dlscrib.com-pdf-problemas-de-formulacion-de-modelos-de-programacion-lineal-dl 4bd81c004f0613f04524337d60cb00a4

Colección
Colecci´
on de problemas de formulación
formulaci´
on de modelos de
Programación
Programaci´
on Lineal
´ lvar o Garc
Alvaro
Á
Gar c´ıa
ı́a Sánchez,
S´
anchez, Miguel Ortega Mier
3 de marzo de 2013
5
´
Índice
Indice
1.
7
1.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
1.2. Res
Resolu
oluci´
cióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
7
7
13
2.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
2.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
13
13
19
3.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.
3.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
19
20
22
4.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.
4.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
22
22
24
5.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
24
25
6.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.
6.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.
25
26
28
7.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.
7.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
28
28
31
8.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.
8.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.
31
31
33
9.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.
9.2. Res
Resoluc
oluci´
ióon
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.
33
34
37
10.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.
37
38
42
11.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.
42
42
46
12.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.
46
46
48
13.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
48
48
14.
52
14.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.Ejercicio
52
52
54
15.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.Ejercicio
54
54
55
16.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.Ejercicio
55
55
56
17.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.Ejercicio
56
56
57
18.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.Ejercicio
57
57
58
19.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.Ejercicio
58
58
59
20.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.Ejercicio MME-1213-ENE-2
59
59
61
21.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.Ejercicio
61
61
62
22.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.Ejercicio
62
62
65
23.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.Ejercicio
65
65
66
24.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.Ejercicio
66
66
68
25.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.Ejercicio
68
69
26.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.Ejercicio
69
69
70
27.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
70
71
28.Ejercicio
72
28.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.Ejercicio MME-1213-ENE-3
74
29.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.Ejercicio
74
74
75
30.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.Ejercicio
75
75
76
31.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.Ejercicio
76
76
78
32.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.Ejercicio
78
78
80
33.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.Ejercicio
80
80
82
34.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.Ejercicio
82
82
83
35.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36.Ejercicio
83
83
85
36.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37.Ejercicio
85
85
87
37.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38.Ejercicio
38.1. Enunciado . . . . . . . . . . .
38.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . .
38.3. Enunciado . . . . . . . . . . .
38.4. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . .
38.5. Enunciado MME-1213-ENE-4
38.6. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . .
72
73
87
87
88
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39.Ejercicio
88
88
90
90
91
91
92
39.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
92
92
40.Ejercicio
93
40.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40.2. Resolució
Resoluci´on
n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
93
93
´
ÍIndice
INDICE
´
ÍNDICE
ndice
6
7
1
1.
1.
1.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Un fabricante de refrescos F R produce tres modalidades (A
( A, B y C ), cada una en su propio formato:
de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante está
est´a comprometido a entregar a un gran
distribuidor GD (su unico
único
´
cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramos
diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la
de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos económicos
econ´omicos de A, B y C, y siendo x j los miles de
botellas de la modalidad j a envasar diariamente, F R ha planteado el siguiente modelo de programación
programaci´on
lineal (c y b están
est´an expresados en miles):
max z = 5x
5x1 + 6x
6 x2 + 8x
8 x3
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 ≤ 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 = 20
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(1)
1. Obtener el plan ´optimo
óptimo de envasado de F R.
2. Determinar
Determinar el significado de los mult
multiplica
iplicadores
dores del simplex de las dos restriccione
restricciones.
s.
3. A F R le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades)
restrinja su suministro a un máximo
m´aximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimización,
postoptimizaci´on,
introducir esta nueva restricción
restricci´on y determinar su repercusi´
repercusión.
on.
4. Mediante el correspondiente análisis
an´alisis de sensibilidad, determinar la repercusi´
repercusión
on en el mix de envasado
de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x2
y x 3 ).
5. Determinar la validez del mix de producción
producci´on ante posibles variaciones en la demanda total de
refrescos, que se traducirı́an
traducir´ıan en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizando
el análisis
an´alisis de sensibilidad.
sensibilidad.
6. El formato de 3 litros (modalidad A, x1 ) puede estar especialmente afectado por los cambios en
los mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programación
programaci´on paramétrica
param´etrica,, analiza
an alizarr el
conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en función
funci´
on de cualquier valor no negativo
de la contribuc
contribuci´
ión
on unitaria al beneficio del producto A.
7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean múltiplos
m´ultiplos exactos de mil para cada
modalidad. A partir de la resolución
resoluci´on del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un plano
secante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteración,
iteraci´on, introducir la
restrcción
restrcci´
on correspondiente
corresp ondiente en la tabla de la soluci´
solución
on ´óoptima
ptima hasta el momento.
1.
1.2.
2.
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
max z = 5x
5x1 + 6x
6 x2 + 8x
8 x3
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 ≤ 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 = 20
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(2)
El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades8
(idéntido
(id´
entido al problema anterior en términos
t´erminos del sistema que representa):
representa ):
1
max z = 5x
5x1 + 6x
6 x2 + 8x
8 x3
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 + h1 = 25
1 x3 = 20
2 x2 + 1x
3x1 + 2x
(3)
x1 , x2 , x3 ≥ 0
No existe solución
soluci´on básica
b´asica factible inmediata, por lloo que es necesario utilizar el método
m´etodo de las dos fases
o de la M grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P  :
max z = −a
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 + h1 = 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 + a = 20
x1 , x2 , x3 , a ≥ 0
(4)
soluci´on básica
b´asica factible de partida con las
Para el prob
problema
lema P  es posible encontrar una solución
h
a,
a
h
a
actividades básicas
b´asicas 1 y , con valores 1 = 20 y = 20. Al aplicar el método
m´etodo del Simplex, en su variante
de la matriz completa, para esa solución
soluci´on b´
básica
asica se obtiene la siguiente tabla:
Apartado 1.
h1
a
x1
3
5
2
3
20
0
25
2200
x2
2
6
3
2
x3
1
8
4
1
h1
0
0
1
0
a
0
0
0
1
(V B fase 1)
(V B fase 2)
a , se obtiene:
Introducie
Int
roduciendo
ndo en la base x 1 y sacando a,
h1
x1
0
- 100/3
35/3
2200/3
x1
0
0
0
1
x2
0
8/3
5/3
2/3
x3
0
19/3
10/3
1/3
h1
0
0
1
0
a
--11
- 5/3
- 2/3
1/ 3
(V B fase 1)
(V B fase 2)

a =V0,
B por lo que es una solución
soluci´
La tabla
anterior
corresponde
a unapero
soluci´
solución
del problema
≤ 0. Introduciendo
básica
b´asica
factible
del problema
original,
noon´optima,
óptima,
porquePnodonde
cumple
en on
la
base x 3 y sacando h 1 , se obtiene:
x3
x1
0
-111/2
77//2
1111/2
x1
0
0
0
1
x2
0
- 1/2
1/2
1/2
x3
0
0
1
0
h1
0
- 19/10
3/10
-1/10
a
-1
- 2/5
- 1/5
2/5
(V B fase 1)
(V B fase 2)
La tabla anterior corresponde a la solución
soluci´on optima
´óptima del problema original (V
(V B ≤ 0). El programa de
producción
producci´
on optimo
´óptimo consiste en:
Producir 5500 refrescos de 1/3l, ningún
ning´un refresco de 1/2l y 3500 de 1l.
Se consumen todo el material disponible para producir las botellas (h
( h1 = 0)
π B = c B B −1 ) se pueden calcular, a partir de la tabla,9
Los multiplicad
multiplicadores
ores del simpl
simplex
ex ((π
de la siguiente
siguiente manera:
1
Apartado
2.
π1B = −VhB = 19/
19 /10
1
B
π2 = −VaB = 22//5
La interpretación
interpretaci´on de los mismos es la siguiente:
π1B = 19/
19 /10. Si ∆b
∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 19/
19/10. La empresa estar´
estarı́a
ıa dispuesta a pagar hasta 1900 unidades
monetarias para disponer de 1 kg más
m´as diariamente. Igualmente, estarı́a
estar´ıa dispuesta a vender 1 kg si
recibiera
recibi
era por ello cualquier cantidad
cantidad superior a 1900 unidades moneta
monetarias.
rias.
π2B = 2/5. Si ∆b
∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 2/5. La empresa podriá
podri´a obtener un beneficio mayor (4/
(4/5) si el
compromiso fuera entrgar 21000 botellas y no 20000, por lo que este compromiso está
est´a actuando
como una limitación.
limitaci´on. F R estar
estar´ı́ıaa dispuesta a renego
renegociar
ciar el compromiso para pasar a 21000 botellas,
siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias.
En términos
t´erminos del planteamiento
planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traducir´
traducirıa
ı́a en la
siguiente restricción:
restricci´on:
x1 + x2 + x3 ≤ 6 ⇒ x1 + x2 + x3 + h3 = 6
Apartado
Apart
ado 3.
Tras introducir la nueva restricción
restricci´on y modificarla convenientemente para que x1 , x3 y h3 sean las
variables básicas,
b´asicas, se obtiene la solución
soluci´on correspondiente a la siguiente tabla, que es una solución
soluci´on que
cumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h 3 e introduciendo h 1 )
se obtie
obtiene
ne la siguiente
siguiente tabla.
x3
x1
- 111/2
77//2
1111/2
6
1/ 2
--33
- 111/2
77//2
1111/2
--33
-27
--11
7
x1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
x2
-1/2
1/2
1/2
1
1/2
0
-1/2
1/2
1/2
0
--11/2
1/2
1/2
x3
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
h1
- 19/1 0
3/1 0
- 1/10
0
1/1 0
- 1/5
- 19/1 0
3/1 0
- 1/10
- 1/5
0
0
0
h3
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
- 19 /2
3/2
- 1/2
h1
15
0
0
0
1
-5
x3
x1
h3
x3
x1
h3
La ´ultima
última tabla corresponde a una solución
soluci´on no factible (x
(x3 ≤ 0) y no existe ninguna tasa de sustitución
sustituci´on
de esa variable con respecto a las no básicas
b´asicas que sea negativa. Al introducir la nueva
nueva restricci´
restricción
on el problema
no tiene solución
soluci´on factible. Si el prov
proveedor
eedor de tapones hiciera como se dice, no ser
ser´ıa
ı́a posible obtener
obtener un
programa de producción
producci´on que cumpliera con todas las restricciones.
composici´on del mix de producción
producci´on
El rango de valores
valores para
para c2 y c3 dentro del cual la composición
es el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en función
funci´on de dichos
variables.
En el caso de c2 , como x2 no es una variable básica,
b´asica, si c2 se modifica, sólo
s´olo se modifica V2B . En
particular:
Apartado
Apart
ado 4.
B
B
V2 = c 2 − c B
−1
A2 = c 2 − π
B
 
3
2
= c 2 − 13
13//2
( 5)
10
El mix sigue siendo el mismo si c 2 − 13/
13/2 ≤ 0, es decir, si c 2 ≤ 13
13//2
El el caso de que cambie c 3 , como x3 es una variable básica,
b´asica, cambian los criterios del Simplex de todas
las variables (menos los de las básicas,
b´asicas, que son 0). En particular:
1
V
B
B
=c−c B
−1
=
B
A=c−c p=

5 6 c3
0


5
−
6 c3
0
c3 +5
5

−
c3
2
c3
5
3c3 −5
10

 

0 1/2 1 3/10
1 1/2 0 −1/10
=
0
7 − c3
=
3c3 −5
10
0

(6)
Es decir, el mix es el mismo si se cumple simultáneamente:
simult´aneamente:
c3 ≥ 7
7 − c3 ≤ 0
⇒
⇒ c3 ≥ 7
3c −5
c3 ≥ 5/3
≤0
10
( 7)
3
El mix es el mismo, siempre y cuando la contribución
contribuci´on unitaria al beneficio de cada botella de litro sea
igual o superior a 7 unidades monetarias.
La demanda
demanda de refre
refrescos
scos quedar reflej
reflejada
ada en la segunda
segunda restricci´
restricción.
on. Si cambia
cambia b2 , la
solución
soluci´
on podr
p odr´ı́ıaa dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser ´optima.
óptima.
Apartado
Apart
ado 5.
B
u =B
−1
b=

  
3/10 −1/5
−1/10 2/5
25
b2
=
75−2b2
10
−25+4b2
10

≥0⇒
b2 ≤ 75
75//2
b2 ≥ 25
25//4
(8)
/4 ≤ b2 ≤ 75/
Es decir, el mix es el mismo se 25
25/
75/2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas y
si no supera los 37500.
Apartado 6.
T0
x3
x1
- 111/2
77//2
1111/2
x1
0
0
1
x2
-1/2
1/2
1/2
x3
0
1
0
h1
- 19/1 0
3/1 0
- 1/10
λ, con 0 ≤ λ ≤ ∞. Si λ = 5, T ,0 es la tabla correspondiente a la solución
Sea c 1 = λ,
soluci´on optima.
´óptima.
Si λ modifica su valor, se modificará
modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando
V B (λ) ≤ 0 las actividades básicas
b´asicas serán
ser´an x 1 y x 3 , con los niveles de realización
realizaci´on de la tabla T 0 . El criterio
B
del Simplex V (λ) es:
0
1
−1
V
B (λ)
=c−
cB B
A=c−
cB p
=

λ 6 8 0
−
λ
   
8
Las variables básicas
b´asicas son x 1 y x 3 siempre y cuando V B (λ). Es decir:
4−λ≤ 0
⇒ 4 ≤ λ ≤ 24
λ − 24 ≤ 0
x3
x1
−28 − 11λ/
11λ/22
7/2
11 /2
x1
0
0
1
x
2
4−λ
2
1/2
11//2
x3
0
1
0
0 −
4−λ
2
0

=
(9)
λ−24
10
(10)
Si 4 ≤ λ ≤ 24, la tabla corresondiente a la solución
soluci´on ´óoptima
ptima es T 0 (λ):
T0 (λ)
1/2 1 3/10
1/2 0 −1/10
h1
λ−24
10
3/
3/10
-1
-1/10
Si λ = 4, la tabla se convierte en T1 , correspondiente a un ´óptimo
optimo m´
múltiple.
ultiple. Introduciendo x2 11
y
sacando x 3 se obtiene una nueva solución
soluci´on a la que le corresponde la tabla T 2
1
T1
- 50
77//2
1111/2
x3
x1
T2
- 50
7
2
x2
x1
x1
0
0
1
x1
0
0
1
x2
0
1/2
1/2
x2
0
1
0
x3
0
1
0
x3
0
2
-1
h1
-2
3/10
- 1/1 0
h1
-2
3 /5
--22/5
Si λ modifica su valor, se modificará
modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando
V B (λ) ≤ 0 las actividades básicas
b´asicas serán
ser´an x 1 y x 2 , con los niveles de realización
realizaci´on de la tabla T 2 . El criterio
B
del Simplex V (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A=c−c p=

λ 6 8 0
  

−
6 λ
0 1 2
3/5
1 0 −1 −2/5
0 0
λ−4

2λ−18
5
=

(11)
El criterio del Simplex de la tabla T 2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 ≤ λ ≤ 4
Volviendo a la tabla T0 (λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T3 , correspondiente a un
´óptimo múltiple.
optimo
m´
ultiple. Introduciendo h 1 sacando x3 se obtiene la tabla T 4 correspondiente a la solución
soluci´on ´optima
óptima
alternativa:
T3
x3
x1
T4
h3
x1
−160
77//2
1 1/2
−160
3 5/3
2 0/3
x1
0
0
1
x1
0
0
1
x2
--110
1/2
1/2
x2
--110
5/3
2/3
x3
0
1
0
x3
0
10/3
1/3
h1
0
3/10
- 1/10
h1
0
1
0
De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificará
modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y
B
b´asicas ser´
serán
an x 1 y h 1 , con los niveles de realización
cuando V (λ) ≤ 0 las actividades básicas
realizaci´on de la tabla T 4 . El
B
criterio del Simplex V (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A=c−c p=

λ 6 8
0
  

−
0 λ
0 5/3 10
10//3 1
1 2/3 1/3 0
0
6−2λ
3
24−λ
3
El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ningún
ning´
un valor de λ tal que λ > 24
En resumen:
Variables básicas:
b´asicas: x 1 = 2 y x 2 = 7 si 0 ≤ λ ≤ 4 con z = 42 + 2λ
2λ
Variables básicas:
b´asicas: x 1 = 11/
11/2 y x 3 = 7/2 si 4 ≤ λ ≤ 24 con z = 28 + 11λ/
11 λ/22
Variables básicas:
b´asicas: x 1 = 20/
20/3 y h 1 = 35/
35/3 si 24 ≤ λ con z = 20
20λ/
λ/33

0)
=

(12)
1
Apartado
Apart
ado 6.
Los dos posibles plano
plano de Gomor
Gomory
y de la forma: −f0 +
dos, uno por cada variable:

12
fi xi ≥ 0 ser
s er´ıan,
ı́an, en este caso,
−1/2 + 11/
/2x2 + 3/
h1 − h3 = 1/2
3 /10h
10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 3/
3 /10
10h
−1/2 + 11/
/2x2 + 9/
h1 − h4 = 1/2
9 /10h
10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 9/
9 /10
10h
Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante ser´
serıa
ı́a la siguiente:
x3
x1
h3
- 11 1/2
77//2
1111/2
1/2
--11/2
x1
x2
x3
h1
h3
0
0
1
0
0
- 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
0
1
0
0
0
- 19/10
3/10
-1/10
3/10
-3/10
0
0
0
-1
1
La tabla final es la siguiente, correspondiente a una solución
soluci´on no factible que cumple el criterio de
optimalidad,
optimal
idad, por lo que
q ue ssee p
podr´
odrı́a
ıa aaplicar
plicar el m´
método
etodo de L
Lemke.
emke.
x3
x1
h3
- 11 1/2
77//2
1111/2
--11/2
x1
0
0
1
0
x2
- 1/2
1/2
1/2
1/2
x3
0
1
0
0
h1
- 19/10
3/10
-1/10
-3/10
h3
0
0
0
1
13
2
2.
2.
2.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Un fabricante de refrescos F R produce tres modalidades (A
( A, B y C ), cada una en su propio formato:
de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante está
est´a comprometido a entregar a un gran
distribuidor GD (su unico
único
´
cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramos
diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la
de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos económicos
econ´omicos de A, B y C, y siendo x j los miles de
botellas de la modalidad j a envasar diariamente, F R ha planteado el siguiente modelo de programación
programaci´on
lineal (c y b están
est´an expresados en miles):
max z = 5x
5x1 + 6x
6 x2 + 8x
8 x3
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 ≤ 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 = 20
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(13)
1. Obtener el plan ´optimo
óptimo de envasado de F R.
2. Determinar
Determinar el significado de los mult
multiplica
iplicadores
dores del simplex de las dos restriccione
restricciones.
s.
3. A F R le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades)
restrinja su suministro a un máximo
m´aximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimización,
postoptimizaci´on,
introducir esta nueva restricción
restricci´on y determinar su repercusi´
repercusión.
on.
4. Mediante el correspondiente análisis
an´alisis de sensibilidad, determinar la repercusi´
repercusión
on en el mix de envasado
de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x2
y x 3 ).
5. Determinar la validez del mix de producción
producci´on ante posibles variaciones en la demanda total de
refrescos, que se traducirı́an
traducir´ıan en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizando
el análisis
an´alisis de sensibilidad.
sensibilidad.
6. El formato de 3 litros (modalidad A, x1 ) puede estar especialmente afectado por los cambios en
los mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programación
programaci´on paramétrica
param´etrica,, analiza
an alizarr el
conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en función
funci´
on de cualquier valor no negativo
de la contribuc
contribuci´
ión
on unitaria al beneficio del producto A.
7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean múltiplos
m´ultiplos exactos de mil para cada
modalidad. A partir de la resolución
resoluci´on del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un plano
secante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteración,
iteraci´on, introducir la
restrcción
restrcci´
on correspondiente
corresp ondiente en la tabla de la soluci´
solución
on ´óoptima
ptima hasta el momento.
2.
2.2.
2.
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
max z = 5x
5x1 + 6x
6 x2 + 8x
8 x3
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 ≤ 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 = 20
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(14)
14
El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades
(idéntido
(id´
entido al problema anterior en términos
t´erminos del sistema que representa):
representa ):
2
max z = 5x
5x1 + 6x
6 x2 + 8x
8 x3
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 + h1 = 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 = 20
(15)
x1 , x2 , x3 ≥ 0
No existe solución
soluci´on básica
b´asica factible inmediata, por lloo que es necesario utilizar el método
m´etodo de las dos fases
o de la M grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P  :
max z = −a
s.a.
2x1 + 3x
3 x2 + 4x
4 x3 + h1 = 25
3x1 + 2x
2 x2 + 1x
1 x3 + a = 20
x1 , x2 , x3 , a ≥ 0
(16)
soluci´on básica
b´asica factible de partida con las
Para el prob
problema
lema P  es posible encontrar una solución
a , con valores h 1 = 20 y a = 20. Al aplicar el método
actividades básicas
b´asicas h 1 y a,
m´etodo del Simplex, en su variante
de la matriz completa, para esa solución
soluci´on b´
básica
asica se obtiene la siguiente tabla:
Apartado 1.
h1
a
x1
3
5
2
3
20
0
25
2200
x2
2
6
3
2
x3
1
8
4
1
h1
0
0
1
0
a
0
0
0
1
(V B fase 1)
(V B fase 2)
a , se obtiene:
Introducie
Int
roduciendo
ndo en la base x 1 y sacando a,
h1
x1
0
- 100/3
35/3
2200/3
x1
0
0
0
1
x2
0
8/3
5/3
2/3
x3
0
19/3
10/3
1/3
h1
0
0
1
0
a
--11
- 5/3
- 2/3
1/ 3
(V B fase 1)
(V B fase 2)

a =V0,
La tabla
anterior
corresponde
a unapero
soluci´
solución
del problema
soluci´
B por lo que es una solución
≤ 0. Introduciendo
básica
b´asica
factible
del problema
original,
noon´optima,
óptima,
porquePnodonde
cumple
en on
la
base x 3 y sacando h 1 , se obtiene:
x3
x1
0
-111/2
77//2
1111/2
x1
0
0
0
1
x2
0
- 1/2
1/2
1/2
x3
0
0
1
0
h1
0
- 19/10
3/10
-1/10
a
-1
- 2/5
- 1/5
2/5
(V B fase 1)
(V B fase 2)
La tabla anterior corresponde a la solución
soluci´on optima
´óptima del problema original (V
(V B ≤ 0). El programa de
producción
producci´
on optimo
´óptimo consiste en:
Producir 5500 refrescos de 1/3l, ningún
ning´un refresco de 1/2l y 3500 de 1l.
Se consumen todo el material disponible para producir las botellas (h
( h1 = 0)
15
π B = c B B −1 ) se pueden calcular, a partir de la tabla,
Los multiplicad
multiplicadores
ores del simpl
simplex
ex ((π
de la siguiente
siguiente manera:
2
Apartado 2.
π1B = −VhB = 19/
19 /10
1
B
π2 = −VaB = 22//5
La interpretación
interpretaci´on de los mismos es la siguiente:
π1B = 19/
19 /10. Si ∆b
∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 19/
19/10. La empresa estar´
estarı́a
ıa dispuesta a pagar hasta 1900 unidades
monetarias
1 kgad
m´as
más
diariamente.
estarı́a
estar´ıa
dispuesta a vender 1 kg si
recibiera
recibi
era porpara
ello disponer
cualquierde
cantidad
cantid
superior
a 1900Igualmente,
unidades moneta
monetarias.
rias.
π2B = 2/5. Si ∆b
∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 2/5. La empresa podriá
podri´a obtener un beneficio mayor (4/
(4/5) si el
compromiso fuera entrgar 21000 botellas y no 20000, por lo que este compromiso está
est´a actuando
como una limitación.
limitaci´on. F R estar
estar´ı́ıaa dispuesta a renego
renegociar
ciar el compromiso para pasar a 21000 botellas,
siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias.
En términos
t´erminos del planteamiento
planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traducir´
traducirıa
ı́a en la
siguiente restricción:
restricci´on:
x1 + x2 + x3 ≤ 6 ⇒ x1 + x2 + x3 + h3 = 6
Apartado
Apart
ado 3.
Tras introducir la nueva restricción
restricci´on y modificarla convenientemente para que x1 , x3 y h3 sean las
variables básicas,
b´asicas, se obtiene la solución
soluci´on correspondiente a la siguiente tabla, que es una solución
soluci´on que
cumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h 3 e introduciendo h 1 )
se obtie
obtiene
ne la siguiente
siguiente tabla.
x3
x1
h3
x3
x1
h3
x3
x1
h1
- 111/2
77//2
1111/2
6
1/ 2
--33
- 111/2
77//2
1111/2
--33
-27
--11
7
15
x1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
x2
-1/2
1/2
1/2
1
1/2
0
-1/2
1/2
1/2
0
--11/2
1/2
1/2
0
x3
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
h1
- 19/1 0
3/1 0
- 1/10
0
1/1 0
- 1/5
- 19/1 0
3/1 0
- 1/10
- 1/5
0
0
0
1
h3
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
- 19 /2
3/2
- 1/2
-5
La ´ultima
última tabla corresponde a una solución
soluci´on no factible (x
(x3 ≤ 0) y no existe ninguna tasa de sustitución
sustituci´on
de esa variable con respecto a las no básicas
b´asicas que sea negativa. Al introducir la nueva
nueva restricci´
restricción
on el problema
no tiene solución
soluci´on factible. Si el prov
proveedor
eedor de tapones hiciera como se dice, no ser
ser´ıa
ı́a posible obtener
obtener un
programa de producción
producci´on que cumpliera con todas las restricciones.
Apartado
Apart
ado 4. El rango de valores
valores para
para c2 y c3 dentro del cual la composición
composici´on del mix de producción
producci´on
es el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en función
funci´on de dichos
variables.
En el caso de c2 , como x2 no es una variable básica,
b´asica, si c2 se modifica, sólo
s´olo se modifica V2B . En
particular:
B
B
V2 = c 2 − c B
−1
A2 = c 2 − π
B
 
