea recta permanece constante. Este proceso de considerar
punto muy cercanos se representa de la forma siguiente:
41
Física Experimental I
Esta expresión se conoce, en cálculo diferencial, como Derivada del Desplazamiento con
respecto al tiempo y denota como
y como se refiere a la rapidez en un intervalo de
tiempo muy pequeño, ésta se le conoce como Rapidez Instantánea (v). Utilizando las reglas de
derivación y la expresión de la ley física, se obtiene:
Rapidez Instantánea = v =
También se sabe de la cinemática que:
Aceleración Instantánea = a =
Por lo tanto, se obtiene la expresión que representa el movimiento rectilíneo con rapidez
(instantánea) constante, también conocido como Movimiento rectilíneo Uniforme.
D = vt + Do ..............................ec.3.2
HIPÓTESIS FALSA o VERDADERA.
Se ha concluido que el objeto efectúa un movimiento rectilíneo con velocidad constante, por
lo tanto, se puede decir que si la hipótesis planteada fue:
a) "El objeto se mueve con velocidad constante"
→ Hipótesis Verdadera
b)"El objeto recorre distancias iguales en tiempos iguales" → Hipóteis Verdadera.
(ver figura 3.1)
c) "El objeto efectúa un movimiento acelerado" →
Hipótesis Falsa.
Por otra parte, si se hace coincidir la dirección del desplazamiento de la partícula con el eje
positivo de las "X", entonces se puede representar cualquier desplazamiento como un vector
horizontal de la forma siguiente:
42
Física Experimental i
Donde D es el vector desplazamiento
D es la magnitud del vector desplazamiento
i es un vector con dirección del eje positivo de las X y de magnitud unitaria
Por tal motivo, la ecuación ec.3.2 se puede expresar como: V =
D - D0
y como los
t
desplazamientos son cantidades vectoriales, entonces se tiene:
....................................................................................... ec.3.3
Cuando el origen de referencia se ubica en el punto de inicio del movimiento de la partícula,
entonces Do = 0, de tal forma que la ecuación ec.3.3 resulta:
................................................................................................ ec.3.4
De la ec.3.4 se desprende que la cantidad v es una cantidad vectorial porque resulta de
multiplicar al vector D por una cantidad escalar 1/t, con la misma dirección y el mismo
sentido que el vector D pero de magnitud v = (l/t)D.
3.2.b.- EVALUACIÓN DEL EXPERIMENTO.
Para evaluar un experimento se recurre a la comparación de resultados obtenidos en la
caracterización del fenómeno con los resultados de aplicar al fenómeno físico los conceptos
teóricos. Es decir, es posible comparar las implicaciones de la ley Física mediante la
determinación de un Valor Experimental (Vexp) con el cálculo del valor Teórico (Vteo), de la
manera siguiente:
Error Experimental Eexp
Otra forma de comparar los resultados experimentales con implicaciones teóricas es
utilizando expresiones teóricas que resulten semejantes con la relación obtenida como Ley
Física. Por ejemplo:
43
Física Experimental I
Expresión experimental: D = m*t + b*
Expresión Teórica de la cinemática de las partículas: D = vt+ Do
Por simple comparación de las expresiones anteriores se puede establecer que:
v = m*; Do = b*
3.3.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
1.- Considere una vez más el fenómeno del Movimiento Rectilíneo del deslizador sobre el riel
de colchón de aire en un plano horizontal que se realizó en la sección 2.6.a y formule una
hipótesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por ejemplo puede
seleccionar alguna de las hipótesis siguientes:
" El deslizador se mueve con velocidad constante"
" El deslizador tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales"
" El deslizador se mueve con aceleración constante diferente de cero"
2.- Considere la tabla de resultados y la línea de mejor ajuste que se obtuvo en la sección
2.6.a. Determine el valor del coeficiente de Determinación con la ecuación 3.1 y obtenga la
ley física cuando así sea considerado y continúe con el inciso siguiente. En caso contrario
termine.
3.- Determine los valores característicos del movimiento del deslizador y compare estos
valores con la o las implicaciones de la hipótesis planteada. Finalice especificando la Validez
o Falsedad de la hipótesis planteada.
3.4.- LEY FÍSICA NO LINEAL
El aceptar que la línea de mejor ajuste represente adecuadamente el comportamiento de las
variables físicas involucradas, bajo cierto nivel de confianza, es aceptar que la relación entre
dichas cantidades físicas es de tipo lineal. Esta relación lineal es posible observarla en la
gráfica de dispersión de las cantidades físicas, pero en muchos casos, la gráfica de dispersión
muestra una relación, que está muy lejos de ser lineal (ver figura 3.2).
44
Física Experimental I
G r á f i c a de D i s p e r s i ó n .
Figura 3.2 .- Gráfica de Dispersión
Con el propósito de encontrar el tipo de relación entre las cantidades físicas originales (X,Y) y
seguir aplicando el mismo criterio de aceptación, se procederá a aplicar un método
matemático, que llamaremos Transformación Z, el cual consiste en demostrar que existe una
relación lineal entre cantidades modificadas (W,Z) que involucren a las cantidades físicas
originales (X,Y), para después proceder a una transformación inversa y así obtener la relación
entre las cantidades físicas originales. El aplicar este método no quiere decir que se transforma
el fenómeno físico que dio origen a los datos graficados, solo es un artificio matemático para
encontrar la relación entre las cantidades físicas originales (X,Y).
3.4.a.- TRANSFORMACIÓN ZETA(Z)
En esta sección se expone el procedimiento para determinar los parámetros de la línea de
mejor ajuste entre variables modificadas cuando la línea de mejor ajuste entre las variables
originales no satisface el criterio de aceptación. Este procedimiento consiste en modificar (o
Transformar) los valores de las cantidades originales de forma tal que se observe, al graficar
dichos valores y se compruebe, al calcular el coeficiente de Determinación, que existe una
relación lineal entre ellos. El tipo de la transformación depende de la tendencia mostrada en la
gráfica de dispersión de las cantidades originales. En la figura 3.3 se muestran varias
tendencias y las transformaciones Z que son requeridas, en algunas de ellas solo basta con
transformar la variable dependiente o solo la variable independiente o ambas.
45
Física Experimental I
Figura 3.3.- Gráfica de las tendencias más comunes
El análisis de los valores que dan origen a la gráfica mostrada en la figura 3.2, se inicia con el
cálculo del coeficiente de Determinación, cuyo valor esta fuera del rango requerido para
aceptar como lineal la relación existente entre las cantidades graficadas. Esta conclusión es
congruente con lo mostrado por dicha figura 3.2. En dado caso se procede a la búsqueda del
tipo de relación no lineal mostrada por las cantidades involucradas, para ello se procede de la
manera siguiente:
1°.- En base a la tendencia mostrada por los datos originales X,Y se selecciona un
transformación Z. Es conveniente aclarar que es posible utilizar otras transformaciones que
alcancen el mismo objetivo. Para el caso de la tendencia mostrada en la figura 3.2 se tiene
que:
Transformación seleccionada Z = "V/X
Esta transformación modificará los valores de las ordenadas, quedando las abscisas sin
modificación
2°.- Se aplica la transformación Z=Y/X a cada uno de los datos, obteniéndose valores de Z
para cada pareja de valores de (x,y), como se muestra en la 4a columna de la tabla 3.1.
46
Física Experimental I
Medición
X
Y
Z=Y/X
1
x,
x2
x3
;
Y,
Z 1 =Y 1 /X 1
Y2
Z2= Y2/ X2
Y3
Z3=Y3/X3
2
3
N
Xn
;
Yn
Zn= Yn/ Xn
TABLA 3.1.- Tabla de valores originales y valores transformados.
