Trabajo de Vectorial
Nombre: Pablo Hidalgo
CODIGO EN MATALAB DE LOS EJERCICIOS
clc
disp('Universidad Politécnica Salesiana')
disp(' Adriana Zapata ')
disp('7. CAMPO VECTORIAL EJERCICIO 1')
disp('8. CAMPO VECTORIAL EJERCICIO 2')
disp('1. INTEGRALES DE LINEA EJERCICIO 1')
disp('2. INTEGRALES DE LINEA EJERCICIO 2')
disp('3. TEREMA DE GREEN EJERCICIO 1')
disp('5. TEREMA DE STOKES EJERCICIO 1')
disp('6. TEREMA DE STOKES EJERCICIO 2')%%Impresion de pantallan es el
"disp('')"
disp('4. TEREMA DE GREEN EJERCICIO 2')
var=input('Ingrese su Seleccion: ');%%Ingresar una variable
"var=input('')", el imput ingeras la variable
if var==1
%%%%%%%%%%%----------------------------%%%%%%%%%%
clc
%%Clc es para limpiar
disp('
INTEGRALES DE LINEA EJERCICIO 1
')
disp('Integre f(x,y,z)=x+y-z^2 sobre la trayectoria que va desde
(0,0,0) hasta (1,1,1)de la siguiente figura y está dada por:');
disp('C1: rk 0?t?1')
disp('dr/dt=k')
disp('dr/dt=1')
syms t %%%% "syms" declara la variable simbolica
fun1=-t^2;
rc1=int(fun1,t,0,1) %%%%% "int " integral de la funcion con parametros
t desde 0 hasta 1
disp('C2: tj+k 0<=t<=1')
disp('dr/dt=j')
disp('dr/dt=1')
syms t
fun2=sqrt(t)-1;
rc2=int(fun2,t,0,1)
disp('C3: ti+j+k 0<=t<=1')
disp('dr/dt=i')
disp('dr/dt=1')
syms t
fun3=t;
rc3=int(fun3,t,0,1)
respuesta=rc1+rc2+rc3
%%%%--------------------------------------------%%%%
elseif var==2
clc
disp('
INTEGRALES DE LINEA EJERCICIO 2
')
disp('Integre f(x,y,z)=(x+y+z)/(x^2+y^2+z^2 ) sobre la trayectoria
r(t)=ti+tj+tk 0<a?t?b');
disp('dr/dt=i+j+k')
disp('dr/dt=3^(1/2)')
x=t;y=t;z=t;
f=(x+y+z)/(x^2+y^2+z^2);
res=int(f,t);
r=res*sqrt(3)*(a/b);
pretty(r)
%%%% "pretty "es para imprimir de una mejor manera
%%%%--------------------------------------------%%%%
elseif var==3
%%%%%%%%%%%%TEREMA DE GREEN%%%%%%%%%%%%%
clc
disp('
TEREMA DE GREEN EJERCICIO 1
')
disp('En los ejercicios aplique el teorema de Green. En cada caso
considere como dominio de integración al disco R dado por x^2+y^2?a^2
y a su circunferencia frontera C dada por r=(a cos?t )i+(asen t)j, 0?
t?2.');
disp('F=-yi+xj')
disp('M=-y=-asin(t)')
disp('N=X=acos(t)')
disp('dM/dx=0');disp('dN/dx=-1');
disp('dN/dx=1');disp('dN/dx=0');
syms a
F1=2*a^2*(pi/2+pi/2)
disp('F=2xi-3yj')
disp('M=-y=-asin(t)')
disp('N=X=acos(t)')
disp('dM/dx=0');disp('dN/dx=-1');
disp('dN/dx=1');disp('dN/dx=0');
F2=2*a^2*(pi/2+pi/2)
%%%%-------------------------------------------%
elseif var==4
clc
disp('
TEREMA DE GREEN EJERCICIO 2
')
syms x y
disp('Por green encuentre el trabajo realizado por F al mover una vez
una particula en contra las manecillas alrededor de la curva dada.')
disp('F=2xy^3 i-3x^2 y^2 j C: La frontera de la región “triangular”
del primer cuadrante acotada por el eje x, la recta x=1 y la curva
y=x^3.')
disp('F=2xy^3 i-4x^2 y^2 j')
disp('M= 2x*y^3
N=4x^2*y^2')
disp('dM/dy=6xy^2');disp('dN/dy=8xy^2');
disp('N=X=acos(t)')
fun=(2/3*x^10)
CAMPOS VECTORIALES
Campos Vectoriales
1.
1
F ( x , y )= (i+ j)
2
2.
