GEOMETRÍA TRIDIMENSIONAL TAREA 4

Universidad Central del Ecuador
Facultad de Filosofía Letras y Ciencias de la Educación
Carrera de Pedagogía de la Ciencias Experimentales Matemática y Física
Geometría Analítica Tridimensional
TAREA 4
INDICACIONES
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Las actividades de aprendizaje deberán ser realizados a mano con esferográfico
color negro, formato A4 imprimir el presente documento y realizar los ejercicios
dando el espacio que usted considere necesario entre cada enunciado.
El deber debe contener encabezado como, nombre de la institución, nombre del
estudiante, semestre, Docente, y Tarea N.
Caligrafía legible, su respuesta encerrada en un rectángulo, caso contrario el
ejercicio será anulado.
El archivo a subir debe de ser en formato PDF, nombrado con el primer apellido
y el primer nombre seguido del número de deber Ejemplo: Vargas Marlon 1
Si no cumplen con los parámetros establecidos anteriormente, se procederá a bajar
-2 puntos.
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS PROPUESTOS.
𝑦2
𝑧2
1. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por rotación de la elipse {𝑏2 + 𝑐 2 = 1
𝑥=0
en torno al eje OY.
Consideremos un punto arbitrario del espacio M(x,y,z) y que C es el pie de la perpendicular
bajada del punto M al eje OY al punto M lo trasladamos al plano OYZ mediante una rotación de
esta perpendicular alrededor del eje OY y a este punto designamos por N(o,y,z) ahora haremos
el dibujo correspondiente a la superficie, mediante el cual daremos la ecuación de dicha
superficie.
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2. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la hipérbola
𝑥2
𝑎2
𝑧2
− 𝑐 2 = 1, 𝑦 = 0, alrededor del eje OZ.
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3. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑧 = 𝑒 𝑦 , 𝑥 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
4. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑦 = 3𝑥, 𝑧 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
5. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑦 = 𝐼𝑛 𝑧, 𝑥 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑧.
6. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑧 2 = 2𝑦, 𝑥 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
7. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑦 2 . 𝑧 2 = 4, 𝑥 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑦.
8. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 9𝑥 2 + 4𝑦 2 = 36, 𝑧 = 0.
9. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑥 2 + 2𝑦 = 6, 𝑧 = 0.
10. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑦 2 = 2𝑧, 𝑥 = 0.
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11. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la hipérbola
𝑦 2 − 4𝑥 2 = 4 , 𝑧 = 0 , entorno al eje Y.
12. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse
𝑥2
𝑦2
{𝑎2 + 𝑏2 = 1, alrededor del eje OX.
𝑧=0
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13. Trazar la superficie cuya ecuación es 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑧 2 + 2𝑧 = 1.
14. Demostrar que el plano 2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 − 49 = 0, es tangente a la esfera
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 49. Calcular las coordenadas del punto de contacto.
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15. Hallar
la
ecuación
de
la
esfera
que
pasa
por
las
circunferencias
pasa
por
las
circunferencias
𝑥 2 + 𝑧 2 = 25 , 𝑦 = 2 ; 𝑥 2 + 𝑧 2 = 16 , 𝑦 = 3.
16. Hallar
la
ecuación
de
la
esfera
que
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 , 𝑧 = 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 , 𝑧 = 3.
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17. Una vez comprobado que el punto 𝑀(1,3, −1) está situado en el paraboloide
hiperbólico 4𝑥 2 − 𝑧 2 = 𝑦, hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasa por el
punto M.
18. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse
𝑦2
{
𝑏2
𝑧2
+ 𝑐 2 = 1, alrededor del eje OY.
𝑥=0
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19. Hallar la ecuación de la superficie engendrada por la rotación de la elipse
𝑥2
{
𝑎2
𝑍2
+ 𝐶2 = 1
, alrededor del eje OZ.
𝑦=0
20. Hallar la ecuación de la superficie de la revolución generada por la rotación de la
curva dada entorno al eje indicado 𝐶: 𝑦 2 + 2𝑧 , 𝑥 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑧.
21. Obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana
alrededor del eje indicado.
𝑥 2 = 4𝑦 en el plano xy, alrededor del eje y
𝑥 2 + 𝑧 2 = 4𝑦
22. Obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana
alrededor del eje indicado.
𝑥 2 + 4𝑧 2 = 16 en el plano xz, alrededor del eje z
𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 − 4𝑧 2
23. Obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana
alrededor del eje indicado.
𝑥 2 + 4𝑧 2 = 16 en el plano xz, alrededor del eje x
𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 − 4𝑥 2
24. Obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana
alrededor del eje indicado.
𝑥 2 = 4𝑦 en el plano xy, alrededor del eje x
𝑦2 + 𝑧2 =
𝑥4
16
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25. Obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana
alrededor del eje indicado.
𝑦 = 3𝑧 en el plano yz, alrededor del eje y
𝑥2 + 𝑧2 =
𝑦2
9
26. Obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana
alrededor del eje indicado.
9𝑦 2 − 4𝑧 2 = 144 en el plano yz, alrededor del eje y
9𝑦 2 − 144
4
27. Obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie de revolución dada. Dibuje la
𝑥2 + 𝑧2 =
superficie
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16
28. Obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie de revolución dada. Dibuje la
superficie
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 4
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29. Obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie de revolución dada. Dibuje la
superficie
𝑥2 + 𝑧2 = 𝑦
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30. Obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie de revolución dada. Dibuje la
superficie
𝑥 2 + 𝑧 2 = |𝑦|
31. Convertir a forma polar 2𝑥 − 3𝑦 = 1
2(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) − 3(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃) = 1
𝑟=
1
(2𝑐𝑜𝑠𝜃 − 3𝑠𝑒𝑛𝜃)
32. Convertir a forma polar 4𝑥𝑦 = 9
4(𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃) = 9
𝑟2 =
𝑟=
9
4𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
3
2 √𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
6
33. Convertir a forma rectangular 𝑟 = 2−cos 𝜃
√𝑥 2 + 𝑦 2 =
6
2−
𝑥
+ 𝑦2
√𝑥 2
2√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 = 6
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(𝑥 + 6)2
𝑥 +𝑦 =
4
2
2
34. Convertir a forma polar (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 1
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 = 1
𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥
𝑟 2 = 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃
35. Discutir y graficar la ecuación 𝑟 = 3 cos 2𝜃
36. Discutir y graficar la ecuación 𝑟 = 4 sin 2𝜃
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37. Discutir y graficar la ecuación 𝑟 = 2(1 + sin 𝜃)
9
38. Discutir y graficar la curva de la ecuación 𝑟 = 4−5 cos 𝜃
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39. Expresar la ecuación en 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑧 2 − 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 2 = 0 en coordenadas
cilíndricas.
𝜌2 + 2𝑧 2 − 2𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 − 3𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑧 + 2 = 0
40. Expresar la ecuación 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 6𝑧 = 0 en coordenadas esféricas.
2(𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + 3(𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑠𝑒𝑛𝜃)2 − 6𝑟𝑐𝑜𝑠∅ = 0
2𝑟 2 𝑠𝑒𝑛∅2 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 3𝑟 2 𝑠𝑒𝑛∅2 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 − 6𝑟𝑐𝑜𝑠∅ = 0
41. Hallar las coordenadas polar, cilíndrica y esférica de puntos cuyas coordenadas
rectangulares son: 𝑃(1, −2,2).
Polar: P(2.24,-63.43°)
Cilíndrica: P (2.24, -63.43°,2)
Esféricas: P (8.77, 24,26°,56,31°)
42. Expresar
la
ecuación
𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑧 2 − 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 3 = 0
cilíndricas.
