Guia de Geometria Metrica (versión preeliminar)

Geométria Métrica
Prof. Gastón Bidart Gauna
I.S.F.D. N◦ 21 ”Dr. Ricardo Rojas”
2019
Índice
1. Postulados y Axiomas.
3
1.1. Rectas paralelas, semirrectas y segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1. Recta paralela a otra recta que pase por un punto construı́da con regla y compás. 5
1.2. Rectas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Ejemplos de rectas perpendiculares construı́das con regla y compás. . . . . . . . . . . .
5
1.3.1. Recta perpendicular en el extremo de una semirecta Or. . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2. Recta pependicular a otra que pase por un punto exterior a la recta. . . . . . . .
6
1.3.3. Construcción de la mediatriz de un segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4. Ángulos entre paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5. Para practicar más. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6. Utilizamos GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6.1. Trazado de rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6.2. Trazado de rectas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.3. Trazado de rectas perpendiculares haciendo uso de la herramienta compás. . . . 10
1.6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Triángulos
2.1. Ángulos de triángulos y sus propiedades. .
2.2. Puntos notables del triángulo. . . . . . . .
2.3. Conguencia de triángulos. . . . . . . . . .
2.4. Semejanza de triángulos. . . . . . . . . . .
2.5. Trigonometrı́a y el Teorema de Pitágoras. .
2.6. Identidades trigonométricas. . . . . . . . .
2.7. Teorema del coseno. . . . . . . . . . . . . .
2.8. Teorema del seno. . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Utilizamos GeoGebra. . . . . . . . . . . .
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27
3. Cuadrilateros.
3.1. Trapezoides y trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Paralelogramos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Rombo, rectángulo y cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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30
31
33
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3.4. Utilizamos GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Movimientos en el plano
4.1. Simetrı́as. . . . . . . .
4.2. Rotación. . . . . . . .
4.3. Traslación . . . . . . .
4.4. Utilizamos GeoGebra.
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39
42
43
1.
1.1.
Postulados y Axiomas.
Rectas paralelas, semirrectas y segmentos.
1. Lean el siguiente recuadro:
Axiomas de existencia.
Se reconoce la existencia de infinitos entes llamados puntos cuyo conjunto llamaremos
”espacio” .
Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos
puntos llamados ”planos” y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos
puntos llamados ”rectas”.
Investiguen: ¿Cuándo se dice que un conjunto de puntos es colineal?
2.
a) ¿Qué significa que un conjunto de puntos no es colineal?
b) Si tres puntos no son colineales, ¿tendrán que ser distintos entre sı́?
3. Lean el siguiente recuadro:
Axiomas de enlace.
Los puntos, rectas, y planos se enlazan por ciertas relaciones de posición cuyas propiedades
están contenidas en los siguientes axiomas:
Por dos puntos distintos pasa una recta y solo una, los puntos de una misma recta se
dice que están alineados.
Por tres puntos no alineados pasa un plano y solo uno.
Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los demás puntos de la recta lo
están también.
a) Demostrar que si dos rectas se cortan en más de un punto, entonces son iguales.
b) Demostrar que si dos rectas se cortan y son distintas, entonces su intersección consiste en
exactamente un punto.
4. Si m1 y m2 son dos rectas distintas, y P y Q son puntos que están en la intersección de m1 y m2 ,
¿pueden ser distintos P y Q?
5. Si P y Q son dos puntos distintos que están a la vez en las rectas m1 y m2 , ¿pueden ser distintas
m1 y m2 ?
6. Lean el siguiente recuadro:
3
Postulados de Euclides.
Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos , escrito
por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia
clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.
Los postulados de Los Elementos son:
a) Dos puntos cualquiera determinan un segmento de recta.
b) Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una lı́nea recta.
c) Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
d ) Todos los ángulos rectos son iguales entre sı́.
e) Postulado de las paralelas. Si una lı́nea recta corta a otras dos, de tal manera que
la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras
dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores
que dos rectos.
Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros de geometrı́a:
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.
7. Investiguen y respondan las siguientes consignas:
a) Den una definición de recta, una de segmento y una de punto con sus palabras.
b) Den una definición de ángulo.
c) ¿Qué entienden por ángulos opuestos por el vértice? Den ejemplos.
d ) ¿A qué llamamos rectas paralelas?¿Y recta transversal a ellas? Den ejemplos.
e) ¿Qué significa que dos ángulos sean congruentes?
f ) Si A es un punto de una recta m, y x es un número real positivo, ¿cuántos puntos de m están
a distancia x de A?
8. En el siguiente recuadro se enuncia un teorema y se da su demostración:
4
a) Lean atentamente el enunciado del teorema y construyan ejemplos.
b) Lean atentamente la demostración del mismo y anoten todas las dudas e inquietudes que
vayan surgiendo. Vamos a trabajar sobre ellas en clase.
