Algebra Matricial

ALGEBRA MATRICIAL
MAURICIO JAVIER PERTUZ PARRA
CURSO PROPEDEUTICO PARA EL INGRESO A LA MAESTRIA EN
INGENIERIA CIVIL
AREA DE CONCENTRACION: GEOTECNIA
MATEMÁTICAS
(MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA GEOTECNIA)
DR. MOISES JUAREZ CAMARENA
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CIUDAD DE MEXICO, MEXICO
09 DE FEBRERO DE 2022
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
1. FUNDAMENTO TEORICO
1.1. ALGORITMO
Son una serie de normas o leyes específicas que hace posible la ejecución de
actividades, cumpliendo una serie de pasos continuos que no le originen dudas a la
persona que realice dicha actividad, esto significa que un sujeto puede realizar un
algoritmo sin utilizar una computadora y sus pasos son finitos.
1.2. PSEUDOCÓDIGO
Al tener un algoritmo, es necesario un lenguaje que permita la descripción de los pasos
para resolver un problema y moldear la representación de la solución; esto significa que,
a partir de la descripción de la solución, otra persona ajena al que escribió el algoritmo
será capaz de llegar a la misma solución.
1.3. DIAGRAMA DE FLUJO
Es la forma en la que se procesan los datos principalmente en las funciones importantes
o las estaciones de trabajo.
También se conoce como las operaciones y decisiones en la secuencia en que las
ejecutará una computadora de procesamiento de datos y cada uno de los símbolos
representa operaciones e indicaciones del orden que se ejecutará. La simbología
utilizada para la elaboración de diagramas de flujo es variable y debe ajustarse a un
patrón definido previamente. El diagrama de flujo representa la forma más tradicional y
duradera para especificar los detalles algorítmicos de un proceso. Se utiliza
principalmente en programación, economía y procesos industriales.
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Símbolos:
1.4. ÁLGEBRA DE MATRICES
Se le denomina matriz mxn a un conjunto rectangular de elementos A (i,j)
dispuestos en m (líneas horizontales- filas) y n (verticales – columnas). Se utilizan
en cálculo numérico, solución de sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones
diferenciales y derivadas parciales; apartes actualmente una parte esencial en los
lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en las
computadoras como tablas organizadas en filas y columnas. Dependiendo a los
elementos se clasifican:
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• Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0.
 Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
 Matriz escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos pertenecientes a la
diagonal principal son iguales.
 Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.
 Matriz triangular: Es una matriz cuadrada cuyos elementos que están a un
mismo lado de la diagonal principal son cero.
1.5. OPERACIONES MATRICIALES
•
Trasposición de matrices. Dada una matriz de orden m x n, A (i,j), se llama matriz
traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las
filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
•
Suma y diferencia de matrices. La suma de dos matrices A(i,j), B(i,j), es otra
matriz S(i,j) del mismo orden que los sumandos y con término genérico
S(i,j) =A(i,j) + B(i,j)
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas deben ser del mismo orden o
dimensión.
•
Producto de una matriz por un escalar. El producto de una matriz A(i,j) por un
número real k es otra matriz B(i,j) de la misma dimensión que A y tal que cada
elemento de B se obtiene multiplicando A(i,j) por k, es decir:
B(i,j) = k * A (i,j)
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•
Producto de matrices. Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P
cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B
elemento a elemento. Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir
con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión mxn y B dimensión n x
r, la matriz P será de orden mxr.
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2. DIAGRAMA DE FLUJO OPERACIONES MATRICIALES
Nota:
Se anexa el diagrama de flujo en archivo .jpeg para mejor visualización
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3. PSEUDOCODIGO OPERACIONES MATRICIALES
INICIO
Introducir Operación a realizar, escoger del menú inicial y se define h con un numero
de caso del 1 al 5.
