M Matemáticas
BACHILLERATO GENERAL
CÁLCULO
diferencial
Serie integral
por competencias
ORTIZ ORTIZ ORTIZ
Primera Edicion ebook, 2014
CÁLCULO
DIFERENCIAL
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
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Cálculo Diferencial
Serie integral por competencias
ÈÈÈsÈÈ
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© 2014, Francisco José Ortiz Campos, Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
ISBN ebook: 978-607-438-960-9
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
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Impreso en México / Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
(0155) 53 54 91 00
II
Contenido
Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Competencias disciplinares extendidas del campo
de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Conoce tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
BLOQUE 1
Argumentación del estudio
del cálculo mediante el
análisis de su evolución,
sus modelos matemáticos y
su relación con hechos reales
1.1
Evolución del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Modelos matemáticos: un acercamiento
a máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Cuerpos y figuras geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y
su aplicación en funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
El concepto de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Uso de las TIC en el modelado gráfico y algebraico de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Los límites y su interpretación en una gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Noción intuitiva de límites y límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Definición de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Proposiciones para el cálculo de límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Teorema de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
Formas indeterminadas del tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
Límites infinitos y límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`
Formas indeterminadas del tipo
......................................................
`
Teorema de continuidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
BLOQUE 2
Resolución de problemas de
límites en situaciones de
carácter económico,
administrativo, natural
y social
2.1
2.2
40
43
47
49
BLOQUE 3
Cálculo, interpretación y
análisis de razones de
cambio en fenómenos
naturales, sociales,
económicos y
administrativos
3.1
3.2
La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Interpretación geométrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
La variación de un fenómeno a través del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Incremento de la variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Incremento de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Razón de cambio promedio e instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
III
3.3
3.4
La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo . . . . . . . . . .
74
Definición de velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
La derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Diferenciabilidad en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Derivación de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Reglas del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Regla de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5
Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . 111
El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Derivadas de funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6
Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7
Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Velocidad y aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
BLOQUE 4
Cálculo e interpretación de
máximos y mínimos aplicados
a problemas de optimización
4.1
Producciones, máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada . . . 143
4.2
Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3
Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. . . . . . . . . . 155
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4
Concavidad y puntos de inflexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5
Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Aplicaciones para trazar la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Aplicaciones en las ciencias naturales, económica-administrativas y sociales. . . . . . . . . . . . 170
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Páginas de Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
IV
Presentación
CÁLCULO DIFERENCIAL
Cálculo Diferencial responde a la actualización de los programas de estudio del Bachillerato General, bajo el enfoque educativo
basado en el desarrollo de competencias. Se pretende que el alumno se percate de la importancia de las matemáticas en su
desarrollo, no sólo profesional sino también en su vida cotidiana, ya que a través de esta asignatura desarrollará habilidades
para resolver problemas, verificar respuestas y efectuar generalizaciones; de manera que pueda construir sus conocimientos,
conceptos y procedimientos.
Cálculo Diferencial contiene las secciones: ¿Qué sabes hacer ahora? que posibilita al docente evaluar qué conocimientos previos
tiene el alumno con respecto a cada tema; Actividades de aprendizaje, que sirven para corregir los posibles conocimientos
erróneos del alumno, así como verificar sus avances e implementar diversas estrategias didácticas por medio del desarrollo
de los contenidos temáticos; también se anexa la sección titulada Comprueba tus saberes que constituye un instrumento de
evaluación al final de cada bloque.
Asimismo se incluye la sección Para tu reflexión con biografías de personajes vinculados al desarrollo de las matemáticas, lo
anterior con la finalidad de despertar el interés del alumno en el estudio de esta asignatura. También se desarrolló la sección
Aplicación de tus saberes, donde se plantea un proyecto que involucra la materia con otras asignaturas y presenta las matemáticas
no únicamente como un saber teórico y abstracto, sino práctico y útil.
El enfoque actual del programa de cálculo diferencial está basado en competencias y coloca el problema como el motor que
promueve el aprendizaje. Se espera del estudiante una indagación de los conocimientos necesarios y suficientes para resolver
el problema a través de la investigación en diversas fuentes bibliográficas y en línea. En ese proceso de búsqueda que realiza el
estudiante se procura apoyarlo con material que se incluye en el libro con ese fin.
Cálculo Diferencial apoya al estudiante y al docente en sus respectivas labores, su contenido se vincula con los cursos de
Matemáticas 1, 2, 3 y 4, así como con Física 2, Probabilidad y estadística 1 y 2, Cálculo integral y Matemáticas financieras 1 y 2.
El contenido se desarrolla en cuatro bloques:
BLOQUE 1
Argumentación del estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con
hechos reales, se busca ubicar al estudiante en el desarrollo histórico del cálculo y cómo es que se ha convertido en una
poderosa herramienta para resolver múltiples y variados problemas que han contribuido al avance de la humanidad.
BLOQUE 2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico, administrativo, natural y social, incluye el
planteamiento de problemas sobre límites en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales.
V
BLOQUE 3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
incluye problemas que dan lugar al estudio de la razón de cambio promedio e instantánea, el cambio de posición de un objeto
en el tiempo y la interpretación geométrica de la derivada.
BLOQUE 4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización, presenta diversos problemas que
tienen que ver con la obtención de máximos y mínimos absolutos y relativos para determinar cómo influyen en el éxito o
fracaso de las producciones empresariales, industriales, agrícolas, así como en el comportamiento de los fenómenos naturales.
Finalmente, Cálculo Diferencial, pretende desarrollar habilidades de pensamiento, ya que los diversos problemas llevan al
alumno a analizar, sintetizar y lograr la abstracción lógica y simbólica del lenguaje matemático.
Promueve valores, como la libertad para resolver una situación y expresar su propia opinión, democracia y tolerancia,
mediante el trabajo en equipo, donde a través de una comunicación adecuada se atiende y respeta la opinión del otro; y
también se abordan cuestiones ambientales con las que estamos fuertemente vinculados.
Asimismo, mediante la autoevaluación se desea que el alumno desarrolle un espíritu de búsqueda constante de la calidad.
Esperamos que disfruten este libro hecho especialmente para ustedes con el propósito fundamental de favorecer el
autoestudio.
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
VI
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar el capacidad de desarrollar al permitirle a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar
con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada
en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.; en razón de lo anterior estas competencias construyen el Perfil
Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se listan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y práctica estilo de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiadas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista
de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de su vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinarias extendidas del
campo de Matemáticas
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS
BLOQUES DE CÁLCULO
DIFERENCIAL
1
2
3
4
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X
X
X
X
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
X
X
X
X
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos
y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
X
X
X
X
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
X
X
X
X
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
X
X
X
X
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes
del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
X
X
X
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.
X
X
X
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
X
X
X
VII
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Inicio de Bloque
En estas dos páginas podrás encontrar de forma rápida y
clara los desempeños por alcanzar, los objetos de
aprendizaje y las competencias por desarrollar,
así como una serie de preguntas guía para establecer
los conocimientos previos con los que cuentas.
¿Qué sabes hacer ahora?
Esta sección constituye una propuesta de
evaluación diagnóstica que te permitirá establecer
las competencias y objetos de aprendizaje
con los que cuentas, para así iniciar la obtención
de conocimientos y capacidades nuevas.
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En cada bloque iniciamos con una situación didáctica
que bien puede ser resolver un problema, realizar un
experimento, un proyecto, una investigación o una
presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un
producto, una campaña o alguna otra actividad que
permita que adquieras un conocimiento y competencias
personales o grupales, a través de un reto.
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
La secuencia didáctica es una guía para que puedas
adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a
través de una metodología que facilite y dirija tus pasos.
Son además descriptores de procesos que por el análisis
detallado que hacen facilitan tu actividad y tus
resultados.
Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten
autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño.
Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.
www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx
Por haber comprado este libro tienes acceso a un sitio Web, que
tiene videos, animaciones, audios y diferentes archivos de
diferente tipo que tienen el objetivo de ampliar tu conocimiento,
hacer claros algunos procesos complejos de los temas a
considerar y permitir actualizar de forma rápida la información
en todos temas del plan de estudios de la DGB.
Diseño
Para diseñar el libro que ahora tienes en tus
manos se han tomado en cuenta una gran
cantidad de factores que lo hacen una
herramienta de aprendizaje visualmente
práctica, util y agradable para tí. Además
cuenta con gran número de apoyos gráficos
que te ayudarán a identificar con facilidad sus
distintas partes y agilizarán su lectura.
Otras
secciones
Para tu Reflexión
Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás
adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e
información relevante para el tema que estás considerando. Esta
información además de ser útil, te permite contextualizar
diferentes perspectivas para la misma información.
Aplicación de tus Saberes
Para tu
portafolio
de evidencias
En el libro encontrarás diferentes
sugerencias y actividades que, una
vez realizadas, te permitirán
construir un gran número de
evidencias, algunas escritas otras a
través de la exposición de temas o
presentación de productos. Es
importante que recuerdes que
además de presentar la
información, la manera en que lo
hagas determinará el nivel de
calidad con la que se perciba tu
trabajo. Por ello se te invita siempre
a realizar tu mejor esfuerzo.
Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a
situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas
en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para
hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.
Actividad de aprendizaje
En el libro encontrarás diferentes actividades señaladas con
En las
el libro
diferentes
señaladas
letrasencontrarás
EF, que de forma
breveactividades
te permitirán
reforzarcomo
los
Actividad
de aprendizaje,
que forma
breve te apremitirán
conocimientos
y competencias
adquiridas
través de reforzar
lospreguntas
conocimientos
y competencias
adquiridas
a través de
puntuales
al desarrollo
del bloque.
preguntas puntuales al desarrollo del bloque
Constituye una opción que te permitirá hacer una autoevaluación de los logros obtenidos a través de tu trabajo en el bloque,
esto en conjunto con el portafolio de evidencias, te permitirán
obtener mejores resultados en las evaluaciones que haga tu
profesor.
Ejemplos
Es importante mencionar que a lo largo de los bloques
encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen
la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.
Además cuenta con glosario y bibliografía.
BLOQUE
Argumentación del estudio del cálculo mediante
el análisis de su evolución, sus modelos
matemáticos y su relación con hechos reales
1
Desempeños por alcanzar
Reconoce el campo de estudio del Cálculo diferencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas.
Relaciona los modelos matemáticos con su representación geométrica para determinar áreas y volúmenes en cualquier situación de su vida
cotidiana.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
1.
¿Cuáles fueron los problemas que dieron origen al cálculo?
2.
¿Quiénes son considerados en la historia como los inventores del cálculo?
3.
¿En qué consisten sus respectivos enfoques de construcción del cálculo?
4.
Nombra, por lo menos, dos aplicaciones del cálculo.
5.
En un recipiente con la forma de un cilindro recto, ¿cómo se puede determinar que el material que se usa para construirlo es mínimo?
Objetos de aprendizaje
Evolución del cálculo
1.2 Modelos matemáticos: un acercamiento a máximos y mínimos
1.1
Competencias por desarrollar
Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la
aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos.
Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la
evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta con su
aplicación en situaciones reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema con modelos
matemáticos sencillos y su representación gráfica.
Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente
de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos
matemáticos.
B1
Argumentación del estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos
matemáticos y su relación con hechos reales
Situación
didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Secuencia
didáctica
¿Qué tienes que hacer?
En el proceso histórico que lleva al descubrimiento del
cálculo, Newton y Leibniz partieron de concepciones
diferentes. ¿En qué consisten esas diferencias?
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo utilice dibujos para representar las condiciones del problema.
Presenten los resultados en plenaria, discutan y analicen las semejanzas y diferencias entre equipos.
Cada equipo debe investigar
1. ¿Cuál fue el punto de partida de Newton para aproximarse a los conceptos de
límite y derivada?
2. ¿Cómo conceptualizaba e ilustraba Newton el problema de la tangente a la curva?
3. ¿Cuál fue la notación utilizada por Newton para representar su concepto de tangente a la curva?
4. ¿Cuál fue el punto de partida de Leibniz para aproximarse a los conceptos de límite y derivada?
5. ¿Cómo conceptualizaba e ilustraba Leibniz el problema de la tangente a la curva?
6. ¿Cuál fue la notación utilizada por Leibniz para representar su concepto de tangente a la curva?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados
en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.
Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse
como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación del producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar la información obtenida y sistematizada en relación con los puntos de partida
de Newton y Leibniz en sus respectivos trabajos para sentar las bases del cálculo
4
Grupo Editorial Patria®
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Rúbrica
Para determinar lo que se pide se deben anexar los conceptos investigados y hacer una presentación que contenga
carátula, índice, introducción, desarrollo, conclusión y bibliografía. Lo anterior tiene un valor de 5 puntos y
se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de
presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción detallada de los dos procedimientos por escrito
tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Indicadores de desempeño
Reconoce el campo de estudio del cálculo diferencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas.
Relaciona los modelos matemáticos con su representación geométrica para determinar áreas y volúmenes
en cualquier situación de su vida cotidiana.
Sugerencia de evidencias de aprendizaje
Evolución del cálculo.
Modelos matemáticos: un acercamiento a máximos y mínimos.
5
B1
Argumentación del estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos
matemáticos y su relación con hechos reales
PROPUESTAS DE DISEÑO PARA SITUACIONES
DIDÁCTICAS
Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos.
A partir del objeto cilíndrico que elijas, determina sus dimensiones y constrúyelo en cartulina u otro material
resistente.
¿Cuál es su altura?
¿Cuál es el radio de sus tapas?
¿Cuál es el perímetro de una tapa? ¿Cómo lo puedes determinar?
Para construir el cilindro, su área lateral se representa con un rectángulo que tiene a h como una de sus dimensiones.
¿Cuál es la otra dimensión?
¿Cuál es el área lateral del cilindro?
¿Cuál es el área de cada tapa?
¿Cómo se expresa el área total del cilindro?
Con los datos anteriores construye un cono que tenga la misma base y altura del cilindro.
¿Qué relación observas entre el área del cono y el área del cilindro?
Si el cono lo llenas de arena u otro material y lo vacías en el cilindro, ¿cuántas veces cabe el volumen del cono
en el cilindro?
¿Cuál es la relación entre el volumen del cono y el cilindro?
Recorta tres rectángulos que midan 18 cm de largo por 12 cm de ancho cada uno:
En un rectángulo:
Pon tres marcas que dividan el largo en cuatro segmentos de igual longitud.
Realiza dobleces sobre cada marca, de manera que al unir los extremos se forme un cuerpo en forma de
prisma recto de base cuadrada.
Calcula su volumen.
En otro rectángulo:
Pon dos marcas que dividan el largo en tres segmentos de igual longitud.
Realiza dobleces sobre cada marca de manera que se forme un cuerpo en forma de prisma recto que tenga
como base un triángulo equilátero.
Calcula su volumen.
En cada caso se ha utilizado la misma cantidad de material para la superficie lateral, ¿con cuál se obtiene el mayor
volumen?
Recorta cinco rectángulos de 10 cm de ancho por 15 cm de largo en cartulina u otro material resistente.
En un rectángulo recorta en cada esquina un cuadrado de 0.5 cm por lado.
Dobla hacia arriba y une los bordes.
Calcula el volumen.
En otro rectángulo, recorta en cada esquina un cuadrado de 1 cm por lado.
Dobla hacia arriba y une los bordes.
Calcula el volumen.
En otro recorta en cada esquina un cuadrado de 1.5 cm por lado.
6
Grupo Editorial Patria®
Dobla hacia arriba y une los bordes.
Calcula el volumen.
En el cuarto rectángulo recorta en cada esquina un cuadrado de 2.5 cm por lado.
Dobla hacia arriba y une los bordes.
Calcula el volumen.
¿Con cuál medida encontraste el máximo volumen?
¿Será éste el máximo volumen que se puede obtener?
¿Serán éstos los únicos valores que se pueden explorar?
“Hay cosas que parecen increíbles para la mayoría de las personas que no han estudiado matemáticas”
Arquímedes
1.1 EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO
En la trayectoria histórica del pensamiento científico de la humanidad, podemos observar los esfuerzos que se han
hecho para comprender la realidad de los cambios que se presentan en la naturaleza.
Cuando el hombre dejó de ser nómada y se convirtió en sedentario se inició el cultivo de la tierra, así como la observación acerca de cómo el cambio de clima afectaba
sus cosechas. Buscó explicaciones para estos cambios de clima y conoció las estaciones del año y cómo éstas dependen de la posición de la Tierra respecto al Sol.
Con el paso del tiempo, el hombre obtiene cada vez más conocimiento sobre el por
qué de los cambios que ocurren en su entorno. Una herramienta muy poderosa para
buscar la explicación de esos cambios la constituye el cálculo.
Iniciaremos el estudio del cálculo diferencial a partir de su evolución histórica, así
como de la construcción e interpretación de modelos matemáticos sencillos que
tienen como base la aritmética y la geometría.
En el desarrollo histórico del cálculo son varias las interrogantes que es posible plantear:
¿Cómo surge el cálculo?
¿Qué problemas científicos provocan su surgimiento?
Para tratar de dar respuesta a éstas y otras preguntas, puedes consultar en Internet:
¿Por qué se considera a Newton y Leibniz como descubridores del cálculo?
¿Cuáles son las principales aportaciones hechas por Newton y Leibniz al cálculo
diferencial?
1.2 MODELOS MATEMÁTICOS:
UN ACERCAMIENTO
A MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Cuerpos y figuras geométricas
Busca objetos que tengan la forma de un cilindro, por ejemplo, una lata de refresco, un recipiente con té, un frasco
de medicina, un bote de avena, un vaso, etcétera.
7
B1
Argumentación del estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos
matemáticos y su relación con hechos reales
Si utilizas un hilo o una cinta, podrás tener una aproximación del perímetro de una de sus bases.
Construye un desarrollo como el siguiente:
r
h
r
h
r
Aplicación de tus Saberes
Actividad
En el accidente nuclear de Chernobyl se liberaron grandes cantidades de sustancias radiactivas, principalmente el cesio-137
y el estroncio-90, estos componentes tienen una vida media de 30.17 y 28.9 años, respectivamente, ¿Cuánto tiempo tardarán
en desaparecer de la región afectada?
Para tu Reflexión
Augustín Louis Barón de Cauchy (1789-1857)
Cauchy nació en París, Francia. Su padre lo inició en el estudio de la literatura y después de una brillante carrera académica, en 1813, Lagrange y Laplace
lograron convencer a su padre de que Cauchy dejara sus estudios de ingeniero para dedicarse sólo a las matemáticas. Su única, ingeniosa y original forma
de resolver complicados problemas le valieron la celebridad en toda Europa a sus 24 años de edad. La pérdida de su padre y hermano, el exceso de trabajo
y la edad lo acercaron a la muerte, que le llegó en su casa de campo de Sceaux en 1857.
Su principal legado de Cauchy es el cálculo. En 1811 Cauchy resolvió el problema de Poinsot, que es una generalización del teorema de Euler sobre los
poliedros. Un año más tarde, se publicó una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir
cuando se permuta de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814 apareció su memoria
fundamental sobre las integrales definidas y, luego, abordó el teorema de Fermat sobre los números poligonales, el cual llegó a demostrarlo, cosa que no pudieron hacer Euler, Legendre, Lagrange ni Gauss.
Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las demostraciones de Lagrange, ateniéndose al cálculo
de ceros e infinitos y fijando las convergencias de las series del análisis. Algunas de sus obras relacionadas con
el cálculo son el Traité de calcul diferentiel et integral (Tratado del cálculo diferencial e integral), Leçons sur la
aplication du calcul infinitesimal á la géometrie (Lecciones sobre la aplicación del cálculo infinitesimal a la geometría), Sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires (Sobre las integrales definidas tomadas entre
límites imaginarios), Sur la aplication du calcul des residus á la solution des problèmes des Physique matématique
(Sobre la aplicación del cálculo a la resolución de problemas físico-matemáticos), y Sur un nouveau calcul des
limites (Sobre un nuevo cálculo de límites). No dejó de ser productivo intelectualmente ni al final de su vida,
pues días antes de su muerte leyó en el instituto una memoria sobre el empleo de un artificio de cálculo llamado coeficiente regulador.
8
Grupo Editorial Patria®
Para tu Reflexión
Guillaume Francois Antoine Marqués de l’Hopital (1661-1704)
Matemático francés que descubrió la regla de l’Hôpital, empleada para calcular el valor límite de una fracción donde el numerador y denominador tienden a cero o ambos tienden a infinito.
Es también el autor del primer libro de texto conocido sobre cálculo diferencial, titulado [l’Analyse des
Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes] (Análisis de los infinitamente pequeños para el
entendimiento de las líneas curvas). Publicado en 1696, el texto incluye las clases de su profesor, Johann
Bernoulli, en donde se discute la indeterminación 0-0. Dicho método permite resolver estas indeterminaciones a través de derivadas sucesivas que llevan su nombre.
En 1694 Bernoulli y l’Hôpital acordaron que este último le pagaría 300 francos anuales al primero para
que transmitiera sus descubrimientos en su libro. En 1704, tras la muerte de l’Hôpital, Bernoulli reveló la existencia del trato, asegurando que la mayoría de los descubrimientos que aparecían en el libro de
l’Hôpital eran suyos. En 1922 se encontraron documentos que apoyaban la tesis de Bernoulli. La creencia
generalizada de que l’Hôpital trató de aprovecharse del descubrimiento de la regla que lleva su nombre
ha resultado falsa. Publicó su libro anónimamente, agradeciendo la ayuda prestada por Bernoulli en la
introducción y nunca dijo ser el descubridor de la regla.
Comprueba
tus saberes
Apellido paterno
Apellido paterno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los aprendizajes, habilidades, actitudes y valores que se abordan en el bloque 1. Para ello,
realiza lo que se te pide a continuación.
1. ¿A partir de qué concepción teórica construyó Newton el cálculo?
1
2. ¿A partir de qué concepción teórica construyó Lebniz el cálculo?
3. ¿Cuáles fueron las principales aportaciones de Newton al cálculo?
4. ¿Cuáles fueron las principales aportaciones de Lebniz al cálculo?
5. En un recipiente con forma de un cilindro recto, ¿cómo se puede determinar que su volumen sea máximo.
9
BLOQUE
Resolución de problemas de límites
en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
2
Desempeños por alcanzar
Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana.
Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en derive y su interpretación de las representaciones gráficas de funciones, mostrando habilidades en
la resolución de problemas de situaciones cotidianas.
Objetos de aprendizaje
Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones algebraicas.
2.2 El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes.
2.1
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
1.
Calcula el límite de la función y 5 x2 1 4x cuando x tiende a 2.
2.
Encuentra f (2) en la función f (x) 5 x2 1 4x .
Encuentra una d para la e establecida.
3.
lím ( 3 x + 1) = 10; ε = 0.01
x→3
4.
Prueba que lím (5 x − 7 ) = 13.
x→4
5.
Encuentra el valor del límite de: lím x.
6.
Encuentra el valor del límite de: lím (x 1 2).
7.
Encuentra el valor del límite de: lím
x3 − 1
.
x −1
8.
Encuentra el valor del límite de: lím
x2 − 2x − 3
.
x2 + 3x + 2
x→−3
x→2
x→1
x→−1
9.
Calcula lím
10.
Calcula lím
Competencias por desarrollar
Interpretas gráficas de funciones continuas y discontinuas analizando el
dominio y contradominio, y argumenta el comportamiento gráfico de la
variable dependiente (y) en los punto(s) de discontinuidad.
Explica e interpreta los valores de una tabla, calcula valores cercanos a un
número y analiza el comportamiento gráfico en los valores de la variable
dependiente en problemas de su entorno social, económico y natural.
Explica e interpreta diferentes representaciones gráficas y determina límites que tienden a infinito positivo o negativo, a cero, límites laterales
por la izquierda y por la derecha, y límites finitos, de los objetos naturales
que lo rodean.
x→2
5
.
( x − 2)2
x2 − x − 6
.
x→−2
x −2
Argumenta la solución obtenida de un problema económico, administrativo, natural o social, mediante la teoría de los límites.
Valora el uso de la TIC´s en el modelado gráfico y algebraico de los límites
para facilitar su interpretación y simulación en la resolución de problemas
presentes en su contexto.
Formula y resuelve problemas, a partir del cálculo de dominio y contradominio de las funciones algebraicas para determinar sus límites, demostrando su habilidad en la resolución de problemas algebraicos.
Determina límites para funciones racionales, exponenciales, logarítmicas
y trigonométricas.
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Situación
didáctica
¿Cómo lo resolverías?
El 19 de abril de 1965 el co-fundador de Intel Gordon Moore hizo un pronóstico
referente a la cantidad de transistores que se pueden empaquetar en un área de 1 pulgada cuadrada de silicio. Éste pronóstico conocido como Ley de Moore establece
que el número de transistores en una pulgada cuadrada de silicio se duplica aproximadamente cada dos años.
Cuando Moore hizo el pronóstico se tenían 30 transistores por pulgada cuadrada,
para el año 2004 se podían empaquetar 592 millones de transistores en la misma
área. Actualmente se están desarrollando aplicaciones con una tecnología de 28 nm
(nanómetros). ¿Se ha cumplido el pronóstico? ¿Cuál es el límite de la ley de Moore?
Investiga cuáles son los límites del silicio.
Secuencia
didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente las condiciones del problema.
Presenten los resultados en plenaria, analicen y discutan las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar
1. ¿Qué es un transistor?
2. ¿Para qué se utiliza un transistor?
3. ¿Cómo han evolucionado sus dimensiones?
4. ¿Cómo han evolucionado las tecnologías de empaquetado?
5. ¿Cómo se expresa la Ley de Moore?
6. ¿Cómo se puede verificar que se cumple dicha ley para los años 1965 y 2004?
7. ¿Cómo se puede saber si se ha cumplido el pronóstico?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado
para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos
para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.
Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación del producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar los cálculos realizados para determinar lo que se pide en el problema, con una ilustración del mismo
donde se muestren los datos y la solución del problema.
12
Grupo Editorial Patria®
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Rúbrica
Para determinar la cantidad que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el
esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Indicadores de desempeño
Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y
sociales de la vida cotidiana
Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en derive y su interpretación de las representaciones
gráficas de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.
Sugerencia de evidencias de aprendizaje
Los límites, su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación en funciones algebraicas.
El cálculo de límites en funciones algebraicas trascendentes.
13
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
PROPUESTAS DE DISEÑO PARA SITUACIONES
DIDÁCTICAS
Los límites y su interpretación en una tabla
Actividad 1
En el grupo, cada alumno tomará una moneda del mismo valor ($1.00, $2.00, $5.00, $10.00).
Cuando el profesor lo indique, cada alumno lanzará su moneda. El profesor registrará el número de soles o
de águilas que caen. El experimento se repetirá nueve veces más. El profesor tomará nota de los registros y se
analizará la ocurrencia de soles y de águilas.
¿Por qué se dice que la probabilidad de lanzamiento de una moneda es de 0.5 para cada carta?
Actividad 2
En un grupo cada alumno llevará un dado. Cuando el profesor lo indique cada alumno lanzará su dado. El profesor registrará el número de 1, 2, 3, 4, 5 o 6, que ocurra en cada caso. El
experimento se repetirá nueve veces y el profesor tomará nota del registro correspondiente.
Se analizará la ocurrencia de cada número.
¿Por qué se dice que la probabilidad de obtener un número, del uno al seis, en el lanzamiento de un dado, es ?
Si el registro se hiciera por números pares o impares, ¿hacia qué valor tiende la probabilidad de ocurrencia en cada
caso?
Las matemáticas no conocen de razas ni de límites geográficos,
para las matemáticas el mundo cultural es un solo país
Hilbert
2.1 LOS LÍMITES: SU INTERPRETACIÓN EN UNA TABLA, EN UNA
GRÁFICA Y SU APLICACIÓN EN FUNCIONES ALGEBRAICAS
El concepto de límite
A continuación, se presentan funciones continuas y discontinuas con sus respectivas gráficas.
Analiza, en cada caso, el dominio y contradominio, y argumenta el comportamiento de la variable dependiente en
los puntos donde haya discontinuidad.
( ) 5 22
a)) f (x)
( ) 5 2x
b)) f (x)
y
y
x
14
x
Grupo Editorial Patria®
c) f (x) 5 2 1 x 1 3
2
d) f (x) 5 2x2 2 x 1 6
y
y
x
x
e)) f ((x)) 5 x3 1 1
f ) f (x) 5 22
y
y
x
g) f (x) 5
¨
©
ª
x
23x 1 2, si x # 2
h) f (x) 5
22, si x . 2
1
x
y
y
x
x
15
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
i) f (x) 5
131
x
j) f (x) 5 [x]
y
y
x
x
Para tu Reflexión
Jacob Bernoulli (1654-1705)
El apellido Bernoulli corresponde a una famosa familia de científicos matemáticos cuyas contribuciones en el campo de las matemáticas y la física fueron
de gran valor. El cálculo matemático, el cálculo infinitesimal, el cálculo diferencial e integral, el estudio del flujo de los fluidos y el estudio del comportamiento de los gases son algunos de los trabajos más importantes de este grupo de científicos.
Bernuolli fue un matemático suizo que inicialmente realizó estudios de teología y, más tarde, descubrió su vocación por las matemáticas y la astronomía. Es de notar que la palabra integral aparece gracias a Bernoulli por
primera vez en la ciencia.
Uno de los más grandes méritos de los Bernoulli fue el comprender la importancia de tan valioso descubrimiento del celeberrimnus vir. La resolución al problema de la curva isócrona en la que se hace aplicación del nuevo
cálculo. Jacobo llegó a deducir la ecuación diferencial de la isócrona.
Jacobo pone de manifiesto que el origen del cálculo infinitesimal podía hallarse en los trabajos de Barrow
y Leibnitz. Bernoulli descubrió la propiedad de algunas curvas derivadas geométrica u ópticamente que eran
espirales logarítmicas.
Resolvió el problema de la braquistócrona. Entre los problemas resueltos por Jacobo se encuentra el de hallar
la línea de menor longitud que une dos puntos en un conoide parabólico. Una de las propiedades descubiertas
por Bernoulli sobre las curvas que se presentan como un máximo o un mínimo es “común a la totalidad de la
curva y a cualquiera de sus partes”.
Uso de las TIC en el modelado gráfico y algebraico
de los límites
Con el software disponible, traza la gráfica de las siguientes operaciones con funciones:
x −1
a) lím 3
xS1 x − 1
16
b) lím
xS1
x2 − 1
x −1
Grupo Editorial Patria®
1
x
c) lím (x 2 1)log(x)
g) lím2
d) lím (x 2 1)2(x2 2 1)
h) lím x2 2 5x 2 6
xS1
xS1
xS 0
xS 2 6
e) lím
1
x
i) lím 2 x2 2 2x 2 1
f ) lím1
1
x
j) lím
xS 0
xS 0
xS1
xS1
x2 − 1
x −1
Los límites y su interpretación en una gráfica
En cada uno de los siguientes casos, explica e interpreta la gráfica y determina el límite.
a) lím
xS1
( x − 1)
x −1
f ) lím
1
log( x )
xS1
b) lím
x −1
( x − 1)2
g) lím
1
( x − 1)2
c) lím
x2 − 1
( x − 1)2
h) lím
x3 − 1
( x − 1)2
i) lím
( x −1)2
log( x )
j) lím
x −1
( x − 1)2
xS1
xS1
d) lím
xS1
e) lím
xS1
1
x −1
1
x −1
xS1
xS1
xS1
xS1
Determina los siguientes límites:
x
sen x
a) lím
log ( x )
( x −1)2
f ) lím
b) lím
x −1
log ( x )
⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞
g) lím x sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟
xSq
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
c) lím
sen x
x
h) lím
xS1
xS1
xS 0
xS 0
xS 0
1 − cos 2 x
x(1 − cos x )
d) lím e–x
i) lím ex 21
e) lím e–x
j) lím
xSq
xSq
2
xS1
xSq
1
log(x)
xn
17
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Argumenta la solución obtenida de un problema.
• Una playa se erosiona aproximadamente 10 centímetros por año; si en este año mide 15 metros de ancho,
¿cuánto tiempo habrá transcurrido cuando la playa mida 11.5 metros?
• Una población de 200 000 habitantes crece a razón de 5% anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 10
años?
• Una empresa tuvo ventas por $1 000 000.00 en su primer año. Durante cada año siguiente sus ventas se incrementaron 15%. ¿De cuánto fueron sus ventas en el decimoquinto año? ¿Cuáles fueron sus ventas totales
en los primeros 15 años?
• En una cuenta de ahorro de un banco se depositan $1 000.00 con un interés anual de 5%. ¿Qué cantidad se
tendrá a final del año si el interés se compone
a) trimestralmente?
b) mensualmente?
Formula y resuelve problemas algebraicos.
• Una pelota se deja caer sobre una superficie dura y realiza una serie de saltos, siendo cada salto de aproximadamente una quinta parte de la altura del salto anterior. Si la pelota inicia su recorrido
desde una altura de 10 metros halla la distancia que recorre hasta que teóricamente
queda en reposo.
• Desde el suelo se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 metros por segundo, la distancia recorrida por el proyectil en t segundos se
expresa por s 5 30t – 4.9t2. Determina durante cuántos segundos sube el proyectil y el
momento en el que empieza a bajar.
• Un rectángulo de lado X se forma con un alambre de 20 centímetros de longitud. Determina los valores de X para los cuales aumenta o disminuye el área del rectángulo.
• En un cono se inscriben una serie de cilindros. Cuando la altura de los cilindros tiende
a cero, ¿qué ocurre con la suma de los volúmenes de los cilindros? ¿Cuál es su límite?
¿Qué ocurre con la suma de las áreas laterales de los cilindros? ¿Cuál es su límite?
18
Grupo Editorial Patria®
Noción intuitiva de límites y límites laterales
Este concepto se estudiará partiendo de un punto de vista intuitivo que posibilite
una mayor y mejor comprensión de sus aspectos formales.
A continuación se ilustra el siguiente cuerpo geométrico (véase figura 2.1).
Se observa que el cuerpo geométrico ocupa un espacio limitado por sus caras
donde cada una de ellas es una superficie plana. Dos caras consecutivas tienen una
arista como límite y dos aristas que concurren tienen un punto como límite.
Si en una circunferencia se inscriben polígonos regulares y se va aumentando el
número de sus lados, se dice que el perímetro de dichos polígonos tiene como límite el perímetro de la circunferencia. Por ello, también se dice que la circunferencia
es un polígono regular de infinito número de lados (véase figura 2.2).
Si el perímetro del polígono regular de n número de lados se denota por Pn , y el
perímetro de la circunferencia que lo contiene se denota C; para expresar que Pn
tiene como límite a C se escribe lím Pn 5 C.
Considerando que el número n de lados del polígono aumenta de manera ilimitada,
se dice que n tiende a infinito, lo cual se escribe:
Figura 2.1
n→∞
El símbolo ` no es un número.
Las dos expresiones anteriores se relacionan lím Pn 5 C.
n→∞
Dicha relación se lee: el límite de Pn cuando n tiende a infinito es C.
Si se va aumentando el número de lados de un polígono regular inscrito en una
circunferencia, la diferencia entre las áreas del círculo y del polígono es cada vez
menor; entonces, se dice que el área del polígono tiene como límite el área del
círculo que lo contiene.
En las siguientes figuras aparece sombreada el área que representa la diferencia entre
el área del círculo y el área del polígono regular inscrito en él.
Figura 2.3
Figura 2.2
Figura 2.4
Figura 2.5
Si al área del círculo se resta el área del polígono regular inscrito y llamamos d a dicha diferencia, cuando el número de lados del polígono regular aumenta en forma ilimitada se tiene que:
lím d 5 0
n→∞
Es decir, el límite de la diferencia cuando n tiende a infinito es cero.
0
x1
x2
x3
x
0
1
1 12
1 34
2
Figura 2.6
19
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Veamos ahora qué sucede con un segmento OX de dos unidades de longitud donde O coincide con el origen del
sistema coordenado y x se asocia con el punto que tiene a 2 como coordenada en el rayo positivo del eje x (véase
figura 2.6).
Si x1 es el punto medio de 0X, x2 es el punto medio de x1x, x3 es el punto medio de x2x, y así sucesivamente. Llegará
un momento en que la diferencia entre xn y 2 será tan pequeña que no se podrá representar.
Estas diferencias corresponden a:
2−1= 1
2−
3 1
=
2 2
2−
7 1
=
4 4
2−
15 1
=
8 8
Forman la sucesión geométrica:
1 1 1
1
1, , , ,..., n−1
2 4 8
2
Con cuyos términos se obtiene la serie:
1+
1 1 1
1
+ + + ... + n −1
2 4 8
2
1
En la que a medida que n aumenta, Q−1 , tiende a cero mientras que la suma de los n términos, sn, tiende a 2, es
2
decir, que lím sn 5 2.
n →∞
En este caso se trata de una serie convergente cuya suma es su límite.
Se dice que el valor de una variable se aproxima o tiende a una constante como límite cuando la diferencia entre
el valor de la constante y el valor de la variable se hace y llega a ser menor que cualquier cantidad, por pequeña
que ésta sea.
Veamos una aproximación al concepto de límite de una función para algunas funciones en particular.
Ejemplos
1. Sea la función f (x) 5 x 1 1, encontrar su límite cuando x tiende a 2.
Solución:
y
La función se puede expresar como y 5 x 1 1, la cual corresponde a una ecuación
cuya representación geométrica es una línea recta que tiene pendiente 1 y su ordenada al origen es 1 (véase figura 2.7).
3
Para encontrar:
lím (x 1 1)
x→2
x
0
2
Se puede acercar al valor 2 por la izquierda mediante una sucesión de valores crecientes, lo cual se simboliza x → 2−; o bien, se puede aproximar a 2 por la derecha,
x → 2+, mediante una sucesión de valores decrecientes.
Figura 2.7
20
Grupo Editorial Patria®
Valores crecientes
x
Valores decrecientes
y
x
y
1.9
2.9
2.1
3.1
1.99
2.99
2.01
3.01
1.999
2.999
2.001
3.001
1.9999
2.9999
2.0001
3.0001
T
T
T
T
2
3
2
3
En ambos casos se observa que cuando la x S 2, el valor de la función y S 3, es decir, que l í m
xS 2
(x 1 1) 5 2 1 1 5 3.
En la figura se muestra que cuando x 5 2, y 5 3.
2. Calcular el límite de la función y = x 2 + 4 x cuando x tiende a 2.
y
Solución:
Esta función tiene como representación geométrica una parábola que se abre hacia
arriba. Haciendo y 5 0 se determinan las intersecciones de la curva con el eje x.
Es decir:
0 = x2 + 4 x
Por tanto:
0 = x( x + 4 )
Esto significa que la parábola corta el eje x en x 5 0 y x 5 24 (véase figura 2.8).
Para tabular se toman valores que tiendan a 2 por la izquierda y por la derecha. Se utilizarán las mismas que en el ejemplo anterior. Se puede tomar otros valores.
Valores crecientes
x
x
0
Valores decrecientes
y
x
y
1.9
11.9
2.1
12.81
1.99
11.9201
2.01
12.0801
1.999
11.992001
2.001
12.088001
1.9999
11.99920001
2.0001
12.00080001
T
T
T
T
2
12
2
12
Figura 2.8
Se observa entonces que cuando x tiende a 2, el valor de la función tiende a 12.
Es decir:
l í m ( x 2 + 4 x ) 5 22 + 4 ⋅ 2 = 12
xS 2
21
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
3. Calcular el límite de la función y =
Solución:
y
x2 − 4
cuando x tiende a 2.
x−2
La función:
4
y=
x2 − 4
x−2
También se puede expresar:
x
0
y=
2
( x + 2)( x − 2)
x−2
Donde:
Figura 2.9
x−2
=1
x−2
Siempre y cuando:
x?2
Por tanto:
y 5 x 1 2 (véase figura 2.9)
Tabulación
x
y
Tabulación
y
x
1.9
3.9
2.1
4.1
1.99
3.99
2.01
4.01
1.999
3.999
2.001
4.001
1.9999
3.9999
2.0001
4.0001
T
T
T
T
2
4
2
4
4. Calcular el límite de la función y =
x+2
cuando x tiende a 2.
x2 − 4
Solución:
0
x
La función:
y=
x+2
x2 − 4
Se puede expresar como:
y=
x+2
( x + 2)( x − 2)
Donde:
x+2
=1
x+2
Figura 2.10
22
y
Grupo Editorial Patria®
Si:
x ? 22
Por tanto:
y=
1
x−2
Pues x S 2 pero x ? 2, con lo cual se elimina la posibilidad de dividir entre cero, que no está definida.
La gráfica de la función tiene como representación geométrica una hipérbola que tiene como asíntota
horizontal al eje x y como asíntota vertical la recta x 5 2 (véase figura 2.10).
Tabulación
x
Tabulación
y
x
y
1.9
210
2.1
10
1.99
2100
2.01
100
1.999
21000
2.001
1000
1.9999
210000
2.0001
10000
T
T
T
T
2
2°
2
1°
El símbolo 2` indica que en la sucesión de valores de la función se obtienen números negativos cuyo
valor absoluto llega a ser tan grande como se quiera. El símbolo 1` indica que en la sucesión de valores de la función se obtienen valores positivos tan grandes como se quiera.