Con la tabla 3.1 se procede a desarrollar los pasos del proceso de experimentación
considerando las parejas de valores de (X, Z)
3o.- Construir la gráfica de dispersión de las pareja de valores X,Z
4o.- Determinar los valores de los parámetros de la línea de mejor ajuste Z = m**X + b**.
Se denota m** y b** los parámetros de la línea de mejor ajuste para diferenciarlos de los
parámetros de la línea de mejor ajuste para los datos originales X,Y.
5°.- Determinar el coeficiente de Determinación para los valores X,Z y aplicar el criterio de
aceptación para aceptar o rechazar la relación lineal entre Xy Z.
En el caso que el coeficiente satisfaga el criterio de aceptación, esto indica que existe una
relación lineal entre X y Z, bajo un cierto nivel de confianza. De tal forma que se puede decir
que Z =m**X + b** es una relación válida, por tanto, como Z = Y/X, se tiene:
Y/X = m**X+b**
Despejando se tiene: Y = m** X 2 + b** X
La expresión anterior resulta ser la buscada ley física del tipo cuadrática. En el caso contrario
de no satisfacer el criterio de aceptación, es posible que no se haya utilizado la transformación
correcta o que simplemente que los valores originales X, Y no presentan ninguna tendencia
que pueda tener un nivel de confianza aceptable y por lo tanto no es posible definir una
relación que represente adecuadamente el comportamiento del fenómeno.
SEGUNDA RECOMENDACIÓN EN EL ANÁLISIS
Cuando existe duda sobre la linealidad entre los valores graficados, se recomienda hacer una
47
Física Experimental I
análisis adicional para determinar el valor del exponente de la variable independiente y
conocer si este es muy cercano a 1.0 (relación lineal) o es más cercano a 2.0 (relación
cuadrática).
ANÁLISIS ADICIONAL.
Este análisis consiste en aplicar el método de la transformación en ambas variables de la
forma siguiente:
W = Ln(x) , Z = Ln(Y)
Se espera que el coeficiente de determinación para las variables transformadas (r W,Z ) sea
mayor que el coeficiente de determinación para las variables originales (rW,Z ) y aumenta la
representatividad de la línea de mejor ajuste de las variables transformadas, por tanto se
acepta la existencia de una relación lineal entre las variables transformadas de la forma:
Z = m**W+b**
Pero se sabe que: W = Ln(X) y Z = Kn(Y), entonces se tiene:
Ln(Y) = m**Ln(X)+b**
Aplicando las propiedades de los logaritmos:
Ln(Y) = Ln(X)m** +b**
Si consideramos que : b * * = Ln(b)
Ln(Y) = Ln(X)m** + Ln(b) = Ln(bXm**)
Aplicando la exp onencial a ambos lados de la ecuación, se tiene :
Esta última expresión muestra, con un nivel de confianza mayor, el tipo de relación que existe
entre las variables originales, de tal forma que si el parámetros m** es muy cercano a 1.0,
entonces la relación entre las variables es lineal, pero si m** es muy cercano a 2.0 entonces la
relación entre las variables es del tipo Cuadrática.
48
Física Experimental I
3.5- COMPARACIÓN DE RESULTADOS CUANDO LA LEY FÍSICA
ES CUADRÁTICA ( NO LINEAL).
En esta sección se expone una forma de generar las implicaciones del trabajo experimental
que se le conoce como Caracterización del Fenómeno, para compararlas con las implicaciones
de la hipótesis planteada.
3.5.a.- CARACTERIZACIÓN DEL FENÓMENO.
La Ley Física define la existencia de una relación entre dos cantidades físicas ( X,Y ) que se
considera válida en las condiciones en que se realizó el proceso de experimentación y dentro
del rango de variación de la variable independiente. En consecuencia, esta Ley Física puede
ser utilizada para caracterizar o analizar una cierta faceta del fenómeno estudiado. Por
ejemplo, en el caso del fenómeno anterior, se considera a:
Cantidad física independiente X → tiempo (t).
Cantidad física dependiente Y → Magnitud del vector desplazamiento(D).
La Ley Física determinada en la sección anterior, establece la magnitud más probable del
desplazamiento (D) del objeto que se mueve sobre una línea recta para cualquier tiempo (t).
Ley Física
D = m*t2 + b*t.
De los conceptos de la Cinemática se sabe que:
Rapidez de la Partícula = v =
) =2m *t +b*
Significado Físico del Parámetro b*.
Para un tiempo inicial t = 0 seg Rapidez Inicial de la partícula = Vo = b*
Como se puede observar la rapidez inicial de la partícula resulta ser igual al parámetro b* de
la línea del mejor ajuste. Si b* es diferente de cero, esto indica que experimentalmente se
detecta que el movimiento no parte del reposo como se esperaba que así sucediera.
También se sabe de la cinemática que:
Aceleración de la Particula = a =
Significado Físico del Parámetro m*.
La ecuación anterior establece que la aceleración de la partícula es una constante (2m*), por
tanto se puede establecer que: m** = 1/2 aceleración del móvil.
49
Física Experimental I
Y recordando que el movimiento del deslizador es sobre un riel de colchón de aire, se
puede
establecer que el movimiento del deslizador es un:
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.
3.5.b.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO.
La Ley Física determinada en la sección anterior, establece que la magnitud del
desplazamiento D del objeto que se mueve sobre una línea recta para cualquier tiempo t está
dada por:.
D = m*t2 + b*t.
Con propósitos de explicación, consideremos una ley física con valores numéricos en sus
parámetros, tal como m**= 25.67 y b** = 1.2 y su gráfica es como muestra la figura 3.4
Consideremos dos intervalos de tiempo
t1 = t2-t1
velocidades medias en cada intervalo:
50
y
t2 =t4-t3 y calculemos las
Física Experimental I
Figura 3.4.- Gráfica de la ley Física D = 25.67t 2+1.2t
Se observa que la rapidez media del móvil va en aumento al transcurrir el tiempo. Este efecto
de aumento de la rapidez de móvil, se observa al determinar la rapidez instantánea de la forma
siguiente:
Entonces :v = 51.34/ + 1.2 ................................. ec.3.5
Esta expresión muestra que la rapidez va en aumento al transcurrir el tiempo, efecto que se
muestra en la gráfica 3.5.
Figura 3.5.- Gráfica del aumento de la rapidez con respecto al tiempo.
51
Física Experimental I
Desde el punto de vista geométrico, se sabe que la derivada de una función evaluada en un
punto, representa la pendiente de la tangente en dicho punto. Esta equivalencia se
muestra
en la gráfica 3.6
Figura 3.6.- Gráfica de Datos Originales (Desplazamiento contra tiempo)
De forma similar como se define la velocidad media, también se define la Aceleración media
que tiene el propósito de evaluar el cambio en la rapidez con respecto al tiempo. Para ello
considérese dos puntos sobre la gráfica de rapidez instantánea:
Así, por ejemplo, consideremos los tiempos t1=0.1s, t2=0.2s (Figura 3.7) y aplicando la ec3.5
se tiene v1 = 6.334 cm/s, V2 = 11.468 cm/s.
= 51.34 cm/ s2 Es posible calcular la aceleración media para otro
intervalo de tiempo y obtenemos:
52
Física Experimental I
Figura 3.7.- Rapidez Instantánea a través del tiempo
Como se puede observar, la aceleración media es la misma, sin importar el intervalo de
tiempo considerado. Este valor constante de la aceleración media también se obtiene al
determinar la Aceleración Instantánea.
