PRUEBAS IO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
1.
Nota: _______________
Fecha: 15 de abril de 2015
(1,2 puntos) Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida de aceite, marca D,
utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a $250 el litro de aceite
C y a $125 el litro de aceite D siempre y cuando: compre en total 6 litros o más, y la cantidad comprada
de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si se
dispone de un máximo de $3.125, acogiéndose a la oferta:
a) Formule el modelo que permita determinar la mínima cantidad de aceite D que es posible comprar.
b) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando
claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
c) ¿Cuál es la máxima cantidad de aceite C posible de comprar?
SOLUCIÓN
a) Definición de variables (0,1 puntos):
Sea:
xC = litros a comprar de aceite C,
xD = litros a comprar de aceite D.
Función Objetivo: Minimizar la cantidad de aceite D a comprar
Minimizar z = xD (0,1 puntos)
Restricciones (0,4 puntos, 0,1 por cada una):
xC + xD ≥ 6
xC ≥ xD/2
xC ≤ 2xD
250xC + 125xD ≤ 3125
xC, xD ≥ 0 (-0,1 puntos por no colocarla)
b) Solución Gráfica (0,3 puntos, -0,1 por error) Se debe identificar la FO en la figura:
Mínima cantidad de aceite D se da en (4,2), por lo tanto, la mínima cantidad de D es 2 litros. (0,15
puntos)
c) Máxima cantidad de aceite C se da en (10,5), por lo tanto, la máxima cantidad de C son 10 litros
(0,15 puntos)
2.
(1,5 puntos) Mientras permanece a las afueras de Valparaíso, el portaviones Mighty efectúa maniobras
de lunes a viernes y fondea en el puerto el fin de semana. La próxima semana, el capitán desea dejar en
tierra, desde el lunes hasta el viernes, a la mayoría de los 2.500 marineros de la tripulación. No
obstante, debe efectuar las maniobras de la semana y cumplir con los reglamentos navales. Dichos
reglamentos son:
− Los marineros deberán trabajar, ya sea en el turno A.M. (de
LUN MAR MIER JUE VIER
medianoche a mediodía), o en el P.M. (mediodía a
medianoche), cada uno de los días que estén en servicio y, A.M. 900 1000 450 800 700
durante una semana, tendrán que estar adscritos al mismo
P.M. 800 500 1000 300 750
turno todos los días de servicio.
− Cada marinero que trabaje debe estar en activo durante tres días, incluso cuando no haya suficiente
“trabajo real” en algunos de esos días.
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
La cantidad de marineros requeridos para cada uno de los turnos, según los diferentes días, se muestra
en la tabla de arriba. Formule el modelo que permita al capitán planificar los turnos de la semana.
a) Definición de variables (0,2 puntos)
Sea
xij = número de marineros que inicia su turno en el día i, en el turno j, donde i = 1, ..., 5, esto es, 1=
lunes, ..., 5 = viernes, j = 1, 2, donde 1 = AM, 2 = PM.
b) Función objetivo (0,3 puntos)
5
Min z =
2
∑∑ x
i =1 j =1
ij
c) Restricciones (1,0 puntos)
Lunes (0,2 puntos, - 0,1 por error)
AM)
x11 ≥ 900
PM)
x12 ≥ 800
Martes (0,2 puntos, - 0,1 por error)
AM)
x11 + x21 ≥ 1000
PM)
x12 + x22 ≥ 500
Miércoles (0,2 puntos, - 0,1 por error)
AM)
x11 + x21 + x31 ≥ 450
PM)
x12 + x22 + x32 ≥ 1000
Jueves (0,2 puntos, - 0,1 por error)
AM)
x21 + x31 + x 41 ≥ 800
PM)
x32 + x42 + x52 ≥ 300
Viernes (0,2 puntos, - 0,1 por error)
AM)
x31 + x 41 + x51 ≥ 700
PM)
x12 + x 22 + x32 ≥ 750
Restricción de No Negatividad (-0,1 puntos por no colocarla)
xij ≥ 0, ∀ i, j.
3.
(2,0 puntos) La Refinería ANAP S.A. produce tres tipos de gasolinas (G1, G2 y G3). Cada tipo de
gasolina es producida combinando tres tipos de petróleo (C1, C2 y C3). Las ventas en dólares
americanos (USD) por barril de gasolina son: G1 en USD 70, G2 en USD 60 y G3 en USD 50. Los costos
en dólares por barril de petróleo son: C1 en USD 45, C2 en USD 35 y C3 en USD 25. Por otro lado, ANAP
puede comprar hasta 5.000 barriles de cada tipo de petróleo al día.
Los tres tipos de gasolina difieren en el octanaje y en el porcentaje de azufre. Para producir G1 la
combinación de petróleos debe tener en promedio un octanaje de al menos de 10 y contener no más de
1% de azufre. Para producir G2, el octanaje promedio es de al menos 8 y contener no más de 2% de
azufre. Para producir G3, el octanaje promedio es de al menos de 6 y contener no más de 1% de azufre.
Se sabe que el petróleo C1 posee un octanaje de 12 y 0,5% azufre, C2 posee un octanaje de 6 y 2,0%
de azufre, y C3 posee un octanaje de 8 y 3,0% de azufre. El costo de transformación de un barril de
petróleo en uno de gasolina es de 4 dólares.
La refinería ANAP puede producir a lo más 14.000 barriles de gasolina al día.
Los clientes de ANAP requieren por lo menos 3.000 barriles diarios de G1, 2.000 barriles diarios de G2, y
1.000 barriles diarios de G3. ANAP considera una obligación satisfacer estos requerimientos.
Finalmente, es un hecho que la publicidad estimula la demanda de sus productos. Cada dólar gastado en
publicidad para cada gasolina aumenta su demanda diaria en 10 barriles. Formule el modelo que permita
a la refinería ANAP planificar la producción diaria de gasolina y la publicidad a financiar.
Definición de variables de decisión
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
(0,1 puntos)
(0,2 puntos)
Función objetivo: Maximizar las ganancias diarias (en dólares). (0,4 puntos)
70(x11 + x 21 + x31 ) + 60(x12 + x 22 + x32 ) + 50( x13 + x 23 + x33 )
Max z =
− [45( x11 + x12 + x13 ) + 35( x 21 + x 22 + x 23 ) + 25( x31 + x32 + x33 )]
3
3
3
− 4∑∑ xij − ∑ y j
j =1 i =1
j =1
Restricciones (1,3 puntos, 0,1 por cada una)
x31 + x32 + x33 ≤ 5000
x11 + x 21 + x31 = 3000 + 10 y1
x12 + x 22 + x32 = 2000 + 10 y 2
x13 + x 23 + x33 = 1000 + 10 y 3
y
Con
4.
(-0,1 puntos por no colocarla)
(1,3 puntos) Una empresa desea programar la producción y venta de su principal artículo en cada uno
de los meses del próximo trimestre, dadas las estimaciones y consideraciones mostradas en la tabla. El
costo unitario mensual de almacenaje de una unidad terminada es de aproximadamente $ 30 y al
comenzarse este trimestre no habrá unidades en proceso ni unidades almacenadas. Las unidades que se
venden en el mismo mes de producción no tienen costo de almacenaje.
Dda. Mínima (por contrato)
Capacidad máxima de producción
Costo unitario de producción
Precio unitario venta
Mes 1
80 u
130 u
1.500 $/u
2.000 $/u
Mes 2
100 u
150 u
1.800 $/u
2.200 $/u
Mes 3
75 u
100 u
1.600 $/u
2.300 $/u
SOLUCIÓN
Definición de variables:
(0,1 puntos)
(0,1
puntos)
Función objetivo: (0,4 puntos)
Restricciones: (0,7 puntos)
y 0 = 15
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(-0,1 puntos por no colocarla)
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Fecha: 10 de septiembre de 2014
1. (1,5 puntos) La empresa lechera Curicó Milk fabrica dos tipos de leche: entera y descremada. Para
producir un litro de leche entera se necesitan 10 litros de leche fresca, 20 horas en la máquina
pasteurizadora y 9 horas de mano de obra. Para producir un litro de leche descremada se necesitan 20
litros de leche fresca, 10 horas en la máquina pasteurizadora y 4 horas de mano de obra. La demanda
diaria de leche descremada no es mayor a 14 litros y la demanda diaria leche entera no debe exceder los
10 litros. Las políticas de la empresa son severas y establecen que la producción diaria de leche entera
no debe exceder a 12 litros de leche más 4 veces la producción diaria de leche descremada. También se
debe utilizar diariamente por lo menos 36 horas hombre en la producción total de la empresa. Además se
requiere que la producción diaria de leche descremada no exceda cuatro veces la producción diaria leche
entera más 12 litros de leche. La empresa cuenta con un máximo de 320 litros diarios de leche fresca y
con una disponibilidad diaria máxima de 280 horas de máquina pasteurizadora. Se sabe que el precio de
venta del litro de leche entera es de 400 pesos y los costos involucrados en la producción diaria de este
producto suman 100 pesos por litro. El precio de venta del litro de leche descremada es de 500 pesos y
los costos involucrados en la producción diaria de este producto suman 200 pesos por litro.
a) Formule el modelo que permita determinar los litros diarios a producir de leche entera y leche
descremada.
b) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando
claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
c) ¿Qué sucede con la solución óptima si el costo de producción de la leche descremada disminuye en
25%?
a) Formulación del Modelo (0,7 puntos):
Definición de Variables de Decisión (0,1 puntos):
Sea
x1: litros diarios a producir de leche entera,
x2: litros diarios a producir de leche descremada.
FO: Maximizar ganancias (Ingresos – Costos):
La ganancia unitaria es (400-100) para la leche entera y (500-200) para la leche descremada. De
esta forma, se tiene:
Maximizar z =
300 x1 + 300 x2 (0,1 puntos)
Restricciones:
•
Demanda diaria máxima (0,1 puntos)
x1 ≤ 10
x2 ≤ 14
•
Políticas de la empresa (0,2 puntos)
x1 - 4 x2 ≤ 12
- 4 x1 + x2 ≤ 12
•
Restricción de mano de obra (0,1 puntos)
9 x1 + 4 x2 ≥ 36
•
Máximos recursos disponibles (0,1 puntos)
Leche fresca)
10 x1 + 20 x2 ≤ 320
Horas máquina)
20 x1 + 10 x2 ≤ 280
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca)
x1, x2 ≥ 0
1
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b) Solución gráfica (0,6 puntos)
Gráfico (0,3 puntos): 0,2 puntos Región Factible bien identificada; 0,1 puntos recta de z (FO).
Valor ótimo: z* = 6000 (0,1 puntos)
Solución óptima: x1 = 8, x2 = 12 (0,1 puntos)
Respuesta (0,1 puntos): Por lo tanto, se debiera producir 8 litros de leche entera y 12 litros de leche
descremada, obteniéndose una ganancia diaria de 6.000 pesos.
c) La ganancia unitaria es de (500-150) para la leche descremada, es decir, la nueva FO es:
300 x1 + 350 x2 (0,1 puntos)
Con esta nueva FO, la solución óptima continua siendo la misma, pero el valor óptimo aumenta a 6.600
pesos (0,1 puntos).
2.
(2,0 puntos) Una empresa maderera produce cuatro tipos de tablones de madera a partir de planchas
de tamaño estándar de 18 x 23 m2. Los tablones que produce tienen las siguientes dimensiones: 6 x 15
m2, 7 x 13 m2, 12 x 12 m2 y 15 x 18 m2. Para este mes, la empresa ha recibido un pedido de un cliente
extranjero importante, de 400 tablones de 15 x 18 m2. Por otro lado, debido a políticas de la empresa, la
suma de los tablones producidos en el mes para las dimensiones de 6 x 15 m2 y 7 x 13 m2 debe ser al
menos el 50% de los tablones producidos en el mes de dimensiones 15 x 18 m2. Además, se debe
responder también a la demanda mensual de 150 tablones de 12 x 12 m2. Se sabe también que, por
restricciones de diseño de las máquinas, de una misma plancha estándar no se puede generar al mismo
tiempo tablones de dimensiones de 6 x 15 m2 y de 7 x 13 m2. La empresa ha solicitado su asesoría para
determinar cuántas planchas de madera de 18 x 23 m2 deberá cortar este mes en las medidas
2
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solicitadas. Formule el modelo que permita a la empresa planificar su producción de tablones para
atender la demanda.
Elaboración de moldes (0,6 puntos; 0,1 por cada uno)
Molde 1
6
15
18
15
Molde 2
7
13
18
15
Molde 3
3
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13
7
13
7
13
7
Molde 4
15
6
6
6
15
15
6
15
Molde 5
15
6
12
12
15
6
Molde 6
13
7
12
12
15
6
4
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Molde
1
2
3
4
5
6
15 x 18
m2
1
1
0
0
0
0
6 x 15
m2
1
0
0
4
1
0
7 x 13
m2
0
1
3
0
0
1
12 x 12
m2
0
0
0
0
1
1
Desperdicios
2*18+6*3=54
1*18+5*7=53
5*23+2*13=141
2*18+6*3=54
6*3+2*18+6*12=90
4*12+1*1+5*8=89
Definición de variables (0,2 puntos)
Xi = número de piezas de maciza a cortar según molde i, i=1..6.