9.
a) ¿Cuántas rectas determinan dos puntos?
b) ¿Cuántas rectas determinan tres puntos no alineados?
c) ¿Cuántas rectas determinan cinco puntos no alineados tres a tres?
d ) ¿Cuántas rectas determinan n puntos no alineados tres a tres?
1.1.1. Recta paralela a otra recta que pase por un punto construı́da con regla y
compás.
En este caso nos dan un punto P , exterior a una recta r. Nos piden que hagamos una recta que
pase por el punto P y que sea paralela a la recta r, utilizando únicamente una regla y un compás.
a) Desde el punto P y con una abertura del
compás cualquiera, se traza un arco que
corte a la recta r. Obtengo el punto 1.
b) Desde el punto 1 y con la misma abertura
del compás, se traza otro arco que tendrá
que pasar por el punto P y cortar a la recta
r. Se obtiene el punto 2.
c) Con la ayuda del compás, se toma la distancia que hay entre el punto 2 y el punto
P . Se lleva a partir del punto 1. Se obtiene
el punto 3.
1.2.
d ) Se unen los puntos P y 3 y obtengo la recta
que pasa por P y es paralela a la recta r.
Rectas perpendiculares.
Rectas perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares entre sı́ cuando se cortan (o cruzan) formando ángulos rectos.
También se suelen denominar ortogonales.
Axiomas:
Por un punto de una recta pasa una sola perpendicular.
Por un punto exterior a una recta solo pasa una perpendicular a dicha recta.
1.3.
1.3.1.
Ejemplos de rectas perpendiculares construı́das con regla y compás.
Recta perpendicular en el extremo de una semirecta Or.
1. Desde el punto O de la semirecta Or, utilizando
el compás, se traza un arco con un radio cualquiera. El arco corta a la semirecta Or en el
punto 1.
5
2. Desde el punto 1, con la misma abertura del4. Al unir el punto 4 con el punto O, consigo la
compás, se traza un arco, obteniendo el punto recta perpendicular a la semirecta Or en el ex2. De igual manera obtengo el punto 3.
tremo O de la semirecta.
3. Utilizando los puntos obtenidos: 2 y 3, realizo
otro arco con la misma abertura del compás,
obteniendo el punto 4.
1.3.2.
Recta pependicular a otra que pase por un punto exterior a la recta.
En este caso tenemos un punto externo a una recta y tenemos que trazar una recta que pase por el
punto y sea perpendicular a la recta dada. En este caso veremos como se resuelve mediante una regla
y un compás.
1. Desde el punto P dado, con una abertura del
compás cualquiera, se traza un arco que corte
a la recta r dada. Se obtienen los puntos 1 y
2.
2. Desde los puntos 1 y 2 se trazan dos arcos
con una abertura del compás algo mayor a
la mitad. Se podrı́a utilizar la misma medida utilizada en la operación 1. Se obtiene el
punto 3.
3. Se unen los puntos 3 y P , y obtenemos la recta que es perpendicular a r y a su vez pasa
por el punto 3.
1.3.3.
Construcción de la mediatriz de un segmento.
1. ¿Cómo se define a la mediatriz de un segmento?
6
2. Investiguen: ¿cómo se pueden construir la mediatriz de un segmento con regla y compás?
3. Dibujen un segmento AB que mida 7 cm y construyan su mediatriz con regla y compás.
1.4.
Ángulos entre paralelas.
1. ¿A qué llamamos ángulos suplementarios?¿Y complementarios? Den ejemplos.
2. Busquen las siguientes definiciones:
a) Ángulos correspondientes.
b) Ángulos alternos.
c) Ángulos alternos internos.
d ) Ángulos alternos externos.
e) Ángulos colaterales internos.
f ) Ángulos colaterales externos.
3. Lean los siguientes enunciados:
a) Los ángulos correspondientes son congruentes.
b) Los ángulos alternos externos son congruentes.
c) Los ángulos alternos internos son congruentes.
4. Demuestren los enunciados presentados en el item anterior. Tomen nota de todas las dudas y
preguntas que surjan.
1.5.
Para practicar más.
1. Resolver los siguientes ejercicios:
7
1.6.
Utilizamos GeoGebra.
En este apartado vamos a trabajar algunos de los contenidos trabajados durante esta unidad pero
apoyandonos en el software GeoGebra. Vamos a realizar algunas de las construcciones que pudimos
hacer con lápiz y papel pero con las herramientas que este recurso tecnológico nos brinda. Para comenzar
debemos saber que GeoGebra es un software gratuito, el cual se encuentra disponible para Windows,
Linux y dispositivos móviles, sean tablets o celulares, con Android o IOS. Para su descarga debemos
ingresar al sitio web: www.geogebra.org. En este sitio vamos a encontrar las opciones de descarga y
algunas cosas más que veremos más adelante.
En GeoGebra podemos trabajar dinámicamente con diversos temas de geometrı́a haciendo un uso
directo de las herramientas que el programa ofrece. Al abrir el programa nos vamos a encontrar con la
siguiente pantalla
8
Aquı́ nos vamos a encontrar con la siguiente barra de herramientas:
Barra de herramientas de GeoGebra.
