UD 13 CC SS I solucionario

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
CUESTIONES INICIALES de la página 300
1. Se ha realizado un estudio científico sobre la asiduidad de las principales nevadas del siglo XX en la
ciudad de Moscú. El resultado indica que el 42% de ellas han caído en lunes o miércoles. Si las
nevadas se produjeran al azar, ¿qué porcentaje sería el esperado?
Como las nevadas se pueden producir, con la misma probabilidad, cualquier día de la semana, el porcentaje
esperado será:
2
· 100 = 28,57%.
7
2. Al lanzar un dado se han obtenido estos resultados:
RESULTADO
1
2
3
4
5
6
FRECUENCIA 51 48 52
50
49
102
¿Qué conclusión puedes deducir?
Podemos sospechar que el dado está trucado ya que la frecuencia de obtener 6 es el doble de las frecuencias
de obtener los otros resultados.
Habría que realizar más tiradas para confirmar esa sospecha.
3. Construye un diagrama de árbol para el experimento «sacar dos bolas» en una urna con dos bolas
blancas, una negra y otra roja.
Si llamamos a los sucesos B = “Salir blanca”, N = “Salir negra” y R = “Salir roja”, el diagrama de árbol
puede quedar en la forma:
1
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SOLUCIONARIO
4. En un dado trucado la probabilidad de salir 4 es el triple que la de que salgar cualquiera de los
otros números. ¿Qué probabilidad hay de que al tirar el dado salga 2?
La probabilidad de cada uno de los resultados es:
Resultado
1
2
3
4
5
6
Probabilidad
1
8
1
8
1
8
3
8
1
8
1
8
Por tanto, la probabilidad de que salga 2 es
1
.
8
5. Un administrativo de una pequeña empresa ha preparado tres cartas y tres sobres con las
direcciones de otros tantos clientes. Si introduce las cartas en los sobres al azar, ¿qué probabilidad
hay de que cada cliente reciba la carta que le corresponde?
Si llamamos a los clientes: Cliente 1, Cliente 2 y Cliente 3 (C) y a las cartas: Carta 1 (A), Carta 2 (B) y Carta
3 (C), todas las posibilidades de entrega de las cartas son:
Cliente 1
Cliente 2
Cliente 3
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
Observamos que solo hay una posibilidad, entre seis, de entregar las cartas correctamente, por tanto, la
probabilidad pedida es 1 .
6
2
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES de la página 302
1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes fenómenos o experimentos
aleatorios:
a) Lanzar dos dados y anotar la suma de las dos puntuaciones de las caras superiores.
b) Considerar el sexo de las familias de cuatro hijos.
a) En el lanzamiento de dos dados podemos obtener 36 resultados distintos, la suma de las puntuaciones de
las caras superiores oscila de 2 a 12, por tanto, el espacio muestral es:
E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
b) Llamando V al suceso «nacer varón» y H «nacer hembra», tenemos el siguiente espacio muestral:
E = {VVVV, VVVH, VVHV, VHVV, HVVV, VVHH, VHVH, VHHV, HVVH, HVHV, HHVV, VHHH,
HVHH, HHVH, HHHV, HHHH}
ACTIVIDADES de la página 303
2. En el experimento aleatorio que consiste en extraer una ficha del dominó y anotar la diferencia, en
valor absoluto, de sus puntos, describe dos ejemplos de:
a) Sucesos elementales.
b) Sucesos compuestos
c) Sucesos imposibles.
Sabemos que el dominó está formado por 28 fichas, y la diferencia más pequeña que podemos obtener es 0
(fichas dobles) y la mayor 6 (0-6). También pueden obtenerse las diferencias comprendidas entre 0 y 6, por
tanto, el espacio muestral es E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Por ejemplo, los sucesos pedidos pueden ser:
a) Son sucesos elementales A1 = {Obtener diferencia 1} = {0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6} y A2 = {Obtener
diferencia 3} = {0-3, 1-4, 2-5, 3-6}.
3
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
b) Son sucesos compuestos B1 = {Obtener diferencia múltiplo de 3} = {0-3, 1-4, 2-5, 3-6, 0-6} y B2 =
{Obtener diferencia mayor que 4} = {0-5, 1-6, 0-6}.
c) Son sucesos imposibles C1 = {Obtener diferencia 7} y C2 = {Obtener diferencia 10}.
3. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y anotar la mayor de las dos
puntuaciones de las caras superiores, pon un ejemplo de:
a) Suceso elemental.
b) Sucesos compuesto
c) Sucesos imposible.
En el lanzamiento de dos dados podemos obtener 36 resultados distintos. La mayor puntuación oscila entre 1
y 6, lo que da lugar a que el espacio muestral sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Por ejemplo, los sucesos pedidos pueden ser:
a) Es un suceso elemental A = {Obtener mayor número 1} = {1-1}.
b) Es un suceso compuesto B = {Obtener mayor número múltiplo de 3} = {1-3, 2-3, 3-3, 3-2, 3-1, 1-6, 2-6,
3-6, 4-6, 5-6, 6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, 6-1}.
c) Es un suceso imposible C = {Obtener mayor número 8}.