3
2
= c 2 − 13
13//2
(17)
16
El mix sigue siendo el mismo si c 2 − 13/
13/2 ≤ 0, es decir, si c 2 ≤ 13
13//2
El el caso de que cambie c 3 , como x3 es una variable básica,
b´asica, cambian los criterios del Simplex de todas
las variables (menos los de las básicas,
b´asicas, que son 0). En particular:
2
V
B
B
=c−c B
−1
=
B
A=c−c p=

5
6 c3
0


c3
5 6
−
5
0
c3 +5

−
c3
2
c3
5
3c3 −5
10

 

0 1/2 1 3/10
1 1/2 0 −1/10
0 7 − c3
=
=
3c3 −5
10
0

(18)
Es decir, el mix es el mismo si se cumple simultáneamente:
simult´aneamente:
c3 ≥ 7
7 − c3 ≤ 0
⇒
⇒ c3 ≥ 7
3c −5
c
≤
0
3 ≥ 5/3
10
(19)
3
El mix es el mismo, siempre y cuando la contribución
contribuci´on unitaria al beneficio de cada botella de litro sea
igual o superior a 7 unidades monetarias.
La demanda
demanda de refre
refrescos
scos quedar reflej
reflejada
ada en la segunda
segunda restricci´
restricción.
on. Si cambia
cambia b2 , la
solución
soluci´
on podr
p odr´ı́ıaa dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser ´optima.
óptima.
Apartado
Apart
ado 5.
B
u =B
−1
b=

3/10 −1/5
−1/10 2/5
  
25
b2
=
75−2b2
10
−25+4b2
10

≥0⇒
b2 ≤ 75
75//2
b2 ≥ 25
25//4
(20)
/4 ≤ b2 ≤ 75/
Es decir, el mix es el mismo se 25
25/
75/2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas y
si no supera los 37500.
Apartado 6.
T0
x3
x1
- 111/2
77//2
1111/2
x1
0
0
1
x2
-1/2
1/2
1/2
x3
0
1
0
h1
- 19/1 0
3/1 0
- 1/10
λ, con 0 ≤ λ ≤ ∞. Si λ = 5, T ,0 es la tabla correspondiente a la solución
Sea c 1 = λ,
soluci´on optima.
´óptima.
Si λ modifica su valor, se modificará
modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando
V B (λ) ≤ 0 las actividades básicas
b´asicas serán
ser´an x 1 y x 3 , con los niveles de realización
realizaci´on de la tabla T 0 . El criterio
B
del Simplex V (λ) es:
−
V B (λ) = c − cB B
1
A = c − cB p =

λ 6
8 0
−
8 λ
10 11//22 01 −31//10
10
   
0 −
Las variables básicas
b´asicas son x 1 y x 3 siempre y cuando V B (λ). Es decir:
4−λ≤ 0
⇒ 4 ≤ λ ≤ 24
λ − 24 ≤ 0
x3
x1
−28 − 11λ/
11λ/22
7/2
11 /2
x1
0
0
1
x
2
4−λ
2
1/2
11//2
x3
0
1
0
0
=
(21)
λ−24
10
(22)
Si 4 ≤ λ ≤ 24, la tabla corresondiente a la solución
soluci´on ´óoptima
ptima es T 0 (λ):
T0 (λ)
4−λ
2

h1
λ−24
10
3/
3/10
-1
-1/10
Si λ = 4, la tabla se convierte en T1 , correspondiente a un ´óptimo
optimo m´
múltiple.
ultiple. Introduciendo x2 17
y
sacando x 3 se obtiene una nueva solución
soluci´on a la que le corresponde la tabla T 2
2
T1
- 50
77//2
1111/2
x3
x1
T2
- 50
7
2
x2
x1
x1
0
0
1
x1
0
0
1
x2
0
1/2
1/2
x2
0
1
0
x3
0
1
0
x3
0
2
-1
h1
-2
3/10
- 1/1 0
h1
-2
3 /5
--22/5
Si λ modifica su valor, se modificará
modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando
V B (λ) ≤ 0 las actividades básicas
b´asicas serán
ser´an x 1 y x 2 , con los niveles de realización
realizaci´on de la tabla T 2 . El criterio
B
del Simplex V (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A=c−c p=

λ 6 8 0
  

−
6 λ
0 1 2
3/5
1 0 −1 −2/5
0 0
λ−4

2λ−18
5
=

(23)
El criterio del Simplex de la tabla T 2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 ≤ λ ≤ 4
Volviendo a la tabla T0 (λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T3 , correspondiente a un
´óptimo múltiple.
optimo
m´
ultiple. Introduciendo h 1 sacando x3 se obtiene la tabla T 4 correspondiente a la solución
soluci´on ´optima
óptima
alternativa:
T3
x3
x1
T4
h3
x1
−160
77//2
1 1/2
−160
3 5/3
2 0/3
x1
0
0
1
x1
0
0
1
x2
--110
1/2
1/2
x2
--110
5/3
2/3
x3
0
1
0
x3
0
10/3
1/3
h1
0
3/10
- 1/10
h1
0
1
0
De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificará
modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y
B
b´asicas ser´
serán
an x 1 y h 1 , con los niveles de realización
cuando V (λ) ≤ 0 las actividades básicas
realizaci´on de la tabla T 4 . El
B
criterio del Simplex V (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A=c−c p=

λ 6 8
0
  

−
0 λ
0 5/3 10
10//3 1
1 2/3 1/3 0
0
6−2λ
3
24−λ
3
El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ningún
ning´
un valor de λ tal que λ > 24
En resumen:
Variables básicas:
b´asicas: x 1 = 2 y x 2 = 7 si 0 ≤ λ ≤ 4 con z = 42 + 2λ
2λ
Variables básicas:
b´asicas: x 1 = 11/
11/2 y x 3 = 7/2 si 4 ≤ λ ≤ 24 con z = 28 + 11λ/
11 λ/22
Variables básicas:
b´asicas: x 1 = 20/
20/3 y h 1 = 35/
35/3 si 24 ≤ λ con z = 20
20λ/
λ/33

0)
=

(24)
2
Apartado
Apart
ado 6.
Los dos posibles plano
plano de Gomor
Gomory
y de la forma: −f0 +
dos, uno por cada variable:

18
fi xi ≥ 0 ser
s er´ıan,
ı́an, en este caso,
−1/2 + 11/
/2x2 + 3/
h1 − h3 = 1/2
3 /10h
10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 3/
3 /10
10h
−1/2 + 11/
/2x2 + 9/
h1 − h4 = 1/2
9 /10h
10h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 9/
9 /10
10h
Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante ser´
serıa
ı́a la siguiente:
x3
x1
h3
- 11 1/2
77//2
1111/2
1/2
--11/2
x1
0
0
1
0
0
x2
- 1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
x3
0
1
0
0
0
h1
- 19/10
3/10
-1/10
3/10
-3/10
h3
0
0
0
-1
1
La tabla final es la siguiente, correspondiente a una solución
soluci´on no factible que cumple el criterio de
optimalidad,
optimal
idad, por lo que
q ue ssee p
podr´
odrı́a
ıa aaplicar
plicar el m´
método
etodo de L
Lemke.
emke.
x3
x1
h3
- 11 1/2
77//2
1111/2
--11/2
x1
0
0
1
0
x2
- 1/2
1/2
1/2
1/2
x3
0
1
0
0
h1
- 19/10
3/10
-1/10
-3/10
h3
0
0
0
1
19
3
3.
3.
3.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
La empresa San Guemil fabrica dos tipos de cerveza, una lager y una pilsen, para lo cual necesita
disponer de malta, lúpulo
l´
upulo y levadura.
Cada metro cúbico
c´
ubico de lager requiere 50 kg de malta, 20 de lúpulo
l´upulo y 2 de levadura. Cada metro c´
cúbico
ubico
de pilsen necesita 60 kg de malta, 25 de lúpulo
l´upulo y 2 de levadura. El beneficio que obtiene la empresa con
cada metro cúbico
c´
ubico de lager es de 140 um, mientras que con cada metro c´
cúbico
ubico de pilsen obtiene 150 um.
San Guemil dipone de una tonelada de malta por semana, 250 kg de lúpulo
l´upulo y 22
2 2 kg
k g de levadura también
tambi´en
por semana.
semana.
El modelo de programaci´
programación
on lineal que permite obtener la producci´
producción
on ´óoptima
ptima para cada semana queda
descrito por:
max z = 140x
140x1 + 150x
150x2
s.a. :
60 x2 ≤ 1000
50x
50x1 + 60x
20x
20x1 + 25x
25 x2 ≤ 250
2x1 + 2x
2 x2 ≤ 22
x1 , x2 ≥ 0
(25)
donde x 1 y x 2 representan, respectivamente, los volúmenes
vol´umenes de producción
producci´on semanales (en m 3 ) de lager
y de pilsen.
La tabla del simplex correspondiente a la solución
soluci´on ´óoptima
ptima del modelo anterior y, por lo tanto, al plan
de producci´
producción
on optimo
´óptimo de San Guemil, es:
h1
x2
x1
-1600
33990
6
5
x1
0
0
0
1
x2
0
0
1
0
h1
0
1
0
0
h2
-2
-2
1/5
-1/5
h3
-50
-5
-2
5 /2
donde h1 , h2 y h3 son, respectivamente, las holguras correspondientes a las tres restricciones del
modelo lineal.
Se pide:
1. Indicar qué
qu´e uso se hace de cada una de las tres materias primas, as
as´ıı́ como cuál
cu´al es el precio m´
máximo
aximo
que estarı́a
estar´ıa dispuesta a pagar San Guemil por disponer
disp oner de 1 kg más
m´
as a la semana de cada una de las
tres materias primas.
2. Indicar, para el caso del lúpulo,
l´
upulo, cuántos
cu´antos kg adicionales estar´
estarı́a
ıa dispuesta a adquirir y cuántos
cu´antos kg de
su disponibilidad de lúpulo
l´upulo estarı́a
estar´ıa dispuesta a vender semanalmente tomando como referencia el
precio indicado en el apart
apartado
ado anterior.
anterior.
3. San Guemil
Guemil est´
estáa valorando la posibilidad de producir un nuevo tipo de cerveza, que tiene una doble
fermentación.
fermentaci´
on. Esta nueva cerveza consume, por cada metro cúbico
c´ubico producido, 70 kg de malta, 30
de lúpulo
l´
upulo y 4 kg de levadura. Indicar el beneficio unitario m´
mı́nimo
ınimo que harı́a
har´ıa rentable la producción
producci´on
y comercialización
comercializaci´on de esta nueva cerveza.
4. San Guemil ha firmado un contrato
contrato de suministro con sus actuale
actualess clientes,
clientes, por el cuál
cu´al se compromete a servir, conjuntamente entre lager y pilsen,
pi lsen, un m´
mı́nimo
ınimo de 40 m 3 al mes (considérese
(consid´erese que un
mes tiene cuatro semanas). Indicar cuál
cu´al es el nuevo plan de producci´
producción
on optimo.
´óptimo.
5. Si una determinada semana se decide reservar 10 kg de lúpulo
l´upulo sin utilizar (h
( h2 = 10), ¿cómo
¿c´omo se
modifica el plan ´optimo
óptimo de produ
producci´
cción?
on? ¿cómo
¿c´omo se modifica el valor de la funci´
función
on objetivo?
objetivo?
3
3.
3.2.
2.
20
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
La utilización
utilizaci´on que se hace de los recursos es la siguiente:
de los 1000 kg de malta, queda 390 sin utilizar;
se consumen por completo los 250 kg de lúpulo;
l´
upulo;
se consumen por completo los 22 kg de levadura;
El valor de una unidad
adicional
de cada recurso
viene dado
por sombra)
el precio es
sombra
restricci´
−VlahBrestricción
πiB =de
, debidoon
a
corresonpondiente.
El vector
de multiplicadores
del simplex
(precios
B
(0,, 2, 50). Por lo tanto:
que todas las restricciones son de tipo menor o igual, por lo que π = (0
i
San Guemil no está
est´a dispuesta
dispues ta a pagar nada por
p or adqui
adquirir
rir un kg adi
adicional
cional de
d e malta (y estar
esta r´ı́ıaa dispuesto
dispues to
a vender un kg de malta a cualquier precio);
San Guemil está
est´a dispuesta a comprar un kg adicional de l´
lúpulo
upulo si el precio de ese kg es inferior a
2 um (estar´
(estarıa
ı́a dispuesta a vender un kg a un precio superior a 2 um);
igualmente, estar´
estarıa
ı́a dispuesta a comprar un kg adicional de levadura a un precio inferior a 50 um/kg
(y a vender uno de sus 22 kg disponibles a un precio superior a 50 um/kg);
Al adquirir
adquirir lúpulo
l´upulo adicional a los 250 kg se modifica el vector de disponibilidad de los
T
recursos b = (1000,
(1000, 250
250,, 22) . Por un lado:
Apartado
Apart
ado 2.
el precio sombra
sombra de ese recurso (segunda compone
componente
nte de π B = c B B −1 ) cambiará
cambiar´a si cambia la base
(B );
b , la solución
la base se modifica, porque, al modificarse b,
soluci´on b´
básica
asica hasta ahora optima
´óptima puede dejar de
−1
B
ser factible (u
(u = B b).
El rango de valores dentro del cual el precio al cual San Guemil está
est´a dispuesta a comprar un kg de
lúpulo
l´upulo adicional a un máximo
m´aximo de 6um/kg es aquel para el cual u B ≥ 0:
B
u =B
−1
b=


−5
1 −2
0 1 /5 − 2
0 −1/5 5/2
 
 
1000
b2
22
1000 − 2b2 − 110 ≥ 0
b2 ≤ 440
b
⇒ b2 ≥ 220 ⇒ 220 ≤ b2 ≤ 275
⇒ 5 + 44 ≥ 0
b
b2 ≤ 275
− 5 + 55 ≥ 0
(26)
2
2
Por lo tanto, San Guemil está
est´a dispuesta a comprar hasta 25 kg de lúpulo
l´upulo a un precio inferior a 2
um/kg (75 = 275-250) o a vender hasta 30 kg a un precio superior a 2 um/kg (30=250-220).
Apartado 3. La nueva
nueva variedad
variedad resultará
resultar´
a un producto rentable si el criterio del simplex de la variable
correspondiente (x
(x3 ) es positivo. Es decir:
B
B
V3 = c3 − c B
−1
B
A3 = c 3 − π A3 = c 3 − (0,
(0, 2, 50)
 
 
70
30
4
= c3 − 260 ≥ 0 ⇒ c3 ≥ 260
(27)
ser´a interesante su producci´
producción
on y comercialización.
comercializaci´on.
Por lo que si el precio es superior a los 260 um/m
um/ m3 , será
San Guemil
Guemil est´
estáa produciendo en la actualidad 11 m3 , por lo que en la actualidad ya
estáa cumpiendo el compromiso
est´
compromiso de producir al menos 10 m3 . La restricción
restricci´on que
qu e tendr´
ten drı́a
ıa llaa forma
fo rma x1 +x2 ≥ 10
no modifica el plan ´óptimo
optimo de producci´
producción,
on, de manera que el plan ´optimo
ópti mo de producc
pro ducci´
ión
on serı́a
ser´ıa el mismo.
mism o.
Apartado
Apart
ado 4.
21
Reserva
Reservarr una canti
cantidad
dad de l´
lúpulo
upulo de 10 kg es equivalente a que h2 = 10. Cuando una
variable no básica
b´asica entra a formar parte de la solución,
soluci´on, las tasas de sustitución
sustituci´on de esa variable con respecto
a las básicas
b´asicas indican cómo
c´omo se modifican los valores de estas al entrar aquella.
Las tasas de sustitución
sustituci´on de h 3 son p h = (−2, 51 , − 15 , 0)T , por lo que:
3
Apartado
Apart
ado 5.
3
h1 aumenta en 10 × 2 = 20, con lo que sobr
sobran
an 20 kg m´
más
as de malta
x2 disminuye en 10 ×
m3 semanales;
1
5
producirıan
ı́an 4
= 2, con lo que se produce 2 m 3 menos de pilsen, es decir, se producir´
x1 aumenta en 10 × 15 = 2, con lo que se producen 2 m 3 m´
más
as de lager, es decir, se producir´
producir ıan
ı́an 7 m 3
semanales.
Por su parte, la función
funci´on ob jetivo se modificar
modificar´ı́ıaa de la siguiente manera: ∆z
∆ z = 10 × VhB = 10 × (−2),
es decir, el beneficio serı́a
ser´ıa de 1580 um semanales.
2
22
4
4.
4.
4.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
1
Un avicultor AV ha determinado que sus necesidades semanales de ´acido
ácido ascórbico
asc´orbico (AA) y β -caroteno
(β C) como suplemento al pienso común
com´un son, como m
m´ı́ınimo,
nimo, de 15 y 3 kilogramos respectivamente. En
su mercado local dispone de tres complejos suplementarios, de distinto precio y que contienen ambos
componentes en distintas proporciones. Siendo x1 , x 2 y x 3 los kg semanales que comprar´
comprarıa
ı́a AV de cada
uno de los tres complejos
complejos suplemen
suplementarios
tarios CS 1 , CS 2 y CS 3 , AV ha planteado el siguiente modelo de
programación
programaci´
on lineal:
min z = 70x
70x1 + 20x
20 x2 + 50x
50 x3
s.a. :
40x
40x1 + 60x
60 x2 + 40x
40 x3 ≥ 15000
(28)
30x
30x1 + 60x
60 x2 + 40x
40 x3 ≥ 3000
x1 , x2 , x3 ≥ 0
1. Explicar
Explicar el significado
significado de cada uno de los coeficien
coeficientes
tes que aparece
aparecen
n en el modelo.
2. Obtener el plan ´optimo
óptimo de compra de complejos suplementarios al precio normal y describir la
información
informaci´
on que suministra la matriz completa para esta solución.
soluci´on.
3. Si surge un nuevo proveedor
proveedor que ofrece un comp
complejo
lejo suplementar
suplementario
io CS N a 80

/Kg que
que contiene
contiene
30
gramos deaAA
por kilogramo ¿cuánto
¿cu´anto β C por
p or Kg deber´
deb erı́a
ıa contener
conte ner como m´ınimo
ı́ni mo C SN para que
le interesara
AV?
4. Realizar el análisis
an´alisis de sensibilidad de la soluci´
solución
on optima
´óptima obtenida en 2 respecto a los precios de los
complejos suplementarios C S1 , C S2 y C S3 .
4.
4.2.
2.
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Los coeficient
coeficientes
es de la func
funci´
ión
on objetivo (70
(70,, 20,
20, 50) son los precios por kg de CS 1 , CS 2 y
CS 3 . Los t´
términos
erminos independientes
indep endientes de las restricciones (15000,
(15000 , 3000)T son los requisitos m´ınimos
ı́nimos de AA
y β C medidos en gramos. Los coeficientes técnicos
t´ecnicos indican los gramos de AA o de β C contenidos en un
kilogramo
kilogra
mo de cada uno de los complejos supleme
suplementa
ntarios.
rios.
Apartado
Apart
ado 1
Apartado 2
La estructura del modelo se ajusta a la requerida para aplicar el método
m´etodo de Lemke. ´optima:
óptima:
xh1
xh2
x2
xh2
-z
x1
x2
x3
xh1
xh2
0
- 15000
-3000
5000
22550
1 2000
- 70
- 40
- 30
- 170 /3
2/3
10
-20
-60
-60
0
1
0
-5
- 50
- 40
- 40
- 110/ 3
2/3
0
0
1
0
- 1/3
- 1/ 60
-1
0
0
1
0
0
1
Solución
Soluci´
on optima:
´óptima: AV comprar´
comprarıa
ı́a 250 kg/semana de CS 2 con un coste de 5000 /semana.
/semana. De
De esta
forma cumplirı́a
cumplir´ıa estrictamente
estrict amente el m´ı́ınimo
nimo de AA y de β C suministrar´
suministrarıa
ı́a a sus gallinas 12000 gramos (12
CS
S1 o C
CS
S2 , el precio
kg) más
m´as semanalmente de lo estrictamente necesario. Para que le interesara comprar C
respectivamente, pasando
del suplemento
s uplemento deberı́a
deber´ıa ba jar 170/3
17 0/3 /kg (57 /kg) y 110/3 /kg (37 /kg), respectivamente,
en ambos casos a 40/3 /kg (13 /kg). Una disminuci´
disminución
on de los requisitos de β C no tendrı́a
tendr´ıa repercusi´
reper cusión
on
económica
econ´
omica para AV (los cumple con holgura). Sin embargo, el valor de oportunidad de un gramo de AA es
1/3 , lo que significa que por cada kilogramo que disminuyeran
disminuyeran o aumentaran las necesidades
necesidades semanales
de AA en llaa granja,
gr anja, AV disminuir´
di sminuirı́a
ıa o aumentarı́a
aumentar´ıa su
suss costes
co stes en 3333
33 .









23
Como
Como se acab
acabaa de ver,
ver, el con
conten
tenido
ido en β C de un nuevo CS le es indiferente, ya que
este requisito está
est´a cumplido de sobra. Por lo tanto, el inter´
interés
es CS N radica en si su precio de 80 /kg
estáa compensado por su contenido en AA medido mediante el valor de oportunidad, es decir, para que
est´
VNB = cN − πB AN = cN − π1Ba N 1 ≥ 0, debe suceder que cN ≥ π1Ba N 1 . Como lo que aporta CS N en
− 70 y no interesa CS N
precioo es 80 /kg ⇒ V NB = −70
términos
t´erminos de AA es π1Ba N 1 = 30/
30/3 = 10 /kg y su preci
sea cual fuera su contenido en β C.
4
Aparta
Apa
rtado
do 3


Apartado 4

Para c1 y c3 ya se ha visto
v isto en el apar
apartado
tado b) que el intervalo corresp
co rrespondiente
ondiente serı́a
ser´ıa [40/
[40 /3, ∞)
B
en cambos
casos.
estáa en la base de la soluci´
solución
on ´óoptima,
ptima, si se expresa V
de
res
esul
ulta
tar´
rı́ıa:
a :Como C S est´
2, r
2
x2
xh2
500
0000
250
12000
x1
-70+2c
+2c2/3
2/3
10
x2
0
1
0
x3
-50+2c2/3
2/3
0
xh1
- c2 / 6 0
-1/60
-1
para ´esta
ésta en función
funci´on
xh2
0
0
1
[0,, 75] ya que si el
Para que no exista un V jB > 0 debe darse que: c 2 ≤ 105, c 2 ≤ 75 y c 2 ≥ 0 ⇒ c2 ∈ [0
precio de C S2 sube de 75 /kg AV pasarı́a
pasar´ıa a comp
comprar
rar C S3 .