Función objetivo: Minimizar los desperdicios de material. (0,3 puntos)
Minimizar z = 54 X1 + 53 X2 + 141 X3 + 54 X4 + 90 X5 + 89 X6
Restricciones
Demanda de cortes de 15 x 18 m2. (0,3 puntos)
X1 + X2 ≥ 400 (unidades)
Demanda de cortes de 12 x 12 m2. (0,3 puntos)
X5 + X6 ≥ 150 (unidades)
Restricción de mercado nacional(0,3 puntos)
X1 + X2 + 3X3 + 4X4+ 2X5+ 2X6≥ 0.5(+X1+ X2) (unidades)
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca)
Xi ≥ 0, i=1, ...,6
3.
(1,5 puntos) La empresa Computer Factory necesita satisfacer la demanda de computadores por parte
de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres.
Actualmente, Computer Factory tiene 5.000 computadores en inventario. La demanda esperada para los
próximos trimestres es de 7.000, 15.000, 10.000 y 8.000, respectivamente. Computer Factory tiene el
material y la capacidad para producir hasta 10.000 computadores cada trimestre, a un costo de 2.000
dólares por computador. Empleando personal de sobretiempo se puede producir hasta 2.500
computadores más por trimestre a un costo individual de 2.200 dólares. Los computadores producidos en
un trimestre pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario
para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de 100 dólares
por período para reflejar los costos de almacenaje. La empresa ha determinado que al final del cuarto
trimestre no deben quedar computadores en inventario. Formule el modelo que permita a Computer
Factory satisfacer la demanda de sus clientes en los próximos 4 trimestres.
Definición de variables de decisión (0,3 puntos)
Sea
xt = producción de computadores en el período t en horario normal, t = 1, ..., 4,
yt = producción de computadores en el período t en horario sobretiempo, t = 1, ..., 4,
it = inventario al final del período t, t = 1, ..., 4.
Función objetivo (0,2 puntos)
Min z = 2000(x1+ x2+ x3 + x4) + 2200(y1+ y2+ y3 + y4) + 100(i1+ i2+ i3)
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Restricciones
5000 + x1 + y1 = 7000 + i1 (0,2 puntos)
i1 + X2 + y2 = 15000 + i2 (0,2 puntos)
i2 + X3 + y3 = 10000 + i2 (0,2 puntos)
i3 + X4 + y4 = 8000 (0,2 puntos) Otra alternativa es considerar en esta restricción i4,
agregando luego la restricción i4 = 0;
Xt ≤ 10000,
yt ≤ 2500,
t = 1, ..., 4, (0,1 puntos)
t = 1, ..., 4, (0,1 puntos)
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca):
Xt, yt , it ≥ 0,
t = 1, ..., 4,
4. (1,0 punto) Una empresa de extrusión fabrica ensaladeras y recipientes de acero inoxidable. En el
proceso de fabricación utiliza como materia prima láminas de acero de tamaño único. Con cada lámina se
puede fabricar: (i) una ensaladera y dos recipientes, o (ii) sólo seis recipientes. La empresa vende cada
ensaladera a $800 y cada recipiente a $200. Además, cada lámina de acero cuesta $60. Se sabe, por
experiencia, que no es posible vender más que cuatro recipientes por cada ensaladera. El número total
de láminas de acero disponibles es de 680. Formule el modelo que permita a la empresa planificar la
producción para maximizar su ganancia.
Definición de variables de decisión (0,2 puntos)
Sea
x: N° láminas usadas para el tipo de corte 1
y: N° láminas usadas para el tipo de corte 2
Función objetivo (0,4 puntos)
Max z = 800 x + 200(6y + 2x) – 60(x + y)
Restricciones
•
No más de 4 recipientes por ensaladera (0,2 puntos):
6y +2x ≤ 4x
•
El número total de láminas de acero disponible (0,2 puntos):
x + y ≤ 680
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca):
x, y ≥ 0
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PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
Fecha: 04 de septiembre de 2013
1. (1,5 puntos) Una empresa tiene tres plantas de producción (1, 2 y 3) para la fabricación de un
determinado producto. Este producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y
pequeño. Estos tamaños generan una utilidad por unidad de $140, $120 y $100,
respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen una capacidad de producción máxima de 850,
1.200 y 1.000 unidades por día, respectivamente, cualquiera sea el tamaño del producto o la
combinación de tamaños que se fabrique. Por otro lado, el espacio de almacenamiento en
cada planta es limitado. Las plantas 1, 2 y 3 tienen un espacio máximo de almacenamiento de
1.300, 2.200 y 3.000 metros cuadrados por día, respectivamente. Cada unidad de tamaño
grande, mediano y pequeño requiere un área de 2, 1,5 y 1,2 metros cuadrados,
respectivamente.
Los pronósticos de ventas indican que diariamente es posible vender al menos 800, 900 y 750
unidades de los tamaños grande, mediano y pequeño respectivamente.
Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas, el gerente de
operaciones ha decidido que el porcentaje de la capacidad de producción diaria utilizada en
cada planta debe ser el mismo. Formule el modelo que permita a la empresa establecer el plan
de producción diario del producto.
Solución:
(0,1 puntos) Definición de variables:
(0,2 puntos) Función Objetivo:
Restricciones:
‐
(0,1 punto c/u, total 0,3 puntos) Capacidad de planta
‐
(0,1 punto c/u, total 0,3 puntos) Condición de almacenamiento
1
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‐
(0,1 punto c/u, total 0,3 puntos) Condición del mercado
‐
(0,1 punto c/u, total 0,3 puntos) Condición de gerencia
‐
No negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción):
2. (1,0 puntos) Se desea obtener tres elementos químicos a partir de los compuestos A y B. Un
kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 gramos del tercero.
Un kilo de B contiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 gramos del
tercero. El precio de un kilo de A es $2 y el de un kilo de B es $10. Se desea obtener al menos
16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser a lo más
6 y 20 gramos, respectivamente. Además, la cantidad utilizada del compuesto A debe ser a lo
menos la mitad que la del compuesto B y a lo más el doble de la del compuesto B.
a) (0,4 puntos) Formule un modelo que permita determinar la cantidad a comprar de los
compuestos A y B.
Solución:
(0,1 puntos) Definición de variables:
(0,05 puntos)Función Objetivo:
Restricciones (total 0,25 puntos, 0,05 puntos cada una):
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‐
No negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción):
b) (0,6 puntos) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo,
identificando claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región
factible.
Gráfico: (0,3 puntos, 0,05 cada restricción dibujada, ‐0,1 puntos por error)
(0,1 puntos) Identificación de la región factible
(0,1 puntos) Solución óptima:
de B.
= 8/5 (1,6),
= 4/5 (0,8). Se comprarán 1,6 kilos de A y 0,8 kilos
(0,1 puntos) Valor óptimo: Se pagará $11,2 (56/5) por la compra de A y B.
3. (1,5 puntos) Un fabricante de artículos electrodomésticos tiene un contrato para exportar 400
unidades de lavadoras y 500 unidades de refrigeradores. Una lavadora ocupa un volumen de
0,4 metros cúbico y un refrigerador ocupa un volumen de 1 metro cúbico. Se dispone de tres
barcos para transportar los electrodomésticos, los cuales llegarán al puerto de destino a
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principios de octubre, mediados de noviembre y fines de diciembre, respectivamente. El
primer barco transporta solo lavadoras a un costo de $450 por unidad. El segundo y tercer
barco transportan ambos tipos de electrodomésticos a un costo de $35 y $40 por metro
cúbico, respectivamente. El primer barco solo puede acomodar 200 lavadoras, mientras que el
segundo y tercer barco tienen disponibles volúmenes de 4.500 y 6.00 metros cúbicos,
respectivamente. Si el fabricante se ha comprometido a entregar al menos 250 lavadoras y
200 refrigeradores para mediados de noviembre, y el resto, para fines de diciembre, formule
el modelo que permita al fabricante planificar los embarques de electrodomésticos.
Solución:
(0,3 puntos) Definición de variables:
(0,3 puntos) Función Objetivo:
Restricciones:
‐
(0,1 punto c/u, total 0,2 puntos) Cantidad a exportar:
‐
(0,1 punto c/u, total 0,3 puntos) Disponibilidad de los barcos
‐
(0,2 punto c/u, total 0,4 puntos) Compromisos de entrega
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‐
No negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción):
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4.
(2,0 puntos)
Una agencia de arriendo de vehículos está Mes
Demanda
preparando una estrategia de arriendo para los próximos seis
de Vehículos
meses. La agencia renta los automóviles a un fabricante, para Octubre
420
luego arrendarlos al público. Al costado se presenta una Noviembre 400
estimación de la demanda del público para los próximos seis Diciembre 430
meses. Los automóviles pueden rentarse al fabricante por tres,
Enero
460
cuatro o cinco meses. Los vehículos se rentan al fabricante el
Febrero
470
primer día del mes t se regresan el último día del mes. Cada seis
Marzo
440
meses, la agencia notifica al fabricante sobre el número de
automóviles requeridos durante los siguientes seis meses. Por otro lado, el fabricante ha
estipulado que por lo menos el 50 por ciento de las unidades rentadas durante un periodo de
seis meses deben estar en el plan de arriendo de cinco meses. El costo mensual por automóvil
de cada uno de los tres tipos de planes de arriendo es: $420 mensuales para el plan de tres
meses, $400 mensuales para el plan de cuatro meses y $370 mensuales para el plan de cinco
meses. Actualmente, la agencia cuenta con 390 automóviles. El arriendo de 120 de ellos expira
a finales del mes de octubre. El de otros 140 automóviles expira a finales de noviembre y el del
resto, a finales de diciembre. Formule el modelo que permita a la agencia establecer la
estrategia de arriendo de vehículos para los próximos seis meses.
Solución:
(0,3 puntos) Definición de variables:
(0,2 puntos) Función Objetivo:
(Si define j = 1, 2, 3)
Restricciones:
‐
(0,2 puntos c/u, total 1,2 puntos) Flujo:
6
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
‐
(0,3 puntos) Condición del fabricante:
‐
No negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción):
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
7
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 10 de abril de 2013
1. (1,5 puntos) Un molino agrícola produce alimentos
Ingredientes
Nutrientes
para ganado y para aves de corral. Estos productos
Maíz Cal Harina de Pescado
se componen de tres ingredientes, siendo éstos: Proteína (mgr/kgr) 25
15
25
maíz, cal y harina de pescado. Los ingredientes
Calcio (mgr/kgr)
15
30
20
contienen dos tipos de nutrientes: proteínas y
calcio. En la tabla de arriba se presentan los miligramos de nutrientes por cada kilogramo de ingrediente.
Para la mezcla de ingredientes se debe cumplir con los siguientes requerimientos: el contenido de proteína
en el alimento para ganado debe ser de al menos a 18 miligramos por kilogramo, mientras que el
contenido de calcio debe ser de al menos 20 miligramos por kilogramo de alimento para ganado. De igual
manera, el contenido de proteína en el alimento para aves de corral debe ser de al menos a 21 miligramos
por kilogramo, mientras que el contenido de calcio debe ser no mayor a 25 miligramos por kilogramo. El
molino tiene actualmente 3.000 kilogramos de maíz, 2.500 kilogramos de cal y 1.000 kilogramos de harina
de pescado y ha recibido un pedido de 3.000 kilogramos de alimento para ganado y de 2.000 kilogramos de
alimento para aves de corral. El precio por kilogramo de maíz, cal y harina de pescado es de $15, $10 y $8,
respectivamente. Formule el modelo que permita al molino establecer su plan de producción de alimentos.
Solución:
(0,1 punto) Definición de variables:
Sea
con
(0,1 puntos) Función Objetivo:
Restricciones:
‐
(0,1 punto c/u, total 0,3 pts) Disponibilidad de ingredientes:
o
Maíz
o
Cal
o
Harina de pescado
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
‐
(0,1 punto c/u, total 0,2 pts) Pedido de alimentos:
o
Alimento para ganado:
o
Alimentos para aves de corral:
‐
(0,2 punto c/u, total 0,8 pts) Nutrientes:
o
Proteína en alimento para ganado
o
Proteína en alimento para aves de corral
o
Calcio en alimento para ganado
o
Calcio en alimento para aves
‐
Restricción de no negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción):
2
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
2. (1,5 puntos) La municipalidad de Curicó debe decidir sobre el plan de desarrollo para un terreno de 15
hectáreas localizado en los suburbios de la ciudad, donde espera sacar el mayor provecho posible a este
terreno. Con este propósito, podría llevar a cabo dos proyectos habitacionales: construcción de viviendas
de bajo costo y construcción de viviendas de costo medio. Respecto a estos proyectos, se sabe que en una
hectárea es posible construir 10 viviendas de bajo costo o 5 viviendas de costo medio. El costo de una
vivienda de bajo costo es $10.000 y de una de costo medio es $15.000. Los límites superior e inferior
establecidos por el municipio sobre el número de viviendas a construir es de 60 y 100, para las viviendas de
bajo costo, y de 30 y 70 para las de costo medio. El mercado potencial conjunto para ambos tipos de
vivienda tiene un límite máximo de 120 viviendas (que es menor que la suma de los límites individuales,
debido al traslape de los dos mercados). Se desea que la hipoteca total comprometida para el nuevo plan
de desarrollo no exceda los $1,5 millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de
viviendas de bajo costo sea al menos 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo
medio.
a) (0,8 puntos) Formule un modelo que permita al municipio decidir sobre el nuevo plan de desarrollo.