ACTIVIDADES de la página 305
4. Para realizar un estudio sobre la utilización de las instalaciones deportivas en una localidad se decide
dividir la población por la edad, mayor o menor de 40 años, y el estado civil, casado o no casado. Se
consideran los sucesos A = {Mayor de 40 años} y B = {Casado}. Describe los sucesos:
a) A y B
b) A ∪ B y A ∪ A
c) A ∩ B y A ∩ B
d) A – B y B - A
Los sucesos pedidos son:
a) A = {No mayor de 40 años} = {Menor a igual a 40 años}
B = {No casado}
4
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SOLUCIONARIO
b) A ∪ B = {Mayor de 40 años o casado}
A ∪ A = {Mayor de 40 años o no mayor de 40 años} = E.
c) A ∩ B = {Mayor de 40 años y casado}
A ∩ B = {Mayor de 40 años y no casado}
d) A – B = {Mayor de 40 años y no casado}
B – A = {Casado y no mayor de 40 años}
5. Se extrae una bola de una caja que contiene bolas numeradas del 0 al 9. Nos dan los sucesos: A =
{El número obtenido es par}, B = {El número obtenido es múltiplo de 5} y C = {El número obtenido es
mayor que 6}.
a) Describe y escribe los sucesos elementales de los sucesos: B ∪ C , A y B ∪ C .
b) ¿Son compatibles A y B? ¿Y A y C? ¿Y B y C?
a) Sean los sucesos: A = {0, 2, 4, 6, 8}; B = {0, 5} y C = {7, 8, 9}. Se cumple:
B ∪ C = {El número obtenido es múltiplo de 5 o mayor que 6} = {0, 5, 7, 8, 9}
A = {El número obtenido no es par} = {1, 3, 5, 7, 9}
B ∪ C = {el número obtenido es múltiplo de 5 o menor o igual que 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
5
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
b) Calculamos los sucesos intersección de cada una de las parejas y obtenemos:
A ∩ B = {0} ≠ φ , entonces A y B son compatibles.
A ∩ C = {8} ≠ φ , entonces A y C son compatibles.
B ∩ C = φ , entonces B y C son incompatibles.
ACTIVIDADES de la página 308
6. Si E es un espacio muestral con cuatro elementos, E = {A, B, C, D}, ¿cuál de las siguientes funciones es
una probabilidad?
a) P ( A) =
1
1
1
1
, P (B ) = , P (C ) = , P (D ) =
2
3
4
5
c) P ( A) =
1
1
1
1
, P (B ) = , P (C ) = , P (D ) =
2
4
8
8
b) P ( A) =
1
1
1
1
, P (B ) = , P (C ) = − , P (D ) =
2
4
4
5
d) P ( A) =
1
1
1
, P (B ) = , P (C ) = , P (D ) = 0
2
4
4
a) No es una probabilidad, ya que:
P (E ) = P ({A, B, C , D}) = P ( A) + P ( B) + P (C ) + P ( D) =
b) No es una probabilidad al ser P (C ) = −
1 1 1 1 77
, mayor que 1.
+ + + =
2 3 4 5 60
1
.
4
c) Si es una probabilidad, ya que los valores son no negativos y se cumple:
P (E ) = P ({A, B, C , D}) = P ( A) + P ( B) + P (C ) + P ( D) =
1 1 1 1
+ + + = 1.
2 4 8 8
d) Si es una probabilidad, por las mismas razones que en el caso anterior.
6
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
7. Sea P una probabilidad definida en E = {A, B, C}. Encuentra P (C) en estos casos:
a) P ( A) =
1
1
, P (B ) =
2
3
b) P (C ) = 2 P (B ), P ( A) =
a) Según los axiomas 1 y 3, P (C ) = 1 −
1
3
c) P ( A) = 3 P (C ), P (B ) = 2 P (C )
1 1
1
− ; luego P (C ) = .
2 3
6
b) Si llamamos P (C) = x, la aplicación de los axiomas 1 y 3 nos lleva a la ecuación
tanto, la solución es P (C ) =
4
.
9
1 1
+ x + x = 1 . Por
3 2
c) Procediendo como en el apartado anterior, llamando P (C) = x, las condiciones del enunciado llevan a la
1
ecuación 3x + 2x + x = 1. Por tanto, la solución es P (C ) = .
6
ACTIVIDADES de la página 311
8. En una urna tenemos todos los números de tres cifras que se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3 y 4.
Calcula la probabilidad de que el número acabe en 2 si elegimos uno al azar.
Los casos posibles son todos los números de tres cifras que podemos escribir con los dígitos 1, 2, 3 y 4.
Estos son 4 · 4 · 4 = 64.
Los casos favorables son los números anteriores que acaban en 2. Estos son 4 · 4 = 16.
Utilizando la regla de Laplace, obtenemos la probabilidad pedida:
P (número acabe en 2 ) =
16 1
= = 0,25
64 4
Observamos que de los 64 números posibles, la cuarta parte acaba en 1, la cuarta parte acaba en 2, la cuarta
parte acaba en 3 y la cuarta parte acaba en 4.
9. Sacamos una ficha del dominó. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
7
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
a) Que la ficha obtenida tenga al menos un número mayor o igual que 3.
b) Que la suma de sus puntos sea menor que 6.
c) Que la ficha se puede encadenar a la ficha 2 : 4.
d) Que la ficha no se puede encadenar a la ficha 3 : 6.
El espacio muestral está formado por 28 sucesos elementales que son las 28 fichas del dominó. Este espacio
muestral es:
E = {0 : 0, 0 : 1, 0 : 2, 0 : 3, 0 : 4, 0 : 5, 0 : 6, 1 : 1, 1 : 2, 1 : 3, 1 : 4, 1 : 5, 1 : 6, 2 : 2, 2 : 3, 2 : 4, 2 : 5, 2 : 6,
3 : 3, 3 : 4, 3 : 5, 3 : 6, 4 : 4, 4 : 5, 4 : 6, 5 : 5, 5 : 6, 6 : 6}
a) Los casos favorables al suceso A = {Obtener al menos un número mayor o igual que 3} son:
A = {0 : 3, 0 : 4, 0 : 5, 0 : 6, 1 : 3, 1 : 4, 1 : 5, 1 : 6, 2 : 3, 2 : 4, 2 : 5, 2 : 6, 3 : 3, 3 : 4, 3 : 5, 3 : 6, 4 : 4, 4 : 5,
4 : 6, 5 : 5, 5 : 6, 6 : 6}
Utilizando la regla de Laplace, la probabilidad pedida es:
P (Obtener al menos un número mayor o igual a 3) =
22 11
=
= 0,79 .
28 14
b) Los casos favorables al suceso B = {La suma sea menor que 6} son:
B = {0: 0, 0: 1, 0: 2, 0: 3, 0: 4, 0: 5, 1: 1, 1: 2, 1: 3, 1: 4, 2: 2, 2: 3}
En este caso la probabilidad es: P (La suma es menor que 6) =
12
3
= = 0,4286 .