En ella nos vamos a encontrar con lo necesario para nuestros fines.
1.6.1.
Trazado de rectas paralelas.
Vamos a comenzar trazando una recta paralela a otra que ya está determinada. En primer lugar
vamos a trazar una recta que pasa por dos puntos, haciendo uso de la herramienta
la recta determinada podrı́a ser la siguiente:
. Por ejemplo,
Recta que pasa por dos puntos.
Ahora, haciendo uso de la herramienta
, vamos a trazar una recta paralela a la que habı́amos
construido previamente. Para lograrlo debemos seleccionar la herramienta antes menciona, luego hacer
9
click sobre la recta y, para finalizar, hacemos click en algún punto por el que queramos que pase la
nueva recta. Ası́ vamos a obtener lo siguiente:
Rectas paralelas.
1.6.2.
Trazado de rectas perpendiculares.
En este caso, partiendo de la recta creada anteriormente, vamos a utilizar la herramienta
. Luego
de seleccionar la herramienta hacemos click en la recta y luego en algún punto por el que queramos que
pase la nueva recta. Ası́ vamos a obtener lo siguiente:
Rectas perpendiculares.
1.6.3.
Trazado de rectas perpendiculares haciendo uso de la herramienta compás.
En este caso vamos a seguir las mismas instrucciones dadas en la sección 1.3.2. Para esto vamos a
necesitar las siguientes herramientas:
Herramienta compás
Herramienta Intersección
.
.
Al seguir el paso 1 en GeoGebra debemos obtener lo siguiente:
10
Aquı́ debemos utilizar la herramienta
para hallar los puntos en los que la recta y la circunferencia trazada con la herramienta compás se intersecan.
Luego, al seguir el paso 2 vamos a obtener lo siguiente:
11
Aquı́ nuevamente vamos a utilizar la herramienta intersección para hallar el punto en el que ambas
circunferencias se cruzan. Nos queda lo siguiente:
Finalmente, al seguir el paso 3 nos queda lo que buscamos.
12
1.6.4.
Ejercicios
1. Construir las rectas perpendiculares dadas en las secciones 1.3.1 y 1.3.3 utilizando las herramientas
que nos ofrece GeoGebra.
2. Volver a realizar los ejercicios de la sección 1.5 utilizando GeoGebra.
13
2.
2.1.
1.
Triángulos
Ángulos de triángulos y sus propiedades.
a) Lean el siguiente recuadro:
Teorema:La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180◦ .
Aquı́ α + β + γ = 180◦ .
b) Construyan algunos ejemplos.
c) Dibujen un triángulo cualquiera ABC y tracen una recta l paralela al lado BC.
d ) Marquen los ángulos que se forman sobre la recta l, incluı́do el ángulo que se forma en el
vértice A ¿Cuánto suman los tres ángulos formados?
e) ¿Pueden comparar estos ángulos con el resto de los ángulos interiores de ABC (es decir el
ángulo en B y el ángulo en C)?
f ) ¿Qué pueden concluir?
2.
a) Investiguen si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180◦ menos la suma de los otros dos ángulos.
Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son
agudos.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
b) Si consideran que las afirmaciones anteriores son verdaderas intente demostrarlas, si considera que son falsas digan por qué.
3. Si conocemos dos ángulos de un triángulo A = 36◦ y B = 48◦ , ¿cuánto mide el ángulo C?
4. Si en un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 36◦ , ¿cuánto medirá el lado desigual?
5. Determinen el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.
6.
a) Lean el siguiente recuadro:
14
Teorema:En todo triángulo, cualquier ángulo exterior coincide con la suma de los interiores
no adyacentes.
Por ejemplo:
En este caso α = δ + .
b) Demuestren el teorema enunciado en el item anterior.
7. Encuentren el valor de los ángulos interiores en cada uno de los siguientes triángulos:
8. Dado el siguiente triángulo, encuentren el valor de x.
15
9. Sean AB y DE segmentos paralelos. Encuentren el valor de todos los ángulos interiores de los
triángulos ABC y DEC.
10. Encuentren el valor de cada uno de los ángulos internos del siguiente triángulo:
11. Encuentren el valor de los ángulos faltantes:
16
12. Encuentren el valor de los ángulos x e y en la siguiente figura:
2.2.
Puntos notables del triángulo.
1. Busquen las siguientes definiciones:
Mediatriz de un segmento.
Bisectriz de un ángulo.
Mediana de un triángulo.
Altura de un triángulo.
2. Dado un triángulo ABC cualquiera construyan, con regla y compás:
La mediatriz de cada uno de sus lados.
La bisectriz de cada uno de sus ángulos interiores.
Cada una de sus medianas.
Cada una de sus alturas.
17
3. En el ejercicio anterior trazaron diversas rectas, que llamaremos rectas notables, de un triángulo.
Cada familia de rectas se corta en un punto en particular, marquen los puntos en los que se cortan:
Las mediatrices del triángulo.