F ( x , y )=i+ xj ¿
3.
F ( x , y )= y+
4.
F ( x , y )=( x− y )+ x j¿
1
j¿
2
5.
F ( x , y )=
yi−xj
√ x 2+ y 2
INTEGRALES DE LINEA
EJERCICIOS
Integre
f ( x , y , z )=x+ 1 y −z2
sobre la trayectoria que va desde (0,0,0)
hasta (1,1,1)de la siguiente figura y está dada por .
C 1 :r ( t )=tk , 0≤ t ≤ 1
dr
dr
=k =1;
dt
dt
x+ √ y −z 2=0
2
0+ √ 0−t =−t
2
❑
1
C1
0
[ ]
∫ f ( x , y , z ) ds=∫ (−t2 )1 dt = −t3
3
1 −1
=
0 3
C2 :r ( t ) =tj+k , 0 ≤ t ≤1
dr
dr
= j =1;
dt
dt
x+ √ y −z 2=0
0+ √ t−1= √t−1
❑
1
C2
0
[
∫ f ( x , y , z ) ds=∫ (√ t −1)1 dt=
]
3
2 2
2
−1
t −t 1= −1=
3
0 3
3
C3 :r ( t ) =ti+ j+ k ,0 ≤ t ≤ 1
dr dr
=i =1 ;
dt
dt
x+ √ y −z 2=0
t+ √1−1=t
❑
1
C3
0
❑
❑
❑
❑
C
C1
C2
C3
[]
∫ f ( x , y , z ) ds=∫ (t)(1)dt=
t2 1 1
=
2 0 2
∫ f ( x , y , z ) ds=∫ fds+∫ fds+∫ fds=
2. Integre
f ( x , y , z )=
−1 −1 1 −1
+
+ =
3
3
2 6
( )
x+ y+ z
x 2 + y 2 + z 2 sobre la trayectoria
r ( t ) =ti+tj+tk ,0< a ≤t ≤b .
r ( t ) =ti+tj+tk ,0< a ≤t ≤b
dr
dr
=i+ j+k =√ 3;
dt
dt
x+ y + z
=0
x2 + y2 + z2
t +t +t
1
=
2
2
t
t +t +t
2
b
❑
∫ f ( x , y , z ) ds=∫ ( 1t )(√ 3)dt=[ √ 3 ln (t)] ba= √3 ln ab , 0<a ≤ b
C
a
3
()
2
x
x
3. f ( x , y ) = y , C : 2 , 0≤ x ≤ 2.
2
r ( t ) =xi+
x
j , 0 ≤ x ≤2
2
| |
dr
dr
=i+ xj+k
=√ 1+ x 2 ;
dx
dx
x2
x3
= 2 =2 x ;
2
x
2
( )
f x,
❑
2
C
0
∫ fds=∫( 2 x )( √1+ x 2 )dx=
4.
[
3
]
(
3
)
2
2
10 5−2
(1+ x 2) 2 2 = 5 2 −1 = √
3
0 3
3
f ( x , y ) =x+ y , C : x 2+ y 2=4
en el primer cuadrante, desde (2,0) hasta
(0,2).
r ( t ) =(2 cos t )i+( 2 sen t) j , 0≤ t ≤
π
2
| |
dr
dr
=−(2 sen t)i+(2 cos t) j+ k
=2;
dt
dt
f ( x , y ) =f ( 2cos t , 2 sen t)¿=2 cos t +2 sen t ;
π
2
π
∫ fds=∫( 2cos t , 2 sen t)(2)dt=[ 4 sent−4 cos t ] 2 =4−(−4 )=8
C
0
0
❑
2
2
2
5. f ( x , y ) =x − y ,C : x + y =4
en el primer cuadrante, desde (0,2) hasta
(12,12).
r ( t ) =(2 sen t) i+(2 cos t) j , 0≤ t ≤
π
4
||
dr
dr
=(2 cos t)i+(−2 sen) j
=2 ;
dt
dt
2
f ( x , y ) =f ( 2 sen t , 2 cos t t)¿=4 sen t−2 sen t ;
❑
π
2
C
0
π
∫ fds=∫( 4 sen2 t−2 sen t)(2)dt=[ 4 t −2 sen 2t−4 sen t ] 4 =π−2(1+ √2)
0
TEOREMA DE GREEN
En los ejercicios aplique el teorema de Green. En cada caso considere como
dominio de integración al disco R dado por
frontera C dada por
1.
x 2+ y 2 ≤ a2
r=( a cos t ) i+ ( asen t ) j, 0 ≤ t ≤ 2.