Entonces, la Aceleración Instantánea es una constante = 51.34 cml s
En términos generales, considerando la expresión general de la Ley Física (D=m**t 2+b**t),
se tiene que la rapidez instantánea, llamada más comúnmente como Rapidez, es igual a v =
2m**t+b** y la aceleración instantánea, llamada comúnmente como Aceleración es igual a:
a = 2m** ó m** = (1/2) a
De la expresión v = 2m**t+b**, si t = 0.0 s, es decir, para el tiempo inicial to = 0.0 s, la
rapidez para este tiempo inicial es Vo = 2m**(0.0) + b** = b**, de esto se desprende que
el parámetro de la ley física b** = Rapidez Inicial = Vo. Por lo tanto, la Ley Física del
movimiento de la partícula se expresa como:
Ley Física: D = Vot + (1/2) at2
Y como consecuencia, al derivar la ecuación anterior con respecto al tiempo: V = Vo + at
Estas expresiones representan el movimiento de la partícula cuando su aceleración es
constante e inicia su movimiento con una rapidez inicial Vo. Recordemos que las expresiones
anteriores representan a las magnitudes de las cantidades vectoriales D, V y por la expresión
de la aceleración media y la aceleración instantánea se desprende que la aceleración es
53
Física Experimental I
también una cantidad vectorial, puesto que resulta de la multiplicación de un escalar (1/t)
por
un vector (V). Entonces, se dice que una partícula que realice un Movimiento Rectilíneo con
Aceleración Constante, su movimiento está representado por las expresiones:
3.6.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
3.6.a.- Movimiento Rectilíneo de un Móvil bajo la Acción de una Fuerza Constante.
Material Utilizado.
1.- Riel de Colchón de Aire.
2.- Compresor de Aire.
3.- Deslizador Amarillo con Acrílico.
4.- Cinta Registradora.
5.- Generador de Descargas Eléctricas.
6.- Cinta magnética.
Figura 3.8.- Movimiento de un Móvil bajo la acción de una Fuerza Constante.
7.- Gancho de pesas y una pesa de 50 gr con ranura.
54
Física Experimental I
1.- Considere el dispositivo formado por un riel de colchón de aire en posición horizontal y
un
deslizador que pueda desplazarse a lo largo de todo el riel (ver figura 3.8).
2.- Formule una hipótesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por
ejemplo puede seleccionar alguna de las hipótesis siguientes:
" El deslizador se mueve con velocidad constante"
" El deslizador tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales"
" El deslizador se mueve con aceleración constante".
3.- Desarrolle el proceso de Experimentación en sus siete pasos para verificar la hipótesis
planteada, mediante el orden siguiente:
1°.- Considere las cantidades físicas directas del fenómeno: Desplazamiento del deslizador
sobre el riel y el tiempo.
2o.- Considere al tiempo como la cantidad física independiente (X). Y como cantidad física
dependiente (Y) al desplazamiento del deslizador. Verifique el buen funcionamiento del
generador de descargas. Y mida las masas del deslizador y del bloque que se coloca
verticalmente.
3°.- Reproduzca el fenómeno registrando las posiciones en la cinta registradora. El registro de
posiciones debe ser desde que el deslizador inicia su movimiento. Anote sus mediciones en la
tabla 3.2.
N
ti
Di
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
55
Física Experimental I
11
12
13
14
15
Tabla 3.2.- Datos del movimiento de un móvil bajo la acción de una Fuerza Constante.
4o.- Construya la gráfica de dispersión.
5°.- Aplique la interpretación analítica para obtener los parámetros de la línea de mejor ajuste.
Grafique la línea de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión.
6°.- Calcule el coeficiente de Determinación y en caso que sea posible, determine la Ley Física
y continúe con el inciso siguiente. En caso en que no sea posible definir la ley Física, continúe
con el inciso 8o
7o.- Verifique la validez o falsedad de la hipótesis planteada y termine el proceso.
8o.- Copie los datos de la tabla 3.2 a la tabla 3.3 en el que se demostró que no existe una
relación lineal entre las cantidades (t, D). Calcule los valores Z = D/t y anótelos en la tabla
3.3.
iN
12
23
34
45
5
6
8
7
8
9
10
56
t¡
D¡
Z¡ =D¡ /t¡
Física Experimental I
11
12
13
14
15
Tabla 3.3. Valores transformados del movimiento de un móvil bajo la acción de una Fuerza
Constante.
9°.- Construya la gráfica de dispersión para las cantidades t en el eje de las abscisas y Z en
el eje de las ordenadas.
10°.- Determine la línea de mejor ajuste utilizando la interpretación analítica, denótela
como:
Z = m**t + b**
11°.- Calcule el coeficiente de Determinación utilizando la expresión 3.1 y verifique que sí
se cumple el criterio de aceptación 3.1a para determinar la Ley Física.
12°.- Efectúe la caracterización del fenómeno para determinar la posición inicial de
movimiento (Do), la velocidad inicial de la partícula (Vo) y las expresiones de la velocidad
y la aceleración de la partícula.
13°.- Determine el error en el experimento utilizando como valor teórico la aceleración del
movimiento ideal de un móvil, que se desliza sin fricción sobre un plano horizontal bajo la
acción de la tensión proporcionada por una cuerda sujeta a él, y el otro extremo se sujeta a
otro bloque de masa m que cuelga en posición vertical y como valor experimental la
aceleración calculada anteriormente.
3.7 TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
3.7.a Movimiento Rectilíneo de un Móvil sobre un Plano Inclinado
Material Utilizado.
1.- Riel de Colchón de Aire.
2.- Compresor de Aire.
3.- Deslizador Amarillo con Acrílico.
4.- Cinta Registradora.
5.- Generador de Descargas Eléctricas.
Física Experimental I
1.- Considere el dispositivo formado por un riel de colchón de aire en posición inclinada y
un
deslizador que pueda desplazarse a lo largo de todo el riel (ver figura 3.9).
2.- Mida los grados de inclinación del plano inclinado y denótelo como
. Seleccione una
frecuencia entre 10 y 30 Mhz.
3.- Coloque la cinta registradora a lo largo del riel de colchón de aire. Coloque el deslizador
en el extremo más alto del riel como muestra la figura 3.9, manteniéndolo en esa posición con
un objeto de material aislante. Accione el compresor y el generador de descargas de tal
forma que se registre en la cinta registradora el punto de inicio de movimiento del deslizador.
Después de un par de segundos, deje en libertad de movimiento al deslizador sin dejar de
accionar el generador de descargas, de tal forma que se registren por lo menos 15 puntos.
3.- Apague el generador y el compresor antes de retirar la cinta registradora.
4.- Formule una hipótesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por
ejemplo puede seleccionar alguna de las hipótesis siguientes:
" El deslizador se mueve con velocidad constante"
" El deslizador tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales"
" El deslizador se mueve con aceleración constante".
Figura 3.9.- Movimiento de un Móvil sobre un Plano Inclinado.
58
Física Experimental I
5.- Desarrolle el proceso de Experimentación en sus seis pasos para verificar la
hipótesis
planteada, mediante el orden siguiente:
1o) Considere las cantidades físicas directas del fenómeno: Desplazamiento del deslizador
sobre el riel y el tiempo.
2o) Considere al tiempo como la cantidad física independiente (t). Y como cantidad física
dependiente (D) al desplazamiento del deslizador.
3o) Con la cinta registradora obtenida anteriormente, mida los desplazamientos del deslizador
(D¡) a partir de la primera marca y los tiempos (ti) con los inversos de la frecuencia f utilizada
en el generador. Anote sus mediciones en la tabla 3.4.
4o) Construya la gráfica de dispersión.
5°.- Aplique la interpretación analítica para obtener los parámetros de la línea de mejor ajuste.
Grafíque la línea de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión.
N
Ti
Di
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabla 3.4 .- Datos de Tiempo y Desplazamiento de un móvil sobre un Plano Inclinado.