Solución:
(0,1 punto) Definición de variables:
Sea
(0,1 punto) Función Objetivo:
Restricciones (total 0,6 puntos):
‐
(0,1 punto) Disponibilidad del terreno:
‐
Límites en número de viviendas:
o
(0,1 punto) Bajo costo:
o
(0,1 punto) Costo medio
‐
(0,1 punto) Cantidad máxima de viviendas a construir
‐
(0,1 punto) Hipoteca total
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
‐
(0,1 punto) Cantidad de cada tipo de viviendas
‐
Restricción de no negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción)
b) (0,7 puntos) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo,
identificando claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
(0,4 puntos, ‐0,1 punto por error) Gráfico:
Punto
C
I
E
Coordenada X1
60
60
90
Coordenada X2
45
30
30
Valor
105
90
120
(0,2 puntos) Solución óptima: x1* = 90, x2*= 30. El plan de desarrollo óptimo se cumple construyendo 90 casas
de bajo costo y 30 casas de costo medio.
(0,1 puntos) Valor óptimo: z* = 120. Se construirán 120 casas en total.
4
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
3. (1,0 puntos) Una empresa metalmecánica fabrica tres tipos de puertas de acero: Standard, Alta Seguridad y
Máxima Seguridad. Para la producción de cada puerta se requiere de horas de maquinaria y de horas de de
mano de obra. Además, cada puerta tiene márgenes de utilidad distintos. Estos valores se muestran en la
tabla abajo.
Máquina 1
Máquina 2
Horas Horas Mano de Obra Horas Horas Mano de Obra
Standard
3,5
5
4
6
Alta Seguridad
6
8
5
7
Máxima Seguridad
8
11
6
9
Tipos de Puertas
Margen de
Utilidad ($)
35
45
65
Cada puerta debe ser procesada a través de la máquina 1 y de la máquina 2 antes de ser vendida. Cada
trabajador es asignado para trabajar sólo en uno de los tipos de puertas, lo que implica que debe trabajar
en las dos máquinas. Además, la administración ha decidido no vender más puertas de Máxima Seguridad
que las ventas en conjunto de puertas Standard y de Alta Seguridad, con el fin de mantener los precios
altos de las puertas Standard y de Alta Seguridad. La empresa tiene disponible 120 horas por semana para
la máquina 1, 100 horas por semana para la máquina 2 y 280 horas por semana de mano de obra. Formule
el modelo que permita determinar a la empresa la producción semanal de puertas, asumiendo que puede
vender todo lo que produce.
Solución:
(0,2 puntos) Definición de variables:
Sea:
(0,1 puntos) Función Objetivo:
Restricciones:
‐
(0,1 punto c/u, total 0,2 puntos) Máquinas:
‐
(0,3 puntos) Mano de obra
‐
(0,2 puntos) Distribución de producción
‐
Restricción de no negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción)
5
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
4. (2,0 puntos) La empresa Up S.A. fabrica compresores de aire. Para prever las variaciones del mercado de
los compresores de aire, desea planificar sus niveles de producción e inventario para los próximos 3 meses.
La capacidad de producción de su planta también varía mes a mes debido al número de días trabajados por
mes, a las vacaciones del personal, a los
Mes
Mes
Mes
paros por mantenimiento y al entrenamiento
1
2
3
del personal nuevo. La tabla al costado Costo de Producción Unitario ($)
240
250
265
presenta los costos de producción mensual, Unidades Demandadas
1.000 4.500 6.000
demandas esperadas y la capacidad de Máxima Capacidad de Producción 4.000 3.500 4.000
producción máxima que la empresa espera
tener en los próximos meses. Además, la bodega de la empresa Up S.A. tiene una capacidad limitada,
pudiendo mantener en inventario hasta 6.000 unidades por mes. Para atender imprevistos en la demanda,
el gerente de la empresa desea mantener en inventario un stock de seguridad de por lo menos 1.500
unidades. Por otro lado, con el fin de mantener estable la mano de obra, la empresa debe producir no
menos de la mitad de su capacidad máxima de producción mensual. El departamento de producción de la
empresa ha determinado que el costo por mantener una unidad en inventario en un determinado mes es
un 1,5% del costo de producción unitario de ese mismo mes. La empresa Up S.A. ha estimado también que
el número de unidades mantenidas en inventario en cada mes corresponde al promedio del inventario
inicial y el inventario final de cada mes. Actualmente, existen 2.750 unidades en inventario. Formule el
modelo que permita a la empresa Up S.A. definir su plan de producción e inventario para los próximos
cuatro meses, de manera que pueda atender la demanda esperada a un costo total mínimo.
Solución:
(0,2 puntos) Definición de variables:
Sea
xi: unidades producidas en el mes i, donde i = 1, 2, 3.
Ij: unidades en inventario al inicio del mes j, donde j = 1, 2, 3, 4.
(0,5 puntos) Función Objetivo:
Minimizar los costos de inventario (0,3 puntos, 0,1 por cada término) + costos de producción (0,2 puntos)
Restricciones:
‐
Niveles de producción por mes:
o
(0,1 punto) Mes 1:
o
(0,1 punto) Mes 2:
6
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
o
(0,1 punto) Mes 3:
‐
Niveles de inventario:
o
(0,2 puntos, 0,1 punto por cada una) Mes 1:
o
(0,2 puntos, 0,1 punto por cada una) Mes 2:
o
(0,2 puntos, 0,1 punto por cada una) Mes 3:
‐
(0,4 puntos, 0,1 puntos por cada una) Balance de Inventario:
‐
Restricción de no negatividad (‐0,1 puntos por no colocar esta restricción)
Ij ≥ 0, ∀j,
xi ≥ 0, ∀i.
7
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Fecha: 09 de abril de 2014
1. (1,0 punto) Considere el siguiente problema de programación lineal :
Min z = 3x1 + 5 x2
s.a.
3x1 + 2 x2 ≥ 12
2 x1 − x2 ≥ 1
3x1 − 2 x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 3
x1 , x2 ≥ 0
a) Utilice el método gráfico para encontrar la solución
óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el
gráfico cada restricción, la función objetivo y la región
factible. (0,6 puntos)
b) Indique cuál es la solución óptima y el valor óptimo
obtenido. (0,2 puntos)
c) Suponga que la función objetivo cambia a minimizar
z = −5 x1 + 4 x2 .
Encuentre la solución óptima y el valor
óptimo para esta nueva función objetivo. (0,2 puntos)
2. (1,5 puntos) El
N° de trabajadores mínimo por turno
Turno
gerente
de
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
operaciones de un
Nocturno
2
5
6
9
11
18
6
supermercado
Diurno
4
6
9
7
8
11
12
que abre 24 horas Vespertino
3
5
4
6
6
7
8
está
definiendo
los turnos a asignar a sus trabajadores. Cada día de trabajo se ha dividido en tres turnos de
8 horas (00:001 – 08:00, 08:01 – 16:00, 16:01 – 00:00), siendo cada uno de éstos
denominados de: nocturno, diurno y vespertino, respectivamente. El supermercado debe
trabajar con la menor cantidad de trabajadores posibles, manteniendo el nivel de servicio
que lo caracteriza. La tabla de arriba muestra el número mínimo de trabajadores para
cumplir este objetivo.Por políticas del dueño del local, cada trabajador debe estar en sus
mejores condiciones, tanto físicas como de ánimo, para recibir a los clientes con amabilidad
y buena disposición. Para esto, se exigen las siguientes condiciones:
−
Cada trabajador sólo puede ser asignado a un turno y debe permanecer en ese turno
cada vez que le toque trabajar.
−
Cada trabajador sólo puede trabajar tres días consecutivos durante un período de 7 días.
Además, se sabe que el supermercado cuenta con 45 trabajadores. Formule el modelo que
permita al gerente de operaciones administrar los turnos del supermercado.
3.
(1,5 puntos)La Refinería CNAP produce dos tipos de gasolina sin plomo, siendo éstas
regular y extra, las cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por
barril, respectivamente. Ambos tipos de gasolina se preparan del inventario de petróleo
nacional refinado y de petróleo importado refinado con que cuenta la CNAP. Las gasolinas
deben cumplir con las siguientes especificaciones:
Gasolina
Regular
Extra
Presión de Vapor
Máxima
23
23
Octanaje Mínimo
88
93
Demanda Máxima
(barriles/semana)
100.000
20.000
Entregas Mínimas
(barriles/semana)
50.000
5.000
Inventario
Costo
Petróleos
Presión de
Las
Octanaje
(barriles/semana)
($/barril)
Refinados
Vapor
características
Nacional
25
87
80.000
6
del inventario de
Importado
15
98
70.000
10
los
petróleos
refinados disponibles se presentan en la tabla al costado. Sabiendo que cada tipo de petróleo
que compone una gasolina contribuye al octanaje de ésta según el porcentaje de barriles que
aporta a la mezcla, y siendo de esta misma forma para la presión de vapor, formule el
modelo que permita a la Refinería CNAP planificar la producción semanal de gasolinas.
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
4. (1,5 puntos)Un avión de carga tiene
Capacidad Máxima
Espacio
tres
compartimientos
para
el Compartimiento
(toneladas)
(m3)
almacenamiento de carga: frontal,
Frontal
10
6800
central
y
trasero.
Estos
Central
16
8700
compartimientos
tienen
las
Trasero
8
5300
limitaciones de peso y espacio
mostradas en la tabla
Peso
Volumen
Utilidad
al costado. Además, Encargos
(toneladas)
(m3/tonelada)
($/tonelada)
con el fin de mantener
1
18
480
310
el equilibrio del avión,
2
15
650
380
la proporción del peso
3
23
580
350
de la carga en cada
compartimiento deberá
4
12
390
285
ser la misma.
Cuatro encargos (presentados en la tabla al costado) están disponibles para el próximo vuelo.
Los encargos pueden ser aceptados total o parcialmente. Formule el modelo que permita
determinar la carga que debe ser enviada en el avión y cómo distribuirla en cada uno de los
compartimientos.
RESOLUCIÓN
PREGUNTA 1 (1,0 puntos)
a) En la siguiente imagen se muestra la solución gráfica.(0,6 puntos)
2
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
b) El valor óptimo es
, y la solución óptima es
c) En este caso se mantiene la solución óptima es
óptimo a
(0,2 puntos)
.(0,2 puntos)
, pero cambia el valor
PREGUNTA 2(2,0 puntos)
Definición de variables(0,2 puntos)
Función objetivo: Minimizar el número de trabajadores a asignar.(0,2 puntos)
Restricciones
Lunes(0,2 puntos)
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Martes(0,2 puntos)
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Miércoles (0,2 puntos)
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Jueves(0,2 puntos)
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Viernes(0,2 puntos)
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Sábado(0,2 puntos)
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Domingo(0,2 puntos)
Nocturno)
Diurno)
Vespertino)
Número máximo de trabajadores posible a destinar(0,2 puntos)
Con
PREGUNTA 3(1,5 puntos)
a) Definición de variables(0,2 puntos)
Sea Xij: barriles de petróleo tipo i mezclado en la gasolina j, donde i={1:nacional,
2:importado}, j={1:regular, 2:extra}
b) Función objetivo(0,2 puntos)
c) Restricciones
• De demandas:(0,2 puntos)
4
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
• De disponibilidad en inventario:(0,1 puntos)
• Octanaje mínimo
• Presión de vapor
• Condiciones de no negatividad(-0,1 puntos por no colocarla):
PREGUNTA 4(1,5 puntos)
a) Variable de decisión (0,2 puntos)
xij toneladas del cargamento i (i=1,2,3,4) transportadas en el compartimiento j (j=1:
Frente, j=2 Centro y j=3 Trasero)
b) Función Objetivo (0,2 puntos)
Max Z = 310*(x11+ x12+x13) + 380*(x21+ x22+x23) + 350*(x31+ x32+x33) + 285*(x41+
x42+x43)
c) Restricciones
•
Se debe incluir únicamente los cuatro cargamentos que se disponen (0,2 puntos,
0,05 por cada una)
x11 + x12 + x13 ≤ 18
x21 + x22 + x23 ≤ 15
x31 + x32 + x33 ≤ 23
x41 + x42 + x43 ≤ 12
5
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
• Se debe respetar la capacidad en toneladas de cada compartimiento
(0,3 punto por todas, 0,1 por cada una)
x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 10
x12 + x22 + x32 + x42 ≤ 16
x13 + x23 + x33 + x43 ≤ 8
•
Se debe respetar el volumen de cada compartimiento (0,3 punto, 0,1 por cada
una)
480x11 + 650x21 + 580x31 + 390x41 ≤ 6800
480x12 + 650x22 + 580x32 + 390x42 ≤ 8700
480x13 + 650x23 + 580x33 + 390x43 ≤ 5300
•
El peso que posea la carga de los respectivos compartimientos, deberán poseer la
misma proporción para mantener el equilibrio en el avión (0,3 puntos, 0,1 por cada
una)
(x11 + x21 + x31 + x41)/10 = (x12 + x22 + x32 + x42)/16 = (x13 + x23 + x33 + x43)/8
d) Restricción de No Negatividad (-0,1 puntos por no colocarla)
xij ≥ 0 para todo i,j; i=1,2,3,4; j=1,2,3
6
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 05 de septiembre de 2012
1. (1,5 puntos) La compañía aérea Todorumbo ha conseguido un permiso para realizar vuelos entre Santiago, Arica e
intermedios. Para ello, debe comprar aviones con turborreactores con los que cubrirá los vuelos entre Santiago y Arica y
aviones de hélice con los que cubrirá los vuelos intermedios. El presupuesto de compra es de 2.800 millones de pesos.