24
5
5.
5.
5.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el siguiente modelo de programación
programaci´on lineal (MP):
max z = 5x
5x1 + 2x
2 x2 − 9x3
s.a. :
x1 + x2 − x3 ≤ 6
x1 + 3x
3 x3 = 12
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(29)
1. ¿Qué
¿Qu´e afirma el Teorema Fundamental de la Programaci
Pro gramaci´óon
n Li
Lineal
neal?¿Qu´
?¿Quée imp
implic
licaci
acione
oness ti
tiene
ene en térmi
t´ermi-nos de la búsqueda
b´usqueda de la solución
soluci´on ´óptima
optima de un problema de Programaci´
Programación
on Lineal? Para el problema
(MP), indicar tres soluciones: una solución
soluci´
on no b´
básica
asica factible, una soluci´
solución
on básica
b´asica factible y una
solución
soluci´
on básica
b´asica no factible.
2. Plantear
Plantear y resolver gr´
gráficamente
aficamente el problema dual de MP.
3. Por aplicaci´
aplicación
on del teorema de las holguras complementarias, determinar a partir de 2) la composición
composici´on
de la solución
soluci´on optima
´óptima de MP as´
ası́ı como su corresp
correspondiente
ondiente vector de criterios del simplex.
4. Explicar el significado de cada uno de los componentes del vector de criterios del simplex de la
solución
soluci´
on optima
´óptima de MP obtenido en 3).
Postoptimización
Postoptimizaci´
on
5. Explicar la repercusión
repercusi´on que podr´
podrı́a
ıa tener para MP y para su dual la consideración
consideraci´on de una nueva
nueva
restricción
restricci´
on en MP (no es necesario mostrar ningún
ning´
un ejemplo
ejemp lo numéri
num´erico)
co)
6. Ante la posibilidad de introducir en una nueva variable de acción
acci´on xN en MP con los siguientes
datos: cN = 8 , a 1N = 1 , a2N = 4 , análogam
an´alogament
entee a lo realizado en 2) y en 3), analizar
analizar gráficamente
gr´aficamente
su repercusi´
repercusión
on en el modelo dual y su interés
inter´
es para MP.
MP.
25
6
6.
6.
6.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
MME 1011 ENE
Una empresa produce y comercializa tres tipos de productos, P1 , P2 y P3 , que sirve en palés,
pal´es, que
pueden o no estar completos (se puede entregar un pal´
palée a medio completar, medio palé,
pal´e, un cuarto de
pál´
p´alé,
e, etc.) Por cada palé
pal´e de estos pro
productos,
ductos, obtiene unos iingresos
ngresos netos de 4, 12 y 2 unidades monetarias,
respectivamente. Existe una instalación
instalaci´on de la que se disp
dispone
one de un total de 6 d
d´ıas
ı́as de traba jo a la semana.
lleva
eva 2 d´ıas.
ı́as. Además,
Adem´as,
as y montar uno de P3 ll
as, uno de P2 lleva 6 d´ı́ıas
Pro ducir un palé
Producir
pal´e de P1 lleva 3 d´ı́ıas,
existe un compromiso de entregar al menos el contenido conjunto equivalente a dos pal´
palés.
es.
El siguiente
siguiente modelo de programaci´
programación
on lineal permite obtener el plan de producción
producci´on optimo.
´óptimo.
max z = 4x
4 x1 + 12x
12 x2 + 2x
2 x3
s.a. :
3x1 + 6x
6 x2 + 2x
2 x3 ≤ 6
x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(30)
Donde x i representa el número
n´
umero de palés
pal´es pro
producidos
ducidos y servidos semanalmente de P i , con i = 1, 2, 3. El
problema
proble
ma también
tambi´en se puede formular como:
max z = 4x
4x1 + 12x
12 x2 + 2x
2 x3
s.a. :
3x1 + 6x
6 x2 + 2x
2 x3 + h1 = 6
x1 + x2 + x3 − h2 = 2
x1 , x2 , x3 , h1 , h2 ≥ 0
(31)
Una solución
soluci´
on posible es aquella a la que le corresponde la siguiente tabla, obtenida con la aplicaci´on
del método
m´etodo del simplex en su variante de la matriz completa.
x1
x3
-8
2
0
x1
0
1
0
x2
2
4
-3
x3
0
0
1
h2
-2
2
-3
h1
-2
-2
1
-1
Se pide:
1. Explicar
Explicar el signifi
significado
cado de las variable
variabless h 1 y h 2 .
2. Indicar si la solución
soluci´on a la que se refiere la tabla dada es optima
´óptima y justificar
justifica r p
por
or qué.
qu´e.
3. Para la solución
soluci´
on ´óoptima
ptima del problema (sea la correspondiente a la tabla dada u otra obtenida a
partir de ella) interpretar
interpretar y explicar
explicar el programa
programa de producc
producci´
ión
on obtenido, la utilización
utilizaci´on que se hace
de la instalación
instalaci´on y el cumplimien
cumplimiento
to del compromiso
compromiso come
comercial.
rcial.
Para la solución
soluci´on optima
´óptima (cada uno de los siguientes apartados son independientes entre s´ı́ı):
):
4. En qué
qu´e condiciones está
est´a dispuesta la empresa a renegociar
r enegociar su compromiso de entregar un m´ınimo
ı́nimo
de 2 pa
pal´
lés
es..
5. Se ha realizado un estudio de mercado, y se sabe que no se pueden vender más
m´as de 1 palé
pal´e de P3 a
la semana. Obtener el nuevo programa de producción
producci´on ´óoptimo
ptimo con esa informaci´
información.
on.
6. Identifica
Identificarr el rango de valores
valores para el ingres
ingresoo por pal´
palée neto dentro del cual resulta interesan
interesante
te
producir y vender el producto P 2 .
6
6.
6.2.
2.
26
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
h1 representa el número
n´
umero de dı́as,
d´ıas, de los 6 disponibles, que no se emplean en la producción
producci´on de pa
pal´
lés.
es.
Es capacidad
capacidad no utilizada.
utilizada.
h2 representa el número
n´umero de pal´
palés
es que se sirven por encima del compromiso de los dos palés
pal´es adquiridos.
La soluci´
solucióon
n correspondiente a la tabla dada no es la soluci´
solución
on optima,
´óptima, porque la variable
B
x2 tiene criterio del simplex positivo (V
introduci´
trodución
on de esta variable (producción
(producci´on
( V2 = 2), de manera que la in
y venta de P 2 ) reporta
re portarr´ıa
ı́a un valor de la funci´
función
on objetivo mayor que 8.
Apartado 2.
En primer lugar,
lugar, hay que obtener
obtener la soluci´
solución
on optima
´óptima del problema. A partir de la tabla
dada, aplicando
apli cando el método
m´etodo del Simplex, se introduce la variable x 2 y se suprime la variable x 1 .
Apartado 3.
x1
x3
x2
x3
-8
2
0
-9
1/2
33//2
x1
0
1
0
- 1/2
1/ 4
3/4
x2
2
4
-3
0
1
0
x3
0
0
1
0
0
1
h2
-2
2
-3
-3
1/2
- 3 /2
h1
-2
1
-1
- 5/2
1/4
- 1/4
La tabla obtenida corresponde a la solución
soluci´on ´óoptima.
ptima. El plan de producción
producci´on consiste en:
no producir nada de producto P 1 ,
producir
prod
ucir medio palé
pal´e de prod
producto
ucto P 2 ,
producir un pal´
palée y medio de producto P 3 ,
utilizar por
p or completo los seis d´ıas
ı́as de capacidad de producci´
producción
on y
cumplir el compromiso comercial entregando el m´ı́ınimo
nimo de producto pactado (dos palés),
pal´es),
con un beneficio semanal de 9 unidades monetarias.
≥)
El precio sombra
sombra de la restricci´
restricción
on correspondiente
correspondiente al compromiso
compromiso comercial
comercial (de tipo ≥)
= −3. De manera que ∆zj
∆zj |∆b =1 = −3, por lo que:
Apartado 4.
B
es π 2 =
VhB2
2
la empresa estar´
estarıa
ı́a dispuesta a asumir un compromiso de entrega superior
superio r a 2, siempre que recibiera
alg´
algún
un tipo de compensaci´
compensación
on superior a 3 u.m. por cada pal´
palée adicional
adicional que se compromet
comprometiera
iera a
entregar por encima de esos dos.
la empresa estar´
estarıa
ı́a dispuesta a ofrecer alg
alg´
ú
un
n tipo de compensaci´
compensación
on por relajar el compromiso de
entrega, sin superar 3 u.m. por la relajación
relajaci´on del
d el compromi
compromiso
so en
e n un
u n palé.
pal´e.
La información
informaci´
on adicional da lugar a la aparici´
aparición
on de una nueva restricci´
restricción:
on: x 3 ≤ 1. Como
la producción
producci´on de P3 obtenida anteriormen
anteriormente
te es de 1.5 pal´
palés,
es, dicha solución
soluci´on no es factible y es necesario
obtener la nueva solución.
soluci´on. Introducciendo la nueva restricción
restricci´
on (que se puede formular como x 3 + h3 = 1
y aplicando
apli cando el método
m´etodo de Lemke, se obtiene lo siguiente:
Apartado 5.
6
x2
x3
x2
x3
-9
11//2
3/ 2
1
- 26/3
1/ 3
1
x1
- 1/2
1/4
3/4
0
0
0
0
x2
0
1
0
0
0
1
0
x3
0
0
1
1
0
0
1
h2
-3
1 /2
-3 / 2
0
-4
1
0
h1
- 5/2
1/4
- 1/4
0
8/3
1/3
0
27
h3
0
0
0
1
-2
- 2/3
1/
1/3
1
1
x
2/ 3
1
0
0
-2
- 1/3 - 4/3
La tabla obtenida corresponde a la nueva solución
soluci´on ´óoptima,
ptima, cuyo plan de producci´
producción
on consiste en:
producir 2/3 de palé
pal´e de producto P 1 ,
producir 1/3 de palé
pal´e de producto P 2 ,
producir
prod
ucir un pal´
p alée de prod
producto
ucto P 3 ,
utilizar por
p or completo los seis d´ıas
ı́as de capacidad de producci´
producción
on y
cumplir el compromiso comercial entregando el m´ı́ınimo
nimo de producto pactado (dos palés),
pal´es),
con un beneficio
beneficio seman
semanal
al de 26/3 unidade
unidadess monet
monetarias,
arias, menor que el que se obten´
obtenı́ıaa antes
antes de la
restricción
restricci´
on comercial.
B
Resulta
Resulta interesante
interesante produci
producirr y vender
vender P2 mientras V
básica
b´asica en la soluci´
solución
on optima
´óptima
Apartado
Apart
ado 6.
V
B
B
=c−c B
−1
A=

4
c2
2 0 0


−
c2
10−c2
4
2

0 0
≤ 0, ya que x2 es una variable
1/4 1 0
3/4 0 1
6−c2
2
2−c2
4
1 /2
1/4
−3/2 −1/4


≤0⇒
(32)
≤ 0 ⇒ 10 ≤ c2 ≤ ∞
Para cualquier precio de venta
venta superior a 10 u.m. por pal´
palée resulta
resulta interesan
interesante
te producir
producir y vender
vender
producto P 2
28
7
7.
7.
7.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el problema de programación
programaci´on lineal
max z = −x1 + x2 − 5x3 + 14x
14 x4
s.a
6 x4 ≤ 24
5 x3 + 6x
4 x2 + 5x
3x1 + 4x
−x1 + x2 − 2x3 + 2x
2 x4 ≤ 12
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
o
su solución
soluci´on optima
´óptima queda caracterizada por: x =
(33)
   
x4
h2
o
,u =
4
4
yB
−1
=

1
6
−1
3
Se pide:
0
1

.
1. Para la solución
soluci´on optima,
´óptima, obten
obtener
er el cuadr
cuadroo corre
correspondie
spondiente
nte a la aplicaci´
aplicación
on del m´
método
etodo del Simplex
en su variante de la matriz completa.
2. Indicar
Indicar la nueva
nueva solución
soluci´
on si la disponibilidad del recurso de la segunda restricción
restricci´on disminuye en 8
unidades.
3. Indicar, partiendo del problema original, cómo
c´omo se modificar´
modificarı́ıaa la solución
soluci´on si el coeficiente de x4
pasara de tomar un valor 14 a un valor 5.
4. Explicar
Explicar el significado
significado de V3B, interpretado como c3 − cB pB
3 , explicando con detalle su significado
con los valores num´
numéricos
ericos que permiten calcular V 3B .
5. Formular el problema dual e indicar cuál
cu´al es su soluci´
solución
on ´óoptima
ptima a partir de la aplicaci´
aplicación
on de los
teoremas de la dualidad. No se valorar´
valoraráa la resoluci´
resolución
on del apartado por
p or otros métodos
m´etodos diferentes del
solicitado.
7.
7.2.
2.
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Lo que falta para poder construir
construir la tabla
tabla son las tasas de sustituci´
sustitución,
on, p B = B −1 A, y el
vector
vect
or de criterios
criterios del simplex,
simplex, V B = c − cB B −1 A.
Apartado 1.
1
pB
=B
−
1
A=


61
−
3
10

−31 14 −52 62 01 10
−1 7 −5 14 0 0

−
14 0

Y, por lo tanto, la tabla es:
x4
h2
- 56
4
4
x1
-8
1/2
-2
x2
- 25/3
2/3
- 1/ 3
 
=
/6/3 10
1−/22 −21//33 −510
10/
−11//63 01

(34)
V B = c − cB B −1 A = c − cB pB =
1 /2 2 /3
5 /6
1 1/6 0
−2 −1/3 −10
10//3 0 −1/3 1


−8 −25
25//3 −50
50//3 0 −7/3 0
x3
- 50/3
5/6
- 11/3
x4
0
1
0
h1
-7/3
1/6
-1/3
h2
0
0
1
=

(35)
7
Apartado 2.
cambiar´
arı́a
ıa de valor.
valor .
El nuevo problema
pr oblema tendr´
t endrı́a
ıa b 2 = 4, por lo que u B = B −1 b cambi
B
−1
b=

1
6
−1
3
0
1
   
24
4
4
−4
=
29
(36)
La solución
soluci´on deja de ser factible y cumplir
cumplir´ıa
ı́a V B ≤ 0 y u B ≤ 0. Hay que aplicar el método
m´etodo de Lemke.
Eliminando h 2 de la base e introduciendo x 1 se obtiene:
x4
x1
- 40
3
2
x1
0
0
1
x2
-7
*
*
x3
-2
*
*
x4
0
1
0
h1
-1
*
*
h2
-4
*
*
Con lo que la nueva solución
soluci´on es x 4 = 3, x 1 = 2 y el resto de variables no básicas,
b´asicas, e iguales a 0 y con
un valor de la función
funci´on objetiv
objetivoo z = 40.
Apartado 3.

cambiar´
arı́a
ıa de valor.
valor .
El nuevo problema
pr oblema tendr´
t endrı́a
ıa c 4 = 5, por lo que V B cambi
−1 1
−5 5 0 0
  
−
5
0
V B = c − cB cB −1 A = c − cB − cpB =
1/2 2/3
5 /6
1 1 /6 0
−2 −1/3 −11
11//3 0 −1/3 1


−7/2 −7/3 −55
55//6 0 −5/6 0
=
(37)

Luego la solución
soluci´on ser
s er´ıa
ı́a igualmente
i gualmente factibl
factiblee y ´óptima.
optima. Con lo que x 4 = 4, h 2 = 0.
0 . S´
Sı́ı cambi
ca mbiar´
arı́ıaa el valor
valo r
de la función
funci´on objetivo,
objetivo, z = 20
Apartado 4.
V3B = c3 − cB pB
50/3 representa la diferencia entre:
3 = −50/
c3 = −5 la contribuci´
contrib ución
on unitaria
unitari a al bene
beneficio
ficio p
por
or cada unid
unidad
ad realizada
real izada de x3 (en este caso representa
una p´
pérd
erdida
ida)) y
la modificación
modificaci´on de la función
funci´on objetivo por la modificación
modificaci´on de las variables b´
básicas
asicas que representa la
realización
realizaci´
on de una unidad de x 3 , 35/
35/3,que se calcula como


la contribución
contribuci´on unitaria de las variables básicas,
b´asicas, c B , multiplicada por
la modificación
modificaci´on de las variables básicas
b´asicas que representa la realizaci´
realización
on de una unidad de x 3 , p B
3 .
En este caso, al realizar una unidad de x3 la función
funci´on objetivo disminuir´
disminuirıa
ı́a en 5 y la modificación
modificaci´on de
las variables básicas
b´asicas harı́a
har´ıa que la funci´
función
on objetivo disminuyera en 35
35//3, con lo que no resulta interesante
la realización
realizaci´on de esa actividad.
Apartado 5.
El problema
problema dual
dual es:
min s = 24y
24y1 + 12y
12 y2
s.a
3y1 − y2 ≥ −1
4y1 + y2 ≥ 1
5y1 − 2y2 ≥ −5
6y1 + 2y
2 y2 ≥ 14
y1 , y2 ≥ 0
(38)
(7 /3, 0)
Y su solución
soluci´on optima
´óptima es, por aplicación
aplicaci´on del teorema
teorema fundamental
fundamental de la dualidad:
dualidad: y o = π B = (7/
Y por aplicación
aplicaci´on del teorema de las holgur
holguras
as compleme
complementa
ntarias:
rias:
7
Para la primera
primera variable
variable de hogura
hogura:: y 3 = −V1 = 8
y4 = −V2 = 25
25//3
y5 = −V3 = 49
49//3
y6 = −V4 = 0
Con un un valor de la función
funci´on objetivo s ∗ = z ∗ = 56
30
31
8
8.
8.
8.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Se pide responder a las siguientes preguntas de tipo test.
NOTA: redactar
redactar la respuesta
respuesta incluyendo
incluyendo la frase comple
completa
ta en las hojas
ho jas entregadas
entregadas para calificar
Por
r ejemplo, una posible
con el encabezado y con la opción
opci´on elegida como correcta. Po
p osible respuesta,
respues ta, serı́a
ser´ıa
Al resolver un problema
problema mediante
mediante le m´
métod
etodo
o de las dos fases, una restric
restricci´
ci´
on de
dell ti
tip
po
j a ij xj = bi ,
a
x
h
−
a
b
en el pr
proble
oblema
ma auxil
auxiliar
iar aso
asociad
ciado
o se transfo
transforma
rma en
+
=
.
No
es
necesario
indicar el
i
i
i
j ij j


subapartado (porque todos son diferentes)
Solo una respuesta de cada apartado es correcta. Para cada apartado, una respuesta correcta suma
un punto, una respuesta incorrecta resta un cuarto de punto.
1. Al resolver un problema mediante el método
m´etodo de las dos fases, una restricci´
restricción
on del tipo
en el problema auxiliar asociado
Se transforma en
Se transforma en
Se transforma en



j
aij xj + hi − ai = b i .
j
aij xj − hi + ai = b i .
j
aij xj + ai = b i .

j
aij xj = b i ,
Ningunaa de las anteriore
Ningun
anterioress es correcta.
correcta.
2. Al resolver un problema mediante el método
m´etodo de las dos fases:
Si la solución
soluci´on ´óoptima
ptima del problema auxiliar contiene alguna variable artificial en la base, el
problema
proble
ma original no tiene solución
soluci´
on factible.
Si la solución
soluci´on optima
´óptima del problema auxiliar tiene función
funci´on objetivo igual a cero, el problema
original
origi
nal s´ı́ı tiene soluci
soluci´óon
n factible.
Tras obtener la solución
soluci´on ´óptima
optima del problema auxiliar, basta con recalcular V B y z para poder
reutilizar la tabla de dicha solución
soluci´on y obtener una tabla correspondiente una solución
soluci´on factible
del problema original .
Ningunaa de las anteriore
Ningun
anterioress es correcta.
correcta.
3. Dado un problema
problema de programación
programaci´
on lineal de m´
máximizaci´
aximización
on P, cuya solución
soluci´on optima
´óptima es x ∗ :
Al introducir una nueva restricción,
restricci´on, la soluci´
solución
on x ∗ puede dejar cumplir el criterio de optimalidad.
Al intr
introducir
oducir una nue
nuev
va actividad,
actividad, la soluci
soluci´on
ón x ∗ puede dejar de ser factible.
drı́ıaa
Si se disminuye la contribución
contribuci´on unitaria al b
beneficio
eneficio de una actividad no básica,
b´asica, la x ∗ podr´
dejar de ser la solución
soluci´on ´óoptima.
ptima.
Ningunaa de las anteriore
Ningun
anterioress es correcta.
correcta.
8.
8.2.
2.
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
1. Al resolver un problema mediante le método
m´etodo de las dos fases, una restricci´
restricción
on del tipo
en el problema auxiliar asociado
INCORRECTA: se transforma en
INCORRECTA: se transforma en
CORRECTA: se transforma en



j
aij xj + hi − ai = b i
j
aij xj − hi + ai = b i
j
aij xj + ai = b i
INCORRECTA: ninguna de las anteriores es correcta

j
aij xj = b i ,
8
2. Al resolver un problema mediante el método
m´etodo de las dos fases
32
INCORRECTA: si la solución
soluci´on optima
´óptima del problema auxiliar contiene alguna variable artificial
en la base, el problema original no tiene solución
soluci´on factible
CORRECTA: si la solución
soluci´on ´óptima
optima del problema auxiliar tiene funci´
función
on objetivo igual a cero,
el problema original s´ıı́ tiene soluci´
solución
on factible
INCORRECTA: tras obtener la solución
soluci´on optima
´óptima del problema auxiliar, basta con recalcular
B
V y z para poder reutilizar la tabla de dicha solución
soluci´on y obtener una tabla correspondiente
la solución
soluci´on optima
´óptima del problema
problema original
INCORRECTA: ninguna de las anteriores es correcta
3. Dado un problema
problema de programación
programaci´
on lineal P, cuya soluci´
solución
on optima
´óptima es x ∗
INCORRECTA: al introducir una nueva restricción,
restricci´on, la soluci´
solución
on x∗ puede dejar cumplir el
criterio de optimalidad
INCORRECTA: al introducir una nueva actividad, la solución
soluci´on x ∗ puede dejar de ser factible
INCORRECTA:
INCORRECT
A: si se disminuy
disminuyee la cont
contribuci
ribuci´on
ón unitaria al beneficio de una actividad no
∗
podrı́a
ıa dejar de ser la soluci´
solución
on ´óoptima
ptima
básica,
b´asica, la x podr´
CORRECTA: ninguna de las anteriores es correcta
33
9
9.
9.
9.1.
1.
Enun
Enunci
ciad
ado
o
A,, B y C . Cada modelo de mesa requiere
La empresa dynamix fabrica tres estilos diferentes de mesas. A
de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montaje y el correspondiente proceso de
pintura. La empresa puede vender todas las unidades que fabrica. E
Ess más,
m´as, el modelo B ta
tambi´
mbién
en se puede
pue de
vender sin
si n pintar.
pintar . Los datos técnicot´ecnico-econ´
económicos
omicos se muestran a continuaci´
continuación.
on.
Modelo
Modelo 1: mesa A pintada
Modelo 2: mesa B pintada
Modelo 3: mesa B sin pintar
Modelo 4: mesa C pintada
Capacidad (h/mes)
Tiempo
corte (h)
1
2
2
3
200
Tiempo
mo
monta je (h)
2
4
4
7
3 00
Tiempo
pi
pintura (h)
4
4
0
5
240
Contrib.
un
unitaria (euros)
35
40
20
50
El siguiente
siguiente modelo de programaci´
programación
on lineal permite obtener el plan de producción
producci´on mensual ´optimo.
óptimo.
max z = 35x
35x1 + 40x
40 x2 + 20x
20 x3 + 50x
50 x4
s.a
x1 + 2x
2 x2 + 2x
2 x3 + 3x
3 x4 ≤ 200
2x1 + 4x
4 x2 + 4x
4 x3 + 7x
7 x4 ≤ 300
5 x4 ≤ 240
4 x2 + 5x
4x1 + 4x
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
(39)
Donde x i , i = 1, 2, 3 representa las unidades de modelo i producidas y vendidas mensualmente y x 5 ,
x6 y x 7 son las variables de holgura necesarias para convertir las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente,
en igualdades.
Se sabe que las variables básicas
b´asicas de la solución
soluci´on ´óoptima
ptima son x5 , x3 y x 1 y que la matriz inversa de la
base, para el orden de variables básicas
b´asicas anterior, correspondiente a dicha solución
soluci´on es
B −1 =
.