28 7
c) Los casos favorables al suceso C = {Encadenar a la ficha 2 : 4} son:
C = {0: 2, 1: 2, 2: 2, 3: 2, 4: 2, 5: 2, 6: 2, 4: 0, 4: 1, 4: 3, 4: 4, 4: 5, 4 : 6}
8
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
En este caso la probabilidad es: P (Encadenar a la ficha 2 : 4) =
SOLUCIONARIO
13
= 0,4643 .
28
d) Los casos favorables al suceso D = {No encadenar con la ficha 3 : 6} son:
D = {0: 0, 0: 1, 0: 2, 0: 4, 0: 5, 1: 1, 1: 2, 1: 4, 1: 5, 2: 2, 2: 4, 2: 5, 4 : 4, 4 : 5, 5 : 5}
En este caso la probabilidad es: P (No encadenar con la ficha 3 : 6 ) =
15
= 0,5357 .
28
ACTIVIDADES de la página 315
1. Escaleras mecánicas. Dos amigos tienen la costumbre de subir andando por la escalera mecánica
del metro mientras funciona. El primero de los amigos sube 20 escaleras con su paso y tarda 60 s
exactamente. El segundo tarda en subir 16 escalones con su paso 72 s. Un día la escalera no funciona,
¿cuántos escalones tiene la escalera?
Sea x el número de peldaños desconocidos. Cuando toma el primer amigo la escalera, ésta recorre x – 20
escalones en 60 segundos, mientras que con el segundo amigo recorre x – 16 escalones en 72 segundos.
Por tanto, en 12 segundos recorre en el primer caso
x − 20
x − 16
mientras que en el segundo son
.
5
6
Ambas expresiones son iguales y resolviendo la ecuación resultante:
x − 20 x − 16
=
6
5
⇒ 6 x − 120 = 5 x − 80
⇒ 6 x − 5 x = 120 − 80
⇒
x = 40
La escalera tiene 40 escalones.
9
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
2. El cristal. En una familia de 5 hermanos uno de ellos ha roto un cristal. Juan dice: “Ha sido Hugo o
Tomás”; Hugo dice: “No hemos sido ni Esteban ni yo”; Tomás dice: “Los dos están mintiendo”;
David dice: “No, uno está diciendo la verdad pero el otro no”; Esteban dice: “No, David, eso no es
verdad”.
El padre, que es sincero, dice que 3 de sus hijos siempre dicen la verdad, pero que los otros dos no son
de fiar. ¿Quién rompió el cristal?
Utilizamos la notación: M significa que miente y V que dice la verdad.
Recogemos toda la información en la tabla que sigue.
Si el que ha roto el cristal ha sido
Juan
Hugo
Tomás
David
Esteban
Juan
M
V
V
M
M
Hugo
V
M
V
V
M
Tomás
M
M
M
M
V
David
V
V
M
V
M
Esteban
M
M
V
M
V
La única columna en la que aparecen 3 V es la de Tomás, Así pues, Tomás es el que rompió el cristal.
10
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
3. Triángulo espacial. Uno de los lados de un triángulo equilátero coincide con el lado de un cuadrado.
Se construye un triángulo de la forma sombreada que se muestra en el dibujo.
a) Calcula la medida del ángulo inferior derecho del triángulo sombreado.
b) Sabiendo que el lado del cuadrado mide a centímetros, averigua el área del
triángulo sombreado.
a) El triángulo ABC es isósceles porque AB y BC miden lo mismo. Ambos lados son
iguales por construcción:
Su ángulo B está formado como suma del ángulo recto del cuadrado y el ángulo del
triángulo equilátero, por tanto, mide 90º + 60º = 150º.
Si llamamos α al ángulo del triángulo ABC, teniendo en cuenta que al ser isósceles
ambos son iguales, tenemos que:
2α + 150º = 180º
⇒ 2α = 180º – 150º ⇒ α = 30º : 2 = 15º
El ángulo buscado es complementario de α y mide 90º - 15º = 75º.
b) Para calcular el área del triángulo sombreado necesitamos conocer su altura ya que la base es el lado a del
cuadrado. Dicha altura es la suma del lado del cuadrado y la altura del triángulo equilátero de lado a.
La altura, h, del triángulo equilátero de lado a (teorema de Pitágoras) es:
a
h =a − 
2
2
2
2
⇒
h=
a2 −
a2
4
La altura, H, del triángulo sombreado es H = a +
⇒
h=
3 a2
4
⇒
h=
3
a cm
2
2+ 3
3
a , es decir, H =
a cm .
2
2
El área del triángulo sombreado es:
A=
2+ 3
1
·a·
a
2
2
⇒
A=
2+ 3 2
a
4
⇒
A ≈ 0,93 a 2 cm 2
11
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
4. Idiomas. En un centro de 800 alumnos, sabemos que 460 estudian inglés, 280 francés, 260 alemán, 150 estudian
francés e inglés, 50 estudian francés y alemán, 80 estudian inglés y alemán y 30 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos
alumnos y alumnas no estudian ninguno de estos tres idiomas? ¿Cuántos estudian solo alemán?
Debemos saber que el número de elementos del conjunto A
decir, del conjunto de los elementos que está en A o en B es:
∪ B , es
n º ( A ∪ B) = n º ( A) + n º ( B ) − n º ( A ∩ B )
siendo
A ∩ B el conjunto de los elementos que están en A y en B.
Para tres conjuntos A, B y C se obtiene, de forma análoga:
nº ( A ∪ B ∪ C ) =
= n º ( A) + n º ( B ) + n º (C ) − n º ( A ∩ B ) − n º ( A ∩ C ) − n º ( B ∩ C ) + n º ( A ∩ B ∩ C )
En nuestro caso, el número de alumnos que estudian algún idioma, es decir, inglés (I), francés (F) o alemán (A) es:
n º ( I ∪ F ∪ A) = 460 + 280 + 260 – 150 – 50 – 80 + 30 = 1000 – 280 + 30 = 750
Por tanto, el número de alumnos que no estudian
ninguno de los tres idiomas es:
800 – 750 = 50
Ver el esquema:
Como vemos en el dibujo hay 160 alumnos que solo estudian alemán.