Las características de los aparatos se pueden encontrar en la tabla a continuación:
Tipo de Aparato
Avión Turbo
Avión Hélice
Costo
(Millones de pesos)
300
100
Mantenimiento
(Pesos/día)
120.000
60.000
Piloto
Copiloto
Azafata
2
1
1
1
4
1
Capacidad
(pasajeros/mes)
4.000
300
Se puede contratar hasta 10 pilotos y 16 azafatas, y se espera emplear al menos 3 copilotos. El tráfico entre Santiago y
Arica se estima en al menos 12.000 pasajeros por mes, mientras que los vuelos con intermedios tienen una estimación
de demanda de al menos 900 pasajeros por mes. La empresa pretende atender la demanda de sus clientes. El permiso
aéreo tiene cierta exigencia respecto al máximo de aparatos a comprar, el cual no puede ser mayor a 10 aviones
(cualquiera sea el tipo de avión).
a) Formule un modelo que permita a la compañía planificar la compra de aviones, de manera de minimizar los costos
diarios de mantenimiento de los aviones.
b) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico
cada restricción, la función objetivo y la región factible.
2. (1,5 puntos) Una empresa manufacturera de papeles debe surtir un pedido consistente en 800 rollos de papel de 30
cms. de ancho, 500 rollos de papel de 45 cms. de ancho y 1.000 rollos de papel de 56 cms. de ancho. En este
momento, la empresa cuenta solamente con rollos de 108 cms. de ancho y debe decidir cómo cortarlos para surtir el
pedido con un mínimo desperdicio de papel. Formule el modelo que permita a la empresa manufacturera de papeles
minimizar las pérdidas por corte.
3. (1,5 puntos) Una empresa manufactura perfiles de acero para la
Taller (metros/hora)
Perfil
industria de la construcción en cuatro tamaños: pequeño,
A
B
C
mediano, grande y extragrande. Estos perfiles pueden producirse
Pequeño
100
200
250
en cualquiera de los tres talleres disponibles: A, B y C. En la
Mediano
85
140
230
tabla al costado se presentan los metros de perfil que pueden
Grande
70
120
200
producirse por hora en cada taller.
Extragrande
35
70
100
Se sabe que en cada taller sólo puede utilizarse a lo más 50
Costo de Operación ($/hora) 210
350
560
horas por semana y se requieren mensualmente 14.000, 10.400,
8.000 y 12.000 metros de cada perfil, respectivamente. Formule el modelo que permita a la empresa determinar el plan
de producción mensual de los perfiles, asumiendo que un mes tiene cuatro semanas.
4.
(1,5 puntos) En una compañía minera
Composición (% de elemento por tonelada de concentrado)
se estudia la posibilidad de comprar
Molino
Costo
concentrados de mineral de plomo
Plomo
Plata
Escoria
($/tonelada)
para los hornos de sinterización, los
1
65
15
20
50.000
cuales requieren de 1.000 toneladas
2
70
10
20
40.000
diarias de concentrado. A la cama de
3
70
20
10
70.000
material sinterizado se le debe
4
90
5
5
65.000
alimentar por lo menos 70% de plomo,
15% de escoria y 15% de plata. La empresa tiene como posibles proveedores a cuatro molinos, los cuales
proporcionaron la información de la tabla de arriba. Formule el modelo que permita a la compañía minera establecer el
plan de compra de concentrado de plomo, de manera de garantizar la carga diaria de los hornos de sinterización.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las respuestas completas. No
se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de forma sobre la prueba se deben hacer desde
su puesto de trabajo (sin levantarse).
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 1 (1.5 punto)
a)
Formule un modelo que permita a la compañía planificar la compra de aviones, de manera de minimizar los costos
diarios de mantenimiento de los aviones. (Total 0,9 Puntos)
1)
Definición de Variables (0,1 puntos)
Sea
2)
: cantidad de aviones del tipo i a ser comprados, donde i = {1: Avión Turbo, 2: Avión Hélice}
Función Objetivo (0,1 puntos)
Minimizar costos diarios de mantenimiento de los aviones.
3)
Restricciones
Contratación de Pilotos)
Contratación de Copilotos)
Contratación de Azafatas)
Presupuesto)
Viajes Largos)
Viajes Intermedios)
Exigencia de Compra)
4)
b)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca)
Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico
cada restricción, la función objetivo y la región factible. (0,5 puntos, -0,1 puntos por cada ítem que falte: deben
estar todas las restricciones, FO e identificación de la región factible)
(0,5 Puntos)
Solución óptima: 3 Aviones Turbo y 3 Aviones Hélice (0,2 puntos); valor óptimo: $ 540.000 (0,1 puntos)
2
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 2 (1.5 punto)
Descripción de Patrones Factibles a partir del Rollo de 108 cms. (0,4 puntos)
Tipo de Rollo
Rollos de 30 cm
Rollos de 45 cm
Rollos de 56 cm
Pérdida
1)
Patrón 1
3
0
0
18
Patrón 2
2
1
0
3
Patrón 3
1
0
1
22
Patrón 4
0
2
0
18
Patrón 5
0
1
1
7
Definición de Variables (0,3 puntos)
Sea : cantidad de rollos de 108 centímetros que se cortan siguiendo el patrón de corte i, siendo i = 1, …, 5,
siguiendo la numeración de los patrones de la tabla de arriba.
2)
Función Objetivo (0,2 puntos)
Minimizar pérdidas por corte
3)
Restricciones (0,6 puntos, 0,2 por cada una)
Rollos 30 cms)
Rollos 45 cms)
Rollos 56 cms)
4)
Restricción de no negatividad (- 0,1 puntos por no colocarla)
, i = 1,…, 5
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 3 (1.5 punto)
1)
Definición de Variables (0,2 puntos)
Sea : Metros de acero de perfil i, i= {1=Pequeño, 2=Mediano, 3=Grande, 4=Extragrande}, que se producen en el
taller j, j={1=A, 2=B, 3=C}.
2)
Función Objetivo (0,3 puntos)
Minimizar el costo de operación de la empresa manufacturera
Min z =
3)
x
x
x
x
x ⎞
x
x ⎞
x
x ⎞
⎛x
⎛ x
⎛ x
210⎜ 11 + 21 + 31 + 41 ⎟ + 350⎜ 12 + 22 + 32 + 42 ⎟ + 560⎜ 13 + 23 + 33 + 43 ⎟
⎝ 100 85 70 35 ⎠
⎝ 200 140 120 70 ⎠
⎝ 250 230 200 100 ⎠
Restricciones
a)
Capacidad en horas disponibles en cada taller (0,6 puntos, 0,2 por cada una)
Taller A)
x11 x21 x31 x41
+
+
+
≤ 50
100 85 70 35
Taller B)
x12 x22 x32 x42
+
+
+
≤ 50
200 140 120 70
Taller C)
x13
x
x
x
+ 23 + 33 + 43 ≤ 50
250 230 200 100
Demanda de metros de perfil (0,4 puntos, 0,1 por cada restricción)
Perfil pequeño)
x11 + x12 + x13 ≥ 14.000
x21 + x22 + x23 ≥ 10.400
Perfil grande)
x31 + x32 + x33 ≥ 8.000
Perfil extra grande) x41 + x42 + x43 ≥ 12.000
Perfil mediano)
4) Restricción de no negatividad (-0,1 puntos por no colocarla)
4
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 4 (1.5 punto)
1)
Definición de Variables (0,2 puntos)
Molino
Sea
: toneladas diarias de
concentrado de mineral de plomo
comprado al molino i para el pedido
de la compañía minera, donde i =
{1= Molino 1, 2= Molino 2, 3=
Molino 3, 4= Molino 4}.
1
2
3
4
Composición (% de elemento por tonelada de concentrado)
Costo
Plomo
Plata
Escoria
($/tonelada)
65
15
20
50.000
70
10
20
40.000
70
20
10
70.000
90
5
5
65.000
los cuales requieren de 1.000 toneladas diarias de concentrado. A la cama de material sinterizado se le debe
alimentar por lo menos 70% de plomo, 15% de escoria y 15% de plata.
2)
Función Objetivo (0,2 puntos)
Minimizar costos del pedido solicitado
3)
Restricciones (1,1 puntos)
Plomo)
Plata)
Escoria)
Requerimiento)
(0,3 puntos)
(0,3 puntos)
(0,3 puntos)
(0,2 puntos)
4)
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca)
, i = 1, 2, 3, 4
5)
Formulación Matemática
s.a
Plomo)
Plata)
Escoria)
Requerimiento)
, i = 1, 2, 3, 4
5
DEPARTAMENTO DE INGENIERÌA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 20 de mayo de 2015
1. (2,0
puntos)
Una
empresa
de
juguetes
está
Juguete 1 Juguete 2 Juguete 3
considerando la puesta en marcha de tres nuevos
5
4
6
modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusión Planta 1
Planta
2
4
2
2
en la próxima campaña de Navidad. La preparación de
Planta
3
3
3
2
instalaciones para la fabricación de estos modelos costaría
$25.000, $35.000 y $30.000, respectivamente, y la ganancia unitaria sería de $10, $15 y $13,
respectivamente. La empresa dispone de tres plantas de producción para la elaboración de estos
modelos, pero para evitar gastos, sólo en una de ellas se producirían los juguetes, dependiendo la
elección de la maximización de las ganancias. El número de horas que se necesita para producir cada
juguete en cada planta se presenta en la tabla de arriba.
Las plantas 1, 2 y 3 disponen al día 500, 600 y 630 horas de producción, respectivamente. La gerencia
ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes.
a) Formule el modelo que permita a la empresa decidir sobre la inclusión de los juguetes en su campaña
de Navidad. (1,2 puntos)
b) La empresa decide producir únicamente el juguete tipo 3, pero debe tener en cuenta que si produce
más de 50 unidades de este tipo de juguete entonces: (0,8 puntos)
− El costo de preparación de instalaciones del juguete tipo 3 es de $40.000.
− Sólo debe producir los juguetes en la planta 3.
Formule el nuevo modelo que considere esta información.
a) 1. Definición de variables (0,3 puntos, 0,1 por cada una)
2. Función objetivo, maximizar utilidades (0,2 puntos, o,1 por ítem)
3. Restricciones
(0,1 puntos)
; Mi = 120, 300, 315
5 x1 + 4 x2 + 6 x3 ≤ 500 + 120(1 − z1 ),
(2) (0,2 puntos)
(0,3 puntos)
4 x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 600 + 300(1 − z 2 )
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 630 + 315(1 − z 3 )
(3)
(0,1 puntos)
4. Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
,
b) 1. Definición de variables (0,1 puntos)
2. Función Objetivo, maximizar utilidades (0,2 puntos)
3. Restricciones
(0,2 puntos)
(0,1 puntos)
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
(3) (0,1 puntos)
(0,1 puntos)
4. Restricciones de integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
,
2. (1,7 puntos) Una fábrica produce 4 tipos de jabones, para lo cual son necesarios 6 componentes. En la
siguiente tabla se muestran las cantidades necesarias para realizar una pastilla de jabón de cada tipo.
Tipos de
Jabón
Aceite (ml)
Agua (ml)
J1
J2
J3
J4
250
200
230
180
240
210
240
200
Soda
Cáustica
(gr)
42
2
20
10
Glicerina
(gr)
Esencia de
Limón (ml)
Esencia de
Lavanda (ml)
1
40
25
35
1
2
3
1
3
1
1
3
La fábrica dispone diariamente de 150.000 ml de aceite, 160.000 ml de agua, 12 kg. de soda cáustica, 3
kg. de glicerina, 2.000 ml de esencia de limón y 3.000 ml de esencia de lavanda por día. Se debe
producir al menos un tipo de jabón al día y a lo más tres. Además, si se producen jabones del tipo 1 no
se podrán producir jabones del tipo 4.
El beneficio por cada pastilla de jabón (J1, J2, J3 y J4) es de $10, $13, $15 y $11, respectivamente.
La fábrica se está planteando ampliar la planta de producción con un costo de $2.000.000 de pesos, de
forma que si se realiza la ampliación, las disponibilidades de los componentes aumentarán en 50.000 ml
de aceite, 70.000 ml de agua, 4 kg. de soda cáustica, 4 kg. de glicerina, 1.000 ml de esencia de limón y
500 ml de esencia de lavanda. Además, en el caso de realizarse esta ampliación, si se producen jabones
del tipo 3, se tendrán que realizar también jabones del tipo 1. Formule el modelo que permita a la fábrica
de jabones decidir sobre la producción diaria de jabones y posible ampliación de la planta.
Desarrollo
a) 1. Definición de variables (0,3 puntos)
,4
b) 2. Función Objetivo: maximizar ingresos (0,2 puntos, 0.1 por ítem)
c) 3. Restricciones
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
M = 429, 234, 280, 200, respectivamente. (0,2 puntos)
(0,2 puntos)
(0,6 puntos)
4. Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
3.