1 − 21
0 14
0 0
0
− 18
1
4


Se pide:
1. Definir el plan de producción
producci´on ´óoptimo
ptimo y el uso asociado de los recursos.
2. Dado el ´exito
éxito de los modelos de mesa sin pintar, la empresa est´
estáa valorando la posiblidad de fabricar el
modelo C sin pintar (que se diferencian de las mesas pintadas solo en el proceso de pintado). Estima
que la contribución
contribuci´on unitaria al benefic
beneficio
io de ese modelo ser
ser´ıa
ı́a de 42 euros por unidad.
unidad. Justificar
Justificar el
inter´es
inter
és de la fabrica
fabr icacci´
cción
on y venta de mesa
m esass C sin pintar y, en caso de haber un nuevo plan ´óptimo
´´optimo
de producci´
producción,
on, describir cuál
cu´al ser´
se rı́ıa.
a.
3. Realizar un análisis
an´alisis de sensibilidad para la capacidad del taller de montaje.
4. Un estudio preliminar de métodos
m´etodos y tiempos permite afirmar que el tiempo de pintado de las mesas
B podr´
podrı́a
ıa reducirse. En
E n particular, atendiendo a diferentes mejoras se podr´
podrı́a
ıa reducir el valor pero
nunca podrı́a
podr´ıa ba jar de 2 horas. Se pide indicar cu´
cuál
al es el beneficio obtenido en funci´
función
on de las horas
λ , que puede tomar cualquier valore entre 0 y 2.
de reducción
reducci´on λ,
9
9.
9.2.
2.
34
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
El vector
vector de realizaci
realizaci´on
ón de las actividades básicas
b´asicas se obtiene como u B = B −1 b. En este
caso:
B
u =


− 21
1
0
0
− 18
1
4
0
1
4
0
   
   
200
300
=
240
50
45
(40)
60
Es decir, x 5 = 50, x 3 = 45, x 1 = 60 y el resto de variable son nulas, lo cual significa que:
se fabrican 60 mesas de tipo A y 45 de tipo B sin pintar,
no se fabrica nada del resto de modelos y
se emplean todas las horas disponibles de montaje y pintura y
sobran 50 horas de taller de corte,
con un beneficio de 3000 euros.
Apartado 2. Para valorar el
e l interés
inter´es de fabr
fabricar
icar un nuevo model
modeloo serı́a
ser´ıa necesario
necesa rio introducir
intro ducir una nueva
variable, x 8 : número
n´
umero de mesas de tipo C sin pintar. Con A 8 = ( 3 7 0 )T , c 8 = 42.
B
Ser´ıa
Ser
ı́a interesante
inter esante fabricar
fab ricar el nuevo modelo
model o si V 8 ≥ 0.
V8B = c7 − cB B −1 A8 = 42 −

0 20 35


1
0
0
− 21
1
4
0
0
− 18
1
4


3
7 0

=7
(41)
Por lo que s´ı́ı serı́a
ser´ıa interesante su produ
producci´
cción
on y venta, ya que con cada unidad producida y vendida el
beneficio
benefi
cio se
s e incrementar´
incr ementarı́a
ıa en 8 euro
euros.
s.
La tabla correspondiente a la solución
soluci´on optima
´óptima sin introducir la producci´
producción
on del
de l nuevo modelo
model o ser
se r´ı́ıaa llaa
siguiente, a partir de la cual, se podr´
podrı́a
ıa iterar para obtener el nuevo plan de producción.
producci´on.
x5
x3
x1
x5
x8
x1
- 3000
5500
x1
0
0
x2
-5
0
x3
0
0
x4
-65/4
- 1/2
x5
0
1
x6
-5
-1
- 1/2
x7
- 25/4
0
x8
7
- 1/2
45
6600
- 3180
6622.87
2255.71
60
0
1
0
0
0
1
1/2
1
-7
×
×
×
1
0
-4
×
×
×
9/8
5/4
-83/4
×
×
×
0
0
0
1
0
0
1/4
0
-6
×
×
×
- 1/8
1/ 4
- 23/4
×
×
×
7/4
0
0
0
1
0
Con lo que el nuevo plan ´óptimo
optimo consiste en:
producir, por t´
término
ermino medio, 60 mesas A y 25.71 de tipo C sin pintar
no producir nada del resto de modelos,
empleando todas las horas de todos los talleres, salvo en el de corte, que sobrar´
sobrar ıan
ı́an 62.87.
35
Las variables
variables básicas
b´
asicas de la soluci´
solución
on del apartado 1 son las correspondientes a la solución
soluci´on
B
−1
´óptima mientras que u = B b tenga todos sus valores no negat
optima
negativos
ivos..
9
Apartado 3.
uB =


1 − 12
1
0
4
0 0
  
  
0
− 18
200
b2
240
1
4
200 − b2
b
− 30
4
60
2
=
2


≥0
(42)
Es decir 0 ≤ b 2 ≤ 400. Mientras la disponibilidad de las horas de montaje sea superior a 120 e inferior
a 400, la solución
soluci´on optima
´óptima tiene las mismas soluciones b´
básicas,
asicas, lo que significa que el mix de prouducci´
prouducción
on
no cambia. S´ı́ı cambia la función
funci´
on objetivo que aumenta o disminuye en π2 = 25
25//4 con cada aumento o
disminución
disminuci´
on de una hora de taller con respecto a las disponibles.
Apartado
Apart
ado 4. Como se admite que el tiem
tiempo
po de pintura
pintura puede reducirse en cualqui
cualquier
er valor superior
superior
cero e inferior a dos, en términos
t´erminos del modelo, esto significa que los coeficientes técnicos
t´ecnicos de la actividad 2
T
λ. En concreto, A2 = 2 4 4 − λ
dependen de un parámetro
par´ametro λ.
Es necesario evaluar cómo
c´omo se modifica
la solución
soluci´on optima
´óptima del proble
problema
ma en funci´
función
on de los valores del par´
parámetro.
ametro.
Para la solución
soluci´on optima
´óptima de partida λ = 0 y x 2 es no básica.
b´asica. Puede ocurrir que al variar el valor de λ
resulte rentable realizar dicha actividad. Para ello es necesario evaluar el critero del simplex para dicha
variable en función
funci´on del parámetro:
par´ametro:

B
B
V2 = c 2 − π A2 = 40 −


0 5 2 5 /4
 
2
4
4−λ

=
−20 + 25λ
25λ
4
(43)
≥0
(44)
−1
A2 .
Al modific
modificar
ar A 2 , cambian tanto V 2B como p B
2 =B
B
p2 =


1 − 21
1
0
4
0 0
0
− 18
1
4


2
4
4−λ
  
  
0
=
4+λ
8
4−λ
4
Es decir, mientras λ ≤ 4/5 la solución
soluci´on inicial sigue siendo ´optima.
óptima. En caso de que λ ≥ 44//5, la introT
0 3/5 4/5
ducción
ducci´
on de x 2 mejor
mejorar
ar´ıa
ı́a el
e l valor de llaa funci´
fu nción
on objetiv
objetivo.
o. Para λ = 0, se tiene que p B
2 =
La tabla correspondiente a ese caso serı́a
ser´ıa la siguiente, correspondiente a un ´optimo
óptimo múltiple.
m´
ultiple.

x5
x3
x1
x5
x2
x1
- 3000
5500
4455
6600
- 3000
5500
75
0
x1
0
0
0
1
0
0
0
1
x2
0
0
3/
3 /5
4/5
0
0
1
0
x3
0
0
1
0
0
0
5/ 3
- 4/4
x4
- 65/4
- 1/ 2
9/8
5/4
- 65/4
- 1/ 2
15/16
-1/4
x5
0
1
0
0
0
1
0
0
x6
-5
--11/2
1 /4
0
-5
--11/2
5/12
- 1/3

x7
- 25/4
0
- 1/8
1/4
- 25/4
0
5/24
25/6
La segunda tabla se obtiene introduciendo x 2 y eliminando x 1 de la base. Para valores de λ superiores
a 4/5, las actividades básicas
b´asicas son x 5 ,x2 y x 1 .
Al entrar x 2 en la base, la nueva solución
soluci´on base es:
9
B=


1 2
1
0 4
2
0 4 4−λ


36
(45)
Y, a patir de su inversa, es posible calcular los nuevos criterios del simplex. Se puede comprobar que
para 4/
4/5 ≤ λ ≤ 2 el criterio del simplex de las nuevas variables no básicas
b´asicas sigue siendo no negativo.
negativo.
En resumen:
si la reducción
reducci´on del tiempo de pintado es de entre 0 y 0.8 horas, el plan de producción
producci´on es el mismo
del apartado 1;
si la reducción
reducci´on del tiempo de pint
pintado
ado está
est´a ent
entre
re 0.8 y 2 horas, el mix de producci´
producción
on cambia y se
producir´
prod
ucirı́an
ıan mesas de tipo A y B , en diferente cantidad según
seg´
un la reducci´
reducción
on del tiempo de pintura.
37
10
10.
10.1
10
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
El fabricante de bicicletas UPM Bikes produce bicicletas, triciclos y t´
tándems.
andems. La producción
producci´on semanal
depende, esencialmente, de la disponibilidad de ruedas y de manillares y de las tareas de montaje. El
aprovisionamiento del resto de piezas y el resto de tareas no representan una limitación
limitaci´on para la empresa.
A la semana, UPM bikes dispone de un máximo
m´aximo de 100 ruedas y de 50 manillares.
Por otro lado, el montaje de una bicicleta requiere una hora, mientras que el montaje de un triciclo o
de un tándem
t´andem requiere dos horas y existen dos operarios para realizar el montaje, cada uno de los cuales
trabaja 40 horas semanales.
Además,
Adem´
as, UPM Bikes ha asumido
a sumido un compromiso comercial y debe entregar un m´ı́ınimo
nimo de 10 bicicletas
semanalmente a uno de sus clientes.
Por ultimo,
último,
´
el beneficio unitario que proporcionan estos productos son de 300 cada bicicleta,
bicicleta, 400
cada triciclo y 500 cada
cad a tánd
t´andem.
em.
Si x1 , x2 y x3 representan las unidades de bicicletas, triciclos y tándems
t´andems producidos semanalmente,
el siguien
siguiente
te modelo de programación
programaci´
on permite obtener el plan de producción
producci´on ´óoptimo.
ptimo.



max z = 300x
300x1 + 400x
400x2 + 500x
500x3
s.a. :
2x1 + 3x
3 x2 + 2x
2 x3 + h1 = 100
x1 + x2 + 2x
2 x3 + h2 = 50
(46)
x1 + 2x
2 x3 + h3 = 80
2 x2 + 2x
x1 − h4 = 10
x1 , x2 , x3 , h1 , h2 , h3 , h4 ≥ 0
Se admite que aunque las variables podr´
podr ı́ıan
an ser enteras, con el problema lineal se calculan los valores
medios de producci´
medios
producción
on a lo largo de las diferentes semanas en las que se repite el plan de producci´on.
La siguien
siguiente
te tab
tabla
la cor
corres
respond
pondee a una sol
soluci
uci´on
ón del proble
problema
ma correspond
correspondien
iente
te a su vez
vez al plan de
producción.
producci´
on.
h1
x3
h3
x1
- 13000
40
20
30
10
x1
0
0
0
0
1
x2
150
2
1/2
1
0
x3
0
0
1
0
0
h1
0
1
0
0
0
h2
- 250
-1
1 /2
-1
0
h3
0
0
0
1
0
h4
50
1
1 /2
0
-1
-1
Se pide:
1. Obtener
Obtener el plan de producción
producci´
on ´óoptimo
ptimo y explicar el uso que se hace de los recursos
Para la solución
soluci´on optima
´óptima (cada uno de los siguientes apartados son independientes entre s´ı́ı):
):
2. Identifica
Identificarr la inversa
inversa de la base corres
correspondien
pondiente
te a la soluci
soluci´on
ón optima
´óptima encontrada.
3. Discutir el interés
inter´
es por subcontratar horas adicionales para el montaje de productos.
4. Realizar el análisis
an´alisis de sensi
sensibilidad
bilidad de la soluci
soluci´on
ón obten
obtenida
ida con respecto al número
n´
umero de manillares
disponibles.
5. Indicar de qué
qu´e manera estar´
estarı́ıaa interesada UPM Bi
Bikes
kes en renegociar su compromiso comercial
6. El precio de los tándems
t´andems es bastante variable a lo largo del tiempo. Obtener mediante programaci´
ción
on paramétrica
param´etrica el programa de producci´
producción
on optimo
´óptimo para todos los posibles valores positivos de la
contribución
contribuci´
on unitaria al beneficio de dicho producto iguales o superiores a 350 .

10
10.2
10
.2..
38
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
´ LTIMO APAR
REVISAR ERRATAS ULTIMO
Ú
APART
TADO
Apartado 1.
Se aplica el método
m´etodo del Simplex partiendo de la tabla dada:
h1
x3
h3
x1
x2
x3
h3
x1
- 13000
4400
20
3300
1100
- 16000
20
10
10
1100
x1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x2
150
2
11//2
1
0
0
1
0
0
0
x3
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
h1
0
1
0
0
0
- 75
1/ 2
- 1/4
- 1/2
0
h2
- 250
-1
1/2
-1
0
- 175
-1
-1/2
3/
3/4
- 1/2
0
h3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
h4
50
1
1/2
0
-1
-1
- 25
1/2
1/4
- 1/2
-1
-1
El programa de producción
producci´on optimo
´óptimo consi
consiste
ste en produc
producir:
ir:
10 bicicletas
20 triciclos
triciclos
10 tándems
t´andems
Se usan todos los manillares y todas las ruedas y sobran diez horas de operarios de montaje.
La inversa
inversa de la
la base est
est´aá donde ooriginalmente
riginalmente habr´
habrı́ıaa estado la identidad. Las columnas
1, 2 y 3 de la identidad estaban en la tabla inicial en las columnas correspondientes a h 1 ,h2 y h 3 . Por su
parte, la columna de h4, en la tabla iincial,
ncial, conte
conte´ı́ıaa a la cuarta columna de llaa matriz identidad, por
p or lo que
la inversa de la base es la siguiete:
Apartado 2.
B −1 =


1/2 −1/2 0 −1/2
−1/4 3/4 0 −1/4
−1/2 −1/2 1 1/2
0
0
0
1


(47)
Sobran 10 horas de montaje
montaje por lo que no interesa contratar horas adicionales de montaje,
montaje,
B
y ası́
as´ı queda de manifiesto dado el valor del precio sombra de la tercera restricción
restricci´on π 3 = −Vh = 0.
Apartado
Apart
ado 3.
3
Las variables
variables básicas
b´asicas de la soluci´
solución
on obten
obtenida
ida sser
er´ıan
ı́an las
la s de la
l a soluci´
sol ución
on optima
´óptima al modificar
b2 si la solución
soluci´on básica
b´asica correspondiente sigue siendo factible.
Apartado 4.
uB = B −1 b =


1/2 −1/2
−1/4 3/4
−1/2 −1/2
0
0
0 − 1 /2
0 − 1 /4
1 1 /2
0
1

 
100
b2
80
10


=


b2 ≤ 90
b2 ≥ 110
110//3
b2 ≤ 70
10 ≥ 0


(48)
Mientras la disponibilidad
Mientras
disponibilidad de manil
manillares
lares est´
estée ent
entre
re 37 y 70 a la semana,
semana, la composici´
composición
on del plan de
producción
producci´
on optimo
´óptimo no cambia (aunque sı́
s´ı la
l a cantidad de piezas producidas).
39
El compromiso comercial de UPM bikes aparece reflejado en la cuarta restricción.
restricci´
on. El precio
sombra de la misma es π 4 = V hB = −25,
− 25, lo cual significa que si el compromiso comercial aumentase, en
estar´ıa
ı́a dispuesta a:
una unidad, el beneficio
b eneficio semanal se reducirı́a
reducir´ıa en 25 . Por lo tanto, UPM Bikes estar
10
Apartado 5.
4

asumir un compromiso comercial más
m´as restrictivo y entregar más
m´as de 10 bicis, si recibe una compensación
saci´
on por cada una de ellas superior a 25 .

relajar su compromiso comercial en la entrega de bicicletas, siempre y cuando la reducción
reducci´on no
supusiera un coste adicional superior a 25 .

Se trata de
de estudiar
estudiar la solución
soluci´
on ´óoptima
ptima cuando el vector de contribuciones unitarias al
− 150 ≤ λ ≤ ∞.
beneficio es c = (300,
(300, 400
400,, 500+ λ, 0, 0, 0, 0), con −150
La solución
soluci´on obtenida en el apartado 1 es válida
v´alida para λ = 0 y, en general, el valor de V B en función
funci´on
de λ es:
Apartado
Apart
ado 6.

300 400 500 + λ 0 0 0 0

−
400
400 500
500 + λ 0
300
uB (λ) = cc((λ) − cB (λ)B −1 A =

 

0
0
0
1
0 0
λ=0
x2
x3
h3
x1
20
20
1100
1100
10
x1
0
0
0
0
1
x2
0
1
0
0
0
x3
0
0
1
0
0
h1
h
λ−300
−
4
1/2
-1/4
-1/2
0
2
3λ+700
4
- 1/2
3 /4
- 1/2
0
1
0
0
0
1/2 −1/2 0 1/2
−1/4 3/4 0 1/4
−1/2 −1/2 1 −1/2
0
0
0 −1
0
1
0
0
λ−300
0
4
− 3λ+700
4
0
λ
−100−
4
(49)
h3
0
0
0
1
0
h4
λ
−100−
4
1/2
1/4
- 1/2
-1
La soluci´
solucion
ón es la solución
soluci´on ´óoptima
ptima si se cumple simult´
simultáneamente
aneamente
λ − 300 ≤ 0
−3λ − 700 ≤ 0
−100 − λ ≤ 0
(50)
− 100 ≥ λ ≥ 300 la base no se modifica.
Es decir, mientras −100
Si λ = −100 (el beneficio por cada tándem
t´andem es de 400 ), la tabla se conv
convierte
ierte en la siguient
siguientee (´
(óptimo
optimo
múltiple)
m´
ultiple) y se puede introducir la variable h 4 :

x2
x3
h3
x1
20
10
10
10
h4
x3
h3
x1
40
0
30
50
x1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x2
0
1
0
0
0
0
2
- 1/ 2
1
2
x3
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
h1
- 100
1 /2
- 1/4
- 1/2
0
- 100
1
- 1/2
0
1
h2
- 100
- 1/2
3/ 4
--11/2
0
- 100
-1
1
-1
-1
h3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
h4
0
1/2
1/4
-1/2
-1
0
1
0
0
0


=

10

40
funci´on de λ es:
La soluci´
solucion
ón obtenida es válida
v´alida para λ = −100 y, en general, el valor de V B en función
300 400 500 + λ 0 0 0 0

0 500 + λ 0 30 0
−

h4
x3
h3
x1
40
0
30
50
x1
0
0
0
0
1
x2
x3
0
0
1
0
0
λ+100
2
2
- 1/2
1
2
h1
uB (λ) = cc((λ) − cB (λ)B −1 A =

 
h2
− λ + 20 0
-1
1
-1
-1
λ−100
2
1
-1/2
0
1


1
0
0
0
−
λ+100
2
0
−1 0
0
1
1 −1/2 1 0
−1 1
0
0
−1 0
0
1
0
2
0 −1/2
0
1
1
2
−λ + 200 0 0
(51)
λ 2100
0
h3
0
0
0
1
0
=

h4
0
1
0
0
0
La solucion es la solución
soluci´on ´óoptima
ptima si se cumple simultáneamente
simult´aneamente
λ + 100 ≤ 0
λ − 100 ≤ 0
(52)
−λ − 200 ≤ 0
− 150 ≤ λ ≤ 100
Esto se cumple para cualquier valor de λ con −150
conviertee en la siguiente
siguiente (óptimo
(´optimo
Si λ = 300 (el beneficio por cada tándem
t´andem es de 800 ), la tabla se conviert
múltiple)
m´
ultiple) y se puede introducir la variable h 1 :

x2
x3
h3
x1
20
10
10
10
h1
x3
h3
x1
40
20
30
10
x1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
x2
0
1
0
0
0
0
2
1/2
1
0
x3
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
h1
0
1/2
- 1/4
- 1/2
0
0
1
0
0
0
h2
-400
- 1/ 2
3/4
--11/2
0
-400
-1
1/2
-1
0
h3
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
h4
- 100
1 /2
1 /4
- 1/2
-1
- 100
1
1 /2
0
-1
funci´
on de λ es:
La soluci´
solucion
ón obtenida es válida
v´alida para λ = 300 y, en general, el valor de V B en función

300 400 500 + λ 0 0 0 0

−
0 500 + λ 0
300

0

 
uB (λ) = cc((λ) − cB (λ)B −1 A =
0 2
0 1/ 2
0 1
1 0
300−λ
2
0
0
1
0
0
0
1 −1
0 11//2
0 −1
0 0
λ
−500−
2
0
0
1
0
1
1/2
0
−1


=

0 100 − λ
(53)
10
La soluci´
solucion
ón es la solución
soluci´on ´óoptima
ptima si se cumple simult´
simultáneamente
aneamente
300 − λ ≤ 0
−500 − λ ≤ 0
100 − λ ≤ 0
Esto se cumple para cualquier valor de λ con λ ≤ ∞
En resumen:
si 350 ≤ c3 ≤ 450, se deben producir 50 bicicletas;
si 450 ≤ c3 ≤ 800, se deben producir 10 bicicletas, 20 triciclos y 10 tándems;
t´andems;
si 800 ≤ c3 ≤ ∞, se deben producir 10 bicicletas y 20 tándems.
t´andems.
41
(54)
42
11
11.
11.1
11
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
David, Diana y Lidia son los ´unicos
únicos socios y empleados de una compañ
compa˜n´ıa
ı́a que produce
prod uce relo
r elojes.
jes. Davi
David
d
y Diana pueden trabajar un máximo
m´aximo de 40 horas por semana (cada uno de ellos), mientras que Lidia solo
puede trabajar hasta 22 horas semanales.
semanales.
La empresa hace dos tipos de relojes: rejores de pie y relojes de pared. Para hacer un reloj, David
(ingeniero mecánico)
mec´
anico) ensambla las partes internas y Diana (ebanista) produce las cajas de madera elaboradas a mano. Lidia es responsable de recibir pedidos y enviar los relojes. El tiempo que se requiere
para cada tarea se muestra en la siguiente tabla.
Tarea
Montar mecanismo
Tallar la cubierta de madera
Env´ı́ıoo
Relo j de pie
6 horas
8 horas
3 horas
Relo j de pared
4 horas
4 horas
3 horas
mientras que
que cada reloj
reloj de pared
Cada reloj de pie construido y enviado deja una ganancia de 300 , mientras
proporciona una ganancia de 200 .
Los tres socios desean determinar cuantos relojes de cada tipo deben producir por semana para
maximizar la ganancia total.
Se pide:


1. Formular
ormular un modelo de programaci´
programacióon
n lineal para los socios de esta empresa.
2. Resolver
Resolver el modelo anterior
anterior e indicar
indicar el plan de producción
producci´
on ´óoptimo
ptimo y la ocupaci´
ocupación
on de los socios. Se
pide interpretar y explicar correctamente los resultados obtenidos.
3. Existe acuerdo
acuerdo entre
entre los socios por el que aquel que pudiera hacer que el benefic
beneficio
io aumentar
aumentaraa más
m´
as
por cada hora adicional traba jada, aumentar
aumentar´ı́ıaa su disponibilidad horaria para la empresa. Identificar
quée socio
qu´
so cio aportar
aportar´ıa
ı́a mayor incremento del beneficio por hora adicional traba jada y el número
n´umero de
horas que podrı́a
podr´ıa aumentar su disponibilidad proporcionando ese incremento.
4. Existe la posiblidad
posiblidad de vender solo las cajas de los relojes de pared, sin incluir ning´
ningún
un mecanismo.
Identificar cuál
cu´al es el beneficio unitario obtenido por caja que harı́a
har´ıa rentable su producción
producci´on y venta.
Se estima que para este producto el tiempo de preparación
preparaci´on de env´
envıos
ı́os es el mismo que para el resto
de productos.
productos.
5. Identificar
Identificar el rango de valores
valores para el margen por reloj de pared dent
dentro
ro del cual resulta interesan
interesante
te
producir y vender
producir
vender dicho
dicho produc
producto.
to.
6. Se ha adquirido un compromiso comercial consistente
consistente en entregar al menos 9 relojes de pie cada tres
semanas a un cliente. Caracterizar el efecto que tiene este compromiso sobre el plan de producción
producci´on
y comentar en qu´
quée condiciones dicho compromiso puede ser interesante para la empresa.
11.2
11
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Se define x1 y x2 como el número
n´
umero de relojes de pie y de pared producidos y enviados
semanalmente, respectivamente. El modelo de programación
programaci´on lineal que permite
permite maximizar la ganancia
ganancia es
el siguiente:
Apartado
Apart
ado 1.
43
11
max z = 300x
300x1 + 200x
200x2
s.a. :
4 x2 ≤ 40
6x1 + 4x
8x1 + 4x
4 x2 ≤ 40
3x1 + 3x
3 x2 ≤ 22
(55)
x1 , x2 ≥ 0
Apartado 2.
El modelo se puede reformular
reformular con las restricciones
restricciones en form
formaa de igualdad
max z = 300x
300x1 + 200x
200x2
s.a. :
6x1 + 4x
4 x2 + h1 = 40
8x1 + 4x
4 x2 + h2 = 40
3x1 + 3x
3 x2 + h3 = 22
x1 , x2 , h1 , h2 , h3 ≥ 0
(56)
Donde h1 , h2 , h3 representan, respectivamente, el número
n´umero de las horas dispnibles que no trabajan
cada semana, respectivamente,
respectivamente, David, Diana y Lidia. Aplicando el método
m´etodo del simplex se puede resolver
el problema.
h1
h2
h3
h1
x1
h3
h1
x1
x2
0
4400
4400
2222
- 1500
1100
5
7
- 5200/3
1166/3
88//3
1144/3
x1
30 0
6
8
3
0
0
1
0
0
0
1
0
x2
2 00
4
4
3
50
1
1 /2
3/
3 /2
0
0
0
1
h1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
h2
0
0
1
0
- 75/2
33//4
1/8
--33/8
- 25
-1/2
1/4
-1/4
h3
0
0
0
1
0
0
0
1
- 100/ 3
- 2/3
- 1/3
2/3
El plan de producción
producci´on ´óoptimo
ptimo consiste en producir, cada tres semanas, 8 relojes de pie, 14 relojes de
pared, para lo cual David debe trabajar 34.67 horas a la semana, Diana 40 horas y Lidia 22 horas, con
semana.
a.
un beneficio total de 1733.33 por seman

El incremen
incremento
to de la fun
funci´
ción
on objetivo obtenido al disponer de una hora adicional de cada
una de las tareas de la empresa viene dada por el precio sombra de las tres restricciones correspondientes.
Apartado 3.
π1 = −VhB = 0
1
π2 = −VhB = 25
(57)
2
π3 =
−VhB3
= 33.
33.33
Es decir, cada hora adicional de Lidia, permitir
permitir´ıa
ı́a mejorar el beneficio en 33.33

.
44
Para calcular
calcular el n´
número
umero de horas que se deber´
deberı́a
ıa ampliar el horario de Lidia obteniendo una mejora de
quée valor de b 3 la solución
soluci´on deja de ser factible.
33.33 por cada hora adicional, es necesario calcular para qu´
11



uB = B −1 b =
1
0
0
−1/2 −2/3
1 /4 − 1 /3
−1/4 2/3
  
  
40
40
b3
60−2b3
3
30−b3
3
2b3 −30
3
=


(58)
Mientras 15 ≤ b3 ≤ 30 se mantiene la solución
soluci´on básica
b´asica obtenida y, con ella, los precios sombra.
Con el acuerdo pactado, Lidia deber
deber´ı́ıaa traba
trabajar
jar 8 horas adicionales con un incremento total del beneficio de 8 × 33.
33.33 = 266.
266.66 .

Lo que se propone representa
representa una nueva
nueva actividad x3 , cuyos coeficientes t´
técnicos
ecnicos son
B
A = (0
(0,, 4, 3). Se pide caracterizar c 3 para que interese realizar esta actividad, es decir, si V 3 ≥ 0
Apartado
Apart
ado 4.
T
V3B = c3 − cB − cB B −1 A3 = c3 − cB − πB A3 =
c3 −

0 2 5 1 0 0 /3
  
0
4
3
(59)
= c 3 − 200
Siempre y cuando el beneficio unitario obtenido por la venta de las cajas de relojes de pared sea
superior a 200 es interesante
interesante su producci´
producción
on y venta.

En términos
t´erminos del modelo, se pide un an´
análisis
alisis de sensiilidad de c 2 , eess decir,
de cir, para qué
qu´e rango
ra ngo
de valores de c 2 la solución
soluci´on siga siendo óptima.
´optima.
Apartado 5.
V B = c − cB − cB B −1 A =


300 c2
300 200 0 0 0
0 0
0

−

0
0 0 0
3 0 0 c2
300−c2
4


0 1 −1/2 −2/3
0 0 1/4 −1/3
1 0 − 1 /4 2 /3
0
1
0
c
−300+2 2
3



=
≥ 0 ⇒ 150 ≤ c2 ≤ 300
(60)
Es decir, el plan de producción
producci´on es ´óptimo
optimo siempre y cuando el precio de los relojes de pared sea igual
inferior a 300 .
o superior a 100 e igual o inferior


Apartado
Apart
ado 6.
El nuevo
compromis
compromiso
o se lotradu
traduce
en una nuev
nueva
a restricci´
restricción:
on: x1 ≥
3. La solución
soluci´
on
´óptima
obtenida no cumple
esta restricción,
restricci´
on, por
que ce
es necesario
iterar
para obtener
la nueva
solución.
soluci´
on.optima
La restricción,
restricci´on, de haberse introducido en la tabla del problema original, habr
habr´ıa
ı́a tenido la forma x 2 −
h4 = 3
h1
x1
x2
h4
-5200/3
1166/3
8/3
1144/3
3
1/3
- 1/3
x1
0
0
1
0
1
0
0
x2
0
0
0
1
0
1
-1
h1
0
1
0
0
0
0
0
h2
-25
- 1/2
1 /4
- 1/4
0
- 1/4
1 /4
h3
- 100/3
- 2/3
- 1/3
2 /3
0
1/ 3
- 1/3
h4
0
0
0
0
-1
-1
1
La tabla una vez incorada la nueva restricción
restricci´on y con h 4 como variable básica
b´asica es la siguiente, a partir
de la cual se puede iterar aplicando el m´
método
etodo de Lemke.
11
h1
- 52 00/3
1166/3
8/3
1144/3
--11/3
-1700
6
x1
0
0
1
0
0
0
0
x2
0
0
0
1
-1
0
0
h1
0
1
0
0
0
0
1
h2
- 25
- 1/2
1/4
--11/4
1/4
- 50
-1
h3
- 100/3
- 2/3
- 1/3
2/ 3
- 1/3
0
0
h4
0
0
0
0
1
- 100
-2
1
x
x2
h3
34
1
10
0
01
0
00
0
10/4
- 3/4
00
1
-21
3
h1
x1
x2
h4
45
Por lo que en beneficio disminuir´
disminuirıa
ı́a en 33.33 cada semana. Se justificar´
justificarıa
ı́a asumir este compromiso
comercial si, de alguna manera, las ventajas que prop
proporciona
orciona el acuerdo supera esta pérdida.
p´erdida.
La producción,
producci´on, con el nu
nuev
evoo com
compro
promis
miso,
o, ser´
serı́ıaa de 3 reloj
relojes
es de pie y 4 de pared
pared con un benefici
beneficioo
semanal del 1700 .


46
12
12.
12.1
12
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
El siguiente
siguiente programa de programaci´
programación
on lineal se utiliza para realizar la planificaci´
planificación
on mensual de
una planta que produce 3 productos (P
(P1 , P2 y P3 ) que se procesan en tres talleres (T
(T1 , T2 y T3 ) con
disponibilidades horarias respectivas de 900, 480 y 400 horas al mes.
max z = 8x
8x1 + 6x
6 x2 + 6x
6 x3
s.a. :
3x1 + x2 + 2x
2 x3 ≤ 900
x1 + x2 + x3 ≤ 480
x1 + 2x
2 x3 ≤ 400
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(61)
La siguiente tabla corresponden a la solución
soluci´on optima
ó´ptima del problema anterior:
x1
x2
h3
- 3300
22110
270
11990
x1
0
1
0
0
x2
0
0
1
0
x3
-1
1/2
1/2
3/2
h1
-1
1/2
-1
- 1/2
--11/2
h2
-5
-1/2
3/2
1/2
h3
0
0
0
1
Donde h 1 , h 2 y h 3
Se pide responder de forma independiente y a partir de la solución
soluci´on ´óoptima
ptima a las siguientes cuestiones:
1. Interpret
Interpretar
ar la solución
soluci´
on correspondiente a la tabla dada.
2. Realizar el análisis
an´alisis de sensibilidad para c 1 y c 3 , explicando los resultados obtenidos.
3. Calcular
Calcular la nueva
nueva soluci´
solución
on ´óoptima
ptima del problema si debido a una enfermedad, las horas disponibles
en el taller T 2 se reduce a 300 horas semanales.
4. Se est´
estáa evaluando la posiblidad de amplicar la capacidad en cada uno de los talleres. Existe un taller
vecino
vec
ino que ofrece horas adicionales
adicionales de cada uno de los talleres a un precio
precio de 3 unidades moneta
monetarias
rias
cada hora. ¿En qu´
quée talleres
tall eres y cu´
cuántas
antas horas ser´
serı́ıaa interesante subcontratar al taller vecino al precio
anterior?
5. Se
est´
a valorando
posiblidad
de ampliar
de productos
introducir
un nuevoon
P4 ,está
que
c onsumirı́a
consumir´
ıalauna
hora
h ora de cada
un
unoo de la
llos
osgama
tall
talleres.
eres.
¿Q
¿Qu´
uée debeecumpli
cumplir
r la contribuci
c ontribuci´
óproducto,
n unitaria
al benefecio de este nuevo producto
pro ducto para que resulte interesant
interesantee su producción
producci´on y venta?
12.2
12
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
El plan
plan de producci
producci´on
ón ´óoptimo
ptimo consiste en:
producir 210 unidades de P 1 ;
producir 270 unidades de P 2 ;
no producir
producir P 3 ;
emplear todas las horas de los talleres T 1 y T 2 ; y
emplear 210 horas del taller T 3 (de manera que no se emplean 190).
47
Análisis
An´
alisis de sensibilidad psra c 1 .
Como x 1 es una variable básica,
b´asica, si se mofifica c 1 se modifica todo el vector de criterios del simplex.
12
Apartado 2.

V B = c − cB B −1 A =

c1
−
6 6 0 0 0
c1
6 6 0 0 0
c1

6

c1
6 0
c1 +6
c1 −6
− 1 +18
2
2
c
2
Con lo que la solución
soluci´on seguir´
seguiráa siendo ´óptima
optima si V
B
0


1
0
0
=
0 1/2 1/2 −1/2 0
1 1/2 −1/2 3/2 0
0 3/2 −1/2 1/2 1
0 0
6−c1
2
6−c1
2
 
≥ 0:
c1 −18
2


=
0

(62)
6 − c1 ≤ 0
6 − c1 ≤ 0 ⇒ 6 ≤ c1 ≤ 1 8
c1 − 18 ≤ 0
(63)
Si la contribución
contribuci´on unitaria al beneficio del prodcuto P1 est´
estáa entre 6 y 18 (como es el caso inicial, en
el que es 8), la gama de productos de plan de producción
producci´on ´óoptimo,
ptimo, no se modifica.
En efecto, si la contribución
contribuci´on unitaria fuera menor que 6 no interesar
interesar´ıa
ı́a realizar P1 y si fuera superior a
18, su contribución
contribuci´on serı́a
ser´ıa lo suficientemente
suficientemente alta como para aaumentar
umentar todo lo posible el nivel de realización
realizaci´on
de P 1 aun a costa de dejar de realizar algo de lo que se realiza en la solución
soluci´on ´optima
óptima de partida.
partida.
An´
Análisis
alisis de sensibilidad psra c 3 .
Como x1 es una variable no básica,
b´asica, si se mofifica c1 se modifica solo su componente en el vector de
criterios del simplex.
B
c3 − c B
−1
B B
A3 = c 3 − c p3 = c3 −

8
6 0
 
 
1/2
1/2
3/2
= c3 − 7
(64)
Mientras c 3 − 7 ≤ 0, no interesará
interesar´a realizar este producto. Si la contribución
contribuci´
on unitaria al beneficio fuera
igual o superior a 7, ser´
serı́ıaa interesante realizar esta actividad.
Apartado 3.
Si b 3 =300, cambia u B = B −1 b:
B
u =


1/2 −1/2 0
−1/2 3/2 0
−1/2 1/2 1
   
   
900
300
400
=
300
0
100
(65)
La nueva solución
soluci´on es degenerada. La función
funci´on objetivo decrece ((zz B = 2400).
Viendo el vector
vector de prec
precios
ios sombra
sombra π B = (1
(1,, 5, 0) sólo
s´olo interesa subcontratar horas en el
taller 2; porque es más
m´as lo que puedo ganar que el coste de la subcontrataci´
subcontratación.
on. Al hacer el análisis
an´alisis de
sensibilidad de b 2 se observa que la cantidad máxima
m´axima de horas a subcontratar es de 380.
Apartado 4.
Apartado 5. Hay que calcular el interés
inter´
es del nuevo producto en funci´
función
on de su coste. Para eso se estudia
la relación
relaci´on entre V B y c 4 .
VxB4
B
= c 4 − c p4 = c 4 −

8 6 0
  
0
0
1
= c4 − 6
El nuevo producto resulta interesante si su contribución
contribuci´on al beneficio es mayor de 6.
48
13
13.
13.1
13
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
El siguiente
siguiente modelo de progra
programaci´
mación
on lineal, que se utiliza para la planificación
planificaci´on de la producci´
producción
on de 3
productos sometidos a 3 restricciones.
max z = 5x
5 x1 + 4x
4 x2 + 12x
12 x3
s.a. :
4x1 + 2x
2 x2 + 5x
5 x3 ≤ 40
5x1 + 3x
3 x2 + 7x
7 x3 ≤ 60
x1 + x2 + x3 = 10
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(66)
Se ha resuelto
resuelto por el método
m´etodo de la M grande, y la siguie
siguiente
nte tabla correspon
corresponde
de a una solución
soluci´
on optima
´óptima
del problema correspondiente a su vez al plan de producción
producci´on ´óoptimo.
ptimo.
x3
x5
x2
- 280/3
2200/3
1100/3
1100/3
x1
- 13/3
2/ 3
- 2/3
1/ 3
x2
0
0
0
1
x3
0
1
0
0
x4
- 8/3
1/3
- 4/3
-1/3
x5
0
0
1
0
a3
4/ 3- M
- 2/3
- 1/3
5/3
Tomando como referencia la solución
soluci´on ´óoptima
ptima actual:
B
y pB
1. Explicar
Explicar el significado de las tasas de sustituci´
sustitución
on p 11
13 .
restricci´on está
est´a operando
operando
2. Analizando el interés
inter´
es de incrementar o disminuir b 3 , justificar si la tercera restricción
como una limitaci´
limitación
on o como una obligaci´
obligación.
on.
haciendo
ndo uso expl´
explı́ıcito
cito de los valores de los precios sombra de los
3. Explic
Explicar
ar el signific
significado
ado de V1B, hacie
recursos correspondientes a las tres restricciones.
4. Suponiendo
Suponiendo que los recursos
recursos R1 y R 2 fueran intercambiables, calcular la solución
soluci´on optima
ó´ptima para cualquier cantidad de recurso transferido de R 2 a R 1 , utilizando para ello la programación
programaci´on pa
para
ram´
métr
etric
ica.
a.
soluci´on optima
´óptima es la correspondiente a
5. Determinar
Determinar el intervalo
intervalo de c 2 dentro del cual la base de la solución
la de la tabla dada. Sin necesidad de realizar cálculos,
c´alculos, indicar por qué
qu´e la solución
soluci´on básica
b´asica obtenida
dejar´ıa de ser la optima
dejarı́a
´óptima y qu´
quée ser´
serı́a
ıa ne
necesario
cesario realizar
realiz ar para
pa ra obt
obtener
ener la nueva soluci´
soluci on
ón optima.
´óptima.
6. Obtener
Obtener la nuev
nueva solución
soluci´
on y calcular la repercusi´
repercusión
on que tendr´
tendrıa
ı́a sobre el beneficio el hecho de que,
debido a un cambio de normativa, ya no se puede vender producto P 2
13.2
13
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
2
b´asica con respecto a la variable x1 , no
La tasa de sustitución
sustituci´on pB
11 = 3 de la primera variable básica
básica,
b´asica, representa en qué
qu´e medida disminuye el valor de la primera variable básica
b´asica x 3 (uB
1 ) cuando
2
B
B
la variable x 1 toma valor 1. Es decir: ∆u
∆ u1 ∆ = p 11 = − 3
x1
sustituci´on de x 3 con respecto a esa misma variable y es 1.
La tasa de sustitución
sustituci´on p B
13 es la tasa de sustitución
Esta tasa representa en qué
qu´e medida disminuye x 1 cuando x 1 toma valor 1, y es -1. Es decir, no es
posible obtener un valor diferente de x 3 = 20
, para la base B = (A3 A5 A2 ).
3
13
Apartado 2.
El precio sombra
sombra de la tercera
tercera restricc
restricci´
ión
on es π 3B = − 34 . Es decir:
49
Si ∆b = 1 ⇒ ∆z = − 43
3
Si ∆b = −1 ⇒ ∆z =
3
4
3
darıa
ı́a lugar a un aumento de la función
funci´
on
Si fuera p
posible,
osible, ser´
serıa
ı́a desear disminuir el valor de b 3 , porque dar´
objetivo. Se puede decir, que la restricción
restricci´on tercera está
est´a actuando en esta soluci´
solución
on como una obligación.
obligaci´on.
Apartado 3.
El criterio
criterio del simplex
simplex de la va
variable
riable x 1 se puede expresar como:
B
B
V1 = c 1 − π A1 = 5 −



 


 
 
8
3
0 −
8
3
Los precios sombra de las tres restricciones son πB =
valores unitarios de cada uno de los tres recursos.
4
5
1
4
3
0 − 34
(67)
que son, respectivamente, los
4
El consumo unitario de dichos recursos al realizar una unidad de P 1 es
5 .
1
B
Con lo que el producto de π A1 representa el valor de los recursos que son necesarios para producir
una unidad de P 1 y que se detraen del plan de producción
producci´on correspondiente
correspondiente a la soluci´
solucion
ón optima.
´óptima. En este
caso π B A3 = 28
.
3
entre:
El criterio del simplex V 1B representa la diferencia entre:
la contribución
contribuci´on unitaria al beneficio de P 1 , c 1 = 5 y
el citado valor de los recursos para realizar una unidad de P 1 : π B A3 =
28
3
.
La diferencia es V 1B = − 13
, con lo que no resulta realizar este producto, porque no se ve compensado
3
el ingreso con lo que se deja de ganar al detraer recursos del plan actual de producción.
producci´on.
Lo que se pide es resolver
resolver el siguient
siguientee problem
problemaa de programac
programaci´
ión
on param´
par amétr
etrica
ica con b =
T
40 + λ 60 − λ
, con λ ≥ 0:
Apartado
Apart
ado 4.


max z = 5x
5 x1 + 4x
4 x2 + 12x
12 x3
s.a. :
5 x3 ≤ 40 + λ
2 x2 + 5x
4x1 + 2x
5x1 + 3x
3 x2 + 7x
7 x3 ≤ 60 − λ
x1 + x2 + x3 = 10
(68)
x1 , x2 , x3 ≥ 0
La soluci´
solucion
ón dada corresponde a λ = 0
λ=0
x3
x5
x2
- 280 /3
20 /3
10 /3
10 /3
x1
-13/3
2/3
- 2/3
1/3
x2
0
0
0
1
x3
0
1
0
0
x4
- 8/3
1 /3
- 4/3
- 1/3
x5
0
0
1
0
a3
4/3 − M
- 2/3
- 1/3
5/3
13
50
Esta solución
soluci´on es optima
óptima
´
y factible si u B (λ) ≥ 0:
uB (λ) = B −1 b(λ) =


1/ 3 0
−4/3 1
−1/3 0
1
3


−2/3
−1/3
5/ 3
20 + λ
10 − 7λ




40 + λ
60 − λ
10


≥0⇒λ≤
=
(69)
10
7
10 − λ
Las siguientes tres tablas son, respectivamente, la tabla correspondente a la solución
soluci´on optima
´óptima cuando
10
10
soluci´on otpima
ó´tpima cuando λ = 7 y la que se obtiene
obtiene a partir
0 ≤ λ ≤ 7 , la tabla correspondiente a dicha solución
de la anterior aplicando el método
m´etodo de Lemke.
0≤λ≤
x3
x5
x2
λ = 10
7
x3
x5
x2
10
7
280+8λ
3
20+λ
3
10−7λ
3
10−λ
3
680
7
50
7
−
10
7
λ=
x3
x4
x2
−
0
20
7
680
−507
7
0
20
7
x1
- 13/3
2/3
-2/3
1/3
- 13/3
2/3
-2/3
1/3
x2
0
0
0
1
0
0
0
1
x3
0
1
0
0
0
1
0
0
x4
- 8/3
1/
1 /3
-4
- 4/3
- 1/3
- 8/3
1/
1 /3
- 4/3
- 1/3
x5
0
0
1
0
0
0
1
0
a3
4 /3 − M
-2/3
- 1/3
5/3
4 /3 − M
-2/3
- 1/3
5/3
1-/32
1/2
1/2
00
0
1
10
0
0
00
1
0
1-/24
-3
- 3/4
- 1/4
2-−
3/M
4
1/4
7/4
40 + λ
60 − λ
10


Esta solución
soluci´on es optima
óptima
´
y factible si u B (λ) ≥ 0:
uB (λ) = B −1 b(λ) =


0 1/4 −3/4
1 − 3 /4 1 / 4
0 − 1 /4 7 / 4
1
4


30 − λ
−10 + 7λ
7λ
10 + λ




≥
=
(70)
10
⇒ λ ≤ 30
7
Las siguientes tres tablas son, respectivamente, la tabla correspondente a la solución
soluci´on optima
´óptima cuando
≤ λ ≤ 30, la tabla correspondiente a dicha solución
soluci´on otpima
ó´tpima cuando λ = 30 y la que se obtiene a partir
de la anterior aplicando el método
m´etodo de Lemke.
10
7
10
7
≤ λ ≤ 30
x3
x4
x2
λ = 30
x3
x4
x2
1 00 − 2λ
30−λ
4
−10+7λ
4
10+λ
4
-40
0
50
10
x1
-3
1/ 2
1/ 2
1/ 2
-3
1/ 2
1/ 2
1/ 2
x2
0
0
0
1
0
0
0
1
x3
0
1
0
0
0
1
0
0
x4
0
0
1
0
0
0
1
0
x5
-2
1/4
- 3/4
- 1/4
-2
11//4
- 3/4
- 1/4
a3
2−M
-3/4
1/4
7/4
2−M
-3/4
1/4
7/4
No existe posiblidad
p osiblidad de iterar aplicando el método
m´etodo de Lemke, porque no existen tasas de sustitución
sustituci´
on
negativas para x 3 . Por lo tanto,la solución
soluci´on ´óoptima
ptima en funci´
función
on de lambda es:
13
Si 0 ≤ λ ≤
Valores de las variables básicas:
b´asicas: x 2 =

Valor de la función
funci´on objetivo:
objetivo: z =

10
7
Si

51
10
7
10+λ
3
, x3 =
20+λ
3
y x5 =
10−7λ
3
, x2 =
30−λ
4
y x4 =
−10+7
280+8λ
3
≤ λ ≤ 30
Valores de las variables básicas:
b´asicas: x 2 =
10+λ
4
λ
4
Valor de la función
funci´on objetivo:
objetivo: z = 100 − 2λ
Si λ > 30 el problema no tiene solución
soluci´on

