3° S E C U N D A R I A Matemáticas MTRO. ALAN OMAR PÉREZ VERA 4. Figuras Semejantes. Qué vamos a aprender: Aprenderás cuáles son las condiciones que deben tener dos figuras para que se diga que son semejantes. Materiales: libro de texto, libreta del alumno, lápiz, lapiceros. 2 SEMANAS 50 min. diario Te explico FIGURAS SEMEJANTES ▪ Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que: ▪ ▪ Los segmentos correspondientes (homólogos) son proporcionales. ▪ Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales. Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza. (*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras. Ejemplo: Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensi ones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el porcentaje de reducción aplicado en la fotocopia. 3° Matemáticas MTRO. ALAN OMAR PÉREZ VERA Solución 1: S E C U N D A R I A Razón de semejanza: ▪ Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos: Por tanto, la razón de semejanza es 0.25. Observa como los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos. Porcentaje de reducción: ▪ La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje: Por tanto, la fotocopia es una reducción del 25%. Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes Propiedades Si dos figuras son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces: ▪ La razón entre sus áreas es k2. ▪ La razón entre sus volúmenes k3. Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes 1. Comprueba que, si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero. Solución 1: 3° Matemáticas MTRO. ALAN OMAR PÉREZ VERA En efecto, como la razón entre los lados es S E C U N D A R I A es , la razón entre sus áreas . Si hallamos el área de cada cuadrado lo podremos comprobar: ▪ Área cuadrado pequeño= ▪ Área cuadrado grande= En efecto, el área del grande es el cuádruple del área del pequeño. 2. Comprueba que, si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero. Solución 2: En efecto, como la razón entre las aristas es es , la razón entre sus volúmenes . Si hallamos los volúmenes de cada cubo lo podremos comprobar: ▪ Volumen cubo pequeño= ▪ Volumen cubo grande= En efecto, el volumen del grande es 8 veces el del pequeño. La escala es el cociente entre la longitud de un segmento en la reproducción y el correspondiente segmento en la realidad. Esto es, la escala es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. . Ejemplo Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100, si al realizar una medida de 1 cm en el plano, esta representa 100 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es . 3° Matemáticas MTRO. ALAN OMAR PÉREZ VERA Tipos de escalas S E C U N D A R I A Existen tres tipos de escalas: ▪ Escala natural: Cuando el tamaño del objeto representado en el plano coincide con la realidad. (1:1). ▪ Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño del objeto en el plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (1:2 ó 1:5), planos de viviendas (1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor (1:50.000 ó 1:100.000). ▪ Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador. Ejemplos: 2:1 ó 10:1. Para aprender más https://www.youtube.com/watch?v=lEikX8ZRi20 https://www.youtube.com/watch?v=VQ8-hYtQ0m0 Manos a la obra NOTA: FAVOR DE REALIZAR LOS PROCEDIMIENTOS CORRECTOS Y ENVIARLOS JUNTO CON LOS RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS PLANTEADOS EN ESTA FICHA, DE FORMA CLARA. a) En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando? , Traza ambas pizzas de 2.3 cm la chica y de 4.6 cm la grande de diámetro para comprobarlo. b) Un pintor pinta un boceto de un mural que ocupa 2 m 2. Una vez acabado, el mural ha de ocupar una superficie de 50 m 2. ¿Cuál es la razón de semejanza que hay entre el mural y el boceto? 3° Matemáticas MTRO. ALAN OMAR PÉREZ VERA c) En un mapa a escala 1:20000 la distancia entre dos ciudades es de 6 cm. ¿A qué S E C U N D A R I A distancia se encuentran en la realidad? d) En un plano a escala 1:70, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de 2.45 m por 0.98 m? Repaso y practico Resuelve los siguientes ejercicios para fortalecer tus conocimientos: a) Tenemos un cubo con un volumen de 27 cm 3 y otro cubo con un volumen de 216 cm3. ¿Qué relación tienen las aristas y las superficies, respectivamente? b) Un cono tiene una base de radio 3 cm y su altura es de 8 cm. Por otro lado, tenemos otro cono con un radio de la base de 6 cm y altura 16 cm. Indica si son semejantes ambos conos y, en tal caso, calcula la razón de semejanza y la razón entre sus volúmenes. c) En un mapa a escala 1:20000 la distancia entre dos ciudades es de 6 cm. ¿A qué distancia se encuentran en la realidad? d) En un mapa a escala 1:160000 la distancia entre dos ciudades es de 8 cm. ¿A qué distancia se encuentran en la realidad? e) En un plano a escala 1:40, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de 0.96 m x 0.56 m? Lo que aprendí Coloque una en los cuadros si observa si su hijo (a) logro lo siguiente: Leyó la introducción al tema y comprendió el concepto de figuras se mejantes Pudo resolver los ejercicios y problemas de la sección manos a la obra. Resolvió los ejercicios finales.