𝜌2 + 3𝑧 2 − 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑧 + 3 = 0
en
coordenada
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43. Expresar la ecuación 𝑝 + 6𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛∅𝑠𝑒𝑛𝜃 − 8𝑐𝑜𝑠∅ = 0 , en coordenadas
rectangulares
√𝑥 2 + 𝑦 2 +
6𝑥
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
+
4𝑦
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
−
8𝑧
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
=0
44. : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 25
𝑟 2 = 25 + 𝑧 2
𝑟 = √25 + 𝑧 2
45. Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones
en coordenadas rectangulares se indican:
46. Cono: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2
x2 + y2 = z2 p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф
p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0 tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4 La ecuación Ф =
π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su mitad inferior.
47. Esfera:−4𝑧 = 0
Como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en coordenadas
esféricas. P2 – 4 p cos Ф = 0 → p (p −4 cos Ф) = 0 Descartando por el momento la posibilidad de
que p = 0, obtenemos la ecuación en esféricas. P −4 cos Ф = 0 o p = 4cos Ф
48. Escribir la siguiente ecuación en coordenadas polares 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 4𝑦 − 18 = 0
𝑟 2 + 3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 − 18 = 0
𝑟 2 + 𝑟(3𝑐𝑜𝑠𝜃 − 4𝑠𝑒𝑛𝜃) − 18 = 0
49. Convertir la siguiente ecuación en coordenadas cilíndricas 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 = 1
𝜌2 − 𝑧 2 = 1
𝜌 = √𝑧 2 + 1
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50. Convertir la siguiente ecuación en coordenadas esféricas 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 64
𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 64
𝑟 2 = 64
𝑟=8
51. Transformar los siguientes puntos de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
52. (−1,0,0)
Cilíndricas (1,0°,0)
53. (√3, 1,4)
Cilíndricas (2,30°,4)
54. Transformar los siguientes puntos de coordenadas cartesianas a cilíndricas.
55. (1,1,1)
Cilíndricas (√2, 45°,1)
56. (−√2, √2, 0)
Cilíndricas (2, −45°,0)
57. El punto 𝑃(4,3,5) esta expresado en coordenadas cartesianas. Hallar sus coordenadas
esféricas.
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58. Expresa en coordenadas cartesianas los puntos del espacio que se especifican:
59. El punto de coordenadas cilíndricas 𝑟 = 6 , 𝛼 =
𝜋
4
,𝑧 = 3
Cartesianas (4.24 , 4.24 , 3)
60. El punto de coordenadas esféricas 𝜌 = 2 , 𝛼 =
𝜋
2
,𝛽 =
𝜋
4
Cartesianas (√2 , √2 , 3)
61. Halla la ecuación implícita en coordenadas esféricas de la cuya ecuación es 𝑥 2 + 𝑦 2 +
𝑧 2 − 4𝑥 = 0
𝑟 2 − 4𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
𝑟(𝑟 − 4𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃) = 0
𝑟 = 0 , 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃
62. Grafique los puntos que cumplan con los siguiente: 𝑟 = 2 sin 3𝜃.
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63. Dado un punto 𝑝(𝑟, 𝜃, 𝑧) en coordenadas cilíndricas ¿qué coordenadas esféricas tiene?
64. Encuentre todos los puntos del primer cuadrante donde 𝑟 = 2 sin 3𝜃 𝑦 𝑟 = 1 se
intersecan. Grafique la función.
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65. ¿Para qué valores de θ se logra la siguiente figura?
66. Obtenga la relación polar y bosqueje el grafico de una espiral de
67. De Arquímedes
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68. Logarítmica
69. Dado un punto 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝜑) en coordenadas esféricas ¿que significado tiene sumar una
constante a cada coordenada.
Una suma tanto en θ como en ϕ gira al punto manteniendo una misma latitud o longitud
respectivamente, mientras que una suma en r cambia la distancia del punto hasta el origen del
sistema.
70. Dado un punto 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝑧) en coordenadas cilíndricas ¿que significado geométrico
tiene sumar una constante a cada coordenada?
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Para r y θ es análogo a las coordenadas polares. Una suma en z cambia la altura del punto,
desplazándolo hacia arriba o hacia abajo.