Las bisectrices de cada uno de sus ángulos interiores.
Las medianas.
Las alturas.
Busquen el nombre de cada uno de estos puntos.( A estos puntos los llamaremos puntos notables
de un triángulo).
4. ¿En qué tipo de triángulos coincidirán estos puntos?
2.3.
Conguencia de triángulos.
1. Lean el siguiente recuadro:
Congruencia de triángulos: Dos triángulos son congruentes si tienen ( y
recı́procamente):
sus tres lados congruentes, ó
dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre esos lados también
congruente, ó
dos ángulos congruentes y el lado comprendido entre ellos también congruente.
2. Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes.
3. Decidir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
a) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro.
b) Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo
rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
c) Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro.
d ) L L A siempre se cumple en la congruencia de triángulos.
e) Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes,
son congruentes.
f ) Dos triángulos equiláteros son congruentes.
g) Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un
lado del otro.
h) Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes.
18
i ) Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados congruentes de
otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes.
j ) La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada.
k ) Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes.
l ) Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes.
m) Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes.
n) Los lados de un triángulo son rectas.
ñ) Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T.
o) El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso.
p) Una perpendicular a una recta biseca a la recta.
q) La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base.
r ) Un triángulo equilátero es equiángulo.
s) Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes.
t) Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes.
u) La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo.
4. Resolver los siguientes ejercicios:
19
5. Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC se construyen los equiláteros ABC 0 y ACB 0 , los
segmentos BB 0 y CC 0 son iguales. Demostrarlo.
20
2.4.
Semejanza de triángulos.
6. Lean el siguiente recuadro:
Criterios de semejanza de triángulos:
Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semenjantes entre
sı́.
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes
entre sı́.
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sı́.
7. En una fotografı́a, Marı́a y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad,
Marı́a tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando
en la realidad?
8. Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m,
observamos que la visual une el borde de la piscina con la lı́nea del fondo. ¿Qué profundidad tiene
la piscina?
9. Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del dı́a proyecta una
sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85
cm.
10. : Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que está en el
portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica cuál
21
de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué
distancia está Cristina del quiosco?
11. En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos
del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo.
12. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo momento que la
sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m.
13. La leyenda atribuye a Tales de Mileto (griego, s. IV a. C.) la hazaña de haber estimado la altura
de la Pirámide de Keops, en el curso de un viaje a Egipto, en el que se nutrió de los saberes
matemáticos de este pueblo. Los instrumentos utilizados por Tales fueron una vara, de longitud
conocida, y los rayos del Sol. La Figura 1 muestra un esquema en el que se ve cómo los rayos del
Sol marchan paralelos (piensen por qué es razonable considerarlos ası́) y provocan las sombras de
la pirámide y la vara.
Figura 1:
Supongamos ahora que a una hora determinada del dı́a, la sombra de la pirámide medı́a 280
metros (aunque está claro que en los tiempos de Tales no se medı́an en metros las longitudes), la
sombra del bastón medı́a 2,87 metros y la altura de dicho bastón era de 1,5 metros.
22
a) ¿Cómo se puede utilizar esta información para deducir la altura de la pirámide? ¿Hay otra
información necesaria?
b) Calculen la altura de la pirámide.
2.5.
Trigonometrı́a y el Teorema de Pitágoras.
1. En un triángulo rectángulo, ¿a qué llamamos razones trigonométricas? ¿Cuántas son? ¿Cuáles
son?
2. Escriban las razones trigonométricas de los siguientes triángulos:
3. Lean el siguiente recuadro:
Teorema de Pitágoras: En cualquier triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide a y los catetos miden b y c resulta:
a2 = b 2 + c 2
23
En el trı́angulo ABC se sabe que AC mide
3 cm y AB mide 5 cm. ¿Cuánto mide BC?
4. Determinen el valor de las seis razones trigonométricas del ángulo α en el siguiente triángulo:
5. Determinen el valor de x en cada caso y el valor de las seis razones trigonométricas para el ángulo
θ:
6. En el triángulo ABC
√ se sabe que la hi7
potenusa mide 2 5 m y que un cateto
mide el doble del otro. ¿Cuánto miden
su perı́metro y su superficie?
24
7. En el triángulo √
ABC se sabe que la hipotenusa mide 50 m y que los catetos
son iguales. ¿Cuánto miden su perı́metro y su superficie?
2.6.
Identidades trigonométricas.
1. Dado el siguiente triángulo rectángulo, demuestren, utilizando razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras, que cos2 (θ) + sen2 (θ) = 1.
2.7.
Teorema del coseno.
1. Lean el siguiente recuadro:
Teorema del coseno: En cualquier triángulo cuyos lados miden a, b y c
resulta:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(θ)
donde θ es el ángulo formado por los lados que miden b y c, como se ve en el
gráfico.
2. Bernardo y Carmen van a jugar una carrera partiendo desde un punto B y uno C respectivamente,
hasta un árbol, que se encuentra en un punto A. Bernardo conoce la distancia a la que está del
árbol, 63 m, y a la que está de Carmen, 42m. Además conoce los ángulos que se muestran en la
siguiente Figura 2.