En este caso se observa que cuando x S 22, y → − ∞ y cuando x S 21, y → + ∞ la función
1
y=
no tiene ningún límite y se representa así:
x−2
1
→±∞
x−2
Cuando x S 2.
Recuerda que ` es un símbolo, no un número.
Se dice que el límite de una función f (x), cuando x tiende a un valor c, es una constante L, si el valor
absoluto de la diferencia entre el límite y la función se hace tan pequeña como se quiera para todo
valor de x próximo a c, con excepción de c.
La razón de excluir x 5 c es la siguiente:
En el primer ejemplo:
l í m (x 1 1)
xS 2
Se tiene que:
f (x) 5 x 1 1
Donde:
f (2) 5 2 1 1 5 3
Mientras que:
l í m f (x) 5 3
xS 2
23
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Es decir:
l í m f (x) 5 f (2)
xS 2
En el segundo ejemplo:
l í m ( x2 + 4 x )
xS 2
La función es:
f (x) 5 x 2 + 4 x
Donde:
f (2) 5 22 + 4( 2)
5418
5 12
Y:
l í m f (x) 5 12
xS 2
Por lo que l í m f (x) 5 f (2).
xS 2
En el tercer ejemplo:
lím
xS 2
x2 − 4
x−2
La función es:
f ( x) =
x2 − 4
x−2
f ( 2) =
22 − 4
2−2
En la que:
5
0
0
Mientras que:
l í m f (x) 5 4
xS 2
Por lo cual no se puede afirmar que el límite de la función cuando x S 2 es igual al valor de la función
cuando x 5 2, ya que en este caso la función no está definida (porque la división entre cero no está
definida).
Casos como éste, donde no existe el valor f (c) pero sí el límite de la función cuando x S c, hacen necesario que se excluya el valor x 5 c en la definición de límite pues éste se asocia con el comportamiento
de una función en la vecindad de c, no en c.
En el cuarto ejemplo:
lím
xS 2
x+2
x2 − 4
La función es:
y 5 f (x) 5
24
x+2
x2 − 4
Grupo Editorial Patria®
Donde:
f ( 2) =
2+2
22 − 4
=
4
4−4
=
4
0
La función no está definida para x 5 2.
Mientras que:
lím
xS 2
x+2
x2 − 4
Es la expresión de un límite que no existe, pues cuando x S 22:
lím
x+2 =−∞
x2 − 4
lím
x+2
=+∞
x2 − 4
xS 2
Y cuando x S 21:
xS 2
En consecuencia, decir que un límite existe, significa que:
lím f (x) 5 L si y sólo si lím2 f (x) 5 L y lím1 f (x) 5 L
xS c
xS c
xS c
5. Calcular el límite de la función f (x) 5 9x0 cuando x tiende a 2.
y
Solución:
5
La función parte entera, estudiada anteriormente, tiene como dominio a los
números reales y como rango a los números enteros. Parte de su gráfica es la
siguiente (véase figura 2.11).
4
3
El límite de f (x) 5 9x 0 cuando x tiende a 2 por la izquierda es:
1
lím2 9x0 5 1
xS 2
2
x
0
1
2
3
4
5
Mientras que el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha es:
lím 9x0 5 2
xS 21
Como:
lím2 9x 0 ? lím1 9x0
xS 2
Figura 2.11
xS 2
Entonces l í m 9x0 no existe.
xS 2
En la figura 2.12 se ilustra la gráfica de una función f donde:
a) lím f (x) 5 1.5 ; f (24) 5 1
xS 2 4
b) lím 2 f (x) 5 2, lím 1 f (x) 5 4; f (22) 5 4
xS 2 2
xS222
25
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Por tanto, l í m f (x) no existe.
y
xS 2
c) lím2 f (x) no existe
xS 3
d) lím1 f (x) 5 3; f (3) 5 3
xS 3
x
Actividad de aprendizaje
-6
¿Qué significa decir que un límite existe? Argumenta tu respuesta.
-5 -4 -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Figura 2.12
Ejercicios de cálculo
1. En la siguiente figura se ilustra la gráfica de una función f. Encuentra el límite de la función, el valor de
la función o indica que el límite que se pide no existe.
1. f (23)
2. lím2 f (x)
3. lím1 f (x)
4. lím f (x)
5. lím f (x)
6. f (1)
7. f (3)
8. lím f (x)
xS 3
y
xS23
xS 3
xS1
xS 3
x
2. Con base en la gráfica de la función f, encuentra el límite de la función, el valor de la función
o indica que el límite que se pide no existe.
1. lím 2 f (x)
2. lím 1 f (x)
3. lím f (x)
4. f (22)
5. f (0)
6. lím2 f (x)
7. lím1 f (x)
8. lím f (x)
9. lím2 f (x)
10. lím1 f (x)
xS 2 2
xS22
xS222
xS 0
Figura 2.13
y
xS 0
xS 0
xS 2
xS 2
3. Bosqueja la gráfica de:
f (x) 5
26
¨
«
©
«
ª
x
x 2 1, si x , 2
3, si x $ 2
Figura 2.14
Grupo Editorial Patria®
Encuentra el límite de la función, el valor de la función o indica que el límite que se pide no existe.
1. lím2 f (x)
2. lím1 f (x)
3. l í m f (x)
4. f (2)
xS 2
xS 2
xS 2
4. Bosqueja la gráfica de:
f (x) 5
¨
©
ª
2 2, si x , 22
2 x, si 22 # x , 2
2, si x $ 2
Encuentra el límite de la función, el valor de la función o indica que el límite que se pide no existe.
1. lím 2 f (x)
2. lím 1 f (x)
3. lím f (x)
4. f (22)
5. lím2 f (x)
6. l í m f (x) f (x)
7. l í m f (x)
8. f (2)
xS222
xS 2 2
xS22
xS 2
xS 2
xS 2
5. Bosqueja la gráfica de f (x) 5 3 − 2 x 2 , encuentra el límite de la función, el valor de la función o
indica que el límite que se pide no existe.
1. lím2 f (x)
2. lím1 f (x)
3. lím f (x)
4. f (21)
5. lím2 f (x)
6. lím1 f (x)
7. lím f (x)
8. f (0)
9. lím f (x)
10. f (1)
xS2 1
xS2 1
xS21
xS 0
xS 0
xS 0
xS1
2.2 EL CÁLCULO DE LÍMITES EN FUNCIONES ALGEBRAICAS
Y TRASCENDENTES
Definición de límites
Anteriormente se ha establecido que lím f (x) 5 L significa que la diferencia entre f (x) y L se puede hacer tan
xS c
pequeña como se quiera siempre que x esté próxima a c con x ? c. Ahora se cuenta con elementos que posibilitarán una mejor comprensión de la definición precisa de límite en la que
f (x)
se utilizan las letras griegas e (épsilon) y d (delta) para representar pequeños números positivos
arbitrarios.
L
Para expresar que f (x) y L difieren menos que e se escribe:
f ( x) − L < ε
y
¡
L < (¡)
Es decir:
L 2 e , f (x) , L 1 e
x
Por tanto, f (x) pertenece al intervalo abierto (L 2 e, L 1 e) (véase figura 2.15).
Para expresar que x está próximo a c, pero x ? c, para algún d, significa que x pertenece al intervalo
abierto (c 2 d, c 1 d) donde x ? c, es decir:
0 < x−c <δ
Figura 2.15
27
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
f (x)
Donde x − c < δ indica que c 2d , x , c 1 d y 0 < x − c precisa la
exclusión de x 5 c (véase figura 2.16).
y
Para una función f definida en todo punto de un intervalo abierto I que
contiene a c, con la posible excepción de c.
El lím f (x) 5 L si para cualquier e . 0, no importa qué tan pequeña sea,
x→ c
existe una d . 0 tal que f ( x ) − L < ε siempre que 0 < x − c < δ, es
decir,
0 < x−c <δ
c
x
c <b
1
f ( x) − L < ε .
En esta definición de límite se establece que los valores de la función f (x)
se aproximan a un límite L cuando x se aproxima a un número c, de tal
manera que el valor absoluto de la diferencia entre f (x) y L se hace tan
pequeña como se quiera tomando valores de x muy próximos a c pero
no iguales a c.
c b
Las siguientes figuras ilustran la definición.
Figura 2.16
f (x)
F
F
f (x)
L
L
c
c
x
x
E
Para cada F > 0
E
Hay un E > 0 tal que
f (x)
f (x)
L+F
L
L
L
L F
c E c
c + E
x
x
c
0 < | x c | <E
| f (x) L | < F
Figura 2.17
Observa que a partir del número e se produce el número d.
28
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
1. Sea la función f definida por f (x) 5 3x 1 2. Si l í m f (x) 5 8 hallar una d para:
xS 2
e 5 0.01 tal que f ( x ) − 8 < 0.01 siempre que 0 < x − 2 < δ .
Solución:
Análisis preliminar. Para e 5 0.01 se debe encontrar una d . 0 tal que:
0 < x − 2 < δ ⇒ ( 3 x + 2) − 8 < ε
Considerando la desigualdad de la derecha se tiene:
( 3 x + 2) − 8 < ε
3 3x − 6 < ε
3 3( x − 2) < ε
3 3 x−2 <ε
ε
3
Como se quiere que 3 x − 2 < ε siempre que 0 < x − 2 < δ entonces conviene elegir:
3 x−2 <
d5
ε
3
Es decir:
3d 5 e
Prueba formal:
Sea e 5 0.01. Elegir d 5
ε
. Entonces 0 < x − 2 < δ implica que:
3
( 3 x + 2) − 8
5 3 x − 6 5 3( x − 2) 5 3 x − 2 , 3d 5 e
Por tanto:
( 3 x + 2) − 8
< ε = 0.01
En este ejemplo el problema ha consistido en encontrar una d para una ε establecida. Si para cualquier e se encuentra una d correspondiente entonces se habrá demostrado que el límite es 8.
2. Demuestra que lím (3x 1 2) 5 8.
x
2
Solución:
Esta función es la misma del ejemplo anterior sólo que ahora e es un número positivo cualquiera.
Con base en el análisis preliminar ya efectuado se puede hacer la prueba formal.
Sea e . 0. Elegir d 5
ε
. Entonces 0 < x − 2 < δ implica que:
3
( 3 x + 2) − 8
5 3 x − 6 5 3( x − 2) 5 3 x − 2 , 3d 5 e
Por tanto:
( 3 x + 2) − 8 < ε
Si se toma e 5 0.01 entonces se obtiene d 5
0.01
el cual es el resultado del ejemplo anterior.
3
29
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
ε
Desde luego que cualquier número positivo menor que se puede tomar como la d que se requiere
3
en este ejemplo.
3. Prueba que lím (5x 2 3) 5 12.
xS 3
Solución:
Análisis preliminar.
Sea e un número positivo cualquiera se debe encontrar una d . 0
Tal que:
0 < x−3 <δ 1
(5 x − 3) − 12 < ε
Considerando la desigualdad de la derecha se tiene:
(5 x − 3) − 12 < ε
3 5 x − 15 < ε
3 5( x − 3) < ε
3 5 x−3 <ε
ε
3 x−3 <
5
Como se requiere que 5 x − 3 < ε siempre que 0 < x − 3 < δ entonces conviene elegir:
d5
ε
5
Es decir:
5δ = ε .
Prueba formal:
Sea ε > 0. Elegir d 5
ε
. Entonces 0 < x − 3 < δ implica que:
5
(5 x − 3) − 12 5 5 x − 15 5 5( x − 3) 5 5 x − 3
, 5δ = ε
Por tanto:
(5 x − 3) − 12 < ε
4. Prueba que lím
xS 3
2 x 2 − x − 15
5 11
x−3
Solución:
Análisis preliminar.
Sea e un número positivo cualquiera se debe encontrar una d . 0 tal que:
0 < x−3 <δ 1
Para x ? 3 se tiene:
2 x 2 − x − 15
− 11 < ε
x−3
(2 x + 5)( x − 3) − 11 < ε
2 x 2 − x − 15
− 11 < ε 3
x−3
x−3
3 ( 2 x + 5) − 11 < ε
30
Grupo Editorial Patria®
3 2x − 6 < ε
3 2( x − 3) < ε
3 2 x−3 <ε
3 x−3 <
Entonces conviene elegir d 5
ε
2
ε
, es decir, que 2δ = ε .
2
Prueba formal:
Sea e . 0. Elegir d 5
ε
. Entonces 0 < x − 3 < δ implica que:
2
2( x + 5)( x − 3)
2 x 2 − x − 15
− 11 5 2 x + 5 − 11 5 2 x − 6 5 2( x − 3)
− 11 5
x−3
x−3
5 2 x − 3 , 2δ = ε
La cancelación del factor (x 2 3) es válida pues 0 < x − 3 implica que x ? 3 con lo que se ha
evitado dividir entre 0.
5. Prueba que el lím ( x 2 + x − 12) = 8
xS 4
Solución:
Análisis preliminar.
Sea e un número positivo cualquiera se debe encontrar una d . 0 tal que:
(
)
0 < x − 4 < δ 1 x 2 + x − 12 − 18 < ε
Es decir:
(x
2
)
+ x − 12 − 8 < ε 3 x 2 + x − 20 < ε
3 ( x + 5)( x − 4 ) < ε
3 x +5 x −4 < ε
Se desea demostrar que x 2 + x − 20 es pequeño cuando x está cercano a 4. Para ello se encontrará
una cota superior para el factor x + 5 . Si x está cercano a 4, el factor x − 4 es pequeño y el factor
x + 5 está cercano a 9. Como los valores de x están próximos a 4 podemos considerar sólo aquellos
valores de x para los que x − 4 , 1. Esto significa que la d que se busca debe ser menor o igual a
1 (d # 1).
Esto es x − 4 , 1, o bien, −1 < x − 4 < 1 que equivale a 3 < x < 5 y también a 8 < x + 5 < 10 .
Esto quiere decir que si x − 4 , 1 entonces 8 < x + 5 < 10, por tanto:
x 2 + x − 20 5 x − 4 x + 5 , x − 4 ⋅ 10 siempre que x − 4 , 1
Entonces x − 4 ⋅ 10 , e que equivale a x − 4 <
ε
.
10
1
ε entonces siempre que x − 4 < δ
10
1
se tiene que x − 4 < ε y x + 5 < 10 (que se obtiene cuando x − 4 , 1).
10
Si se escoge d como el más pequeño de 1 y
31
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
En consecuencia:
x 2 + x − 20 <
1
ε ⋅10 = ε
10
Y, por tanto:
x 2 + x − 20 < ε
Siempre que:
0 < x−4 <δ
Si d es el más pequeño de los números 1 y
Prueba formal:
Sea e . 0. Escoger d 5 mín {1,
(x
2
1
1
ε se escribe d 5 mín {1, ε }
10
10
1
ε }. Entonces 0 < x − 4 < δ implica que:
10
)
+ x − 12 − 8 5 x 2 + x − 20 5 x − 4 x + 5 , 10 ⋅
1
ε =ε
10
6. Prueba que el lím x2 5 9
xS 3
Solución:
Análisis preliminar.
Sea e un número positivo cualquiera se debe encontrar una d . 0 tal que 0 < x − 3 < δ 1
x2 − 9 < ε
Es decir:
x 2 − 9 < ε 3 ( x − 3) ( x + 3) < ε
3 x−3 x+3 <ε
Se quiere demostrar que x 2 − 9 es pequeño cuando x está próximo a 3. Para ello encontramos
una cota superior para el factor x + 3 . Si x está próximo a 3, el factor x − 3 es pequeño y el factor
x + 3 está cercano a 6. Como los valores de x están próximos a 3 se pueden considerar sólo aquellos
valores de x para los que x − 3 < 1 esto es, buscamos que d sea menor que o igual a 1, d # 1, o
sea que x − 3 < 1 es decir −1 < x − 3 < 1 que equivale a 2 < x < 4 y también a 5 , x 1 3 , 7.
Esto quiere decir que si x − 3 < 1 entonces 5 < x + 3 < 7 .
Por tanto:
x 2 − 9 5 ( x − 3) ( x + 3) 5 x − 3 x + 3 , x − 3 ⋅ 7 siempre que x − 3 < 1.
1
Es decir x − 3 ⋅ 7 < ε o bien x − 3 < ε .
7
1
Si se escoge d como el más pequeño de 1 y ε , entonces siempre que x − 3 < δ se tiene que
7
1
1
x − 3 < ε y x − 3 < 7 que se obtiene cuando x − 3 < 1 , en consecuencia x 2 − 9 , ε ⋅ 7
7
7
Prueba formal:
⎧ 1 ⎫
Sea e . 0. Escoger d 5 mín ⎨1, ε ⎬ . Entonces 0 < x − 3 < δ implica que:
⎩ 7 ⎭
32
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1
x 2 − 9 5 ( x − 3) ( x + 3) 5 x − 3 x + 3 , 7 ⋅ ε = ε
7
6
52
7. Demuestra que el lím
xS 4 x − 1
Solución:
Análisis preliminar.
Sea e un número positivo cualquiera se debe encontrar una d . 0 tal que:
0 < x−4 <δ 1
6
−2 <ε
x −1
Es decir:
6
6 − 2( x − 1)
−2 <ε 3
<ε
x −1
x −1
8 − 2x
3
<ε
x −1
3
2( 4 − x )
<ε
x −1
3 4− x ⋅
2
<ε
x −1
3 x−4 ⋅
2
<ε
x −1
6
− 2 es pequeño cuando x está próximo a 4. Para ello se debe encontrar
x −1
2
una cota superior para
. Como se busca que d sea menor que o igual a 1, d # 1, significa que
x −1
Se quiere demostrar que
siempre que x − 4 < δ entonces x − 4 < 1, es decir, 2 1 , x 2 4 , 1, o bien, 3 , x , 5 de donde
2 , x 2 1 , 4.
2
2
6
, x−4⋅ ,
Por tanto, siempre que x − 4 < 1 , x − 1 > 2 y como
−2 5 x−4⋅
2
x −1
x −1
2
6
siempre que x − 4 < 1 entonces x − 4 ⋅ , e. Y, por tanto, tomamos d 5 e, es decir
−2 ,
2
x −1
6
x − 4 < ε . Es decir,
− 2 , e siempre que 0 < x − 4 < δ con δ 5 e.
x −1
Actividad de aprendizaje
Explica geométricamente en qué consiste la definición de límite y proporciona un ejemplo.
33
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Ejercicios de cálculo
1. Establece la definición formal adecuada para cada una de las siguientes expresiones.
c) lím h (x) 5 L
b) lím g (x) 5 M
a) lím f (x) 5 P
xS a
xS b
xS c
e) lím g (t) 5 L
d) lím f (u) 5 B
uSd
tS a
2. En cada una de las siguientes expresiones se cumple la definición formal de límite. Encuentra una d
para la e establecida.
a) lím (3x 1 1) 5 10, e 5 0.01
b) lím (3 2 2x) 5 7, e 5 0.02
c) l í m (4x 2 5) 5 3, e 5 0.001
d) lím
xS
S 22
xS 3
xS
S 22
xS 2
x2 − 4
5 2 4, e 5 0.01
x+2
e) lím x = 9 , e 5 0.005
2
xS 3
3. Da una prueba formal de cada límite.
a) lím (5x 2 7) 5 13
b) l í m (3x 2 2) 5 4
c) lím (4x 1 1) 5 5
d) lím (7 2 2x) 5 11
xS 2
xS 4
xS
S 22
xS1
e) lím
x − 25
5 10
x −5
f ) lím
x2 − 9
=6
x−3
g) lím
x2 + 2x − 3
=4
x −1
h) lím
2x2 + x − 3
=5
x −1
2
xS 5
xS1
i) lím
xS 2 1
xS 3
xS1
3x2 + 5x + 2
= −1
x +1
j) lím x 2 = 1
xS1
k) lím x 2 = 9
(5 − x − x ) = −1
o) lím
1
= −1
x+3
x S24
)
xS 2
m) lím
x S23
(
lím (x
l) l í m 2 x 2 − 4 x + 3 = −1
x S23
2
n)
xS 2
2
)
+ 2x − 1 = 7
En un aserradero se busca obtener vigas con la mayor resistencia y la menor cantidad de madera posibles. ¿Qué
forma debe tener la sección que cumpla con las condiciones anteriores?
Proposiciones para el cálculo de límites
Hasta ahora se ha procedido al cálculo de límites en dos formas. La primera ha consistido en una aproximación al
concepto a través de sucesiones de valores crecientes y decrecientes que tiende a un valor determinado.
De esta manera se puede proceder para acercarnos al valor que tiene como límite la expresión:
lím
xS 0
sen x
x
Otra forma de calcular el límite de una función tiene como base la definición formal de límite.
Convendremos, sin embargo, en que dichas formas son muy laboriosas y en algunos casos particularmente difíciles. Es por ello que, en la práctica, para el cálculo de límite nos apoyamos en el siguiente teorema.
34
Grupo Editorial Patria®
Teorema de los límites
Sea n un número entero positivo, k una constante, y f y g funciones con límites en c. Entonces:
1. lím k 5 k
xS c
2. lím x 5 c
xS c
3. lím k f (x) 5 k lím f (x)
xS c
xS c
4. lím ⎡⎣ f ( x ) + g( x ) ⎤⎦ 5 lím f (x) 1 lím g (x)
xS c
xS c
xS c
5. lím ⎡⎣ f ( x ) − g( x ) ⎤⎦ 5 lím ) f (x) 2 lím g (x)
xS c
xS c
xS c
6. lím ⎡⎣ f ( x ) ⋅ g( x ) ⎤⎦ 5 lím f (x) ⋅ lím g (x)
xS c
xS c
xS c
7. lím
xS c
lím f ( x )
f ( x)
5 x→ c
, dado que lím g (x) ? 0
xS c
g( x )
lím g( x )
x→ c
8. lím ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ 5 ⎡lím f ( x ) ⎤
xS c
⎣ x→ c
⎦
n
9. lím
xS c
n
n
f ( x ) 5 n lím f ( x ) , dado que lím f (x) . 0 cuando n es par.
x→ c
xS c
Límites de funciones
Estos importantes resultados se aplican al cálculo de límites y así se dice que:
1. El límite de x cuando x tiende al valor c es c.
lím x 5 c
xS c
Por ejemplo:
lím x 5 3
xS 3
2. El límite de una constante cuando x tiende al valor c es la constante.
Es claro que el valor de la constante permanece fijo sin importar los valores que tome la variable.
Por ejemplo:
lím 5 5 5
xS 2
3. El límite de la suma de un número finito de funciones cuando x tiende a c es igual a la suma de los límites (si
existen) de estas funciones cuando x tiende a c.
Por ejemplo:
l í m (x 1 3) 5 l í m x 1 l í m 3 5 2 1 3 5 5
xS 2
xS 2
xS 2
4. El límite del producto de un número finito de funciones cuando x tiende a c es igual al producto de los límites
(si existen) de estas funciones cuando x tiende a c.
Por ejemplo:
( )( )( )
lím 3x2 5 lím 3 lím x lím x 5 (3)(4)(4) 5 48
xS 4
xS 4
xS 4
xS 4
Como caso particular se tiene que el límite del producto de una constante por una función cuando x tiende
a c, es igual al producto de la constante por el límite de la función cuando x tiende a c.
5. El límite del cociente de dos funciones cuando x tiende a c es igual al cociente de los límites de las funciones
cuando x tiende a c, siempre que el límite del denominador no sea igual a cero.
35
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Por ejemplo:
lím
xS 4
lím (5 x − 2)
lím 5 x − lím 2
5x − 2
18
x→ 4
5 x→ 4
5 x→ 4
52
5
lím ( 2 x + 1)
2x + 1
9
lím 2 x + lím 1
x→ 4
x→ 4
x→ 4
6. La condición necesaria y suficiente para que tenga límite el cociente de dos funciones en la que el denominador tiende a cero, es que el numerador también tiende a cero.
Por ejemplo:
lím ( x 2 − 9) 0
x2 − 9
lím
=
5 x →3
xS 3 x − 3
lím ( x − 3) 0
x →3
Sin embargo, para valores de x cercanos a 3 pero distintos de 3, es decir, x ? 3:
lím
xS 3
( x − 3)( x + 3) 5 lím (x 1 3) 5 3 1 3 5 6
x2 − 9
5 lím
xS 3
xS 3
x−3
( x − 3)
7. El límite de la potencia enésima de una función cuando x tiende a c es igual a la potencia enésima del límite
de esa función cuado x tiende a c.
Por ejemplo:
( ) = 2 = 16
l í m x4 5 lím x
xS 2
4
4
x→2
8. El límite de la raíz enésima de una función cuando x tiende a c es igual a la raíz enésima del límite de esa
función cuando x tiende a c.
Por ejemplo:
x+4 5
lím
xS 5
lím( x + 4 ) 5 9 = 3
x→5
Todas estas propiedades, generalmente, se combinan para obtener el límite de expresiones tales como el
siguiente polinomio en x cuando x tiende a c.
(
)
lím 4 x 2 − 2 x + 7 5 lím 4 x 2 – lím 2x 1 lím 7
xS 3
xS 3
xS 3
xS 3
5 lím 4 ⋅ lím x ⋅ lím x – lím 2 ⋅ lím x 1 lím 7
xS 3
xS 3
xS 3
xS 3
xS 3
xS 3
54 ⋅ 3 ⋅ 322 ⋅ 317
5 36 2 6 1 7
5 37
Es conveniente hacer notar que para este límite en particular:
(
lím 4 x 2 − 2 x + 7
xS 3
)
En el que f (x) 5 4 x 2 − 2 x + 7 :
(
)
lím 4 x 2 − 2 x + 7 5 f (3)
xS 3
Esto se cumple porque la función f es continua en x 5 3; sin embargo, no siempre se cumple que lím 5 f (c).
x→ c
Más adelante utilizaremos estos conocimientos para definir la continuidad de una función.
36
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Ejemplos
1. Calcular lím
xS 4
4 x2 − 4
.
5x
Solución:
El límite se obtiene sustituyendo x 5 4 en la expresión:
lím
xS 4
2. Calcular lím
xS 4
4( 4 )2 − 4
4(16 ) − 4
64 − 4
60
4 x2 − 4
=3
5
5
5
5
5( 4 )
20
20
20
5x
x 2 − 16
.
x−4
Solución:
Al sustituir x 5 4 en la expresión se obtiene:
lím
xS 4
x 2 − 16
4 2 − 16 0
5
=
x−4
4−4
0
Pero la función debe tener un límite porque tanto el numerador como el denominador tienden a cero
cuando x tiende a 4.
Factorizando la función del numerador se tiene:
( x − 4 )( x + 4 )
x 2 − 16
5 lím
xS 4
xS 4
x−4
x−4
Tomando x cercano a 4 pero diferente de 4, se evita la división entre cero que no está definida, por
tanto:
lím
lím
xS 4
3. Calcular lím
tS 0
x 2 − 16
5 lím x 1 4 5 4 1 4 5 8
xS 4
x−4
3− 9−t
.
t
Solución:
Al sustituir t 5 0 en la expresión se obtiene:
3− 9−0
3−3 0
3− 9−t
3− 9
5
5
5
=
0
0
0
t
0
Esta indeterminación se puede evitar si se racionaliza el numerador, es decir:
lím
tS 0
lím
tS 0
(
)(
3− 9−t 3+ 9−t
3− 9−t
5 lím
tS 0
t
t 3+ 9−t
5 lím
tS 0
5 lím
tS 0
5
(
9 − (9 − t )
(
t 3+ 9−t
(
t
t 3+ 9−t
1
3+ 9−0
5
)
)
)
)
1
1
=
3+3 6
37
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
4. Calcular lím
xS 0
sen x
.
tan x
Solución:
lím
xS 0
sen x
sen 0 0
5
=
tan x
tan 0 0
Sin embargo:
tan x =
sen x
cos x
Por tanto:
lím
xS 0
sen x
sen x
5 lím
xS
0
sen x
tan x
cos x
5 lím cos x 5 cos 0 5 1
xS 0
Pues cos 0º 5 1.
5. Calcular lím
xS 4
x 2 + x − 20
.
x−4
Solución:
Sustituyendo x 5 4 en la expresión se obtiene
0
.
0
Factorizando, se obtiene:
lím
xS 4
( x − 4 ) ( x + 5)
x 2 + x − 20
5lím
xS 4
x−4
x−4
5 lím (x 1 5) 5 9
xS 4
x + 2x − 5x − 6
.
x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10
3
6. Calcular lím
xS 2 1
2
Solución:
Al sustituir x 5 21 se obtiene
0
.
0
Tanto el numerador como el denominador son factorizables por lo que:
lím
xS 2 1
( x + 1)( x − 2)( x + 3)
x3 + 2x2 − 5x − 6
5 lím
3
2
xS
2
1
x − 6 x + 3 x + 10
( x + 1)( x − 2)( x − 5)
5 lím
xS 2 1
5
38
( x + 3)
( x − 5)
2
1
=−
−6
3
Grupo Editorial Patria®
Aplicación de tus Saberes
Actividad
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos.
Cuidémoslo.
El cambio climático es un gran problema que afecta a nuestro
planeta.
Investiga:
¿Qué ha ocurrido con la temperatura global a lo largo del último
siglo?
¿En qué medida se ha incrementado la frecuencia de ciertos fenómenos climáticos extremos?
Elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para
cuidar nuestro medio.
Ejercicios de cálculo
Encuentra el valor de los siguientes límites:
1. l í m x
2. lím x
3. lím1 x
4. lím1 x
x S23
xS 2
tS
tS 2
2
4
5. lím 7
6. lím ?
7. l í m (x 1 2)
8. lím (x 1 5)
xS 4
xS 3
xS 2
9. lím 6x
tS 2 5
10. lím 7x
x S23
xS 3
2
11. lím 4 x
xS22
12. lím x3
xS22
13. lím
2x + 7
x +1
14. lím
x2 + 3
4
15. l í m
4 x3 − 2
2x + 1
16. lím
3x3 − 2
x2 + 1
17. lím
3x2 + 1
x+4
18. lím
4 x3 + 2
5x + 4
20. lím
(7 x
xS 4
xS 2
xS 3
(
)
21. lím (5 x + 6 x − 3)
23. lím ( x − cx )
25. lím ( x − 2 x + 1)
19. lím 3 x 2 − 2 x + 5
xS1
2
1
tS
2
2
xS c
2
xS 3
xS 3
xS 0
xS22
xS 2 1
(
lím (7 x
lím ( x
3
− 4 x2 + x − 2
22. lím x 3 − 9 x 2 + 7 x + 5
xS 3
24.
26.
xS 2 1
)
)
2
− 7ax + 2
3
− 2x2 + 3x − 4
xS a
)
)
39
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
27. lím
t2 − 5
2t 3 + 6
28. lím
2x + 1
x − 3x + 4
29. lím
x 3 − 27
x−3
30. lím
x3 + 8
x+2
31. lím
x3 − 1
x −1
32. lím
x2 + 5x + 6
x 2 − x − 12
8x + 1
x+3
34. lím3
8t 3 − 27
4t 2 − 9
35. lím
9+ x −3
x
36. lím
37. lím
x 3 − x 2 − x + 10
x2 + 3x + 2
38. lím
x3 − 2x2 − 5x + 6
x3 − 2x2 − x + 3
39. lím
x 3 − x 2 − 21x + 45
x 3 − 7 x 2 + 15 x − 9
40. lím
2x3 − 5x2 − 2x − 3
4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
tS 2
xS 3
xS1
33. lím
xS1
xS 0
xS22
xS 3
xS 2 1
xS22
x S23
tS
2
xS 0
xS1
xS 3
2
x+2− 2
x
0
Formas indeterminadas del tipo ––
0
En la sección anterior se ha estudiado lo relacionado con el límite del cociente de dos funciones f y g en las que
x tiende a c de manera que:
lím
xS c
lím f ( x )
f ( x)
0
5 x→ c
5 lím
x
c
S
g( x )
0
lím g( x )
x→ c
Para calcular:
lím
xS c
f ( x)
g( x )
Lo que se hace es factorizar tanto el numerador como el denominador donde aparece el factor (x 2 c) que cuando x tiende a c, permite efectuar la división:
x−c
= 1 , si x ? c
x−c
Con lo cual se quita la indeterminación.
Esto es resultado de la propiedad que dice: Si un polinomio entero en x se anula para x 5 a, es divisible entre x – a.
Ejemplos
1. l í m
xS 2
( x − 2) ( x + 3)
x2 + x − 6
5l í m
2
x + 3 x − 10 xS 2 ( x − 2) ( x + 5)
5l í m
xS 2
5
40
( x + 3) , si x ? 2
( x + 5)
2+3
5
5
2+5
7
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La división entre (x 2 2) es válida porque cuando x S 2, x ? 2 y, por tanto, no se ha dividido entre
cero.
2. lím
x S23
( x + 3)( x − 1)
x2 + 2x − 3
5 lím
2
x + 5 x + 6 xS23 ( x + 3) ( x + 2)
5 lím
x S23
5
3. lím
xS 3
x −1
, si x ? 2 3
x+2
−3 − 1
5 −4
=4
−3 + 2
−1
(
( x − 3) x 2 + 3 x + 9
x 3 − 27
5 lím
xS 3
x−3
x−3
)
5 lím x 2 + 3 x + 9 , si x ? 3
xS 3
5 32 + 3( 3) + 9
5 27
0
se obtiene al evaluar tanto el numerador como el deno0
minador en x 5 c. Este tipo de indeterminación también se obtiene cuando se tiene el cociente de dos
funciones que valen cero en x 5 c y en alguna de ellas aparece un radical de índice dos.
En estos tres ejemplos la indeterminación
Para eliminar el radical se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del que lo
contenga.
Ejemplos
1. lím
xS 0
( 4 + x − 2)( 4 + x + 2)
4+ x −2
5 lím
xS
0
x
x( 4 + x + 2 )
Donde:
( 4 + x − 2)( 4 + x + 2)
x( 4 + x + 2 )
5
4+ x−4
x( 4 + x + 2 )
x
5
x( 4 + x + 2 )
5
1
4+ x +2
Por tanto:
lím
xS 0
4+ x −2
5 lím
xS 0
x
1
4+ x +2
Es decir:
1
5
5
4+0 +2
5
1
4 +2
5
1
2+2
1
4
41
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
2. lím
xS a
x− a
( x − a )( x + a )
5 lím
xS a
x−a
( x − a )( x + a )
Donde:
( x − a )( x + a )
( x − a )( x + a )
5
( x − a)
( x − a )( x + a )
5
1
x+ a
Por tanto:
lím
xS a
x− a
5 lím
xS a
x−a
5
5
1
x+ a
1
a+ a
1
2 a
Ejercicios de cálculo
Encuentra el valor de los siguientes límites:
1. lím
x2 − 2x − 3
x2 + 3x + 2
2. lím
x2 − 3x + 2
x2 + 2x − 3
3. lím
x 2 + 7 x + 10
x2 − x − 6
4. l í m
x2 − 3x + 2
x2 − 5x + 6
x3 − 2x2 − 5x + 6
x −1
xS 2 1
xS
S 22
xS 2
5. lím
x 2 − x − 12
x 2 + x − 20
6. lím
7. l í m
x3 + 2x2 − 5x − 6
x+2
8. lím
9. lím
x3 + 2x2 − x − 2
x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18
xS 4
xS 2
xS
S 22
xS1
x S23
10. lím
xS 4
x 3 + 2 x 2 − 17 x + 15
x2 − x − 6
x 4 − 5 x 3 + 20 x − 16
x 4 − 3 x 3 − 8 x 2 + 12 x + 16
11. lím
x +1 − 3
x−8
12. lím
2x − 1 − 3
x −5
13. lím
2+ x − 2
x
14. lím
x+3− 3
x
15. lím
1+ x − 1− x
x
xS 8
xS 0
xS 0
42
xS1
xS 5
xS 0
Grupo Editorial Patria®
Para tu Reflexión
Jorge Federico Bernardo Riemann (1826-1866)
Riemann es uno de los matemáticos más importantes del siglo xix; sus contribuciones postularon
valiosas modificaciones a la geometría tradicional y su geometría no-euclideana constituye la base
para los estudios contemporáneos de esta ciencia y de la física teórica.
En 1840 se inscribió en el Instituto de Hannover y dos años más tarde en Luneburgo, donde trabajó
las obras de Euler y de Legendre, las cuales comprendió y asimiló rápidamente. En 1851 se doctoró con la tesis Fundamentos de una teoría general de las funciones de una variable compleja,
que captó la atención de Gauss. En esta memoria expone como una función viene definida por sus
puntos singulares y valores en los límites. Sus memorias sobre representación de una función por
serie trigonométrica y sobre funciones abelianas (publicada esta última en el Journal de Crelle), son
también de importancia considerable.
Su método de integración de ecuaciones diferenciales es de gran relevancia, sobre todo por las aplicaciones cotidianas que tiene, como lo es la hidrodinámica.
Límites infinitos y límites en el infinito
1
no se pueden aplicar las proposiciones estudiadas para el cálculo
x
de límites porque cuando x 5 0 el denominador se anula y en consecuencia la función no
está definida para x 5 0.
1. En la función f (x) 5
y
Como hemos visto anteriormente, la gráfica de la función tiene como asíntota vertical el eje
y cuya ecuación es x 5 0 y su asíntota horizontal es el eje x que tiene por ecuación y 5 0
(véase figura 2.18).
La figura ilustra la gráfica de una hipérbola equilátera que tiene su centro en el origen del
sistema coordenado.
Cuando el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier
número positivo, previamente asignado sin importar qué tan grande sea, se dice que v se
vuelve infinita. Si v únicamente toma valores positivos, se hace infinita positivamente y si
sólo toma valores negativos, se hace infinita negativamente.
0
x
1
no tiende a ningún límite pero se dice que tiende a menos infinito
x
cuando x tiende a cero por la derecha, en símbolos
La función f (x) 5
lím
xS 02
1
1
5 2`, lím1 5 1`
xS
0
x
x
Figura 2.18
O bien:
1
5 6`
x
lím
xS 0
Es decir:
1
=∞
`
0
Debe recordarse que ` es un símbolo, no un número. Por ello en la expresión:
lím
xS 0
1
5`
x
43
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
1
1
se hace infinita o se vuelve infinita por lo que es incorrecto decir se aproxima al infinito
x
x
pues infinito no es un límite.
Significa que
1
, la x tiende a 1` se observa que la rama derecha de la hipérbola se acerca cada
x
1
vez más al eje x de ecuación y 5 0; es decir, a medida que x aumenta valor, se hace cada vez más pequeño
x
1
de manera que cuando x 5 S 1`, tiende a cero.
x
1
1
1
Debe recordarse que f (x) 5 también se expresa por y 5 ; entonces, decir que tiende a cero equix
x
x
vale a decir que y tiende a cero.
Si en la función f (x) 5
Si en la función x 5 S 2` la rama izquierda de la hipérbola se acerca cada vez más al eje x, significa que a
1
medida que x se hace cada vez más pequeña (más grande en valor absoluto), se hace cada vez más grande
x
1
por lo que cuando x 5 S 2`, tiende a cero, en símbolos:
x
1
lím
50
x S 6q x
Es decir:
1
=0
∞
1
cuando x tiende a más infinito o menos infinito se puede proceder en forma semex2
1
jante a lo efectuado con la función y 5 cuando x tiende a más infinito o menos infinito, para concluir que:
x
1
50
lím
xSq x 2
2. Con la función y 5
3. Veamos qué ocurre con el límite de la función y 5 6 x 2 + 7 x − 3 cuando x tiende a más o menos infinito.
Si se saca x como factor común:
3⎞
⎛
y 5 x ⎜ 6x + 7 − ⎟
⎝
x⎠
3
tiene límite cero cuando x tiende a más o menos infinito mientras que los factores
x
x y 6x 1 7 pueden tomar valores tan grandes como se desee y entonces el producto tiende a más infinito.
Donde la fracción −
La gráfica de esta función es una parábola que tiene su eje vertical y abre hacia arriba, de manera que para
valores de x muy grandes en valor absoluto, positivos o negativos, la y es positiva y tan grande como se quiera.
4. Límite de la función y 5 2 x 3 + 3 x 2 − x + 3 cuando x tiende a más o menos infinito.
Si se saca x como factor común:
3 1
3⎞
⎛
y = x3 ⎜ 2 + − 2 + 3 ⎟
⎝
x x
x ⎠
El límite de las fracciones es cero cuando x tiende a más infinito o menos infinito, por lo que si x tiende a
más infinito la función tiende a más infinito, y si x tiende a menos infinito la función tiende a menos infinito.
Véase la gráfica de la función y 5 x3.
5. Límite de la función y 5
4 x 3 + 7 x 2 − 23 x − 6
cuando x tiende a más o menos infinito.
3x2 − 8 x − 3
Sacando a x3 como factor común en el numerador y a x2 como factor común en el denominador, se obtiene:
44
Grupo Editorial Patria®
7 23 6 ⎞
⎛
x3 ⎜ 4 + − 2 − 3 ⎟
⎝
x x
x ⎠
y=
8 3⎞
⎛
x2 ⎜ 3 − − 2 ⎟
⎝
x x ⎠
Por lo que al tender x a más o menos infinito, las fracciones del numerador y del denominador tienen por
límite cero.
Luego la función tiende a más infinito si x S 1` y a 2` si x S 2`.