(1,0 puntos) En una empresa se deben guardar 2 productos en un almacén con 7 localizaciones. El
número de localizaciones necesarias para guardar el producto 1 es 2 y, para el producto 2, es 4. Los
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costos calculados en base al tiempo promedio de viaje para ir a buscar cada producto al lugar de
almacenamiento se presentan en la siguiente tabla:
Local 1
37
100
Producto 1
Producto 2
Local 2
38
97
Local 3
39
96
Local 4
40
99
Local 5
41
101
Local 6
41
104
Local 7
36
103
Formule el modelo que permita a la empresa asignar los productos en los locales de almacenamiento.
Desarrollo
1. Definición de parámetros:
Sea cij = costo en base al tiempo promedio de viaje para ir a buscar el producto i al lugar de
almacenamiento j, i = 1, 2, j = 1, ...,7.
Definición de variables de decisión: (0,3 puntos)
Xij ∈ ⎨0, 1⎬, donde xij = 1 si se localiza el producto i en el local j, xij = 0 en caso contrario, i = 1, 2, j
= 1, ..., 7.
2.
FO: Minimizar los costos de viaje para ir a buscar cada producto. (0,3 puntos)
7
Minimizar z =
2
∑∑ c
j =1 i =1
3.
xij
Restricciones: (0,4 puntos)
7
a)
∑x
j =1
1j
7
b)
∑x
j =1
4.
ij
2j
=2
=4
Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
xij ∈ ⎨0, 1⎬, ∀ i, j
4. (1,3 puntos) La empresa WSO Publishers vende libros de texto a estudiantes universitarios. Esta
empresa tiene disponibles dos representantes de ventas para ser
asignados a cualquiera de las regiones mostradas en la figura al
B
E
costado.
El número de estudiantes universitarios (en miles) en cada región se
presenta también en la figura. Además, un representante de ventas
sólo puede atender a los estudiantes localizados en la misma región
donde fue asignado y a los estudiantes de las regiones adyacentes a su
región de asignación. El objetivo de WSP Publishers es maximizar el
número total de estudiantes atendidos por los representantes de
ventas. Formule el modelo que permita alcanzar los objetivos de la
empresa.
1. Definición de parámetros:
Sea fi = número de estudiantes universitarios (en miles) en la región
i, i ∈ I, I = {A, B, C, D, E, F, G⎬.
29
A
C
43
42
56
D
F
21
18
G
61
MAPA DE LAS REGIONES Y Nº DE
ESTUDIANTES POR REGIÓN (EN
MILES)
Definición de variables de decisión: (0,2 puntos)
yi ∈ ⎨0, 1⎬, donde yi = 1 si se localiza un representante en la región i, yi = 0 en caso contrario, i ∈ I.
xi ∈ ⎨0, 1⎬, donde xi = 1 si la regiòn i es atendida por al menos un representante, xi = 0 en caso
contrario, i ∈ I.
2. FO: Maximizar l el número total de estudiantes atendidos por los representantes de ventas. (0,3 puntos)
Maximizar z =
∑fx
i∈I
i
i
3. Restricciones: (0,7 puntos)
a)
y A + y B + yC ≥ x A
b)
y A + y B + yC + y D + y E ≥ x B
c)
y A + y B + y C + y D ≥ xC
d)
y B + yC + y D + y E + y F + yG ≥ x D
e)
y B + y D + y E + y F ≥ xE
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∑y
i∈I
i
f)
y D + y E + yG ≥ x F
g)
y D + y F + y G ≥ xG
= 2 (0,1 puntos)
Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
xi ∈ ⎨0, 1⎬, ∀ i
yi ∈ ⎨0, 1⎬, ∀ i
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FACULTAD DE INGENIERÍA
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PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Fecha: 22 de octubre de 2014
1. (2,0 puntos) Una inmobiliaria desea
Clientes
Calidad de
promocionar una nueva urbanización
Tipos de
Potenciales
Costo por anuncio
Exposición
mediante una campaña publicitaria.
Anuncio
por
(millones de pesos)
por anuncio
Para realizar esto, dispone de 5 tipos de
anuncio
anuncios: anuncios en televisión local al
tvm
1.000
1,5
65
mediodía (tvm), anuncios en televisión
tvn
2.000
3,0
90
local en la noche (tvn), anuncios en
dia
1.500
0,4
40
diario
local
(dia),
anuncios
en
sup
2.500
1,0
60
suplemento dominical local (sup) y
rad
300
0,1
20
anuncios en radio local por la mañana
(rad). La empresa ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se podría llegar
por anuncio, según cada tipo de anuncio, y el costo de cada anuncio en millones de pesos. Además, se
ha llevado a cabo una valoración de la calidad que tiene cada anuncio, de acuerdo al medio en el que se
expone, en una escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos de cada anuncio se presentan en la
tabla de arriba. El número máximo de anuncios de cada tipo que se puede emitir es de 15, 10, 25, 4 y 30
para tvm, tvn, dia, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de
publicidad, ha decidido utilizar al menos 10 anuncios en la televisión (considerando mediodía o noche),
alcanzar por lo menos 50.000 clientes potenciales y no gastar más de 18 millones de pesos en anuncios
en televisión. Además, si se hacen anuncios en el diario local, entonces no se debe hacer anuncios en la
televisión por la noche y si se hacen anuncios en el suplemento dominical, entonces no se debe hacer
anuncios en la televisión local al mediodía. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de 30
millones de pesos. Formule el modelo que permita a la inmobiliaria determinar cómo planificar la
campaña si desea potenciar la calidad de éstos.
DEFINICIÓN DE VARIABLES DE DECISIÓN (0,5 puntos totales)
Sea
xi = cantidad de anuncios a a emitir del tipo i, i = {1=tvm, 2=tvn, 3= dia, 4 = sup, 5 = rad}, (0,1
puntos)
y1  {0, 1}, donde y1 = 1 si se hacen anuncios en el diario local, y1 = 0 en caso contrario, (0,2 puntos)
y2  {0, 1}, donde y2 = 1 si se hacen anuncios en el suplemento dominical, y2 = 0 en caso contrario.
(0,2 puntos)
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar la calidad de exposición de los anuncios (0,2 puntos).
Maximizar z = 65x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + 20x5
RESTRICCIONES
De cantidad máxima para anuncios que no tienen condiciones especiales (anuncios de radio):
x5 ≤ 30
(0,1 puntos)
De cantidad máxima para anuncios que tienen condiciones especiales:
- Si se hacen anuncios en el diario local, entonces no se debe hacer anuncios en la televisión por la
noche
x2 ≤ 10 (1 – y1)
x3 ≤ 25y1
(0,2 puntos)
(0,2 puntos)
- Si se hacen anuncios en el suplemento dominical, entonces no se debe hacer anuncios en la
televisión local al mediodía
x1 ≤ 15 (1 – y2)
(0,2 puntos)
x4 ≤ 4y2
(0,2 puntos)
1
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Tener un mínimo de anuncios por televisión básicos (0,1 puntos):
x1 + x2 ≥ 10
Alcanzar un mínimo de clientes potenciales: (0,1 puntos)
1000 x1 + 2000x2 + 1500 x3 + 2500x4 + 300 x5 ≥ 50.000
No sobrepasar un máximo de costos para anuncios por televisión (en millones de pesos): (0,1
puntos)
1,5x1 + 3x2 ≤ 18
No sobrepasar un máximo de costos totales (en millones de pesos): (0,1 puntos)
1,5 x1 + 3x2 + 0,4 x3 +x4 + 0,1 x5 ≤ 30
RESTRICCIÓN SOBRE LA NATURALEZA DE LAS VARIABLES
(-0,1 puntos por cada restricción que no coloque)
xi +, i = 1,..., 5,
y1  {0, 1},
y2  {0, 1}.
2. (1,5 puntos) Una empresa fabrica dos
productos, A y B, los cuales se procesan
en tres máquinas: M1, M2 y M3. Los
tiempos de procesamiento en horas de
cada unidad de producto en cada
máquina, los ingresos unitarios de cada
producto
y
las
horas
disponibles
semanales
de
cada
máquina
se
presentan en la tabla al costado.
Máquina M1
Máquina M2
Máquina M3
Ingresos por
Unidad($)
Producto A
(tiempos de
proceso)
3
1
2
Producto B
(tiempos de
proceso)
5
10
8
1.000
2.000
Horas
disponibles a la
semana
30
35
40
La empresa está considerando la posibilidad de aumentar durante la próxima semana la capacidad de la
máquina M1 en 10 horas, la capacidad de la máquina M2 en 15 horas, y la capacidad de la máquina M3
en 20 horas, donde los costos de este aumento serían de $400, $600 y $500, respectivamente. Sin
embargo, el costo total de estas ampliaciones no debe ser mayor a $1200. Por otro lado, la capacidad de
la máquina M2 sólo se puede ampliar si se amplía la de la máquina M1; y si se amplia la capacidad de la
máquina M2, no puede ampliar la de la máquina M3. Finalmente, si se fabrican los productos A o B, para
cubrir los costos fijos de producción de estos productos, es necesario fabricarlos a partir de 2 unidades.
Formule el modelo que permita a la empresa planificar la producción de los productos A y B durante la
próxima semana.
DEFINICIÓN DE VARIABLES DE DECISIÓN (0,4 puntos totales)
Sea
xi = unidades del producto i que se producen en la semana, i = A, B, (0,1 puntos)
zi  {0, 1}, donde zi = 1 si se fabrica el producto i, zi = 0 en caso contrario, i = A, B, (0,2 puntos)
yj  {0, 1}, donde yj = 1 si se aumenta la capacidad de la máquina j, yj = 0 en caso contrario, j = 1, 2, 3
(0,1 puntos)
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar la utilidad durante la próxima semana (ingresos – costos): (0,2 puntos).
Maximizar z = 1000xA + 2000xB – 400y1 - 600y2 - 500y3
RESTRICCIONES
Cantidad máxima de producción en cada máquina, considerando posibilidad de expansión (0,3
puntos):
M1)
3xA + 5B ≤ 30 + 10y1
(0,1 puntos)
M2)
xA + 10B ≤ 35 + 15y2
(0,1 puntos)
2
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M3)
2xA + 8B ≤ 40 + 20y3
(0,1 puntos)
La capacidad de la máquina M2 sólo se puede ampliar si se amplía la de la máquina M1 (0,1 puntos):
y2 ≤ y1
Si se amplia la capacidad de la máquina M2, no puede ampliar la de la máquina M3 (0,1 puntos):
y2 + y3 ≤ 1
Si se fabrican los productos A o B, es necesario fabricarlos a partir de 2 unidades (0,3 puntos):
xA ≤ 14zA
2 - xA ≤ 14(1 - zA)
xB ≤ 5zB
2 - xB ≤ 5(1 – zB)
El costo total de las ampliaciones no debe ser mayor a 1200 (0,1 puntos):
400y1 + 600y2 + 500y3 ≤ 1200
RESTRICCIÓN SOBRE LA NATURALEZA DE LAS VARIABLES
(-0,1 puntos por cada restricción que no coloque)
xi +, i = A, B,
zi  {0, 1}, i = A, B,
yj  {0, 1}, j = 1, 2, 3.
3. (2,5 puntos) El municipio de
Tiempos de Viaje entre Cada Barrio (en minutos)
Curicó
está
buscando
Barrio 1 Barrio 2 Barrio 3 Barrio 4 Barrio 5 Barrio 6 Barrio 7
disminuir la delincuencia en Barrio 1
0
23
18
21
34
17
30
la ciudad y, por esta razón, Barrio 2
23
0
13
45
18
43
16
se ha coordinado con la Barrio 3
18
13
0
16
21
28
18
Dirección
de
Carabineros Barrio 4
21
45
16
0
15
16
35
34
18
21
15
0
22
17
para alcanzar una mayor Barrio 5
17
43
28
16
22
0
19
presencia de éstos en los Barrio 6
30
16
18
35
17
19
0
diferentes barrios
de la Barrio 7
ciudad (7 barrios). En estos momentos, están estudiando la forma de cómo localizar diariamente el
menor número de retenes móviles, de manera de asegurar que al menos dos retenes móviles se
encuentren como máximo a 20 minutos de cada barrio. Los retenes móviles podrían ser ubicados en
cualquiera de los siete barrios. Los tiempos de viaje entre cada barrio de la ciudad, medidos en minutos,
se presentan en la tabla de arriba.
a)
b)
Formule el modelo que permita determinar el número mínimo de retenes
móviles que deben ser localizados diariamente, de manera de atender a todos
los barrios de la ciudad.
Barrio
Colindantes
1
2,3,5,6
2
1,3,5,7
3
1,2,4,7
4
3,5,6
5
1,2,4,7
Debido a los recursos limitados con que cuenta la Dirección de Carabineros,
sólo será posible localizar un máximo de tres retenes móviles en toda la ciudad
y, además, no será posible localizar más de dos retenes móviles en barrios
colindantes. La tabla al costado muestra los barrios que colindan entre sí.
Debido a estas limitaciones, los retenes móviles localizados tendrán que
atender a todos los barrios, sin considerar el tiempo de viaje máximo de 20
minutos. Por esta razón, la Dirección de Carabineros está buscando localizar
estos retenes móviles, de manera de minimizar los tiempos de viaje para la
atención de los barrios y que cada barrio sea atendido por al menos un retén móvil.
6
1,4,7
7
2,3,5,6
a) Definición de variables de decisión
Sea
3
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yi  {0, 1}, donde yi = 1 si se localiza un retén móvil en el barrio i, yi = 0 en caso contrario, i = 1, ..., 7.