25
Figura 2:
Si ambos corren a la misma velocidad, ¿Quién ganará la carrera?
2.8.
Teorema del seno.
1. Lean el siguiente recuadro:
Teorema del seno: Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y γ son respectivamente a, b, c, entonces:
b
c
a
=
=
sen α
sen β
sen γ
2. De un triángulo sabemos que: a = 6m, B = 45◦ y C = 105◦ . Calculen los elementos restantes.
26
3. En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes:
2.9.
Utilizamos GeoGebra.
1. Construyan la siguiente figura en GeoGebra:
a) ¿Qué herramientas del programa utilizaron? Anótenlas.
b) ¿Será cierto que el triángulo ABC es equilátero?
c) Si mueven los puntos A, B y C, ¿se modifica la respuesta anterior?
2. En la siguiente actividad vamos a hacer uso de las siguiente herramientas de GeoGebra:
Herramienta segmento de longitud dada.
Herramienta punto.
Herramienta polı́gono.
Herramienta circunferencia dado el centro y el radio.
a) Construyan un triángulo ABC de manera tal que las medidas de sus lados sean AB = 7 y
AC = 3. Si mueven alguno de los vértices, ¿sigue siendo ABC un triángulo de lados 7 y 3?
En caso de que se deforme, busquen otra manera de construirlo para que esto no suceda.
b) Realicen la siguiente construcción:
27
Construyan un segmento M N de longitud 7 con la herramienta Segmento de longitud
dada.
Construyan una circunferencia de centro M y radio 3 con la herramienta Circunferencia
(centro, radio).
Marquen un punto P sobre la circunferencia con la herramienta Punto.
Construyan el triángulo M N P con la herramienta Polı́gono.
c) Si se mueven los puntos M, N, P ¿qué se mantiene y qué cambia en el triángulo M N P ?
3. Construyan con GeoGebra, de ser posible en cada caso, un triángulo con las siguientes medidas
para sus lados:
a) AB = 7, BC = 3 y AC = 5
b) AB = 10, BC = 6 y AC = 6
c) AB = 9, BC = 5 y AC = 4
d ) AB = 10, BC = 8 y AC = 6
e) AB = 7, BC = 3 y AC = 2
28
3.
Cuadrilateros.
1. Lean el siguiente recuadro:
Un cuadrilátero es una figura geométrica formada por la unión de cuatro segmentos tales que:
a) se pueden enumerar en la forma P1 P2 , P2 P3 , P3 P4 y P4 P1 , con los puntos P1 , P2 , P3 y
P4 distintos entre sı́;
b) ningún par de ellos se intersectan, salvo en sus extremos;
c) ningún par de ellos con un extremo común son colineales.
De un cuadrilátero llamaremos: a los cuatro puntos P1 , P2 , P3 y P4 , los vértices y a los cuatro
segmentos, los lados.
¿Cuántos vértices tiene un cuadrilátero? ¿Y lados?
2. Investiguen:
a) ¿Cuándo dos cuadriláteros son iguales?
b) ¿Cuándo dos vértices son consecutivos o contiguos?¿Y opuestos?
c) ¿Cuándo dos lados son consecutivos, contiguos, o adyacentes?¿Y opuestos?
d ) ¿Cuándo dos ángulos son consecutivos, contiguos, o adyacentes?¿Y opuestos?
e) ¿Cuándo un vértice y un ángulo son opuestos?
3. Den la definición de diagonal de un cuadrilátero, ángulo externo y perı́metro de un cuadrilátero.
4. Lean el siguiente recuadro:
29
Un cuadrilátero es convexo, si todos los vértices, que no son extremos de uno de sus lados,
están en uno, y sólo uno, de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado.
En otras palabras, el cuadrilátero ABCD es convexo, si:
↔
a) A y B están al mismo lado de CD;
↔
b) B y C están al mismo lado de DA;
↔
c) C y D están al mismo lado de AB;
↔
d ) D y A están al mismo lado de BC.
Cuadrilátero convexo
Cuadrilátero no convexo
Investiguen:
a) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos internos en un cuadrilátero convexo?¿Y en uno no
convexo?
b) ¿Dónde se cortan sus diagonales en cada caso?
5. ¿Será el siguiente enunciado una definición de cuadrilátero?
El conjunto de puntos que se encuentran sobre cuatro segmentos que se cortan sólo en sus
extremos, y no son colineales tres a tres.
3.1.
Trapezoides y trapecios
1. Lean el siguiente recuadro:
Un trapezoide es un cuadrilátero que tiene por lo menos dos lados paralelos.
Construyan algunos ejemplos de trapezoides.
2. Demuestren que los trapezoides son cuadriláteros convexos.
3. ¿Cuándo un cuadrilátero no es trapezoide?
4. Lean el siguiente recuadro:
30
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente dos lados paralelos. De un trapecio
llamaremos: a los lados paralelos, las bases; y, a los otros dos lados, los laterales.
