Movimiento periódico Movimiento que se repiten una y otra vez vibración de un cristal de cuarzo en un reloj, Péndulo de un reloj, movimiento de pistones combustión de un motor de Descripción de la oscilación X desplazamiento con respecto al equilibrio [m] Fuerza de restitución fuerza que tiende a regresar a la partícula a su posición de equilibrio [N]. Amplitud A máximo desplazamiento con respecto al equilibrio. Rango de movimiento 2A [m] Ciclo Una oscilación completa. Periodo T tiempo de un ciclo, [s] Frecuencia (f) número de ciclos por unidad de tiempo [Hz=hertz=1/s] f=1/T Frecuencia angular 2f Movimiento Armónico Simple MAS Ley de Hooke: La fuerza es proporcional al desplazamiento y en sentido contrario Fuerza de restitución directamente proporcional al desplazamiento La aceleración (depende de x) y el desplazamiento tiene signos opuestos https://www.youtube.com/watch?v=klIlCfte0UM Minuto 11 Minuto 22:15 Solución: Comprobemos: ahora: Comparando con la ecuación anterior: Frecuencia angular Ahora, si t = 2/ y reemplazo Entonces: En el MAS, T y f no dependen de la amplitud A Desplazamiento, velocidad y aceleración en el MAS El desplazamiento: = ángulo de fase, punto del ciclo en que se encontraba el mvto cuando t=0. La posición es una función periódica cosenoidal del tiempo. Desplazamiento Velocidad y Aceleración: Energía en el MAS Fuerza elástica es conservativa y la masa del resorte despreciable. La energía mecánica total es constante: Emecanica 𝐸𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎 1 2 1 2 mvx kx cte 2 2 1 2 1 2 = 𝑘𝐴 = 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥 2 2 Problemas propuestos capitulo 14 edición 13 Ejemplos del capitulo Preguntas: 1, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 18 Problemas: 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 17, 19, 23, 26, 28, 31, 32, 34, 42, 47, 54, 56, 58, 62, 68, 71, 72,73 76, 78 , 85, 86, 88, 91, 95, 97 En el primer parcial entra MAS no se incluye movimiento oscilatorio forzado ni amortiguado. Se inicia la medición cuando un cuerpo que se mueve con un movimiento armónico simple está desplazado 0,60m a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2,2 m/s hacia la derecha y una aceleración de 8,40m/s2 a la izquierda. Determine: • La frecuencia angular de las oscilaciones. • La distancia que recorrerá el objeto, antes de detenerse momentáneamente para iniciar su movimiento hacia la izquierda • Las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Aplicaciones del MAS MAS se puede representar en cualquier sistema donde la fuerza de restitución sea proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio. Con esto se puede establecer f, T y MAS vertical F 0 F ma k l x mg ma d 2x kx m 2 dt Péndulo simple Fuerzas que se ejercen: 𝐹 = 𝑚𝑎𝑦 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑤 = 𝑚𝑎𝑥 Como 𝜃 ≪ 𝑎𝑦 → 0 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≈ 1 𝑇=𝑤 𝑥 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 𝑙 𝑑2 𝑥 𝑔 =− 𝑥 2 𝑑𝑡 𝑙 𝐹 = 𝑚𝑎𝑥 L −𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 −𝑇 = 𝑚𝑎𝑥 𝑙 Así: Frecuencia angular: g L Péndulo físico La fuerza tangente es quien cambia la velocidad I 𝑑 × 𝑤 = 𝐼𝛼 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 − 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 × −𝑚𝑔𝑗 = 𝐼𝛼 d 2 mgdsen I 2 dt sen si Así: d 2 mgd 2 dt I Frecuencia angular: mgd I cos t I ICM M d 2 Oscilaciones amortiguadas Movimiento resultante cuando existen fuerzas disipativas. Con el tiempo las oscilaciones cesan. Amortiguamiento: disminución de la amplitud causada por la fuerza disipativa Consideremos Famortiguamiento= Fa proporcional a la velocidad Fel Fa bvx n Fa w F mat Solución kx bvx mat xt Ae b 2m d 2 x b dx k x0 2 dt m dt m t cos t donde Ec. diferencial k b2 m 4m 2 Frecuencia angular del sistema amortiguado xt A0e b 2m cos t t Amortiguamiento crítico k b2 0 2 m 4m b 2 km Vuelve a posición de equilibrio sin oscilar sobreamortiguamiento b 2 km Regresa a posición de equilibrio más lentamente subamortiguamiento b 2 km Sistema oscila con amplitud decreciente. donde k b2 m 4m 2 Energía en el oscilaciones