Algunos límites que se presentan con frecuencia son los siguientes, donde v es una variable y c es una constante (c ? 0):
c
c
lím = ∞, es decir, = ∞
nS 0 v
0
lím cv = ∞ , es decir, c ⋅ ∞ = ∞
nSq
v
∞
= ∞, es decir, = ∞
nSq c
c
c
c
lím = 0, es decir, = 0
nSq v
∞
Estos límites se utilizan para calcular el límite de un cociente de dos polinomios cuando la variable se hace
infinita.
En estos casos, lo que se hace es dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de la variable que
entra en la fracción.
lím
Ejemplos
1. Demostrar que lím
xSq
3x3 − 5x2 + 2
3
=−
5
7 x − x2 − 5x3
Solución:
Se divide el numerador y el denominador entre x3 que es la mayor potencia de la variable x que entra
en la fracción.
Así:
5 2
3− + 3
3x3 − 5x2 + 2
x x
5 lím
lím
xSq 7 x − x 2 − 5 x 3
xSq 7
1
− −5
2
x
x
Donde al tender x a infinito, las fracciones del numerador y del denominador tienen por límite cero;
en consecuencia:
3
5
−5
5−
2. Demostrar que lím
tSq
3
5
5t 2 + 3
=0
2t 3 − t 2
Solución:
Dividiendo numerador y denominador entre t 3, la cual es la mayor potencia de la variable t que entra
en la fracción, se obtiene:
45
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
3. Calcular lím
xSq
4x + 7
.
2x − 3
5 3
+
5t 2 + 3
t t3
5 lím
lím
1
tSq
tSq 2t 3 − t 2
2−
t
0+0
5
2−0
0
5
2
50
Solución:
Dividiendo numerador y denominador entre x se obtiene:
7
4+
4x + 7
x
5 lím
lím
xSq
xSq 2 x − 3
3
2−
x
4+0
5
2−0
4
5
2
52
Actividad de aprendizaje
¿Qué se hace para calcular el límite de un cociente de dos polinomios cuando la variable se hace infinita? Verifica tu respuesta mediante un ejemplo.
Ejercicios de cálculo
Calcula los siguientes límites:
1. l í m
xS 2
2. lím
xS 0
xSq
5
3
( x − 2)
2
xSq
3
1
x2
x S 2q
xSq
46
16. lím
2x4 + x2 + 5
3 x5 + x3 − x
17. lím
4 x2 + 5x − 2
3x4 + 1
x S 2q
x S 2q
x2 + 3x + 2
xSq
x+3
x+3
12. lím 2
xSq x + 3 x + 2
7
13. lím
x→−3 x + 3
2x3 + 3x − 2
14. lím
xSq 4 x 2 + 2 x − 3
x S 2q
11. lím
5
5. lím
x S 2q x
(
x2 + x + 5
2x2 + 7
2
xS 1q
3
x
6. lím 5 x 2 − 2 x + 3
15. lím
xSq
⎛ 1⎞
3. lím ⎜ − 2 ⎟
xS 0 ⎝
x ⎠
4. lím
(
)
8. lím ( 4 x + 2 x − 7 )
9. lím (7 x − 8 x + 5)
10. lím ( −3 x + 5 x − 7 )
7. lím 4 x 2 + 3 x − 1
)
18. lím
4 x2 + 3x + 2
x3 + 2x − 6
19. lím
6t 3 + 4t − 3
2t 3 − 3t + 5
20. lím
4 x2 − 5
5x3 + 3x2
xS 0
tSq
xSq
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`
Formas indeterminadas del tipo 3
`
Este tipo de expresiones se obtiene al hacer que x tienda a infinito, como ya hemos visto.
• Si el numerador tiende a infinito y el denominador tiene límite, la fracción tiende a infinito.
• Si el numerador tiene límite y el denominador tiende a infinito, la fracción tiene límite cero.
• Si el numerador y el denominador tienden a infinito, se dividen entre la máxima potencia de la variable que
entra en la fracción.
• Si los polinomios del numerador y del denominador son del mismo grado, la fracción tiene límite distinto
de cero.
De lo estudiado se tiene que para el cálculo del límite de una expresión cuando x S c:
1. En la expresión se sustituye x por el valor c de manera que para la expresión f (c) se calcula f (c). En el caso de
la suma o producto de funciones se obtiene la suma o producto de los límites (si existen).
2. Si se tiene la fracción
f ( x)
f ( c)
donde f (c) ? 0 y g (0) ? 0, el límite es el cociente
.
g( x )
g( c )
3. Si f (c) ? 0 y g (c) 5 0, el límite de la fracción es cero.
4. Si f (c) ? 0 y g (c) 5 0, la fracción no tiene límite pero tiende a infinito. Para que exista el límite se requiere
que f (c) también sea igual a cero.
5. Si f (c) 5 0 y g (c) 5 0 el límite, a veces, se puede calcular mediante transformaciones algebraicas sencillas.
Entre éstas se aplican la factorización, el teorema de divisibilidad de un polinomio entero entre x 2 a y las
relaciones trigonométricas.
Así, para calcular:
lím
uS 0
Se obtiene
sen u
tan u
0
sen u
, pero como tan u 5
cos u
0
lím
uS 0
sen u
sen u
5 lím
tan u uS 0 sen u
cos u
5 lím cos u
uS 0
5 cos u
51
6. Si x S ` y la expresión es un polinomio entero, no tiene límite pero tiende a infinito.
7. Si x S ` y la expresión es una fracción, se divide el numerador y el denominador entre la máxima potencia
de x.
8. Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, la fracción
tiende a infinito.
9. Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, la fracción
tiene límite cero.
10. Si los polinomios del numerador y del denominador tienen el mismo grado, la fracción tiene un límite diferente de cero.
47
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Aplicación de tus Saberes
Actividad
Encuentra el límite de la suma de los términos de la serie:
1 1 1
8 1 4 1 2 1 1— 1 — 1 —1 . . .
2 4 8
Ejercicios
Calcula los siguientes límites.
1. lím 4
2. lím (x 1 1)
3. lím (5 2 x)
4. l í m 3x
5. l í m 4x 1 1
6. lím 4x 2 7
7. l í m 3x 2 1
8. lím 2x 1 3
9. lím 3x 1 5
10. lím x 2 − x
xS 0
xS1
xS1
xS 2
xS 2
xS1
xS 4
xS 5
xS 3
11. l í m x 2 + 4 x
12. l í m x 2 − 4 x
13. lím 3 x + 1
14. l í m x 2 − 3 x + 2
15. lím x 3 + 3 x 2 − 2 x − 5
16. lím x 2 − 5 x + 4
17. lím x + 5 x − 2
18. lím x 3 − 4 x 2 + 3 x + 7
19. lím cos x
20. l í m
xS 2
2
xS 0
xS 2 1
3
xS1
xSp
x −1
xS 0 x − 1
x2 − 9
23. lím
xS 3 x + 3
2
21. lím
25. lím
1
xS
3
x2
x4
x3 − a3
xS a
x−a
x
29. lím
xS25 x
27. lím
xS 2
xS 2
xS 3
xS 0
xS 2
2− x
4 − 2x
x2 − 1
xS1 x + 1
x 2 − 16
24. lím
xS 4
x+4
22. lím
26. l í m
xS 2
x3 − 8
x−2
x 3 − 27
xS 3 x 2 − 9
x+3
30. lím 2
xS23 x − x − 12
28. lím
31. lím
x3 − 1
x3 + 2x2 − 5x + 2
32. l í m
x3 + x2 − 9x + 6
x2 + x − 6
33. lím
x2 − 1
x+3
34. lím
x2 − x − 6
x+2
35. lím
x2 − 3x + 2
x2 − 1
36. lím
xS1
xS1
xS1
48
xS 2
xS 2
xS22
xS1
x −1
x+3−2
Grupo Editorial Patria®
x−3
37. lím
x+3−2
xS 3
39. lím
xS 3
x2 − 1
38. lím
x+2+ x
xS 2 1
x
x−3
40. l í m
xS 2
41. lím 5 x 2 + 3 x − 2
3x2
4 − x2
42. lím 2 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 1
xSq
xSq
43. lím
x − 2x − 3
2x3 + 5
44. lím
3x + 2
4x −1
45. lím
2x2 + 3
4 − x − 3x2
46. lím
2x − 1
4x + 3
47. lím
x
2
x +3
48. lím
3x2 − 2x + 1
3x2 + x − 5
49. lím
x2 + 5x + 6
x+3
50. lím
x+3
x2 + 5x + 6
2
xSq
xSq
xSq
xSq
xSq
xSq
xSq
xSq
Teorema de continuidad de una función
Una función polinomial es continua para todo número real c. Una función racional es continua para todo número
real c, con excepción de los puntos en los que su denominador es cero.
Condiciones de continuidad
Funciones continuas y discontinuas
Consideremos la función:
f ( x) =
( x + 3) ( x − 2)
( x − 2)
Que está definida para todo número real diferente de 2.
La función también se puede expresar así:
f ( x) =
( x + 3)( x − 2) 5 x 1 3, si x ? 2
( x − 2)
Su representación en el plano coordenado corresponde a la siguiente gráfica de la ecuación
y 5 x 1 3 (véase figura 2.19).
y
Como se puede ver, se trata de una línea recta que no incluye al punto (2, 5). En este punto
se presenta un salto en la gráfica, por lo cual se dice que la función f es discontinua en el
número 2.
Si se define f (2) 5 3 la función está definida para cualquier valor de x; sin embargo, la
función sigue presentando una ruptura en x 5 2, por tanto es discontinua.
x
Si se define f (2) 5 5, no hay interrupciones en la gráfica por lo cual se dice que la función
es continua.
Definición
Una función f es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
Figura 2.19
49
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
a) Existe f (a).
b) Existe lím f (x).
xS a
c) lím f (x) 5 f (a).
xS a
En caso de que una o más de estas tres condiciones no se cumplan, la función f es discontinua en a.
Ejemplos
1. Sea la función f definida por:
f (x) 5
¨ ( x + 3) ( x − 2)
, si x ? 2
«
( x − 2)
©
«
ª 3, si x 5 2
a) Traza la gráfica.
b) Determina los puntos donde la gráfica tiene una ruptura o salto.
c) Muestra la o las condiciones de la definición que no se cumplen.
Solución:
a) La gráfica de la función es la siguiente.
y
x
Figura 2.20
b) La gráfica presenta un salto o ruptura en el punto x 5 2.
c) De acuerdo con la definición y para el punto x 5 2, se tiene:
i) Existe f (2), f (2) 5 3
ii) Existe el límite de la función f (x) 5 x 1 3 cuando x S 2
iii) l í m (x 1 3) ? f (2)
xS 2
Como no se cumple la tercera condición de la definición, la función f es discontinua en 2.
2. Sea la función f definida por:
f (x) 5
1
x
a) Traza la gráfica.
b) Determina los puntos donde la gráfica presenta una ruptura o salto.
c) Muestra la o las condiciones de la definición que no se cumplen.
50
Grupo Editorial Patria®
Solución:
y
a) La gráfica de la función es la siguiente (véase figura 2.21).
b) La gráfica presenta una ruptura en el punto x 5 0.
c) Para el punto x 5 0, de acuerdo con la definición:
i) Cuando x 5 0,
1
= ∞ , por tanto:
0
1 1
f (0) 5 =
0 0
Es decir, que la función f no está definida para x 5 0.
Esto es suficiente para concluir que la función f es discontinua en cero; sin embargo, continuaremos con el análisis de las otras dos condiciones de la definición.
ii) Cuando x tiende a cero se observa que la función no tiene límite pero tiende
a 1`, es decir,
lím f (x) 5
xS 0
1 1
= 5`
0 0
x
0
Figura 22.21
21
Es decir, no existe el límite de la función.
iii) Como la función no está definida en x 5 0 y en dicho punto tampoco existe el límite de la
función no se puede establecer la relación de igualdad; en consecuencia, tampoco se cumple
la tercera condición de la definición. Por tanto, la función f es discontinua en x 5 0.
3. Sea la función f definida por:
¨ x2, si x $ 1
«
f (x) 5 ©
« x 2 1, si x , 1
ª
a) Traza la gráfica.
y
b) Determina los puntos donde la gráfica presenta una ruptura o salto.
c) Muestra la o las condiciones de la definición que no se cumplen.
Solución:
a) La gráfica de la función es la siguiente (véase figura 2.22).
b) La gráfica presenta una ruptura en x 5 1.
c) Para el punto x 5 1, de acuerdo con la definición:
i) Existe f (1), f (1) 5 1
ii) No existe el límite de la función en x 5 1, porque:
lím f (x) 5 0
x
xS12
Y:
lím f (x) 5 1
xS11
Es decir:
lím f (x) ? lím1 f (x)
xS12
xS1
Por tanto, no existe el límite de la función cuando x S 1.
Figura 2.22
51
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
iii) Al no existir lím f (x), tampoco se cumple con la tercera condición de la definición y, en conxS1
secuencia, la función f es discontinua en x 5 1.
4. Sea la función f definida por:
¨ x2, si x ? 2
«
f (x) 5 ©
« 1, si x 5 2
ª
a) Traza la gráfica.
b) Determina los puntos donde la gráfica presenta una ruptura o salto.
c) Muestra la o las condiciones de la definición que no se cumplen.
Solución:
a) La gráfica de la función es la siguiente (véase figura
2.23).
y
b) La gráfica presenta una ruptura en x 5 2.
c) Para el punto x 5 2, de acuerdo con la definición:
i) Existe f (2), f (2) 5 1.
ii) Existe el límite de la función en x 5 2:
l í m f (x) 5 4
xS 2
iii) l í m f (x) ? f (2).
xS 2
Por tanto, la función f es discontinua en x 5 2.
x
En el primer ejemplo, si f (2) 5 5, la función f sería continua en x 5 2. A esto se llama discontinuidad removible.
0
Si f es una función discontinua en el número a, pero existe lím f (x) entonces:
Figura 2.23
xS a
f (a) ? lím f (x) o f (a) no existe.
xS a
A dicha discontinuidad se llama discontinuidad removible porque si se redefine f en a de manera
que:
f (a) 5 lím f (x)
xS a
Entonces f se vuelve continua en a.
Cuando la discontinuidad no es removible se llama discontinuidad esencial.
En el ejemplo 2, lím f (x) no existe, por tanto, la discontinuidad es esencial.
xS 0
En el ejemplo 3, lím f (x) no existe, por lo que la discontinuidad es esencial.
xS1
En el ejemplo 4, l í m f (x) 5 4 por lo que si se redefine f (2) 5 4; la función es continua en 2 y la
xS 2
discontinuidad es removible.
52
Grupo Editorial Patria®
Ejercicios de cálculo
A. En cada una de las siguientes funciones:
a) Traza la gráfica.
b) Determina los puntos donde la gráfica presenta una ruptura o salto.
c) Muestra la o las condiciones que no se cumplen.
1. f (x) 5 3 x 2 − 4 x + 1
3. f (x) 5
x −1
x + x −1
2
1
¨
« x + 2 , si x ? 22
«
5. f (x) 5 ©
«
«
ª 0, si x 5 2 2
7. f (x) 5
x2 − 4
x−2
¨ 3x − 6
« x−2 ,x ? 2
«
9. f (x) 5 ©
«
«
ª 1, si x 5 2
11. f (x) 5
2. f (x) 5
x2 + x − 1
x −1
¨ x 2 + x − 1 , si x ? 22
«
x−2
«
©
4. f (x) 5
«
«
ª 1, si x 5 22
3
¨
« x − 3 , si x ? 3
«
6. f (x) 5 ©
«
«
ª 2, si x 5 3
8. f (x) 5
x−2
x2 − 4
¨ 3 2 x, si x , 1
«
«
10. f (x) 5 ©
«
«
ª 1 − x 2 , si x 5 2
9x2 − 4
3x + 2
12. f (x) 5
9x2 − 4
3x − 2
x 2 − 16
x−4
¨ x −8
« x − 2 , si x 5 2
«
14. f (x) 5 ©
«
«
ª 2, si x 5 2
3
13. f (x) 5
¨ 2 2, si x , 0
«
«
15. f (x) 5 ©
« 2x
, si x $ 0
«
ª 3
B. De las funciones de A:
a) Determina cuáles son discontinuas.
b) Determina en cada caso si la discontinuidad es removible o esencial.
c) En el caso de las que tienen discontinuidad removible, define f (a) para que la discontinuidad sea
removida.
53
B2
Resolución de problemas de límites en situaciones de carácter económico,
administrativo, natural y social
Teoremas de valor intermedio y de valores extremos
Teorema del valor intermedio
Si f es continua en [a, b] y M es un número comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe un número c comprendido entre a y b tal que f (c) 5 M.
Teorema de valores extremos
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor máximo y un valor mínimo allí.
Continuidad y discontinuidad en un intervalo
Una función f (x) es continua en el intervalo (a, b) de x si es continua para todos los valores de x comprendidos
en el intervalo.
Si es discontinua para algún valor del intervalo, la función es discontinua en el intervalo.
Ejemplos
1
es discontinua en el intervalo (21, 1) por serlo para el valor x 5 0.
x
1
2. La función y 5
es discontinua en el intervalo (21, 1) por serlo para el valor x 5 0.
x
p
3. La función y 5 tan x es discontinua en el intervalo (0, ?) por serlo para el valor x 5 .
2
4. La función y 5 1 1 2x 2 x2 es continua en el intervalo (21, 1) por serlo para todos los valores del
intervalo.
1. La función y 5
5. La función y 5 sen x es continua en el intervalo (0, ?) por serlo para todos los valores del intervalo.
6. La función y 5 cos x es continua en el intervalo (0, ?) por serlo para todos los valores del intervalo.
La mayoría de las funciones que aparecen en esta obra son continuas excepto para ciertos valores
particulares.
Una función f continua en un intervalo (a, b) toma todos los valores comprendidos entre f (a)
y f (b). Si f (a) y f (b) son de signo contrario, la función se hace cero en algún punto del intervalo.
Un polinomio entero en x es una función continua para todo valor de x.
La suma, diferencia y producto de funciones continuas son también continuas. El cociente de dos
funciones continuas es otra función continua sólo para aquellos valores que no hagan cero el denominador.
Actividad de aprendizaje
¿Cuáles son las condiciones que debe cumplir una función para ser continua? Argumenta tu respuesta con base en el tema
desarrollado.
¿En qué consiste una discontinuidad removible? Elabora un ejemplo.
¿En qué consiste una discontinuidad esencial? Elabora un ejemplo.
54
Grupo Editorial Patria®
Comprueba
tus saberes
Ha llegado la hora de que demuestres realmente cuánto has aprendido, hemos terminado este bloque y ahora ya conoces
muchas cosas nuevas. En esta sección encontrarás una evaluación que abarca todo el conocimiento adquirido en este bloque, contéstalo lo mejor que puedas.
1. Encuentra una d para la e establecida.
lím 2 5 2; ¡ 5 0 . 005
1
xA2
2. Da una prueba formal del límite lím(7 2 2 x )511 .
xA2
3. Encuentra el valor del límite de lím( x 2 2 2 x 11).
xA2
x 3 21
.
xA2 x 21
4. Encuentra el valor del límite de l ím
5. Encuentra el valor del límite de lím
xA2
x 12
.
x2 24
x 2 1 5 x 16
.
xA3 x 2 2 x 212
6. Encuentra el valor del límite de lím
x 2 29
.
xA3 2 x 2 1 7 x 1 3
7. Encuentra el valor del límite de l ím
5 x 3 212 x 1 7
.
xA'
4 x 2 21
8. Encuentra el valor del límite de lím
9. Encuentra el valor del límite de límx 3 23x 2 1 2 x 2 5 .
xA0
2 x 4 11
.
xA' 3 x 4 2 7 x 2 1 2
10. Encuentra el valor del límite de lím
55
BLOQUE
Cálculo, interpretación y análisis de razones
de cambio en fenómenos naturales, sociales,
económicos y administrativos
3
Desempeños por alcanzar
Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o fenómeno
económico, social o natural en función del tiempo, mediante la resolución
de problemas del contexto real.
Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón
de cambio, mediante el análisis de casos relacionados con la producción
agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial existentes en el
entorno cotidiano.
Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio
para cuantificar el cambio físico, químico, biológico, económico, entre otros,
después de transcurrido un tiempo.
Objetos de aprendizaje
3.1 La derivada
3.2 La variación de un fenómeno a través del tiempo
3.3 La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un
periodo de tiempo
3.4 Reglas de derivación
3.5 Derivación implícita
3.6 Derivadas de orden superior
3.7 Aplicaciones de la derivada.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
1.
2.
Determina D y cuando x tome los valores x1 y x2 dados.
Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada
en el punto que se indica:
y 5 x2 1 4x 2 5; (2, 7)
3.
Para la ecuación de movimiento x 5 2t2 2 3t determina los intervalos
de tiempo en que la partícula se mueve hacia la derecha y cuándo hacia la
izquierda. Determina cuándo la partícula invierte su dirección.
4.
Utiliza la regla de los cuatro pasos para encontrar la derivada de
f (x) 5 3x 1 4; x 5 2.
5.
Determina si f (x) 5 |x 1 2| es diferenciable en x 5 22.
6.
4
Encuentra la derivada de y = 3 x −
7.
Encuentra la derivada de f x = 3 x 2 + 5 .
8.
Encuentra la derivada de y respecto a x por el método de derivación implícita.
2xy 2 3y2 1 1 5 0
9.
Encuentra la derivada de y 5 3 sen 2x.
10.
Encuentra la derivada de y 5 ln (5x 1 2).
Competencias por desarrollar
Analiza la producción de una empresa en un determinado tiempo e interpreta la producción promedio, su máxima y mínima, para obtener la
razón de cambio promedio.
Valora el uso de las TIC´s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de razón de cambio, en la interpretación de su valor a través
del tiempo en problemas de producción industrial, de física y en química.
Interpreta y cuantifica a través de modelos matemáticos, gráficas y tablas
de fenómenos físicos relativos a la variación de la velocidad, la velocidad
promedio, la velocidad de un móvil en cualquier instante y cómo éste varía a través del tiempo.
2 3 x
x + −5 .
3
2
( ) (
)
3
Interpreta la razón de cambio como la pendiente de una pareja de puntos
localizados en el plano o cómo la pendiente de la recta secante en la resolución de problemas de física en situaciones del entorno.
Argumenta e interpreta la razón de cambio como un límite, obtiene su representación algebraica y como consecuencia reconoce a este límite como
la derivada de la función en la resolución de problemas de su entorno.
Resuelve gráfica y algebraicamente derivadas para resolver problemas de
física, química, naturales, sociales, económicos, administrativos y financieros dentro de su ámbito inmediato.
Interpreta, analiza y argumenta que la segunda derivada de una función
gráficamente representa la concavidad de la curva y permite determinar
los puntos de inflexión.
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Situación
didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Secuencia
didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Se desea construir una caja rectangular de base cuadrada y abierta en su parte superior. Sin tomar en cuenta
el material que se desperdicie de una hoja de triplay,
¿cuáles son las dimensiones de la caja más grande que
se puede hacerse?
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente las condiciones del problema.
Presenten los resultados en plenaria, analicen y discutan las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar
1. ¿Qué se quiere construir?
2. ¿Cuál es la forma y desarrollo de la caja?
3. ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la superficie de la caja?
4. ¿Para qué valores el desperdicio de material es mínimo?
5. ¿Cuáles valores hacen posible la construcción de la caja?
6. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja más grande que se puede construir?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.
Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la
secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación del producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar los dibujos y cálculos realizados para determinar lo que se pide en el problema, con una ilustración del
mismo donde se muestren los datos y la solución del problema.
58
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¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Rúbrica
Para determinar las medidas que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados,
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el
esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Indicadores de desempeño
Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o fenómeno social o natural en función del tiempo,
mediante el análisis de casos relaciones con la producción de problemas del contexto real.
Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón de cambio, mediante el análisis de
casos relacionados con la producción agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial existentes en
el entorno cotidiano.
Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio para cuantificar el cambio físico,
químico, biológico, económico, entre otros, después de transcurrido un tiempo.
Sugerencia de evidencias de aprendizaje
La variación de un fenómeno a través del tiempo.
La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo.
59
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
PROPUESTAS DE DISEÑO PARA SITUACIONES
DIDÁCTICAS
Objetos de aprendizaje
• El cambio a través del tiempo.
• Procesos para determinar el cambio.
• La variación de una cantidad en el tiempo.
• La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo.
Competencias
Analiza la producción de una empresa en un determinado tiempo e interpreta la producción promedio, su máxima y mínima producción, para obtener la razón de cambio promedio.
• Una planta almacena cuatro días de producción en inventario. Supón que es posible incrementar la producción en 25%. Si el nivel de inventarios se duplica, ¿qué efecto tiene esto en el tiempo de flujo.
• Si una fábrica produce 3 000 artículos al día y el trabajo en proceso es de 1 200 artículos, determina el tiempo promedio de flujo para cada artículo.
Competencia
Valora el uso de las TIC’s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de razón de cambio, en la
interpretación de su valor a través del tiempo en problemas de producción industrial, de física y en química.
• En un determinado momento la presión en un recipiente se mide como la diferencia entre los niveles de
altura de un fluido dentro de un manómetro. La presión absoluta del tanque deberá determinarse para los
casos en que el brazo del manómetro tenga un nivel mayor y menor de fluido como referencia. La diferencia
de altura entre las dos ramas del manómetro es de 50 cm. Teniendo en cuenta que la presión atmosférica
local es de 580 mm de mercurio, determina la presión absoluta del recipiente a medida que se desplaza
hacia otra localidad que está al nivel del mar.
1
• Un cultivo tiene un número p de bacterias. En el tiempo t 5 2 horas el número de bacterias es P. Si la
3
razón de crecimiento de la población es proporcional al número de bacterias en el tiempo t, determina el
tiempo necesario para que el número de bacterias se quintuplique.
• p(t) 5 p?ex
• Un reactor nuclear convierte uranio 238 en plutanio 239. Después de 15 años se determina que 0.03% de
los átomos iniciales de plutonio se han desintegrado. Encuentra la vida media del isótopo si en razón de
desintegración es proporcional a la cantidad de tiempo restante.
60
• A(t) 5 A?ex
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• Un hueso fosilizado contiene 0.002 de la cantidad original de carbono 14, ¿qué antigüedad tiene el fósil?
• Inicialmente había 250 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 12 horas la masa se ha reducido
en 8%. Si la tasa de decrecimiento es proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, ¿cuánta
sustancia radiactiva quedará después de 36 horas?
Competencia
• Interpreta y cuantifica a través de modelos matemáticos, gráficas y tablas, fenómenos físicos relativos a la
variación de la velocidad, la velocidad promedio, la velocidad de un móvil en cualquier instante y cómo
varía éste a través del tiempo.
• Una persona camina a una velocidad de 1.3 metros por segundo, luego corre la misma distancia a una velocidad de 3.5 metros por segundo. Traza una gráfica de distancia contra tiempo para los dos casos. Utiliza las
gráficas para determina la velocidad promedio.
• ¿Cuánto avanza en 20 segundos un corredor cuya gráfica de velocidad contra tiempo es la siguiente:
velocidad
8
4
10
20
tiempo
• Una persona lanza un proyectil verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio y deja que caiga hasta
el suelo. Si en lugar de lanzarla hacia arriba la hubiera lanzado hacia abajo con la misma velocidad, ¿cómo
sería la velocidad del proyectil antes de tocar el suelo? ¿Mayor, menor o igual que en primer caso?
• La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada por la función f (t) 5 8 1 1.9 t3
donde t está en segundos.
Calcula:
a) La velocidad promedio en el intervalo 2.5 ≤ t ≤ 6.
b) La velocidad instantánea en t 5 5.
c) La velocidad instantánea en t 5 2.5.
d) La velocidad instantánea cuando la partícula está a medio camino entre t 5
3 y t 5 4.
e) Traza una gráfica de x contra t y en ella ubica la respuesta a los incisos anteriores.
• En los portaaviones existe un sistema que ayuda a frenar los aviones que
aterrizan en él. La aceleración producida por este sistema es de 50 metros sobre segundo al cuadrado. Si un avión se detiene en 2 segundos, ¿cuál es la distancia que recorre antes de detenerse completamente? ¿Cuál es la velocidad
del avión justo antes de tocar el sistema de frenado?
61
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Competencia
Interpreta la razón de cambio como la pendiente de una pareja de puntos localizados en el plano o como la pendiente de la recta secante en la resolución de problemas de física en situaciones del entorno.
• Un auto de pruebas se dirige hacia una barrera a una velocidad de 60 kilómetros por hora. Cuando está a 30
metros de la barrera se aplican los frenos a fondo, 2.5 segundos después el auto se impacta. ¿Con qué velocidad se mueve el auto en el momento del impacto? ¿Cuál es la desaceleración constante antes del impacto?
• Cuando un semáforo se pone en verde, un auto arranca y acelera constantemente a 3 m/seg2, al mismo
tiempo un camión que se desplaza a 10 m/seg alcanza y rebasa al auto. ¿A qué distancia el auto alcanza al
camión? ¿Qué aceleración necesita para alcanzar al camión en 25 metros?
• Desde una altura de 100 metros se deja caer un proyectil:
a) ¿Cuánto tarda en caer?
b) ¿Qué velocidad tiene cuando se encuentra a una altura de 50 metros?
c) ¿Qué velocidad tiene cuando se impacta contra el suelo?
d) ¿Cuánto tarda en caer los primeros 60 metros? A partir de ese momento, ¿cuánto tarda en llegar al suelo?
• Una pelota se desplaza hacia arriba en un plano inclinado. Su velocidad inicial es de 40 metros por segundo,
5 segundos después la pelota aún viaja hacia arriba con una velocidad de 8 m/seg. Determina la aceleración.
• Un móvil recorre una recta a una velocidad constante. En el instante t1 5 0 seg y t2 5 6 seg sus posiciones
son x1 5 15 cm y x2 5 47 cm. Determina:
a) La velocidad del móvil.
b) Su posición es t3 5 2 seg.
c) Las ecuaciones del movimiento.
d) A partir del inciso anterior, determina la aceleración del móvil.
Competencia
Argumenta e interpreta la razón de cambio como un límite, obtiene su representación algebraica y como consecuencia reconoce a este límite como la derivada de la función en resolución de problemas de su entorno.
Actividad
•
•
•
•
•
•
•
•
Traza una parábola vertical que abra hacia abajo.
Elige dos puntos cualquiera sobre la curva y nómbralos P y Q.
Determina la pendiente en el segmento PQ.
Desplaza el punto Q hacia P.
¿Qué sucede con la pendiente?
¿Qué ocurre cuando la distancia entre P y Q es muy pequeña?
Explica en qué consiste la obtención de la derivada en ese punto.
Repite el proceso cuando la gráfica crece, cuando está en su punto máximo y cuando decrece.
Competencia
• Resuelve gráfica y algebraicamente derivadas para resolver problemas de física, química, naturales, sociales,
económicos, administrativos y financieros dentro de su ámbito inmediato.
• A una ciudad de 50 000 habitantes llega una persona con el virus de la influenza, este virus se propaga mediante contacto o cercanía; si entra a una cafetería donde hay 30 parroquianos y estornuda y consideramos
que una persona normal interactúa con otras 10 durante el día, expresa algebraicamente la propagación del
virus.
• ¿Qué tiempo ha transcurrido cuando el número de infectados es de:
62
Grupo Editorial Patria®
a) 5 000
b) 10 000
c) 25 000 habitantes?
• En un estudio de seguridad de electrodomésticos se observa que una plancha disipa 1 500
watts a su capacidad plena. Determina la cantidad de calor que la plancha disipa en 30 minutos, el flujo de calor en la superficie metálica de la plancha. A partir de esos datos determina el costo de la electricidad consumida en ese tiempo.
• Un tanque tiene 1 200 litros de agua y en ella se disuelven 25 kg de sal. Si el flujo constante
a través del tanque es de 12 litros por minuto, expresa la cantidad de sal para cualquier
tiempo t.
• Para el caso anterior considera que se le agrega salmuera con un flujo constante de 12 litros
por minuto y salen 8 litros por minuto después de haberse mezclado, si la concentración
de la salmuera es de 250 gramos por litro, expresa la cantidad de sal en el tanque para cualquier tiempo t.
• Un silo pierde grano por un agujero circular en el fondo que tiene 10 pulgadas de diámetro.
Determina la altura del grano en el tiempo t. Considera el flujo libre de fricción y con un
comportamiento semejante al del agua.
Competencia
Interpreta, analiza y argumenta que la segunda derivada de una función es igual a la aceleración
de un móvil con la resolución de problemas de física en el contexto de su vida cotidiana.
Un disco parte del reposo y alcanza una velocidad de rotación de 1 500 revoluciones por minuto
(rpm) en 5 segundos. Determina la aceleración angular. ¿Qué distancia recorre en 80 segundos?
Un ciclo de centrifugado de una lavadora baja de 1 000 rpm a 200 rpm en 75 revoluciones. ¿Cuál
es su aceleración?
Un tren que viaja a 120 km por hora debe ser detenido en una distancia de 50 metros, ¿qué aceleración se requiere? ¿Cuánto tiempo se tarda en detenerse?
Un camión viaja a una velocidad constante de 15 metros por segundo y se localiza a 200 metros
de un automóvil. Si el automóvil parte del reposo y alcanza al camión en 10 segundos, ¿cuál fue
su aceleración?
Un objeto se deja caer desde la ventana de un rascacielos, 2 segundos después se lanza verticalmente hacia abajo otro objeto idéntico al anterior ¿qué aceleración debe proporcionarse a éste
para que alcance al primero en 150 metros? ¿Qué aceleración debe llevar el segundo para que los
dos objetos impacten el suelo al mismo tiempo?
63
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Sobre las cosas que no se conocen siempre se tiene mejor opinión.
Leibniz
3.1 LA DERIVADA
Dentro de las situaciones de estudio en cálculo, un gran número de problemas tiene que ver con la determinación
de la tangente a una curva dada en un punto específico.
Dicha determinación de la tangente tiene relación con la determinación de la velocidad instantánea, como veremos más adelante.
Actividad de aprendizaje
La definición de tangente a una circunferencia, ¿es aplicable a cualquier curva? Fundamenta tu respuesta.
Interpretación geométrica de la derivada
Pendiente de la recta tangente
En geometría plana se llama tangente a la recta que interseca a una circunferencia en un punto y sólo uno. Dicho
punto se llama punto de tangencia y la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
En la figura se ilustra una recta tangente en el punto P de una circunferencia de radio r que tiene su centro en O
(véase figura 3.1).
Esta definición de tangente no es válida para cualquier curva. En la siguiente figura se ilustra una recta que es tangente
a la curva en un punto P pero la corta en otro punto Q (véase figura 3.2).
Por esto se hace necesario obtener una definición apropiada para la recta tangente a la gráfica de una función en
un punto de la gráfica. Para ello se recurre al concepto de límite y se introduce el concepto de incremento.
y
Q
p
r
Recta tangente
P
x
0
Figura 3.1
Figura 3.2
3.2 LA VARIACIÓN DE UN FENÓMENO A TRAVÉS DEL TIEMPO
Incremento de la variable independiente
64
Cuando una variable x pasa de un valor x1, a un valor x2, la cantidad que se debe sumar a x1 para obtener x2 se llama
incremento, que se denota por el símbolo D (delta griega), así Dx se lee: delta x (que no es D veces x).
Entonces:
Dx 5 x2 2 x1
Por tanto:
x2 5 x1 1 Dx
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Ejemplos
1. Si x1 5 3 y x2 5 5 entonces,
Dx 5 x2 2 x1 5 5 2 3 5 2
Es decir:
x2 5 x1 1 Dx
55312
2. Si x1 5 21 y x2 5 26, entonces:
Dx 5 x2 2 x1
5 26 2 (21)
5 26 1 1
525
Es decir:
x2 5 x1 1 Dx
26 5 2 1 1 (25)
26 5 26
3. Si x1 5 7 y x2 5 7, entonces:
Dx 5 7 2 7 5 0
Por lo que:
x2 5 x1 1 Dx
75710
4. Si x1 5 c y x2 5 c 1 k, entonces:
Dx 5 x2 2 x1
5c1k2c
5k
De manera que:
x2 5 x1 1 Dx
c1k5c1k
En general, el incremento puede ser positivo, nulo o negativo cuando el valor final es mayor, igual o menor
que el valor inicial.
Actividad de aprendizaje
¿Qué se entiende por incremento de una variable? Proporciona un ejemplo relacionado con la vida cotidiana.
Incremento de una función
Si la variable x pasa del valor x1 al valor x2 entonces la función y 5 f (x) pasa de y1 5 f (x1) a y2 5 f (x2), es decir, al
incremento Dx 5 x2 2 x1 corresponde un incremento Dy 5 y2 2 y1 5 f (x2) 2 f (x1).
65
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Ejemplos
1. Sea y 5 x 1 1, halla Dy cuando x varía de 1 a 5.
Solución:
1
y
y
x
Dy 5 f (5) 2 f (1)
5 (5 1 1) 2 (1 1 1)
5622
54
6y
6x
x
1
5
Figura 3.3
2. Sea y =
1 2
x , calcula Dy cuando x varía de 1 a 4.
2
Solución:
y
Dy = f ( 4 ) − f (1)
⎤
⎤ ⎡1
⎡1
= ⎢ ( 4 )2 ⎥ − ⎢ (1)2 ⎥
⎦
⎦ ⎣2
⎣2
⎤ ⎡1 ⎤
⎡1
= ⎢ (16 ) ⎥ − ⎢ (1) ⎥
⎦ ⎣2 ⎦
⎣2
= 8−
=7
5
1
2
1
2
x
0
Figura 3.4
Volvamos ahora al problema de determinar la recta tangente a la gráfica de una función en un punto
de la gráfica.
Q
Q
Q
Q
Q
P
Q
P
Figura 33.55
Fi
66
Figura 33.66
Fi
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En las dos figuras anteriores considera a P como un punto fijo y a Q como un punto móvil que se
desplaza sobre la curva aproximándose a P.
Si la curva es la gráfica de y 5 f (x), una recta secante queda determinada por los puntos:
P (x1, y1) y Q (x2, y2)
secante
tangente
(x2, fa2) Q
secante
Q(x2, f(x2))
f(x2) - f(x1)
f(x2) = f(x1)
P
(x1, f(x1)p)
=x = x2 = x1
tangente
Ax = x2 - x1
Figura 3.7
Figura 3.8
En las dos figuras Q está a la derecha de P pero también puede estar a su izquierda, es decir, que Dx
puede ser positivo o negativo.
La pendiente de la recta secante PQ, es:
m PQ =
f ( x 2 ) − f ( x1 )
x 2 − x1
Y como:
Dx 5 x2 2 x1
O sea que:
x2 5 x1 1 Dx,
Entonces:
m PQ =
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
A medida que Q se aproxima cada vez más a P la diferencia x2 2 x1 se hace cada vez más pequeña y
tiende a cero; o sea que si x2 S x1 equivale a decir que Dx S 0. Cuando esto ocurre la recta secante gira alrededor de P y tiende a una posición límite que llamamos la recta tangente a la curva en el
punto P. Dicho de otra manera, la recta secante PQ tiene como límite, si este límite existe, a la recta
tangente en P. Esto significa que
m tan = lím m sec = lím
x 2 → x1
Dx → 0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
Si lím m sec = ∞ , entonces, como Dx S 0, la recta PQ se aproxima a la recta a través de P, la cual es
Dx → 0
paralela al eje y y su ecuación es x 5 x1.
Con base en lo expuesto se define:
Si f es una función continua en x1, entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x1,
f (x1)) es:
a) La recta que pasa por P con pendiente m (x1) donde:
m (x1) 5 lím
x→0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
67
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Si es que el límite existe.
b) La recta x 5 x1 si lím
Dx → 0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
=∞
Dx
Si no se cumple ninguna de las dos condiciones entonces no existe la recta tangente a la gráfica de f
en el punto P (x1, f (x1))
Ejemplos
1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 x 2 + 2 x − 3 en el punto ( x1 , y1 ) .
Solución:
Como y 5 f (x), entonces f (x) 5 x12 + 2 x1 − 3 , donde:
f ( x1 ) = x12 + 2 x1 − 3
f ( x1 + Dx ) = ( x1 + Dx )2 + 2( x1 + Dx ) − 3
Sustituyendo en la ecuación:
m( x1 ) = lím
Dx→0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
Efectuando operaciones:
⎡( x + Dx )2 + 2 ( x + Dx ) − 3 ⎤ − ⎡ x 2 + 2 x − 3 ⎤
1
1
1
⎦
⎦ ⎣ 1
m( x1 ) = lím ⎣
Dx→0
Dx
Quitando paréntesis:
m( x1 ) = lím
(x
2
1
) (
+ 2 x1Dx + Dx 2 + 2 x1 + 2Dx − 3 − x12 + 2 x1 − 3
)
Dx
Dx→0
Reduciendo términos semejantes:
m( x1 ) = lím
Dx→0
2 x1Dx + ( Dx )2 + 2Dx
Dx
Como Dx → 0 , Dx ≠ 0 , por tanto, se puede dividir entre Dx:
m( x1 ) = lím ( 2 x1 + Dx + 2)
Dx→0
Tomando el límite:
m( x 1 ) = 2 x 1 + 2
La gráfica de la función se ilustra en la siguiente figura. En ella se representan segmentos de
la recta tangente en algunos puntos de la gráfica (véase figura 3.9).
