Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Teoría de Control I Unidad II Análisis en Estado Transitorio Parte 1 Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Índice Conceptos básicos de Control de Sistemas Lineales 1. Señales normalizadas de prueba (Escalón, rampa, impulso, parábola) 2. Partes de una Respuesta 3. Sistemas de primer orden. 4. Sistemas de segundo orden. 5. Influencia de los polos dominantes en la respuesta dinámica de un sistema. 6. Respuesta y análisis de sistemas de orden superior. 7. Análisis de estabilidad (criterio de Routh) Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz 1. Señales Normalizadas de Prueba (escalón, rampa, impulso y parábola) En el análisis y diseño de sistemas de control, se debe tener una base de comparación del comportamiento, las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada. Muchos criterios de diseño se basan en tales señales o en la respuesta del sistema a los cambios en las condiciones iniciales. El uso de señales de prueba se justifica porque existe porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones en escalón, rampa, impulso y parábola, etc. Con éstas señales de prueba es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas de control, ya que las señales son funciones en el tiempo simples. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia en una operación normal determina cuál de las señales de entrada típicas de debe de usar para analizar las características del sistema. Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Objetivo Señales de prueba recomendado c(t) Si el sistema está sujeto a entradas de choque. A Impulso Regulación t Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas c(t) Escalón Regulación t Funciones del tiempo que cambian en forma gradual c(t) Rampa Seguimiento t Si el sistema estará sometido a cambios exponenciales c(t) Parábola Seguimiento t Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz 2. Partes de una Respuesta La respuesta c(t) en el tiempo de un sistema consta de dos etapas: 1. Transitoria: sucede desde el valor inicial al valor final de la respuesta (Ks*A) 2. Estacionaria: sucede cuando la respuesta se estaciona dentro de un rango más menos el 5% o el 2% del valor final Ks*A cuando el tiempo (t) tiende al infinito Dónde: : Etapa Transitoria Etapa Estacionaria Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz 3. Sistemas de Primer Orden Se caracterizan mediante el diagrama de bloques: R(s) Ks C(s) +- Cuya Función de Transferencia y diagrama de bloques reducido: R(s) C(s) Dónde el sistema se caracteriza mediante los parámetros: Ks : denominada ganancia estática, y establece la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada. Sus unidades dependen de la relación de unidades de salida / entrada τ : denominada constante de tiempo y usualmente se mide en segundos ó minutos Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Respuesta natural de sistemas de Primer Orden ante entrada Escalón en lazo abierto R(s) C(s) = Resolviendo las Fracciones Parciales para = y t=t* c c ∗ Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejemplo 1: c 𝑡 = 1∗1 1−𝑒 Ks=1 =1 ∗ = 1−𝑒 Se proponen: t* 𝜏 1∗1 2∗1 3∗1 4∗1 5∗1 c(t) 0*1 1−𝑒 0 1*1 1−𝑒 0.6321 2*1 1−𝑒 0.8646 3*1 1−𝑒 0.9502 4*1 1−𝑒 0.9816 5*1 1−𝑒 0.9931 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejemplo 2: c 𝑡 = 1∗1 1−𝑒 Ks=1 =2 ∗ = 1−𝑒 Se proponen: t* 𝜏 clc clear all Ks=1; tao=2; A=1; fdtst=tf([A],[1]) fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) hold on step(fdtst) hold on hold off hold off 1*2 2*2 3*2 4*2 5*2 c(t) 0*2 1−𝑒 0 1*2 1−𝑒 0.6321 2*2 1−𝑒 0.8646 3*2 1−𝑒 0.9502 4*2 1−𝑒 0.9816 5*2 1−𝑒 0.9931 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejemplo 3: c 𝑡 = 1∗1 1−𝑒 ∗ . . Ks=1 =0.5 = 1−𝑒 Se proponen: t* 𝜏 clc clear all Ks=1; tao=0.5; A=1; fdtst=tf([A],[1]) fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) hold on step(fdtst) hold on hold off hold off 1*0.5 2*0.5 3*0.5 4*0.5 5*0.5 c(t) 0 1−𝑒 0 0.5 1−𝑒 0.6321 1.0 1−𝑒 0.8646 1.5 1−𝑒 0.9502 2.0 1−𝑒 0.9816 2.5 1−𝑒 0.9931 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejemplo 4: c 𝑡 = 2∗1 1−𝑒 Ks=1 =1 ∗ =2 1−𝑒 Se proponen: clc clear all Ks=1; tao=1; A=2; fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) t* 𝜏 1 2 3 4 5 c(t) 0*1 2 1−𝑒 0 1*1 2 1−𝑒 1.2642 2*1 2 1−𝑒 1.7292 3*1 2 1−𝑒 1.9004 4*1 2 1−𝑒 1.9632 5*1 2 1−𝑒 1.9860 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejemplo 5: c 𝑡 = 1 ∗ 0.5 1 − 𝑒 Ks=0.5 =1 ∗ = 0.5 1 − 𝑒 Se proponen: clc clear all Ks=0.5; tao=1; A=1; fdtst=tf([A],[1]) fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) hold on step(fdtst) hold on hold off hold off 1 2 t* 𝜏 3 4 5 c(t) 0 0.5 1 − 𝑒 0 1 0.5 1 − 𝑒 0.3160 2 0.5 1 − 𝑒 0.4323 3 0.5 1 − 𝑒 0.4751 4 0.5 1 − 𝑒 0.4910 5 0.5 1 − 𝑒 0.4965 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejercicio 1: Se tiene un circuito RC en serie con una fuente de alimentación de corriente directa de 5 Volts, la resistencia es de 100 ohms y el capacitor de 3 Farads. 1. Obtener su Modelo matemático. 