59
Física Experimental I
6o) Calcule el coeficiente de Determinación y compruebe que no cumple con el criterio de
aceptación (3.1a), concluya que no es posible determinar la ley física del movimiento y
continúe con el 6°a paso. En caso contrario, es posible que no consideró un número suficiente
de puntos registrados o existe un error al registrar el inicio del movimiento. Cuando sea
posible, reproduzca una vez más el fenómeno y regrese al 4o paso.
Z = m**t + b**
•
N
Ti
Di
Zi =Di /ti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabla 3.5.- Valores transformados del movimiento de un móvil sobre un Plano
Inclinado.
6°a) Copie los datos de la tabla 3.4 a la tabla 3.5 en el que se demostró que no existe una
relación lineal entre las cantidades (t, D). Calcule los valores Z = D/t transformados y anótelos
en la tabla 3.5.
6°b) Construya la gráfica de dispersión para las cantidades X en el eje de las abscisas y Z en el
eje de las ordenadas.
60
Física Experimental I
6°c) Determine la línea de
mejor ajuste utilizando la
Z = m**t
6°d) Calcule el coeficiente de Determinación utilizando la expresión 3.1 y verifique que sí se
cumple el criterio de aceptación 3 1a para determinar la Ley física
7o) Efectúe la caracterización del fenómeno para determinar la posición inicial de
movimiento (Do), la velocidad inicial de la partícula (Vo) y las expresiones de la velocidad y
la
aceleración de la partícula
Y determine el error en el experimento utilizando como valor
teórico la aceleración del movimiento ideal de un móvil que se desliza sin fricción sobre un
plano que tiene una inclinación de a grados (a= gsen a) y como valor experimental la
aceleración calculada en el paso anterior.
3.7b.- ADQUISICIÓN DE DATOS POR MEDIO DE UNA PC. (Interfases Leybold)
Movimiento Uniformemente Acelerado.
OBJETIVO GENERAL- Se determinará el modelo matemático que representa el
movimiento de un objeto que se desplaza sobre un riel de colchón de aire y que recorre
distancias diferentes para tiempos iguales; así como ecuaciones que se derivan del mismo.
INTRODUCCIÓN.
En el espacio se observan movimientos de objetos desde algún sistema de referencia,
tales como el movimiento de automóviles en una dos y tres dimensiones, movimiento de aves,
aviones, helicópteros; así como el movimiento de los planetas que integran nuestro sistema
solar o en general el movimiento de los astros en el Universo Es indudable que el movimiento
de estos objetos, en cada caso puede ser diferente dependiendo de algunas de las características
físicas de los mismos tales como el medio donde se efectúa el movimiento; debido a ello en
la descripción y análisis del movimiento de los objetos, se ha hecho una clasificación, siendo
uno de ellos el movimiento uniforme, que se caracteriza por que los objetos se mueven con
velocidad constante; o sea que este tipo de movimiento lo realizan objetos que se mueven en
una sola dimensión
61
Física Experimental I
Es recomendable remarcar que en este caso también la rapidez es constante y como
por definición la aceleración á de un objeto que se mueve en algún Jugar del espacio es
el cambio de la velocidad en el tiempo, por lo que para este tipo de movimiento la aceleración
es cero.
Asimismo es recomendable adarar que la velocidad de un objeto que se mueve en el espacio
se define como el cambio de la función que representa el desplazamiento, en el tiempo, por lo
que sí r (t) representa la posición del objeto para cualquier tiempo mayor que cero y r0 la
posición inicial, entonces se encuentra que r(t)=r 0 +v t
Analizando el movimiento de los objetos en el espacio se concluye que la mayoría de éstos
no se mueven con velocidad constante; para esto es suficiente observar la trayectoria que
siguen los objetos, que normalmente es una curva en el espacio, o sea que para la mayor parte
del movimiento de ios objetos la velocidad es variable en el tiempo; por lo que la aceleración
de dichos objetos es diferente de cero, en cuyo caso la aceleración puede ser constante. Por
definición a este tipo de movimiento se le llama movimiento uniformemente acelerado,
remarcando que esta definición es clásicamente para sistemas inerciales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
1 - Que el alumno interaccione directamente con equipo y materiales utilizados en la Física
Experimental al participar en la conexión de los equipos utilizados en el experimento.
2- Con ayuda de la PC el alumno medirá indirectamente distancias y tiempos en el
movimiento de un deslizador
3.- Utilizando técnicas de análisis de datos, se describirán y analizarán gráficamente las
mediciones obtenidas acorde al sistema internacional de unidades.
4.- Mediante el análisis de las gráficas de funciones de variable real se seleccionará la
función que mejor se adapte a la gráfica de los datos experimentales; determinándose el
valor de las constantes que aparecen en la función.
62
Física Experimental I
5 - Se evaluará la factibilidad del modelo matemático que representa la ley
física
experimento en cuestión.
INSTRUMENTOS Y MATERIALES ( Equipo marca Leybold).
1.- Un riel de colchón de aire.
2 - Un deslizador tipo Leybold.
3.- Un transductor.
4.- Un electroimán.
5- Una interface CASSY.
6 - Cables de conexión para interface CASSY.
7-
Un compresor (generador de aire) con manguera.
8-
Una fuente de corriente continua de 0 a 20V.
9 - Cable de conexión para transductor.
10-
Accesorios para el deslizador.
11 -
Una PC con sistema operativo DOS o WINDOWS.
12-
Software para CASSY con archivo BMW.
13-
Algunos otros cables de conexión que se utilizan en el experimento.
14.-
Un Vernier.
3.7.bL TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO. Movimiento Uniformemente
Acelerado
FIGURA 1. MOVIMIENTO UNIFORME MENTE ACELERADO.
63
Física Experimental I
1.Hacer las conexiones mostradas en la figura 1. (No activar los instrumentos
generan energía; compresor y fuente).
2.Verificar si todas las conexiones estén debidamente conectadas a los
instrumentos
relacionados con el experimento a realizar.
3.Calibrar el riel de colchón de aire, haciendo que el compresor inyecte aire al riel de
tal forma que el deslizador permanezca en equilibrio.
4.Encender la fuente de corriente continua de tal manera que la corriente que
proporciona la fuente genere un campo magnético suficiente para que el deslizador quede
unido al electroimán, (máximo 12V).
5.Colocar una masa de 1g al deslizador mediante un pedazo de hilo ex profeso para
ello, con la aclaración de que el hilo pase a través de la polea del transductor.
6.Encienda Ja PC.
6.1- Reiniciar la PC en modo MS-DOS.
6.2- Teclee cd .. .J {para borrar Windows).
6.3.- Teclee cd - cassy J
6.4- Teclee BMW J (es el nombre del archivo).
7.- Con el teclado de la PC. <esc> y J son las teclas de manejo de los menús y submenús
del archivo BMW.
7.1- Al ejecutar el programa BMW oprimir cualquier tecla para que aparezca el menú
principal con las opciones de: FlBMWy F2XYZ, escogiendo F1BMW J.
7.2- Elegir del menú principal, calibrar magnitudes J.
7.2.1- Elegir magnitudes lineales J.
7.3.-Elegir opciones para magnitudes J.
7.3.1- Elegir mostrar U J y mostrar a J.
7.3.2.- En ese mismo submenú elegir preseleccionar parada J.
7.3.3 - Darle el valor de 1m y regresar con <esc> al menú principal.
7.4.- Elegir registrar medición J.
7.4. J. - Elegir tipo de representación ya sea digital o gráfica, seleccionar y oprimir J.
7.4.2. Teclee Fl o J. Comienza el movimiento del deslizador
7.4.3. Con J o Fl detiene la medición.
7 5- Oprimir <esc> para regresar al menú principal
7.5.1- Elegir editar valores J
64
Física Experimental I
Para copiar los datos en diskette.
Movimiento Uniformement
7.6.- Copiar datos dei monitor de la PC.
