9) Una esfera sólida de radio R, posee una densidad volumétrica de carga variable p(r) = A/r donde A es una constante
a) Determine el campo eléctrico tanto para puntos interiores como exteriores de la esfera.
Q
.
Nota: Al tener una densidad de carga variable o no uniforme
el campo eléctrico es el mismo en cada punto de la esfera,
ya que el campo eléctrico generado si es uniforme en cada
punto de la superficie gaussiana (dentro de la esfera)
R2
.
.
R1
PASO 1 Calcular la carga neta de la esfera ( QESFERA )
E2
ds
E1
ds
𝑅1
QESFERA= ∫ dq = ∫0 p4π𝑟12 dr
PASO 2 Calcular E dentro de la esfera
𝑹𝟏
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
∮ 𝐸 ∗ 𝑑𝑠 =
∈∘
𝑆
∮ 𝐸𝑑𝑠 =
𝑆
𝐸 ∮ 𝑑𝑠 =
𝑆
𝑬𝟏 =
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
La integral de superficie
sería el área de la
esfera con radio R1
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
∈∘
∮𝑆 𝑑𝑠 = 𝟒πR21
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
∈∘
𝑬 ∗ 𝟒πR21 =
∈∘𝟒πR1
QESFERA = 𝟒π ∫𝟎 p𝑟12 𝑑𝑟
𝑹𝟏 𝐴 2
𝑟 𝑑𝑟
𝑟
QESFERA = 𝟒π ∫𝟎
𝑹𝟏
QESFERA = 𝟒πA ∫𝟎 𝑟 𝑑𝑟
QESFERA 𝟒πA *
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
2 =
QESFERA =
∈∘
𝟒πA𝑅1 2
2∈∘𝟒πR2
1
dV =4πR12dR
∫ dq = ∫ pdV
=
𝐴
2∈∘
𝒓𝟐
𝑅1
𝟐
0
4πA𝑅1 2
2
PASO 3 Calcular E fuera de la esfera la esfera ( E2 )
∮𝑆 𝐸 ∗ 𝑑𝑠 =
∮ 𝐸𝑑𝑠 =
𝑆
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
∈∘
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
∈∘
𝑬𝟐 ∗ 𝟒πR22 =
𝑬𝟐 =
( para este caso la QNETA sigue siendo la de la esfera)
La integral de superficie sería el
área de la superficie gaussiana de
radio R2
𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
∮𝑆 𝑑𝑠 = 𝟒πR22
∈∘
A𝑅1 2
2𝑅2 2 ∈∘
b) Si la carga total de la esfera es Q, determine el valor de la constante A
E(x)
Z
𝟐𝐐
A = 𝟒π𝑅2
X
E
c) Grafique el campo E en función de R
Y
R
X
R(x)
X
X
10) Mostrar que la intensidad del campo semiesférico eléctrico Ē en el centro de un casquete cargado uniformemente, con una densidad superficial
σ=
𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭
𝐝𝐞 acuerdo a la figura 9 es igual a:
E=
σ
4∈0
Ῐ
El problema del campo eléctrico en el centro de un casquete semiesférico de carga
se puede abordar de dos formas distintas. Bien, a través de una sucesión de anillos
crecientes que en su conjunto conforman la corteza semiesférica O también, a
través de coordenadas esféricas aprovechando la simetría.
En ambos casos, si se procede convenientemente el resultado debe ser el mismo.
σ
4∈0
Ῐ
Donde σ es la densidad superficial de carga y ε0 la permitividad eléctrica en el vacío.
Se ha tomado el eje X paralelo al eje de simetría del sistema. Este valor coincide con
la mitad del campo eléctrico creado por un plano infinito con la misma densidad de
carga. Donde σ es la densidad superficial de carga y ε0 la permitividad eléctrica en el
vacío. Se ha tomado el eje X paralelo al eje de simetría del sistema. El ángulo en el
centro de la esfera sería de 0o.
π/2
E = 2k π σ î ∫0
= 2k π σ î
senθ cosθ dθ
[𝑠𝑒𝑛2 θ ] π/2
0
2
σ
=kπσî=
4∈0
Ῐ
𝑋 = 𝑅𝑐𝑜𝑠θ
{ 𝑌 = 𝑅𝑠𝑒𝑛θ
𝑋2 + 𝑌2 = 𝑅