F=− yi+ xj
M =− y=−a sen t
N= X=a cos t
dx=−a sen t dt dy=a cos t dt
dM
dM
dN
dN
=0
=−1;
=1
=0 ;
dx
dy
dx
dy
y a su circunferencia
❑ →
→
❑
a
R
−a
√ a2− x2
∮ F . dr =∬ Mdy−Ndx=∫ ∫
c
a
2 dydx =∫ 4 √ a 2−x 2 dx =4
c
−a
[
x 2 2 a
x a
π π
a −x + sen−1
=2 a2 + =2
√
2
2
a −a
2 2
[
x 2 2 a2
x a
π π
a −x + sen−1
=2 a2 + =2
√
2
2
a −a
2 2
2
]
(
]
(
)
F=2 xi−3 yj
2.
M =− y=−a sen t
N= X=a cos t
dx=−a sen t dt dy=a cos t dt
dM
dM
dN
dN
=0
=−1;
=1
=0 ;
dx
dy
dx
dy
❑ →
→
❑
a
R
−a
√ a2− x2
∮ F . dr =∬ Mdy−Ndx=∫ ∫
c
a
2 dydx =∫ 4 √ a 2−x 2 dx =4
c
−a
3. Por geen encuentre el trabajo realizado por F al mover una vez una
particula en contra las manecillas alrededor de la curva dada.
3
2
2
F=2 x y i−3 x y j
C: La frontera de la región “triangular” del primer
y=x
cuadrante acotada por el eje x, la recta x=1 y la curva
3
2
3
2
F=2 x y i−4 x y j
M =2 x y 3 N =4 x 2 y 2
dM
2 dN
2
=6 x y ;
=8 x y ;
dy
dx
❑ →
→
❑
❑ ❑
R
❑ R
1
∮ F . dr =∬ Mdy−Ndx=∫∫( 8 x y −6 x y )dydx=∫ 2 x y
c
4.
F=( 4 x−2 y)i−(2 x−4 y ) j
( x−2 )2 + ( y−2 )2=4
F=(4 x−2 y) i−( 2 x−4 y ) j
M =4 x−2 y N =2 x−4 y
dM
dN
=−2 ;
=2 ;
dy
dx
2
2
0
1
2
2
2
dydx=∫ x 10 dx=
33
0 3
C: la circunferencia
)
❑ →
→
❑
❑ ❑
2π 2
R
❑ R
0 0
2π
∮ F . dr =∬ Mdy−Ndx=∫∫ 2−(−2) dxdy=4 ∫ ∫ dxdy =4 ∫ ydx=4 ( π .4 )=16 π
c
0
❑
5.
∮ y 2 dx+ x 2 dy
C: El triángulo acotado por
c
x=0, x+ y=1. y=0
❑
∮ y 2 dx+ x 2 dy M = y 2 N =x2
c
dM
dN
=2 y ;
=2 x ;
dy
dx
❑ →
→
❑
❑ ❑
1 1
R
❑ R
0 0
1
∮ F . dr =∬ Mdy−Ndx=∫∫ 2 x−2 y dydx=∫∫ 2 x−2 y dydx=∫(−3 x 2+ 4 x−1)dx=[−x3 +2 x 2−
c
0
❑
6.
∮ 3 y dx+2 xdy
0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ sen x
C: la frontera de
c
❑
∮ 3 y dx+2 xdy M =3 y N =2 x
c
dM
dN
=3;
=2 ;
dy
dx
❑ →
→
❑
❑ ❑
π sen x
R
❑ R
0
π
∮ F . dr =∬ Mdy−Ndx=∫∫ 2−3 dydx=∫ ∫ −1 dydx=−∫ sen xdx=−2
c
0
0
TEOREMA DE STOKES
Utilice el teorema de Stokes para calcular la circulación del campo
alrededor de la curva C en la dirección Indicada.
1.
2
F= yi+ xzj+ x k
C: La elipse
x+ y+ z=9
en el primer octante, en
el sentido contrario de las manecillas del reloj, vista desde arriba.
| |
i
∂
F=∇ xF=
dx
y
F . n=
j
∂
dy
xz
k
∂
i + j+ k
=−xi−2 xj+ ( z−1 ) k n=
dz
√3
x2
1
3
(−x+ 2 x + z−1 ) dσ= √ dA
1
√3
[
1
]
1
1
7
−5
− 4 x ( 1−x ) + ( 1−x )2 dx=¿−∫ +3 x− x 2 dx=
2
2
6
0 2
(
)
❑
❑
1 1−x
1 1−x
1
C
R
0
0
0
∮ F . dr=∬ √13 (−3 X + Z−1 ) √ 3 dA=∫ ∫ [−3 x +( 1−x− y )−1 ] dydx=∫ ∫ [ −4 x− y ] dydx=∫ ¿
2.