Ejemplo de trapecio ABCD.
Construyan algunos ejemplos de trapecios.
5. ¿Cuándo un cuadrilátero no es un trapecio?
3.2.
Paralelogramos.
1. Lean el siguiente recuadro:
Llamamos paralelogramo a cualquier cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.
Teniendo en cuenta la definición se pide construir e investigar:
a) Construyan un paralelogramo cuyos lados midan 6 cm y 4 cm. ¿Cuántos paralelogramos
pueden construirse con esa condición?
b) ¿Qué podemos afirmar respecto de los ángulos interiores de los paralelogramos construidos
en el ı́tem anterior? Analicen.
c) Al modificar los ángulos interiores, ¿qué otros elementos del paralelogramo se modifican?
¿Cuáles se mantienen constantes?
d ) Construyan si es posible, en cada caso, un paralelogramo que cumpla la/las siguientes condiciones:
1) Uno de los ángulos interiores mide el doble que el otro.
2) Uno de los ángulos interiores mide 90◦ .
3) Las diagonales son iguales.
4) Las diagonales no se cortan en su punto medio.
5) Las diagonales no son iguales.
6) Las diagonales forman un ángulo de 90◦ .
7) Las diagonales no forman un ángulo de 90◦ .
8) Uno de sus lados mide 7 cm y 2 ángulos no opuestos midan uno 40◦ y el otro 120◦ .
9) Un paralelogramo ABCD tal que el ángulo BAC mida 40◦ y el ángulo BCD mida 60◦ .
2. En cada caso decidan si es posible construir un paralelogramo que cumpla con las siguientes
condiciones:
31
a) Uno de los lados mide 7 cm, otro lado mide 4 cm y la diagonal mide 11 cm.
b) Uno de los lados mide 7 cm, otro lado mide 4 cm y la diagonal mide 10 cm.
c) Uno de los lados mide 7 cm, otro lado mide 4 cm y la diagonal mide 12 cm.
d ) ¿Cómo debe ser la relación entre las longitudes de los lados y la diagonal en un cuadrilátero
para que sea posible su construcción? Escriban alguna conclusión.
3. Dibujen un triángulo ABC. Por el vértice A tracen una paralela m a BC. Por el vértice B
tracen una paralela n a AC. Por el vértice C tracen una paralela p a AB. Designen como M
a la intersección de m con n, N a la intersección de n con p y P a la intersección de p con m.
¿Qué segmento piensan que es mayor: M B o BN ? ¿Por qué? ¿Qué preguntas similares se pueden
investigar en relación a los otros segmentos construidos?
4. ¿Cuál es la cantidad mı́nima de información que se requiere para que un paralelogramo quede
determinado de forma única? Propongan ejemplos.
5. Construyan y luego analicen si los siguientes cuadriláteros tienen ejes de simetrı́a y/o centro de
simetrı́a.
a) Un paralelogramo rectángulo no cuadrado.
b) Un paralelogramo rombo.
c) Un paralelogramo cuadrado.
d ) Un paralelogramo no rectángulo ni rombo.
e) Un romboide.
f ) Identificar ángulos y puntos simétricos.
6. Decidan en cada caso si es posible afirmar que la figura mencionada es un paralelogramo. Expliquen.
a) Un cuadrilátero que tiene un solo par de lados congruentes.
b) Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos congruentes.
c) Un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos congruentes.
d ) Un cuadrilátero que tiene dos pares de ángulos congruentes.
e) Un cuadrilátero que no tiene eje de simetrı́a.
f ) Un cuadrilátero que tiene sus diagonales congruentes.
g) Un cuadrilátero que tiene sus diagonales perpendiculares.
h) Un cuadrilátero que tiene dos de sus lados consecutivos congruentes.
7. Demuestren que cada diagonal de un paralelogramo determina en éste dos triángulos congruentes.
32
3.3.
Rombo, rectángulo y cuadrado.
1. Lean el siguiente recuadro:
Un rombo es un cuadrilátero equilátero.
Un rectángulo es un cuadrilátero equiángulo.
Un cuadrado es un cuadrilátero equilátero y equiángulo
Dibujen un ejemplo de cada uno de los cuadriláteros mencionados.
2. ¿Cuándo un cuadrilátero no es un rombo?
3. ¿Cuándo un cuadrilátero no es un rectángulo?
4. ¿Cuándo un cuadrilátero no es un cuadrado?
5. Dado un cuadrilátero P QRS tal que los puntos J, K, L y M dividen los lados en las longitudes
a y b, pruebe que:
a) Si P QRS es un rombo, entonces JKLM
es un paralelogramo.
b) Si P QRS es un cuadrado, entonces
JKLM es un cuadrado.
3.4.
Utilizamos GeoGebra.
Construcción de un paralelogramo en GeoGebra.