Para cualquier valor de x su correspondiente valor de y se obtiene a partir de la ecuación
y 5 x 2 + 2 x − 3, mientras que el valor de la pendiente se obtiene a partir de la ecuación m( x1 ) = 2 x1 + 2 .
A para:
Así,
a) x1 5 2 3
Figura 3.9
68
y = ( −3)2 + 2( −3) − 3
592623
50
m( −3) = 2( −3) + 2
52612
524
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Es decir, que cuando x 5 23, su ordenada correspondiente es 0 por lo que para el punto (23, 0) de
la curva, la recta tangente en dicho punto tiene pendiente m 5 24.
b) x1 5 22
y = ( −2)2 + 2( −2) − 3
542423
5 23
m( −2) = 2( −2) + 2
52412
5 22
De manera que para x 5 22, y 5 23, o sea que en el punto (22, 23) de la curva la recta tangente
en dicho punto tiene pendiente m 5 22.
c) x1 5 0
y = 02 + 2(0) − 3
5 0 1 0 23
5 23
m(0) = 2(0) + 2
5012
52
Por tanto, en el punto (0, 23) de la curva, la recta tangente tiene pendiente m 5 2.
d) x1 5 1
y = 12 + 2(1) − 3
511223
50
m(1) = 2(1) + 2
5212
54
Entonces, en el punto (1, 0) de la curva, la recta tangente tiene pendiente m 5 4.
Es de particular importancia determinar los puntos donde la gráfica tiene una tangente horizontal,
pues ésta tiene pendiente cero. Dichos puntos se obtienen al hacer m (x1) 5 0 y resolver para x1.
En este ejemplo se tiene que:
m( x1 ) = 2 x1 + 2
Es decir:
m (x1) 5 0
0 5 2x1 1 2
De donde:
22 5 2x1
Por tanto:
−2
5 x1
2
21 5 x1
O bien:
x1 5 21
Esto significa que en el punto de la curva que tiene su abscisa igual a 21, la recta tangente es paralela
al eje de las x.
2. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 2 + 2 x − 3 en el punto (22, 23).
Solución:
La curva y = x 2 + 2 x − 3 es la misma del ejemplo anterior. Para ella se determinó que en cualquiera
de sus puntos ( x1 , y1 ) la pendiente de la recta tangente es:
m (x1) 5 2x1 1 2
En el punto (22, 23) de la curva, la pendiente de la recta tangente es:
m (2 2) 5 2(22) 1 2
5 24 1 2
5 22
69
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Utilizando la ecuación de la recta en la forma punto 2 pendiente:
y − y1 = m( x − x1 )
Se tiene que la ecuación de la recta tangente es:
y − ( −3) = −2( x − ( −2))
y + 3 = −2( x + 2)
De donde:
y + 3 = −2 x − 4
O bien:
2x + y + 7 = 0
Una recta normal (perpendicular) en un punto de una curva es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.
3. Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva y = 3 + 2 x − x 2 en el punto cuya recta tangente
tiene pendiente m 5 22.
Solución:
Aplicando la definición de pendiente de una recta tangente en un punto ( x1 , y1 ) de la curva, se tiene que si y 5 f (x) entonces f ( x ) = 3 + 2 x − x 2 , por tanto, f ( x1 ) = 3 + 2 x1 − x12 y
f ( x + Dx ) = 3 + 2( x1 + Dx ) − ( x1 + Dx )2 .
Sustituyendo en la ecuación:
m( x1 ) = lím
Dx→0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
Se tiene:
⎡3 + 2 ( x + Dx ) − ( x + Dx )2 ⎤ − ⎡3 + 2 x − x 2 ⎤
1
1
1
1 ⎦
⎦ ⎣
m( x1 ) = lím ⎣
Dx→0
Dx
Efectuando operaciones:
m( x1 ) = lím
Dx→0
( 3 + 2 x1 + 2Dx − x12 − 2 x1Dx − ( Dx )2 ) − ( 3 + 2 x1 − x12 )
Dx
Quitando paréntesis:
m( x1 ) = lím
Dx→0
3 + 2 x1 + 2Dx − x12 − 2 x1Dx − ( Dx )2 − 3 − 2 x1 + x12
Dx
Reduciendo términos semejantes:
m( x1 ) = lím
Dx→0
2Dx − 2 x1Dx − ( Dx )2
Dx
Como Dx → 0 , Dx ≠ 0 , por tanto, se puede dividir entre Dx:
m( x1 ) = lím 2 − 2 x1 − Dx
Dx→0
Tomando el límite:
m( x 1 ) = 2 − 2 x 1
Esta expresión corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto ( x1 , y1 ) .
Para encontrar el punto de la curva donde la recta tangente tiene pendiente m 5 22, se establece la
igualdad:
2 2 5 2 2 2x1
70
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De donde:
2 2 2 2 5 22x1
2 4 5 22x1
4
5 x1
2
2 5 x1
Para este valor de x la y toma el valor:
y = 3 + 2x − x 2
y = 3 + 2(2) − 22
y531424
y53
Esto significa que (2, 3) es el punto de la curva donde la recta tangente tiene pendiente:
m 5 22
La recta normal a la curva en el punto (2, 3) es perpendicular a la recta tangente en dicho punto, por
tanto, la normal tiene su pendiente recíproca y de signo contrario al de la pendiente de la tangente en
dicho punto, es decir, que la pendiente de la normal es:
m5
1
2
Aplicando la forma punto pendiente de la recta, la normal en el punto (2, 3) de la curva, tiene por
ecuación:
1
y 2 3 5 (x 2 2)
2
La cual efectuando operaciones se transforma en:
2 (y 2 3) 5 x 2 2
2y 2 6 5 x 2 2
O sea que:
x 2 2y 2 2 1 6 5 0
x 2 2y 1 4 5 0
En la siguiente figura se ilustra la gráfica de la curva así
como las rectas tangente y normal en el punto (2, 3)
(véase figura 3.10).
y
Observación
x + 2y + 4 = 0
• Si la tangente es paralela al eje x, su pendiente es
cero y su derivada es cero.
• Si la tangente es paralela al eje y, no tiene pendiente y en ese punto su derivada es infinita.
(2, 3)
x
Figura 3.10
71
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Para tu Reflexión
Sir Isaac Newton (1642-1727)
Es considerado una de las más grandes inteligencias que ha dado la humanidad. Newton fue un matemático y físico inglés; autor de Principia Matemática,
donde presentó un innovador esquema general del Universo que cierra con broche de oro la llamada revolución científica.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También,
contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes. Fue el primero en demostrar que
las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas
aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. También buscó cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes.
Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de
una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y
áreas, utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a
trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el
estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.
Al hablar de la labor matemática de Newton no podemos omitir su solución a los problemas propuestos por
Jacob Bernoulli y Leibnitz. Tuvo que ver también con la solución del problema de la longitud del mar.
Realizó también aportes fundamentales al estudio de la luz, el movimiento de fluidos, la precisión de los equinoccios y la teoría de las mares. Formuló la teoría de la gravitación universal después de cuidadosos estudios
acerca de la Luna.
Estableció tres leyes básicas:
1. Principio de inercia.
2. Proporcionalidad entre fuerza ejercida sobre un cuerpo y aceleración resultante.
3. Ley de acción y reacción de fuerzas ejercidas mutuamente entre dos cuerpos.
Ejercicios de cálculo
1. Determina Dx cuando x varía de:
a) x1 5 2 a x2 5 7
b) x1 5 23 a x2 5 25
c) x1 5 0 a x2 5 22
d) x1 5 25 a x2 5 21
e) x1 5 21 a x2 5 21
2. Para cada función y 5 f (x) determina Dy cuando x toma los valores x1 y x2, dados:
a) y = 3 x − 2 , x1 5 21 y x2 5 3
c) y = x 2 + 5 x , x1 5 2
5
y x2 5 22
2
b) y = 2 x 2 , x1 5 0 y x2 5 1
d) y = x + 4 , x1 5 0 y x2 5 1
e) y = 5 − 4 x − x 2 , x1 5 23 y x2 5 22
3. Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x1, y1). Obtén las coordenadas de todos
los puntos donde la gráfica tiene una tangente horizontal.
72
a) y = 4 − x 2
b) y = x 2 + 2 x + 1
c) y = x 2 − 2 x + 1
d) y = 5 − 4 x − x 2
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1
e) y = − x 2
2
f ) y = x 3 − 5x
g) y = x +1
h) y = x 3 + 4 x 2 − 7 x − 10
i ) y = x 3 − 2x 2 − 5x + 6
j) y = 2 x − x 3
4. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada en el punto que se indica.
a) y = x 2 + 4 x − 5 ; (2, 7)
b) y = x 2 − 4 x − 5 ; (3, 28)
c) y = x 2 − 5 ; (1, 24)
d) y = x 2 − x 3; (2, 24)
e) y = 4 − x 2 ; (1, 3)
f ) y = 3 x 2 − 8 ; (2, 4)
g) y = 2 x 2 − 3 ; (1, 21)
h) y = x 3 − x 2 ; (1, 0)
Actividad de aprendizaje
Una vez que se obtiene la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado, ¿cómo se puede determinar la ecuación de la
normal en el punto de tangencia? Ejemplifica.
Razón de cambio promedio e instantánea
Velocidad instantánea
Si una partícula se desplaza sobre una línea recta se dice que tiene un movimiento rectilíneo. En este movimiento se
considera una dirección como positiva y a la dirección opuesta como negativa. Convengamos en que la distancia
positiva es hacia la derecha y la negativa hacia la izquierda. Sea f la función que establece la distancia dirigida de la
partícula desde el origen en cualquier tiempo.
Sea s en cm la distancia dirigida de la partícula desde el origen O en t (segundo de tiempo), la función f se define
por:
s 5 f (t)
la cual se llama ecuación de movimiento de la partícula.
Considera la ecuación:
s = t2 + t − 2
Cuando t 5 0, s 5 22, es decir, que la partícula estará 2 cm a la izquierda de O cuando t 5 0. Cuando t 5 1,
s 5 0 entonces la partícula se encuentra en O en 1 seg. Cuando t 5 2, s 5 4, o sea que la partícula está 4 cm a la
derecha de O en 2 segundos.
Cuando t 5 3, s 5 10, la partícula se encuentra 10 cm a la derecha de O en 3 segundos.
En la siguiente figura se ilustra la posición de la partícula en los tiempos considerados.
t <5
t t t 0
4
<10
<5
s
Figura 3.11
73
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
En el tiempo comprendido de t 5 1 a t 5 3 la partícula se desplaza desde el punto s 5 0 al punto s 5 10, es decir,
en un intervalo de 2 segundos; el cambio en la distancia dirigida desde O es de 10 cm. Por tanto, la velocidad
promedio de la partícula es la razón del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo, al cambio en el tiempo,
es decir:
10 − 0
= 5 centímetros por segundo
v prom 5
3 −1
Desde t 5 0 a t 5 2, el cambio en la distancia dirigida desde O de la partícula es 6 cm por lo cual el número de
centímetros por segundo es la velocidad promedio de la partícula en ese intervalo de 2 segundos, por ello:
4 − ( −2) 6
= 5 3 centímetros por segundo
2−0
2
Como se puede observar, la velocidad promedio de la partícula no es constante, es decir, que la velocidad promedio
no nos da información precisa sobre el movimiento de la partícula en un instante determinado. De esta manera,
si un automóvil recorre una distancia de 150 km en una misma dirección y tarda 2 horas en hacerlo, decimos que
km
. Pero este dato no indica el velocímetro del automóvil en
la velocidad promedio para ese recorrido es de 75
h
cualquier momento del recorrido de 2 horas. Lo que realmente indica el velocímetro es el valor absoluto de la
velocidad instantánea, entonces se requiere definir velocidad instantánea.
En la ecuación s 5 f (t), s representa la distancia dirigida en centímetros entre la posición de la partícula y el punto
O, como una función del tiempo t, expresado en segundos. Cuando t = t1 , s = s1 , es decir, que el cambio en la
distancia dirigida desde O es ( s − s1 ) centímetros sobre el intervalo de tiempo ( t − t1 ) segundos y el número
de centímetros por segundo es la velocidad promedio de la partícula en el intervalo de tiempo, esto se expresa por:
s − s1
t − t1
Como s 5 f (t), s1 = f (t1 ) entonces la velocidad promedio se expresa por:
f (t ) − f (t1 )
t − t1
De manera que entre más pequeño sea el intervalo de t1 a t, la velocidad promedio estará más próxima a la
velocidad instantánea en t1.
km
al pasar por un punto p1 y si un punto p está a 20 metros
Así, si en un automóvil su velocímetro indica 80
h
de p1, entonces la velocidad promedio del automóvil durante el recorrido de estos 20 metros estará próxima a
km
los 80
porque en esta pequeña distancia la variación de la velocidad del automóvil será muy reducida. Si la
h
distancia entre p1 y p se hace de 10 metros, la velocidad promedio estará más próxima a la que indica el velocímetro
del automóvil cuando pasa por el punto p1. Mediante este proceso de reducir la distancia entre los puntos p1 y p, la
lectura del velocímetro se pude presentar como el límite de la velocidad promedio entre p1 y p cuando p tiende a p1.
v prom 5
3.3 LA VELOCIDAD, LA RAPIDEZ Y LA ACELERACIÓN
DE UN MÓVIL EN UN PERIODO DE TIEMPO
Definición de velocidad instantánea
Si f es una función continua definida por la ecuación:
s 5 f (t)
Y una partícula se mueve sobre una línea recta, de manera que s es el número de unidades en la distancia dirigida
de la partícula respecto a un punto fijo en t unidades de tiempo, entonces la velocidad instantánea de la partícula
en el tiempo de t1 segundos es v (t1) unidades de velocidad donde:
v (t1) 5 lím
t→t1
74
f (t ) − f (t1 )
t − t1
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Si este límite existe.
Esta definición también se expresa por:
v (t1) 5 lím
f (t1 + t ) − f (t1 )
Dt→0
t
Si este límite existe, pues t ? t, o sea que t = t1 + Dt y decir que t → t1 , es equivalente a decir que Dt → 0 .
La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa según la partícula se mueva sobre la recta en su dirección
positiva o negativa. La partícula está en reposo cuando su velocidad instantánea es cero.
Lo que marca el velocímetro de un automóvil es la rapidez, es decir, el valor absoluto de la velocidad instantánea,
por lo cual se trata de un número no negativo que indica qué tan rápido se mueve el automóvil. La velocidad
instantánea, por su parte, además de la magnitud, indica la dirección del movimiento mediante su signo positivo
o negativo.
Ejemplos
1. Una partícula se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación de movimiento
s = t 2 − 6t + 5 donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentra la velocidad instantánea
cm
v (t1)
en t segundos. Obtén el valor de t1 cuando la velocidad instantánea es cero. Determina los
s
valores de t en que la velocidad es positiva o negativa.
Solución:
Aplicando la definición de velocidad instantánea se tiene:
v (t1) 5 lím
Dt→0
f (t1 + Dt ) − f (t1 )
Dt
⎡(t + Dt )2 − 6 (t + Dt ) + 5 ⎤ − ⎡t 2 − 6t + 5 ⎤
1
1
1
⎦
⎦ ⎣1
5 lím ⎣
Dt→0
Dt
Efectuando operaciones:
5 lím
Dt→0
(t12 + 2t1Dt + ( Dt )2 − 6t1 − 6Dt + 5) − (t12 − 6t1 + 5)
Dt
Suprimiendo paréntesis:
5 lím
Dt→0
t12 + 2t1Dt + ( Dt )2 − 6t1 − 6Dt + 5 − t12 + 6t1 − 5
Dt
Reduciendo términos semejantes:
5 lím
Dt→0
2t1Dt + ( Dt )2 − 6Dt
Dt
Dividiendo entre Dt pues Dt → 0 y, por tanto, Dt ≠ 0:
5 lím 2t1 + Dt − 6
Dt→0
De donde:
v (t1) 5 2t1 − 6
Ésta es la velocidad instantánea a los t1 segundos.
La velocidad instantánea es cero cuando v (t1) 5 0, por lo que:
2t1 − 6 5 0
75
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
De donde:
2t1 = 6
Por tanto:
t1 5 3
Para determinar los intervalos donde la velocidad es positiva o negativa, veamos lo que ocurre para
algunos valores de t1:
t1 5 0
s 5 02 − 6(0) + 5 = 5
v (0) 5 2(0) − 6 = −6
t1 5 1
s 5 1 − 6(1) + 5 = 0
v (1) 5 2(1) − 6 = −4
t1 5 2
s 5 2 − 6(2) + 5 = −3
v (2) 5 2(2) − 6 = −2
t1 5 3
s 5 3 − 6(3) + 5 = −4
v (3) 5 2(3) − 6 = 0
t1 5 4
s 5 4 − 6( 4 ) + 5 = −3
v (4) 5 2( 4 ) − 6 = 2
t1 5 5
s 5 5 − 6(5) + 5 = 0
v (5) 5 2(5) − 6 = 4
t1 5 6
s 5 6 − 6(6) + 5 = 5
v (6) 5 2(6) − 6 = 6
2
2
2
2
2
2
Con estos valores se puede construir una tabla como la siguiente.
t1
s
v
0
5
–6
1
0
–4
2
–3
–2
3
–4
0
4
–3
2
5
0
4
6
5
6
El movimiento de la partícula se hace sobre la recta s con una trayectoria como la que a continuación
se ilustra arriba de la recta s.
t4
t5
t6
t3
t2
<10
<10
t1
t0
0
5
10
5
Figura 3.12
Entre t 5 0 y t 5 3 la velocidad es negativa. Cuando t 5 3 la partícula reduce su velocidad a cero y
cambia su dirección, es decir, su velocidad se vuelve positiva para cualquier valor de t . 3.
2. Si se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba a una velocidad de 96 metros por segundo
(omitiendo la resistencia del aire) su distancia s en metros sobre el suelo después de t segundos se
expresa por:
s = f (t ) = 96t − 16t 2
Encontrar:
a) La velocidad instantánea del proyectil cuando t 5 1, t 5 3, t 5 5.
b) La rapidez del proyectil cuando t 5 1 y t 5 3.
c) El valor de t cuando el proyectil alcanza su máxima altura.
76
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d) La altura máxima del proyectil.
e) El tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo.
f ) La velocidad instantánea del proyectil cuando llega al suelo.
Solución:
a) Usando la fórmula:
v (t1) 5 lím
Dt→0
f (t1 + Dt ) − f (t1 )
:
Dt
⎡96 (t + Dt ) − 16 (t + Dt )2 ⎤ − ⎡96t − 16t 2 ⎤
1
1
1 ⎦
⎦ ⎣ 1
v (t1) 5 lím ⎣
Dt→0
Dt
Efectuando operaciones:
v (t1) 5 lím
Dt→0
( 96t1 + 96Dt ) − 16(t12 + 2t1Dt + ( Dt )2 ) − ( 96t1 − 16t12 )
Dt
Quitando paréntesis:
v (t1) 5 lím
Dt→0
96t1 + 96Dt − 16t12 − 32t1Dt − 16( Dt )2 − 96t1 + 16t12
Dt
Reduciendo términos semejantes:
96Dt − 32t1Dt − 16( Dt )2
v (t1) 5 lím
Dt→0
Dt
Dividiendo entre Dt, donde Dt → 0, por tanto, Dt ≠ 0 :
v (t1) 5 lím 96 − 32t1 − 16Dt
Dt→0
De donde:
v (t1) 5 96 − 32t1
La velocidad instantánea del proyectil cuando t 5 1, t 5 3, t 5 5 es:
v (1) 5 96 2 32 (1) 5 96 2 32 5 64
v (3) 5 96 2 32 (3) 5 96 2 96 5 0
v (5) 5 96 2 32 (5) 5 96 2 160 5 2 64
b) La rapidez del proyectil cuanto t 5 1 y t 5 3 es:
v(1) = 64
v(3) = 64
c) El proyectil alcanza su máxima altura cuando cambia la dirección del movimiento, es decir, cuando
v (t1) 5 0, por tanto:
96 − 32t1 = 0
O sea que:
96 = 32t1,
De donde:
96
=t
32 1
3 5 t1
77
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Entonces el proyectil alcanza su máxima altura a los 3 segundos.
d) La altura máxima del proyectil se alcanza a los 3 segundos, por tanto:
s = f (3) = 96(3) − 16(3)2
5 288 2 16(9)
5 288 2 144
5 144 metros
e) El proyectil está en el suelo cuando s 5 0 por lo que:
128
0 = 96t − 16t 2
t3
144
t2
De donde:
t4
16t 2 = 96t
Dividiendo entre 16 t:
80
t1
16t 2 96t
=
16t 16t
t5
t56
Esto significa que el proyectil tarda 6 segundos en su trayectoria para llegar al suelo.
f ) La velocidad instantánea del proyectil cuando se impacta con el suelo es:
t0
El movimiento del proyectil sobre la recta vertical realiza una trayectoria como la que a continuación se ilustra (véase figura 3.13).
t6
0
Figura 3.13
Actividad de aprendizaje
Si se recorre la distancia entre dos ciudades en un tiempo t, ¿cómo se debe interpretar la velocidad promedio? Argumenta tu respuesta.
Ejercicios de cálculo
Una partícula se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación de movimiento dada,
donde s es la distancia dirigida en metros desde un punto O en t segundos.
m
Encuentra la velocidad instantánea v (t1) en t1 segundos y después obtén v (t1) para el valor de t1 que se
s
indica.
1. s 5 2t 2 − 3t; t1 5 1
2. s 5 4 − t 2 ; t1 5 3
3. s 5 t 2 + 6t − 7; t1 5 2
3
2
4. s 5 2t − 3t ; t1 5 3
1
1
; t1 5
4t
2
Para cada una de las siguientes ecuaciones de movimiento determina los intervalos de tiempo en que la
partícula se mueve hacia la derecha y cuándo a la izquierda. Determina cuándo la partícula invierte su
dirección.
5. s 5
6. s 5 2t 2 − 3t
78
7. s 5 4 − t 2
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8. s 5 t 2 + 6t − 7
9. s 5 2t 3 − 3t 2
10. s 5
1
4t
11. Si se arroja una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 48 metros por segundo, la
ecuación de movimiento es s = 48t − 16t 2 ; s es el número de metros en la distancia de la pelota desde
su punto de partida en t segundos y la dirección positiva es hacia arriba. Encuentra:
a) La velocidad instantánea de la pelota cuanto t 5 1, t 5 2.
b) La rapidez de la pelota cuando t 5 1 y t 5 2.
c) El valor de t cuando la pelota alcanza su máxima altura.
d) La máxima altura de la pelota.
e) El tiempo que tarda la pelota en caer al suelo.
f ) La velocidad instantánea de la pelota cuando llega al suelo.
12. Resuelve el problema anterior considerando que la pelota se arroja desde la parte superior de un
edificio que mide 32 m de alto por lo que su ecuación de movimiento es:
s = 32 + 48t − 16t 2
La derivada como razón de cambio
Definición de derivada
Al estudiar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y 5 f (x) en el punto P(x1, f (x1)) se obtuvo la definición:
m(x1) 5 lím
Dx→0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
Posteriormente tratamos lo relacionado con el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta donde
su distancia dirigida s unidades a partir de un punto fijo en t unidades de tiempo está dada por s 5 f (t) por lo cual
para v (t1) unidades de velocidad, la velocidad de la partícula en t1 unidades de tiempo es:
v (t1) 5 lím
Dt → 0
f (t1 + Dt ) − f (t1 )
Dt
En estas dos definiciones se observa que sus respectivas fórmulas corresponden, algebraicamente, a una misma
expresión. Este tipo de límites se encuentra también en otros muchos problemas en los que aparece con un
nombre técnico específico, según el área en que se aplique. Para generalizar se da a continuación una definición.
Definición de función derivada
La derivada de una función f es otra función f9 cuyo valor para cualquier número x en el dominio de f es:
f9(x) 5 lím
Dx → 0
f ( x + Dx ) − f ( x )
Dx
Si este límite existe.
Cuando el límite existe se dice que la función f es diferenciable.
Es usual que se utilice la palabra derivada para indicar la función derivada.
El proceso mediante el cual se determina la derivada de una función se llama derivada y la parte del cálculo
relacionada con la derivada se llama cálculo diferencial.
79
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Notación
La derivada de una función para un valor x 5 a se representa con distintas notaciones.
Consideremos la función y 5 f (x) 5 x2.
La derivada de esta función se puede obtener a partir de la definición:
f ( x + Dx ) − f ( x )
Dx
f9(x) 5 lím
Dx→0
Es decir:
( x + Dx )2 − x 2
Dx
f9(x) 5 lím
Dx→0
Efectuando operaciones se obtiene:
x 2 + 2 xDx + ( Dx )2 − x 2
f9(x) 5 lím
Dx→0
Dx
Reduciendo términos semejantes se obtiene:
f9(x) 5 lím
Dx→0
2 xDx + ( Dx )2
Dx
Dividiendo entre Dx pues Dx → 0 y, por tanto, Dx ≠ 0 :
f 9(x) 5 lím 2x + Dx
Dx→0
De donde:
f9(x) 5 2x
Si en la función y 5 f (x) 5 x1, x → 3 entonces:
f 9(3) 5 2(3) 5 6
Notación de Lagrange
Si la función es y 5 f (x) la derivada se representa por y9 (ye prima) o por f9(x) ( f prima de x).
Para la función:
y 5 f (x) 5 x2
Su derivada es:
f 9(x) 5 2x
Para x 5 3
La derivada también se representa por:
y9 5 2x
Y para x 5 3 se expresa por:
y9 5 2(3) 5 6
Notación de Cauchy
Si la función es y 5 f (x), para x 5 a su derivada se representa por:
DxY
Que se lee: derivada de y respecto de x.
Para la función y 5 f (x) 5 x2 su derivada es:
Dx2 5 2x
80
Grupo Editorial Patria®
Y:
Dx 2
x 53
56
Notación de Leibniz
Ésta también se llama notación americana.
Si y 5 f (x) su derivada se representa por:
dy df ( x )
o
dx
dx
Para y 5 f (x) 5 x2 su derivada es representada por:
dy
5 2x
dx
Y para x 5 3, se representa por:
dy
56
dx
Esta notación se basa en el concepto de diferencial, el cual se estudiará más adelante.
Ejemplos
1. Encuentra la derivada de f (x) 5 4 x 2 − 3 .
Solución:
Si x es cualquier número del dominio de f, entonces:
f 9(x) 5 lím
Dx→0
f ( x + Dx ) − f ( x )
Dx
⎡ 4 ( x + Dx )2 − 3 ⎤ − ⎡ 4 x 2 − 3 ⎤
⎦
⎦ ⎣
5 lím ⎣
Dx→0
Dx
Efectuando operaciones:
5 lím
4( x 2 + 2 xDx + ( Dx )2 ) − 3 − 4 x 2 + 3
Dx
5 lím
4 x 2 + 8 xDx + 4( Dx )2 − 3 − 4 x 2 + 3
Dx
Dx→0
Dx→0
Reduciendo términos semejantes:
5 lím
Dx→0
8 xDx + 4( Dx )2
Dx
Dividiendo entre Dx (Dx ≠ 0):
5 lím 8 x + 4 Dx
Dx→0
Por tanto:
f 9(x) 5 8x
En consecuencia la derivada de f (x) 5 4 x 2 − 3 es la función f 9(x) 5 8x.
En el apartado correspondiente a la velocidad instantánea establecimos la equivalencia entre los
límites:
81
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
f (t ) − f (t1 )
t − t1
v(t1 ) = lím
t →t1
Y:
f (t1 + Dt ) − f (t1 )
Dt
v(t1 ) = lím
Dx→0
Por lo cual una expresión equivalente de:
f 9(x1) 5 lím
Dx→0
f ( x1 + Dx ) − f ( x1 )
Dx
Es:
f ( x ) − f ( x1 )
x − x1
f 9(x1) 5 lím
x→ x1
2. Sea f (x) 5 4 x − 3 , halla f 9(x) cuando x 5 2.
2
Solución:
Utilizando la expresión:
f 9(x1) 5 lím
f ( x ) − f ( x1 )
x − x1
f9(2) 5 lím
f ( x ) − f (2)
x−2
x → x1
Se tiene:
x→2
Por tanto:
f9(2) 5 lím
x→2
4 x 2 − 3 − ( 4(2)2 − 3)
x−2
O sea que:
4 x 2 − 3 − 13
x−2
f 9(2) 5 lím
x→2
O bien:
f 9(2) 5 lím
x→2
4 x 2 − 16
x−2
Sacando a 4 como factor común en el numerador se tiene:
4( x 2 − 4 )
x−2
f 9(2) 5 lím
x→2
De donde:
f 9(2) 5 4 lím
x→2
x2 − 4
x−2
Factorizando el numerador se tiene:
f 9(2) 5 4 lím
x→2
( x + 2)( x − 2)
x−2
Dividiendo entre x 2 2 ya que x → 2 y, por tanto, x − 2 ≠ 0 , se tiene:
f 9(2) 5 4 lím (x 1 2)
x→2
82
Grupo Editorial Patria®
De donde:
f 9(2) 5 4 (4) 5 16
Observa que en el ejemplo 2 la función es la misma que en el ejemplo 1 donde se obtuvo como
derivada de f:
f 9(x) 5 8x
Así, para x 5 2 la derivada es:
f 9(2) 5 8(2) 5 16
Anteriormente se trató el concepto de incremento de la variable independiente y el incremento de
una función. Se estableció que para cada incremento de la variable independiente corresponde un
incremento en la función.
Es decir, si la función es:
y 5 f (x)
Al dar un incremento a x, se obtiene un incremento y por lo que:
y + Dy = f ( x + Dx )
De donde:
Dy = f ( x + Dx ) − y
O bien:
Dy = f ( x + Dx ) − f ( x )
Dividiendo entre Dx se tiene:
Dy f ( x − Dx ) − f ( x )
=
Dx
Dx
Tomando el límite cuando Dx → 0 se tiene:
lím
Dx→0
Dy
f ( x + Dx ) − f ( x )
= lím
D
x
→0
Dx
Dx
Donde se reconoce la expresión de la derivada de una función.
Si en vez de f9(x) se escribe DxY, entonces:
DxY 5 lím =
Dx → 0
Dy
Dx
Cuando la derivada se expresa como el límite del cociente del incremento de la función entre el
incremento de la variable, para calcular la derivada de una función se sigue un proceso que se conoce
como regla de los cuatro pasos y que consiste en lo siguiente:
1. Dar un incremento a x.
2. Calcular el incremento que corresponde a y.
3. Escribir el cociente
Dy
.
Dx
Dy
.
Dx→0 D x
3. Calcular la derivada de la función del ejemplo 1 utilizando la regla de los cuatro pasos.
4. Calcular lím
Solución:
Para la función y = f ( x ) = 4 x 2 − 3 se tiene que:
83
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
1. Al dar un incremento a x se obtiene x + Dx .
2. Al sustituir este valor en la función se obtiene y + Dy :
y + Dy 5 4( x + Dx )2 − 3
y + Dy 5 4( x 2 + 2 xDx + ( Dx )2 ) − 3
y + Dy 5 4 x 2 + 8 xDx + 4( Dx )2 − 3
Como y 5 4 x 2 2 3, al restar resulta:
Dy = 8 xDx + 4( Dx )2
3. Dividiendo entre Dx:
Dy 8 xDx + 4( Dx )2
=
5 8 x + 4 Dx
Dx
Dx
4. Determinando el límite del cociente cuando Dx → 0 se obtiene:
lím
Dx→0
Dy
5 lím ( 8 x + 4 Dx )
Dx→0
Dx
58x
Por tanto, la derivada se puede expresar usando la notación y 5 f 9(x) 5 8 x.
O bien:
DxY 5 lím
Dx→0
Dy
58x
Dx
También:
D( 4 x 2 − 3) 5 8 x
Este resultado es el mismo que se obtuvo en el ejemplo 1.
5. Sea y =
1
hallar DxY.
x
Solución:
Aplicando la regla de los cuatro pasos:
1. Dando un incremento a x se obtiene x + Dx .
2. y + Dy 5
y=
Dy =
84
1
x + Dx
1
x
1
1
−
x + Dx x
5
x − ( x + Dx )
x( x + Dx )
5
x − x − Dx
x 2 + xDx
5
− Dx
x + xDx
2
Grupo Editorial Patria®
Dy
−1
5 2
x + Dx
Dx
1
Dy
−1
5 lím 2
5− 2
4. lím
Dx→0 D x
Dx→0 x + Dx
x
Por tanto:
3.
D
Observa que y =
1
1
=− 2
x
x
1
1
no está definida en x 5 0 y tampoco y9 = − 2 .
x
x
5. Dada y = x encuentra y9.
Solución:
1. Dando un incremento a x se obtiene x + Dx .
2. y + Dy 5
y5
Dy 5
3.
Dy
5
Dx
x + Dx
x
x + Dx 2
x
x + Dx − x
Dx
Dy
se requiere racionalizar el numerador, pues cuando Dx → 0 nos queda la
Dx→0 D x
0
indeterminación .
0
4. Para calcular lím
Racionalizando se obtiene:
( x + Dx − x )( x + Dx + x )
x + Dx − x
5
Dx
Dx( x + Dx + x )
5
x + Dx − x
Dx( x + Dx + x )
5
5
Dx
Dx( x + Dx + x )
1
x + Dx + x
Calculando el límite se obtiene:
lím
Dx→0
Dy
5 lím
Dx→0
Dx
1
x+ x
=
1
x + Dx + x
1
2 x
Es decir:
y9 =
1
2 x
85
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
5. Dada y =
2+ x
encontrar DxY.
1− x
Solución:
DxY 5 lím
Dx→0
5 lím
Dx→0
Dy
Dx
f ( x + Dx ) − f ( x )
Dx
2 + ( x + Dx ) 2 + x
−
1 − ( x + Dx ) 1 − x
5 lím
Dx→0
Dx
( 2 + x + Dx )(1 − x ) − ( 2 + x )(1 − x − Dx )
(1 − x − Dx )(1 − x )
5 lím
Dx→0
Dx
5 lím
2 + x + Dx − 2 x − x 2 − xDx − ( 2 − 2 x − 2Dx + x − x 2 − xDx )
Dx(1 − x − Dx )(1 − x )
5 lím
2 + x + Dx − 2 x − x 2 − xDx − 2 + 2 x + 2Dx − x + x 2 + xDx
Dx(1 − x − Dx )(1 − x )
5 lím
3Dx
Dx(1 − x − Dx )(1 − x )
5 lím
3
(1 − x − Dx )(1 − x )
Dx→0
Dx→0
Dx→0
Dx→0
5
3
(1 − x )2
Observa que la función no está definida en x 5 1 y su derivada tampoco está definida en ese valor.
Actividad de aprendizaje
En una función, cuando se incrementa la variable independiente, ¿qué ocurre con la función? Explica por qué.
¿En qué consiste la regla de los cuatro pasos? Describe cada uno mediante un ejemplo práctico.
Ejercicios de cálculo
En los números 1 a 20 usa la definición:
f 9( x ) = lím
Dx→0
Para encontrar la derivada de cada función.
86
f ( x + Dx ) − f ( x )
Dx
Grupo Editorial Patria®
1. f (x) 5 5 x
11. f (x) 5 x 2 + 1
2. f (x) 5 2 2 x
12. f (x) 5 3 − x 2
3x
4
2x
4. f (x) 5 −
3
13. f (x) 5 3 x 2 − 5 x
3. f (x) 5
14. f (x) 5 x 2 − 4 x + 3
5. f (x) 5 2 x
15. f (x) 5 3 + 2 x − x 2
6. f (x) 5 3 2 4 x
16. f (x) 5 5 x 2 − 3 x + 1
7. f (x) 5 5 x 2 2
17. f (x) 5 x3
8. f (x) 5 x 2 1
18. f (x) 5
1
x−2
9. f (x) 5
x
+1
3
19. f (x) 5
1
2x − 1
10. f (x) 5
3
− 6x
2
20. f (x) 5
2+ x
2− x
En los números 21 a 30 aplica:
f 9(x) 5 lím
x → x1
f ( x ) − f ( x1 )
x − x1
Para encontrar la derivada de cada función en el valor x 5 x1.
21. Si f (x) 5 2 x 2 + 4 x , calcular f9(2)
22. Si f (x) 5
23. Si f (x) 5 2 − x 3, calcular f 9(22)
24. Si f (x) 5
25. Si f (x) 5
2
, calcular f9(3)
3x
27. Si f (x) 5 x 2 +
4
, calcular f9(2)
x2
29. Si f (x) 5 x 2 − 2 x + 1 , calcular f 9(22)
26. Si f (x) 5
1
x
, calcular f 9(4)
x 2 − 16 , calcular f 9(5)
3
, calcular f 9(1)
2x 3
28. Si f (x) 5 1 − x 2 , calcular f 9(3)
30. Si f (x) 5 5 + 4 x − x 2 , calcular f 9(23)
En los números 31 a 40 utiliza la regla de los cuatro pasos para encontrar la derivada de cada función en el
valor x 5 a.
31. f (x) 5 3x 1 4; x 5 2
32. f (x) 5 7 2 2 x; x 5 2 1
34. f (x) 5
1− x
;x523
3
33. f (x) 5 3 x 2 − 2 x + 4; x 5 3
35. f (x) 5
3
;x524
1− x
x
36. f (x) 5 5 − ; x 5 1
2
37. f (x) 5 x 2 − 3; x 5 2
38. f (x) 5 3 − x 2; x 5 2
39. f (x) 5
2− x
;x53
4x − 3
40. f (x) 5 3x ; x 5 3
87
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Aplicación de tus Saberes
Actividad
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en que
vivimos. Cuidémoslo.
El cambio climático es un gran problema que afecta a nuestro planeta.
Investiga:
¿Qué ha ocurrido con la extensión de la nieve o los glaciares y el nivel del mar?
¿Qué grado de asociación existe entre los gases invernadero y el cambio climático?
¿Qué grado de asociación existe entre la actividad humana y el cambio climático?
Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.
Para tu Reflexión
Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
Matemático, físico y astrónomo italiano. Lagrange hizo enormes contribuciones en matemáticas y en mecánica; como estudioso de los astros se especializó en el estudio de las perturbaciones de las órbitas planetarias. Se aficionó desde su juventud por las matemáticas, se afirma que un trabajo de Halley
definió su vocación. A los dieciocho años impartía clases de matemáticas en la Real Escuela de Artillería de Turín.
Lagrange preparó un ensayo sobre el cálculo de variaciones que dio a conocer a su maestro Euler, quien impresionado propició su publicación. Este
matemático vivió solamente para la ciencia. Su periodo de mayor productividad fue de 1776 a 1787. Cuando estuvo en Berlín formando parte de la Academia de Ciencias elaboró una sistematización de la mecánica y por medio del análisis de variaciones infirió
ecuaciones generales para problemas importantes de la mecánica.
En la época de Napoleón fue colmado con los máximos honores y lo nombró conde y senador. Durante su
juventud fundó la academia real de Turín. Murió en París el 10 de abril de 1813.
Sus aportaciones al cálculo son variadas, se pueden mencionar en el siguiente orden:
Ecuación diferencial de Lagrange.
Ecuaciones del movimiento de Lagrange.
Fórmula de la interpolación de Lagrange.
Identidad de Lagrange.
Multiplicadores de Lagrange.
Principio de Lagrange.
88
Grupo Editorial Patria®
Diferenciabilidad en un intervalo
Diferenciabilidad y continuidad
Si una función f es derivable (diferenciable) en x1, entonces f es continua en x1.
Sin embargo, el hecho de que una función sea continua no implica que sea diferenciable.
Esto significa que la derivación es una condición más fuerte que la continuidad.
De tal manera que si una función es derivable entonces es continua, pero la afirmación
recíproca es falsa.
Considere la función f (x) 5 x . Su gráfica es la siguiente (véase figura 3.14):
y
Como se puede observar, la función es continua en cero pero no tiene derivada en ese
punto porque:
x
x
x−0
f ( x ) − f (0)
5 lím
5 lím
x→0
x→0
x
x
x−0
Y este límite no existe pues al aproximarnos a cero por la derecha se obtiene:
lím
x→0
x
x
5 =1
x
x
Mientras que al aproximarse a cero por la izquierda:
lím+
x→ 0
lím−
x→ 0
x
x
5
Figura 3.14
−x
= −1
x
Entonces, en cualquier punto en el que la gráfica de una función tiene una esquina aguda, es continua pero no
diferenciable; es decir, en aquel punto de la gráfica donde no hay una línea tangente única, no existe una derivada.
También puede ocurrir que la gráfica de una función tenga un punto en el cual la línea tangente sea vertical, por lo
cual la función es continua en dicho punto pero no es diferenciable en él.
Actividad de aprendizaje
¿Por qué se afirma que una función derivable es continua pero la afirmación recíproca es falsa? Argumenta tu respuesta.
Ejercicios de cálculo
En cada uno de los casos realiza lo siguiente:
a) Traza la gráfica de la función.
b) Determina si f es continua en x.
c) Determina si f es diferenciable en x.