7.6.1.- Oprimir <esc> para regresar al menú principal.
7.6.2.- Elegir evaluación gráfica J (analizar gráfica).
7.7.- Oprimir <esc> para regresar al menú principal.
7.7.1.- Salir del menú principal Fin J.
7.7.2.- Salir del programa J.
7.7.3- Desea salir del programa Si J.
3J7.b2.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
Acelerado con Vídeo com.
FIGURA 2. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO ( VIDEOCOM )
1.Arma el circuito que indica la figura. (No energizar)
Enciéndala PC
Ir a inicio, programas, videocom, videocomMovimientos J.
Dentro del software nos ubicamos en la opción de recorrido y damos un click
Damos un click sobre el icono que se llama "Ajustes/Calibración" del recorrido
Estando dentro de "Ajustes/Calibración" del recorrido damos un click en la opción
a) Coloque la cámara de frente al riel de colchón de aire a una distancia de 1m.
b) Ajuste el lente de la cámara con un diafragma 16.
c) Calibre el riel de colchón de aire para que este al nivel de la mesa o superficie.
1.2.3.4.5.-
Encienda la PC.
Ir a inicio, programas, videocom, videocom.Movimientos ¿.
Dentro del software nos ubicamos en la opción de recorrido y damos un click.
Damos un click sobre el icono que se llama “Ajustes/Calibración” del recorrido.
Estando dentro de “Ajustes/Calibración” del recorrido damos un click en la opción
de “Predeterminados”.
a) Estando en ''Predeterminados" vamos a cambiar valores a dos parámetros. El primero
es después de tiempo prefijado y le damos 3 seg.
b)En el segundo parámetro que es al recorrer la distancia, le damos un valor de lm
Damos ¿ para que acepte los cambios que hicimos.
65
Física Experimental I
7.Después damos otro click sobre el mismo icono de
"Ajustes/Calibración"
recorrido
8.- Ya estando dentro, damos un click en la opción de "Calibración"" del recorrido.
a) En esta opción cambiaremos los valores de la 1 a y 2a posición, en la primera el valor
será
1 y en la segunda posición 0, en ese mismo cuadro activamos "emplear calibración" y
damos ¿.
9.Antes de que se inicie el recorrido debe estar bien calibrado el deslizador sobre la
regleta que tiene el software, el cursor debe estar precisamente en cero (0) para que tenga
una mejor precisión del recorrido
10.Para iniciar el recorrido damos un click en el icono que tiene un cronómetro, al
icono se le llama "iniciar/detener" medición.
a) En la opción de "recorrido" nos muestra su gráfica y sus valores.
b)Para que muestre la velocidad damos un click en la opción de "velocidad". En esta
opción se mostrará la gráfica de velocidad y sus valores.
c)Para que nos muestre la aceleración, damos click en la opción de "aceleración". En esta
se mostrará la gráfica de aceleración y sus valores.
3.8.- TRANSFORMACIÓN
Y - Y0
Z=
X
La condición experimental que se debe tomar para utilizar la transformación propuesta
(Z = Y - Y0 ), es considerar que la información del movimiento del objeto Es Incompleta.
X
Es decir, que únicamente se conoce el punto inicial de movimiento (Marca Inicial) y
puntos finales deí movimiento del objeto. En este caso hubo una pérdida de información
del movimiento del objeto en ¡os primeros instantes del movimiento y además se observa
en Ja gráfica de dispersión, una tendencia parabólica que pasa fuera del origen. El
procedimiento que se debe seguir para determinar la ley física es el establecido en la
sección 3.7 pero utilizando la transformación Z= Y - Y0 Con el proposito de resumir
X
todo el proceso de contrastación de hipótesis, a continuación se desarrollará el
procedimiento completo aplicado al fenómeno de caída libre.
3.9.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO.
3.9.a.- Movimiento de un objeto en Caída Libre.
Material Utilizado
1- Aparato de Caída Libre.
2.- Objeto de caída libre.
66
Física Experimental I
3.- Generador de Descargas eléctricas.
4.- Cinta registradora.
5.- Calibrador Vernier.
Procedimiento
1.- Considere el dispositivo mostrado en la figura 3.10. Coloque la cinta registradora de
chispas sobre la cara interna de la solera vertical metálica del aparato de caída libre. Coloque
en posición horizontal el aparato empleando los tornillos de nivel.
2.- Conecte el electroimán y el generador a la toma de 125 v.c.a.
3.- Accione el interruptor del electroimán y coloque el cuerpo de caída libre en el núcleo del
electroimán (ver figura 3.10)
4.- Accione el interruptor del generador de chispas y seleccione la frecuencia de 60 Hz.
5.- Oprima el botón de disparo del generador y manténgalo así, desactive el electroimán.
6.- Cuando el objeto de caída libre llegue al tope inferior, suelte el botón de disparo del
generador. Apague el generador y oprima nuevamente el disparador. Retire la cinta
registradora.
7.- Formule una hipótesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por
ejemplo puede seleccionar alguna de las hipótesis siguientes:
" El objeto se mueve con velocidad constante"
" El objeto tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales"
" El objeto se mueve con aceleración constante".
8.- Desarrolle el proceso de Experimentación en sus siete pasos para verificar la hipótesis
planteada, mediante el orden siguiente:
Io) Considere las cantidades físicas directas del fenómeno: Desplazamiento del objeto de
caída libre y el tiempo.
2o) Considere al tiempo como la cantidad física independiente (X). Y como cantidad física
dependiente (Y) al desplazamiento del deslizador.
3o) Con la cinta registradora obtenida anteriormente, ignore Solo una Marca en la cinta
registradora como muestra la figura 3.11, a partir de la marca inicial y hacer el llenado de la
tabla de valores considerando como origen de distancia la Marca Inicial y como origen de
tiempos la Tercera Marca de la cinta registradora.
----------------------------------------------------- 67 ----------------------------------------------------
Física Experimental I
X=
O
1/60
2/60
etc.
Figura 3.11.- Cinta registradora de datos de Caída Libre.
Para determinar la posición inicial del objeto (Yo), es necesario medir la distancia entre la
Marca Inicial y la Cuarta Marca. Anote sus mediciones en la tabla 3.6.
4o) Construya la gráfica de dispersión.
Física Experimental I
5o.- Aplique la interpretación analítica para obtener los parámetros de la línea de mejor ajuste.
Grafique la línea de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión.
6o) Calcule el coeficiente de Determinación y compruebe que no cumple con el criterio de
aceptación (3.1a), concluya que no es posible determinar la ley física del movimiento y
continúe con el 7°.a paso. En caso contrario, es posible que no consideró un número suficiente
de puntos registrados o existe un error al registrar el inicio del movimiento. Cuando sea
posible reproduzca una vez más el fenómeno y regrese al 4o paso.
N
1
x¡
0.0
Y¡
Yo=
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabla 3.6.- Datos de Tiempo y Desplazamiento de un objeto en caída Libre.
6°.a) Copie los datos de la tabla 3.6 a la tabla 3.7 en el que se demostró que no existe una
relación lineal entre las cantidades (X, Y). Calcule los valores Z = Y-Yo/X transformados y
anótelos en la tabla 3.7.
6°.b) Construya la gráfica de dispersión para las cantidades X en el eje de las abscisas y Z en
el eje de las ordenadas.
69
Física Experimental I
6.c°) Determine la línea de mejor ajuste utilizando la interpretación analítica, denótela como:
Z = m**X + b**
6°.d) Calcule el coeficiente de Determinación utilizando la expresión 3.1 y verifique que sí se
satisface el criterio de aceptación 3.1a para determinar la Ley Física.