amortiguada Emecanica 1 2 kA 2 Como la amplitud decrece, también la energía b t 1 2 1 2m E kA k A0 e 2 2 Cambio de la E con respecto a t 𝑑𝐸 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑘𝑥 + 𝑚𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 1 2 b m t E t kA0 e 2 t m Et E0 e 1 2 1 𝐸 = 𝑘𝑥 + 𝑚𝑣 2 2 2 𝑘 𝑑2𝑥 = 𝑚𝑣 𝑥+ 2 𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝐸 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 = = −𝑏𝑣 2 𝑑𝑡 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑚𝑣 − 𝑚 𝑑𝑡 b Una cuerda de bungee tiene una constante de elasticidad de 142 N/m, atado a ella se deja caer una persona cuya masa es de 80 kg. • Si la energía de oscilación se reduce hasta quedar en un 35 % de su valor inicial, durante las tres primeras oscilaciones, ¿Cuál es el coeficiente de amortiguamiento del medio? • ¿Cuál es la frecuencia angular de oscilación del sistema? De su resultado con 4 cifras decimales . Oscilaciones forzadas y resonancia http://www.xatakaciencia.com/fisica/video-fisica-o-hechiceria Oscilaciones forzadas y resonancia Se aplica una fuerza externa impulsora al Oscilador armónico amortiguado Amplitud depende de k, m 𝜔𝑑 Fext Fmax cos d t Fuerza externa cosenoidal Fel Fext n w 𝑑2 𝑥 𝑘 + 𝑥 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐴𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡 Donde: 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝐴𝛾 = 𝑚 𝜔02 − 𝜔𝑑2 Video de resonancia Oscilaciones forzadas, amortiguadas y resonancia Se aplica una fuerza externa impulsora al Oscilador armónico amortiguado Amplitud depende de k, m y b Fuerza externa cosenoidal Fel Fext Fmax cos d t Fa n Fext w 𝑑 2 𝑥 𝑏 𝑑𝑥 𝑘 + + 𝑥 − 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡 = 0 2 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑥 𝑡 Donde: = 𝐴𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝐴𝛾 = 𝑚 2 𝜔2 𝑏 𝑑 𝜔02 − 𝜔𝑑2 2 + 𝑚2 http://www.xatakaciencia.com/fisica/video-fisica-o-hechiceria Video Un objeto de 2,0 kg oscila sobre un resorte que tiene una constante fuerza igual a 400 N/m- La constante de rozamiento tiene un valor de b=2,0 kg/s. El sistema esta forzado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10,0 N y una frecuencia angular d=10,0 rad/s. a. ¿Cuál es la amplitud de oscilación? b. ¿Si la frecuencia impulsora se varía, a que frecuencia ocurre la resonancia? c. ¿Cual es la amplitud en la resonancia? 1. Una masa de 0,350 kg conectada a un resorte oscila con una frecuencia de 3,0 Hz, con una amplitud A=0,15m. Determine: a. La rapidez cuando pasa por el punto de equilibrio. b. La energía total del sistema. c. La rapidez cuando pasa por X=0,10 m. d. El tiempo que tarda en desplazarse desde X=0 m hasta X=0,15m. Una masa de 0,5 kg unida a un resorte con constante elástica K = 8,8 kg/s2, se encuentra en movimiento armónico simple a lo largo del eje x con una amplitud A. La posición de equilibrio de la partícula es en x = 0. En t = 0 s, la partícula está en x = +0,12 m y se mueve con una rapidez de + 0,67 m/s. A. Obtenga para éste movimiento la amplitud A, el ángulo de fase y las expresiones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. B. Calcule el intervalo de tiempo requerido para que la partícula alcance la posición x = - A respecto a su posición inicial en t = 0 s C. Si una fuerza amortiguadora con constante de amortiguación de b=0,7kg/s y una fuerza externa de amplitud Fo = 1,0 N y frecuencia angular e, actúan sobre el sistema, calcule la amplitud de oscilación para la condición de resonancia Energía en el oscilaciones amortiguada Fuerza amortiguadora no es conservativa, la energía mecánica total no se conserva 1 2 1 2 Emecanica mvx kx 2 2 dEmecanica dv dx Rapidez de cambio de la energía: mv kx dt dt dt dEmecanica dv dx mv kx dt dt dt dEmecanica vx (ma kx) vx (vxb) dt dEmecanica bvx2 dt El cuerpo en movimiento siempre pierde energía con una tasa que depende de la velocidad Condiciones iniciales Si X0=0 v0=3,0 m/s, K=10 N/m m=0,1 kg. Determine la amplitud y el ángulo de fase Conociendo la posición y la velocidad iniciales, de puede determinar A Así: Usando estas dos ecuaciones se puede determinar A