1.
f (x) 5
2.
f (x) 5
¨
©
ª
2 x 2 3, si x , 21
¨
©
ª
x 1 2, si x , 2
, x1 5 21
2x 1 8, si x . 21
, x1 5 2
2 2x 1 8, si x . 2
89
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
3.
f (x) 5
4.
f (x) 5
5.
f (x) 5
6.
f (x) 5
¨
©
ª
2 x 2 3, si x # 21
¨
©
ª
x 1 2, si x , 2
¨
©
ª
2 2, si x , 0
¨
©
ª
x2, si x . 0
, x1 5 21
2 x, si x . 21
, x1 5 2
2 2 x 1 8, si x $ 2
, x1 5 0
x 2 2, si x $ 0
, x1 5 0
2
2x , si x # 0
7. f (x) 5 x21, x1 5 0
8. f (x) 5 1 x 1 2 1, x1 5 22
9.
f (x) 5
10.
f (x) 5
¨
©
ª
2 x, si x , 0
¨
©
ª
x2, si x $ 1
, x1 5 0
2
2x , si x $ 0
, x1 5 1
2 x 2 1, si x , 1
3.4 REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivación de funciones algebraicas
Para una función, la obtención de su derivada mediante la aplicación de su definición es un proceso que, en muchas
ocasiones, resulta extenso y laborioso. Es por ello que durante su desarrollo se llegan a errores u omisiones que
dan un resultado incorrecto y obliga a empezar de nuevo.
A continuación se aplica la definición de derivada a algunas funciones especiales con lo cual se obtiene resultados
que son generalizables. Estos resultados permiten obtener, de manera rápida, la derivada de funciones de mayor
complejidad.
El proceso para encontrar la derivada de una función f consiste en operar con f para obtener f 9. Para indicar esta
operación se usa la letra D. Así, para la función f (x) 5 x2 se obtiene como derivada f 9(x) 5 2x.
Usando la letra D se puede escribir D f 5 f 9; D f (x) 5 f 9(x) y, en el caso de f (x) 5 x2,
Dx2 5 2x. Además de esta notación se utiliza la que corresponde a las funciones.
Derivada de la función constante
La gráfica de la función constante es una recta paralela al eje x, es decir, se trata de una recta horizontal que, por
tanto, tiene pendiente cero.
Si la función constante se representa por f (x) 5 k. Donde k es una constante para cualquier valor de x, se tiene
que si k 5 0; la gráfica de la función corresponde al eje x (véase figura 3.15).
90
Grupo Editorial Patria®
Si k . 0, la gráfica de la función es una recta horizontal que pasa
por donde y 5 k.
y
Si k , 0, la horizontal pasa por donde y 5 k.
En consecuencia, si k es una constante y si f (x) 5 k, para toda x,
entonces, f 9(x) 5 0.
(x + Ax, k)
(x, k)
Demostración:
f 9(x) 5 lím
Dx→0
5 lím
Dx→0
f (x 1 D x) 2 f ( x )
Dx
k 2k
Dx
x
x
x + Ax
5 lím 0
Dx→0
50
Dx(k) 5 0
Figura 3.15
La derivada de una constante, respecto a una variable cualquiera, es cero.
Ejemplos
1. D (3) 5 0
3. D
2. D (2 5) 5 0
( 3)5 0
⎛ 3⎞
4. D ⎜ − ⎟ 5 0
⎝ 4⎠
Derivada de la función identidad
La gráfica de la función identidad f (x) 5 x es una recta que pasa por el origen y tiene una
inclinación de 45° con el eje x; dicha recta es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y su
pendiente es 1.
y
(x + Dx, x + Dx)
La gráfica es la siguiente (véase figura 3.16):
Si f (x) 5 x entonces f9(x) 5 1.
Dy = Dx
(x, x)
Demostración:
Dx
f 9(x) 5 lím
Dx→0
f (x 1 D x) 2 f ( x )
Dx
5 lím
x + Dx − x
Dx
5 lím
Dx
Dx
Dx→0
Dx→0
x
x
Figura
3.16
Fi
3 16
5 lím 1
Dx→0
51
Dx(X) 5 1
La derivada de la variable independiente, respecto a sí misma, es la unidad.
Derivada de la función lineal f (x) 5 mx 1 b, forma pendiente ordenada al origen también conocida como
pendiente intercepción.
91
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
La gráfica de la función lineal f (x) 5 mx 1 b es una recta con pendiente m que corta el eje y en el punto donde
y 5 b.
Si f (x) 5 mx 1 b, donde m y b son constantes entonces f9(x) 5 m.
Demostración:
f9(x) 5 lím
xS 0
5 lím
f (x 1 D x) 2 f ( x )
Dx
⎡⎣m (x 1 D x)1b⎤⎦ 2 (mx 1b)
Dx
xS 0
5 lím
mx 1 mDx 1b2m x2b
Dx
5 lím
mDx
Dx
xS 0
xS 0
5 lím m
xS 0
5m
La derivada de la función lineal es igual al coeficiente de la variable.
Actividad de aprendizaje
La derivada de la suma algebraica de dos funciones, ¿a qué es igual?
Ejemplos
1. D (2x 1 3) 5 2
3. D (
x +1
1
)5
3
3
2. D (5 2 2 x) 5 22
4. D (2 3 a x 2 b) 5 23a
Ejercicios de cálculo
Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.
1. f (x) 5 5
2. y 5 2a
3. f (x) 5 −
1
3
3b
2
3
2
6. y 5 p
7. f (x) 5 2
8. y 5 −
5. f (x) 5
9. f (x) 5 3 x
92
4. y 5
10. y 5
3k
2
2
x
3
Grupo Editorial Patria®
11. f (x) 5 3 −
x
2
12. y 1 4 x 5 0
3
x+2
4
14. y 5
1
3
x−
2
4
k
− 3x
2
16. y 5
5x 2
+b
7
17. f (x) 5 k x 2 b
18. y 5
3x 1
−
5 4
2
19. f (x) 5 − x + 5
3
20. y 5
x
− a2
4
13. f (x) 5 −
15. f (x) 5
Derivada de la suma de dos funciones
Si f, g y h son funciones tales que:
h (x) 5 f (x) 1 g (x)
Y existen f9(x) y g9(x) entonces:
h9(x) 5 lím
xS 0
h(x 1Dx)2 h( x )
Dx
[ f (x 1Dx)1 g (x 1Dx)]2[ f ( x) 1g ( x )]
xS 0
Dx
5 lím
5 lím
xS 0
f ( x 1Dx)2 f( x )1 g ( x 1Dx)2g ( x )
Dx
[
]
f (x 1D x )2 f ( x )
g (x 1D x )2 g( x )
1
Dx
Dx
5 f 9(x) 1 g9(x)
5 lím
xS 0
D x [ f (x) 1 g (x)] 5 D x f (x) 1 D x g (x)
La derivada de la suma algebraica de dos funciones es igual a la suma algebraica de sus derivadas, si éstas existen.
Esta regla se puede hacer extensiva a un número finito de funciones y se expresa así:
La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de sus derivadas, si éstas
existen.
Reglas del producto y del cociente
Derivada del producto de dos funciones
Si f, g y h son funciones tales que:
h9(x) 5 f 9(x) g (x) 1 f (x) g9(x)
Y existen f9(x) y g9(x) entonces:
h9(x) 5 f 9(x) g (x) 1 f(x) g9(x)
Demostración:
h9(x) 5 lím
xS 0
h(x 1Dx)2 h( x )
Dx
93
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
f ( x 1D x ) g (x 1D x ) 2 f ( x ) g (x )
Dx
Sumando y restando f (x 1 Dx) g (x)en el numerador:
5 lím
xS 0
h9(x) 5 lím
Dx→0
f ( x 1D x) g ( x 1Dx) 2 f (x 1D x) g ( x ) 1 f(x 1D x ) g (x ) 2 f (x ) g (x )
Dx
⎡
g ( x 1D x )2 g ( x )
f ( x 1D x )2 f ( x ) ⎤
1 g (x)
5 lím ⎢ f ( x 1D x )
⎥
Dx→0
Dx
Dx
⎦
⎣
⎡
g ( x 1D x )2 g ( x ) ⎤
⎡
f ( x 1D x )2 f ( x ) ⎤
1 lím ⎢ g ( x )
5 lím ⎢ f ( x 1D x )
⎥
⎥
Dx→0
Dx
Dx
⎦
⎦ Dx→0 ⎣
⎣
5 lím f (x 1 Dx) lím
Dx→0
Dx→0
g( x 1D x) 2 g ( x )
f ( x 1D x )2 f ( x )
1 lím g (x) lím
D
x
→0
D
x
→0
Dx
Dx
Como:
lím f (x 1 Dx) 5 f (x)
Dx→0
lím
g( x 1D x) 2 g ( x )
2 g9( x)
Dx
lím
f ( x 1D x )2 f ( x )
2 f9( x )
Dx
Dx→0
Dx→0
Y:
lím g (x) 5 g (x)
xS 0
Entonces:
h9(x) 5 f (x) g9(x) 1 g (x) f 9(x)
Es decir:
Dx [f (x) g (x)] 5 f (x) ? Dxg (x) 1 g (x) ? Dx f (x)
La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más el
producto de la segunda función por la derivada de la primera, si dichas derivadas existen.
Para un número finito de funciones, la regla anterior se expresa así:
La derivada de un producto de un número finito de funciones es igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar la
derivada de cada función por las funciones restantes.
Derivada del producto de una constante por una función
Demostración:
Si en la función y 5 c u, donde c es una constante y u es una función de x, se aplica la regla para la derivada del
producto de dos funciones, se tiene:
Dy 5 Dcu 5 cDu 1 uDc
5 cDu 1 0
5 cDu
Es decir:
Dx [c u] 5 c ? Dx (u)
La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función, si esta
derivada existe.
94
Grupo Editorial Patria®
Derivada del cociente de dos funciones
Si f, g y h son funciones tales que:
h (x) 5
f ( x)
, g(x) ? 0
g( x )
Entonces, si f 9(x) y g9(x) existen:
h9(x) 5
g( x ) f 9( x ) − f ( x ) g9( x )
[ g( x )]2
Demostración:
h9(x) 5 lím
Dx→0
h(x 1Dx)2 h( x )
Dx
f ( x 1D x ) f ( x )
2
g ( x 1D x ) g ( x )
5 lím
Dx→0
Dx
5 lím f ( x 1D x ) g ( x )2 f ( x ) g ( x 1D x )
Dx→0
D xg ( x ) g ( x 1D x )
Sumando y restando f (x) ? g (x) en el numerador:
h9(x) 5 lím f ( x 1D x ) g ( x )2 f ( x )? g ( x )2 f (xx ) g ( x 1D x )1 f ( x )? g ( x )
Dx→0
D xg ( x ) g ( x 1D x )
g( x + Dx ) − g( x ) ⎤
f ( x + Dx ) − f ( x ) ⎤ ⎡
⎡
− ⎢ f ( x) ⋅
⎥
⎢ g( x ) ⋅
⎥
Dx
Dx
⎦ ⎣
⎦
5 lím ⎣
Dx→0
g( x ) ⋅ g( x + Dx )
lím g( x ) ⋅ lím
5
Dx→0
Dx→0
g( x + Dx ) − g( x )
f ( x + Dx ) − f ( x )
− lím f ( x ) ⋅
Dx→0
Dx
Dx
lím g( x ) ⋅ g( x + Dx )
Dx→0
5
g ( x )? f 9( x )2 f ( x )? g 9( x )
g ( x )? g ( x )
5
g ( x )? f 9( x )2 f ( x )? g 9( x )
[ g ( x )]2
⎡ f ( x ) ⎤ g ( x )Dxf ( x )2 f ( x )Dxg ( x )
Dx ⎢
⎥5
[ g ( x )]2
⎣ g (x) ⎦
La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por
la derivada del denominador y esta diferencia dividida entre el cuadrado del denominador.
La derivada del cociente de dos funciones tiene como casos particulares:
a) El numerador es una constante.
Si y =
c
, donde c es una constante y u es una función de x tal que u9 existe, entonces:
u
⎡c ⎤
cDx(u )
Dx ⎢ ⎥52 2
u
⎣u ⎦
Demostración:
Aplicando la fórmula para la derivada de un cociente de dos funciones, se tiene que:
95
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
D
c
uDc − cDu
5
u
u2
5−
cDu
u2
Es decir:
⎡c ⎤
cDx(u )
Dx ⎢ ⎥52 2
u
u
⎣ ⎦
La derivada del cociente de una constante entre una función es igual a menos el producto de la constante por la derivada de
la función dividido entre el cuadrado de la función.
b) El denominador es una constante.
Si y =
u
, donde c es una constante y u es una función de x tal que u9 existe, entonces:
c
⎡ u⎤
Dx(u )
Dx ⎢ ⎥52
c
⎣c ⎦
Demostración:
Utilizando la fórmula para la derivada de un cociente de dos funciones, se tiene que:
D
u
cDu − uDc
5
c
c2
5
cDu − 0
c2
5
cDu
c2
5
Du
c
Es decir:
⎡ u⎤
Dx(u )
Dx ⎢ ⎥52
c
c
⎣ ⎦
La derivada del cociente de una función entre una constante es igual a la derivada de la función entre la constante.
Regla de la potencia
Derivada de la función potencial de la forma y 5 xn
Si f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo, entonces:
f 9( x ) = nx n −1
Demostración:
f 9(x) 5 lím f ( x 1D x )2 f ( x )
Dx→0
Dx
5 lím ( x 1D x )n 2 x n
Dx→0
Dx
Desarrollando por el teorema del binomio a (x 1 Dx):
96
Grupo Editorial Patria®
⎡ n
n(n21) n22
n
n2 1
n⎤
2
n
⎢ x 1nx D x 1 2! x (D x ) 1...1nx(D x ) 1(D x ) ⎥2 x
⎦
f 9( x ) 5 lím ⎣
Dx→0
Dx
nx n21D x 1
5 lím
Dx→0
n(n21) n22
x (D x )2 1...1nx(D x )n21 1(D x )n
2!
Dx
Dividiendo numerador y denominador entre D x:
⎡
⎤
n(n21) n22
x x 1...1nx(D x )n22 1(D x )n21 ⎥
f 9( x ) 5 lím ⎢ nx n21 1
Dx→0
2!
⎣
⎦
Todos los términos, excepto el primero, tienen un factor Dx, por lo que al pasar al límite y Dx S 0, se anulan esos
términos y nos queda:
f 9( x ) = nx n −1
Es decir:
Dx( x n ) = nx n −1
La derivada de xn, siendo n un número entero positivo, es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente
disminuido en uno.
Así, la derivada de y = x 3 es:
y9 = 3 x 3−1 = 3 x 2
Si, en la función, el exponente es un número entero negativo de manera que n . 0, 2 n , 0, se tiene que:
y = x−n
De acuerdo con las leyes de los exponentes:
x−n =
1
xn
Por tanto:
1
xn
Aplicando la fórmula para la derivada de un cociente y la fórmula para la derivada de una potencia se tiene que:
Dx − n = D
D
−Dx n
− nx n −1
1
5
5
5 − nx n −1− 2 n 5 − nx − n −1
2n
2n
n
x
x
x
Es decir:
Dx( x − n ) = − nx − n −1
De manera que si una función es:
y = x −2
Entonces:
y9 = −2 x −2−1
y9 = −2 x −3
La fórmula es válida para todo valor de n. Su demostración se deja para un curso más avanzado.
Si y = 3 x 2 entonces la función se expresa por:
2
y = x3
97
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Por lo que:
y9 =
2 23 −1
x
3
5
2 23 − 33
x
3
5
2 1
⋅
3 13
x
5
2
3
3 x
Ejemplos
Obtener la derivada de las siguientes funciones.
Derivada de una potencia:
1. y = x 2
Solución:
DxY = Dx( x 2 ) = 2 ⋅ x 2−1 = 2 x
2. y = x 3
Solución:
DxY = Dx( x 3 ) = 3 ⋅ x 3−1 = 3 x 2
1
3. y = x = x 2
Solución:
1
DxY = Dx x = Dx( x 2 ) =
1 12 −1 1 − 12
1
⋅x = ⋅x =
2
2
2 x
3
4. y = 4 x 3 = x 4
Solución:
3
DxY = Dx 4 x 3 = Dx( x 4 ) =
3 43 −1 3 − 14 3 1
3
⋅x = ⋅x = ⋅ 1 = 4
4
4
4 4 4 x
x
Derivada de una constante por una función:
5. y 5 5 x
Solución:
DxY = Dx(5 x ) = 5Dx( X ) = 5 ⋅ 1 = 5
6. y = −2 x
2
Solución:
DxY = Dx( −2 x 2 ) = −2Dx( x 2 ) = −2 ⋅ 2 x = −4 x
7. y = 7 x
98
Grupo Editorial Patria®
Solución:
( )
1
1 −
1 1
7
DxY = Dx 7 x = 7Dx x = 7 ⋅ x 2 = 7 ⋅ ⋅
=
2
2 x 2 x
8. y =
23
2 1
x = x3
3
3
Solución:
⎛2
DxY = Dx ⎜ 3
⎝3
1
2
⎞ 2
2
2 1 − 2 1
x ⎟ = Dx( x 3 ) = ⋅ ⋅ x 3 = ⋅
=
3
3
2
3 3
9 x
⎠ 3
9 x2
Derivada de una suma de funciones:
9. y 5 2 x 1 3
Solución:
DxY = Dx(2 x + 3) = Dx(2 x ) + Dx(3)
5 2Dx( x ) + 0
52?1
52
10. y = x 2 − 5
Solución:
DxY = Dx( x 2 − 5) = Dx( x 2 ) + Dx( −5)
5 2x 1 0
5 2x
11. y = x + x
2
Solución:
DxY = Dx( x 2 + x ) = Dx( x 2 ) + Dx( x )
5 2x 1 1
12. y = 3 x − 2 x
2
3
Solución:
DxY = Dx(3 x 2 − 2 x 3 ) = Dx(3 x 2 ) + Dx( −2 x 3 )
5 3Dx( x 2 ) − 2Dx( x 3 )
5 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x2
5 6x − 6x2
13. y = 2 x 2 + 7 x + 3
Solución:
DxY = Dx(2 x 2 + 7 x + 3) = Dx(2 x 2 ) + Dx(7 x ) + Dx(3)
5 2Dx( x 2 ) + 7Dx( x ) + Dx(3)
5 2 ⋅ 2x + 7 ⋅ 1+ 0
5 4x + 7
Derivada de un producto de funciones:
99
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
14. y = ( x + 2)( x + 1)
Solución:
DxY = Dx[( x + 2)( x + 1)] = ( x + 2)Dx( x + 1) + ( x + 1)Dx( x + 2))
5 ( x + 2) ⋅ 1 + ( x + 1) ⋅ 1
5 x + 2 + x +1
5 2x + 3
Observa que si se efectúa primero el producto indicado y = ( x + 2)( x + 1) = x 2 + 3 x + 2 y después
se deriva, se obtiene el mismo resultado:
DxY = Dx( x 2 + 3 x + 2) = Dx( x 2 ) + Dx(3 x ) + Dx(2)
5 2x + 3 ⋅ 1+ 0
5 2x + 3
15. y = (2 x + 3)(3 x − 1) = 6 x 2 + 7 x − 3
Solución:
DxY = Dx[(2 x + 3)(3 x − 1)] = (2 x + 3)Dx(3 x − 1) + (3 x − 1)Dx(2 x + 3)
5 ( 2 x + 3) ⋅ 3 + ( 3 x − 1) ⋅ 2
5 6x + 9 + 6x − 2
5 12 x + 7
DxY = Dx(6 x 2 + 7 x − 3) = 2 ⋅ 6 x + 7 ⋅ 1 = 12 x + 7
16. y = (2 x 3 − 4 x 2 )(5 x + 2) = 10 x 4 − 16 x 3 − 8 x 2
Solución:
DxY = Dx[(2 x 3 − 4 x 2 )(5 x + 2)] 5 (2 x 3 − 4 x 2 )Dx(5 x + 2) + (5 x + 2)Dx(2 x 3 − 4 x 2 )
5 ( 2 x 3 − 4 x 2 ) ⋅ 5 + (5 x + 2) ⋅ (6 x 2 − 8 x )
5 10 x 3 − 20 x 2 + 30 x 3 − 28 x 2 − 16 x
5 40 x 3 − 48 x 2 − 16 x
DxY = Dx(10 x 4 − 16 x 3 − 8 x 2 ) = 4 ⋅ 10 x 3 − 3 ⋅ 16 x 2 − 2 ⋅ 8 x
5 40 x 3 − 48 x 2 − 16 x
17. y = (3 − x )(2 − x )(5 − x ) = 30 − 31x + 10 x 2 − x 3
Solución:
Dx[(3 − x )(2 − x )(5 − x )] 5
5 (3 − x )(2 − x )Dx(5 − x ) 1 (3 − x )(5 − x )Dx(2 − x ) 1 (2 − x )(5 − x )Dx(3 − x )
5 (6 − 5 x + x 2 )( −1) 1 (15 − 8 x + x 2 )( −1) 1 (10 − 7 x + x 2 )( −1)
5 −6 + 5 x − x 2 − 15 + 8 x − x 2 − 10 + 7 x − x 2
5 −31 + 20 x − 3 x 2
Derivada de un cociente de funciones:
3x − 1
2x + 3
Solución:
18. y =
DxY = Dx
100
3 x − 1 (2 x + 3)Dx(3 x − 1) − (3 x − 1)Dx(2 x + 3)
5
2x + 3
(2 x + 3)2
Grupo Editorial Patria®
(2 x + 3)(3) − (3 x − 1)(2)
(2 x + 3)2
6x + 9 − 6x + 2
5
(2 x + 3)2
11
5
(2 x + 3)2
5
x3 − 8
x3 + 8
Solución:
19. y =
DxY = Dx
20. y =
x3 − 8
( x 3 + 8)Dx( x 3 − 8) − ( x 3 − 8)Dx( x 3 + 8)
5
x3 + 8
( x 3 + 8)2
( x 3 + 8)(3 x 2 ) − ( x 3 − 8)(3 x 2 )
5
( x 3 + 8)2
(3 x 2 )[ x 3 + 8 − x 3 + 8)]
5
( x 3 + 8)2
3 x 2 (16)
5 3
( x + 8)2
48 x 2
5 3
( x + 8)2
5
3+ x
Solución:
DxY = Dx
21. y =
−5Dx( 3 + x )
−5 ⋅ 1
−5
5
=
=
5
2
2
(3 + x )
( 3 + x ) ( 3 + x )2
3+ x
5x + 3
−2
Solución:
5 x + 3 −2Dx(5 x + 3)
=
−2
( −2)2
−2(5)
5
4
5
5−
2
DxY = Dx
Derivada de un polinomio en x:
La derivada de un polinomio en x es igual a la suma de las derivadas de todos sus términos.
22. y = 5 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 1
Solución:
DxY = Dx(5 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 1) 5 Dx(5 x 3 ) + Dx( 4 x 2 ) + Dx( −7 x ) + Dx( −1)
5 15 x 2 + 8 x − 7 + 0
5 15 x 2 + 8 x − 7
101
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
2 5
− 2 = 2 x −1 − 5 x −2
x x
Solución:
23. y =
DxY = Dx(2 x −1 − 5 x −2 ) = Dx(2 x −1 ) + Dx( −5 x −2 )
5 −1 ⋅ 2 x −1−1 − 2 ⋅ − 5 x −2−1
5 −2 x −2 + 10 x −3
5−
2 10
+
x2 x3
5
7
5
7
+
− 3 = x −3 + x −1 − 3
3
2
5
2x 5x
Solución:
24. y =
5
7
7
⎛5
⎞
DxY = Dx ⎜ x −3 + x −1 − 3⎟ 5 Dx( x −3 ) + Dx( x −1 ) + Dx( −3)
⎝2
⎠
2
5
5
5 −4
7 −2
5 −3 ⋅ x − 1 ⋅ x + 0
2
5
15
7
5 − x −4 − x −2
2
5
15
7
5− 4− 2
2x
5x
Ejercicios de cálculo
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones.
1. y = 7 x − 5
2. y = 3 x − x
2
3. y = 2 x 2 − 3 x + 6
4. y = 2 x 3 − 8
5. y = 4 x 3 − 3 x 2 − 5
6. y = 2 x 4 − 5 x
7. y = − x 3 + 3 x
18. y = x 3 − 2 x 2 − 4 x −1 − 5
8. y = x 3 − 5 x + 4
19. y = 3 x − 4 3 x + 5 x 2 − 1
9. y = x 4 + 3 x 2 − 6
20. y = x − 3 x 4 + 3 x −
10. y = 3 x 5 − 4 x 3 + 5 x + 2
11. y = 2 x −3 + 3 x −1
12. y = x −5 + x −2
2
2
13. y = 2 −
3x 3
1
14. y =
+ 3x
3x
102
2
x
15. y = 3 x 4 − x 3 + − 5
3
2
3
4
9
16. y = x 4 − x 3 + x 2 − 1
5
3
2
3 8
17. y = 3 + − 7
x
x
21. y = ( 4 − x )(3 − x )
22. y = (1 − x )( x − 2)
23. y = ( x + 1)(2 x − 3)
24. y = (6 x + 5)(5 x − 4 )
25. y = (5 x + 2)(2 − 3 x )
26. y = x( x 2 − 1)
1
x
Grupo Editorial Patria®
27. y = 5 x( x 3 − 1)
47. y =
28. y = ( x + 1)( x − 1)
2
3
29. y = ( x 2 − 1)( x 2 + 1)
48. y =
30. y = (2 x − 5)( x − 1)
2
3
49. y =
31. y = (2 x 3 + 3 x 2 )(3 x 5 − x 3 )
32. y = ( x 2 − 5 x )( x 3 − 3 x )
50. y =
33. y = (2 x 2 + 3 x )( x 2 − 2 x + 1)
34. y = ( x 2 + 2 x )(3 x 3 + 2 x 2 − 1)
51. y =
35. y = (5 x − x )(3 x − 2 x + 2)
2
2
52. y =
36. y = (3 x 2 − 5 x )( x 2 + 2 x − 3)
37. y = (2 x 3 − 3 x )(2 x 2 − 3 x + 1)
53. y =
38. y = ( x 2 − 2 x + 5)( x 2 + 2 x + 5)
39. y = ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1)
54. y =
40. y = ( x 2 + 4 x − 3)(3 x 2 + 12 x + 12)
x −1
x +1
1+ x
y=
1− x
x+a
y=
x−a
x−2
y=
3x − 4
2x + 3
y=
7− x
5− x
y=
4 − 2x
41. y =
55. y =
42.
56. y =
43.
44.
45.
46.
57. y =
58. y =
59. y =
60. y =
2 − 3x
4 − 5x
2x + 5
3x − 1
3x + 5
7
2 − 3x
5
2x 2 − 5x
3
6
3+ x
2
x +1
1
2
5x − 3
x2 − 4
x2 + 4
x3
5− x
3x 2 − 2x + 5
x2 + 1
x 2 + 2x + 1
x 2 − 2x + 1
x 2 + 2x − 3
x 2 + 3x − 5
2x 2 + 4 x − 1
3x 2 + 5x − 2
La derivada de una función compuesta
Para la función:
y = x2
Su derivada es:
y′ = 2 x
Si la función es:
(
y = 2x 3 − 3x 2 + 7
)
2
¿Cuál es su derivada?
Una forma de obtenerla consiste en desarrollar el cuadrado del trinomio, o bien, multiplicar el trinomio por sí
mismo para obtener un polinomio de grado seis y después derivar cada uno de sus términos. Si el exponente
del trinomio fuera 3, 5 o 20, etc., habría la necesidad de multiplicar el trinomio por sí mismo 3, 5, 20 veces, etc. y
después derivar cada término del polinomio resultante. Sin embargo, existe otro procedimiento que simplifica el
trabajo y consiste en expresar y como una función de función y aplicar lo que se conoce como regla de la cadena.
103
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Regla de la cadena
Si y es una función de u, y 5 f (u), y DuY existe y si u es una función de x, u 5 g (x) y Dxu existe, entonces y es una
función de x donde DxY existe y se define por:
DxY = DuY ? Dx u
En esta expresión:
DxY indica la derivada de y respecto a x.
DuY indica la derivada de y respecto a u.
Dxu indica la derivada de u respecto a x.
Ejemplos
(
1. En la función y = 2 x 3 − 3 x 2 + 7
)
2
Si hacemos 2 x 3 − 3 x 2 + 7 = u donde u es una nueva variable llamada variable intermedia, se tiene
que:
y = f (u) = u2
Y:
u 5 g (x) 5 2 x 3 − 3 x 2 + 7
Es decir:
y 5 f (g (x))
y es una función compuesta ya que se trata de una función de función.
Aplicando la regla de la cadena a esta función se tiene que:
DxY = DuY ⋅ Dxu = 2u(6 x 2 − 6 x ) .
Por tanto:
DxY = DuY ⋅ Dxu = 2( 2 x 3 − 3 x 2 + 7 )(6 x 2 − 6 x )
Esto significa que la derivada de la potencia de una función es igual al producto del exponente por la
función elevada al exponente disminuido en uno y por la derivada de la función.
2. Dada y = (2 x 3 − 3 x 2 + 7)5 hallar DxY.
Solución:
Considerando y como una función de u, donde u es una función de x, se tiene que:
y = u 5 donde u 5 2x3 2 3x2 1 7
Aplicando la regla de la cadena se tiene que:
DxY = DuY ⋅ Dxu = 5u 4 (6 x 2 − 6 x )
5 5(2 x 3 − 3 x 2 + 7)4 (6 x 2 − 6 x )
4
⎛ 122 x ⎞
encontrar f9(x).
3. Dada f ( x )5⎜
⎝ 113x ⎟⎠
Solución:
Aplicando la regla de la cadena se tiene que:
3
⎛ 122 x ⎞ (113x )(22)2(122 x )(3)
?
f ( x )5 4 ⎜
⎝ 113x ⎟⎠
(113x )2
104
Grupo Editorial Patria®
3
⎛ 122 x ⎞ 2226 x 2316 x
?
54⎜
⎝ 113x ⎟⎠
(113x )2
3
⎛ 122 x ⎞
25
?
54 ⎜
⎟
⎝ 113x ⎠ (113x)2
=
−20(1 − 2 x )3
(1 + 3 x )5
4. Dada f ( x ) = ( x 2 − 1)3 (2 x + 3)2 encontrar f 9(x).
Solución:
Considerando f como el producto de dos funciones g y h, donde:
g( x ) = ( x 2 − 1)3 y h( x ) = (2 x + 3)2
Y utilizando la fórmula para el producto de dos funciones:
f 9( x ) = g( x )h9( x ) + h( x ) g9( x )
Donde g9(x) y h9(x) se obtiene por la regla de la cadena.
Entonces:
f 9( x ) = ( x 2 − 1)3[2( 2 x + 3)( 2)] + ( 2 x + 3)2[3( x 2 − 1)2 ( 2 x)]
Simplificando:
f 9( x ) = ( x 2 − 1)3 ( 4 )( 2 x + 3) + ( 2 x + 3)2 6 x( x 2 − 1)2
Sacando factor común:
f 9( x ) = ( x 2 − 1)2 ( 2 x + 3)[( x 2 − 1)( 4 ) + ( 2 x + 3)(6 x )]
Efectuando operaciones:
f 9( x ) = ( x 2 − 1)2 ( 2 x + 3)( 4 x 2 − 4 + 12 x 2 + 18 x )
Simplificando:
f 9( x ) = ( x 2 − 1)2 ( 2 x + 3)(16 x 2 + 18 x − 4 )
5. Dada f ( x ) =
1
hallar f 9(x).
5x − 3x 2 + 7 x − 2
3
Solución:
Expresando a la función como:
f ( x ) = (5 x 3 − 3 x 2 + 7 x − 2)−1
Y aplicando la regla de la cadena:
f 9( x ) = −1(5 x 3 − 3 x 2 + 7 x − 2)−2 (15 x 2 − 6 x + 7 )
−15 x 2 + 6 x − 7
(5 x 3 − 3 x 2 + 7 x − 2)2
La regla de la cadena también se aplica a la función potencia cuando el exponente es un número
racional cualquiera. De tal manera que si f ( x ) = [ g( x )]r , donde r es cualquier número racional, y
si g9(x) existe, entonces:
=
f 9( x ) = r[ g( x )]r −1 g9( x )
1
6. Dada f ( x ) = 3 − 2 x = (3 − 2 x ) 2 hallar f 9(x).
105
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Solución:
Expresando la función como:
1
f ( x ) = (3 − 2 x ) 2
Y aplicando la regla de la cadena:
1
−
1
f 9( x ) = ( 3 − 2 x ) 2 ( −2)
2
= −1(3 − 2 x )
−
1
2
1
=−
3 − 2x
7. Dada f ( x ) = 3 x 2 hallar f ′( x )
Solución:
Expresando la función como:
2
f ( x) = x 3
Y aplicando la regla de la cadena:
2 −1
f 9( x ) = ( x ) 3 (1)
3
2
=
1
3x 3
2
=
8. Dada f (t ) =
33 x
2t + 3
hallar f 9(t ).
3t − 1
Solución:
Expresando la función como:
1
⎛ 2t 13 ⎞ 2
f ( x )5⎜
⎝ 3t 21 ⎟⎠
Y aplicando la regla de la cadena:
1 ⎛ 2t 13 ⎞
f ( x )5 ⎜
2 ⎝ 3t 21 ⎟⎠
1 ⎛ 2t 13 ⎞
5 ⎜
2 ⎝ 3tt21 ⎟⎠
5
?
1
2
2
?
1
⎛ 2t 13 ⎞
2⎜
⎝ 3t 21 ⎟⎠
106
1
2
2
1
2
?
(3tt21)(2)2(2 13)(3)
(3t 21)2
6tt2226 29
(3t 21)2
211
(3t 21)2
Grupo Editorial Patria®
−11
=
( 2t + 3)( 3t − 1)
( 3t − 1)2
2( 3t − 1)2
−11
=
( 2t + 3)( 3t − 1)
( 3t − 1)
2( 3t − 1)2
=
−11
2( 3t − 1) ( 2t + 3)( 3t − 1)
Actividad de aprendizaje
La derivada de la suma algebraica de dos funciones, ¿a qué es igual? ______________________________________
Aplicación de tus Saberes
Actividad
Una compañía que fabrica pasta de dientes desea envasar su producto utilizando la menor cantidad de plástico posible para
cumplir con la normatividad ambiental vigente, ¿qué forma debe tener el envase de tal manera que la cantidad de producto sea
máxima y la cantidad de material sea mínima?
Ejercicios de cálculo
Encuentra la derivada de las siguientes funciones.
1. f ( x ) = (3 x − 1)2
12. f ( x ) =
2. f ( x ) = (3 x 2 + 5)3
13. f ( x ) = 1 − x
3. f ( x ) = ( 4 − 5 x )4
4. f ( x ) = ( x 2 − 3 x + 2)2
5. f ( x ) = ( x − 4 x − 5)
2
( x 2 − 5)3
( x 2 + 3)2
14. f ( x ) = 3 − 2 x 2
3
6. f ( x ) = (2 x 4 − 7 x 3 + 2 x − 1)2
7. f ( x ) = (2 x 4 + 8 x 2 + 1)4
15. f ( x ) = 3 (3 x + 7)2
2x − 1
3x + 2
16. f ( x ) =
8. f ( x ) =
1
( x + 1)2
17. f ( x ) =
9. f ( x ) =
4
(1 + 3 x )2
18. f ( x ) = 3 x +
1
10. f ( x ) = 3
( x − 3 x 2 + 1)4
11. f ( x ) =
1
1
⋅
2 x − 3 ( 4 x + 3)2
x +1
x −1
4
x
x +1
x3 − 1
3
19. f ( x ) =
4
20. f ( x ) = (5 x − 2) 1 − x 2
107
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
La mayoría de las funciones estudiadas hasta ahora están expresadas en forma explícita. Esto significa que la y
aparece despejada, por lo que se dice que la función está definida en términos de x. Sin embargo, no siempre
ocurre esto; se hace necesario proceder a despejar la y y, en caso de que dicho despeje resulte muy complicado, se
recurre al método de derivación implícita que es una aplicación de la regla de la cadena.
Este método es válido siempre y cuando a partir de una ecuación en x y y se pueda obtener una función y 5 f (x)
que sea derivable. De no ser así, se llega a dificultades técnicas que rebasan los objetivos de esta obra pero se tratan
en textos de cálculo avanzado.
Ejemplos
1. Dada, x y 21 5 0 encontrar la derivada de y respecto a x.
Solución:
Si se despeja y la ecuación queda explícitamente así:
xy − 1 = 0
xy = 1
y=
1
x
Que tiene como derivada:
y9 = −
1
x2
Si la ecuación se maneja como está dada, es decir en forma implícita, se procede a derivar cada uno de
sus términos:
xy − 1 = 0
xy9 + y = 0
Despejando y9 :
xy9 = − y
y9 =
−y
x
Esta derivada es equivalente a la que se obtuvo a partir de la expresión explícita de la ecuación donde:
y=
1
x
Por lo que:
1
y9 = x
x
−
De donde:
y9 = −
1
x2
2. Dada x 2 + y2 = 9 encontrar la derivada de y respecto a x.
Solución:
Despejando y:
108
Grupo Editorial Patria®
x 2 + y2 = 9
y2 = 9 − x 2
y = ± 9 − x2
O bien:
1
y = ±( 9 − x 2 ) 2
Aplicando la regla de la cadena se tiene que:
1
−
1
2 2
y9 = [± ( 9 − x ) ]( −2 x )
2
De donde:
−
1
y9 = ( − x )[± ( 9 − x 2 ) 2 ]
Es decir:
y9 =
−x
± 9 − x2
Si se procede a derivar implícitamente a partir de:
x 2 + y2 = 9
Se obtiene:
2 x + 2 yy9 = 0
Despejando y9:
2 yy9 = −2 x
y9 =
−2 x
2y
y9 =
−x
y
Como en la función y = ± 9 − x 2 , entonces:
y′ =
−x
± 9 − x2
3. Encontrar la derivada de y respecto a x de x 2 + 2 xy + y3 = 0.
Solución
El despeje de y resulta complicado por lo que se procede a derivar implícitamente a partir de:
x 2 + 2 xy + y3 = 0
2 x + 2 xy9 + 2 y + 3 y2 y9 = 0
Despejando y9:
2 xy9 + 3 y2 y9 = −2 x − 2 y
y9( 2 x + 3 y2 ) = −2( x + y)
y9 =
−2( x + y )
2 x + 3 y2
109
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
En este caso la derivada está expresada en términos de x y de y; pero, si lo que se desea es conocer la
pendiente de la gráfica de la función en un punto del que se conoce sus coordenadas, por ejemplo en
(21, 1), entonces:
y9 =
=
−2( −1 + 1)
2( −1) + 3(1)2
−2(0)
−2 + 3
=0
La pendiente es cero.
Aplicación de tus Saberes
Actividad
Desde el suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30
metros por segundo. La distancia recorrida a los t segundos está dada por s 5 30t 2 4.9t 2.
Encuentra el tiempo que tarda la pelota en alcanzar su máxima altura y en tocar el suelo.
Ejercicios de cálculo
En cada una de las siguientes ecuaciones encuentra la derivada de y respecto a x por el método de derivación
implícita.
1. xy − 5 = 0
2. xy = 4
3. x 2 + y2 = 4
4. 3 x 2 + y2 = 1
5. y2 = 4 ax
6. x 2 + y2 = r 2
7.
x 2 y2
+
=1
a 2 b2
9. x − 3 y2 = 5 y
10. y − y3 = 2 − xy
11. x 2 + xy + y2 = 0
12. 2 xy − 3 y2 + 1 = 0
13. xy2 = x + y
14. 3 x 2 + 4 xy + y2 = 0
15. xy = ( x + y)2
16.
17.
y = 1− x
19. xy2 − x + 16 = 0
110
8. x 3 + y3 = 1
x 2 y2
+
=1
9 4
18. y3 − xy − 2 = 0
20.
2x = 3 + y
Grupo Editorial Patria®
Derivadas de funciones trigonométricas
y funciones trigonométricas inversas
Derivadas de funciones trigonométricas directas
Dos límites que se utilizan en la obtención de la derivada de la función seno son:
lím
tS 0
sen t
1− cos t
y lím
tS 0
t
t
π
Considera la siguiente figura en la que t representa un ángulo expresado en radianes y 0 ≤ t < , en un círculo de
2
radio unitario (véase figura 3.17).
El área del triangulo OBP es menor que el área del sector circular BOP y ésta a su vez es menor que el área de
triángulo OBT, es decir, área DOBP , área sector BOP , área DOBT
Representando con k1, el área del triángulo OBP se tiene:
1
OB ⋅ AP
2
T ( 1,
Es decir:
sen t
cos t
(
k1 =
p
1
k1 = (1) ⋅ sen t
2
p (cos t, sen t)
t
De donde:
O
A
B (1, 0)
1
k1 = sen t
2
Representando con S el área del sector BOP se tiene:
1
S = r 2t
2
Figura 3.17
Donde r es el radio y t es el ángulo central en radianes, por tanto:
1
S = (1)2 t
2
1
S= t
2
La recta que pasa a través de los puntos O (0, 0) y P (cos t, sen t) tiene pendiente
y=
sen t
x
cos t
sen t
, por lo que su ecuación es:
cos t
⎛ sen t ⎞
Esta recta interseca a la recta x 5 1 en el punto T de coordenadas 1, ⎜
.