7o) Efectúe la caracterización del fenómeno para determinar la posición inicial de
movimiento(Yo), la velocidad inicial de la partícula (Vo) y las expresiones de la velocidad y
la aceleración de la partícula. Y determine el error en el experimento utilizando como valor
teórico la aceleración del movimiento ideal de un móvil que se mueve sin fricción del aire en
un movimiento de caída libre g = 981.0 cml seg2 y como valor experimental la aceleración
calculada anteriormente.
N
Yi
x¡
Z| =Y¡ -Yo/X¡
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabla 3.7.- Valores transformados del movimiento de un móvil en Caída Libre.
70
Física Experimental I
3.10.- TRANSFORMACIÓN Z= (Y-Yo)/(X-Xo).
La condición experimental que se debe tomar para utilizar la transformación propuesta
(Z =
), es considerar que la información del movimiento del objeto Es Incompleta.
Es decir, que únicamente se conoce los puntos finales del movimiento del objeto. En este caso
hubo una pérdida de información del movimiento del objeto en los primeros instantes del
movimiento y además se observa en la gráfica de dispersión una tendencia parabólica que
pasa fuera del origen. El procedimiento que se debe de seguir para determinar la ley física fue
detallado en la sección 3.8 pero para este caso se utiliza la transformación Z =
3.11.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO
3.11.a.- Máuina de Atwood.
Material Utilizado
2 prensas de mesa
2 sujetadores tipo soporte
1 polea de "aire"
1 generador de chispas
1 compresor con manguera
1 cinta registradora de chispas
2 porta pesas
4 pesas de 50 gr
1 marco de pesas
1 balanza de Pascal
1 calibrador vernier
1 tira de masquin-tape.
Procedimiento
1.- Considere el dispositivo mostrado en la figura 3.12
2.- Empleando las prensas de masa, ensamble la estructura formada en la figura 3.6
procurando que que la polea quede en una esquina de la mesa de trabajo y que la cinta deslice
libremente.
71
Física Experimental I
3.- Conecte la manguera del compresor a la polea.
4.- Conecte el generador de chispas como se indica en la figura 3.12.
5.- Corte un tramo de cinta registradora de aproximadamente 1.0 m y haga un doblez en cada
extremo para fijar los ganchos de las pesas.
6.- Coloque la cinta sobre la polea en su parte central de tal modo que ambos extremos
queden a la misma altura, colocando en cada extremo las pesas, una de 50 gr. y otra de 80 gr.
7.- Conecte el compresor y el generador a la toma de corriente.
Figura 3.12.- Máquina de Atwood (Rediseño del Dr. Apolonio Gallegos de la Cruz,
DEPI# 940631)
8.- Seleccione la frecuencia de 30 Hz. Y manteniendo oprimido el botón de disparo del
generador, ponga a funcionar el compresor. De tal modo, que al llegar uno de los objetos a la
altura de la polea deje de accionar el interruptor del generador.
9.- Apague el compresor y el generador y retire la cinta registradora, quitando las pesas de sus
extremos.
12
Física Experimental I
10.- Formule una hipótesis referente al tipo de movimiento que desarrollan los bloques.
11.- Desarrolle el proceso de Experimentación en sus siete pasos para verificar la hipótesis
planteada, mediante el orden siguiente:
Io) Considere las cantidades físicas directas del fenómeno: Desplazamiento de los bloques y
el tiempo.
2o) Considere al tiempo como la cantidad física independiente (X). Y como cantidad física
dependiente (Y) al desplazamiento de los bloques.
3o) Con la cinta de datos obtenida anteriormente, considere un punto a cinco centímetros del
inicio del movimiento, denótela como Yo . A esta marca, se le asocia un tiempo Xo que
puede ser entre 5/30 seg. y 10/30 seg. (ver figura 3.13). Anote sus mediciones en la tabla 3.8
Xi=
Xo
1/f+Xo
2/f+Xo
3/f+Xo
etc
Figura 3.13.- Cinta registradora de datos para la maquina de Atwood.
4o) Construya la gráfica de dispersión.
5°.- Aplique la interpretación analítica para obtener los parámetros de la línea de mejor ajuste.
Grafique la línea de mejor ajuste sobre la gráfica de dispersión.
n
1
2
3
4
Y¡
x¡
Xo=
Yo=
Física Experimental I
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabla 3.8 .- Datos de Tiempo y Desplazamiento para la máquina de Atwood.
6o) Calcule el coeficiente de Determinación y compruebe que no cumple con el criterio de
aceptación (3.1a), concluya que no es posible determinar la ley física del movimiento y
continúe con el 6°.a paso. En caso contrario, es posible que no consideró un número suficiente
de puntos registrados o existe un error al registrar el inicio del movimiento. Cuando sea
posible reproduzca una vez más el fenómeno y regrese al 4o paso.
6°.a) Copie los datos de la tabla 3.8 a la tabla 3.9 en el que se demostró que no existe una
relación lineal entre las cantidades (X, Y). Calcule los valores Z = (Y-Yo)/(X-Xo)
transformados
y anótelos en la tabla 3.9.
6°.b) Construya la gráfica de dispersión para las cantidades X en el eje de las abscisas y Z en
el eje de las ordenadas.
6.c°) Determine la línea de mejor ajuste utilizando la interpretación analítica, denótela como:
N
Y¡
1
2
3
74
Z¡ =(Y¡ - Yo ) /(X¡ - Xo )
Física Experimental i
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabla 3.9.- Valores transformados del movimiento de la máquina de Atwood.
6°.d) Calcule el coeficiente de Determinación utilizando la expresión 3.1 y verifique que sí se
satisface el criterio de aceptación 3.1a para determinar la Ley Física.
7o) Efectúe la caracterización del fenómeno para determinar la posición inicial de
movimiento(Y0), la velocidad inicial de la partícula (V0) y las expresiones de la velocidad y
la aceleración de la partícula. Y determine el error en el experimento utilizando como valor
teórico la aceleración del movimiento ideal de dos bloques unidos por una cuerda inextensible
que pasa por una polea ideal y como valor experimental la aceleración calculada
anteriormente.
75
CAPITULO 4
CONCLUSIONES.
La comprobación empírica de una hipótesis demuestra, bajos las condiciones en que se
realizaron las repoducciones de los fenómenos, la validez de lo estipulado por dichas
hipótesis. Estas hipótesis especifican comportamientos parciales de los fenómenos
estudiados. Con el propósito de conocer más aspectos del fenómeno de interés, es posible
que se reúnan varias o muchas hipótesis validadas que pueden tener relación entre ellas,
de tal forma se hace necesario hacer consideraciones generales que haga posible resumir
toda la información y conocimiento contenido en ellas en unas cuantas expresiones. Este
proceso se especifica en el último párrafo de R. Descartes que establece:
" Hacer enumeraciones tan complejas y generales, que dieran la seguridad de no
haber incurrido en ninguna omisión"
Este párrafo determina la necesidad de establecer teorías que reúnan toda la información
y conocimientos adquiridos al contrastar empíricamente las hipótesis planteadas. Y con
ello se establece una de los objetivos principales de la Física Experimental, que consiste
en adquirir conocimiento de los fenómenos de la naturaleza.
Es importante dejar establecido, que con el procedimiento de la contrastación de
hipótesis, es posible contrastar hipótesis que son generadas desde punto de vista teórico y
que estas serán validas solo cuando se ha probado su validez en el mundo real de la
contrastación empírica
El procedimiento que se describe en este documento para probar estadísticamente la
existencia de una relación entre dos cantidades físicas, podría creerse que resulta
demasiado laborioso y complicado. Esta dificultad y laboriosidad es aparente, ya que el
estudiante, tiene fácil accesos a la potencialidad que presentan las calculadoras de
bolsillo. Motivo por el cual, sería conveniente en un principio, que el estudiante realice
76
los primeros cálculos numéricos desarrollando las fórmulas paso por paso. Pero
posteriormente, cuando se requiera realizar los mismos cálculos, debe utilizar las
funciones implementadas en su calculadora de bolsillo.