Caso 1
Matriz Transpuesta
Introducir Orden de la Matriz y la Matriz A (m,n)
Visualizar Matriz A(m,n)
Bucle Para i=1 hasta i=m
Bucle Para
j=1 hasta j=n
Hacer At(j,i)= A(i,j)
Fin para Cuando j=n
Fin para Cuando i=m
Visualizar Matriz Transpuesta de A =
Visualizar At
Caso 2
Suma de Matrices
Introducir Orden de la Matriz A y la Matriz A (m,n)
Introducir Orden de la Matriz B y la Matriz B (x,y)
Si m == x & n == y
Bucle Para i=1 hasta i=m
Bucle Para
j=1 hasta j=n
Hacer C(i,j)= A(i,j) + B(i,j)
Fin para Cuando j=n
Fin para Cuando i=m
Visualizar Matriz A y Matriz B
Visualizar “A + B = ” Matriz C
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Sino Imprimir “Matrices A y B de diferente dimensión, no es posible realizar la
operación.”
Caso 3
Restas de Matrices
Introducir Orden de la Matriz A y la Matriz A (m,n)
Introducir Orden de la Matriz B y la Matriz B (x,y)
Si m == x & n == y
Bucle Para i=1 hasta i=m
Bucle Para
j=1 hasta j=n
Hacer C(i,j)= A(i,j) - B(i,j)
Fin para Cuando j=n
Fin para Cuando i=m
Visualizar Matriz A y Matriz B
Visualizar “A - B = ” Matriz C
Sino Imprimir “ Matrices A y B de diferente dimensión, no es posible realizar la operación.
Caso 4
Multiplicación de Matriz por un escalar
Introducir Orden de la Matriz A y la Matriz A (m,n)
Introducir Orden de la Matriz B y la Matriz B (x,y)
Introducir Multplicador matriz A, r
Bucle Para i=1 hasta i=m
Bucle Para
j=1 hasta j=n
Hacer B(i,j)= A(i,j) * r - B(i,j)
Fin para Cuando j=n
Fin para Cuando i=m
Visualizar Matriz A
Visualizar “A * r = ” Matriz B
Caso 5 Multiplicación de Matrices
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Introducir Orden de la Matriz A y la Matriz A (m,n)
Introducir Orden de la Matriz B y la Matriz B (x,y)
Si n == x
Bucle Para i=1 hasta i=m
Bucle Para
j=1 hasta j=y
Hacer C(i,j)= 0
Bucle Para
k=1 hasta k=n
Hacer C(i,j)= C(i,j) + A(i,k) * B(k,j)
Fin para Cuando k=n
Fin para Cuando j=y
Fin para Cuando i=m
Visualizar Matriz A y Matriz B
Visualizar “A * B = ” Matriz C
Sino Imprimir “No es posible realizar la operación.”
FIN
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4. PRUEBA DE FUNCIONAMIENTO
La validación del código creado para el presente proyecto se realizará mediante la
ejecución del programa en cuatro ejemplos previamente desarrollados de forma manual.
4.1
VALIDACION DE CODIGO PARA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ:
Hallar la matriz transpuesta de la siguiente matriz:
5
𝐴𝐴 = �6
7
5 4 1
2 6 3�
9 2 8
Solución: Teniendo en cuenta la teoría se realiza la transposición de las columnas por
las filas de la Matriz A.
5
𝐴𝐴𝑇𝑇 = �5
4
1
6
2
6
3
7
9�
2
8
Evidencia de validación del código en Imagen 1.
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Imagen 1. Validación del resultado “Transpuesta de una matriz” con el código computacional.
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4.2
VALIDACION DE CODIGO PARA SUMA DE MATRICES:
Hallar la suma de las matrices A y B:
Solución:
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4
𝐴𝐴 = �12
25
5
3
9
10
𝐵𝐵 = �12
2
5
−2
34
8
2 �
2
0
2 �
−1
4 + 10
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �12 + 12
25 + 2
5+5
3−2
9 + 34
14
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �24
27
8
4 �
1
10
1
43
12
8+0
2+2 �
2−1
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Imagen 2. Validación del resultado “Suma de Matrices” con el código computacional.