A partir del análisis
an´alisis anterior, se puede concluir que el beneficio máximo
m´aximo se obtiene para λ =
decir, transfiriendo es cantidad de recursos, con un beneficio de 680
.
7
10
7
, es
La base
base de la soluci´
solución
on b´
básica
asica obtenida no cambia si la soluci´
solución
on sigue siendo ´optima
óptima y
B
factible. Si se modifica c 2 , puede cambiar V y la solución
soluci´on puede dejar de ser ´óptima.
optima. Hay que calcular
B
el intervalo de c 2 dentro del cual V ≤ 0.
Apartado
Apart
ado 5.
V B = c − cB p B =

5
c2
1122 0 0

−
12 0 c2
c2
2/3 0 1
−2/3 0 0
1/3 1 0
1 /3 0
−4/3 1
−1/3 0
c2
−3 −
0 0
Si c 2 ∈ [−9, 12], la base sigue siendo la obtenida.
3

 
3
−4 0



=
(71)
≤ 0 ⇒ −9 ≤ c2 ≤ 12
−9,
habr´ıa que aplicar
aplic ar el m´
método
etodo del
Si c2 < −
9, la solución
soluci´on dejar´
dejarı́a
ıa de ser optima
´óptima porque V1B > 0, y habrı́a
Simplex e introducir la variable x 1 .
Si c2 > 12, la solución
soluci´on dejar´
dejarı́a
ıa de ser optima
´óptima porque V4B > 0, y habrı́a
habr´ıa que aplicar
aplica r el m´
método
etodo del
Simplex e introducir la variable x 4 .
Apartado 6.
x2 ≤ 0 ⇒ x2 + x6 = 0
x3
x5
x2
x6
x3
x5
x2
x1
-280/3
20/3
10/3
10/3
0
- 10/3
- 50
0
10
0
10
x1
- 13/3
2/3
- 2/ 3
1/3
0
- 1/ 3
0
0
0
0
1
x2
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
x3
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
x4
- 8/3
1/3
- 4/3
-1
-1/3
0
1/3
-7
1
-2
0
-1
x5
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
a3
4 /3 − M
- 2/3
- 1/3
5 /3
0
- 5/3
−23 − M
-4
3
0
5
x6
0
0
0
0
1
1
-13
2
-2
1
-3
La nueva solución
soluci´on consiste en no fabricar P2 y fabricar 10 unidades de P1 con una función
funci´on objetivo
de 50, peor que el valor de la función
funci´on objetivo antes de introducir la restricción.
restricci´on.
52
14
14.
14.1
14
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Resolver el siguiente problema mediante el m´
método
etodo de llas
as dos fases:
max z = 3x
3x1 + 4x
4 x2 + 5x
5 x3
s.a. :
4 x3 ≥ 50
2 x2 + 4x
3x1 + 2x
x1 + x2 + x3 = 20
4x1 + 5x
5 x2 + 8x
8 x3 ≤ 300
x1 , x2 , x3 ≥ 0
14.2
14
.2..
(72)
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Reformulación
Reformulaci´
on del problema original (P
(P )
max z = 3x
3x1 + 4x
4 x2 + 5x
5 x3
s.a. :
3x1 + 2x
2 x2 + 4x
4 x3 − h1 = 50
x1 + x2 + x3 = 20
4x1 + 5x
5 x2 + 8x
8 x3 + h3 = 300
x1 , x2 , x3 , h1 , h3 ≥ 0
(73)
max z = −a1 − a2
s.a. :
3x1 + 2x
2 x2 + 4x
4 x3 − h1 + a1 = 50
x1 + x2 + x3 + a2 = 20
4x1 + 5x
5 x2 + 8x
8 x3 + h3 = 300
x1 , x2 , x3 , h1 , h3 , a1 , a2 ≥ 0
(74)
Problema de la primera fase (P
(P )
14
(1 fase)
(2 fase)
a1
a2
h3
70
0
50
20
300
x1
4
3
3
1
4
(1 fase)
15/ 2
1/4
1/2
0
1 /4
- 5/4
0
0
(2 xfase)
3
a2
h3
-12255//22
15/ 2
200
-33//44
1/4
-2
13//22
1/2
1
10
0
0
-51//44
1 /4
2
-15//44
- 1/4
-2
00
1
0
00
0
1
(1 fase)
(2 fase)
x3
x2
h3
0
- 85
5
15
185
0
- 3/2
1/2
1/2
- 5/2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1 /2
-1
- 1/2
1 /2
3 /2
-1
1/2
1/2
- 1/2
-3
- 3/2
-1
-3
-1
-1
2
-2
-2
0
0
0
0
1
(1 fase)
(2 fase)
x3
h1
h3
0
- 100
20
30
140
0
-2
1
1
-4
0
-1
1
2
-3
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
-1
-5
1
4
-8
0
0
0
0
1








x2
3
4
2
1
5
x3
5
5
4
1
8
h1
-1
0
-1
0
0
a1
0
0
1
0
0
a2
0
0
0
1
0
h3
0
0
0
0
1
La soluci´
solucion
ón del problema original es: x 3 = 20, x 1 = x2 = 0
53
54
15
EJERCI
CICI
CIO
O cio
15.EJER
15.
Ej
Ejer
erci
cici
o
15.1
15
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el problema de programación
programaci´on lineal (P
(P ):
max z = x 1 + x2 + 2x
2 x3
s.a
3x1 + 4x
4 x2 ≥ 12
x1 + x2 ≤ 24
x1 + x3 = 15
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(75)
P  ), si se resolviera mediante el m´
1. Plantear
Plantear el problema correspo
correspondien
ndiente
te a la primera fase ((P
método
etodo de
las dos fases.
2. Construir la tabla correspondiente al m´
método
etodo del Simplex, variante de la matriz completa, para la
primera solución
soluci´on de (P’).
P  ), la función
funci´on objetivo de la
3. Explicar
Explicar qué
qu´e se puede decir de P si al resolv
resolver
er el problema
problema anterior ((P
solución
soluci´
on optima
´óptima es diferente de cero.
15.2
15
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
TMCIO 1011 JUN
Apartado 1.
El problema P  correspondiente a la pimera fase es el siguiente.
max z = −a1 − a3
s.a
3x1 + 4x
4 x2 − h1 + a1 = 12
x1 + x2 + h2 = 24
x1 + x3 + a3 = 15
x1 , x2 , x3 , h1 , a1 , h2 , a3 ≥ 0
Apartado 2.
(76)
La tabla correspondie
correspondiente
nte a la solución
soluci´
on b´
básica
asica de partida de P  es:
a1
h2
a3
27
12
24
15
x1
4
3
1
1
x2
4
4
1
0
x3
1
0
0
1
h1
-1
-1
0
0
a1
0
1
0
0
h2
0
0
1
0
a3
0
0
0
1
funci´on objetivo diferente de cero, significa
Si la solución
soluci´on ´optima
óptima del problema P  tiene una función
que no tiene soluciones factibles con a1 = a3 = 0, con lo que el problema original P no tiene ninguna
solución
soluci´
on factible.
Apartado 3.
55
16
EJERCI
CICI
CIO
O cio
16.EJER
16.
Ej
Ejer
erci
cici
o
16.1
16
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Al resolver
r esolver un problema mediante el método
m´etodo de Lemke, aparece una tabla como la siguiente.
sig uiente. Explicar,
sin hacer operaciones
opera ciones,, qué
qu´e habr´
h abrı́a
ıa q
que
ue hacer para continuar (la explica
explicaci´
ción
on no deberı́a
deber´ıa tener una extensi´
extensi óon
n
superior a 100 palabras).
x1
x3
16.2
16
.2..
-7
-2
-5
x1
0
1
0
x2
6
3
3
x3
-4
0
1
h1
-2
2
-3
h2
0
0
1
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Todas las soluciones que se
s e visitan al aplicar el m´
método
etodo de Lemke cumplen el criterio de optimalidad
(V ≤ 0). En la tabla se muestra una solución
soluci´on que no lo cumple, por lo que debe de haber existido alg´
algún
un
error previo en la aplicación
aplicaci´on de dicho método
m´etodo,, habr´
habrı́a
ıa q
que
ue revisa
revisarr llos
os cálculos
c´alculos previos.
B
56
17
EJERCI
CICI
CIO
O cio
17.EJER
17.
Ej
Ejer
erci
cici
o
17.1
17
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Para la relajación
relajaci´on lineal del problema anterior, se pide:
1. Construir
Construir el problema
problema dual correspondien
correspondiente.
te.
2. Indicar cuáles
cu´ales son las variables básicas
b´asicas as´
ası́ı como sus valores, correspondientes a la solución
soluci´on optima
´óptima
de dicho problema dual.
17.2
17
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
MME 0809 FEB
Dado el primal:
max z = x1 + x2
sujeto a:
2x1 + 5x
5 x2 ≤ 16
6x1 + 5x
5 x2 ≤ 30
x1 ,x2 ≥ 0
(77)
min s = 16y
16y1 + 30y
30 y2
sujeto a:
2y1 + 6y
6 y2 ≥ 1
5y1 + 5y
5 y2 ≥ 1
y1 ,y2 ≥ 0
(78)
Su dual es:
Para la solución
soluci´on optima:
´óptima:
y ∗ = π B = (1
(1//20 3/20)
restricciones del dual se cumplen
cumplen en t´
términ
erminos
os de
Se cumple que: V1B = V1B = 0, por lo que las restricciones
igualdad y, por lo tanto, h 1 = h 2 = 0
Las variables básicas
b´asicas de la solución
soluci´on optima
´óptima del dual son y 1∗ = 1/20 y y 2∗ = 3/20
57
18
EJERCI
CICI
CIO
O cio
18.EJER
18.
Ej
Ejer
erci
cici
o
18.1
18
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Una empresa
empresa de productos
productos qu´
quı́micos
ımicos EPQ trata de conv
convencer
encer a AV de que alime
alimente
nte a sus gallinas
añadiendo
a˜nadiendo directamente AA y β C al pienso común.
com´un. EPQ conoce las caracter
caracter´ısticas
ı́sticas de los complejos
complejos
suplementarios que se ofrecen en el mercado local.
1. Plantear
Plantear el modelo de progr
programaci
amaci´óon
n line
lineal
al qu
quee util
utilizar´
izarı́a
ıa EP
EPQ
Q para determinar
determin ar su polı́tica
pol´ıtica de precios
pre cios
para AA y β C de modo que a AV le resultara indi
indiferen
ferente
te acudir al mercado
mercado local o comprar a EPQ.
2. Obtener la solución
soluci´on ´óoptima
ptima al modelo planteado por EPQ precisamente a partir de la obtenida en
el apartado 2 del ejercicio anterior.
3. Explic
Explicar
ar cómo
c´
omo podr´
p odrı́a
ıa af
afectar
ectar a EPQ
EP Q que C SN fuera o no interesante para AV.
18.2
18
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1 El modelo
mo delo que
qu e util
utilizar´
izarı́a
ıa EPQ serı́a
ser´ıa el dual d
del
el de AV. Siendo
Si endo y 1 e y 2 los precios que EPQ
pondr´ıa a AA y a β C, respectivam
pondrı́a
resp ectivamente,
ente, tratar
tratar´ı́ıaa de maximizar sus ingresos por suministrar el AA y β C
que necesita AV,
AV, siendo competitivo
competitivo con los comp
complejos
lejos suplementarios
suplementarios del mercado
mercado local,
lo cal, es decir:
max z = 15000y
15000y1 + 3000y
3000y2
s.a. :
40y
40y1 + 30y
30 y2 ≤ 70
60y
60y1 + 60y
60 y2 ≤ 20
40y
40y1 + 40y
40 y2 ≤ 50
y1 , y2 ≥ 0
(79)
Tanto por
por la aplicaci´
aplicación
on del teorema de las holguras complementarias, como por la inter∗
/gramo,
o, es decir, EPQ deber´
deber ıa
ı́a ofrecer AA a 333
pretación
pretaci´
on del ejercicio anterior, y1 = 1/3 e y2∗ = 0 /gram
/kg y deberı́a
deber´ıa regalarle
regala rle β C a AV para ser competitivo e ingresar los 5000 /semana.
Apartado 2



Lógicamente,
L´ogicamente, como a AV no le interesa C SN , no afectar
a fectar´ıa
ı́a a lo ya dicho para EPQ.
E PQ.
Sin embargo,
embargo, si a AV le interesara
interesara CSN, ser
ser´ıa
ı́a porque reduc
reducir
ir´ı́ıaa sus costes.
costes. Como en dualidad
dualidad las
funciones objetivo coinciden en el optimo,
´
óptimo,
los b
beneficio
eneficioss esp
esperados
erados por EPQ baja
b ajarr´ıan
ı́an (se enfrentarı́a
enfrentar´ıa con
un mercado más
m´as competitivo).
Apartado 3
58
19
EJERCI
CICI
CIO
O cio
19.EJER
19.
Ej
Ejer
erci
cici
o
19.1
19
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Considérese
Consid´
erese el problema
proble ma
max z = 2x
2x1 + x2
s.a. :
x1 + x2 ≤ 14
2x1 − x2 ≤ 10
x1 − x2 ≤ 3
x1 , x2 ≥ 0
(80)
Se pide
Escribirr el problema
Escribi
problema dual
Verificar la solución
soluci´on x = (8,
(8, 6) es una solución
soluci´on factible.

Demuestrar que x es solución
soluci´on ´óoptima
ptima mediante el teorema de las holguras complementarias y determinar
termi
nar la solución
soluci´
on ´óoptima
ptima del problema dual.

19.2
19
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
El problema
problema dual
dual es:
min s = 14y
14y1 + 4y
4 y2 + 3y
3 y3
s.a. :
y1 + 2y
2 y2 + y3 ≥ 2
y1 − y2 − y3 ≥ 1
(81)
y1 , y2 , y2 ≥ 0
Se trata
trata de un
unaa soluc
soluci´
ión:
on:
Restricci´
Restricción
on 1:8 + 6 = 14 ≤ 14
Restriccion 2:2 ∗ 8 − 6 = 10 ≤ 10
Restriccion 2:8 − 6 = 2 ≤ 3
Se cumplen
cumplen las tres restricciones,
restricciones, además
adem´
as h 3 = 1. El valor de la función
funci´on objetivo es 22.
Apartado 2.
h3 = 1, por lo que
Los valores
valores de las holguras del probl
problema
ema origin
original
al son: h 1 = 0, h 2 = 0,
0,h
B
los criterios del simplex de las variables del problema primal son V = (0,
(0 , 0, ≤ 0, ≤ 0, 0).
Por el teorema de las holguras complementarias sólo
s´olo y 1 e y 2 pertenecen a la base del problema dual.
yh1 = y h2 = y 3 = 0
Las restricciones del dual se transforman en un sistema de dos ecuaciones con dos variables ( y1 e y 2 ),
cuyo resultado es: y 1 = 34 e y2 = 31 . Para esta solución
soluci´on del dual, la funci´
función
on objetivo vale s = 22. Como
z = s estamos en la solución
soluci´on optima.
´óptima.
Apartado 3.
59
20
EJERCI
CICI
CIO
O cio
20.EJER
20.
Ej
Ejer
erci
cici
o
20.1
20
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el siguiente problema
max z = 5x
5x1 + 4x
4 x2 + 3x
3 x3
s.a. :
x1 + x3 ≤ 15
x2 + 2x
2 x3 ≤ 25
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(82)
Se pide:
1. Construir
Construir el problema
problema dual
2. Justificar
Justificar sin resolver el problema
problema dual, que 175 es una cota superior del problema
problema primal
3. Resolver gráficamente
gr´aficamente el dual.
4. Obtener la solución
soluci´on optima
´óptima del primal a partir del dual
20.2
20
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1.
El problema
problema dual
dual es:
min s = 15y
15y1 + 25y
25 y2
s.a. :
y1 ≥ 5
y2 ≥ 4
y2 + 2y
2 y2 ≥ 3
y1 , y2 ≥ 0
(83)
Si se encuentr
encuentraa una soluci´
solución
on del dual con s = 175, se dispondrá
dispondr´a de una cota superior del
primal. En efecto, y1 = 5 y y2 = 4 es una soluci´
solución
on factible del primal
primal y ofrece
ofrece una función
funci´
on objetivo de
s = 175
Apartado 2.
Apartado 3.
La soluci´
solucion
ón ´óoptima
ptima del dual se alcanza para y 1 = 5, y 2 = 4, con s = 175
Apartado 4.
Como y1 = 5, el precio sombra de la primera restricción
restricci´on en el primal es diferente de cero, por lo
que h 1 es una variable no básica.
b´asica.
Como y 2 = 4 , el precio sombra de la segunda restricción
restricci´on en el primal es diferente de cero, por lo
que h 2 es una variable no básica.
b´asica.
Por ultimo,
último,
´
con la tercera restricción
restricci´on del dual no se cumple como igualdad, la tercera variable del
primal, x 3 es no básica.
b´asica.
20
60
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
Las variables básicas
b´asicas de la solución
soluci´on optima
´óptima del primal son: x 1 y x 2 . Es decir, se debe cumplir:
x1 = 15
x2 = 25
El valor de la función
funci´on objetivo es z ∗ = 175 = s ∗
(84)
61
21 EJER
EJERCICIO
CICIO
MME-1213-EN
MME1213-ENE-2
E-2 13-ENE
21.
Eje
Ejerci
rcicio
cio
MME-12
MME
-1213ENE-2
-2
21.1
21
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Hallar el problema dual de este problema.
max z =

cixi
i

s.a. :
bi xi ≤ F
(85)
i
xi ≥ 0
Siendo F un escalar
21.2
21
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Hallar el problema dual es
yF
min s = yF
s.a. :
yb i ≥ ci ∀i
y≥ 0
(86)
62
22
EJERCI
CICI
CIO
O cio
22.EJER
22.
Ej
Ejer
erci
cici
o
22.1
22
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el problema:
problema:
max z = x1 + x2
sujeto a:
2x1 + 5x
5 x2 ≤ 16
6x1 + 5x
5 x2 ≤ 30
x1 ,x2 ≥ 0 y enteros
(87)
Se conoce la solución
soluci´on optima
´óptima de la relajación
relajaci´on lineal correspondiente, x ∗RL, cuya tabla del simplex se
indica a continuación.
continuaci´on.
x2
x1
- 53/10
9/5
7/2
x1
0
0
1
x2
0
1
0
h1
- 1/2 0
3/1 0
-1/4
h2
- 3/ 20
-1
- 1/ 10
1/4
Se pide resolver de forma gráfica
gr´afica el problema entero utilizando Branch&Bound, dibujando el ´arbol
árbol
correspondiente.
22.2
22
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
El arbol
´árbol correspondiente
correspondiente a la aplica
aplicaci´
ción
on del algoritmo de Land-Doig es el siguiente.
22
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
63
Existen tres soluciones enteras que arrojan el mismo valor z = 5. Las soluciones son las siguientes.
Solución
Soluci´
on 1: x 1 = 5 y x 2 = 0. Solución
Soluci´on 2: x 1 = 4 y x 2 = 1. Solución
Soluci´on 3: x 1 = 3 y x 2 = 2.
Resolución
Resoluci´
on gráfica
gr´afica de los problemas:
22
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
64
23
EJERCI
CICI
CIO
O cio
23.EJER
23.
Ej
Ejer
erci
cici
o
23.1
23
.1..
65
Enun
Enunci
ciad
ado
o
En un problema de programación
programaci´on lineal entera resuelto mediante ramificación
ramificaci´on y acotación
acotaci´on (algoritmo
de Land-Doig), explicar en qué
qu´e casos un nodo
no do del ´áarbol
rbol no se ramifica (y, por lo tanto, no da lugar a dos
nuevos nodos con sus correspondientes problemas).
23.2
23
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Un nodo no se ramifica si cumple alguna de las siguientes condiciones.
1. Si la solución
soluci´on del problema correspondiente a ese nodo es entera.
2. Si el valor de la función
funci´on objetivo del problema correspondiente a ese nodo es peor que el valor de
la función
funci´on objetivo de algún
alg´
un nodo con solución
soluci´on entera.
3. Si el problema
problema correspondien
correspondiente
te al nodo no tiene soluc
soluci´
ión
on factible.
66
24
EJERCI
CICI
CIO
O cio
24.EJER
24.
Ej
Ejer
erci
cici
o
24.1
24
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
En el curso de aplicar el m´
método
etodo “Branch & Bound ” (en el que cada nodo se ramifica en dos subproblemas que tienen una restricción
restricci´on ≤ o ≥ m´
más
as que el subproblema del que parten) para resolver un
max
x z = 4x1 − x2 , se obtiene
problema
proble
ma de optimizaci´
optimiza ción
on entera con variab
variables
les (x
( x1 y x 2 ) y función
funci´on objetivo
objetivo ma
el ´áarbol
rbol 1 de la figura 1.
Al lado de los nodos S , S1 , S12 y S2 se muestran las soluciones obtenidas al resolver la relajación
relajaci´on lineal
de los subproblemas correspondientes. Por ejemplo, al resolver la relajación
relajaci´on lineal para el subproblema
S1 se obtiene la solución
soluci´on relajada (2, 12 ).