En esta sección vamos a construir un paralelogramo, cuyos lados tendrán una longitud fija, mediante
la utilización de GeoGebra. Para esto vamos a hacer uso de las siguientes herramientas:
Esta herramienta nos permite crear un segmento de longitud dada.
Esta herramienta nos permite seleccionar elementos de la pantalla de GeoGebra, y mover
aquellos que puedan hacerlo.
Esta herramienta nos permite trazar una recta paralela a otra dada (o a un segmento dado)
que pase por un punto determinado.
Esta herramienta nos permite determinar la intersección entre dos objetos previamente definidos.
Esta herramienta nos permite construir un polı́gono de cierta cantidad de lados.
33
Comencemos con la construcción del paralelogramo. En primer lugar seleccionamos la herramienta
y hacemos click en el área de trabajo de GeoGebra. Al hacerlo aparecerá el siguiente cartel:
Aquı́ vamos a seleccionar la longitud de los segmentos que queremos construir. En este caso construiremos un segmento de longitud 7 y otro de longitud 4.
Al construir estos segmentos obtendremos lo siguiente:
Podemos notar que los segmentos han quedado superpuestos. Para solucionar esto vamos a utilizar
la herramienta
para, haciendo click en alguno de sus puntos, podamos mover uno de los dos
segmentos. Al moverlos obtenemos lo siguiente:
Vamos a trazar ahora una recta paralela al lado AC. Para esto vamos a utilizar la herramienta
Seleccionamos el segmento AC y el punto de paso será B. Al hacer esto obtenemos lo siguiente:
34
.
Ahora repetimos el procedimiento, pero esta vez vamos a trazar una recta paralela al segmento AB
que pase por el punto C:
Luego vamos a hallar el punto intersección entre las dos rectas trazadas para obtener el vértice
faltante de la figura. Lo haremos mediante el uso de la herramienta
35
. Obtenemos ası́ el punto D.
Vamos a marcar la figura que nos interesa mediante la utilización de la herramienta
. Para esto
haremos click en cada uno de los vértices de la figura en orden y finalizando en el mismo vértice en el
que comenzamos. Al hacerlo obtenemos lo siguiente:
Para finalizar podemos ocultar las rectas que utilizamos para la construcción para mejorar la vista
de nuestra figura. Al hacerlo debemos obtener lo siguiente:
Con la herramienta
podemos seleccionar alguno de los vértices de la figura y manipularlo para
obtener otros paralelogramos cuyos lados midan también 7 y 4. Algunos ejemplos son los siguientes:
36
4.
Movimientos en el plano
1. Lean el siguiente recuadro:
Un movimiento en el plano es una transformación geométrica del plano que conserva los
ángulos y las distancias (la forma y el tamaño). Hay tres tipos de movimientos: la traslación, el
giro y la simetrı́a. Además también pueden existir movimientos que resulten de la combinación
de los anteriores.
a) Busquen la definición de:
Simetrı́a.
Rotación.
Traslación.
4.1.
Simetrı́as.
2. Lean los siguientes recuadros:
Propiedades de las simetrı́as axiales
Dada una recta e, se llama simetrı́a axial de eje al movimiento que transforma a un punto
A en otro punto A0 verificando que:
a) El segmento AA0 es perpendicular a e.
b) Los puntos A y A0 equidistan del eje e. Dicho de otra forma el eje e es la mediatriz del
segmento AA0 .
En una hoja de papel tamaño A4 lisa tracen un punto cualquiera (lo llamaremos A) y una recta
que no pase por dicho punto (la llamaremos l). Luego de haber realizado lo anterior encuentren
el simétrico de A y dibújenlo en la misma hoja. Expliquen cómo lo realizaron.
37
Propiedades de las simetrı́as centrales
En simetrı́as centrales:
a) El punto O, centro de simetrı́a, está entre el cualquier punto A y su simétrico A0 . El
simétrico de O es el mismo.
b) La imagen simétrica central de un segmento es otro segmento de igual tamaño si en el
centro de simetrı́a está en un segmento simetrizable, es simétrico de sı́ mismo, llamado
punto doble.
c) La imagen de un triángulo, mediante simetrı́a central, es otro triángulo congruente con
el primero.
d ) La imagen de un polı́gono, mediante simetrı́a central, es otro polı́gono congruente con
el primero.
e) Los polı́gonos regulares con un número par de lados tienen como centro de simetrı́a
su centro geométrico (baricentro); de modo que a cualquier punto de este polı́gono, le
corresponde un homólogo que está en el mismo polı́gono.?
f ) El centro de un triángulo equilátero no es centro de simetrı́a, en el sentido de que
reproduzca la misma figura; por decir el homólogo de un vértice sale del lado opuesto.
La misma situación en el caso de un tetraedro regular, su centro geométrico no es centro
de simetrı́a.?
g) El centro de un cuadrado es centro de simetrı́a de la figura; de igual manera, el centro
de un cubo es centro de simetrı́a del sólido.
h) El centro de la esfera es también su centro de simetrı́a.
i ) Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:
A y A0 están alineados: la recta que los une pasa por O.