Con esta facilidad, la atención se debe enfocar en las caracterizaciones de los fenómenos,
en las interpretaciones físicas de los parámetros y en las explicaciones de las diferencias
existentes entre las suposiciones físicas en el desarrollo experimental y los valores
numéricos resultantes.
La metodología experimental presentada en este documento, tiene una gran
potencialidad en la aplicación a diversos tipos de fenómenos y a diversos aspectos del
fenómeno. Como por ejemplo, se puede mencionar que es posible determinar la relación
exponencial o logarítmica entre dos cantidades. También es posible determinar el
exponente cuadrático, cúbico o fraccional de alguna cantidad de interés.
Existen otros aspectos de la metodología que no se han mencionado en este documento
por motivos didácticos y que son importantes, como los llamados errores en la
determinación de los parámetros de la relación lineal; transformaciones en las dos
cantidades físicas involucradas, transformación únicamente en la cantidad física X, entre
otros. Cabe mencionar como continuación y culminación en el estudio de las Ciencias
Experimentales, que se está preparando el segundo documento el cual tratará sobre estos
aspectos faltantes enmarcados en el estudio de fenómenos relacionados con la
Electricidad y el Magnetismo.
77
APÉNDICE A
SUGERENCIAS PARA ELABORAR UN REPORTE
DEL TRABAJO EXPERIMENTAL.
1.- DATOS GENERALES.
Número y Nombre de la práctica.
Secuencia, día y hora.
Fecha de realización de la práctica.
Fecha de entrega del reporte.
Nombre de alumnos del equipo.
Nombre del profesor.
2.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Y TEÓRICA.
Escriba un resumen de la historia del fenómeno físico con nombres, tiempos y lugares así
como los conceptos teóricos que permiten una explicación de algunos aspectos del
fenómeno físico.
3.- EQUIPO Y MATERIAL UTILIZADO.
Forme una lista del material y equipo utilizado especificando el rango y la marca
comercial.
4.- PROCEDIMIENTO.
Indique el procedimiento que se siguió al efectuar la práctica, anexando dibujos
ilustrativos de la disposición física del equipo y del material.
5.- DATOS.
Muestre los datos obtenidos en forma tabular, rotulando cada columna con las unidades
utilizadas.
6.- GRÁFICAS.
Trace sus gráficas en papel milimétrico, rotulando los ejes con las unidades de los datos.
Utilice todo el espacio disponible para la gráfica mediante escalas adecuadas.
78
7.- CÁLCULOS.
Derive las fórmulas utilizadas, los resultados deben ser presentados en forma tabular. No
incluya operaciones aritméticas extensas.
8.- CARACTERIZACIÓN DEL FENÓMENO.
Mediante un Análisis Dimensional ú otro método, determine el significado físico de cada
uno de los parámetros contenidos en la LEY FÍSICA.
9.- COMPARACIÓN TEÓRICO-EXPERIMENTAL.
Compare sus valores experimentales con los valores teóricos o valores esperados
contenidos en la bibliografía especializada. Calcule el error porcentual mediante la
diferencia entre estos valores. Escriba las posibles causas que generan las diferencias
encontradas.
10.- CONCLUSIONES.
Escriba los objetivos que se alcanzaron al realizar la práctica, las deficiencias encontradas
en el procedimiento experimental o en el equipo utilizado y proponga algunas mejoras.
11.- REFERENCIAS.
Escriba las referencias consultadas para la elaboración del reporte en el siguiente orden a
renglón seguido y separados por punto y coma:
Nombre del autor o autores.
Titulo del libro o Titulo del artículo de una revista.
Editorial del libro o Nombre de la revista.
Número de la edición del libro o Año de la revista.
79
APÉNDICE B.
CONDICIONES DE LA MATRIZ HESSIANA.
La problemática de encontrar un máximo o un mínimo de una función cuando no existen
restricciones, es un problema clásico del cálculo diferencial. El problema se resuelve
encontrando un Xo que cumpla con la condición necesaria y la de suficiencia. Es decir,
supongamos a F una función de varias variables F(xl,x2,...,xn) que se desea encontrar
un máximo o un mínimo, entonces se dice que un Xo = (x°1,x°2,...,x°n) es un punto
estacionario si el gradiente de la función F ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) evaluado en Xo es cero:
dF
La ecuación anterior es
que cumpla con esta
la llamada condición necesaria y un X°
condición no es posible definir si en X° la
función F(x1 ,x2 ,...,xn ) adquiere un máximo
o un mínimo. Por ejemplo, con una función
de dos variables F(x1,x2), el gradiente de la
función evaluada en X 0
¶F ¶F
,
¶x1 ¶x2
es igual a cero cuando la función obtiene un
x0
máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Por esta razón es necesaria otra condición
para definir con exactitud la existencia de un máximo o un mínimo(aunque esto no
siempre se logra, punto de inflexión). Esta condición de suficiencia consiste en que la
matriz de las segundas derivadas de F(x1,x2,...,xn) (matriz hessiana H) evaluada en un
punto estacionario Xo
sea:
a) Positiva definida cuando Xo
es un mínimo.
b) Negativa definida cuando Xo
es un máximo.
Donde la matriz Hessiana H esta dada por:
Y se dice que la matriz H(X°) es definida positiva si los valores de los determinantes
formados al quitar el renglón y la columna del elemento de la diagonal principal es
positivo y es definida negativa si este k-esimo determinante de la diagonal principal tiene
signo (-l)k. Cuando no se cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores, se dice que
X"
es un punto de inflexión. Cuando se trata de un función de dos variables y X° un
punto
estacionario,
la condición de suficiencia consiste
en que
la matriz
Hessiana=H(x1°,x2°) =
Elementos de la
diagonal principal: (h11, h22)
Determinante resultante de quitar el renglón y columna correspondiente de H para cada
elemento de la diagonal principal: |h22 |,|h11|
a) X° es un mínimo si los determinantes de la diagonal principal de H(X° ) son
positivos (+,+).
b) X° es un máximo si los determinantes de la diagonal principal de H(X° )tienen
signos alternantes (-,+). En caso contrario X° es un punto de inflexión.
APÉNDICE C
ANÁLISIS DEL ERROR RESIDUAL
El estudio del error residual o error de ajuste, es muy importante para decidir sobre lo
apropiado de un modelo. Si los errores son esencialmente aleatorios, entonces, el modelo
puede ser adecuado. Si los errores muestran un patrón de comportamiento, entonces el
modelo no toma en cuenta toda la información contenida en los datos.
El análisis posible para detectar esta aleatoriedad en los errores residuales son:
1o.- Una Inspección Visual.
2°.- Calcular el Estadístico Durbin-Watson (D-W).
Donde et = Valor Experimental — Valor Ajustado
Si existe un ligero patrón en los datos, donde las diferencias entre errores residuales
sucesivos es pequeña, entonces la estadística D-W es pequeña (aproximadamente igual a
1.0). En cambio, si existe un patrón en zic-zac, entonces las diferencias entre errores
residuales sucesivos es grande, en consecuencia el estadístico D-W es grande
(aproximadamente igual a 4.0)
En caso contrario, cuando no existe la autorrelación entre los errores residuales, el
estadístico D-W tiene un valor aproximado de 2.0. Como en toda prueba de hipótesis, se
establece un intervalo de aceptación para decidir la no autocorrelación (la aleatoriedad)
de los residuales, que está relacionado por un nivel de confianza y el número de datos. En
la figura C.l se muestra la función de distribución del estadístico D-W para un nivel de
confianza del 90% y 30 datos. Para una mayor información consulte la referencia 12.