Figura 1: árbol
´arbol 1 del B&B
1. La inf
inform
ormaci´
ación
on proporcionada en el ´arbol
árbol 1 y la función
funci´on objetivo dada permiten calcular cotas
inferiores
infer
iores y superiores
superiores del probl
problema
ema original. Para cada nodo indica qué
qu´e tipo de cota ofrece y cuál
cu´
al
es su valor.
´ rbol 1 muestra una soluci´
2. El Arbol
Á
solución
on entera factible. ¿Se puede asegurar que sea ´optima
óptima con la información
maci´
on dada hasta ahora? ¿Por q
qu´
ué?
e?
´ rbol 2 mostrado en la Figura 2,
3. Al seguir con la ramific
ramificaci
aci´óon
n del subproblema S1 se obtiene el Arbol
Á
donde se indican
indican las soluciones de las relajaciones lineales correspond
correspondient
ientes
es a los subproblem
subproblemas
as que
se ven en el ´arbol.
árbol. Actualiza las cotas inferiores y superiores ¿Puedes encontrar una soluci´
solución
on ´optima
óptima
para el problema, o habr´
habrı́ıaa que continuar
continuar explorando el arbol?
´árb ol? ¿Por qué?
qu´e?
Figura 2: árbol
´arbol 2 del B&B
24.2
24
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
MME 0809 SEP
24
EJER
EJERCI
CICI
O
Apartado
1CIO
Cada
67
nodo
nodo aporta una co
cota:
ta:
S0 . Solución
Soluci´on no entera. Cota superior. z 1 = 4 ×
20
7
−3=
S1 . Solución
Soluci´on no entera. Cota superior. z 2 = 4 × 2 −
1
2
=
59
7
15
2
S12 . Solución
Soluci´on entera. Cota inferior. z 12 = 4 × 2 − 1 = 7
No se puede asegurar
asegurar que
que sea la soluc
soluci´
ión
on ´óoptima
ptima porque, por ejemplo, el nodo no resuelto
correspondiente a la ramificación
ramificaci´on de S0 , es decir, S 2 puede ofrecer soluciones enteras mejores que la del
nodo S 12 .
Apartado 2
Apartado 3
Los nuevos nodos aportan nuevas
nuevas cotas:
S2 . Solución
Soluci´on no factible. No proporciona cota.
S11 . Solución
soluci´on
Soluci´on no entera con función
funci´on objetiv
objetivoo z 11 = 4 × 32 2 − 0 = 6, menor que el valor de la solución
entera de S 12 , con lo que se trata de una cota inferior.
La solución
soluci´on optima
óptima
´
es la correspondiente a S12 , ya que el nodo S2 no se puede ramificar, ya que corresponde
a un problema
problema sin soluci´
solucion
ón factible, y el nodo S 11 corresponde a un problema con solución
soluci´on no entera
entera peor
que la solución
soluci´on de S 12 , que s´ıı́ es entera.
68
25
EJERCI
CICI
CIO
O cio
25.EJER
25.
Ej
Ejer
erci
cici
o
25.1
25
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Resolver mediante Branch and Bound el siguiente problema PLE:
max z = 12x
12x1 + 6x
6 x2
s.a. :
(88)
4 x2 ≤ 17
2x1 + 4x
x1 , x2 ≥ 0 y enteras
enteras
Utilizar Simplex o Lemke para resolver las relajaciones lineales correspondientes (no se valorará
valorar´a la
obtenci´
obtención
on de soluciones optimas
óptimas
´
mediante método
m´etodo gr´
gráfico).
afico).
69
26
EJERCI
CICI
CIO
O cio
26.EJER
26.
Ej
Ejer
erci
cici
o
26.1
26
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Al empezar a resolver con Branch & Bound un problema de maximización
maximizaci´on con todas las variables
enteras se divide el problema original en dos subproblemas (dos ramas): x 1 ≤ 2 y x 1 ≥ 3. La rama x1 ≤ 2
ha sido podada al encontrar un solución
soluci´on entera en la relajación
relajaci´on lineal correspondiente (x
(x1 , x2 , x3 ) =
(1,
(1, 2, 1) con z = 5. Cuál
Cu´al ser´
serı́ıaa el siguiente paso si la soluci´
solución
on a la que se llega al resolver la relajación
relajaci´on
x
≥
lineal correspondien
correspondiente
te a la rama 1 3 fuera:
1. (x1 , x2 , x3 ) = (3,
(3, 1, 0.5) con z = 3.5
2. (x1 , x2 , x3 ) = (4,
(4, 1, 0) con z = 8
3. (x1 , x2 , x3 ) = (4,
(4, 1.5, 0) con z = 8
4. (x1 , x2 , x3 ) = (4,
(4, 1, 2) con z = 7.5
26.2
26
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
MME 1011 ENE
En este caso la soluci
soluci´óon
n obtenida por la rama x 1 ≥ 3 ofrece una cota superior menor que
la cota inferior de la rama x1 ≤ 1, por lo que esa rama también
tambi´en se
se p
podar´
odarı́a,
ıa, no habr´
h abrı́a
ıa nodos
n odos que ramifica
ramificarr
Apartado 1.
1
2
3
y la solución
soluci´on optima
´ópti ma serı́a
ser´ıa (x , x , x ) = (1,
(1, 2, 1) con z = 5
En este caso, habr
habr´ı́ıaa que po
podra
dra la rama x1 ≥ 3, al haber obtenido una solución
soluci´on entera (la
cota superior igual a la cota inferior) y la solución
soluci´on ´óoptima
pti ma ser´
serı́a
ıa (x1 , x2 , x3 ) = (4,
(4, 1, 0) con z = 8
Apartado 2.
En este caso,
caso, la rama
rama x 1 ≥ 3 no se podr
podr´ı́ıaa p
podar,
odar, ya que su cota superior es mayor
mayor que
la inferior del único
unico
´
otro nodo del problema y porque el nodo corresondiente a dicha rama no ofrece una
solución
soluci´
on entera. Serı́a
Ser´ıa necesario ramificar de nuevo, generando dos ramas a partir de la unica
ú
´nica variable no
entera: xx 2 ≤ 2 y x 2 ≥ 2. Para el problema se tendr´
tendrı́a
ıa una cota superior de 8 y una cota inferior de 3.5.
Apartado 3.
Apartado 4.
Análogamente
An´
alogamente al caso 2, la solución
soluci´on ´óoptima
pti ma ser´
serı́a
ıa (x1 , x2 , x3 ) = (4,
(4, 1, 2) con z = 7.5.
70
27
EJERCI
CICI
CIO
O cio
27.EJER
27.
Ej
Ejer
erci
cici
o
27.1
27
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Resolv iéndose
Resolvi´
endose un
u n problema
pro blema de programaci
pro gramaci´óon
n entera se ha llegado a construir el ´arbol
árbol que se muestra
en la figura 27.1. Se pide responder a las siguientes preguntas de tipo test.
P0
x1=11.69
x2=3.01
0
z*=50.18
x111
x112
P1
P2
x1=11
x2=3.37
X1=12
1
2
z*=49.36
x23
z*=49.33
x24
P3
P4
x1=11
z*=47
x2=3
3
X2=2.66
x22
P5
x1=12.57
4
z*=48
5
x2=2
6
z*=47.71
Figura 3: ´arbol
árbol resultante durante la resolución
resoluci´on de un problema con B&B
NOTA: redactar
redactar la respuesta
respuesta incluyendo
incluyendo la frase comple
completa
ta en las hojas
ho jas entregadas
entregadas para calificar
con el encabezado y con la opción
opci´
on elegida como correcta. Por ejemplo, una posibl
p osiblee respuesta,
respu esta, serı́a
ser´ıa La
informaci´
on del ´
arbol permite afirmar que: ninguna de las anteriores es correcta . No es necesario indicar
el subap
subapartado
artado (porque todos son difer
diferent
entes)
es)
Solo una respuesta de cada apartado es correcta. Para cada apartado, una respuesta correcta suma
un punto, una respuesta incorrecta resta un cuarto de punto.
1. Con respecto al nodo 4:
Hay que seguir ramificando el nodo 4.
No interesa ramificar el nodo 4 porque su relajaci´
relajación
on lineal tiene un valor menor que alguna de
las cotas inferiores
inferiores obteinidas
obteinidas hasta ahora.
No interesa ramificar el nodo 4 porque ya es una solución
soluci´on entera.
Ninguna de las anteriores es correcta
2. La informaci´
información
on del ´arbol
árbol permite afirmar que:
Debo ramificar el nodo 5 en dos nuevos subnodos cuyas ramas son x 1 ≤ 12 y x 1 ≥ 13.
No debo ramificar
ramificar el nodo 5 porque el subpro
subproblema
blema correspondien
correspondiente
te no puede
puede tene
tenerr soluciones
soluciones
mejores que la obtenida en su relajación
relajaci´on lineal
Al haber resuelto el subproblema correspondiente al nodo 5 la cota infererior más
m´as alta del
problema completo es 47
problema
47..71.
Ninguna de las anteriores es correcta
27 3.EJER
EJ
CICI
CIO
ElERCI
nodo
6:O
71
represent
repre
sentaa al subproblem
subproblemaa que consiste en a˜
añadir
nadir al subprobl
s ubproblema
ema 2 la restricci
r estricci´on
ón x 2 = 3.
represent
repre
sentaa al subproblem
subproblemaa que consiste en a˜
añadir
nadir al subprobl
s ubproblema
ema 2 la restricci
r estricci´on
ón x 2 ≥ 3.
representa un subproblema que no se debe resolver porque es imposible que se encuentre una
solución
soluci´
on mejor que la mejor cota inferior obtenida hasta este momento.
Ninguna de las anteriores es correcta
27.2
27
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
1. Con respecto al nodo 4:
INCORRECTA: Hay que seguir ramificando el nodo 4.
No inte
interes
resaa ram
ramific
ificar
ar el nodo 4 porque
porque su relajaci
relajaci´on
ón lineal tiene un valor
menor que alguna de las cotas inferiores obteinidas hasta ahora.
CORRECTA:
INCORRECTA: No interesa ramificar el nodo 4 porque ya es una solución
soluci´on entera.
INCORRECTA: Ninguna de las anteriores es correcta
2. La informaci´
información
on del ´arbol
árbol permite afirmar que:
INCORRECTA:
INCORRECT
A: Debo ramifi
ramificar
car el nodo 5 en dos nuev
nuevos
os subnodos cuyas ramas son x 1 ≤ 12 y
x1 ≥ 13.
INCORRECTA: No debo ramificar el nodo 5 porque el subproblema correspondiente no puede
tener soluciones mejores que la obtenida en su relajación
relajaci´on lineal
INCORRECTA: Al haber resuelto el subproblema correspondiente al nodo 5 la cota infererior
más
m´
as alta del problema completo es 47.
47 .71.
CORRECTA: Ningun
Ningunaa de las anter
anteriores
iores es correcta
3. El nodo 6:
INCORRECTA: representa al subproblema que consiste en añadir
a˜
nadir al subproblema 2 la restricci´
ción
on x 2 = 3.
CORRECTA: repre
represent
sentaa al subproblema
subproblema que consiste
consiste en a˜
añadir
nadir al subproblema 2 la res-
tricción
tricci´
on x 2 ≥ 3.
INCORRECTA: representa un subproblema que no se debe resolver porque es imposible que
se encuentre una solución
soluci´on mejor que la mejor cota inferior obtenida hasta este momento.
INCORRECTA: Ninguna de las anteriores es correcta
72
28
EJERCI
CICI
CIO
O cio
28.EJER
28.
Ej
Ejer
erci
cici
o
28.1
28
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el siguiente problema de programacion entera:
max z = 4x
4x1 − 2x2 + 7x
7 x3 − x4
s.a. :
x1 + 5x
5 x3 ≤ 10
x1 + x2 − x3 ≤ 1
6x1 − 5x2 ≤ 0
−x1 + 2x
2 x3 − 2x4 ≤ 3
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 y enteras
(89)
Se ha comenzado a resolver mediante Branch-and-Bound (algoritmo de Dakin) y se dispone del siguiente árbol.
´arbol. Para cada nodo se indica el valor de la solución
soluci´on ´otpima
ótpima de la relajación
relajaci´on lineal y los valores
de las variables que en la dicha solución
soluci´on ´óoptima
ptima toman un valor no nulo.
  
 
 

  

 
 
  
 
 
  
 


 
 
 
 
 
 
 
  
  
 
 



 
 
 
 
  
 
 
 
  
 


 

Se pide:
1. Indicar para cada nodo, la mejor cota superior y la mejor cota inferior que se puede obtener con
toda la información
informaci´on que ofrece el árbol.
arbol.
´
2. Para cada uno de los nodos no ramificados, indicar si se deben podar o si se deben ramificar y por
qu´ée..
73
28
EJER
EJ
CICI
CIO
O
28.2
28
.2.
. ERCI
Reso
Re
solu
luci
ci´
on
ón
Las cotas figuran en el siguiente ´árbol.
arbol.
z LP= 14.25
x1= 1.25
P0
x2= 1.5
x3= 1.75
x2 2
x2
z
1
= 14.17
z
LP
x1= 0.833
x2= 1
= 12.17
LP
x1= 0.833
P00
P01
x2= 2
x3= 1.83
x3= 1.83
x3 2
x3 1
x3 2
x3 1
z LP= 9.5
z LP= 8.33
z LP= 13.5
x1= 0.833
x3= 2
P000
x2= 2
P001
x4= 0.5
x2= 1
P011
x3= 2
x4= 0.5
x3= 1
z LP= 3
x1 1
x2= 2
x1 0
z
=7
LP
x3= 1
P0000
P010
x3= 1
010=
3
010=
3
P0001
De la evaluación
evaluaci´on del árbol,
arbol,
´
se puede concluir:
Nodo 0000. Este nodo se debe podar por optimalidad. Se ha alcanzado una solución
soluci´on entera.
Nodo 0001. Este nodo se debe podar por infactibilidad. No existen soluciones enteras factibles.
Nodo 001. Este nodo no se puede podar y se debe ramificar en dos problemas x 4 ≤ 0 y x 4 ≥ 1.
Nodo 010. Este nodo se debe podar por optimalidad.
Nodo 011. Este nodo no se puede podar y se debe ramificar en dos problemas x 4 ≤ 0 y x 4 ≥ 1.
74
29 EJER
EJERCICIO
CICIO
MME-1213-EN
MME1213-ENE-3
E-3 13-ENE
29.
Eje
Ejerci
rcicio
cio
MME-12
MME
-1213ENE-3
-3
29.1
29
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Resolver el siguiente problema mediante el método
m´etodo Branch and Bound, utilizando
utiliz ando el m´
método
etodo gráfico
gr´afico
para resolver cada subproblema:
max z = 4x
4x1 + 6x
6 x2
s.a.:
4x1 + 3x
3 x2 ≤ 22
xi ∈
29.2
29
.2..
(90)
+
Z
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
La solución
soluci´on optima
´óptima es x4 (0,
(0, 7) con z 3 = 42. En la figura se puede ver el gráfico
gr´afico utilizado para
desarrollar
desarr
ollar el algoritmo
algoritmo y resolver
resolver las relajaciones
relajaciones lineale
linealess as
as´ı́ı como el arbol
´árbol (sin actualizar cotas) en el
que se muestran los distintos subproblemas estudiados.
8
x1
7

44
x2

1

x2 ≥ 8
x2 ≤ 7
x4
x5

43
2
6
3
x1 ≥ 1
x1 ≤ 0
5
42
40
4
4
no factible
5
42
40
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 4: Gráfico
Gr´afico y ´árbol
arbol correspondie
correspondiente
nte a la solución
soluci´
on del problema
75
30
EJERCI
CICI
CIO
O cio
30.EJER
30.
Ej
Ejer
erci
cici
o
30.1
30
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Dado el problema siguiente:
max z = 20x
20x1 + 5x
5 x2 − 8x3 + 30x
30 x4
s.a. :
(91)
30 x4 ≤ 35
5 x3 + 30x
5 x2 + 5x
25x
25x1 + 5x
xi enteras
se conoce la tabla de una solución
soluci´on optima
´óptima de la relajación
relajaci´on lineal del mismo. Formula un corte entero de
Gomory y obtener la nueva solución
soluci´on tras introducir dicho corte operando sobre la tabla de simplex dada.
x4
30.2
30
.2..
- 35
77//6
x1
-5
5/6
x2
0
5/6
x3
-13
1/ 6
x4
0
1
h1
-1
1/30
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón

La expresión
expresi´on del corte de Gomory es −f0 +
5
1
x + 16 x3 + 30
h1 ≥ 0 ⇒ − 56 x1 − 65 x2 − 61 x3 −
6 2
x4
h2
x4
x2
- 35
7/6
1/
1/6
- 35
1
1/5
x-51
5 /6
- 5/6
-5
0
1
fixi ≥ 0, que para este caso toma la forma − 16 + 56 x1 +
1
h + h2 = − 16
30 1
i
x02
5/ 6
- 5/6
0
0
1
3
-x13
1/6
- 1/6
- 13
0
1/5
x04
1
0
0
1
0
h-11
1/30
- 1/3 0
-1
0
1/25
h02
0
1
0
0
--66/5
76
31
EJERCI
CICI
CIO
O cio
31.EJER
31.
Ej
Ejer
erci
cici
o
31.1
31
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Una empresa multinacional
multinacional con operacio
operaciones
nes globalizad
globalizadas
as dispone de 3 plantas
plantas que fabrican
fabrican el mismo
producto pero en diferente localización
localizaci´on y 4 almacenes regionales, que abastecen la demanda local de
cuatro grandes regiones comerciales.
Para este año,
a˜
no, la capacidad
capacidad de producc
producci´
ión
on de cada una de las plantas
plantas es de 7 unidades
unidades de millones
paraElChina,
11 para
EE UU
y 15 una
paradeEslovaquia.
consumo
previsto
en cada
las regiones es:
Localizaci´on
Localizació
n
almac´éen
n
M´éejjico & Norteam´éerrica
Francia
Australia
China
Region
´ó n
comercial
CALA
EMEA
Asia-Pacifico 1
Asia-Pac´ı́ıfi
fico 2
Demanda prevista
(millones de up)
4
8
9
12
El coste por unidad transportada entre plantas y almacenes viene dado por el siguiente cuadro:
euros/up
NA & CALA
EMEA
China
EEUU
Eslovaquia
4
3
5
2
3
4
Asia
-Pacifi
-Pacifico
co 1
3
5
7
Asia
-Paci
-Pacifico
fico 2
1
7
4
Se pide:
1. Determinar el programa de transporte de cos
coste
te m
m´ı́ınimo
nimo entre las plantas y los almacenes. Se recomiendaa obtener
miend
obtener una solución
soluci´
on inicial de partida obtenida con el método
m´etodo de Voguel.
2. Existe más
m´as de un único
unico
´
programa de transporte con dicho coste mı́nimo?
m´ınimo? En caso afirmativo, indicar
cuántos
cu´
antos y cu´
cuáles.
ales.
31.2
31
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Construyendo una primera mediante el m´
método
etodo de Voguel, se obtiene la siguiente tabla:
N-C
EMEA
4
2
AP 1
AP 2
3
1
China
7
7
+
3
EE UU
+
3
-1
5
4
7
7
+
5
4
Eslovaquia
+
7
4
8
2
5
8
9
12
0
4
15
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
77
Fijando
los
valores u1 = −3, u2 = −2, u3 = 0, v1 = 5, v2 = 4, v3 = 7, v4 = 4 se obtienen los
costes reduciones que figuran en la tabla anterior. El coste reducido de China-AP1 es negativo, luego
introduciendo dicha variable y creando el circuito correspondiente con las variables básicas,
b´asicas, se puede
obtener la siguiente tabla. En la solución
soluci´on correspondiente, se transportan 2 unidades entre China y AP1
(la variable correspondiente entra en la bas) y se dejan de tranportar productos entre Eslovaquia y AP1
(la variable corresopndiente sale de la base).
31
4
N-C
2
EMEA
3
China
AP 1
1
2
+
3
EE UU
AP 2
7
5
+
3
5
4
7
11
7
0
5
4
Eslovaquia
+
7
4
8
15
7
+
+
4
8
9
12
Existe una variable no básica
b´asica con coste reducido igual a 0. Es la variable corresopndiente a la ruta
EE UU - EMEA, lo que significa que existe otra soluci´
solución
on b´
básica
asica optima,
óptim
´
a, descrita
descrita en la siguiente
siguiente tabla:
N-C
EMEA
4
2
AP 1
AP 2
3
China
1
7
7
+
3
EE UU
+
3
4
5
5
7
11
2
0
5
4
Eslovaquia
7
+
4
3
12
+
15
+
4
8
9
12
Existen, por lo tanto dos soluciones óptimas
´optimas b´
básicas
asicas y todas las soluciones ´optimas
óptimas no básicas
b´asicas que
resultan de la combinación
combinaci´on convexa de las dos b´
básicas.
asicas.
El conjunto de todas las soluciones ´óptim
optimas
as es el correspondien
correspondiente
te a los siguientes
siguientes programas
programas de tranporte:
China-AP1: 2+λ
2+λ
China-AP2: 5-λ
5-λ
EE UU-N-C: 4
EE UU-EMEA:
UU-EMEA: λ
EE UU-AP1: 7-λ
7-λ
Eslovaquia-EMA: 8 - λ
Eslovaquia-AP2: 7 + λ
Para 0 ≤ λ ≤ 5. Si λ = 0 o λ = 5, se obtienen las soluciones básicas
b´asicas de las tablas anteriores. Para
cualquier otro valor se tiene una solución
soluci´on optima
´óptima no básica.
b´asica.
78
32
EJERCI
CICI
CIO
O cio
32.EJER
32.
Ej
Ejer
erci
cici
o
32.1
32
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Una región
regi´
on dispone
disp one de tres refiner´
refinerı́as,
ıas, con capacidades diarias de producci´
pro ducción
on de gasolina de 6, 5, y 6
millones de litros, respectivamente, que abastecen a tres ´áreas
areas de distribuci´
distribución,
on, cuyas demandas diarias
son 4, 8, y 7 millones
millones de litros respectivamen
respectivamente.
te. El transpo
transporte
rte de gasolinas
gasolinas desde las refiner
refiner´ıas
ı́as hasta las
´áreas de distribución
areas
distribuci´on se realiza mediante una red de oleoductos en la que el coste de transporte es de 10
c´
cént
entimos
imos de euros
cada
gasolina
a ydistri
porbución.
km on.
recorrido.
recorr
Laıatabla
siguient
e proporciona
proporc
iona
las
distancias
(km) por
entre
las 1000
refiner´
refinerlitros
ıas
ı́as y de
las gasolin
´áareas
reas de
distribuci´
La ido.
refinerı́a
refiner´
1 no siguiente
está
est´a conectada
con
el
´área de distribución
area
distribuci´on 3.
Refiner´ı́ıaa R1
Refiner´ı́ıaa R2
Refiner´ı́ıaa R3
´ rea A1
Area
Á
1 20
3 00
2 00
´ rea A2
Area
Á
180
100
250
´ rea A3
Area
Á
80
120
Cuadro 1: Distancias entre refinerı́as
refiner´ıas y areas
´áreas de suministro.
suministro.
Por cuestiones estratégicas
estrat´egicas relativas a la seguridad nacional, el ´area
área 1 debe recibir toda su demanda;
la inc
incapa
apacid
cidad
ad para
para entre
entregar
gar las can
cantid
tidade
adess dem
demand
andada
adass de gaso
gasolin
linaa en las ´areas
áreas 2 y 3 causan
causan una
penalización
penalizaci´
on de 5 céntimos
c´entimos de euro p
por
or litro. Determina cu´
cuál
al es el programa ´optimo
óptimo de transporte entre
refi
refiner´
nerı́as
ıas y areas
´áreas de distribución,
distribuci´on, explicando claramente en qu´
quée consiste dicho programa y cu´
cuál
al es su
coste.
32.2
32
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
´área
producidos
ducidos por la refinerı́a
refiner´ıa R i y entregados al area
Las variables xij representan los millones de litros pro
Aj . Como el problema está
est´a desequilibrado es necesario incluir un origen ficticio “Ref. fic.” cuya capacidad
es la diferencia entre la demanda, 19, y la capacidad de las refiner´
refinerıas,
ı́as, 17, es decir 2.
Los costes en euros por millón
mill´on de litros transportados entre Ri y Aj (en euros/Ml)) cij es igual a
0.1euro
10 l
× Dist(km) ×
= 100 × Dist(km)
1000l×km
Ml
Por su parte, las penalizaciones son de 0.05 euros por litro, es decir 5000 euros por Ml.
Diviendo todos los costes por 1000, el problema planetado es equivalente a resolver el que aparece
representado en la siguiente tabla:
6
´ rea 1
Area
Á
Ref. 1
c11
´ rea 2
Area
Á
c12
x11
c22
c23
c32
c33
x33
c42
x41
c33
c32
c31
O3



c433
x42
c41
D1

x32
c41
O2
c23
c22
c21
R. fic.
x23


Ref. 3
c13
x22
x31
O1


x21
c31
x13
c12
c11
c21
c13
x12

Ref. 2
´ rea 3
Area
Á
x43
c42
D2
O4
c43
D3
32
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
Ref. 1
´ rea 1
Area
Á
12
4
´ rea 2
Area
Á
18
2
79
´ rea 3
Area
Á
M
6
+
30
10
8
Ref. 2
+
20
2
6
12
4
+
M
5
-5
25
Ref. 3
5
5
Ref. fic
5
2
2
+
+
4
Ref. 1
8
´ rea 1
Area
Á
12
4
7
´ rea 2
Area
Á
18
2
´ rea 3
Area
Á
M
6
+
30
10
Ref. 2
8
4
1
5
6
6
+
20
25
12
Ref. 3
+
M
+
5
Ref. fic
5
2
2
0
4
8
7
El resultado, por lo tanto, consiste en
entregar desde la
l a refinerı́a
refiner´ıa 1: 4 millones de litros al ´área
area 1 y otros 2 al ´area
área 2,
entregar desde la
l a refinerı́a
refiner´ıa 2: 4 millones de litros al ´área
area 2 y uno m´
más
as al ´area
área 3,
entregar desde la refiner´
refinerıa
ı́a 3 sus 6 millones de litros al ´area
área 3,
dejando sin atender la demanda de 2 millones de litros del ´área
area 2
con un coste de (12 × 4+18 × 2+10 × 4 + 8 × 1+12 × 6 + 5 × 2) × 1000 = 214000. Es decir 214000 euros.
80
33
EJERCI
CICI
CIO
O cio
33.EJER
33.
Ej
Ejer
erci
cici
o
33.1
33
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
La compan´
companı́ıaa Energetic debe dise˜
diseñar
nar el sistema de abastecimiento energ´
energético
etico de un nuevo edificio.
Las necesidades de energ´
energıa
ı́a se refieren a las siguientes categorı́as:
categor´ıas: electricidad, calentadores de agua y
calefactores de ambiente. Los requerimientos diarios de energ´
energı́ıaa son:
Electricidad
Cale
Calent
ntad
adore
oress de agua
agua
Calefactore
Calef
actoress de ambi
ambient
entee
30 unidades
20 un
unid
idad
ades
es
50 unidades
unidades
Las tres fuentes posibles de energı́a
energ´ıa son electricidad, gas natural y una unidad de células
c´elulas solares que se
puede instalar en el techo. El tamaño
tama˜no de ´éste
este limita la cantidad de c´
células
elulas solares a 30 unidades, pero no
hay l´
lımite
ı́mite en la
l a disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer
solo mediante la compra de energ´
energı́a
ıa el´
e léctrica
ectrica (a un costo de 50
50
por unidad).
unidad). Las
Las otras
otras dos
dos necesidad
necesidades
es
se pueden satisfacer mediante cualquier fuente o combinación
combinaci´on de fuentes. Los costes unitarios son los
siguientes