12
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SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES de la página 317
1. Describe el espacio muestral asociado a lanzar cuatro monedas al aire y anotar las puntuaciones de
las caras superiores.
Llamamos C al suceso «obtener cara» y X a «obtener cruz». El espacio muestral tiene 24 = 16 elementos:
E = {CCCC, CCCX, CCXC, CXCC, XCCC, CCXX, CXCX, CXXC, XXCC, XCXC, XCCX, XXXC,
XXCX, XCXX, CXXX, XXXX}
2. Consideramos el fenómeno aleatorio «extraer una carta de una baraja española de 40 cartas y
anotarla». Sean los sucesos:
A = {Sacar oro}
B = {Sacar rey}
C = {Sacar rey de bastos}
Encuentra los elementos de los siguientes sucesos:
a) A ∩ C
c) A ∪ B
b) A ∩ B ∩ C
d) B ∩ A
Los sucesos son:
a) A ∩ C = {Sacar oros}
c) A ∪ B = {Sacar oros o rey}
b) A ∩ B ∩ C = Ø
d) B ∩ A = {Sacar el rey de oros}
3. Se ha trucado un dado de forma que, al lanzarlo, tenemos P (1) = P (3) = P (5), P (2) = P (4) = P (6) y
la probabilidad de obtener impar es el doble que la de obtener par. Halla las probabilidades de los
sucesos elementales del espacio muestral.
Sea P (par) = x y P (impar) = 2x. Con las relaciones de las probabilidades en el enunciado podemos escribir
la ecuación:
2x + x + 2x + x + 2x + x = 1
⇒
9x = 1
⇒
x =
1
9
Por tanto, las probabilidades pedidas son:
P (1) = P (3) = P (5) =
2 y
1
P (2) = P (4) = P (6) =
9
9
13
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
4. Extraemos una papeleta de una urna donde hay 25 papeletas numeradas del 1 al 25. Consideramos
los sucesos:
A = {Obtener un número primo} y B = {Obtener un número tal que la suma de sus cifras sea par}
Describe los siguientes sucesos y encuentra, en cada caso, todos sus sucesos elementales:
a) A ∩ B
c) A ∩ B
b) A ∩ B
d) A ∩ B
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que aparecen a continuación:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} y B = {2, 4, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 24}
Los sucesos pedidos son:
a) A ∩ B = {Obtener un número primo y que la suma de sus cifras sea impar} = {3, 5, 7, 23}
b) A ∩ B = {Obtener un número compuesto y que la suma de sus cifras sea par} = {4, 6, 8, 15, 20, 21, 22,
24, 25}
c) A ∩ B = {Obtener un número compuesto y que la suma de sus cifras sea impar} = {9, 10, 12, 14, 16, 18,
21, 25}
d) A ∩ B = {Obtener un número primo y que la suma de sus cifras sea par} = {2, 11, 13, 17, 19}
5. Sea el espacio muestral E = {A1, A2, A3, A4, A5} y el suceso S = {A1, A3}. Se sabe que P (A1) = 0,15; P
(A2) = 0,2, P (A5) = 0,3 y P (S) = 0,4. ¿Cuál es el suceso compuesto por dos sucesos elementales más
probable?
Se tiene que 0,4 = P (S) = P (A1) + P (A3) = 0,15 + P (A3), de donde se obtiene que P (A3) = 0,4 – 0,15 =
0,25.
Como P (E) = 1, se cumple: 1 = 0,15 + 0,2 + 0,25 + P (A4) + 0,3; y, por tanto, P (A4) = 1 – 0,9 = 0,1.
El suceso compuesto por dos sucesos elementales más probable es aquel que contenga los dos sucesos
elementales que tengan la probabilidad más alta, es decir {A3, A5}.
14
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
6. Se tiene un dado trucado y al hacer 1000 lanzamientos se obtienen los resultados de la tabla.
RESULTADO
1
FRECUENCIA 100
2
3
4
5
6
150
100
300
200
150
a) ¿Qué probabilidad asignarías a cada resultado?
b) ¿Calcula la probabilidad de obtener un resultado menor que 4?
Las respuestas son:
a) Las probabilidades asignadas serían:
Resultado
1
2
3
4
5
6
Probabilidad
0,10
0,15
0,10
0,30
0,20
0,15
b) La probabilidad de obtener un resultado menor que 4 es: P (menor que 4) = 0,10 + 0,15 + 0,10 = 0,35.
7. Los resultados del lanzamiento de una moneda son los siguientes:
Nº lanzamientos
1
10
100
1000
10 000
100 000
Nº de caras
1
7
67
610
6098
60126
Nº de cruces
0
3
33
390
3902
39874
¿Consideras que la moneda está trucada? ¿Qué probabilidad asignas a cada resultado?
La moneda parece trucada. Las probabilidades asignadas serían: P (cara) = 0,6 y P (cruz) = 0,4.
15
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
8. Hemos lanzado muchas veces un dado tetraédrico (con cuatro caras) y los resultados obtenidos al
observar el suceso «salir la cara 3» se recogen en la tabla siguiente:
Nº lanzamientos
100
500
1 000
5 000
10 000
50 000
100 000
Fr. relativa
25
134
261
1 215
2 441
12 231
24 675
Fr. absoluta
0,25
0,268
0,261
0,243
0,2441
0,2446
0,24675
Analiza, para este experimento aleatorio, las dos leyes de los grandes números.
Respecto a la primera ley de los grandes números, al aumentar el número de lanzamientos, observamos en la
tabla que las frecuencias relativas tiene menores oscilaciones y una mayor aproximación a la frecuencia
relativa esperada que es 1/ 4 = 0,25.