(0,1 puntos)
Función objetivo: minimizar el número de retenes móviles a instalar. (0,1 punto)
7
Min z =
y
i 1
i
Restricciones de cobertura: cada barrio debe ser atendido por al menos 2 retenes móviles (0,7 puntos, 0,1
por cada restricción)
B1)
y1 + y3 + y6 ≥ 2
B2)
y2 + y3 + y5 + y7 ≥ 2
B3)
y1 + y2 + y3 + y4 + y7 ≥ 2
B4)
y3 + y4 + y5 + y6 ≥ 2
B5)
y2 + y4 + y5 + y7 ≥ 2
B6)
y1 + y4 + y6 + y7 ≥ 2
B7)
y2 + y3 + y5 + y6 + y7 ≥ 2
Restricción de Integralidad (-0,1 si no la coloca)
xi  0, 1, i = 1, ..., 7.
b) Definición de variables: (0,2 puntos)
Si el barrio j es atendido por el retén móvil localizado en el barrio i, i = 1, ..., 7, j = 1, ..., 7.
En caso contrario.
yi 0, 1, donde yi = 1 si se localiza un retén móvil en el sitio i, yi = 0 en caso contrario, i = 1, ..., 7.
Función objetivo: minimizar los costos fijos de operación, variables, y de transporte. (0,2 puntos)
2
Min z =
7
 t
j 1 i 1
ij
xij
Parámetro
tij = tiempo de viajes desde el barrio i al barrio j, i = 1, ..., 7, j = 1, ..., 7.
.
Restricciones.
Cada barrio debe ser atendido por al menos un retén móvil. (0,4 puntos, -0,1 por error)
7
x
i 1
ij
 1,
j  1,...,7,
Restricciones de atención: un retén móvil sólo puede atender a los barrios desde el barrio i, si éste es
localizado previamente en el barrio i (0,4 puntos, -0,1 por error)
4
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x
ij
 7 yi , i  1,...,7,
Sólo es posible localizar un máximo de tres retenes móviles (0,1 puntos)
7
y
i 1
i
3
Restricciones de barrios colindantes (0,3 puntos, -0,1 por error)
x1 + x2 + x3 + x5 + x6 ≤ 2
x1 + x2 + x3 + x5 + x7 ≤ 2
x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≤ 2
x3 + x4 + x5 + x6 ≤ 2
x1 + x2 + x4 + x5 + x7 ≤ 2
x1 + x4 + x6 + x7 ≤ 2
x2 + x3 + x5 + x6 + x7 ≤ 2
Restricción de integralidad (-0,2 si no la coloca)
5
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________ Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
•
Fecha: 22 de mayo de 2013
(1,5 puntos) Una empresa está
Gastos en:
VAN
Proyecto
considerando
una
cartera
de
Año 1 Año 2 Año 3 (utilidad neta)
inversión de cinco proyectos, cuyo
1
5
1
8
20
inicio de ejecución será ahora (año
2
4
7
10
40
0). Cada proyecto, si fuera aprobado,
3
3
9
2
20
será ejecutado sobre un periodo de
4
7
4
1
15
tres años. El VAN esperado de cada
5
8
6
10
30
proyecto (utilidad neta actualizada
Fondos
del proyecto), en millones de pesos,
25
25
25
los gastos anuales para cada disponibles
proyecto, junto con los fondos anuales disponibles cada año, en millones de pesos, se
muestran en la tabla costado.
La empresa, teniendo en cuenta su capital disponible, debe elegir los proyectos a ejecutar.
Además se dispone de la siguiente información:
− El proyecto 3 no se debe hacer si se hace el 5.
− Los proyectos 1 y 2 se hacen de forma conjunta sólo si no se hacen ni el 4 ni el proyecto
5.
− Si es escogen los proyectos 2 y 4, el proyecto 3 también debe ser elegido.
− La empresa debe reducir en uno de los tres años sus fondos disponibles en 5 millones de
pesos y debe decidir en qué año hacerlo.
Formule un modelo que considere las situaciones descritas y que permita a la empresa elegir
los proyectos a ejecutar.
(0,3 puntos) Definición de variables:
Donde
si se lleva a cabo el proyecto i,
Donde
si se reducen los fondos en el año j,
en caso contrario, i = 1, 2, 3,
4, 5
2, 3
(0,2 puntos) Función objetivo:
(1,0 puntos) Restricciones:
o (0,1 punto c/u) Restricción de fondos:
o (0,1 punto) Año en que se reducen los fondos
en caso contrario, j = 1,
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o (0,2 punto c/u) Elección de proyectos
o Integralidad (‐0,1 punto si no las coloca)
2.
(1,5 puntos) Una empresa fabricante de juguetes
Tabla 1
planea producir dos nuevos juguetes (juguetes 1 y
Costo Fijo Precio de Venta
2). Los costos fijos involucrados en la producción, Juguete
(US$)
(US$/unidad)
así como el precio de venta unitario de los nuevos
1
45.000
12
juguetes se presentan en la Tabla 1 al costado. La
2
76.000
16
empresa tiene dos fábricas que son capaces de
producir estos juguetes. Con el fin de evitar
Tabla 2
tener dos veces el costo fijo de fabricación Juguete
Fábrica A
Fábrica B
de un determinado juguete, cada juguete
(unidades/hora) (unidades/hora)
sólo podrá ser elaborado en una única
1
30
35
fábrica. Por otro lado, una fábrica puede
2
25
20
elaborar los dos tipos de juguetes. Las
tasas de producción de cada juguete en cada fábrica se presentan en la Tabla 2. Las fábricas
A y B sólo disponen de 500 y 700 horas de producción, respectivamente, para fabricar estos
juguetes. La empresa desea saber qué juguete producir, en qué fabrica y cuántas unidades
producir, de manera de obtener el máximo beneficio posible. Formule el problema que
permita a la empresa alcanzar sus objetivos.
(0,2 puntos) Definición de variables:
Cantidad de juguetes fabricados del tipo i; i = 1, 2, en la fábrica j, j = 1, 2.
Donde
si se fabrica el juguete tipo i en la fábrica j,
(0,1 puntos) Función objetivo:
Restricciones:
o (0,1 puntos c/u) Horas de producción
en caso contrario
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o (0,2 puntos c/u) Capacidad máxima de juguetes a producir
o (0,1 punto c/u) Evitar costo fijo
o Integralidad (-0,1 punto si no las coloca)
3.
(3,0 puntos) La empresa de electrodomésticos FDB fabrica y distribuye sus productos a lo
largo del país. Actualmente, esta empresa necesita definir dónde instalar sus centros de
distribución, para lo cual cuenta con cinco ciudades candidatas. Las localizaciones tienen
diferentes costos fijos anuales de operación, los cuales se muestran en la siguiente tabla:
Localización
Potencial
Costos Anuales
($1000s)
Localización 1
Localización 2
Localización 3
Localización 4
Localización 5
6.000
5.500
5.800
6.200
5.900
Estos nuevos centros de distribución deberán atender las ventas de cuatro zonas del país
(Norte, Centro-Cordillera, Centro-Cordillera, Sur). Para cada posible localización de un centro
de distribución, la empresa FDB estimó un costo promedio de transporte por producto
enviado a cada zona y la demanda de cada zona, siendo éstos:
Desde
Localización 1
Localización 2
Localización 3
Localización 4
Localización 5
Demanda (unidades)
Norte
206
225
230
290
245
70.000
Hacia zona ($)
Centro-Cordillera Centro-Costa
250
230
206
221
221
208
270
262
190
270
120.000
100.000
Sur
290
270
262
215
250
80.000
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Considerando los datos entregados, formule los modelos que permitan a la empresa FDB
determinar dónde localizar sus centros de distribución, según las situaciones descritas a
continuación:
a) Sabiendo que cada zona sólo puede ser atendida por un único centro de distribución,
donde los centros de distribución tienen capacidad ilimitada para almacenar productos.
(0,4 puntos) Definición de variables:
Donde
caso contrario
Donde
si se realiza en envío desde la localización i a la zona j,
si se instala un centro en la localización i,
en caso contrario
(0,3 puntos) Función Objetivo:
(0,6 puntos) Restricciones:
•
(0,3 puntos) Cada zona debe ser atendida por un solo centro:
•
(0,3 puntos) Cada localización debe ser atendida por un centro instalado
•
Restricción de integralidad (-0,1 punto si no las coloca)
en
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b) Sabiendo que cada zona sólo puede ser atendida por un único centro de distribución,
donde cada centro de distribución tiene una capacidad máxima para almacenar
productos de 95.000 unidades.
Definición de variables:
Donde
caso contrario
Donde
si se realiza en envío desde la localización i a la zona j,
si se instala un centro en la localización i,
en
en caso contrario
Función Objetivo:
Restricciones:
•
Cada zona debe ser atendida por un solo centro:
•
(0,3 puntos) Cada localización debe ser atendida por un centro instalado
•
Restricción de integralidad (-0,1 punto si no las coloca)
c)
Sabiendo que cada zona sólo puede ser atendida por un único centro de distribución y
que, por motivos de presupuesto, sólo se pueden localizar dos centros de distribución
con capacidad ilimitada.
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Definición de variables:
Donde
caso contrario
Donde
si se realiza en envío desde la localización i a la zona j,
si se instala un centro en la localización i,
en
en caso contrario
Función Objetivo:
Restricciones:
•
Cada zona debe ser atendida por un solo centro:
•
Cada localización debe ser atendida por un centro instalado
•
(0,2 puntos) Solo se pueden instalar dos centros
•
Restricción de integralidad
d) Sabiendo que cada zona puede ser atendida por más de un centro de distribución, donde
la capacidad de almacenamiento de cada centro está limitada a 100.000 unidades de
productos.
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Definición de variables:
(0,3 puntos)
Cantidad de productos enviados desde la localización i hasta la zona j, donde i = 1,
2, 3, 4, 5 y j = 1, 2, 3, 4.
Donde
si se instala un centro en la localización i,
en caso contrario
(0,3 puntos) Función Objetivo:
(0,6 puntos) Restricciones:
•
(0,3 puntos) Demanda de productos por zona
•
(0,3 puntos) Capacidad de los centros
•
Restricción de integralidad (‐0,1 punto si no las coloca)
Nota Importante: Enumere las ecuaciones formuladas, con el fin de no reescribirlas
completamente cada vez que se repitan. La formulación matemática final puede ser
resumida usando las numeraciones asignadas a las ecuaciones.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar
las respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo.
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FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________ Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
1. (3.0 puntos) La empresa
agrícola Nueva Aurora tiene una
plantación piloto de 15 perales
de una nueva variedad, cuya
cosecha es realizada por un
grupo pequeño de trabajadores
temporarios. En la época de
cosecha, la fruta es acumulada
en
bins
(recipientes
para
contener aproximadamente 350
kilos de fruta). Dada sus
características, los bins no
pueden
ser
ubicados
en
cualquier lugar de la plantación,
existiendo solo
12
lugares
posibles donde podrían ser
colocados y cuyas distancias en
relación a los árboles, medidas
en metros, se presentan en la
tabla al costado.
Considerando que la empresa
está evaluando la mejor forma
de localizar los bins durante la
cosecha, formule los modelos
que atiendan las siguientes
situaciones:
Fecha: 23 de octubre de 2013
Árboles
Distancias (en metros)
Posibles Localizaciones de Bins
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
10
35
60
25
45
70
52
68
87
72
90
103
2
13
33
53
24
38
58
48
53
74
70
79
89
3
34
8
33
36
24
43
53
48
64
79
70
88
4
33
12
33
43
24
38
64
48
53
88
70
79
5
53
34
8
58
36
24
74
53
48
89
79
70
6
58
35
8
68
43
24
85
66
48
100
88
70
7
13
35
58
8
35
58
24
43
68
48
66
88
8
15
33
53
8
33
53
24
53
58
48
53
74
9
34
14
33
34
8
33
36
24
43
53
48
64
10
33
15
33
33
8
33
43
24
38
64
48
53
11
53
34
8
53
34
8
58
36
24
74
53
48
12
58
35
8
58
35
8
68
43
24
88
66
48
13
24
43
68
8
35
58
8
35
58
24
43
68
14
24 53 58 8
33 53 8
33 53 24
53 58
a) Formule el modelo que
36 24 43 34 8
33 34 8
33 36
24 43
permita localizar 3 bins 15
en la plantación, de manera que los temporeros recorran la menor distancia posible,
asumiendo que cada bin puede almacenar los frutos de a lo más 8 árboles y que la fruta de
cada árbol debe ser almacenada en un único bin.
b) Formule el modelo que permita localizar un único bin en la plantación, asumiendo que éste
tiene capacidad ilimitada para almacenar la fruta, de manera que los temporeros recorran la
menor distancia posible
c) Formule el modelo que permita minimizar el número de bins a colocar en la plantación, de
manera que la fruta de un árbol solo pueda ser almacenada en un bin, siempre que éste se
encuentre a una distancia menor o igual a 35 metros del árbol. Además, la fruta debe ser
almacenada en al menos un bin.
Parte A
(0,2 puntos c/u, 0,4 puntos en total) Definición de variables:
Donde
si un bin es localizado en el sitio j,
en caso contrario, i = 1, 2,…, 12
1
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Donde
si el peral i es almacenado en el bin localizado en j,
contrario, i = 1,…,15, j = 1,…, 12
Definición de parámetros: Sea
en caso
la distancia a recorrer desde el peral i hasta el sitio factible j
(0,3 puntos) Función objetivo: Se busca minimizar la distancia a recorrer por los temporeros
Restricciones:
i.