Calentadores de ag
agu
ua
Cale
Calefa
fact
ctor
ores
es de am
ambi
bien
ente
te
Electricidad
Electricidad
150
150
150


Gas natural
natural
110
100


C´
Células
elulas solares
70
90


Se pide
determinar
c´omo atender las necesidades de abastecimiento de energ´
energıa
ı́a del nuevo edificio con
el menor
coste
posible. cómo
33.2
33
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
El problema se puede formular como un problema de transp
transporte
orte donde los
l os orı́genes
or´ıgenes son la electricidad,
el gas natural y las celdas fotovoltaicas y los destinos son la electricidad, los calentadores de agua y los
calefactores de ambiente.
La demanda total es de 100 unidades. La capac
capacidad
idad de energ
energ´ıa
ı́a viene dada por la disponibilidad
disponibilidad de
células
c´elulas solares
solar es (30 unidades)
unidade s) más
m´as la capacidad de suministro de gas natural y de electricidad, que es en
términos
t´erminos del problema tan grande como se desee.
Para poder
po der plantear un problema de transporte y resolverlo por métodos
m´etodos esp
espec
ec´ıficos
ı́ficos para este tipo
tip o
de problema,
problema, es necesario
necesario que el proble
problema
ma est
est´eé equilibrado.
equilibrado. En principio,
principio, se podr´
podrı́ıaa suministrar
suministrar toda
la energ
energ´ı́ıaa mediante
mediante electricidad
electricidad o media
mediante
nte gas natural,
natural, por lo que las capacidades
capacidades de los respectivos
respectivos
destinos
desti
nos es 100, con lo que la ofert
ofertaa ser
ser´ı́ıaa 230. Para equilibr
equilibrar
ar el problema
problema es necesario
necesario crear un destino
destino
ficticio con una demanda de 230 − 100 = 130.
A partir de la información
informaci´on dada y de las rrestricciones
estricciones que existen en t´
términos
erminos de abastecimiento de
los destinos
destinos con los or´
orıgenes,
ı́genes, y con los costes
costes dados, la tabla que represent
representaa el problema
problema de transporte
transporte
asociado es la siguiente
siguiente..
Electricidad
Gas natural
Célu
C´elulas
las solare
sol aress
Electricidad
50
x11
c11
M
x21
c21
M
x11
c31
Cal. agua
150
x12
c12
110
x22
c12
70
x32
c32
Cal. ambiente
15 0
x13
c13
10 0
x23
c13
90
x33
c33
30
20
50
Dest. fict
2 00
x1f
100
c1f

2 00
x2f
100
c1f
2 00
x3f
30

c3f
13 0
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
81
Los
costes
correspondientes
a la columna del destino ficticio son todos iguales dado que no existe
ninguna consideración
consideraci´on adicional para discriminar qu´
quée tipo
tip o de fuente de energ´
energı́ıaa debe emplearse. El valor
podrı́a
podr´
ıa ser uno cualquiera, mientras sea el mismo para todos
to dos lo
loss orı́genes.
or´ıgenes. En este caso se ha elegido el
valor 200, que es mayor que cualquier de los otros costes. El motivo de la elección
elecci´on es que al aplicar el
método
m´etodo de Voguel para
p ara obtener
ob tener una so
soluci´
lución
on inicial tendr
tendr´aá en cuenta los costes de asignación
asignaci´on reales y no
los del destino ficticio.
Construyendo la solución
soluci´on mediante el m´
método
etodo de Voguel se obtiene
33
El
Eleectri
ctrici
cida
dad
d
50
30
Electricidad
Cal.
Cal. agua
agua
15 0
Ca
Cal.
l. ambi
ambien
entte
150
+
M
11 0
Dest
Dest.. fict
fict
20 0
70
+
100
Gas natural
20 0
40
+
M
90
20
+
30
60
10 0
+
70
C´éellulas solares
10 0
20 0
10
20
20
30
10
50
+
13 0
En definitiva, el suministro se debe hacer de la siguiente manera:
toda la necesidad de electricidad se debe atender con suministro el´
eléctrico,
ectrico, tal y como se exig
exi g´ıa,
ı́a, con
un coste 1500 ;
la deman
demanda
da de calentador
calentadores
es de agua debe proporci
proporcionarse
onarse con las células
c´
elulas solares, con un coste de
1400 ;


la demanda de calentadores de abmiente se atiende con 70 unidades de suministro eléctrico
el´ectrico (con un
c´elulas solares (con un coste de 900 );
coste de 4000 ) y con 10 de células

con un coste total de 7800


.
82
34
EJERCI
CICI
CIO
O cio
34.EJER
34.
Ej
Ejer
erci
cici
o
34.1
34
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Se deben utilizar cuatro barcos para transportar bienes de un puerto determinado a otros cuatro
puertos
puert
os (numerados
(numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualqui
cualquier
er barco para hacer cualquiera de los cuatro
cuatro via jes.
Sin embargo, dadas las diferencias entre las naves y las cargas, el coste total de carga, transporte y
descarga
desca
rga de bienes
bienes de las diferente
diferentess comb
combinacion
inaciones
es de barco
barcoss y puertos
puertos var
ar´ı́ıaa de manera
manera considerable
considerable..
Estos costes se muestran en la siguiente tabla.
Pu
Puer
ertto 1 Puer
Puertto 2
Barco 1
500
400
Barco 2
600
600
Barco 3
700
500
Barco 4
500
400
Puer
Puertto 3
300
700
700
600
Pu
Puer
ertto 4
700
500
600
600
Determinar,
Determin
ar, utilizando
utiliza ndo el
e l método
m´etodo húngaro
h´ungaro,, con qué
qu´e barco
bar co se debe atender el env
e nv´ıo
ı́o de
d e cada
cad a puerto
pu erto con
el m´ınimo
ı́nimo coste global.
globa l.
34.2
34
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Aplicando
Aplica
ndo el método
m´etodo húngaro
h´ungaro se llega a la siguiente tabla:
100
0
100
0
100
100
0
0
0
20
2 00
200
200
400
0
100
200
Lo que lleva a la siguiente asignación:
asignaci´on:
X
X
-
X
-
X
-
83
35
EJERCI
CICI
CIO
O cio
35.EJER
35.
Ej
Ejer
erci
cici
o
35.1
35
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Una ingenier´
in genierı́a
ıa ha ganado
ga nado cuatro
cua tro con
concursos
cursos de la adminis
administraci´
tración
on central para la
l a construcci
cons trucci´
on
ón de cuatro
centrales de generación
generaci´on eléctric
el´ectrica,
a, p
por
or ccuya
uya re
realiza
alizaci´
ción
on la ingeni
ingenier
er´ı́ıaa recibir´
recibi ráa una cantidad fija. Las cuatro
plantas son una t´
térmica,
ermica, una de ciclo combinado y dos parques de aerogeneradores. Existen cuatro equipos
equip os
de ingenieros
ingenieros que pueden
pueden desarrolar
desarrolar los cuatr
cuatroo proy
proyecto
ectos,
s, pero,
p ero, debido a la diferent
diferentee experiencia
experiencia de estos
cuatro
equipos,
lossiguiente
costes asociados
y se ofrecen
en el
cuadro. al desarrollo de cada proyecto por parte de cada equipo son diferentes
Equipo
Equipo
Equipo
Equipo
1
2
3
4
Tér
T´
ermi
mica
ca
1
2
3
1
C. com
comb.
4
1
2
2
Pa
Parq
rque
ue 1
3
6
6
3
Pa
Parq
rque
ue 2
1
7
6
7
Se pide determinar qué
qu´e proyecto debe realizar cada equipo de ingenieros para obtener el coste mı́nimo
m´ınimo
para el desarrollo de loc cuatro proyectos.
35.2
35
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Equipo
Equipo
Equipo
Equipo
1
2
3
4
Tér
T´
ermi
mica
ca
1
2
3
1
C. com
comb.
4
1
2
2
Pa
Parq
rque
ue 1
3
6
6
3
Pa
Parq
rque
ue 2
1
7
6
7
Restando a los elemenentos de cada fila el menor valor de dicha fila, se obtiene el siguiente nuevo
cuadro
Equipo
Equipo
Equipo
Equipo
1
2
3
4
Tér
T´
ermi
mica
ca
0
1
1
0
C. com
comb.
3
0
0
1
Pa
Parq
rque
ue 1
2
5
4
2
Pa
Parq
rque
ue 2
0
6
4
6
Restando a los elementos de cada columna el menor valor de dicha columna, se obtiene el siguiente
nuevo cuadro
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Tér
T´
ermi
mica
ca
C. com
comb.
Pa
Parq
rque
ue 1
Pa
Parq
rque
ue 2
0
3
0
0
1
0
0
3
2
6
4
6
1
1
0
0
Tachando la primera y la cuarta filas y la segunda columna quedan cubiertos todos los ceros con el
m´
mı́ınim
n imoo número
n´umero de l´ıneas.
ı́neas. Restando 1 a todos los elementos no tachados y sumándoselo
sum´andoselo a los que quedan
tachados dos veces se obtiene la siguiente nueva tabla de asignación.
asignaci´on.
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Tér
T´
ermi
mica
ca
0
0
0
C. com
comb.
4
0
0
Pa
Parq
rque
ue 1
0
2
1
Pa
Parq
rque
ue 2
0
5
3
Equipo 4
0
2
0
6
35
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
Existen
dos
posibles asignaciones, descritas en las siguientes tablas, ambas con un coste de 8 um. 84
Tér
T´
ermi
mica
ca
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
C. com
comb.
Pa
Parq
rque
ue 1
Pa
Parq
rque
ue 2
×
×
×
×
Tér
T´
ermi
mica
ca
C. com
comb.
Pa
Parq
rque
ue 1
×
×
×
Pa
Parq
rque
ue 2
×
85
36
EJERCI
CICI
CIO
O cio
36.EJER
36.
Ej
Ejer
erci
cici
o
36.1
36
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Resolver el problema de asignación
asignaci´on (mediante el método
m´etodo húngaro)
h´ungaro) consistente en asignar con el coste
m´ınimo
ı́nimo un conjunto
conjunto de tareas a un grupo de operario
operarios.
s. En la siguiente
siguiente tabla se indican
indican los costes de
asignación
asignaci´
on de cada operario a cada tarea:
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
1
2
3
4
5
Oper.1
Oper
.1
5
5
2
9
3
Op
Oper
er.2
.2
3
6
8
6
2
Op
Oper
er.3
.3
7
12
3
10
1
Oper
Oper.4
.4
3
7
4
5
4
Oper
Oper.5
.5
4
8
5
6
5
Si al realizar la asignación
asignaci´on anterior el operario 3 no estuviera disponible:
1. indicar cómo
c´omo se modificar´
modificarı́ıaa el problema anterior para realizar la
l a mejor asignación
asignaci´on posible;
2. indicar igualmente qué
qu´e información
informaci´
on adicional ser´
serıa
ı́a necesaria para resolver el problema.
36.2
36
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Restando el menor valor de cada columna a todos los elementos de dicha columna se obtiene la
siguiente tabla
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
1
2
3
4
5
Oper
Op
er.1
.1
Op
Oper
er.2
.2
Op
Oper
er.3
.3
Oper
Oper.4
.4
Oper
Oper.5
.5
3
3
0
7
1
1
4
6
4
0
6
11
2
9
0
0
4
1
2
1
0
4
1
2
1
Restando el menor valor de cada fila a todos los elementos de dicha fila se obtiene la siguiente tabla
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
1
2
3
4
5
Oper
Op
er.1
.1
Op
Oper
er.2
.2
Op
Oper
er.3
.3
Oper
Oper.4
.4
Oper
Oper.5
.5
3
0
0
5
1
1
1
6
2
0
6
9
2
7
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
No es posible realizar una asignación
asignaci´on porque el n´
número
umero m´ınimo
ı́nimo de l´ıneas
ı́neas que hay que emplear para
tachar todos los ceros es menor que cinco.
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
1
2
3
4
5
Oper
Op
er.1
.1
Op
Oper
er.2
.2
Op
Oper
er.3
.3
Oper
Oper.4
.4
Oper
Oper.5
.5
3
0
0
5
1
1
1
6
2
0
6
8
2
7
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
EJ
ERCI
CICI
CIO
O no tachado es 1. Restando 1 a los no tachados, sumando 1 a los tachados dos veces,
86
ElEJER
menor
valor
resulta la tabla siguiente
36
Oper
Op
er.1
.1
Op
Oper
er.2
.2
Op
Oper
er.3
.3
Oper
Oper.4
.4
Oper
Oper.5
.5
1
6
7
1
0
0
0
0
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
4
0
0
0
5
Tarea 4
Tarea 5
5
2
2
0
7
0
0
1
0
1
Oper
Op
er.1
.1
Op
Oper
er.2
.2
Op
Oper
er.3
.3
Oper
Oper.4
.4
Oper
Oper.5
.5
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
Tarea 5
0
0
×
×
×
×
×
La asignación
asignaci´on que figura en la tabla anterior tiene el coste m´ınimo
ı́nimo e igual a 2 + 6 + 1 + 5 + 4 = 18
87
37
EJERCI
CICI
CIO
O cio
37.EJER
37.
Ej
Ejer
erci
cici
o
37.1
37
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Se deben utilizar cuatro barcos para transportar bienes de un puerto determinado a otros cuatro
puertos
puert
os (numerados
(numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualqui
cualquier
er barco para hacer cualquiera de los cuatro
cuatro via jes.
Sin embargo, dadas las diferencias entre las naves y las cargas, el coste total de carga, transporte y
descarga
desca
rga de bienes
bienes de las diferente
diferentess comb
combinacion
inaciones
es de barco
barcoss y puertos
puertos var
ar´ı́ıaa de manera
manera considerable
considerable..
Estos costes se muestran en la siguiente tabla.
Pu
Puer
ertto 1 Puer
Puertto 2
Barco 1
500
400
Barco 2
600
600
Barco 3
700
500
Barco 4
500
400
Puer
Puertto 3
300
700
700
600
Pu
Puer
ertto 4
700
500
600
600
Determinar,
Determin
ar, utilizando
utiliza ndo el
e l método
m´etodo húngaro
h´ungaro,, con qué
qu´e barco
bar co se debe atender el env
e nv´ıo
ı́o de
d e cada
cad a puerto
pu erto con
el m´ınimo
ı́nimo coste global.
globa l.
37.2
37
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Aplicando
Aplica
ndo el método
m´etodo húngaro
h´ungaro se llega a la siguiente tabla:
1000
100
0
110000
0
0
20
2 000
200
200
4000
100
200
Lo que lleva a la siguiente asignación:
asignaci´on:
X
X
-
X
-
X
-
38
EJERCI
CICI
CIO
O cio
38.EJER
38.
Ej
Ejer
erci
cici
o
38.1
38
.1..
88
Enun
Enunci
ciad
ado
o
El siguiente grafo representa las carreteras (aristas) de una comarca de montaña
monta˜na del norte de Espa˜
España
na
que se compone de diez ciudades (nodos) A − J . Los servicios centrales de la comarca están
est´an situados en
el municipio A. Los número
n´umeross de cada carrete
carretera
ra (arista) indica
indican
n la distancia en km entre las dos ciudades.
Te propones ayudar al personal del ayuntamiento a resolver los siguientes supuestos:
1. La única
unica
´
ambulancia que hay tiene su base en el municipio A. Se están
est´an calculando las rutas de
menor distancia entre A y el resto de municipios. Aplica el algoritmo correspondiente para calcular
la ruta de distancia mı́nima
m´ınima entre A y H.
2. El servicio
servicio de mantenie
manteniento
nto de las carret
carreteras
eras tiene que observ
observar
ar visualmente
visualmente todas la carreteras del
municipio para ello tiene que pasar por todas y cada una de las carreteras. Aplica el algoritmo
especı́fico
espec´
ıfico corresp
correspondiente
ondiente para averig¨
averigüar
uar qu´
quée recorrido
reco rrido debe hacerse y cu´
cu al
ál será
ser´
a la distancia que se
recorre.
3. El ayuntamiento está
est´a pensando en ofrecer a los vecinos la posibilidad de tener fibra ´optica
óptica en
sus casas. Para calcular el coste, como primer paso se está
est´a pensando en cómo
c´omo unir los municipios
con fibra de forma que el nuevo cableado vaya paralelo a las carreteras de forma que a todos las
ciudades les llegue cable de fibra. Indicar, aplicando el algoritmo correspondiente, por qué
qu´e carreteras
se tendr
tendr´ı́ıaa que llevar el cable de fibra optica
´óptica para minimizar
minimizar la cantidad
cantidad de fibra utilizada.
utilizada.
38.2
38
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Apartado 1
Se aplica el algoritmo de Dijkstra, en el gráfico
gr´afico se muestran las etiquetas permanentes correspondientes a
cada nodo. La m´
m ınima
ı́nima distancia entre A y H es 24 km; para ello hay que recorrer el camino ACDEGH.
Apartado 2
Hay que hallar el ciclo ´éuleri
euleriano
ano o el camino euleriano de menos distancia.
distancia. En este caso todos los nodos
son de orden par excepto A y J. Luego NO es posible hallar un ciclo euleriano. Se puede ir mediante un
camino de A a J pasando sólo
s´olo una vez por cada nodo, pero despu
despu´es
és hay que volver
volver de J a A por
p or el
camino más
m´as corto (ver apartado anterior).
38
89
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O


todosarcos

darco

dTOTAL = 6 + 5 + 12 + 8 + · · · + 4 + 7 +dJA
dTOTAL = 133 + 27 = 160km
160km
Y un posible ciclo ser´
serıa
ı́a AHDACDEGDHGJHI
AHDACDEGDHGJHIDFIJ-GEDCA.
DFIJ-GEDCA.
Apartado 3
Se trata de hallar un ´arbol
árbol generador de distancia m´
mı́nima,
ınima, aplicando el algoritmo
alg oritmo de Prim
P rim o el de
Kurskal. Independientemente del algoritmo utilizado la solución
soluci´on es la que se muestra en la figura. Se
necesitar´ıan
necesitar
ı́an 42 km de cable de fibra optica.
´óptica.
38
EJER
EJ
CICI
CIO
Ociad
38.3
38
.3.
. ERCI
Enun
En
unci
ado
o
90
El servicio
servicio de electricidad
electricidad del ayuntamien
ayuntamiento
to de un pueblo
pueblo est´
estáa preparando el alumbrado para las fiestas.
En concreto tienen que unir mediante cable los distintos lugares de toma de corriente de las luces
(vértices:
(v´
ertices: a, ..., h). En
E n el grafo se puede observar las conexiones posibles as
as´ıı́ como la distancia entre cada
v´
vértice
ertice (expresada
(expresa da en decenas de met
metros).
ros).
¿Es posible unir las distintas tomas de corriente con un cable de 120 m. (que es el que tienen)?¿O
necesitan buscar más
m´as metro
metros?
s? Justifi
Justificar
car la respu
respuesta
esta utilizando
utilizando alg´
algún
un algoritmo de los que se han visto
en el temario de la asignatura.
38.4
38
.4..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
En la figura se
s e muestra el arbol
arb ol generador de peso m´ınimo
ı́nimo obtenido por el método
m´etodo de Kurskal o de
Prim. Hay otras soluciones ´optimas
óptimas posibles, pero en todos los casos se necesitan 130 metros. Luego hay
que comprar más
m´as cable.
38
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O iado
38.5.
38.
5.
Enunc
En
unciad
o
MMEMME-121
1213-E
3-ENENE-4
4
91
La mayor´
mayorıa
ı́a de los vecinos de un cierto municipio trabaja en alguno de los siete pozos que una compañ´
compa˜nı́ıaa
minera explota cerca del municipio. El municipio, los pozos y las v´ıas
ı́as que los
l os conectan están
est´an descritos
en el gr´
gráfico
afico siguiente:
sigui ente:
Antes de las elecciones el actual alcalde prometió
prometi´o a todos los vecinos que pavimentar
pavimentar´ıa
ı́a algunos
alg unos caminos
de forma que cada trabajador tuviera pavimentado el camino más
m´as corto desde el municipio hasta su
pozo. ¿ Cuántos
Cu´antos kilómetros
kil´ometros se habr´
habrıa
ı́a ahorrado pavimentar si s´
sólo
olo hubiera prometido que cada
trabajador tendr´
tendrıa
ı́a un camino pavimentado para acceder a su p
pozo?
ozo? ( Nota: utilizar métodos
m´
etodos de lo que
se han visto en clase )
38.6
38
.6..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
1. Para cumplir la promesa electoral el alcalde tiene que pavimentar la suma de arcos (v
(v´ıas)
ı́as) que se
utilicen al calcular el camino más
m´as corto desde el municipio a todos los pozos (algoritmo de Dijsktra).
Los arcos que se utilizan se marcan en la figura 5 y suponen 49 kilómetros.
kil´ometros.
2. En cambio si hubiera prometido a los vecinos que tendr´
tendrıan
ı́an camino pavimentado
pavimentado (aunque no el más
m´
as
corto) tendrı́a
tendr´ıa ahorros.
ah orros. Para saber
sab er cuántos
cu´antos kil´
kilómetros
ometros necesitar
necesitar´ıa
ı́a tiene que calcular el arbol
´árbol generador
generador
de peso
p eso m´ınimo
ı́nimo (algoritmo de Prim
P rim o Kurskal). Se utilizar´
utilizarı́ıan
an los arcos marcados en la figura 5 (hay
soluciones múltiples)
m´
ultiples) y se necesitar
necesitar´ı́ıan
an 39 kil´
kilómetros.
ometros.
Luego el ahorro serı́a
ser´ıa de 10 kilómetros.
kil´ometros.
39
EJERCI
CICI
CIO
O cio
39.EJER
39.
Ej
Ejer
erci
cici
o
39.1
39
.1..
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Enunciar tres caracterı́stica
caracter´ısticass conmunes a todas las técnicas
t´ecnicas metaheur´
metaheurı́stic
ısticas.
as.
39.2
39
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
Tres caracterı́stica
caracter´ısticass comunes a las metaheurı́sitic
metaheur´ısiticas
as y comunes a todas ellas son:
1. Son técnicas
t´ecnicas que no garantizan la
l a obtenci´
obtención
on de la soluci´
solución
on ´otpima
ótpima
2. Son de carácter
car´acter general y sirven de aplicación
aplicaci´on a una gran cantidad
cantidad de problemas
problemas combinatorios
combinatorios
3. Son de carácter
car´acter iterativo y, en cada iteración,
iteraci´on, se admite la posibilidad de transitar por una
solución
soluci´
on pero que de aquella con la que se inició
inici´o la iteración.
iteraci´on.
92
40
EJERCI
CICI
CIO
O cio
40..EJER
40
Ej
Ejer
erci
cici
o
40.1
40
.1..
93
Enun
Enunci
ciad
ado
o
Discutir la siguiente aseveración:
aseveraci´on: “E
“En
n general,
gener al, las t´
técnicas
ecnicas metaheur´
metaheurı́stica
ısticass permiten
per miten obtener soluciones
soluci ones
´óptimas de los problemas para los cuales se emplean”.
optimas
40.2
40
.2..
Reso
Resolu
luci
ci´
on
ón
La afirmación,
afirmaci´on, en general, es falsa, ya que las técnicas
t´ecnicas metaheurı́sticas
metaheur´ısticas se utilizan para abordar
problemas para los cuales las técnicas
t´ecnicas exactas no resulta eficacias y eficientes. Se trata de problemas no
se conoce el valor ´optimo,
óptimo, con lo que no es posible saber si la t´
técnica
ecnica metaheur´
metaheur ıstica
ı́stica alcanza o no dicho
´óptimo. Las t´
optimo.
técnicas
ecnicas metaheur´
metaheurı́ısticas
sticas ofrecen soluciones razonables con tiempos de computación
computaci´
on no muy
elevados.
40
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
94
40
EJER
EJERCI
CICI
CIO
O
Figura 5: Soluciones
Soluciones utilizand
utilizandoo el algorit
algoritmo
mo de Dijks
Dijkstra
tra (izda) o Kurskal
Kurskal (dcha)
95