Para observar el cumplimiento de la segunda ley de los grandes números, construimos la tabla siguiente:
Nº lanzamientos
100
500
1 000
5 000
10 000
50 000
100 000
Fr. absoluta esperada
25
125
250
1 250
2 500
12 500
25 000
Fr. absoluta obtenida
25
134
261
1 215
2 441
12 231
24 675
Dif. En valor absoluto
0
9
9
35
49
269
325
Vemos que al aumentar el número de lanzamientos, tiende a aumentar la diferencia en valor absoluto entre
las frecuencias absoluta obtenida y esperada.
Las diferencias entre las frecuencias absolutas obtenida y esperada son: 0, 9, 9, 35, 49, 269 y 325.
9. Sea el espacio muestral E = {A, B, C}, ¿cuál de las siguientes funciones es una probabilidad?
a) P ( A) = 1 , P ( B) = 1 , P (C ) = 1
2
3
4
1
1
5
b) P ( A) = , P ( B) = , P (C ) =
4
8
8
Los resultados son:
a) No es una probabilidad ya que P (A) + P (B) + P (C) = 13 ≠ 1 .
12
b) Es una probabilidad pues P (A) + P (B) + P (C) = 1.
ACTIVIDADES FINALES de la página 318
16
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
10. Considera el espacio muestral E = {A, B, C} y P una función de probabilidad sobre E. Calcula P
(A) en cada uno de los siguientes casos:
a) P ( B) = 1 , P (C ) = 1
6
2
b) P ( A) = 3 · P ( B), P ( B) = 2 · P (C )
Las probabilidades son:
a) P (A) = 1 – P (B) – P (C) =
1
3
b) Llamando P (C) = x, tenemos:
P (A) = 6x; P (B) = 2x y P (A) + P (B) + P (C) = 1; entonces, 9x = 1 y x =
Por tanto, P ( A) =
1
.
9
2
.
3
11. Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral E. Sabemos que P (A) = 0,5; P (B) = 0,3 y
P ( A ∩ B ) = 0,2 . Calcula las siguientes probabilidades.
()
a) P ( A ∪ B )
b) P A
()
c) P B
d) P (A – B)
e) P (B - A)
Las probabilidades pedidas son:
a) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = 0,5 + 0,3 − 0,2 = 0,6
()
b) P A = 1 − P ( A) = 1 − 0,5 = 0,5
()
c) P B = 1 − P (B ) = 1 − 0,3 = 0,7
(
)
(
)
d) P ( A − B ) = P A ∩ B = P ( A) − P ( A ∩ B ) = 0,5 − 0,2 = 0,3
e) P (B − A) = P B ∩ A = P (B ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 − 0,2 = 0,1
17
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
12. Sean A y B dos sucesos incompatibles de un espacio muestral E. Sabemos que P (A) = 0,6 y
P ( A ∪ B ) = 0,9 . Calcula las siguientes probabilidades.
a) P (B )
(
b) P (A – B)
c) P A ∩ B
)
Las probabilidades pedidas son:
a) Al ser A y B incompatibles se tiene que P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) y P ( A ∩ B ) = 0 y, entonces:
P (B ) = P ( A ∪ B ) − P ( A) = 0,9 − 0,6 = 0,3
(
)
b) P ( A − B ) = P A ∩ B = P ( A) − P ( A ∩ B ) = 0,6 − 0 = 0,6
(
)
c) P A ∩ B = P (B ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 − 0 = 0,3
13. ¿En cada uno de los casos siguientes, razona si es posible que haya dos sucesos A y B, en un
espacio muestral E, que cumplan las condiciones indicadas?
(
)
a) P (A) = 0,5; P (B) = 0,2 y P A ∩ B = 0,6 .
b) P (A) = 0,3; P (B) = 0,6 y P ( A ∩ B ) = 0,3 .
(
)
c) P (A) = 0,6; P (B) = 0,8 y P A ∪ B = 0,7 .
a) Se tiene que:
(
)
(
)
P A ∩ B = P A ∪ B = 1 − P ( A ∪ B ) = 0,6
⇒
P ( A ∪ B ) = 1 − 0,6 = 0,4
No es posible que P ( A ∪ B ) = 0,4 y P ( A) = 0,5 . Por tanto, no pueden darse las condiciones del enunciado.
b) En este caso P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = 0,3 + 0,6 − 0,3 = 0,6
Es posible que puedan darse las condiciones del enunciado, siempre que el suceso A esté incluido en el
suceso B.
c) Se cumple:
18
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
(
(
)
)
P A ∪ B = P A ∩ B = 1 − P ( A ∩ B ) = 0,7
⇒
SOLUCIONARIO
P ( A ∩ B ) = 1 − 0,7 = 0,3
Además; P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = 0,6 + 0,8 − 0,3 = 1,1
No es posible que P ( A ∪ B ) sea mayor que 1. Por tanto, no pueden darse las condiciones del enunciado.
14. Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es triple que la de obtener
cruz. Halla la probabilidad de obtener cruz al lanzar la moneda.
La probabilidad es P (cruz ) = 1
4
15. Lanzamos dos dados al aire y observamos los puntos de sus caras superiores. Halla la
probabilidad de obtener al menos un 6 y la de que la suma sea 10.
Las probabilidades son:
P (al menos un seis ) =
11
36
P ( Suma 10) =
1
3
=
36 12
16. Lanzamos cuatro monedas al aire. Calcula la probabilidad de que.
a) Salgan dos caras y dos cruces
b) Salga, como máximo, una cruz
c) Salga alguna cara
d) Salgan, como mínimo, tres caras
El espacio muestral tiene 16 elementos. Las probabilidades son:
a) P (dos caras y dos cruces) = 6 = 3
16 8
c) P (a lg una cara) = 15
16
19
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
d) P (como mínimo tres caras) = 5
16
b) P (como máximo una cruz ) = 5
16
17. En una urna hay 75 bolas entre blancas, rojas y azules.
a) ¿Cuántas hay de cada color si la probabilidad de sacar blanca es 3 y la de sacar roja es 1 ?