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4.3
VALIDACION DE CODIGO MULTIPLICACION MATRIZ POR ESCALAR:
Resolver la siguiente operación.
𝐵𝐵 = 15 ∗ 𝐴𝐴
Solución:
5 10
25
54
𝐴𝐴 = �
9 −3
1 0
1
−2�
0
1
5 10
25
54
𝐵𝐵 = 15 ∗ �
9 −3
1 0
1
−2�
0
1
5 ∗ 15 10 ∗ 15
25
𝐵𝐵 = � ∗ 15 54 ∗ 15
9 ∗ 15 −3 ∗ 15
1 ∗ 15 0 ∗ 15
75 150
375
810
𝐵𝐵 = �
135 −45
15
0
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15
−30�
0
15
14
1 ∗ 15
−2 ∗ 15�
0 ∗ 15
1 ∗ 15
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Imagen 4. Validación del resultado “Matriz por un escalar” con el código computacional.
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4.4
VALIDACION DE CODIGO MULTIPLICACION ENTRE MATRICES:
Resolver la siguiente operación.
𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶
5
𝐴𝐴 = �5
9
1
0
4
3
0
9
2�
0
9
1
𝐵𝐵 = �8
4
0
2
3
6
0
7
9
8
5
7
1�
0
Solución:
5 + 0 + 36 0 + 0 + 27 30 + 0 + 63
5
𝐶𝐶 = � + 32 + 8 0 + 8 + 6 30 + 0 + 14
9 + 24 + 0 0 + 6 + 0 54 + 0 + 0
1 + 0 + 36 0 + 0 + 27 6 + 0 + 63
41
𝐶𝐶 = �45
33
37
27
14
6
27
93
44
54
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45 + 0 + 45 35 + 0 + 0
45 + 32 + 10 35 + 4 + 0�
81 + 24 + 0 63 + 3 + 0
9 + 0 + 45
7+0+0
90 35
87 39 �
105 66
54
7
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Imagen 5. Validación del resultado “Multiplicación de Matrices” con el código computacional.
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5. VALIDACION DE CODIGO PARA REACTIVO 2
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2
𝐴𝐴 = �−1
1
0 −3
4
0 �
−6 5
2 −1
𝐴𝐴𝑇𝑇 = � 0
4
−3 0
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1
−6�
5
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2
𝐵𝐵 = �−1
9
−3
6
11
2 −1
𝐵𝐵𝑇𝑇 = �−3 6
4
5
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4
5 �
−2
9
11 �
−2
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6. CONCLUSION
El empleo de las matrices es de un uso constante para el ingeniero civil, pues son
empleadas para la solución de varios casos que se presentan en las diferentes áreas de
la disciplina tanto en estructuras como en geotecnia, se debe tener muy presente la forma
en la que se solucionan, debido a que un manejo inconsciente de las mismas puede
desencadenar desastres o no entender el uso de programas básicos para el ingeniero.
Con este trabajo se logró desarrollar de forma puntual diversos programas de
computadora que permiten solucionar los casos diversos de las operaciones básicas con
matrices, además de desarrollar las habilidades necesarias para la programación. De
forma simultánea razonar en cómo mantener un proceso constante y sin variación permite
realizar las pruebas de escritorio más diversas, llegando siempre al mismo resultado.
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7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Stanley I. Grossman, José Job Flores Godoy. (2012). Algebra Lineal. Ciudad de
México: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A DEC.V.
2. CASTRO J., Cucker F., Messeguer X., Rubio A., Solano L. y Valles B. (1993). Curso
de Programación. Madrid España. McGraw Hill p. 4.
3. E. Alcalde, M. García. Metodología de la programación. Aplicaciones en Basic,
Pascal, Cobol. Serie: Informática de gestión. McGraw-Hill, 1989.
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