82
Figura C.I.- Función de Distribución del Estadístico D-W
33
APÉNDICE D
CALCULO DEL ERROR ESTÁNDAR EN LOS
PARÁMETROS DE LA LINEA DE MEJOR AJUSTE.
El conocimiento del error estándar en la determinación de los parámetros de la línea de
mejor ajuste, cuando ya se ha aceptado la relación lineal, originado por la aleatoriedad en
los procesos de medición de la cantidad dependiente, nos lleva a la definición de
intervalos con diversos niveles de confianza y así establecer, con un nivel de confianza,
que la relación entre las cantidades físicas involucradas es del tipo CUADRÁTICA ó
CÚBICA ó INVERSA, etc.
Figura C.1.- Función de Distribución del Estadístico Durvin-Watson
Se considera que la relación lineal de mejor ajuste a sido aceptada:
Y=mx+b
Debido que los parámetros m y b de la línea de mejor ajuste se calcula utilizando valores
de la cantidad física Y y la cantidad física X y que se sabe que la cantidad física Y tiene
un comportamiento aleatorio debido al proceso de medición, entonces es claro que
también los valores de m y b tendrán comportamiento aleatorio, es decir , que m y b son
funciones de los valores de Yi, por tanto se tiene:
Para determinar las dispersiones en los parámetros m y b, se requiere determinar las
derivadas parciales de m y b con respecto a los valores de Yi para todo I = l,...,n. Una
forma de calcular estas derivadas parciales, es utilizando las ecuaciones simultáneas de
los mínimos cuadrados ( ver FÍSICA EXPERIMENTAL I):
Si se derivan parcialmente las ecuaciones E.3 y E.4 con respecto a Yi, se tiene:
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones E.5 y E.6 se obtiene:
Se puede demostrar que:
Elevando al cuadrado los términos aneriores y realizando la sumatoria, se obtiene.
Por lo tanto la dispersión en los parámetros de la línea de mejor ajuste es:
DlSP(m)=
DlSP(b)
=
DISP(Y\.......................... E.7
D1SP(Y)
E.8
El error Estándar de los parámetros esta dado por:
ERROR ESTÁNDAR de m=Em = Sm =
......................... E9
ERROR ESTÁNDAR de b = Eb = Sb =
...........................E.10
Con estos valores se definen los intervalos de confianza de diversos niveles tales como:
INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 68%
Para m (m-Em , m +- Em)
Para b (b-Eb , b + Eb)
INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 95%
Para m (m - 2Em , m + 2Em)
Para b (b-2Eb , b + 2Em)
86
Finalmente, se podrá establecer con un determinado nivel de confianza, que la relación
entre las cantidades B y r es del tipo CUADRÁTICA o CÚBICA o INVERSA o alguna
otra que resulte. Esta definición de los intervalos de confianza son una aproximación que
para nuestros fines es suficiente, ya que para definirlos en forma exacta, sería necesario
determinar las funciones de distribución de las desviaciones estándar de m y b. Para
mayor información consulte la referencia (9 ,10).
87
PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTRUCCION DEL HISTOGRAMA
DE UN CONJUNTO DE VALORES.
·
·
Dado un conjunto de N valores: X1 , X2 , X3 ,.... XN
EL HISTOGRAMA de este conjunto se construye a través del siguiente
procedimiento:
1. Determinar el RANGO (R) del conjunto. Este rango se determina encontrando la
diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo, es decir R = X max – X min.
2. Determinar el número y amplitud de los INTERVALOS de la clase (IC).
a) El número (n) de intervalos de clase en que seccionamos el rango se determina
a través del siguiente criterio: “ubicar al número total de valores (N) entre dos
potencias consecutivas del # 2, es decir 2n-1<N£2n por definición el exponente
de la potencia mayor es n”. Las potencias del “ 2 son : 20 = 1, 21 = 2 y 22 = 4,
23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, etc...
b) La amplitud de los intervalos de clase (IC), se obtiene dividiendo el rango ®
entre n, es decir: IC = R/n.
Ejemplo: supongamos que tenemos un conjunto de 20 valores de tiempo, es decir: t1, t2, ... t20.
·
·
·
El rango del conjunto se determina con R = tmax – tmin.
El número de intervalos de clase n será: 5 ya que 20 se ubica entre 16 y 32, es decir:
24<20<25.
En consecuencia, la amplitud del intervalo será IC = R/5.
3. Con la finalidad de evitar que los límites de clase coincidan con alguno de los
valores del conjunto, debemos agregar un intervalo adicional, de tal forma que la
cantidad total de intervalos será n + 1.
4. Determinación de los límites de clase (Li) , con i = 1, 2, 3, ... n + 2.
Si tenemos n + 1 intervalos de clase, estos estarán limitados por n + 2 límites de clase, es decir
: L1, L2,... Ln + 2.
·
·
El primer límite de clase se determina con L1 = Xmin – IC/2. El segundo límite de
clase se determina con L2 = L1 + IC y así sucesivamente hasta llegar a Ln + 2.
El diagrama siguiente ilustra la ubicación de los intervalos de clase.
L1
I
(primer intervalo)
L2
L3
II (segundo intervalo)
L4
III (tercer intervalo)
Ln + 1
Ln + 2
(último intervalo)
5. Ubicación de los valores del conjunto dentro de los intervalos. A continuación
tomamos el primer valor (X1) del conjunto y vemos que entre límites de clase cae,
si cae entre L1 y L2 se ubicará en el intervalo I, si cae entre L3 y L4 se ubicará en el
intervalo III, etc...; tomamos el segundo valor (X2) del conjunto y hacemos lo
mismo , así sucesivamente hasta llegar al último valor (Xn).
6. Una vez que todos los valores del conjunto han sido ubicados en sus
correspondientes intervalos de clase, se procede a efectuar la gráfica de la
frecuencia (f) conque caen los valores en los intervalos de clase. El diagrama
siguiente ilustra esta gráfica.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
1.- Russell, B(1946), History of Western Philosophy. Londres: Alien and Unwind.
2.- Crombie, A.C.(1953), Robert Grosseteste and The Origins of Experimental Science.
(1100-1700) Londres : Prensa de la universidad de Oxford.
3.- Descarte, R.(1971), Discurso del Método, Meditaciones Metafísicas, Reglas
para la Dirección del Espíritu; Principios de la filosofía.Editorial: porrua.s.a.
4.- Bunge, M.(1983), La Investigación Científica. 2o edición, editorial Ariel( Methodos).
5.- Fabián, R.J.L., García, M.M, Garzón, G.F., Morales, H.J.L., Física Experimental.
Editorial: UPIICSA, edición 1990.
6.- Papoulis, A., Probability Random Variables and Stochastics Processes, Editorial:
McGraw-Hill.
7.- Spiegel, M.R.,Teoria y Problemas de Estadística, Editorial:McGraw-Hill(Serie
Schaums).
8.- Spiridonov, V.p., Lopatkin, A.A.,Tratamiento Matemático de datos FisicosQuimicos,Editorial: Mir(1973).
9.- Halliday, D., Resnick, R., Fisica, laparte(1960), EditoriakCECSA.
10.- Walpole, R.E., Myers, R.H, Probabilidad y Estadística, 4a edición, Editorial:
MacGraw-Hill 1992.
11.- García, M.M, Morales, H.J.L. "FÍSICA EXPERIMENTAL I", Editorial Spanta,
1994.
12.- Makistrakis. "Estadística Matemática".
BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL.
1.- Baird, D.C., Experimentación, Una introducción a la teoría de Mediciones y al
Diseño de Experimentos, 2a edición, Editorial: Prentice Hall.
2.- Holman, J.P., Métodos Experimentales para Ingenieros, Editorial: McGraw-Hill.
3.- Squires, G.L., Física Práctica, Editorial: McGraw-Hill.