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Mecanica Analitica

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MECANICA ANALITICA
Trabajo Práctico N°2
Cálculo de Variaciones - Ecuación de Euler
Problema 1
Dada la integral
a
2
dy
J =  [ ( ) + y 2 ] dx
dx
o
con a  0
a) Hallar la función y = y(x) para la cual la integral J presenta un valor mínimo, siendo
y(o) = o, y(a) = senh a.
b) Evaluar también J mínimo.
Problema 2
Demostrar que la línea más corta que une dos puntos cualesquiera, P1 y P2 , ubicados
sobre un cilindro, es una hélice.
Nota :Utilizar coordenadas cilíndricas. Tener en cuenta que la ecuación de una hélice es
z = k1 r Φ + k2
con k1 y k2 constantes.
Problema 3
Entre todas las curvas de extremos dados P1, y P2, determinar aquella que engendra la
superficie de revolución de menor área, al girar alrededor del eje y.
Demostrar que se trata de la ecuación de la catenaria
x  a cosh
yb
a
Nota: Representa la forma que adoptaría un cable sujeto en sus dos extremos a dos puntos
fijos, actuando solamente su propio peso.
y
(x2 , y2)
(x1,y1)
x
z
Problema 4
Encontrar las extremales de las siguientes funcionales
2
a)
J=

o
2
dy
[ ( )  y 2 ] dx
dx

con y(0) = 1 y(2π) = 1
2
dy
2
)  y ] dx
b) J =  [ 4 y cos( x)  (
dx
o
1
con y(0) = 0 y(π)= 0
2
dy
)  2 x y ] dx
c) J =  [ (
dx
1
con y(-1)= -1 y(1)= 1
Problema 5
“Geodésica es la línea que representa la trayectoria más corta entre dos puntos
cualesquiera, cuando dicha trayectoria ha de pertenecer a una superficie determinada.
Calcular la curva máxima y mínima entre dos puntos situados en la superficie de una
esfera.
Nota: Utilizar coordenadas esféricas para representar el elemento de longitud del camino recorrido.
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