5
15
b) ¿Y si la probabilidad de sacar azul fuera 1 y la de sacar roja, el doble?
5
a) Las probabilidades son: P (Blanca ) = 3 , P (Roja ) = 1 y P ( Azul ) = 1 − 3 − 1 = 1 .
5
5
15
15
3
El número de bolas de cada color será:
Blancas =
3
· 75 = 45
5
Rojas =
1
· 75 = 5
15
Azules =
1
· 75 = 25
3
b) En este caso las probabilidades son: P (Blanca ) = 1 − 1 − 2 = 2 , P (Roja ) = 2 y P ( Azul ) = 1 .
5
5
2
· 75 = 30
5
Azules =
5
5
5
El número de bolas de cada color será:
Blancas =
2
· 75 = 30
5
Rojas =
1
· 75 = 15
5
18. De una baraja de 52 cartas se extrae una al azar. Halla la probabilidad de que:
a) Sea de copas
b) Sea una figura
c) Sea de oros o una sota
b) P ( figura ) = 12 = 3
52 13
c) P (oros o sota ) = 16 = 4
52 13
Las probabilidades son:
a) P (copas) = 1
4
19. De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen, sucesivamente, 2 bolas. Halla la
probabilidad de que sean:
20
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
a) Ambas negras
b) Una roja y una negra
SOLUCIONARIO
c) Al menos una roja
Las probabilidades son:
a) P (2 negras) = 5 · 4 = 10
14 13 91
c) P (al menos 1 roja ) = 1 − 5 · 4 = 81
14 13 91
b) P (1 roja y 1 negra) = 9 · 5 · 2 = 45
14 13
91
20. En un bote hay 6 caramelos de fresa, 7 de menta y 5 de limón. Se extraen tres caramelos, ¿cuál es
la probabilidad de que los tres sean de sabores distintos? Resuelve el problema devolviendo al bote
cada caramelo después de la extracción y sin devolverlo.
Las probabilidades son:
Extracción con devolución: P ( sabores dist int os ) = 6 · 7 · 5 · 6 = 35
162
18 18 18
Extracción sin devolución: P ( sabores dist int os ) = 6 · 7 · 5 · 6 = 35
18 17 16
136
21. Un monedero de piel contiene 6 monedas de aluminio y 4 de cobre. Otro monedero de tela contiene
8 monedas de cobre y 5 de aluminio. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Sacamos una moneda de cada monedero. Halla la probabilidad de que ambas sean de aluminio y la
probabilidad de que sean de materiales distintos.
b) Elegimos un monedero y sacamos dos monedas, una detrás de otra, sin reintegrar la primera al
monedero. Halla la probabilidad de sacar monedas de cobre.
Las probabilidades son:
a) P (2 de alu min io) = 6 · 5 = 3
10 13 13
P (materiales dist int os ) =
6 8
4 5 34
·
+
·
=
10 13 10 13 65
b) P (2 monedas de cobre) = 1 · 4 · 3 + 1 · 8 · 7 = 16
2 10 9 2 13 12 65
ACTIVIDADES FINALES de la página 319
21
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
22. Un estudio concluye que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el
número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:
a) Con una persona con gafas.
b) Con una mujer con gafas.
Las probabilidades pedidas son:
a) P ( persona con gafas ) = 0,8 · 0,6 + 0,2 · 0,25 = 0,48 + 0,05 = 0,53
b) P (mujer con gafas ) = 0,8 · 0,6 = 0,48
23. En un centro de Bachillerato hay 1000 alumnos que se distribuyen según la tabla siguiente:
ALUMNAS ALUMNOS
BACHILLERATO DE
CIENCIAS
300
BACHILLERATO DE
LETRAS
TOTAL
600
250
TOTAL
a) Completa la tabla en tu cuaderno.
b) Si se elige un estudiante al azar, halla la probabilidad de que sea de ciencias.
La tabla completa aparece a continuación:
ALUMNAS ALUMNOS
TOTAL
CIENCIAS
300
300
600
LETRAS
250
150
400
TOTAL
550
450
1000
b) La probabilidad pedida es: P (ciencias) = 600 = 3 = 0,6
1000 5
24. Se lanza un dado numerado del 1 al 6, encuentra la probabilidad de que salga 3 si se sabe que
salió un número impar.
22
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
1
 = 6 = 1.
La probabilidad es P  3

salió
impar
 3

3
6
25. Lanzamos un dado rojo y otro azul. Si la suma de los puntos obtenidos es 7, halla la probabilidad
de que en algún dado salga un 4.
Sea el suceso A = {Obtener suma 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Su probabilidad es
P ( A) =
1
6
= .
36 6
Sea el suceso B = {Obtener un 4 en alguno de los dados} = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4),
(2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)}.
Sea el suceso A ∩ B = {Obtener un 4 y suma 7} = {(3, 4), (4, 3)}. Su probabilidad es P ( A ∩ B ) = 2 = 1
36
18
1
(
)
P
A
∩
B
6
1
La probabilidad pedida es: P (B / A) =
= 18 =
= = 0,3333.
1
P ( A)
18 3
6
26. Un 35% de los socios de una asociación senderista les gusta recorrer un itinerario A de un parque
natural; a un 30% les gusta recorrer un itinerario alternativo B; y a un 15% les gustan ambos
itinerarios. Calcula la probabilidad de que al elegir un socio al azar:
a) Le guste el itinerario B, sabiendo que le gusta el A.
b) Le guste el itinerario A, sabiendo que no le gusta el B.
Las probabilidades pedidas son:
a) P (B / A) = P ( A ∩ B ) = 0,15 = 3 = 0,4286.
P ( A)
0,35
7
b) P (A / B ) = P (A ∩ B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) = 0,35 − 0,15 = 2 = 0,2857.
()
P B
1 − P (B )
1 − 0,30
7
27. A un congreso asiste el mismo número de hombres que de mujeres. El 60% de los hombres tiene
40 años o más y el 30% de las mujeres tiene menos de 40 años.
23
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
a) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
b) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos
de 40 años?
c) Si se elige un asistente al azar y se observa que tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que
dicha persona sea mujer?