F=( y 2 + z 2) i+( x 2 + z2 ) j+( x 2 + y 2)k
0
C: La elipse
0
x+ y+ z=1 en el
primer octante, en el sentido contrario de las manecillas del reloj,
vista desde arriba.
|
|
i
j
k
∂
∂
∂
i+ j+k
F=∇ xF=
=(2 y−2 z )i−(2 z −2 x ) j+ (2 x−2 y ) k n=
dx
dy
dz
√3
2
2
2
2
2
2
y +z x +z x + y
F . n=
1
3
( 2 y−2 z−2 z−2 x +2 x−2 y )=0 dσ = √ dA
1
√3
❑
❑
C
R
∮ F . dr=∬ 0 √ 3 dA=0
3.
F=( y 2 + z 2) i+( x 2 +z2 ) j+( x 2 + y 2)k
x=± 1, y =±1
rectas
C: El cuadrado acotado por las
en el primer octante, en el sentido contrario
de las manecillas del reloj, vista desde arriba.
|
|
i
j
k
∂
∂
∂
i+ j+k
F=∇ xF=
=(2 y−2 z )i−(2 z −2 x ) j+ (2 x−2 y ) k n=
dx
dy
dz
√3
y 2 + z 2 x 2 + z 2 x 2+ y 2
F . n=
1
( 2 x−2 y )=0 dσ =dxdy
√3
1
[ x 2−2 xy ]
❑
❑
C
R
1 dy= −4 ydy=¿ 0
∫
−1
−1
1
1
1
∮ F . dr=∬ ( 2 x −2 y ) dxdy=∫ ∫ ( 2 x−2 y ) dxdy=∫ ¿
−1 −1
−1
En los ejercicios, utilice la integral de superficie del teorema de Stokes para
calcular el flujo del rotacional del campo F a través de la superficie S, en la
dirección del vector unitario normal exterior n.
F=2 zi+3 xj+5 yk
4.
S : r ( u . v ) =( rcosu ) i+ ( rsenu ) j + ( 4−r 2 ) k ,0 ≤ r ≤2, 0 ≤u ≤ 2
|
i
∂
F=∇ xF=
dx
2z
j
∂
dy
3x
|
k
∂
=5 i−2 j +3 k
dz
5y
θ
θ
sen ¿ j−2 rk
¿
θ
θ
r cos ¿ j
¿
−r sen ¿ i+ ¿
cos ¿i+¿
r r=¿
θ
2r cos ¿ i
¿
i
j
k
r r x r θ = cos θ
sen θ −2 r =¿
−r sen θ r cos θ
0
2
|
n=
rr x rθ
|r r x r θ|
|
dσ=|r r x r θ|drdθ
2
2
∇ xF . n dσ=( ∇ . F ) . ( r r x r θ ) drdθ=(10 r cos θ +4 r sen θ+3 r )drdθ
❑
❑
2π 2
C
R
0 0
2π
[
∮ F . dr=∬ ∇ xF . Ndσ =∫∫ (10 r 2 cos θ+4 r 2 sen θ+3 r )drdθ =∫ (
5.
0
F=( x−z ) i+( y−z) j+(x+ z )k
S :r ( u . v ) =( rcosu ) i+ ( rsenu ) j+ ( 5−r ) k , 0 ≤ r ≤5, 0 ≤u ≤ 2
|
|
i
j
k
∂
∂
∂
F=∇ xF=
=i+ j+ k
dx
dy
dz
( x−z ) ( y −z) (x+ z)
3
3
]
10
4
3
r cos θ+ r sen θ+ r 2 ) 2 d
3
3
2
0
θ
θ
sen ¿ j−2 rk
¿
θ
θ
r cos ¿ j
¿
−r sen ¿ i+ ¿
cos ¿i+¿
r r=¿
|
θ
r cos ¿ i
¿
|
i
j
k
r r x r θ = cos θ
sen θ −1 =¿
−r sen θ r cos θ 0
n=
rr x rθ
|r r x r θ|
dσ=|r r x r θ|drdθ
❑
❑
2π 5
C
R
0 0
2π
[
∇ xF . n dσ=( ∇ xF ) . ( r r x r θ ) drdθ ∮ F . dr=∬ ∇ xF . Ndσ=∫ ∫ (r cos θ+r sen θ+r )drdθ=∫ ( cos θ+s
0