⎝ cos t ⎟⎠
Representando con k2 el área del triángulo OBT se tiene:
k2 =
1
OB ⋅ BT
2
k2 =
1
sen t
⋅1⋅
2
cos t
O sea:
De donde:
k2 =
1 sen t
⋅
2 cos t
111
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
De acuerdo con la figura:
k1 ≤ S ≤ k2
Es decir:
1
1 1 sen t
.
sen t ≤ t ≤ •
2
2 2 cos t
Suprimiendo el factor constante
1
se tiene:
2
sen t ≤ t ≤
sen t
cos t
Dividiendo sen t por la expresión anterior queda:
sen t sen t sen t
≥
≥
sen t
sen t
t
cos t
sen t
1≥
≥ cos t
t
Tomando límites, cuanto t → 0 , se obtiene:
sen t
≥ lím cos t
t →0
t →0
t
sen t
1 ≥ lím
≥1
t →0
t
1 ≥ lím
Por tanto:
lím
tS 0
Para el lím
tS 0
1− cos t
se tiene que:
t
lím
tS 0
sen t
=1
t
1− cos t
(1 − cos t )(1 + cos t )
5 lím
tS 0
t
t(1 + cos t )
5 lím
1 − cos2 t
t(1 + cos t )
5 lím
sen 2t
t(1 + cos t )
5 lím
sen t
sen t
⋅ lím
tS 0 1+ cos t
t
tS 0
tS 0
tS 0
Como
sen t
= 1 y las funciones seno y coseno son continuas en 0, entonces:
t
1− cos t
0
lím
5 1⋅
tS 0
1+1
t
5 1⋅ 0
50
Derivada de la función seno
Sea f la función definida por:
f (x) 5 sen x
112
Grupo Editorial Patria®
Aplicando la definición de una derivada se obtiene:
f 9(x) 5 lím f ( x 1Dx )2 f ( x )
Dx→0
Dx
5 lím sen( x 1Dx )2sen( x )
Dx→0
Dx
Como sen (x 1 y) 5 sen x cos y 1 cos x sen y, entonces:
f 9(x) 5 lím
Dx→0
sen x cos Dx 1cos x seen Dx 2sen x
Dx
Reordenando términos se obtiene:
f 9(x) 5 lím sen x cos Dx 2sen x 1cos x sen Dx
Dx→0
Dx
⎡
12cos Dx
sen Dx ⎤
1cos x ?
5 lím ⎢2sen x ?
Dx→0
Dx ⎥⎦
Dx
⎣
⎛ 12cos Dx ⎞
⎛ sen Dx ⎞
5 2sen x lím ⎜
1cos x lím ⎜
⎟
x→0 ⎝
x
→
0
Dx ⎠
⎝ Dx ⎟⎠
5 ( −sen x ) ⋅ 0 + cos x ⋅ 1
5 cos x
Por tanto:
Dx( sen x ) = cos x
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces, por la regla de la cadena:
Dx( sen u ) = cos u Dxu
Derivada de la función coseno
Sea f la función definida por:
f (x) 5 cos x
Aplicando la definición de una derivada se obtiene:
f ( x 1Dx )2 f ( x )
Dx
cos( x 1Dx )2cos x
5 lím
Dx→0
Dx
Como cos (x 1 y) 5 cos x cos y 2 sen x sen y, entonces:
f 9(x) 5 lím
Dx→0
f 9(x) 5 lím
Dx→0
cos x cos Dx 2sen x sen Dx 2cos x
Dx
⎡
12cos Dx
sen Dx ⎤
2sen x ?
5 lím ⎢2cos x ?
Dx→0
Dx
Dx ⎥⎦
⎣
5 ( − cos x ) ⋅ 0 − ( sen x ) ⋅ 1
5 2 sen x
Por tanto:
Dx(cos x ) = −sen x
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces por la regla de la cadena
Dx(cos u ) = −sen u Dxu
113
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Ejemplos
1. Derivar y 5 sen (3x 2 1).
Solución:
y9 5 cos (3x 2 1) D x (3x 2 1)
5 cos (3x 2 1)(3)
5 3 cos (3x 2 1)
2. Derivar y = sen x .
2
Solución:
y9 = cos x 2 Dx( x 2 )
5 cos x 2 (2 x )
5 2 x cos x 2
3. Derivar y = sen 2 x .
Solución:
y = sen 2 x = ( sen x )2
y9 = 2sen x Dx( sen x )
5 2 sen x cos x
Como sen 2x 5 2 sen x cos x
y9 = sen 2 x
4. Derivar f (x) 5
sen x
.
1 − 2 cos x
Solución:
f 9(x) 5
(1 − 2 cos x )Dx( sen x ) − sen xDx(1 − 2 cos x )
(1 − 2 cos x )2
5
(1 − 2 cos x )cos x − sen x(2sen x )
(1 − 2 cos x )2
5
cos x − 2 cos2 x − 2 sen 2 x
(1 − 2 cos x )2
5
cos x − 2(cos2 x + sen 2 x )
(1 − 2 cos x )2
5
cos x − 2
(1 − 2 cos x )2
5. Derivar f (x) 5 3 sen x 2 2 cos x.
Solución:
f 9(x) 5 3 D x (sen x) 2 2 D x (cos x)
5 3 cos x 2 2 (2 sen x)
5 3 cos x 1 2 sen x
114
Grupo Editorial Patria®
Ejercicios de cálculo
Encuentra la derivada de la función dada.
1. y 5 3 sen 2x
11. y = x cos 3 x
2. f (x) 5 cos x 2
2 x
3. y = sen
2
1
4
4. y = sen 2 x
4
1
12. y = cos3 x
3
1
3
13. y = sen 5 x − sen 5 x
3
x
14. y = + 2 sen 4 x
3
5. y = 4 sen3 x
6. y = sen x cos x
7. y = 2 cos
x
x
− 3 cos
3
3
16. y = 3 sen x − 5 cos x
15. y = cos3
x
2
17. y = sen 2 x + cos2 x
x
8. y = 2 sen
2
2
18. y = 3 sen 5 x
9. y = 2 sen 3 x + 4 cos x
10. y =
19. y = cos(2 x 2 − 3)
x 1
− sen 2 x
2 4
20. y =
sen x
x
Derivada de la función tangente
Sea f la función definida por:
f (x) 5 tan x
Por trigonometría sabemos que:
tan x =
sen x
cos x
Entonces:
f ( x ) = tan x =
sen x
cos x
Aplicando la derivada de un cociente se obtiene:
cos x Dx( sen x ) − sen x Dx(cos x )
cos 2 x
cos x(cos x ) − sen x(−sen x )
5
cos2 x
f 9( x ) =
cos2 x + sen 2 x
5
cos2 x
Como sen 2 x + cos2 x = 1 , entonces:
f 9( x ) =
1
cos 2 x
Por ser la secante la función recíproca del coseno:
f 9( x ) = sec 2 x
115
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Por tanto:
Dx(tan x ) = sec2 x
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces, por la regla de la cadena:
Dx(tan u ) = sec2 u Dxu
Ejemplos
1. Derivar y = tan
1
.
x
Solución:
y9 = sec 2
1 ⎛ 1⎞
Dx
x ⎜⎝ x ⎟⎠
5 sec2
5−
1⎛ 1 ⎞
−
x ⎜⎝ x 2 ⎟⎠
1
1
⋅ sec 2
2
x
x
2. Derivar y = tan 3 3 x = (tan 3 x )3.
Solución:
Aplicando la regla de la cadena para la potencia de una función se obtiene:
y9 = 3(tan 3 x ) Dx(tan 3 x )
5 3 tan 3 x sec2 3 x(3)
5 9 tan 3 x sec2 3 x
Derivada de la función cotangente
Sea f la función definida por:
f (x) 5 cot x
Por trigonometría se obtiene:
f (x) 5 cot x 5
1
tan x
Aplicando la derivada de un cociente se obtiene:
f 9( x ) =
5
tan x Dx(1) − 1Dx tan x
tan 2 x
0 − sec2 x
tan 2 x
De donde, por trigonometría se obtiene:
1
2
cos
x
f 9( x ) =
2
sen x
cos 2 x
−
5−
116
1
sen 2 x
Grupo Editorial Patria®
Por ser la cosecante la inversa de la función seno:
f 9( x ) = − csc 2 x
Por tanto:
Dx(cot x ) = − csc2 x
Por tanto:
Dx(cot u ) = − csc2 u Dxu
Ejemplos
1. Derivar y = cot 2 x .
Solución:
y9 = − csc 2 2 x Dx( 2 x )
5 −2 csc2 2 x
2. Derivar y = 2 cot
1
.
x
Solución:
⎛
1⎞ ⎛ 1⎞
y 52⎜ 2csc 2 ⎟ Dx ⎜ ⎟
x⎠ ⎝ x⎠
⎝
⎛
1⎞⎛ 1⎞
52⎜ 2csc 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
x⎠⎝ x⎠
⎝
5
2 21
csc
x
x2
Derivada de la función secante
Sea f la función definida por:
f (x) 5 sec x
Por trigonometría se obtiene:
f (x) 5 sec x 5
1
cos x
Aplicando la derivada de un cociente se obtiene:
f 9( x ) =
cos x Dx(1) − 1 Dx(cos x )
cos 2 x
0 − (−sen x )
cos2 x
sen x
5
cos2 x
5
5
sen x
cos x ⋅ cos x
sen x
1
⋅
cos x cos x
5 tan x sec x
5
117
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces, por la regla de la cadena:
Dx(sec u ) = tan u sec u Dxu
Ejemplos
1. Derivar y = sec
x
.
2
Solución:
x x ⎛ x⎞
y 5sec tan Dx ⎜ ⎟
2 2 ⎝ 2⎠
x x⎛ 1⎞
5sec tan ⎜ ⎟
2 2⎝ 2⎠
1 x x
5 sec tan
2 2 2
5
2
x 2⎡ x ⎤
2. Derivar y 5 sec 5 5 ⎢ sec ⎥ .
5
2 5⎣ 2⎦
Solución:
Aplicando la regla de la cadena para la potencia de una función se obtiene:
4
⎛ x⎞
2 ⎡ x⎤
y95 ?55 ⎢ sec ⎥ Dx ⎜ sec ⎟
5 ⎣ 2⎦
⎝ 2⎠
5 2 sec 4
x
x
x
⎛ x⎞
sec tan Dx ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
2
2
x x 1
52sec 5 tan ?
2 2 2
x
x
5sec 5 tan
2 2
Derivada de la función cosecante
Sea f la función definida por:
f (x) 5 csc x
Por trigonometría se obtiene:
f (x) 5 csc x 5
1
sen x
Aplicando la derivada de un cociente se obtiene:
f 9( x ) =
5
118
− cos x
sen 2 x
− cos x
sen x ⋅ sen x
Grupo Editorial Patria®
5
−1 cos x
⋅
sen x sen x
5 −csc x cot x
Por tanto:
Dx(csc x ) = − csc x cot x
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces, por la regla de la cadena:
Dx(csc u ) = − csc u cot u Dx( u )
Ejemplos
1. Derivar y = csc 3 x .
Solución:
y9 = − csc 3 x cot 3 x Dx( 3 x )
5 −csc 3 x cot 3 x(3)
5 −3 csc 3 x cot 3 x
2. Derivar y =
1 4x
csc .
4
2
Solución:
Expresando la función como:
1⎡ x⎤
y 5 ⎢ csc ⎥
4⎣ 2⎦
4
Aplicando la regla de la cadena para la potencia de una función se obtiene:
3
⎛ x⎞
1 ⎡ x⎤
y95 ( 4 )⎢ csc ⎥ Dx ⎜ csc ⎟
4 ⎣ 2⎦
⎝ 2⎠
x⎛
x x⎞ ⎛ x⎞
5csc 3 ⎜ 2csc cot ⎟ Dx ⎜ ⎟
2⎝
2 2⎠ ⎝ 2⎠
x x⎛ 1⎞
5csc 4 cot ⎜ ⎟
2 2⎝ 2⎠
1
x x
52 csc 4 cot
2
2 2
Ejercicios de cálculo
Encontrar la derivada de las siguientes funciones.
1. y = tan
1− x
1+ x
2. y = cot
3. y = sec
2− x
3
4. y = csc
x
2
2x − 1
5
119
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
5. y =
1 3
tan x + tan 2 x + tan x
3
1
6. y = tan 2 x + tan 3 2 x
3
7. y =
2 3x
x
tan − 2 tan + x
3
2
2
3
x
x
x
8. y = − cot 5 + cot 3 − 3 cot − x
5
3
3
3
1
1
9. y = cot 5 x − cot 3 x + cot x + x
5
3
11. y =
1 5
2
sec x − sec3 x + sec x
5
3
10. y =
1 2 2
cot ( x + a 2 )
4
12. y =
sec x + tan x
sec x − tan x
1 − x2
3
13. y = sec2 x − tan 2 x
14. y = 5 csc
15. y = csc3 2 x − tan 4 3 x
16. y = sec x tan x
17. y = tan x cot x
18. y = cot x csc x
19. y = sec x csc x
20. y = tan x sec x
El número e
El número e es un número trascendente que aparece en el estudio de fenómenos físicos, sociales, biológicos,
etcétera.
El valor del número e con nueve decimales es 2.718281828.
El número e se define como:
1
lím (1 + h ) h = e
h→ 0
Y también:
h
⎛ 1⎞
lím ⎜ 11 ⎟ 5e
h→∞ ⎝
h⎠
El número e es la base de los logaritmos naturales, también conocidos como logaritmos neperianos o hiperbólicos;
se representa por L, ln o l.
Cuando la base del logaritmo es 10 se representa por log.
Por lo estudiado antes sabemos que la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial que se
define por:
exp (x) 5 y si y sólo si x 5 ln y
Donde exp (x) se lee el valor de la función exponencial en x.
El número e también se define por la fórmula:
e 5 exp (1)
Si en esta expresión se toman logaritmos naturales en los dos miembros, se tiene:
ln e 5 ln (exp 1)
Como la función logaritmo natural y la función exponencial son funciones inversas, entonces:
ln (exp 1) 5 1
En consecuencia:
120
ln e 5 ln (exp 1)
ln e 5 1
Grupo Editorial Patria®
Tomando exp (x) 5 ex para todos los valores de x, la definición:
exp (x) 5 y si y sólo si x 5 ln y
Se transforma en:
ex 5 y si y sólo si x 5 ln y
Derivadas de funciones exponencial y logarítmica
Derivada de la función y 5 f (x) 5 ln x
Aplicando la definición de derivada se tiene que:
f ( x 1Dx )2 f ( x )
Dx
y9 5 lím
Dx→0
5 lím
Dx→0
In( x 1Dx )2In( x )
Dx
Como la diferencia de logaritmos es el logaritmo del cociente se obtiene:
⎡ x + Dx ⎤
In ⎢
⎥
⎣ x ⎦
y9 5 lím
Dx→0
Dx
⎛ Dx ⎞
In ⎜ 11
1 ⎟
x ⎠
⎝
5 lím
Dx→0
Dx
5 lím
Dx→0
Expresando:
⎛ Dx ⎞
1
?In ⎜ 11 ⎟
Dx ⎝
x ⎠
1 1 x
5 ?
Dx x Dx
y9 5 lím
Dx→0
⎛ Dx ⎞
1 x
? ? In ⎜ 11 ⎟
x ⎠
x Dx ⎝
Como el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por la base:
x
1 ⎛ D x ⎞ Dx
y9 5 lím ? In ⎜ 11 ⎟
Dx→0 x
x ⎠
⎝
O bien:
x
⎛ Dx ⎞ Dx
1
y9 5 lím ⋅ lím In ⎜ 11 ⎟ x
Dx→0 x Dx→0
x ⎠
⎝
Donde este último límite es de la forma:
1
lím (1 + h ) h = e
h→ 0
y9 5
1
⋅ ln e
x
121
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Y como ln e 5 1, entonces:
y9 5
1
x
DxY = Dx(ln x ) =
1
x
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces, por la regla de la cadena se obtiene:
1
Dx ln u = Dx u
u
Derivada de la función y 5 logax
Si a es cualquier número positivo, diferente de 1, la función logaritmo de base a es la inversa de la función
exponencial en base a, por lo que:
y = log a x si y sólo si a y = x
La relación entre los logaritmos de base a y los logaritmos naturales es la siguiente:
Si:
y = log a x
Entonces:
ay = x
Tomando logaritmos naturales en los dos miembros de la igualdad se obtiene:
ln a y = ln x
Es decir:
y ln a = ln x
O bien:
y=
ln x
ln a
Sustituyendo a y por log a x se obtiene:
log a x 5
ln x
ln a
log a e =
ln e
ln a
log a e =
1
ln a
log a x 5
ln x
ln a
Si en esta expresión se hace x 5 e, entonces:
O bien:
Con esta información y a partir de:
La derivada de cada miembro es:
Dx log a x =
5
122
1
Dx(ln x )
ln a
1
1
⋅
ln a x
Grupo Editorial Patria®
Como:
1
ln a
log a e =
Dx(log a x ) = log a e ⋅
Dx(log a x ) =
1
x
log a e
x
Si u es una función de x y su derivada existe, entonces:
Dx(log a u ) =
log a e
Dxu
u
Si además se toma a 5 e se obtiene:
1
Dx(ln u ) = Dx u
u
Que es la fórmula obtenida para la derivada de la función logaritmo natural.
Ejemplos
1. Derivar y = ln(1 − 3 x ).
Solución:
y9 =
1
Dx(1 − 3 x )
1 − 3x
1
( −3)
1 − 3x
−3
5
1 − 3x
5
2. Derivar y = ln sen 2 x .
Solución:
1
Dx( sen 2 x )
sen 2 x
1
(cos 2 x )(2)
5
sen 2 x
y9 =
2 cos 2 x
sen 2 x
5 2 cot 2 x
5
3. Derivar y = log 3 (3 x 2 − 1).
Solución:
y9 =
1
Dx( 3 x 2 − 1)
( 3 x 2 − 1)ln 3
1
(6 x )
(3 x − 1) ln 3
6x
5
2
(3 x − 1) ln 3
5
2
123
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Derivada de la función y 5 a u
Tomando logaritmos naturales en los dos miembros de la igualdad:
ln y = ln a u
De donde:
ln y = u ln a
Aplicando la fórmula:
1
Dx ln u = Dx u
u
Se obtiene:
1
Dx Y = ln a Dx
y
Multiplicando por y se obtiene:
Dx Y = y ln a Dx
Sustituyendo y por au se obtiene:
DxY = a u ln a Dx u
Si en esta fórmula se hace u 5 x, es decir, y 5 ex, entonces:
DxY = a x ln a Dx X
5 a x ln a(1)
5 a x ln a
Derivada de la función y 5 e u
La función:
y = au
Tiene como derivada:
DxY = a u ln u Dx u
Si a 5 e, ln a 5 ln e 5 1 y la fórmula anterior de la derivada se convierte en:
DxY = e u Dx u
Derivada de la función y 5 e x
La función:
y = eu
Tiene como derivada:
DxY = e u Dx u
Si en esta fórmula se hace u 5 x, es decir, y = e x, entonces:
DxY = e x Dx X
5 ex ⋅1
5 ex
124
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
1. Derivar y = x x .
Solución:
Tomando logaritmos naturales:
ln y = ln x x
De donde:
ln y = x ln x
Derivando:
Dx(ln y) = Dx( x ln x )
1
? y95 x Dx(In x )1In x Dx X
y
De donde:
y9
1
5x ? 1In x (1)
y
x
Es decir:
y9
511In x
y
Despejando y9 se obtiene:
y95 y(11In x )
x
Sustituyendo y por x se obtiene:
y95 x x (11In x )
2. Derivar y = e 2 x .
Solución:
y95e 2 x Dx(2 x )
5 e 2 x ( 2)
5e 2 x
3. Derivar y = a sen x .
Solución:
y95a sen x In a Dx(sen x )
5a sen x In a (cos x )
5a sen x cos x In a
4. Derivar y = x cos x .
Solución:
Tomando logaritmos naturales
ln y = ln x cos x
De donde:
ln y = cos x ln x
125
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Derivando:
y9
5cos x Dx(In x )1IIn x Dx(cos x )
y
y9
1
5cos x ? 1In x(2sen x )
y
x
y9 cos x
5
2sen x In x
y
x
Despejando y9 se obtiene:
⎤
⎡ cos x
y95 y ⎢
2sen x In x ⎥
⎦
⎣ x
Sustituyendo y por x se obtiene:
⎤
⎡ cos x
y95 x cos x ⎢
2sen x In x ⎥
⎦
⎣ x
En los anteriores ejemplos 1 y 4, primero se ha tomado logaritmos naturales y después se ha procedido
a derivar. Este procedimiento se conoce como método de derivación logarítmica.
Ejercicios de cálculo
Encuentra la derivada de las siguientes funciones.
1. y = ln(5 x + 2)
14. y = ln cos x
⎛ x − 1⎞
2. y = ln ⎜
⎝ x + 1 ⎟⎠
1
3x
15. y = ln tan
3
2
3. y = ln( ax 2 + b)
4. y = ln ax
2
x
5. y = ln x 4
17. y = log 3 (1 + x )
1 2
6. y = ln sen x + cos x
2
18. y = log 1 − x
(
7. y = ln x + x 2 − a 2
2
x
1 + x2
9. y = x ln x
8. y = ln
10. y = ln(1 − 3 x 3 )
126
16. y = log
n
)
19. y = log 2 sen x
20. y = log 4 sen 2 2 x
21. y = e 3 x
22. y = e nx
1
11. y = ln x
23. y = e x
12. y = ln(sec x + tan x )
24. y =
⎛ 1 + sen x ⎞
13. y = ln ⎜
⎟
⎝1 − sen x ⎠
25. y = x 2 + 2x
ex −1
ex +1
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29. y = (3 x + 1)e −3 x
26. y = x e + e x
27. y =
e x − e− x
e x + e− x
1 x
30. y = e ( sen 2 x − 2 cos 2 x )
5
28. y = e sen x
3.6 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Si una función f se deriva, se obtiene f 9(primera derivada).
Si la primera derivada f9 se deriva, se obtiene f 99(segunda derivada). Ésta a su vez se puede derivar para producir
f999(tercera derivada) y así sucesivamente se pueden obtener las derivadas de orden superior.
Ejemplos
Sea f (x) 5 5 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 − 3 x + 1.
Entonces:
f9(x) 5 20 x 3 + 6 x 2 − 8 x − 3
f 99(x) 5 60 x 2 + 12 x − 8
f 999(x) 5 120 x + 12
f9999(x) 5 120
f 99999(x) 5 0
De manera general, la enésima derivada de la función f, se puede denotar por f (n) donde n es un número
entero positivo mayor que 1.
En el ejemplo, la función se define por un polinomio de grado cuatro por lo que la derivada enésima f (n)
es cero para toda n . 4.
Para las derivadas sucesivas de una función f se usan las siguientes notaciones:
Primera derivada:
f 9( x ); Dxf ( x );
df dy
; ; DxY ; y9
dx dx
El símbolo ; se utiliza para expresar la equivalencia.
Segunda derivada:
f 0( x ); D 2 xf ( x );
d2 f d2 y
;
; D 2 xY ; y 0
dx 2 dx 2
f -( x ); D 3 xf ( x );
d3 f d3 y
; 3 ; D 3 xY ; y 3
dx
dx
Tercera derivada:
Enésima derivada:
f ( n ) ( x ) ⬅ Dn xf ( x ) ⬅
dn f dn y
⬅
⬅ Dn xY ⬅ y( n )
dx n dx n
127
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
3.7 APLICACIONES DE LA DERIVADA
Velocidad y aceleración
En la sección 3.1.2 utilizamos el concepto de velocidad instantánea para introducir la definición de derivada.
Ahora recurrimos a la derivada para determinar la velocidad (velocidad instantánea) de un móvil.
Ejemplos
1. Considera que una partícula se mueve sobre el eje x de acuerdo con la ecuación s 5 2t2 2 12t 1 8,
donde s se mide en centímetros y t en segundos.
Determinar los intervalos de tiempo en que la velocidad es negativa, cero o positiva.
Solución:
Por física se sabe que la velocidad se expresa por el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo
empleado en recorrerla, es decir:
v=
s
t
Si la derivada de s respecto a t se representa por v (t):
v(t ) =
5
ds
dt
d 2
(2t − 12t + 8)
dt
5 4t − 12
La velocidad de la partícula es negativa cuando:
4t − 12 < 0
Es decir:
4t < 12
De donde:
t<
12
4
t<3
Por tanto, la velocidad es negativa cuando 0 , t , 3.
La velocidad de la partícula es cero cuando:
4t − 12 = 0
Por lo que:
4t = 12
O bien:
t=3
La velocidad de la partícula es positiva cuando:
4t − 12 > 0
Es decir:
4t > 12
128
Grupo Editorial Patria®
Por tanto:
t>
12
4
t>3
Esto significa que la velocidad de la partícula es positiva para valores de t mayores que 3.
Para algunos valores de t se tiene que:
t=0
s = 2(0)2 − 12(0) + 8 = 8
v( 0 ) = 4( 0 ) − 12 = −12
t=1
s = 2(1) − 12(1) + 8 = −2
v(1) = 4(1) − 12 = −8
t=2
s = 2(2) − 12(2) + 8 = −8
v( 2) = 4( 2) − 12 = −4
t=3
s = 2(3)2 − 12(3) + 8 = −10
v( 3) = 4( 3) − 12 = 0
t=4
s = 2( 4 ) − 12( 4 ) + 8 = −8
v( 4 ) = 4( 4 ) − 12 = 4
t=5
s = 2(5) − 12(5) + 8 = −2
v(5) = 4(5) − 12 = 8
t=6
s = 2(6) − 12(6) + 8 = 8
v(6 ) = 4(6 ) − 12 = 12
2
2
2
2
2
Con estos valores se puede hacer una gráfica donde se ilustre el movimiento de la partícula sobre el eje
x con una trayectoria como la que aparece arriba del eje x.
t54
t55
t52
t51
t56
t53
215
210
t50
0
25
5
10
215
En la gráfica se observa que entre t 5 0 y t 5 3 la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia la
izquierda en dirección decreciente de x. Cuando t 5 3 la partícula reduce su velocidad a cero y después se
vuelve positiva al desplazarse hacia la derecha en dirección creciente de x.
En consecuencia, dada la ecuación del movimiento de un cuerpo, para obtener su velocidad en un
instante dado, se calcula el valor de la derivada del espacio respecto al tiempo en dicho instante.
En física, la aceleración a se define por:
v
t
Es decir, la aceleración mide la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo; por tanto la
aceleración en un instante dado es el valor de la derivada de la velocidad respecto al tiempo para este
instante, es decir,
dv
a=
dt
Y, como:
a=
v=
ds
dt
Entonces:
d 2s
dt 2
Es decir, la aceleración es la derivada de la derivada del espacio respecto del tiempo o, más brevemente,
es la segunda derivada del espacio respecto del tiempo.
a=
129
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
En el ejemplo:
s = 2t 2 − 12t + 8
Donde:
v=
ds
= 4t − 12
dt
Y:
d 2s
=4
dt 2
Esto significa que la velocidad aumenta a razón constante de 4 centímetros por segundo cada
segundo y se escribe 4 centímetros por segundo por segundo, como se puede observar en los valores
calculados de v cuando t varía de 0 a 6.
a=
2. Si una partícula se mueve sobre el eje x según la ecuación s = 2t 3 − 3t + 1 donde s se mide en metros
y t en segundos, halla la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t 5 3.
Solución:
La velocidad de la partícula en un instante t es:
ds d 3
= (2t − 3t + 1)
dt dt
v(t ) =
5 6t 2 − 3
Cuando t 5 3, la velocidad de la partícula es:
v(3) = 6(3)2 − 3
5 6 (9) 2 3
5 54 2 3
m
(metros por segundo)
s
La aceleración de la partícula en un instante t es:
5 51
a=
dv d 2
= (6t − 3)
dt dt
Cuando t 5 3, la aceleración de la partícula es:
a 5 12 (3)
5 36
m
s2
(metros por segundo, por segundo)
3. En el movimiento de caída libre de un cuerpo, el espacio e que recorre en t segundos está dado por:
e=
1 2
gt
2
Donde e está expresado en metros y g es la constante de gravedad que se toma con un valor de 9.80
metros por segundo al cuadrado. Determina la velocidad y la aceleración del cuerpo en el instante t.
Solución:
La velocidad en el instante t es:
v=
de
⎛ 1⎞
= 2 ⎜ ⎟ gt
⎝ 2⎠
dt
5gt
130
Grupo Editorial Patria®
La aceleración en el instante t es:
dv
= g(1)
dt
5g
a=
4. Si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 15 metros otros con una velocidad
inicial de 25 metros por segundo, halla:
a) La ecuación del movimiento.
b) La velocidad de la pelota a los 2 segundos.
c) La aceleración al cabo de un segundo.
d) El tiempo durante el cual sube la pelota.
e) La altura máxima que alcanza.
Solución:
a) Según la física, la ecuación del movimiento es:
e = 15 + 25t −
1 2
gt
2
Tomando g 5 9.8, la ecuación queda:
e = 15 + 25t − 4.9t 2
b) La velocidad de la pelota en el instante t es:
v=
de
= 25 − 9.8t
dt
A los 2 segundos, la velocidad de la pelota es:
v = 25 − 9.8(2)
5 25 2 19.6
5 5.4
m
s
c) La aceleración de la pelota en el instante t es:
a=
Para t 5 1, la aceleración es 29.8
m
.
s2
dv
= −9.8
dt
d) La pelota sube hasta el instante en que la velocidad se hace cero y después cae. Por tanto, para
obtener ese instante se iguala la velocidad con cero y se calcula el valor de t, es decir:
v = 25 − 9.8t
De donde:
0 = 25 − 9.8t
O bien:
25 5 9.8t
Por tanto:
25
=t
9.8
2.55 5 t
131
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Esto significa que a los 2.55 segundos, aproximadamente, la pelota alcanza su máxima altura.
e) La altura máxima que alcanza la pelota se obtiene a partir de la ecuación de movimiento cuando
t 5 2.55, entonces:
e = 15 + 25t − 4.9t 2
5 15 + 25( 2.55) − 4.9 ( 2.55)2
5 15 + 63.75 − 31.86
5 46.89 m
Actividad de aprendizaje
¿En qué consiste la regla de la cadena?
Ejercicios de cálculo
Encuentra la primera y segunda derivada de cada función.
1. y = x 3 + 2 x 2 − 7 x − 1
2. y = x 4 − x 2 + x − 3
3. y = x 3 − x 2 + x − 2
4. y = ( 2 x + 3)
5. y = ( 3 x − 2)
6. y = 5 x 3 − 4 x 2
7. y =
3
4
1
x−3
8. y =
9. y = sen 2 x
2
x −1
10. y = 3 3 x 2 − 1
Encuentra f 0(2) para cada función.
11. f ( x ) = 5 x 3 − 2
13. f ( x ) =
12. f ( x ) = 4 x 3 + 3
1
x
14. f ( x ) =
15. f ( x ) = (3 − x 2 )4
16. f ( x ) = (3 − x 2 )4
17. f ( x ) = 3 x − x 3
18. f ( x ) = x(3 x − 1)2
19. f ( x ) = x 2 + 1
20. f ( x ) = 1 + 2 x − x 2
Demuestra que para la función:
21. y = 2 x 3 − 4 x 2 + 5 x − 3;
22. y = 3 x 4 − 2 x 3 + 6 x ;
132
1
2x − 1
d2 y
= 12 x − 8
dx 2
Dx 2 Y = 36 x 2 − 12 x
Grupo Editorial Patria®
23. y = x 3 − y3 ;
24. y = x −
25. y =
1
;
x
x −1
;
x +1
Dx 2 Y =
−2 x
y5
d2 y
2
=− 3
2
dx
x
Dx 2 Y = −
4
( x + 1)3
Una partícula se mueve sobre el eje x de acuerdo con la ecuación de movimiento s 5 f (t), donde s es la
distancia dirigida al origen en pies a los t segundos.
En cada caso determina:
a) La velocidad v (t) y la aceleración a (t) en el instante t.
b) Los intervalos en que la partícula se mueve con velocidad positiva, negativa o cero.
26. s = 6t − t 2
27. s = t 2 − 6t
28. s = t 2 − 9t + 24
29. Las ecuaciones de dos móviles son e1 = 2t 2 − 3t − 1 ; e2 = t 2 + t . ¿En qué instante tienen igual
velocidad? ¿Cuál es la velocidad de cada móvil en el instante t 5 1? ¿Y en qué instante t 5 3?
30. Desde un aeroplano se arroja un objeto verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de v metros
por segundo. La ecuación que describe el movimiento de caída es e = v0t + 4.9t 2. A los 10 segundos
el objeto llega al suelo con una velocidad de 122.5 metros por segundo. Calcula la altura desde la que
fue arrojado.
31. En el problema anterior el objeto no se arroja sino que se deja caer, entonces la velocidad inicial v0 = 0.
Calcula la velocidad con la que llega al suelo a los 12.2 segundos.
32. Desde el suelo se arroja un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 39.2 metros
por segundo. Su altura a los t segundos está dada por s = 39.2t − 4.9t 2.
Encuentra:
a) El instante en que alcanza su máxima altura.
b) Su máxima altura.
c) El tiempo que tarda en regresar al suelo.
Actividad de aprendizaje
En física, al aplicar la derivada al movimiento: ¿A qué corresponde la primera derivada?
¿A qué corresponde la segunda derivada?
133
B3
Cálculo, interpretación y análisis de razones de cambio en fenómenos naturales,
sociales, económicos y administrativos
Comprueba
tus saberes
Ha llegado la hora de que demuestres realmente cuánto has aprendido, hemos terminado este bloque y ahora ya conoces
muchas cosas nuevas. En esta sección encontrarás una evaluación que abarca todo el conocimiento adquirido en este bloque, contéstalo lo mejor que puedas.
1
1. Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva y 5x 2 en el punto (1, 1).
2. Utiliza la regla de los cuatro pasos para encontrar la derivada de f (x) 5
3. Calcula la derivada de f (x) 5 x 4.
4. Calcula la derivada de f (x) 5
1
.
x2
5. Encuentra la derivada de f (x) 5 x 4 2 3x 2 1 6x 2 7.
134
1
en el valor x 5 2.
x
Grupo Editorial Patria®
x 2 21
6. Encuentra la derivada de f (x) 5 2 .
x 11
1
7. Encuentra la derivada de y respecto a x por el método de derivación implícita de x 2 1 xy 1 y 2 5 1.
8. Obtén la derivada de y 5 3 cos 2x.
9. Encuentra la derivada de y 5 tan 2x 1
1 3
tan 2x.
3
10. Desde el suelo se arroja un proyectil verticalmente hacia arriba que alcanza la altura de h 5 6.7 1 28.8 t 2 4.9 t 2 a los t segundos.
Encuentra su velocidad y aceleración cuando t 5 2.
135
BLOQUE
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos
aplicados a problemas de optimización
4
Desempeños por alcanzar
Comprende el volumen máximo y lo aplica a través del diseño de envases como cilindros, cubos, prismas, esferas, entre otros.
Interpreta gráficas que representan diversos fenómenos naturales, producciones agrícolas e industriales, identifica máximos y mínimos absolutos
y relativos.
Establece modelos matemáticos y representaciones gráficas de producción de diversas empresas (manufactura, fabricación y elaboración de
artesanías) para calcular sus máximos y mínimos de utilidad y emitir juicios sobre su situación económica.
Calcula máximos y mínimos en funciones algebraicas y trascendentes aplicando métodos algebraicos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:
1.
Encuentra los números críticos de la función f (x) 5 x3 1 7x2 2 5x.
2.
Encuentra los extremos absolutos (si es que los hay) de la función
f (x) 5 4 2 3x en el intervalo[21, 2].
3.
Encuentra dos números que tengan como producto 16 y su suma sea
mínima.
4.
Encuentra los intervalos en que la función f (x) 5 x2 2 4x 2 1 es creciente y
los intervalos en que es decreciente.
5.
Encuentra los extremos relativos de la función f (x) 5 2x3 2 6x 1 5.
6.
Dada la función f (x) 5 2x3 2 6x 1 5, determina dónde es cóncava hacia
arriba y dónde es cóncava hacia abajo. Encuentra puntos de inflexión, si
existen.
7.
Construye la gráfica de f (x) 5 2x3 2 3x2 2 12x 1 13.
8.
Halla el volumen máximo de una caja abierta (sin tapa). Se puede hacer con
una hoja cuadrada, de cartón, de 24 pulgadas por lado; se recorta cuadrados
iguales en las esquinas y se dobla.
9.
Demuestra que el rectángulo de área máxima con perímetro P dado es un
cuadrado.
Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede
10. inscribir en un círculo de radio r.
Objetos de aprendizaje
4.1 Producciones, máximos y mínimos
4.2 Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos
4.3 Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la
segunda derivada
4.4 Concavidad y puntos de inflexión
4.5 Trazado de curvas
Competencias por desarrollar
Interpreta y analiza gráficas de fenómenos meteorológicos (temperatura, humedad atmosférica, calentamiento atmosférico y
cantidad de bióxido de carbono en la atmósfera) de su región e
identifica los máximos y mínimos absolutos.
Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos sobre el
comportamiento de un móvil en un tiempo determinado y calcula
máximos y mínimos absolutos y relativos.
Valora el uso de las TIC´s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de fenómenos físicos, químicos, ecológicos, de
producciones agrícolas, industriales, artesanales y de manufactura, emitiendo juicios de opinión.
Calcula máximos y mínimos de funciones algebraicas e interpreta
los máximos relativos y puntos de inflexión en gráficas que modelan la resolución de problemas de su entorno.
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Situación
didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Secuencia
didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Una viga es un elemento estructural que es capaz de soportar
una carga, cuando ésta excede la capacidad de la viga ésta simplemente se dobla y se rompe; actualmente las vigas de acero
son ampliamente utilizadas en la construcción de edificios. Se
tiene pensado construir un rascacielos en la ciudad de México,
la junta de inversionistas ha hecho patente su preocupación
por los elevados precios del acero ya que se trata del componente esencial de las vigas. Como responsable de la adquisición de materiales encuentra la función del contorno de la viga
que minimiza la cantidad de acero utilizado
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
1. ¿Qué propiedades de resistencia tiene el acero?
2. ¿Qué perfiles son los más utilizados en el acero?
3. ¿Con qué tipo de perfil se obtiene la mayor resistencia?
4. ¿En qué tipo de perfil se utiliza la menor cantidad de acero?
5. ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la mayor resistencia y la menor cantidad de acero en una viga?
6. ¿Qué función expresa la menor cantidad de acero a utilizar?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También
es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.
Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio
proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este
ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar los dibujos y cálculos realizados para determinar lo que se pide en el problema, con una
ilustración del mismo donde se muestren los datos y la solución del problema.
138
Grupo Editorial Patria®
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Rúbrica
Para determinar la función que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.
Indicadores de desempeño
Comprende el volumen máximo y lo aplica a través del diseño de envases como cilindros, cubos, prismas,
esferas, entre otros.
Interpreta gráficas que representan diversos fenómenos naturales, producciones agrícolas e industriales,
identifica máximos y mínimos absolutos y relativos.
Establece modelos matemáticos y representaciones gráficas de producción de diversas empresas (manufactura, fabricación y elaboración de artesanías), para calcular sus máximos y mínimos de unidad y emitir
juicios sobre su situación económica.
Calcula máximos y mínimos en funciones algebraicas y trascendentes aplicando métodos algebraicos.
Sugerencia de evidencias de aprendizaje
Producciones, máximos y mínimos.
Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos.
139
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
PROPUESTAS DE DISEÑO PARA SITUACIONES
DIDÁCTICAS
Objetos de aprendizaje
• Producciones, máximos y mínimos.
• Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos.
Competencia
• Interpreta y analiza gráficas de fenómenos meteorológicos (temperatura, humedad atmosférica, calentamiento atmosférico y cantidad de bióxido de carbono en
la atmósfera) de su región e identifica los máximos y mínimos absolutos.
• El Servicio Meteorológico Nacional tiene estaciones de monitoreo en zonas desérticas del norte del país. En uno de ellos se registra la temperatura a intervalos
regulares de 12 horas y los datos obtenidos son los siguientes: {(53, 8), (49, 12),
(45, 7), (55, 5), (47, 13)}. En otra estación se toman las mismas medidas a intervalos de 8 horas con los siguientes datos: {(51, 27, 12), (54, 32, 10), (45, 30, 12),
(58, 35, 14), (49, 25, 9)}. Determina si esa información es válida.
• En una franquicia de alimentos se estima que si se tiene lugar para atender entre
85 y 100 personas la ganancia semanal sería de $250.00 por asiento, sin embargo,
si el número de asientos es mayor a 100 la ganancia semanal por asiento sería de
$219.00, ¿cuál es la cantidad de asientos requeridos para obtener la máxima ganancia?
Competencia
Valora el uso de las TIC’s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas
de fenómenos físicos, químicos, ecológicos, de producciones agrícolas, industriales,
artesanales y de manufactura.