2. Plantea su diagrama de bloques considerando la Tensión en el Capacitor como salida y la Fuente de alimentación como Entrada 3. Obtener la Función de Transferencia considerando la Tensión en el Capacitor como salida y la Fuente de alimentación como Entrada 4. Obtener la respuesta para responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el valor máximo de Tensión de Carga del Capacitor (Ks*A)? b) ¿En que tiempo la respuesta alcanza el 99% del Valor de Ks*A y que valor tendrá? c) Si se usa una resistencia de 100 ohms y un capacitor de 0.02 Farads ¿Qué cambios en la respuesta se observan al comparar con la respuesta inicial? d) ¿Que valor de Resistencia se deberá usar si se usa un capacitor de 2 Farads, y se desea que se alcance el 98% del valor de Ks*A en 3 min (180 seg)? Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 1: Se tiene un circuito RC en serie con una fuente de alimentación de corriente directa de 5 Volts, la resistencia es de 100 ohms y el capacitor de 3 Farads. R e0 i 1. Obtener su Modelo matemático. (1) (2) C Vc Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz 2 Solución Ejercicio 1: Plantea su diagrama de bloques (1) (2) Despeja de ec (2) a i(t) sustituye en ec (1) y despeja a ( ) ( ) ( ) ( ) (3) (4) e0(t) +- 1 𝑅𝐶 Vc(t) Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 1: 3 Obtener la Función de Transferencia considerando la Tensión en el Capacitor como salida y la Fuente de alimentación como Entrada (1) (2) Por el método directo se aplica la Transformada de Laplace para las ec 1 y 2 y se relacionan para obtener la FdT (4) (5) ( ) ( ) ( ) (6) Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 1: a) b) 4 ¿Cuál es el valor máximo de Tensión de Carga del Capacitor (Ks*A)? ¿En que tiempo la respuesta alcanza el 99% del Valor de Ks*A y que valor tendrá? c 𝑡 = 5∗1 1−𝑒 a) ∗ Ks=1 =RC=(100)(3) clc clear all Ks=1; tao=300; A=5; fdtst=tf([A],[1]) fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) hold on step(fdtst) hold on hold off hold off t* 𝜏 b) C(t) 0 0 300 3.160 600 4.323 900 4.801 1200 4.908 1500 4.965 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 1: c) Si se usa una resistencia de 100 ohms y un capacitor de 0.02 Farads ¿Qué cambios en la respuesta se observan al comparar con la respuesta inicial? c 𝑡 = 5∗1 1−𝑒 ∗ Ks=1 =RC=(100)(0.02) clc clear all Ks=1; tao=2; A=5; fdtst=tf([A],[1]) fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) hold on step(fdtst) hold on hold off hold off t* 𝜏 c) C(t) 0 0 2 3.160 4 4.323 6 4.801 8 4.908 10 4.965 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 1: a) 4 ¿Que valor de Resistencia se deberá usar si se usa un capacitor de 2 Farads, y se desea que se alcance el 98% del valor de Ks*A en 3 min (180 seg)? c 𝑡 = 5∗1 1−𝑒 ∗ Ks=1 =RC=(22.5)(2) 4 𝜏=180 4*R*2=180 180 𝑅= 4∗2 d) R= 22.5 𝑜ℎ𝑚𝑠 clc clear all Ks=1; tao=45; A=5; fdtst=tf([A],[1]) fdt=tf([Ks],[tao 1]) step(fdt*A) hold on step(fdtst) hold on hold off hold off t* 𝜏 C(t) 0 0 45 3.160 90 4.323 135 4.801 180 4.908 225 4.965 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 1: Se tiene un circuito RC en serie con una fuente de alimentación de corriente directa de 5 Volts, la resistencia es de 100 ohms y el capacitor de 3 Farads. 1. Obtener la respuesta para responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el valor máximo de Tensión de Carga del Capacitor (Ks*A)? R: 5 Volts b) ¿En que tiempo la respuesta alcanza el 99% del Valor de Ks*A y que valor tendrá? R: En 1500 seg, alacanzará 4.97 que equivale al 99% de 5 Volts c) Si se usa una resistencia de 100 ohms y un capacitor de 0.02 Farads ¿Qué cambios en la respuesta se observan al comparar con la respuesta inicial? R: Reduce el tiempo que le toma en alcanzar el 99% de 5 Volts de 1500 seg a 10 seg. d) ¿Que valor de Resistencia se deberá usar si se usa un capacitor de 2 Farads, y se desea que se alcance el 98% del valor de Ks*A en 3 min (180 seg)? R: Dado que el 98% de 5 Volts equivale a 4𝜏, se obtiene de ahí un valor para la resistencia de 22.5 ohms. Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Ejercicio 2: La siguiente grafica se obtuvo del mismo sistema RC en serie del ejercicio 1, considerando una fuente de 3 V, con una resistencia de 300 ohms, el valor del capacitor se desconoce. 1. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 99% que genero la grafica 2. ¿De qué valor es el capacitor utilizado? 3. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 98% que genero la grafica 4. ¿De qué valor es el capacitor utilizado? Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 2: Resuelve los siguientes puntos: 1. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 99% que genero la grafica 2. ¿De qué valor es el capacitor utilizado? 1) 5 =15 =3 Ks*A=12 Ks*3=12 Ks=4 2) 𝜏=3 300*C=3 3 300 C = 0.01 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐶= Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ing. Lucía Sarai Vargas Ruiz Solución Ejercicio 2: Resuelve los siguientes puntos: 3. Obtener la Función de Transferencia aproximada al 98% que genero la grafica 4. ¿De qué valor es el capacitor utilizado? 3) 4 =15 =3.75 Ks*A=12 Ks*3=12 Ks=4 4) 𝜏=3.75 300*C=3.75 3.75 𝐶= 300 C = 0.0125 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