(0,3 puntos) Todo peral debe ser almacenado en un bin
ii.
(0,3 puntos) Un bin a lo más puede contener 8 árboles y no pueden ser almacenados si el bin no
ha sido localizado
iii.
(0,2 puntos) Se debe localizar 3 bins
iv.
(‐0,1 punto c/u si no las coloca) Integralidad
2
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Parte B
La definición de variables es la misma que en la parte a, solo cambian las restricciones ii) y iii)
ii.
(0,3 puntos) Capacidad ilimitada
iii.
(0,2 puntos) Se debe localizar un único bin
Parte C
Definición de variables:
Donde
si un bin es localizado en el sitio j,
en caso contrario, i = 1, 2,…, 12
(0,3 puntos) Función objetivo: Se busca minimizar el número de bin a colocar
(0,7 puntos, ‐0,1 por cada error) Restricciones:
Restricciones de cobertura para cada árbol, son 15 restricciones. La fruta de un árbol solo puede ser
almacenada en un bin, siempre que éste se encuentre a una distancia menor a 35 metros.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
3
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
13.
14.
15.
Otra alternativa para escribir las restricciones anteriores es:
(‐0,1 punto si no la coloca) Integralidad
2.
(2,0 puntos) La empresa L&M pretende expandir su negocio mediante la producción de tres
nuevos productos P1, P2 y P3. Dado que sus actuales fábricas ya se encuentran en el límite de la
capacidad productiva, la gerencia ha decidido abrir dos nuevas fábricas. Luego de haber sido
realizado un estudio de mercado, se verificó que existen cuatro locales posibles para la instalación
de las fábricas, siendo éstos L1, L2, L3 y L4. Sin embargo, existen algunas restricciones en estos
sitios, siendo éstas:
-
Sólo se puede instalar una fábrica en el local L3 si no se instala una fábrica en el local L2.
-
Si se instala una fábrica en el local L1, entonces, en esa fábrica no se podrá producir el
producto P1.
-
Si la empresa instala una fábrica en el local L2, también debe instalar una fábrica en el local
L4.
-
Solo se puede instalar una fábrica en el local L1, si se instala también una fábrica en el local L3
o en el local L4.
Fue estimado, además, que la capacidad productiva que podrían tener las fábricas, dependiendo del
local de instalación, es de 3.000, 3.500, 2.800 y 2.000 unidades diarias para L1, L2, L3 y L4,
respectivamente. Sabiendo que la ganancia unitaria es de $5, $6 y $4 para P1, P2 y P3,
respectivamente, y que el costo de instalación de cada fábrica es de $500, formule el modelo que
permita a la empresa maximizar las ganancias.
(0,2 puntos c/u, 0,4 puntos en total) Definición de variables:
Cantidad a producir del producto i = 1, 2, 3 en la fábrica j = 1, 2, 3, 4.
Donde
si una fábrica es instalada en el local j,
en caso contrario
(0,3 puntos) Función objetivo:
4
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Restricciones:
o (0,1 puntos c/u) Capacidad máxima de producción:
o
(0,1 punto) Solo se abrirán dos fábricas
o (0,2 puntos) Solo se puede instalar en L3 si no se instala en L2
o
(0,2 puntos) Si se instala una fábrica en el local L1, entonces, en esa fábrica no se podrá
producir el producto P1.
o
(0,2 puntos) Si la empresa instala una fábrica en el local L2, también debe instalar una
fábrica en el local L4.
o
(0,2 puntos) Solo se puede instalar una fábrica en el local L1, si se instala también una
fábrica en el local L3 o en el local L4.
o
(-0,1 punto si no las coloca) Integralidad
5
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UNIVERSIDAD DE TALCA
3. (1,0 puntos) Un fabricante vende dos tipos de productos: producto 1 y producto 2. El ingreso que
genera la venta de cada producto 1 es de 20.000 pesos y el de cada producto 2 es de 50.000 pesos.
Se necesita 3 unidades de materia prima para elaborar una unidad de producto 1 y 6 unidades de
materia prima para producir cada unidad de producto 2. Además, solo se dispone de 120 unidades
de materia prima. Si se elabora cualquier cantidad de producto 1, se incurre en un costo de
preparación de la planta de 150.000 pesos y si se elabora cualquier cantidad del producto 2, se
incurre en un costo de preparación de 250.000 pesos. El costo de producción unitario del producto 1
es de 5.000 pesos y el del producto 2, de 10.000 pesos. Formule el modelo que permita al fabricante
maximizar sus ganancias.
(0,3 puntos total) Definición de variables:
(0,1 punto)
(0,2 puntos)
Cantidad a producir del producto i = 1, 2.
Donde
si se produce el producto i en la planta,
en caso contrario
(0,2 puntos) Función objetivo: Se busca maximizar la ganancia del fabricante
Restricciones:
o (0,1 punto) Materia Prima
o (0,2 puntos c/u) No se puede fabricar un producto sin haber preparado la planta
o
(-0,1 punto si no las coloca) Integralidad
6
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PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
1.
Nota: _______________
Fecha: 17 de octubre de 2012
(1,5 puntos)Una empresa de transportes efectúa entregas por camión a cinco
clientes. Se dispone de seis rutas en total para visitarlos. La información al costado
muestra alos clientes que pueden recibir entregas en cada ruta. La capacidad del
camión que realiza las entregas está determinada por los segmentos de cada ruta.
Por ejemplo, en la ruta 1, la capacidad del camión sólo es suficiente para transportar
las cargas de los clientes 1, 2, 3 y 4. La siguiente tabla muestra las distancias en
kilómetros del terminal del camión (T) a los cinco clientes:
Distancia (km)
T
1
2
3
4
5
T
0
10
12
16
9
8
1
10
0
32
8
17
10
2
12
32
0
14
21
20
3
16
8
14
0
15
18
4
9
17
21
15
0
11
Ruta
1
2
3
4
5
6
Clientes
1, 2, 3, 4
3, 4, 5
1, 2, 5
2, 3, 5
1, 2, 4
1, 3, 5
5
8
10
20
18
11
0
La empresa desea determinar la distancia mínima que debe recorrer el camión, de manera de realizar
exactamente una única entrega a cada cliente. Formule el modelo de programación matemática que
permita a la empresa de transportes alcanzar este objetivo.
2. (1,5 puntos)Una compañía de servicios eléctricos debe decidir diariamente qué generadores poner en
marcha en cada periodo. El servicio cuenta con cuatro generadores, cuyas características se muestran en
la tabla más abajo. El día está dividido en dos periodos y en el primero de ellos se necesitan 2.900
megavatios (MW). En el segundo periodo se requieren 3.900 megavatios (MW). Un generador puesto en
marcha en el primer periodo puede usarse en el segundo periodo sin incurrir en un costo adicional de
puesta en marcha o podría apagarse en el segundo periodo. Todos los generadores se apagan al final de
cada día. Formule el modelo que permita a la compañía eléctrica establecer qué generadores debe poner
en marcha diariamente en cada periodo.
Generador
Costo de Puesta
en Marcha ($)
Costo por Periodo
por Megavatio Usado ($)
A
B
C
D
3.000
2.000
1.000
2.500
5
4
7
3
Capacidad Máxima de
Producción en
cada Periodo (MW)
1.900
1.800
2.100
1.400
3. (2,0 puntos) Una empresa distribuidora desea
Costos Unitarios de Transporte ($)
minimizar el costo de transportar los bienes desde sus
Almacén
Minoristas
almacenes A, B y C hasta los centros de venta
1
2
3
4
minoristas 1, 2, 3 y 4. Los costos de transporte de una
A
15
32
21
25
unidad desde un almacén a un centro minorista se
B
11
9
12
16
muestran en la tabla al costado. En esta tabla se
C
14
18
8
10
muestra también la demanda de unidades desde cada
Demanda
centro minorista. Los costos fijos de operación de cada
200
150
175
190
(unidades)
almacén son $5.000 para A, $7.500 para B y $6.000
para C. Además, por lo menos dos almacenes deben estar abiertos cada vez.
a) Formule el modelo que permita decidir cuáles almacenes deberán abrirse, asumiendo que cada
4.
almacén tiene capacidad ilimitada y que la demanda de cada centro minorista debe ser atendida por
un único almacén.
b) Formule el modelo que permita decidir cuáles almacenes deberán abrirse, asumiendo que cada
almacén tiene capacidad para mantener a lo más 380 unidades y que la demanda de cada centro
minorista puede ser atendida por diferentes almacenes.
(1,0 punto) Una junta de inversionistas de una gran empresa está estudiando donde invertir un monto
de capital M, para lo cual ha pre-seleccionado una cartera de s proyectos. Cada proyecto de inversión i
tiene un retorno de Ri (ingresos menos costos llevados a valor presente) y un capital requerido de
inversión de Ci. Por problemas de gestión, los inversionistas pueden invertir a lo más en n proyectos.
Además, para invertir en el proyecto 4 se debe invertir también en los proyectos 1 y 2, y no se puede
invertir en el proyecto 5 si se invierte en el proyecto 3. Formule el modelo que permita a la junta de
inversionistas seleccionar la cartera de proyectos donde invertir.
1
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 1 (1,5 puntos)
1) Definición de Variables de Decisión (0,2 puntos)
Seaxi∈{0,1}, donde xi= 1 si se utiliza la ruta i,xi= 0 en caso contrario; i = 1, …, 6.
2) Función Objetivo: Minimizar la distancia total en entregas que debe realizar el camión(0,3 puntos)
Minimizar z =
3) Restricciones
a) Se desea realizar exactamente una entrega a cada localidad (1,0 puntos, 0,2 por cada restricción, 0,2 por cada error)
Localidad
Localidad
Localidad
Localidad
Localidad
1)
2)
3)
4)
5)
4) Restricción de Integralidad (-0,1 por no colocarla)
xi∈{0,1}, ∀i
Problema 2 (1,5 puntos)
1) Definición de Variables de Decisión
Sea
xij =cantidad de MW producida por el generador i en el periodo j, donde i = {A, B, C, D},j = {1:
periodo 1, 2: periodo 2}(0,1 puntos)
yij∈{0,1}, donde yij= 1 si el generador ies prendido en el periodo j,yij= 0 en caso contrario, donde i
= {A, B, C, D} j = {1: periodo 1, 2: periodo 2}(0,2 puntos)
2) Función Objetivo: Minimizar costos de generación de energía(0,4 puntos)
Minimizar z =3000 (yA1 + yA2) + 2000 (yB1 + yB2) + 1000(yC1 + yC2) + 2500 (yD1 + yD2)
+ 5 (xA1 + xA2) + 4 (xB1 + xB2) + 7 (xC1 + xC2) + 3 (xD1 + xD2)
0.2 COSTOS FIJOS, 0.2 COSTOS VARIABLES
3) Restricciones
a) En cada periodo debe ser atendida la demanda.(0,2 puntos, -0,1 por error)
xA1 + xB1 + xC1 + xD1≥ 2900
xA2 + xB2 + xC2 + xD2≥ 3900
b) Cada generador tiene una capacidad máxima de producción, siempre que haya sido prendido en
el periodo actual o anterior. (0,4 puntos, -0,1 por error)
xA1 ≤
xA2 ≤
xB1 ≤
xB2 ≤
xC1 ≤
xC2 ≤
xD1 ≤
xD2 ≤
c)
1900yA1
1900 (yA1 + yA2)
1800yB1
1800 (yB1 + yB2)
2100yC1
2100 (yC1 + yC2)
1400yD1
1400 (yD1 + yD2)
Cada generador sólo puede ser prendido en un único periodo. (0,2 puntos, -0,1 por error)
yA1 +
yB1 +
yC1 +
yD1 +
yA2 ≤ 1
yB2 ≤ 1
yC2 ≤ 1
yD2 ≤ 1
2
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
4) Restricción de no Negatividad e Integralidad (-0,1 por no colocarla)
xij ≥ 0, ∀ij
yij∈ {0, 1}, ∀ij
Problema 3 (2,0 puntos)
1) Definición de Parámetros
Sea
cij : el costo unitario de transporte desde el almacén i al minorista j, donde i = {A, B, C}, j = 1, 2, 3,
4,
dj: cantidad demandada por el minorista j, donde j = 1, 2, 3, 4,
fi: el costo fijo de operación del almacén i, donde i = {A, B, C}.