La tabla completa aparece a continuación:
Hombres
Mujeres
Total
≥ 40 años
60
70
130
< 40 años
40
30
70
Total
100
100
200
Las probabilidades son:
a) P (mujer ) = 1 = 0,5
2
 = 70 = 7 = 0,54
c) P  mujer
≥ 40 años  130 13

b) P (< 40 años ) = 7 = 0,35
20
28. En una ciudad en la que hay doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6%
de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos. Se elige al azar un individuo. Calcula la
probabilidad de que:
a) Sea hombre
b) Esté enfermo
c) Sea hombre, sabiendo que está enfermo.
La tabla completa aparece a continuación:
Hombres
Mujeres
Total
Enfermo
12
11
23
No enfermo
188
89
277
Total
200
100
300
24
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
Las probabilidades son:
a) P (hom bre) = 200 = 0,67
300
b) P (enfermo) = 23 = 0,077
300
( )
 = 12 = 0,52
c) P  hom bre
enfermo  23

()
29. Sean A y B dos sucesos tales que P ( A ∪ B) = 3 , P A = P B = 1 . ¿Son A y B incompatibles?
3
4
¿E independientes?
Las probabilidades de los sucesos A y B son: P ( A) = P ( B) = 2 .
3
Por la expresión de la probabilidad de la unión, tenemos:
P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)
⇒ P ( A ∩ B) =
2 2 3
7
+ − =
≠0
3 3 4 12
Por tanto, los sucesos A y B no son incompatibles.
Al ser P ( A ∩ B) = 7 y P ( A ) · P ( B) = 2 · 2 = 4 , los sucesos A y B no son independientes.
12
3 3 9
30. En un grupo de 60 personas 24 leen la revista A; 22 la B; 20 la C; 6 leen A y B; 7 leen A y C; 8 leen
B y C, y finalmente, 5 leen las tres publicaciones. Escogida una persona al azar, halla la probabilidad
de que:
a) No lea ninguna revista.
b) Lea solo la revista A
c) Lea al menos una de las revistas.
En el dibujo pueden verse el número de lectores en cada
uno de los conjuntos que aparecen en el diagrama.
25
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
Las probabilidades pedidas son:
a) P (No lean ninguna ) = 1 − P (Lean a lg una ) =
=1−
50 1
= = 0,1667
60 6
b) P (Lea A) = 16 = 4 = 0,2667
60
15
c) P (Lea al menos una ) = P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P (B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) −
− P (B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) =
13 10
8
9
10
5
50
16
+
+
−
−
= 0,8333
−
+
=
60 60 60 60 60 60 60 60
31. Dos tiradores de arco, A y B, tiene las siguientes probabilidades de hacer blanco: P (A) = 0,78 y
P (B) = 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que haga blanco alguno de los dos?
La probabilidad buscada es:
P (Haga blanco alguno de los dos) = P (Hagan blanco los dos) + P (Haga blanco A) + P (Haga blanco B) =
= 0,78 · 0,85 + 0,78 · 0,15 + 0,22 · 0,85 = 0,663 + 0,117 + 0,187 = 0,967.
También puede calcularse la probabilidad propuesta haciendo uso de la probabilidad del suceso contrario.
Obtenemos:
P (Haga blanco alguno de los dos) = 1 - P (Fallen los dos) = 1 – 0,22 · 0,15 = 1 – 0,033 = 0,967.
26
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
ACTIVIDADES FINALES de la página 320
32. Se lanza tres veces una moneda y se consideran los sucesos: A = «los dos primeros resultados son
caras»; B = «el primer resultado es cara y el último cruz» y C = «el último resultado es cruz». ¿Son
independientes las parejas de sucesos A y B, A y C o B y C?
Si llamamos C al suceso elemental «salir cara» y X a «salir cruz», tenemos que los sucesos A, B, C y sus
intersecciones son:
A = {CCC, CCX}
B = {CCX, CXX}
C = {CCX, CXX, XCX, XXX}
A ∩ B = {CCX }
A ∩ C = {CCX }
B ∩ C = {CCX , CXX }
Las probabilidades de los sucesos anteriores son:
P ( A) =
2 1
=
8 4
P ( A ∩ B) =
1
8
P ( B) =
2 1
=
8 4
P ( A ∩ C) =
1
8
P (C ) =
4 1
=
8 2
P ( B ∩C ) =
2 1
=
8 4
Como P ( A ∩ B) = 1 ≠ 1 = 1 · 1 = P ( A) · P ( B) , los sucesos A y B no son independientes.
8 16 4 4
Como P ( A ∩ C ) =
1 1 1
= · = P ( A) · P (C ) , los sucesos A y C son independientes.
8 4 2
Como P ( B ∩ C ) = 1 ≠ 1 = 1 · 1 = P ( B ) · P (C ) , los sucesos B y C no son independientes
4 8 4 2
33. Tenemos una baraja española de 40 cartas:
a) Calcula la probabilidad de que, al extraer tres cartas, sucesivamente, sean todas espadas.
b) Calcula la probabilidad de que al extraer tres cartas, con reemplazamiento, sean todas espadas.