La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A0
3. Si dibujamos una letra con tinta fresca en una hoja y la plegamos por una recta, la letra queda
estampada en la otra mitad de la hoja, como muestra la Figura 3. Se dice que la imagen estampada
es la simétrica de la original, respecto de la recta.
38
Figura 3: Simetrı́a de una figura respecto de una recta.
En cada caso, construyan el simétrico del triángulo dibujado, respecto de la recta dada.
4.2.
Rotación.
4. Lean el siguiente recuadro:
Propiedades de las rotaciones
a) Si el ángulo de rotación es de α = 180◦ , se denomina simetrı́a central o simetrı́a con
respecto al origen.
b) Cuando rotamos una figura alrededor de su centro O con un giro de 360◦ y se producen
un número de n coincidencias, entonces se dice que esa figura tiene un centro de giro
de orden n, y la figura es por tanto invariante de orden n.
c) Si componemos dos giros de mismo centro, O, y ángulo distintos α y β, entonces se
obtiene una rotación de centro O y ángulo α + β.
39
5. La Figura 4 muestra una letra R que ha rotado alrededor de alguno de los puntos que aparecen
nombrados, en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Figura 4:
a) ¿Cuál de los puntos es el centro de rotación? Expliquen un criterio para tomar la decisión y
para descartar los demás puntos.
b) ¿Cuál ha sido el ángulo de rotación?
40
6. Dibujen el rotado del triángulo ABC, haciendo centro en el punto H, un ángulo de 45◦ en sentido
positivo (contrario al de las agujas del reloj).
7. Dibujen el rotado del triángulo ABC, haciendo centro en el punto H, un ángulo de 45◦ en sentido
negativo (el de las agujas del reloj).
41
8. Dibujen el rotado del triángulo ABC, haciendo centro en cada uno de sus vértices, un ángulo de
90◦ en sentido negativo.
9. Dibujen el rotado del triángulo ABC, haciendo centro en cada uno de sus vértices, un ángulo de
90◦ en sentido positivo.
4.3.
Traslación
10. Lean el siguiente recuadro:
42
Propiedades de las traslaciones
:
a) Las nuevas coordenadas del punto A0 , se obtienen sumando el vector 0A, con el v.
b) Si aplicamos una traslación a todos los puntos de una recta obtenemos una recta paralela
a la original.
c) Si realizamos una traslación a una circunferencia de radio r y centro 0, obtenemos otra
circunferencia que tendrá el mismo radio que la anterior y cuyo centro será el punto
homólogo del anterior.
d ) Cuando componemos dos traslaciones de vectores v1 y v2 , obtenemos una traslación de
vector la suma de los anteriores.
Observa la siguiente figura
.
a) Determina las coordenadas de los vértices del triángulo.
b) Si a la figura se le aplica una traslación en la dirección del vector (34), ¿cuáles serı́an las
coordenadas de los nuevos vértices?
c) Dibuje ambas figuras en un mismo sistema de ejes.
11. ¿Cómo podemos realizar la traslación de un cuadrado en la dirección de algún vector v con regla
y compás?
4.4.
Utilizamos GeoGebra.
GeoGebra tiene la herramienta Simetrı́a Axial, activable mediante un botón identificado con este
ı́cono:
43
.
1. Construyan un punto A y una recta e investiguen el funcionamiento de esta herramienta. ¿Qué
sucede con el punto A0 al mover el punto A o al mover la recta?
2. Para comprender algunos aspectos de las simetrı́as, no utilizaremos la herramienta Simetrı́a
Axial, sino que trataremos de reemplazarla. Construyan en una nueva vista gráfica de GeoGebra
una recta L por dos puntos A y B, y un punto C no perteneciente a la recta. Luego realicen las
construcciones necesarias para que GeoGebra exhiba en la pantalla un punto C 0 que sea el
simétrico de C respecto de la recta L y que lo haga en forma dinámica, es decir, de tal modo que
al mover C con el mouse, se mueva también C 0 hacia su posición simétrica.
Además, GeoGebra tiene la herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado,
activable mediante un botón identificado con este ı́cono:
.
1. Construyan un triángulo ABC y un punto exterior D e investiguen el funcionamiento de esta
herramienta. Observen el comportamiento de esta transformación si, en vez de ingresar el valor
de un ángulo, construyen un deslizador e ingresan el valor del deslizador.
2. Para comprender algunos aspectos de las rotaciones –como se hizo con las simetrı́as en el Problema
4.4–, no utilizaremos la herramienta Rota Objeto en torno a Punto, el Ángulo indicado,
sino que trataremos de reemplazarla. Construyan en una nueva vista gráfica de GeoGebra un
triángulo ABC, y un punto D exterior. Construyan un deslizador α (eligiendo para él la opción
“ángulo”) Luego realicen las construcciones necesarias para que GeoGebra exhiba en la pantalla
un triángulo A0 B 0 C 0 que sea el rotado de ABC con centro en D, un ángulo α y que lo haga en
forma dinámica.
44