• La cantidad de patentes registradas en México durante los años 2005 y 2007 puede expresarse como 0.013 x2 1 0.921x 1 9.506, si consideramos que las patentes registradas a partir del año 2000 tienen el mismo comportamiento. ¿Cuántas
patentes se presentaron en 2002?, ¿el número encontrado es máximo o mínimo?
Explica.
• La producción nacional de carbón (en miles de toneladas) durante el periodo
agosto de 2009 a agosto de 2010 se puede expresar con la siguiente ecuación.
• 0.00100383x7 2 0.0104679x6 2 0.0090787x5 1 0.2614x4 2 0.0648x3 2
1.85216x2 1 3.7149x 1 130.88
Encuentra los máximos y mínimos locales y absolutos, ¿en qué mes se tuvo la
máxima producción?
• La función
0.00003x9 2 0.0005x 8 1 0.002x7 1 0.012x6 2 0.08x5 2 0.043x4 1
0.73x3 2 0.31x2 2 1.51x 1 6.94
Expresa la producción nacional de sal en cientos de miles de toneladas. Encuentra
los máximos y mínimos absolutos y relativos, ¿cuál fue la producción en marzo de
2010?
• La producción de automóviles en la República Mexicana durante el periodo
comprendido entre septiembre de 2009 y agosto de 2010 se expresa de la siguiente manera
140
Grupo Editorial Patria®
20.0055x9 1 0.3271x8 2 8.276x7 1 118.7x6 2 1062.18x5 1 6125x4 2
22699.3x3 1 51930.5x2 2 66261.5x 1 35816.3
¿en cuántos meses se produjo con una tendencia a la alta? ¿en cuántos a la baja?
Buscar en el intervalo [2, 10]
¿Cuál fue el mayor número de unidades producidas?
La empresa Thermomex elabora envases para alimentos. El departamento de
ventas estima que el número de unidades vendidas mensualmente se puede expresar como
f (x) 5 20.01x3 1 0.03x2 1 4x 2 1000
Grafica e interpreta.
¿Cuál es el mínimo? ¿Qué significa ese mínimo?
Competencia
• Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos sobre el comportamiento
de un móvil en un tiempo determinado.
• Desde el suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 15 metros por segundo. Determina la máxima altura alcanzada. ¿En
cuánto tiempo llega a ese punto?
La altura en metros, alcanzada por un proyectil a: t segundos del despegue está
determinada por
1
f ( t )52 t 3 13t 2 118t 15
2
¿Cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?
• Un tren A se encuentra a 120 kilómetros al oeste del tren B. Si B se dirige al este a 40 kilómetros por hora y A
se dirige al norte a 55 kilómetros por hora, ¿en qué momento se encuentran a la menor distancia uno del otro?
Si la distancia inicial entre A y B se reduce a la mitad, ¿se reducirá también a la mitad la distancia entre los dos
móviles?
• La aceleración de la gravedad en un planeta es la tercera parte de la aceleración gravitacional en la tierra. Si se
suelta un objeto a una altura de tres metros, ¿caería en la tercera parte del tiempo que requeriría en la tierra?
• Un proyectil disparado por un tanque que tiene un cañón de 4 metros de largo sale con una velocidad de 500
metros por segundo.
141
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
• ¿Cuál fue la aceleración dentro del cañón?
• ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a un objetivo localizado a 2 kilómetros? ¿crees posible que llegue en ese
tiempo? Explica.
Competencia
Calcula máximos y mínimos de funciones algebraicas e interpreta los máximos relativos y puntos de inflexión que
modelan la resolución de problemas de su entorno.
• Con una pieza cuadrada de cartón que mide 90 cm por lado se quiere construir una caja abierta cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia arriba. ¿Cuál debe ser la longitud del lado x de los cuadrados
que se recortan para que la caja tenga un volumen máximo?
• Se dispone de 300 m lineales de tela de alambre para corear un terreno de forma rectangular. Hallar las dimensiones del terreno que se puede delimitar de manera que su área sea máxima.
• Con una pieza cuadrada de cartón de 1.35 m por lado se quiere construir una caja abierta de base cuadrada.
Calcular su volumen máximo.
• Un depósito debe contener 5 metros cúbicos de agua, si su forma debe ser rectangular sin tapa, ¿cuáles deben
ser sus dimensiones para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima?
• De un tronco cilíndrico de madera hay que cortar una viga de sección rectangular y de resistencia máxima. Hallar las dimensiones de la sección rectangular sabiendo que la resistencia o carga de ruptura (y) es proporcional
1
a un coeficiente propio del material, al ancho (x) de la viga y el cuadrado del peralte h.
k
2 xh 2
y5
k
142
Grupo Editorial Patria®
La ignorancia afirma o niega rotundamente; la ciencia duda.
Voltaire
4.1 PRODUCCIONES, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Cálculo de valores máximos y mínimos relativos
con el criterio de la primera derivada
Máximos y mínimos de una función
Son múltiples y variados los problemas cuyo planteamiento requiere como solución óptima la búsqueda de un
valor máximo o de un valor mínimo de una función sobre un conjunto específico de valores de la o las variables
que intervienen en un problema. Para resolverlo se recurre a una herramienta muy potente: el cálculo.
Antes de proceder al planteamiento de este tipo de problemas es necesario establecer los conceptos teóricos que
sirven de apoyo para comprenderlos, plantearlos y resolverlos.
La derivada ha sido interpretada geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una
función en un punto de la misma. Ahora podemos aplicar a la derivada en el trazo de gráficas. Así, los puntos para
los cuales la derivada es cero son aquellos en los que la recta tangente es horizontal. Usando la derivada se pueden
determinar los intervalos en que la gráfica de una función se encuentra por encima de la recta tangente y los intervalos en que se encuentra por debajo de la recta tangente. A continuación se establecen
algunas definiciones y teoremas que se utilizan para ese propósito.
y
Definición
Se dice que una función f tiene un valor máximo relativo en c si existe un intervalo abierto
que contiene a c y sobre el cual f se define de manera que f (c) $ f (x) para toda x en el
intervalo (véase figura 4.1).
f (c)
f (b)
f (a)
Definición
Una función f se dice que tiene un valor mínimo relativo en c si existe un intervalo abierto
que contiene a c y sobre el cual f se define f (c) # f (x) para toda x en el intervalo (véase
figura 4.2).
Si la función f tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c entonces f
tiene un extremo relativo.
La determinación de los posibles valores de c para los cuales existe un extremo relativo se
apoya en el siguiente teorema.
x
a
c
b
Figura 4.1
Teorema
y
Si existe f (x) para toda x ∈ ( a, b ); si f tiene un extremo, relativo en c con a , c , b, y si
f (c) existe, entonces, f (c) 5 0.
Demostración:
Cuando f (c) es el valor máximo de f en (a, b).
Si f (c) existe, por la definición de derivada (sección 2.3). Se tiene que:
f ( x )2 f (c )
f 9(c )5lím
x→c
x 2c
Como f tiene un valor máximo relativo en c, a partir de su definición:
f (a)
f (b)
f (c)
x
a
c
b
f (c) $ f (x)
Que, en forma equivalente, se puede expresar por:
f (x) # f (c)
Figura 4.2
143
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
De donde:
f (x) 2 f (c) # 0
+
Si x se aproxima a c por la derecha, x → c , entonces, x 2 c . 0 y, por tanto:
f ( x ) − f ( c)
≤0
x−c
Tomando el límite, si es que existe:
lím+
x →c
f ( x ) − f ( c)
≤0
x−c
−
Si x se aproxima a c por la izquierda, x → c , entonces, x 2 c , 0 y, por tanto:
f ( x ) − f ( c)
≥0
x−c
Tomando el límite, si es que existe:
lím−
x →c
f ( x ) − f ( c)
≥0
x−c
Como f 9(x) existe, los límites por la izquierda y por la derecha de c deben ser iguales entre sí e iguales a f 9(c),
por lo que a partir de:
f 9(c) $ 0
Y:
f 9(c) # 0
Se concluye que:
f 9(c) 5 0
Esta conclusión es lo que se quería demostrar.
Cuando f (c) es el valor mínimo de f en (a, b) se demuestra en forma similar y se deja como ejercicio al lector.
El hecho de que en la hipótesis del teorema se incluya que f 9(c) existe, se debe a que hay funciones para las cuales
f 9(x) 5 0 para algún determinado valor de x, pero no por ello se tiene un valor extremo relativo allí. Tal es el caso
de la función:
f (x) 5 x3
y
En que:
f 9(x) 5 3x2
Y
Y:
f 9(0) 5 3(0)2 5 0
La gráfica es la siguiente (véase figura 4.3):
0
x
En la gráfica de la función se observa que si x , 0, f (x) , 0; y si x . 0, f (x) . 0.
También existen funciones que tienen un extremo relativo en el que no son derivables, como es el
caso de la función valor absoluto vista en la sección 2.4.
En consecuencia, si una función f está definida en un número c, una condición necesaria pero no
suficiente para que f tenga un extremo relativo en c es que f 9(c) 5 0 o f 9(c) no exista.
Definición
Figura 4.3
144
Si c es un número en el dominio de definición de una función f y si f 9(c) 5 0, o f (c) no existe, se
dice que c es un número crítico de f.
Grupo Editorial Patria®
Por tanto, para que una función f tenga un extremo relativo en un número c requiere que c sea un número crítico.
Esto tiene gran importancia en la determinación de los extremos relativos de una función en un intervalo de su
dominio.
Definición
Una función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo que contiene a c si f (c) $ f (x) para toda x en el
intervalo, y se dice que f (c) es el valor máximo absoluto en el intervalo.
Una función f tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo que contiene a c si f (c) # f (x) para toda x en el
intervalo y se dice que f (c) es el valor mínimo absoluto en el intervalo.
Un extremo absoluto de una función en un intervalo es un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto de
la función en el intervalo.
Si en lugar de un intervalo nos referimos al dominio de definición de una función entonces:
f (c) es el valor máximo absoluto de la función si c está en el dominio de definición de f y si f (c) $ f (x) para
toda x en el dominio de f.
f (c) es el valor mínimo absoluto de la función si c está en el dominio de definición de f y si f (c) # f (x) para
toda x en el dominio de f.
A continuación se establece el enunciado de un teorema cuya demostración puede consultar el lector en una obra
de cálculo avanzado.
Para tu Reflexión
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Pocas vidas ha habido tan intensamente productivas y polifacéticas como la de Leibniz. Este hombre fue el fundador de la filosofía alemana y la inteligencia más completa de cuantas iluminaron el Siglo de las Luces. Prácticamente no hubo terreno de la ciencia que le haya sido ajeno, pues incursionó en
las matemáticas, la física, la geología, la astronomía, la filosofía, la jurisprudencia, la historia, la lingüística, la teología e hizo aportaciones valiosas en cada
una de estas disciplinas.
Entre 1692 y 1694 Leibniz fue el primero en emplear estas disciplinas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados
de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII el concepto de función perdió estas asociaciones meramente geométricas. También Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo,
ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue nombrado más tarde
eliminación gaussiana. Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra Booleana y la lógica simbólica.
La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo
con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de
una función y 5 f (x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tales como el
signo integral ∫, que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la letra “d” para referirse
a los diferenciales, del latín differentia. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus
hasta 1684. La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada regla de Leibniz
para la derivación de un producto. Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar
bajo el símbolo integral, se llama regla de Leibniz para la derivación de una integral.
Desde 1711 hasta su muerte la vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga disputa con
John Keill, Newton y otras personalidades, acerca de si había inventado el cálculo independientemente de Newton, o si meramente había inventado otra notación para las ideas de Newton.
Leibniz pasó entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas
de Newton.
En la actualidad se emplea la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton.
145
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Teorema del valor extremo
Si la función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor
mínimo absoluto en [a, b].
Con base en este teorema y a partir de la definición de número crítico, se puede determinar el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo [a, b] por el siguiente procedimiento:
1. Se evalúa la función en los números críticos de f en [a, b].
2. Se encuentra f (a) y f (b).
3. De los valores encontrados en (1) y (2) el mayor es el valor máximo absoluto y el menor es el valor mínimo
absoluto.
Ejemplos
⎡ 1 ⎤
1. Encuentra los extremos absolutos de f ( x ) = −2 x 3 + 3 x 2 en ⎢− , 2⎥ .
⎣ 2 ⎦
Solución:
La derivada de f es:
f 9(x) 5 26x2 1 6x
Igualando la derivada con cero, se obtiene:
−6 x 2 + 6 x = 0
−6 x( x − 1) = 0
De donde:
x 5 0, x 5 1
1
Por tanto, los puntos críticos de la función son − , 0, 1 y 2.
2
Evaluando la función f en sus valores críticos, se obtiene:
3
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
f ⎜ 2 ⎟ 522⎜ 2 ⎟ 13⎜ 2 ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
522⎜ 2 ⎟ 13⎜ 2 ⎟
⎝ 8⎠ ⎝ 4⎠
5
2 3
+ =1
8 4
f ( 0 ) = −2( 0 )3 + 3( 0 )2
501050
f (1) = −2(1)3 + 3(1)2
5221351
f ( 2) = −2( 2)3 + 3( 2)2
5 −2( 8 ) + 3( 4 )
5 −16 + 12 = −4
146
2
Grupo Editorial Patria®
y
1
Por tanto, el valor máximo absoluto es 1, que se obtiene en x 5 − y x 5 1, y
2
el valor mínimo absoluto es 2 4 cuando x 5 2.
La gráfica es la siguiente (véase figura 4.4):
2. Encuentra los extremos absolutos de la función continua
2
x
0
f ( x ) = x 3 en [21, 2]
Solución:
La derivada de la función es:
2 1
f 9( x )5 x 3
3
Lo cual nunca es cero. Como f (0) no existe, cero es un número crítico junto con
21 y 2.
Figura 4.4
2
y
f ( −1) = ( −1) 3
5 3 ( −1)2
51
f (0) 5 0
f ( 2) = 2
0
x
2
3
3
5 22
5
3
4
En consecuencia, el valor máximo absoluto es
3
Figura 4.5
4 y el valor mínimo absoluto es 0.
4.2 VARIACIONES EN LAS PRODUCCIONES,
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones que incluyen un extremo absoluto en un intervalo cerrado
cm
2
2x
60 cm
x
60
x
x
60 cm
60 cm 2 2x
Figura 4.6
Veamos dos ejemplos de problemas cuya solución es un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Para resolverlos se aplica el teorema del valor extremo.
147
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Ejemplos
1. Con una pieza cuadrada de cartón que mide 60 cm por lado se quiere construir una caja abierta cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia arriba. ¿Cuál debe ser la longitud del lado
x de los cuadrados que se recortan para que la caja tenga un volumen máximo?
Solución:
Sea x el lado del cuadrado que se va a recortar y v el volumen de la caja.
La función que da el volumen de la caja es:
V 5 (60 2 2x) (60 2 2x) x
5 3600 x − 240 x 2 + 4 x 3
5 4 x 3 − 240 x 2 + 3600 x
En este caso la función es de una sola variable.
Los valores de x no pueden ser menores que cero ni mayores que 30, por tanto, el problema consiste
en maximizar V en [0, 30].
La derivada de V es:
V9 5 12x2 2 480x 1 3600
Igualando la derivada con cero para determinar valores críticos se tiene:
12 x 2 − 480 x + 3600 = 0
Sacando factor común se tiene:
12( x 2 − 40 x + 300 ) = 0
Factorizando se tiene:
12( x − 30 )( x − 10 ) = 0
Esto nos da x1 = 30, x 2 = 10
Evaluando la función V 5 f (x) en sus valores críticos se tiene:
f (0) 5 [60 2 2(0)] [60 2 2 (0)] (30)
5 (60) (60) (0)
50
f (30) 5 [60 2 2(30)] [60 2 2(30)] (30)
5 (0) (0) (30)
50
f (10) 5 [60 2 2(10)] [60 2 2(10)] (10)
5 (40) (40) (10)
5 16 000
Por tanto, la caja tiene un volumen máximo de 16 000 cm3 cuando x 5 10.
Cuando x 5 0 o x 5 30 el volumen es mínimo, es decir, cuando no hay caja.
2. Se dispone de 100 m lineales de tela de alambre, para cercar un terreno de forma rectangular. Halla
las dimensiones del terreno que se puede delimitar de manera que su área sea máxima.
Solución:
Sea A el área del terreno rectangular de dimensiones x, y el área del rectángulo es A 5 x × y.
La gráfica es la siguiente (véase figura 4.7):
148
Grupo Editorial Patria®
En este caso la función tiene dos variables por lo que se busca una relación entre
x y y para expresar el área en función de una sola variable.
Como la longitud de la tela de alambre es de 100 m, el perímetro del terreno es:
2x 1 2y 5 100
Por lo que:
x 1 y 5 50
A
y
De donde:
y 5 50 2 x
Sustituyendo este valor de y en la fórmula para el área se tiene:
A 5 x (50 2 x)
x
Por tanto, el área es una función de x, es decir:
A = f ( x ) = 50 x − x 2
La longitud de la tela es de 100 m por lo que el valor de x no puede ser menor que cero ni mayor que
50; esto significa que el problema consiste en maximizar A sobre [0, 50].
Figura 4.7
La derivada de A es:
A9 5 50 2 2x
Igualando la derivada con cero y resolviendo la ecuación se tiene:
50 2 2x 5 0
50 5 2x
25 5 x
Los puntos críticos de la función son 0, 25 y 50. Evaluando la función en estos valores se obtiene:
f ( 0 ) = 50( 0 ) − ( 0 )2
502050
f ( 25) = 50( 25) − ( 25)2
5 1250 2 625
5 625
f (50 ) = 50(50 ) − (50 )2
50
Por tanto, la función tiene un máximo en x 5 25, de manera que:
y 5 50 2 x
5 50 2 25
5 25
Es decir, el rectángulo de área máxima con un perímetro de 100 m es un cuadrado de 25 m por lado
cuya área es de 625 m2.
Actividad de aprendizaje
¿Qué es un número crítico? Elabora diversos ejemplos relacionados con tu respuesta.
¿A qué se llama extremo absoluto? Argumenta tu respuesta.
149
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Ejercicios de cálculo
Encuentra los números críticos de la función dada.
1. f ( x ) = x 3 + 7 x 2 − 5 x
2. f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
3x2
2
5. f ( x ) = x 2 − 8 x + 1
6. f ( x ) = x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 − 12 x
7. f ( x ) = x 3 + 12 x 2 + 45 x − 52
8. f ( x ) = x 2 − 4
3. f ( x ) =
4. f ( x ) = 3 x 2 + 2
(
)
2
3
x
x −9
Encuentra los extremos absolutos de la función dada en el intervalo, si es que hay alguno. Encuentra los
valores de x para los cuales se tiene un extremo absoluto.
9. f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x − 7
11. f ( x ) = 4 − 3 x ; [21, 2]
13. f ( x ) =
1
; [2, 3)
x
10. f ( x ) =
12. f ( x ) =
2
1
; [22, 3]
x
14. f ( x ) = 3 + x ; ⎡⎣−3, ∞)
15. f ( x ) = − x 2 + 4 x − 1 ; [0, 3]
16. f ( x ) = x − 4 + 1 ; (0, 6)
17. f ( x ) = x 2 + 3 x ; [22, 1]
18. f ( x ) =
19. f ( x ) = x 3 + 5 x − 4 ; [23, 21]
20. f ( x ) = ( x + 1) 3 ; [2 2, 1]
1
; [22, 1]
1+ x2
2
21. Encuentra dos números que sumen 20 y su producto sea máximo.
Sugerencia. Si un número es x, el otro es 20 2 x.
22. Halla dos números no negativos que sumen 10 y su producto sea máximo.
23. Encuentra dos números que tengan como producto 16 y su suma sea mínima.
24. Con una pieza cuadrada de cartón de 2 m por lado se quiere construir una caja abierta de base cuadrada. Calcula su volumen máximo.
25. Se tienen 200 m de tela de alambre para cercar un jardín de forma rectangular. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones si se quiere que el área sea máxima?
Para tu Reflexión
Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
Jesuita y matemático italiano, fue alumno de Galileo Galilei. En 1629 enseñó matemática en Bolonia. Su interés por las matemáticas fue estimulado por
los trabajos de Euclides y luego de encontrar a Galileo, se consideró como un discípulo de este astrónomo. En Pisa, Cavalieri fue educado en matemáticas
por Benedetto Castelli, un profesor de matemáticas en la Universidad de esa ciudad. En 1629 Cavalieri fue nombrado profesor de matemáticas en Bolonia.
Fue el primero en introducir en Italia el cálculo logarítmico, pero debe su celebridad a su teoría de los «indivisibles», que expuso en su obra titulada Geometria indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota (1635). Esta teoría estudia las magnitudes geométricas como compuestas de un número
infinito de elementos, o indivisibles, que son los últimos términos de la descomposición que se puede hacer. La medida de las longitudes de las superficies
y de los volúmenes se convierte al efectuar la suma de la infinidad de indivisibles en el principio del cálculo de una integral definida, aunque sin la noción
150
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rigurosa y moderna que da paso al límite. Por esto puede ser considerado como uno de los precursores
del análisis infinitesimal moderno. El principio de Cavalieri se fundamenta en esta teoría.
Asimismo figuró entre los primeros que enseñaron la teoría copernicana de los planetas. Otros trabajos
suyos dignos de renombre son el desarrollo dado a la trigonometría esférica, así como el descubrimiento
de las fórmulas relativas a los focos de los espejos y de las lentes.
Funciones crecientes y decrecientes
Criterio de la primera derivada
Definición
Una función f definida en un intervalo al que pertenecen dos números x1 y x 2, x1 ≠ x 2 , se dice que es creciente
si x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ).
Una función f definida en un intervalo al que pertenecen dos números x1 y x 2, x1 ≠ x 2 , se dice que es decreciente si x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ).
Si una función es creciente o decreciente en un intervalo, entonces se dice que la función es monótona en el
intervalo.
Cuando en la gráfica de una función y 5 f (x) la pendiente de la recta tangente en uno de sus puntos es positiva,
la función es creciente, y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función es decreciente.
Como la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 f (x) es f9(x), la función es creciente cuando f 9(x) . 0 y
decreciente cuando f 9(x) , 0.
También se interpreta f 9(x) como la razón de cambio de los valores de la función f (x) respecto a x; cuando f 9(x)
. 0 los valores de la función crecen si x crece y cuando f9(x) , 0 los valores de la función decrecen cuando x
crece.
Con base en el teorema del valor intermedio se demuestra el siguiente teorema.
Teorema
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b):
ii) Si f 9(x) . 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b].
ii) Si f 9(x) , 0 para toda x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].
Una aplicación de este teorema se conoce como el criterio de la primera derivada para los extremos relativos de
una función.
Teorema
Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo (a, b) que contiene al número c, y supóngase que f
existe en todos los puntos de (a, b) excepto, posiblemente, en c:
ii) Si f 9(x) . 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto (a, b) que tiene a c como su punto
extremo derecho y si f 9(x) , 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como
punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.
ii) Si f 9(x) , 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto (a, b) que tiene a c como su punto
extremo derecho y si f 9(x) . 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como
su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.
151
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
En las siguientes figuras se ilustran las partes del teorema.
El criterio de la primera derivada establece que si una función f es continua en un número c y f 9(x) cambia su
signo algebraico de positivo a negativo cuando x crece hacia el número c, entonces f tiene un valor máximo relativo en c; y si f 9(x) cambia su signo algebraico de negativo a positivo cuando x crece hacia c, entonces f tiene un
valor mínimo relativo en c.
y
y
) 0
f v(x
f v (x
)>
0
) f v(x
0
) f v(x
0
fv(x) 0
fv(x) = 0
x
a
c
x
b
a
Figura 4.8
c
Figura 4.9
Ejemplos
1. Calcular los máximos y mínimos relativos de la función f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 .
Solución:
a) Se obtiene la primera derivada.
f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
f 9(x) 5 6x2 2 6x 2 12
Se iguala la derivada con cero y se resuelve la ecuación:
6x2 2 6x 2 12 5 0
Dividiendo la ecuación entre 6 se tiene:
x2 − x − 2 = 0
Factorizando se tiene:
(x 2 2) (x 1 1) 5 0
Las raíces de x son x1 5 2, x 2 5 21.
b) Se evalúa la f 9(x) en valores próximos a 2.
Para un valor menor que 2, por ejemplo el 1, se tiene:
f 9(1) 5 6(1)2 2 6(1) 2 12
5 6 2 6 2 12
5 212 , 0
Para un valor mayor que 2, por ejemplo el 3, se tiene:
f 9(3) 5 6(3)2 2 6(3) 2 12
152
b
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5 6 (9) 2 18 2 12
5 54 2 30
5 24 . 0
Como la derivada cambia su signo algebraico de negativo a positivo, para el valor x 5 2 se tiene
un mínimo.
Por tanto, el punto (2, 218) es un punto mínimo de la función:
f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
c) Se evalúa la f 9(x) en valores próximos a 21.
Para un valor menor que 21, por ejemplo 22, se tiene:
f 9(22) 5 6(22)2 2 6(22) 2 12
5 6 (4) 1 12 2 12
5 24 . 0
Para un valor mayor que 21, por ejemplo 0, se tiene:
f 9(0) 5 6(0)2 2 6(0) 2 12
5 212 , 0
Como la derivada cambia su signo algebraico de positivo a negativo, la función tiene un máximo
para x 5 21. El valor máximo se obtiene evaluando la función en x 5 21.
f ( −1) = 2( −1)3 − 3( −1)2 − 12( −1) + 2
5 2( −1) − 3(1) + 12 + 2
5 −2 − 3 + 14
59
Por tanto, el punto (21, 9) es un punto máximo de la función
f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
Es importante hacer notar que cuando se utiliza el criterio de la primera derivada para la determinación de los extremos relativos, la derivada se debe evaluar en valores suficientemente próximos a un
valor crítico de manera que no quede entre ellos otro valor crítico. Así, en el ejemplo anterior, para
el valor crítico 21, si se considera a 3 como un valor mayor que 21, resulta que en el intervalo
(21, 3) está comprendido el otro valor crítico, x 5 2, para el que la función tiene un extremo
relativo.
2. Encontrar los extremos relativos de la función
¨ 3 − x2 ,
«
f (x) 5 ©
«
ª x,
si x # 2
si x . 2
Aplicando el criterio de la primera derivada, determinar los valores de x para los cuales se tiene un
extremo relativo.
Encontrar los intervalos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. Trazar un
bosquejo de la gráfica.
Solución:
Si x # 2 la función es f (x) 5 3 − x 2 por lo que f9(x) 5 22x.
153
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Si x . 2 la función es f (x) 5 x por lo que f 9(x) 5 1.
Cuando x tiende a 2 por la izquierda f 9(2) 5 24.
Cuando x tiende a 2 por la derecha f 9(2) 5 1.
Por tanto, f (2) no existe y 2 es un número crítico.
Cuando x # 2 la función se define por f (x) 5 3 2 x2 y su derivada es f 9(x) 5 22x. Igualando la
derivada con cero:
22x 5 0
Se obtiene el número crítico x 5 0.
Aplicando el criterio de la primera derivada se obtienen los siguientes resultados:
f (x)
x,0
x50
3
0,x,2
x52
Figura 4.10
21
x.2
f 9(x)
Conclusión
1
f es creciente
0
f tiene un valor máximo relativo
2
f es decreciente
no existe
1
f tiene un valor mínimo relativo
f es creciente
Por tanto, la función es creciente en los intervalos (2`, 0) y (2, `) y decreciente
en (0, 2). La gráfica es la siguiente (véase figura 4.10):
y
Cuando se aplica el criterio de la primera derivada y ésta pasa de positiva a positiva o de negativa a negativa nada se puede decir acerca de los extremos relativos.
En la determinación de los extremos relativos de una función f se procede de la
siguiente forma:
1) Se encuentra f 9(x).
2) Se encuentran los números críticos de f, es decir, los valores de x para los
cuales f 9(x) 5 0 o f9(x) no existe.
3) Se aplica el criterio de la primera derivada.
0
x
0
Actividad de aprendizaje
¿Cuál es la razón por la que la primera derivada debe evaluarse en valores suficientemente próximos
a un valor crítico? Relaciona tu respuesta con el tema desarrollado.
Ejercicios de cálculo
En las siguientes funciones realiza lo siguiente:
a) Encuentra sus extremos relativos aplicando el criterio de la primera derivada.
b) Determina los intervalos en que la función es creciente y los intervalos en que la función es decreciente.
154
Grupo Editorial Patria®
c) Haz un bosquejo de la gráfica.
1. f ( x ) = x 2 − 4 x − 1
3. f ( x ) = x 4 + 4 x
5. f ( x ) =
x −2
x+2
7. f ( x ) = 2 − ( x − 1)
1
3
¨ 4 − ( x + 5)2, si x , 4
«
9. f ( x ) = ©
«
ª 12 − ( x + 1)2, si 2 4 ≤ x
2. f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 15 x − 5
1
4. f ( x ) = 2 x +
2x
6. f ( x ) = x 5 − x 2
8. f ( x ) =
¨
«
©
«
ª
5 2 2x, si x , 3
3x 2 10, si 3 # x
¨ x 2 6, si x # 6
«
10. f ( x ) = © − 4 − ( x − 8 )2 , si 6 , x # 10
«
ª 20 2 2x, si 10 , x
Aplicación de tus Saberes
Actividad
Una plataforma petrolera está en el mar de Alaska y otra en el mar Mediterráneo. Si las dos plataformas utilizan tubos de la
misma medida, podemos suponer que el flujo laminar a través de ellos es igual. Determina la diferencia de altitud entre las dos
plataformas.
4.3 CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CON EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
En la sección anterior hemos visto una forma de determinar un extremo relativo de una función f en un número
crítico c por medio de los signos algebraicos de f 9 en números de los intervalos a la derecha e izquierda de c. Otra
forma de determinación de los extremos relativos considera únicamente al número crítico c y se conoce como
criterio de la segunda derivada para extremos relativos.
Teorema
Sea c un número crítico de una función f en la cual f 9(c) 5 0 y f9 existe para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que contenga a c. Entonces si f 0(c) existe y:
ii) Si f 0(c) , 0, f tiene un valor máximo relativo en c.
ii) Si f 0(c) . 0, f tiene un valor mínimo relativo en c.
Cuando f 0(c) 5 0 y f 9(c) 5 0, nada se puede decir acerca de un extremo relativo en c.
Considera la siguiente función:
f (x) 5 x4
f (x) 5 4x3
f (x) 5 12x2
155
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
f(0), f 9(0) y f 0(0) valen respectivamente cero. En este caso la función f tiene un valor mínimo relativo en cero
que se puede determinar al aplicar el criterio de la primera derivada.
La gráfica es la siguiente (véase figura 4.11):
Considera la siguiente función:
f (x) 5 2x4
f 9(x) 5 24x3
f 0(x) 5 212x2
f (0) 5 f 9(x) 5 f 0(x) 5 0. Al aplicar el criterio de la primera derivada se determina un valor máximo relativo
en cero.
La gráfica es la siguiente (véase figura 4.12):
Si la función es:
f ( x ) = x3
Entonces:
f 9(x) 5 3x2
f 0(x) 5 6x
Donde:
f (0) 5 f 9(0) 5 f 0(0) 5 0
La función no tiene un extremo relativo en cero porque cuando x , 0, f (x) , 0 y cuando x . 0,
f (x) . 0.
La gráfica es la siguiente (véase figura 4.13):
y
y
y
x
x
x
Figura 4.11
Figura 4.12
Figura 4.13
En estos tres casos la segunda derivada es cero en un número para el cual su primera derivada es cero. En el primero, se tiene un valor mínimo relativo en ese número; en el segundo, se tiene un valor máximo relativo en ese
número; y en el tercero no se tiene valores extremos en ese número.
Esto significa que si la segunda derivada es cero nada se puede decir sobre si hay o no hay valores extremos.
Por lo general, el criterio de la segunda derivada es más cómodo aunque no siempre ocurre así. En ocasiones la
segunda derivada es complicada y conviene aplicar el criterio de la primera derivada.
156
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
Calcular los máximos y mínimos relativos de la función:
f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
Solución:
Esta función se usó como ejemplo de aplicación del criterio de la primera derivada.
Veamos ahora la aplicación del criterio de la segunda derivada.
a) Se obtiene la primera y segunda derivada de la función:
f (x) 5 2x3 2 3x2 2 12x 1 2
f 9(x) 5 6x3 2 62 2 12
f 0(x) 5 12x 2 6
b) Se iguala la primera derivada con cero y se resuelve la ecuación.
6 x 2 − 6 x − 12 = 0
Dividiendo entre 6:
x2 − x − 2 = 0
Factorizando:
( x − 2)( x + 1) = 0
Raíces:
x1 = 2 , x 2 = −1
c) Se sustituyen las raíces encontradas en la segunda derivada.
f 0(2) 5 12(2) 2 6
5 24 2 6
5 18 . 0
Por tanto, hay un mínimo:
f 0(21) 5 12(21) 2 6
5 212 2 6
5 218
Por tanto, hay un máximo:
d) El valor mínimo de la función se obtiene evaluándola en 2.
f ( 2) = 2( 2)3 − 3( 2)2 − 12( 2) + 2
5 2 (8) 2 3 (4) 2 24 1 2
5 16 2 12 2 24 1 2
5 218
e) El valor máximo de la función se obtiene evaluándola en 21.
f ( −1) = 2( −1)3 − 3( −1)2 − 12( −1) + 2
5 2 (21) 2 3 (1) 1 12 1 2
5 2 2 2 3 1 12 1 2
59
Por tanto, el punto mínimo está en (2, 218) y el punto máximo está en (21, 9).
157
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
En la determinación de los extremos relativos de una función f aplicando el criterio de la segunda derivada se procede de la siguiente manera:
a) Se halla la primera y la segunda derivada.
b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación determinando sus raíces.
c) Se sustituye las raíces de la primera derivada en la segunda derivada. Si la segunda derivada es negativa
hay un máximo, y si es positiva hay un mínimo.
d) Los valores máximos y mínimos de la función se calcula sustituyendo en la función las raíces de la
primera derivada.
Actividad de aprendizaje
¿En qué consiste el criterio de la segunda derivada? Proporciona un ejemplo.
¿Qué se requiere para que f (x) 5 a x sea sobreyectiva? ¿Por qué?
Independientemente del intervalo al que pertenezca a en f (x) 5 a x, identifica en una gráfica cuáles son las coordenadas del punto en
el que su gráfica corta al eje y.
Ejercicios de cálculo
Encuentra los extremos relativos de cada función aplicando el criterio de la segunda derivada. En caso de
que éste no se pueda aplicar, utiliza el criterio de la primera derivada.
1. f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1
2. f ( x ) = x 3 − 5 x + 6
3. f ( x ) = −4 x 3 + 3 x 2 + 18 x
4. f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 27
5. f ( x ) = ( x − 4 )2
6. f ( x ) = ( x + 2)3
7. f ( x ) = ( x − 3)4
8. f ( x ) = x( x −1)3
9. f ( x ) = x x + 3
10. f ( x ) = x 8 − x 2
11. f ( x ) =
1 3 1 2
x − x − 2x + 2
3
2
13. f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4
x4 + 3
3
6x
17. f ( x ) = 2
x +1
15. f ( x ) =
14. f ( x ) =
x4 +1
x2
16. f ( x ) = 1 + 7 x − 2 x 2
18. f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2
19. f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 7
20. f ( x ) = 5 x − x 5
21. f ( x ) = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 10 x 2 − 20 x + 5
22. f ( x ) =
23. f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 1
24. f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 36 x + 12
25. f ( x ) = x 4 + x 3 − 2 x 2 − 3 x
158
1
12. f ( x ) = ( 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x )
6
x 4 + 16
x2
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4.4 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
En un punto P de la gráfica de una función se pueden presentar las siguientes situaciones en relación con la tangente en dicho punto.
y
p
p
p
p
p
x
O
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 4.14
En (a) y (b) se observa que en la vecindad del punto P, la gráfica de la función se conserva por debajo de la recta
tangente en P. En estos casos se dice que la curva dirige su concavidad hacia abajo o hacia la parte negativa del eje y.
En (c) y (d) se observa que en la vecindad del punto P, la gráfica de la función se conserva sobre la recta tangente
en P. En estos casos se dice que la curva dirige su concavidad hacia arriba o hacia la parte positiva del eje y.
En el caso (e) la curva cambia el sentido de la concavidad en el punto P y se dice que la curva tiene un punto de
inflexión en P.
El sentido de la concavidad en un punto de la gráfica de una función y el signo de la segunda derivada en dicho
punto se relacionan, como se ilustra en las siguientes figuras.
y
y
`
x
O
`
x
O
Figura 4.15
Figura 4.16
Como se puede observar, si una curva dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje y, la derivada decrece y,
por tanto, su derivada (la segunda derivada) es negativa.
Lo anterior se expresa:
tan b , tan a
Es decir, que y9 decrece y, por tanto, y0 , 0.
159
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Si la concavidad de la curva es hacia la parte positiva del eje y, la primera derivada crece y su derivada (la segunda
derivada) es positiva, como a continución se ilustra (véase figuras 4.17 y 4.18).
y
y
`
`
x
x
O
O
Figura 4.17
Figura 4.18
O sea que tan b . tan a y y9 crece, por lo que y0 . 0.
Dicho de otra manera, si la gráfica de una función se recorre de izquierda a derecha y la tangente gira con regularidad en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba y si la
tangente gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj, se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo como a
continuación se ilustra (véase figuras 4.19 y 4.20).
y
y
x
x
O
O
Figura 4.19
Figura 4.20
Definición
Sea f una función diferenciable sobre un intervalo abierto (a, b).
Si f9 es creciente sobre (a, b), f (y su gráfica) es cóncava hacia arriba; si f9 es decreciente sobre (a, b), f es cóncava
hacia abajo sobre (a, b).
Teorema de concavidad
Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto (a, b).
Si f 0(x) . 0 para toda x de (a, b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b).
160
Grupo Editorial Patria®
Si f 0(x) , 0 para toda x de (a, b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b).
El recíproco de este teorema no es válido.
Considere la función f (x) 5 x4, su gráfica es cóncava hacia arriba en (0, 0) pero f 0(0) 5 0 (ver sección 4.3.).
Si, sobre la gráfica de una función, existe un punto en el que cambia el sentido de la concavidad, entonces la gráfica
interseca a su recta tangente en ese punto llamado punto de inflexión.
Definición
El punto (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f; si la gráfica tiene ahí una recta tangente y
si existe un intervalo abierto I que contenga a c, tal que si x está en I, entonces:
ii) f 0(x) , 0 si x , c y f 0(x) . 0 si x . c
ii) f 0(x) . 0 si x , c y f 0(x) , 0 si x . c
Teorema
Si la función f es diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a c, y si (c, f (c)) es un punto de inflexión
de la gráfica de f, entonces si f 0(x) existe, f 0(c) 5 0.
Este teorema establece que si en un punto de inflexión existe la segunda derivada, ésta es cero. El recíproco
de este teorema no es válido.
Considera la función f (x) 5 x4 que tiene un mínimo en (0, 0) y su gráfica es cóncava hacia arriba en los puntos
que están inmediatamente a la izquierda y a la derecha de (0, 0).
En esta función f 0(0) 5 0 pero f 0(x) . 0 si x , 0 y f 0(x) . 0 si x . 0, por lo que (0, 0) no es un punto de
inflexión.
También puede ocurrir que la gráfica de una función tenga un punto de inflexión y sin embargo la segunda derivada no exista en ese punto.
1
1 22
2 25
Considera la función f ( x )5 3 x 5 x 3 para la cual f ( x )5 x 3 y f ( x )52 x 3 ,
3
9
f 0(0) no existe, pero si x , 0, f 0(x) . 0; y si x . 0, f 0(x) , 0.
Por tanto f tiene un punto de inflexión en (0, 0), como puede verse en la siguiente gráfica
(véase figura 4.21).
y
Para la determinación de los puntos de inflexión se aplican los criterios de la primera derivada, segunda derivada y tercera derivada que a continuación se resumen.
Criterio de la primera derivada. Si la primera derivada se anula para un valor x 5 a, y
pasa de positiva a positiva o de negativa a negativa, hay inflexión para x 5 a. Este criterio
no sirve para determinar los puntos de inflexión pues únicamente señala que si al aplicar
el criterio de la primera derivada para calcular extremos relativos de la derivada está no
cambia de signo, se debe a que existe un punto de inflexión.
x
Criterio de la segunda derivada. Si la concavidad cambia de sentido, entonces la segunda derivada cambia de signo y es igual a cero en el punto de inflexión. Para determinar los
puntos de inflexión procede lo siguiente:
a) Se halla la segunda derivada.
b) Se iguala a cero y se resuelve la ecuación. Para cada una de las raíces en que la segunFigura 4.21
da derivada cambia de signo hay inflexión.
c) Las ordenadas de los puntos de inflexión se obtienen sustituyendo las raíces de la segunda derivada en la
función.
Criterio de la tercera derivada. En este caso procede lo siguiente:
a) Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se obtienen las raíces de la ecuación.
b) Se halla la tercera derivada y se sustituyen en ella las raíces obtenidas en el paso anterior. Para las raíces que
no anulan a la tercera derivada hay inflexión.
161
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Actividad de aprendizaje
A partir del criterio de la tercera derivada, ¿cuál es el procedimiento para determinar los puntos de inflexión?