Llamamos Ei al suceso «salir espadas en la extracción número i».
a) Se pide calcular P ( E1 ∩ E 2 ∩ E3 ) . Utilizando la probabilidad compuesta o del producto:
P ( E1 ∩ E 2 ∩ E3 ) = P ( E1 ) · P ( E 2 / E1 ) · P ( E3 / E1 ∩ E 2 ) =
10 9 8
·
·
= 0,0121
40 39 38
27
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
b) Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes, y la probabilidad buscada
es:
P ( E1 ∩ E 2 ∩ E3 ) = P ( E1 ) · P ( E 2 ) · P ( E3 ) =
10 10 10
= 0,0156
·
·
40 40 40
34. Se realiza un test médico en un colectivo de personas y se obtienen los resultados que aparecen en
la tabla adjunta. Calcula:
POSITIVO
NEGATIVO
MUJERES
7
73
HOMBRES
23
47
a) La probabilidad de que el test resulte positivo.
b) La probabilidad de que resulte positivo al hacérselo a un hombre.
c) Son independientes los sucesos «salir negativo» y «ser mujer»
Completamos la tabla con la fila y columna de totales:
Positivo
Negativo
Totales
(Pos)
(Neg)
Mujeres (Muj)
7
73
80
Hombres (Hom)
23
47
70
Totales
30
120
150
a) La probabilidad pedida es P ( Pos ) = 30 = 1 = 0,2
150 5
b) La probabilidad de que resulte positivo al hacérselo a un hombre es:
P ( Pos / Hom) =
P ( Pos ∩ Hom) 23 / 150 23
=
=
= 0,3286
P ( Hom)
70 / 150 70
c) Como P ( Neg ∩ Muj ) = 73 = 0,4867 ≠ 0,4267 = 120 · 80 = P ( Neg ) · P ( Muj ) , los sucesos «salir
150
150 150
negativo» y «ser mujer» no son independientes.
28
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
35. Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es
del 0,6, la probabilidad de que pase la segunda es del 0,8 y la de que pase ambas es del 0,5. Determina:
a) La probabilidad de que pase, al menos, una prueba.
b) La probabilidad de que no pase ninguna prueba.
c) ¿Son las pruebas independientes?
d) La probabilidad de que pase la segunda prueba en el caso de no haber superado la primera.
Sean A y B, respectivamente, la primera y la segunda prueba.
a) P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) = 0,6 + 0,8 − 0,5 = 0,9 .
b) P (no pase ninguna) = 1 - P (pase al menos una) = 1 – 0,9 = 0,1.
c) No son independientes ya que P (A) · P (B) ≠ P (A ∩ B).
(
)
P A∩B
P ( B) − P ( A ∩ B) 0,3
d) P  B  =
=
=
= 0,75
 A
1 − P ( A)
0,4
P A
()
36. La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, tres turnos, de los que 2 son diurnos y
1 nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es del 2% y el
porcentaje de piezas defectuosas producidas por el turno nocturno es del 8%:
a) Si se toma una pieza al azar de un turno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
b) Si se toma una pieza al azar de un turno al azar y resulta ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de
que la pieza haya sido fabricada en el turno nocturno? ¿Y cuál es la probabilidad de que haya sido
fabricada en el turno diurno?
La tabla completa aparece a continuación:
Diurno
Nocturno
Total
Defectuosa
4
8
12
No defectuosa
196
92
288
Total
200
100
300
29
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
SOLUCIONARIO
Las probabilidades son:
a) P (defectuosa) = 12 = 0,04
300
b) P (nocturno
defectuoso
)=
2
8
= = 0,6667
12 3
P (diurno
defectuoso
)=
4
1
= = 0,3333
12 3
37. Un comercio de telefonía móvil dispone de tres modelos de teléfonos móviles. Tiene 100 unidades
del modelo más sencillo, 200 iPod y 500 smartphone. La probabilidad de avería en cada uno de los dos
primeros es 0,15 y 0,10 respectivamente, pero desconocemos la del tercero. Sabemos también que la
probabilidad de que un móvil de este comercio se averíe es 0,06. Halla la probabilidad de que se averíe
el smartphone.
Llamamos x a la probabilidad de que se averíe un smartphone y obtenemos:
100
200
500
· x = 0,06
· 0,15 +
· 0,10 +
800
800
800
Operando hallamos x = 0,026
38. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidades tales que P (A) = 3 ; P(B ) = 1 y
5 Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
P( A ∪ B ) =
8
4
2
a) ¿Los sucesos A y B son dependientes o independientes? ¿Compatibles o incompatibles?
(
(
)
)
b) Calcula: P A ∪ B ; P A ∩ B y P( A / B ) .
Las soluciones a los apartados son:
a) Como P ( A ∩ B ) = 1 + 1 − 5 = 1 , los sucesos son compatibles.
4 2 8 8
Además, como P ( A ∩ B ) = P ( A) · P ( B ) , los sucesos son independientes.
b) Las probabilidades son:
(
)
(
)
P A∪B =P A∩B =
7
.
8
30
Matemáticas Aplicadas a las CCSS I - UD 13: PROBABILIDAD
(
)
P A ∩ B = P ( B) − P ( A ∩ B ) =
SOLUCIONARIO
1 1 3
− = .
2 8 8
( B ) = P (PA(∩B)B ) = 14 .
P A
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 321
Problemas en la historia de la probabilidad
Te sugerimos algunas líneas de trabajo que, en este caso, tienen que ver con la estadística y la
probabilidad. Estudia, analiza e investiga alguna de las propuestas que se describen brevemente.
1. Paradojas. Una paradoja es un enunciado que tiene apariencia verdadera, pero que, analizándolo en
detalle, lleva a una situación que contradice el sentido común. De otra manera, una paradoja es lo
opuesto a lo que uno considera cierto.
La estadística y la teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extremadamente rico en
paradojas. Las paradojas reciben el nombre de su creador: Bertarnd, Blyth, Yule-Simpson, Monty
Hall, San Pertersburgo, Smullyan, etc.
2. Problemas en la historia. La teoría de las probabilidades son una de las partes de las matemáticas
más reciente en términos históricos.
Una parte importante de los resultados que se aplican en la actualidad apenas tienen un siglo. Son
muchos los grandes matemáticos que han propuesto y resuelto problemas relacionados con la
probabilidad.
Algunos de ellos son: Galileo Galilei (1564-1642), Blas Pascal (1623-1662), Abraham de Moivre
((1667-1754), Leonhard Euler (1707-1783), Geoge L. L. Buffón (1707-1788), Émil Borel (1871-1956),
Albert Einstein (1879-1955)…
3. Problemas con nombre propio. Son muchos los problemas de probabilidad que tienen nombre
propio. Así, podemos encontrar los problemas: del caballero De Méré, de los cumpleaños, de los
sombreros, de la ruina del jugador, de la moneda de Buffón…
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