Ejemplos
1. Calcular los puntos de inflexión de la curva:
y = f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
Solución:
Aplicando el criterio de la segunda derivada se obtiene:
y 5 f (x) 5 2x3 2 3x2 2 12x 1 2
a)
f 9(x) 5 6x2 2 6x 2 12
f 0(x) 5 12x 2 6
b) Igualando a cero la segunda derivada se obtiene:
12 x − 6 = 0
Resolviendo, se obtiene:
12 x = 6
x=
6
12
La raíz es:
x=
1
= 0.5
2
1
, por ejemplo cero, se obtiene:
2
f 0(0) 5 12(0) 2 6 5 26 , 0
1
Para un valor mayor que , por ejemplo 1, se obtiene:
2
f 0(1) 5 12(1) 2 6 5 6 . 0
Para un valor menor que
Como la segunda derivada cambia de signo hay inflexión en el punto de abscisa x 5 0.5.
c) La ordenada del punto de inflexión es:
y = f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
f ( 0.5) = 2( 0.5)3 − 3( 0.5)2 − 12( 0.5) + 2
5 2( 0.125) − 3( 0.25) − 6 + 2
5 0.25 − 0.75 − 4
5 −4.5
Por tanto, el punto de inflexión es ( 0.5, −4.5).
2. Hallar los puntos de inflexión de la curva:
y = f ( x ) = x4 − 2x3
162
Grupo Editorial Patria®
Solución:
Aplicando el criterio de la tercera derivada se obtiene:
f (x) 5 x4 2 2x3
a)
f 9(x) 5 4x3 2 6x2
f 0(x) 5 12x2 2 12x
Igualando a cero la segunda derivada se obtiene:
12 x 2 − 12 x = 0
12 x( x − 1) = 0
Por tanto, las raíces son:
x1 = 0 , x 2 = 1
b) La tercera derivada de la función es:
f -(x) 5 24x 2 12
Sustituyendo las raíces en f -(x) se obtiene:
f -(0) 5 24(0) 2 12 5 212
f -(1) 5 24(1) 2 12 5 12
Para las dos raíces la tercera derivada no se anula, por tanto, para cada una de ellas hay inflexión,
es decir, para x 5 0 y x 5 1.
Las ordenadas de los puntos de inflexión son:
f ( 0 ) = 04 − 2( 0 )3
502050
f (1) = 14 − 2(1)3
5122
5 21
Por tanto, los puntos de inflexión son (0, 0) y (1, 21).
3. Determinar dónde la gráfica de la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 3 x − 3 es cóncava hacia arriba; dónde
es cóncava hacia abajo y encontrar los puntos de inflexión, si existen.
Solución:
f 0 existe para todos los valores de x; el único punto posible de inflexión es aquel para el cual f 0(x) 5 0,
es decir:
6x 1 6 5 0
6x 5 26
x 5 21
O sea que para x 5 21, posiblemente, hay un punto de inflexión. Para determinar si existe se debe
comprobar si f 0(x) cambia de signo, con lo cual también se determina la concavidad de la gráfica
para los intervalos que corresponden.
Los resultados aparecen en la siguiente tabla.
163
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
f (x) f9(x) f 0(x)
2 `,x,21
x521
21,x,1 `
26
2
Conclusión
2
0
1
La gráfica es cóncava hacia abajo
La gráfica tiene un punto de inflexión
La gráfica es cóncava hacia arriba
Como se sabe, los extremos relativos de la función se determinan aplicando el criterio de la segunda
derivada.
Igualando a cero la primera derivada y resolviendo la ecuación resultante se obtiene:
3x2 + 6 x − 3 = 0
Dividiendo entre 3 se obtiene:
x2 + 2x − 1 = 0
Aplicando la fórmula general, las raíces son:
x1 = −1 + 2 , x 2 = −1 − 2
Sustituyendo estas raíces en la segunda derivada se obtiene:
f 0( −1 + 2 ) = 6( −1 + 2 ) + 6
5 −6 + 6 2 + 6
5 −6 2 > 0
Por tanto, hay un mínimo en x = −1 + 2 .
f 0( −1 − 2 ) = 6( −1 − 2 ) + 6
5 −6 − 6 2 + 6
5 −6 2 < 0
Por tanto, hay un máximo en x = −1 − 2 .
El punto mínimo está en (0.41, 23.66), el punto máximo en (22.41, 7.66) y el punto de
inflexión en (21, 2), como se ilustra en la gráfica (véase figura 4.22).
y
4. Determinar dónde la gráfica de la función f ( x ) = (1 − 2 x )3 es cóncava hacia arriba; dónde
es cóncava hacia abajo y encontrar los puntos de inflexión, si existen.
Solución:
f ( x ) = (1 − 2 x )3
f 9( x ) = 3(1 − 2 x )2 ( −2)
5 −6(1 − 2 x )2
x
f 0( x ) = −6( 2)(1 − 2 x )1 ( −2)
0
5 24(1 − 2 x )
Igualando a cero la segunda derivada se obtiene:
24(1 − 2 x ) = 0
Por tanto:
1 − 2x = 0
Figura 4.22
164
Grupo Editorial Patria®
De donde:
1 = 2x
1
=x
2
Para los valores de x menores que
1
, por ejemplo cero, se obtiene:
2
f 0( 0 ) = 24[1 − 2( 0 )]
5 24(1)
5 24 > 0
Para los valores de x mayores que
1
, por ejemplo uno, se obtiene:
2
f 0(1) = 24[1 − 2(1)]
5 24(1 − 2)
5 24( −1)
5 −24 < 0
1
.
2
1
Observe que f 9( ) 5 0, es decir, que la gráfica tiene una recta tangente horizontal en el punto de
2
inflexión.
Como la segunda derivada cambia de signo, hay inflexión en el punto de abscisa x 5
Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
f (x) f9(x) f 0(x)
2` , x ,
x5
1
2
1
2
0
1
,x,1 `
2
0
Conclusión
1
La gráfica es cóncava hacia arriba
0
La gráfica tiene un punto de inflexión
2
La gráfica es cóncava hacia abajo
Ejercicios de cálculo
Para la gráfica de cada una de las siguientes funciones, determina dónde es
cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo; encuentra los puntos de
inflexión, si existen.
1. f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 5
Aplicación de tus Saberes
Actividad
Demuestra que de todos los triángulos
que tienen el mismo perímetro, el de
mayor área es el triángulo equilátero.
2. f ( x ) = x 3 + 9 x
3. f ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2
4. f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 6 x 2 + 4
165
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
5. f ( x ) =
1
1
+
x +1 x −1
6. f ( x ) = 5 x − x 5
7. f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 7
9. f ( x ) =
8. f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4
1
x
2
x −1
10. f ( x ) = ( x − 2)5
11. f ( x ) = x 3 − 3 x − 1
12. f ( x ) = ( x − 3)2
13. f ( x ) = x 3 − 12 x
14. f ( x ) = 3 x 2 −
15. f ( x ) = 2 x 6 + 15 x 4 + 90 x 2 + 120 x − 4
16. f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
17. f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2
18. f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 1
19. f ( x ) = x 4 + x 3 − 2 x 2 − 3 x
20. f ( x ) = ( x − 3)3 + 4
1
x2
4.5 TRAZADO DE CURVAS
Aplicaciones para trazar la gráfica de una función
Anteriormente se estudiaron algunos recursos para el trazo de la gráfica de una función. Para una mayor precisión
en el trazo utilizamos la teoría de los máximos, mínimos y puntos de inflexión, con lo cual se puede dibujar un
esquema más preciso de la gráfica de una curva expresada por su ecuación.
El procedimiento para trazar la gráfica de la función f (x) consiste en lo siguiente:
Se hallan f 9(x) y f 0(x). Los números críticos de f son los valores de x en el dominio de f para los cuales f 9(x)
5 0 o f9(x) no existe. Con aplicación del criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada, se
determina si en un número crítico hay un valor máximo relativo, un valor mínimo relativo o ninguno de los dos.
Los intervalos donde f es creciente se determinan a partir de los valores de x para los cuales f 9(x) . 0; los intervalos donde f es decreciente se determinan a partir de los valores de x, para los cuales f9(x) , 0. De esta manera
se comprueban los números críticos en los que f no tiene un extremo relativo. Los posibles puntos de inflexión
son los valores de x, para los cuales f 0(x) 5 0 o f 0(x) no existe; se verifica el cambio de signo de f 0(x), para
saber si efectivamente hay un punto de inflexión. Los valores de x para los cuales f 0(x) . 0 determinan dónde la
gráfica es cóncava hacia arriba y los valores de x para los cuales f 0(x) , 0 determinan dónde la gráfica es cóncava
hacia abajo.
Ejemplos
1. Construir la gráfica de f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 .
Solución:
f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2
f 9( x ) = 6 x 2 − 6 x − 12
Igualando f 9(x) con cero y resolviendo la ecuación se obtiene:
6 x 2 − 6 x − 12 = 0
6( x 2 − x − 2) = 0
166
Grupo Editorial Patria®
6( x − 2)( x + 1) = 0
x1 = 2 , x 2 = −1
f 0( x ) = 12 x − 6
Igualando la segunda derivada con cero [f 0(x) 5 0] y resolviendo la ecuación, se obtiene:
12 x − 6 = 0
12 x = 6
x=
6
12
x=
1
2
1
y x 5 2.
2
Los intervalos que excluyen estos valores son:
Los números críticos son x 5 2 1, x 5
1 1
−∞ < x < −1 , −1 < x < , < x < 2 , 2 < x < +∞
2 2
El análisis de esta función se resume en la siguiente tabla:
f (x) f9(x) f 0(x)
2` , x , 21
x 5 21
2` , x ,
x5
9
1
2
1
2
24.5
1
,x, 2
2
x52
2 ,x,1 `
218
Conclusión
1
2
f es creciente; la gráfica es cóncava hacia abajo
0
2
f tiene un valor máximo relativo; la gráfica es cóncava
hacia abajo
2
2
f es decreciente; la gráfica es cóncava hacia abajo
0
f es decreciente; la gráfica tiene un punto de inflexión
2
1
f es decreciente; la gráfica es cóncava hacia
arriba
0
1
f tiene un valor mínimo relativo; la gráfica es cóncava
hacia arriba
1
1
f es creciente; la gráfica es cóncava hacia arriba
2 13
1
2
⎛ 1 9⎞
El punto de inflexión está en ⎜ ,2 ⎟ , o bien, (0.5, 24.5).
⎝ 2 2⎠
La pendiente de la gráfica para x 5
1
es:
2
2
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
f 9⎜ ⎟ 56⎜ ⎟ 26⎜ ⎟ 212
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
56⎜ ⎟ 233212
⎝ 4⎠
52
27
2
167
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
y
Entonces una ecuación de la recta de pendiente −
⎛1 9⎞
⎜ ,− ⎟ es:
⎝2 2⎠
27
que pasa por el punto
2
9
27 ⎛
1⎞
y+ = − ⎜x − ⎟
2
2⎝
2⎠
20
O bien:
54 x + 4 y − 9 = 0
10
Véase la figura 4.23:
x
0
0
-10
La gráfica de una función racional, es decir, aquella que es el cociente de dos funciones polinomiales, resulta más complicada de trazar en comparación con una
función polinomial. En este caso se debe poner especial atención cuando el denominador se anula.
2. Construir la gráfica de f ( x ) =
8
.
x −4
2
Solución:
Haciendo y 5 f (x) 5 0 se obtiene 0 5 8, lo que nos indica que la curva no interseca
al eje x. Haciendo x 5 0 se obtiene y 5 22, por lo que la curva interseca al eje y en el
punto (0, 22).
-20
Para la función:
Figura 4.23
f ( x) =
8
x −4
f 9( x ) =
−16 x
( x 2 − 4 )2
2
Y:
48 x 2 + 64
( x 2 − 4 )3
Igualando f 9(x) con cero y resolviendo la ecuación se obtiene:
f 0( x ) =
−16 x
=0
( x 2 − 4 )2
−16 x = 0
Por tanto:
x50
Entonces, el único punto crítico es cuando x 5 0. Para este valor f 0(x) , 0; luego, la gráfica es cóncava hacia abajo y como f (0) 5 2 2; entonces, la gráfica tiene un máximo en (0, 22).
Como cero es el único número crítico y la gráfica en este número tiene un valor máximo relativo,
entonces, no tiene mínimo relativo.
Existe la segunda derivada de la función, sin embargo, al igualarla con cero, se obtienen números que
no son reales por lo que no hay inflexión.
La segunda derivada cambia de signo en x 5 2 y x 5 22, pero, para estos dos valores, la segunda derivada no es continua (se anula el denominador). Por tanto, aunque en esos puntos cambia el sentido de
la concavidad, no hay inflexión.
168
Grupo Editorial Patria®
Si x tiende a 2 por la derecha, el denominador de la función tiende a cero y, por tanto, la función
tiende a 1`; y si x tiende a 2 por la izquierda, la función tiende a 2`.
De manera similar, cuando x tiende a 22 por la derecha, la función tiende a 2`; y si x tiende a 22
por la izquierda, la función tiende a 1`. Por tanto, las rectas x 5 2 y x 5 22 son asíntotas verticales
de la curva.
Si x tiende a 1` o a 2`, la función es siempre positiva y tiene por límite cero. El eje x es otra asíntota
de la curva.
f (x) f 9(x) f 0(x)
1
1
f es creciente; la gráfica es cóncava hacia arriba
no
existe
no
existe
La recta x 5 22 es una asíntota vertical de la
curva
1
2
f es creciente; la gráfica es cóncava hacia abajo
0
2
f tiene un valor máximo relativo; la gráfica es
cóncava hacia abajo
2
2
f es decreciente; la gráfica es cóncava hacia
abajo
no
existe
no
existe
La recta x 5 2 es una asíntota vertical de la
curva
2
1
f es decreciente; la gráfica es cóncava hacia
arriba
2` , x , 22
x 5 22
no
def.
22 , x , 0
x50
22
0 ,x, 2
x52
no
def.
Conclusión
2 ,x,1 `
Véase la figura 4.24:
y
Lo estudiado en geometría analítica junto con la teoría de máximos, mínimos y
puntos de inflexión, se aplica en la construcción de gráficas de funciones mediante el
siguiente procedimiento:
1. Se hace un análisis donde:
• Se determina el dominio y el rango de la función con lo cual se pueden excluir
algunas regiones del plano.
• En su caso, se verifica la simetría respecto al eje de las y y respecto al origen.
• Se encuentran las intersecciones con los ejes.
• Por medio de la primera derivada se encuentran los puntos críticos y se determinan los intervalos en que la gráfica de la función es creciente o decreciente.
x
0
• Se comprueba si los puntos críticos son valores máximos o mínimos relativos.
• Por medio de la segunda derivada se determina dónde la gráfica es cóncava hacia
arriba o cóncava hacia abajo y se localizan los puntos de inflexión.
• Se encuentran las asíntotas.
2. Se hace la gráfica de unos cuantos puntos que incluyan los puntos críticos y de
inflexión.
3. Se hace un dibujo de la gráfica.
Figura 4.24
169
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Ejercicios de cálculo
Construye la gráfica de cada función.
1. f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 13
2. f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2
3. f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1
4. f ( x ) = x 4 − 2 x 3
5. f ( x ) = x 3 + x 2 − 5 x
6. f ( x ) = 3 x 4 + 2 x 3
7. f ( x ) = x 3 + 5 x 2 + 3 x − 4
9. f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 + 1
1
8. f ( x ) = 2 x 3 − x 2 − 12 x + 1
2
4
10. f ( x ) = x − 4 x 3 + 16 x
11. f ( x ) = 3 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 − 4
12. f ( x ) = x 3 − 4 x
13. f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3
14. f ( x ) =
x 4 − 18 x 2 + 20
20
15. f ( x ) =
4x
2
x +2
16. f ( x ) =
( x + 2)2
x
17. f ( x ) =
x
x +1
18. f ( x ) =
x2
x2 + 1
19. f ( x ) =
x2
x2 − 4
20. f ( x ) =
x
x −4
2
1
21. f ( x ) = 3 x 3 − 2 x
1
2
22. f ( x ) = 3 x 3 − x
4
1
23. f ( x ) = x 3 + 2 x 3
24. f ( x ) = 2 + ( x − 3) 3
25. f ( x ) = x x
Aplicaciones en las ciencias naturales,
económica-administrativas y sociales
Problemas de máximos y mínimos
En la sección 4.2 se dan dos ejemplos de los múltiples y variados problemas en los que se requiere determinar
valores que hacen máxima o mínima a una función. Los casos más sencillos son aquellos en los que la función está
expresada en términos de una sola variable independiente por lo que se puede aplicar de manera directa la teoría
de máximos y mínimos. En casos más complicados se empieza por obtener la expresión algebraica de la función
y si ésta es de varias variables, se reduce a una sola a partir de los datos del problema o propiedades conocidas.
De manera general, se realiza lo siguiente:
• Se obtiene la expresión algebraica de la función de la que se quiere calcular el máximo o mínimo utilizando
propiedades y teoremas aplicables.
• Si la función es de una sola variable se aplica directamente la teoría de máximos y mínimos. Si es de dos o
más variables se buscan relaciones que permitan expresarlas en términos de una sola a partir de los datos del
problema o de propiedades conocidas para que la función quede en la forma y 5 f (x) y se aplique la teoría
de máximos y mínimos.
En la sección 4.2 aparecen ejemplos de problemas que incluyen un extremo absoluto en un intervalo cerrado.
Sin embargo, en los problemas prácticos, estos intervalos no son siempre cerrados pero, los problemas se pueden
resolver con una correcta aplicación de la teoría estudiada.
170
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
1. Desde el suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 29.4 metros
por segundo. Calcular la altura máxima alcanzada.
Solución:
Según la física, la función que expresa la altura en función del tiempo es:
1
e = vot − gt 2
2
Donde e es la altura en metros, no es la velocidad inicial en metros por segundo, t es el tiempo en
segundos y g es la aceleración gravitacional que se toma como 9.8 metros por segundo.
De acuerdo con los datos del problema:
e = 29.4t −
1
9.8) t 2
(
2
O bien:
e = 29.4t − 4.9t 2
La pelota se encuentra en el suelo cuando e 5 0, por lo que:
29.4t − 4.9t 2 = 0
Factorizando se obtiene:
4.9t(6 − t ) = 0
De donde:
t1 = 0, t 2 = 6
Es decir, que los valores de t no pueden ser menores que cero ni mayores que 6, por tanto, el problema
consiste en maximizar t en [0, 6].
La derivada de e 5 f (t) es:
e9 5 29.4 2 9.8 t
Igualando la derivada con cero:
29.4 2 9.8 t 5 0
Se tiene que:
29.4 = 9.8t
De donde:
29.4
=t
9.8
35t
La segunda derivada de e es:
e0 = −9.8 < 0
Para cualquier valor de t.
Por tanto, para t 5 3 hay un máximo cuyo valor es:
f ( 3) = 29.4( 3) − 4.9( 3)2
5 88.2 − 44.1
= 44.1
En consecuencia, la pelota alcanza una altura máxima de 44.1 metros a los 3 segundos.
171
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
2. Una hoja de papel debe llevar 648 centímetros cuadrados de material impreso con un margen de 4
centímetros arriba y abajo y 2 centímetros de margen a los lados. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja
para que el gasto de papel sea el menor posible?
Solución:
Sea x el ancho y y la altura de la hoja, como a continuación se ilustra (véase figura 4.25):
El área de la hoja que se quiere minimizar es:
A5xy
4
2
2
Como el área está expresada en términos de dos variables, buscamos alguna relación
entre ellas de manera que se pueda eliminar una de las dos.
Las dimensiones del material impreso son x 2 4 y y 2 8, y su área es de 648 centímetros cuadrados, o sea que:
y
(x 2 4) (y 2 8) 5 648
Despejando y se tiene:
4
x
Figura 4.25
648
x−4
648
y=
+8
x−4
Sustituyendo este valor de y en el área de la hoja de papel se tiene:
y−8 =
⎞
⎛ 648
A = x⎜
+ 8⎟
⎝x−4 ⎠
O bien:
648 x
+ 8x
x−4
Por tanto, los valores de x no pueden ser menores que 4, es decir, 4 < x < ∞ , por lo que el problema
consiste en minimizar x en ( 4,∞).
A=
La derivada de A es:
A9 =
( x − 4 )(648 ) − 648 x(1)
+8
( x − 4 )2
5
648 x − 2592 − 648 x
+8
( x − 4 )2
5
−2592 + 8( x − 4 )2
( x − 4 )2
5
−2592 + 8( x 2 − 8 x + 16 )
( x − 4 )2
5
8 x 2 − 64 x + 128 − 2592
( x − 4 )2
5
8 x 2 − 64 x − 2464
( x − 4 )2
Igualando la derivada de A con cero:
172
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8 x 2 − 64 x − 2464
=0
( x − 4 )2
Nos queda:
8 x 2 − 64 x − 2464 = 0
Factorizando, se tiene:
8( x 2 − 8 x − 308 ) = 0
8( x − 22)( x + 14 ) = 0
De donde:
x1 = 22 , x 2 = −14
Como 214 no pertenece al intervalo ( 4,∞), entonces, el único número crítico a considerar es 22.
Para valores de x en (4, 22) A9 , 0 y para valores de x en ( 22, ∞ ) , A9 . 0, entonces, A tiene su valor
mínimo en x 5 22.
Para este valor de x, el valor de y es:
y=
648
+8
22 − 4
648
+8
18
5 36 1 8
5
5 44
Esto significa que la hoja en la que se utilizará la menor cantidad de papel tiene como dimensiones
22 centímetros de ancho y 44 centímetros de alto, por lo que el material impreso en la hoja mide
(22 2 4)(44 2 8) 5 (18)(36) 5 648 cm 2 .
3. Calcular las coordenadas del punto P de la curva y = x 2 que esté más próximo al
punto A (3, 0).
y
Solución (véase figura 4.26):
La distancia entre los puntos P(x, y) y A(3, 0) es:
d = ( x − 3)2 + ( y − 0 )2
Es decir:
d = ( x − 3)2 + y2
En esta función hay dos variables pero como la ecuación de la curva es y = x 2,
entonces, y2 = x 4 , por lo que:
x
0
d = ( x − 3)2 + x 4
Desarrollando el binomio y ordenando términos se tiene:
(
Figura 4.26
)
d = x4 + x2 − 6 x + 9 5 x4 + x2 − 6 x + 9
1
2
Ahora d 5 f (x) cuya derivada es:
1
d
1
d95 ( x 4 1 x 2 26 x 19) 2 ( x 4 1 x 2 26 x 19)
dx
2
173
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
1
2
1
5 ( x 4 1 x 2 26 x 19) 2 ( 4 x 3 12 x 26)
2
5
5
4 x3 + 2x − 6
2 x4 + x2 − 6 x + 9
2x3 + x − 3
x4 + x2 − 6 x + 9
Igualando la derivada con cero se tiene:
2x3 + x − 3
x4 + x2 − 6 x + 9
=0
Por lo que:
2x3 + x − 3 = 0
Cuando x 5 1, el polinomio es cero; por tanto, x 21 es uno de sus factores, de manera que:
2 x 3 + x − 3 = ( x − 1)( 2 x 2 + 2 x + 3) = 0
Que tiene a x 5 1 como única raíz real pues en el segundo factor sus raíces son complejas.
Aplicando el criterio de la primera derivada se obtiene:
f9( 0 ) = −1 < 0
f9(1) = 0
f9( 2) =
15
17
>0
Como el signo algebraico de f 9(x) cambia de negativo a positivo, entonces, hay un mínimo cuando
x 5 1.
Evaluando la función y = x 2 en x 5 1 se obtiene:
y = 12
y51
Por tanto, el punto P tiene coordenadas (1, 1).
M
4. Una persona se halla en un punto P a la orilla de un río de 1 km de ancho. La persona camina, a orilla
del río, a 6 km por hora y trata de llegar a un punto M en la orilla opuesta situado a 8
km río arriba de P. Si puede remar río arriba a 2 km por hora, ¿qué ruta debe seguir para
emplear el menor tiempo en su recorrido?
Solución:
X
En la siguiente figura se ilustra el enunciado del problema (véase figura 4.27).
Q
8
8<x
Sea Q el punto en que la persona se embarca y d la distancia PQ 1 QM que debe recorrer para que el tiempo sea mínimo. Para ello se debe determinar el valor de x en [0, 8].
La distancia QM es:
QM = x 2 + 1 km
Y el tiempo que debe remar es:
P
1
Figura 4.27
174
x2 + 1
2
Grupo Editorial Patria®
La distancia PQ 5 (8 2 x) km y el tiempo que tarda en recorrerla es:
8− x
6
Entonces el tiempo total T en horas es:
x2 + 1 8 − x
+
2
6
T=
El problema consiste en minimizar T en [0, 8].
La derivada de T es:
1
2
6(21)
1 1
T 95 ? ( x 2 21) 2 (2 x )2
36
2 2
5
5
x
1
2 x +1 6
−
2
3x − x2 + 1
6 x2 + 1
Igualando la derivada con cero para determinar puntos críticos se obtiene:
3x − x2 + 1
6 x2 + 1
=0
3x − x2 + 1 = 0
3x = x2 + 1
Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene:
9x2 = x2 + 1
8 x2 = 1
x2 =
1
8
x=
1
1
=
8
8
x=
1
2 2
Racionalizando, se obtiene:
x=
x=
1
2 2
⋅
2
2
2
4
175
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
⎛
2⎞
⎟ km de P a Q y remar el resto en línea recta
Entonces, la persona debe caminar ⎜⎜8 −
4 ⎟⎠
⎝
de Q a M. En el recorrido tarda 1.8 horas, es decir, 1 hora 48 minutos.
5. De un tronco cilíndrico de madera hay que cortar una viga de sección rectangular y de resistencia
máxima. Hallar las dimensiones de la sección rectangular sabiendo que la resistencia o carga de ruptura (y) es proporcional a un coeficiente k propio del material, al ancho (x) de la viga y al cuadrado
del peralte (h).
Solución:
En la siguiente figura se ilustra el enunciado del problema (véase figura 4.28).
Por los datos del problema se tiene:
y = kxh 2
Por el teorema de Pitágoras en la figura se tiene:
h2 + x2 = d2
De donde:
h2 = d2 − x2
d=
Como:
2r
h
d 5 2 r,
h 2 = ( 2r )2 − x 2
Es decir:
h 2 = 4r 2 − x 2
x
Sustituyendo h2 en la función se obtiene:
y = kx( 4r 2 − x 2 )
O bien:
y = 4kxr 2 − kx 3
Figura 4.28
Considerando que los valores admisibles de x son 0 < x < d = 2r, entonces, los valores de x están
en el intervalo (0, 2r).
Calculando la derivada de la función se obtiene:
y9 = 4kr 2 − 3kx 2
Igualando la derivada con cero para determinar puntos críticos se obtiene:
4kr 2 − 3kx 2 = 0
Dividiendo entre k se obtiene:
4r 2 − 3 x 2 = 0
4r 2 = 3 x 2
4r 2
= x2
3
4r 2
=x
3
2r
3
176
=x
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Sustituyendo el valor de x 2 en:
h 2 = 4r 2 − x 2
Se obtiene:
h 2 = 4r 2 −
4r 2
3
De donde:
h = 4r 2 −
4r 2
3
h=
12r 2 − 4r 2
3
h=
8r 2
3
h=
r 8
h=
2r 2
C
D
3
A
3
B
La razón entre h y x es:
2r
2
14 7
h
3
5
5 2 <1 . 4 5 5
2r
10 5
x
3
F
E
Figura 4.29
Entonces, la resistencia máxima de la viga se obtiene cuando las dimensiones de la altura y el ancho
de la viga están en la razón 7:5.
En la práctica, se divide el diámetro CE del tronco en tres partes iguales CA 5 AB 5 BE. Por A y B se
trazan perpendiculares para obtener los puntos D y F. Uniendo los puntos C, D, E y F queda determinada la sección rectangular que se pide (véase figura 4.29).
En la siguiente gráfica se ilustra el enunciado del problema.
6. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se
puede inscribir en un cono circular dado.
a2h
Solución:
Sea b el radio de la base del cono y a su altura. El cilindro tiene radio r, altura h y
volumen v.
r
a
2
El volumen del cilindro es V 5 pr h.
h
En la siguiente figura se ilustran los elementos del problema y se busca la relación
entre ellos para expresar el volumen en función de una sola variable (véase figura
4.30).
Por semejanza de triángulos se obtiene:
a −h a
=
r
b
b
Figura 4.30
177
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Despejando h se obtiene:
a
a −h = ⋅r
b
a
a − ⋅r = h
b
Sustituyendo h en V = π r 2h se obtiene:
⎛ a ⎞
V = πr2 ⎜a − r ⎟
⎝ b ⎠
a
V = π ar 2 − π r 3
b
El problema consiste en maximizar V si r pertenece a [0, b].
La derivada de V respecto a r es:
a
V 9 = 2π ar − 3π r 2
b
⎛ 3 ⎞
5 π ar ⎜2 − r ⎟
⎝ b ⎠
Igualando la derivada con cero se obtiene:
⎛ 3 ⎞
π ar ⎜2 − r ⎟ = 0
⎝ b ⎠
De donde r 5 0, o bien:
3
2− r = 0
b
3
2= r
b
2b = 3r
2b
=r
3
Éste es el número crítico.
Cuando r 5 0 y r 5 b el volumen es cero; por tanto, para r 5
Si se sustituye r 5
2b
en:
3
a
h=a− r
b
Se obtiene:
a ⎛ 2b ⎞
h=a− ⎜ ⎟
b⎝ 3 ⎠
5 a−
5
178
a
3
2a
3
2b
el volumen es máximo.
3
Grupo Editorial Patria®
1
Esto significa que el volumen máximo del cilindro se obtiene cuando su altura es dela altura del
3
2
cono y su radio es del radio del cono, en el que se haya inscrito.
3
7. El precio de venta de un artículo es 100 2 0.2 x unidades de dinero, donde x es el número de
artículos que se producen en un día. Si el costo de producir y vender x artículos por día es C 5 40
x 1 15 000 unidades de dinero, ¿cuántos artículos se deben producir y vender en un día para que
la utilidad sea máxima?
Solución:
La utilidad se obtiene multiplicando el número de artículos producidos en un día por el precio de
venta de cada uno y a este producto se le resta el costo de producir y vender x artículos por día.
Esto es:
P 5 x (100 2 0.2 x) 2 (40 x 1 15 000)
P 5 100 x 2 0.2 x 2 2 40 x 2 15 000
P 5 20.2 x 2 1 60 x 2 15 000
La derivada de P respecto a x es:
dP
= −0.4 x + 60
dx
Igualando la derivada con cero se obtiene:
2 0.4 x 1 60 5 0
60 5 0.4 x
60
=x
0.4
1 50 5 x
Por tanto, la máxima utilidad diaria se obtiene cuando se producen y venden 150 artículos.
Aun cuando no hay un método general para la resolución de problemas de máximos y mínimos se
sugiere:
• Hacer un dibujo que ilustre las condiciones del problema utilizando variables que representen las
cantidades involucradas.
• Utilizar propiedades y teoremas aplicables para expresar algebraicamente la función de la que se
quiere calcular un máximo o un mínimo.
• A partir de las condiciones del problema se buscan relaciones que permitan expresar la función en
términos de una sola variable independiente.
• Se determina el intervalo de valores posibles de la variable.
• Se aplica la teoría de máximos y mínimos.
Ejercicios de cálculo
1. Halla el volumen máximo de una caja abierta (sin tapa) que se puede hacer con una hoja cuadrada de
cartón de 24 pulgadas por lado, recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.
Sugerencia: Haz un dibujo de una lámina cuadrada y en cada esquina un cuadrado de lado x. Por geometría se sabe que el volumen de la caja se obtiene multiplicando el área de la base por la altura.
179
B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
2. Una persona dispone de 60 metros de tela de alambre para cercar un jardín de forma rectangular que
colinda con una casa, por lo que sólo se requiere cercar tres lados. Halla las dimensiones del jardín de
manera que su área sea máxima.
Sugerencia: Dibuja un rectángulo con las condiciones del problema. Llama x al ancho y y al largo del rectángulo. Por geometría se sabe que el perímetro del rectángulo es igual a dos veces el ancho más el largo,
pues un lado colinda con la casa. Despeja y en términos de x y sustitúyela en el área del rectángulo.
3. Demuestra que el rectángulo de área máxima con perímetro P dado, es un cuadrado.
Sugerencia: Dibuja un rectángulo de ancho x y largo y. Por geometría se sabe en un rectángulo su perímetro es igual a la suma de sus lados y su área es igual al producto de sus dos dimensiones.
4. Un rectángulo tiene dos vértices en el eje x y los otros dos sobre la parábola y = 12 − x 2, con y $ 0.
Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima.
Sugerencia: Haz un dibujo que ilustre las condiciones del problema. Observa que en la ecuación de
la parábola su término lineal y indica que su eje focal es Y y su término cuadrático tiene coeficiente
negativo; por tanto, la parábola es cóncava hacia abajo. Llama (x, y) a un vértice del rectángulo que está
sobre la parábola.
5. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un círculo de
radio r.
Sugerencia: Dibuja las condiciones del problema. Observa que en el rectángulo inscrito de base x y
altura y, su diagonal es una constante igual al diámetro del círculo. Utiliza el teorema de Pitágoras para
expresar y en términos de x.
6. Se desea hacer una lata, con capacidad de un litro, que tenga la forma de un cilindro recto circular. Halla la
razón de la altura al radio de la base de manera que utilice la menor cantidad de material en la fabricación
de la lata.
Sugerencia: Dibuja un cilindro recto de radio r y altura h. De su fórmula para calcular el volumen, considera V 5 1 y despeja h en términos de r; sustituye h en la fórmula para calcular el área de un cilindro
recto.
7. Un terreno de forma rectangular tiene un área de 2700 m2; será cercado por
una barda y se empleará una barda adicional para dividir el terreno por la
mitad. El costo de la barda central es de $2 por metro lineal y el de la barda,
a lo largo de los lados, es de $3 por metro lineal. Halla las dimensiones del
terreno para que el costo de la barda sea mínimo.
Sugerencia: Dibuja un rectángulo de ancho x y largo y. Ilustra la barda adicional. A partir del área del rectángulo, despeja y en términos de x y sustitúyela en
el perímetro del rectángulo (que incluya la barda adicional).
8. Se fabricarán cajas cerradas de volumen específico cuya base es un rectángulo
con longitud igual al triple del ancho. Encuentra las dimensiones con las cuales se gastará la menor cantidad de material.
Sugerencia: Por las condiciones del problema, el volumen es un valor fijo que
depende de la altura. Considérese el volumen igual a la unidad, es decir, V 5 1. Despeja h en términos
de x y sustitúyela en la fórmula del área total de la caja.
9. Resuelve el problema anterior si la caja no tiene tapa.
Sugerencia: Por las condiciones del problema, el volumen es un valor fijo que depende de la altura.
Considérese el volumen igual a la unidad, es decir, V 5 1. Despeja h en términos de x y sustitúyela en
la fórmula para obtener el área lateral de la caja más su base.
10. Un depósito rectangular abierto tendrá una base cuadrada y su volumen será de 125 m3. El costo por
m2 para la base es de $8 y para los lados es de $4. Encuentra las dimensiones del depósito para que el
costo del material sea mínimo.
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Grupo Editorial Patria®
Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Expresa el volumen y despeja y en términos de x.
Expresa la ecuación de costo a partir del área de la base y el área lateral; en ella, sustituye y.
11. ¿Cuáles son las dimensiones más económicas de un depósito cilíndrico para
agua, sin tapa, si el costo de las paredes laterales, por decímetro cuadrado,
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equivale a del costo del fondo?
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Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. A partir del área del cilindro
establece el costo tomando en cuenta la equivalencia que se señala.
12. Una página tendrá un área impresa de 24 pulgadas cuadradas, un margen de
1.5 pulgadas en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulgada en los
lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la página más pequeña que cumple
con las condiciones establecidas?
Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Llama x a la base, y a la altura del área impresa. Del área impresa despeja y en términos de x y sustitúyela en el área de la página.
13. La suma de dos magnitudes variables es la constante k. ¿Cuándo es máximo el producto P de esas
magnitudes?
Sugerencia: Utiliza x y y para expresar la suma y el producto de las variables. Despeja y en la suma y
sustitúyela en el producto.
14. Un barco B se halla a 75 millas al este de otro barco A. Si B navega hacia el oeste a 12 millas por hora
y A hacia el sur a 9 millas por hora, halla cuándo se encontrarán más próximos ambos barcos.
Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Llama t al tiempo en el que los barcos estarán a
una distancia mínima. Expresa la distancia hacia el oeste como 75 2 12t y la distancia hacia el sur
como 9t. Utiliza el teorema de Pitágoras para relacionar las dos distancias.
15. Una ventana tiene la forma de un rectángulo, terminado por un semicírculo. Si el perímetro total
de la ventana es de 9 metros, halla las dimensiones que ha de tener para que deje pasar la máxima
cantidad de luz.
Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Observa la relación que existe entre la base x de
la ventana y el radio r del semicírculo. A partir del perímetro de la ventana despeja su altura h en
términos de x y sustitúyala en el área de la ventana.
16. Se quiere bardear dos corrales rectangulares idénticos, cada uno de 900 metros cuadrados de área.
¿Cuánto deben medir dos lados consecutivos de un corral para que se necesite la mínima cantidad
de barda?
Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Utiliza las variables x y y para representar las condiciones del terreno. A partir del área, despeja y en términos de x y sustitúyela en el perímetro que
incluye la barda divisoria.
17. En el problema anterior la barda divisoria cuesta $1 por metro lineal mientras que la barda exterior
cuesta $2 por metro lineal. ¿Qué dimensiones se refieren para que la barda sea menos costosa?
Sugerencia: A partir de área, despeja y en términos de x y sustitúyela en el perímetro de la figura.
Para expresar el costo de la barda exterior e interior se multiplica cada término de ellas por su respectivo costo.
18. Una caja sin tapa de 36000 pulgadas cúbicas tiene una base rectangular cuya longitud es el doble
de su anchura. Halla las dimensiones de la base para que se ocupe la menor cantidad de material
en su fabricación.
Sugerencia: Haz un dibujo en el que utilices x y y para el ancho y largo de la base, y h para la altura de la
caja. A partir del volumen despeja la altura en términos de la base y sustitúyela para calcular el área de
la base y lateral de la caja.
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B4
Cálculo e interpretación de máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
19. Se construirá una cisterna de base cuadrada para contener 12 000 pies cúbicos de
agua. Si la tapa metálica cuesta el doble
que los lados y la base de concreto, ¿cuáles
son las dimensiones más económicas de la
cisterna?
Sugerencia: Dibuja la cisterna de base cuadrada, de lado x y altura h. A partir del
volumen despeja h en términos de la base y
sustitúyela en el área total de la figura. Para
el cálculo del costo considera el área total de
la figura y que la tapa cuesta el doble.
Comprueba
tus saberes
Ha llegado la hora de que demuestres realmente cuánto has aprendido, hemos terminado este bloque y ahora ya conoces
muchas cosas nuevas. En esta sección encontrarás una evaluación que abarca todo el conocimiento adquirido en este bloque, contéstalo lo mejor que puedas.
1
1. Encuentra los números críticos de f (x) 5 2x 3 2 3x 2 2 12x 1 2.
1 en el intervalo (22, 3)
2. Encuentra los extremos absolutos (si es que los hay) de la función f (x) 5 —
x
3. Encuentra dos números que sumen 20 y su producto sea máximo.
4. Encuentra los intervalos en que la función f (x) 5 x 3 2 9x 2 1 15x 2 2 es creciente y los intervalos en que es decreciente.
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5. Encuentra los extremos relativos de la función f (x) 5 x 3 2 5x 1 6.
1
6. Dada la función f (x) 5 x 3 2 3x 2 1, determina dónde es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. Encuentra los
puntos de inflexión, si existen.
7. Construye la gráfica de f (x) 5 2x 3 2 6x 1 1.
8. Demuestra que el volumen máximo de un cilindro recto se obtiene cuando su altura y su diámetro son iguales.
9. Demuestra que la cantidad de material necesario para construir un cilindro recto es mínima cuando su altura y su diámetro son
iguales.
10. Demuestra que para un perímetro dado el área máxima de un triángulo se obtiene cuando es equilátero.
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Glosario
Cóncavo. Región interior de una curva que se asemeja al interior de una circunferencia
Constante. Valor fijo que no cambia respecto al
tiempo
Derivada. Pendiente de la recta tangente en un
punto determinado de una función
Intervalo. Conjunto acotado de valores
Límite. Valor al que tiende una variable
Máximo. El mayor valor dentro de un conjunto
Mínimo. El menor valor dentro de un conjunto
Punto de inflexión. Frontera entre las regiones
cóncava y convexa de una función
Tangente. Recta que toca a una curva o a una superficie en un punto sin cortarlas
Variable. Magnitud que puede tener un valor
cualquiera de los comprendidos en un Conjunto:
Totalidad de entes matemáticos que comparten
características en común
Bibliografía
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http://mathworld.wolfram.com
http://demonstrations.wolfram.com
http://www.mathworks.com
http://www.gnu.org/software/octave/
http://www.maplesoft.com
http://www.maplesoft.com/studentcenter/index.aspx
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