Parte A
2) Definición de Variables de Decisión
Sea
xij∈{0,1},donde xij= 1 si el almacén iatiende al minorista j,xij= 0 en caso contrario, dondei = {A, B, C},
j = 1, 2, 3, 4(0,2 puntos)
yi∈{0,1}, donde yi= 1 si se abre el almacén i,yi= 0 en caso contrario; i = {A, B, C}.(0,1 puntos)
3) Función Objetivo: Minimizar costos totales (costos de abrir un almacén y costos de transporte)(0,2
puntos)
Minimizar z =
0.1 COSTOS FIJOS DE ABRIR UN ALMACEN, 0.1 COSTOS VARIABLES
4) Restricciones
a) Cada centro minorista debe ser atendido por un único almacén(0,2 puntos, -0,1 por error)
b) Un almacén no puede atender a los minoristas si éste no ha sido abierto(0,3 puntos, -0,1 por error)
5) Restricción de Integralidad (-0,1 por no colocarla)
{0,1},
{0,1},
Parte B
1) Definición de Variables de Decisión
Sea
xij= cantidad de bienes enviados desde el almacén i al minorista j, donde i = {A, B, C}, j = 1, 2, 3, 4,
(0,2 puntos)
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
yi∈ {0,1}, donde yi= 1 si se abre el almacén i, yi= 0 en caso contrario; i = {A, B, C}. (0,1 puntos)
2) Función Objetivo: Minimizar costos totales(costos de abrir un almacén y costos de transporte)(0,2
puntos)
Minimizar z =
0.1 COSTOS FIJOS DE ABRIR UN ALMACEN, 0.1 COSTOS VARIABLES
3) Restricciones
a) Debe ser atendida la demanda de cada centro minorista (0,2 puntos, -0,1 por error)
b) Un almacén no puede atender a los minoristas si éste no ha sido abierto. Además, tiene capacidad
limitada(0,3 puntos, -0,1 por error)
5) Restricción de no Negatividad e Integralidad (-0,1 por no colocarla)
0,
{0,1}
Problema 4 (1,0 puntos)
1) Definición de Variables de Decisión (0,2 puntos)
Sea
{0,1}, donde
= 1 si se invierte en el proyecto i,
= 0 en caso contrario, i = 1, …, n.
2) Función Objetivo: Maximizar el retorno de la inversión(0,2 puntos)
Maximizar z =
3) Restricciones Existe un máximo de capital para invertir en los proyectos(0,2 puntos)
a)
b) Para invertir en el proyecto 4, se debe invertir en 1 y 2 (0,2 puntos)
c) No se puede invertir en el proyecto 5 si se invierte en el proyecto 3(0,2 puntos)
4) Restricción de Integralidad (-0,1 por no colocarla)
{0,1},
4
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 14 de mayo de 2014
1. (2,3 puntos) La empresa constructora FM&IO, localizada en Curicó, recientemente firmó contratos para
construir cuatro proyectos inmobiliarios en diferentes comunas de la ciudad. Cada proyecto necesita ser
abastecido con una gran cantidad de cemento, por lo que FM&IO hizo un llamado a licitación para proveer
de esta materia prima a los proyectos. Tres compañías hicieron sus propuestas a este llamado, cuyos
precios por tonelada de cemento entregada a cada proyecto y la cantidad máxima de cemento que cada
compañía puede entregar se presentan en la siguiente tabla. Además, en esta tabla se presentan las
cantidades de cemento necesarias en cada proyecto inmobiliario.
Compañía 1
Compañía 2
Compañía 3
Total de Toneladas
Necesarias por
Proyecto
Proyecto 1
($/tonelada)
Proyecto 2
($/tonelada)
Proyecto 3
($/tonelada)
Proyecto 4
($/tonelada)
120
100
140
115
150
95
130
110
145
125
105
165
450
275
300
350
Cantidad
Máxima por
Compañía
(toneladas)
525
450
550
Por ejemplo, la compañía 1 puede abastecer un máximo de 525 toneladas de cemento y cada tonelada de
cemento enviada a cada proyecto cuesta $120, $115, $130 y $125, respectivamente. Los costos varían
principalmente debido a las diferentes distancias entre las plantas de cemento y los sitios de las
construcciones. Las cantidades de la última fila indican la cantidad de cemento total, en toneladas, necesaria
en cada proyecto.
En sus propuestas, las compañías presentaron además diferentes condiciones para abastecer a los
proyectos. De esta forma, la compañía 1 indicó que no abastecerá órdenes de entrega de menos de 150
toneladas de cemento a cualquiera de los proyectos inmobiliarios. La compañía 2 señaló que puede entregar
más de 200 toneladas sólo a un proyecto (al resto podría entregar menos de 200 toneladas). Finalmente,
la compañía 3 indicó que sólo aceptará realizar órdenes de entrega si los pedidos son de exactamente 200,
400 o 550 toneladas.
La empresa FM&IO puede contratar a más de un proveedor de cemento para atender las necesidades de
cada proyecto, por lo tanto, el problema que tiene la constructora es determinar cuánto debe comprar de
cada proveedor para atender las necesidades de cada proyecto a un costo total mínimo. Formule el modelo
que permita a la empresa constructora determinar cuánto debe comprar de cada proveedor.
1) Definición de Variables (0,6 puntos)
0,1
xij = Toneladas de cemento compradas a la compañía i para el proyecto j; con i = {1, 2, 3} y j= {1,
2, 3, 4}
0,1
y1j
 {0,1}; Y1j = 1 si la compañía 1 abastece al proyecto j, j = {1, 2, 3, 4}; Y1j = 0 en caso contrario
0,2
y2j

{0,1}; Y2j = 1 si la compañía 2 entrega más de 200 toneladas de cemento al
{1, 2, 3, 4}; Y2j = 0 en caso contrario
z3r

{0,1}; Z3r = 1 si la compañía 3 realiza una entrega del tipo r, r = {1=200 ton., 2=400 ton.,
3=550 ton.}; Z3r = 0 en caso contrario
0,2
proyecto j, j =
1
2) Función Objetivo: Minimizar el costo total de la compra de cemento (0,1 punto)
0,1
Min Z = 120x11 + 115x12 + 130x13 + 125x14 + 100x21 + 150x22 + 110x23 + 105x24 + 140x31 +
95x32 + 145x33 + 165 x34
3) Restricciones
a) Cantidad máxima disponible por compañía (0,2 punto; menos 0,1 por cada error)
C1) X11 + X12 + X13 + X14
C2) X21 + X22 + X23 + X24
C3) X31 + X32 + X33 + X34
 525
 450
 550
0,2
b) Demanda por proyecto. También puede ser restricción de igualdad. (0,2 punto; menos 0,1
por cada error)
P1)
P2)
P3)
P4)
X11
X12
X13
X14
+
+
+
+
X21
X22
X23
X24
+
+
+
+
X31
X32
X33
X34
≥
≥
≥
≥
450
275
300
350
0,2
c) La compañía 1 no abastecerá órdenes de entrega menor de 150 toneladas de cemento (0,4
puntos)
P1) X11  150 Y11
X11  525 Y11
P2) X12  150 Y12
X12  525 Y12
P3) X13  150 Y13
X13  525 Y13
P4) X14  150 Y14
X14  525 Y14
0,1
0,1
0,1
0,1
d) La compañía 2 puede entregar más de 200 toneladas de cemento sólo a un proyecto (0,4
puntos)
X21  200 + 250 Y21
X22  200 + 250 Y22
X23  200 + 250 Y23
X24  200 + 250 Y24
Y21 + Y22 + Y23 + Y24
0,3
1
0,1
e) La compañía 3 sólo realizará órdenes de entrega si los pedidos son de exactamente 200,
ó 550 toneladas (0,4 puntos)
X31 + X32 + X33 + X34 = 200 Z31 + 400 Z32 + 550 Z33
Z31 + Z32 + Z33  1
400
0,3
0,1
4. Restricción de integralidad (- 0,1 punto por cada una si no la coloca)

Xij    i, j
Y1j; Y2j  {0,1}; j = {1, 2, 3, 4}
Z3r  {0,1} ; r = {1, 2, 3}
-0,3
2
2. (1,0 punto) Un empresario que fabrica
tres artículos P1, P2, P3, desea establecer
Horas utilizadas por artículo
la producción diaria que le permita Artículo
Máquina
A
Máquina B Máquina C Máquina D
maximizar sus utilidades. Los artículos son
P1
1
1
2
1
procesados en dos de las cuatro máquinas
que dispone, donde sólo las siguientes
P2
1
1
1
2
combinaciones de máquinas son posibles:
P3
2
1
1
1
producir en las máquinas A y B, o bien,
producir en las máquinas C y D. El costo fijo diario de la puesta en marcha de cada una de estas máquinas
es de $200 para la máquina A, de $250 para la máquina B, de $360 para la máquina C y de $150 para la
máquina D. El ingreso de los artículos es de $5 por unidad de P1, de $6 por unidad de P2, y de $10 por
unidad de P3, mientras que el costo de producción por unidad es de $1 por unidad de P1, de $2 por unidad
de P2, y de $4 por unidad de P3. Las horas que se necesitan por máquina y unidad de artículo se muestran
en la tabla de arriba. Además, el número de horas disponibles en cada máquina es de 190 horas para A,
de 210 horas para B, de 170 horas para C y de 200 horas para D. Formule el modelo que permita al
empresario establecer su plan de producción diaria.
Solución
1) Definición de variables (0,3 puntos, es decir, 0,1 por cada definición de variables.)
𝑥𝑖 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑖 , 𝑖 = 1, . . ,3.
1 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑠 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 𝐴 𝑦 𝐵.
𝑦1 = {
0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
1 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑠 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 𝐶 𝑦 𝐷.
𝑦2 = {
0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
2) Función objetivo (0,2 puntos)
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 5𝑥1 + 6𝑥2 + 10𝑥3 − [(200 + 250)𝑦1 + (360 + 150)𝑦2 ]
3) Restricciones (0,5 puntos, es decir, 0,1 punto por cada restricción)
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 190 + 𝑀(1 − 𝑦1 )
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 210 + 𝑀(1 − 𝑦1 )
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 170 + 𝑀(1 − 𝑦2 )
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 200 + 𝑀(1 − 𝑦2 )
𝑦1 + 𝑦2 = 1
4)
Naturaleza de las variables (-0,1 si no la coloca)
𝑥𝑖 ∈ ℤ+
0
𝑦𝑖 ∈ {0,1}, 𝑖 = 1,2.
En este caso, una buena estimación de M es M = 190+210+170+200=770
3
3. (1,7 puntos) Una fábrica de impresoras abastece a seis ciudades (C1,
C2, C3, C4, C5, C6). Esta fábrica está planificando instalar talleres de
reparaciones, ya que, según estudios de mercado realizados, en una
ciudad aumentan las ventas si existe un taller establecido dentro de un
radio de 150 kilómetros. Cabe señalar que, según las leyes impositivas
vigentes, sólo las cuatro primeras ciudades son candidatas a ser sede de
los talleres de reparación. En la tabla de arriba se muestran las distancias
entre las ciudades y en la tabla de abajo, las ventas mensuales estimadas.
¿Existe taller
en un radio
de 150 km?
Sí
No
Ventas Mensuales Estimadas (Nº de Impresoras)
C1
C2
C3
C4
C5
C6
700
500
1000
750
900
700
800
450
400
200
450
300
Matriz de Distancias (en kms.)
Ciudades
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Candidatas a Sede de
C1
C2
C3
0
200
140
222
0
89
140
89
0
441
241
130
47
86
255
350
123
82
Se sabe que cada impresora tiene un costo de fabricación de $500 y se vende a $1.000. Por otro lado, se
debe tener en cuenta las siguientes condiciones para la instalación de los talleres:
 La instalación de un taller en la ciudad 2 sólo se realizará si se instala un taller en la ciudad 1.
 Si se instala un taller en las ciudades 1 o 4, no se instalará un taller en la ciudad 3.
 Si no se instala un taller en la ciudad 2, entonces no se instalará un taller en la ciudad 3.
Formule un modelo que permita a la fábrica determinar las ciudades dónde construir los talleres.
1) Definición de variables de decisión (0,3 puntos)
y j  0,1 , donde y j  1 si es instalado el taller de reparaciones en la cuidad j, y j  0
j  1,2,3,4 , (0,1puntos)
en caso contrario, con
xi  0,1, donde xi  1 si existe un taller de reparaciones instalado en una radio de 150 km. de la ciudad i,
xi  0 en caso contrario, i = 1,2,3,4,5,6. (0,2 puntos)
2) Función objetivo: Maximizar las utilidades de la fábrica de impresoras. (0,3 puntos)
700 x1  1000 x2  900 x3  800 x4  400 x5  450 x6  (1  x1 )500  (1  x2 )750  
Max z  500  

(1  x3 )700  (1  x4 )450  (1  x5 )200  (1  x6 )300

Restricciones
Restricción de cobertura: cada ciudad se considera atendida si tiene un taller de reaparaciones instalado
dentro de un radio de 150 Km. (0,6 puntos, 0,1 por cada restricción)
y1  y3  x1
y2  y3  x2
y1  y2  y3  y4  x3
y3  y4  x4
y1  y2  y4  x5
y2  y3  x6
4
Taller
C4
441
241
130
0
126
178
Por otro lado, se debe tener en cuenta las siguientes condiciones para la instalación de los talleres:

La instalación de un taller en la ciudad 2 sólo se realizará si se instala un taller en la ciudad 1. (0,1
puntos)
y2  y1

Si se instala un taller en las ciudades 1 o 4, no se instalará un taller en la ciudad 3. (0,3 puntos)

Si no se instala un taller en la ciudad 2, entonces no se instalará un taller en la ciudad 3. (0,1 puntos)
2y3  2 - y1 – y4
y2 ≥ y3
Restricciones de Integralidad (-0,1 puntos por cada restricción si no se coloca)
x j  0,1
yi  0,1
4. (1,0 punto) La Universidad de Talca se encuentra en proceso de formación de una comisión revisora de
cuentas, para la cual existen diez personas nominadas: A, B, C, D, E, F,
Categoría
Personas
G, H, I y J. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión
Mujeres
A, B, C, D, E
al menos una mujer, al menos un hombre, al menos un estudiante, al
Hombres
F, G, H, I, J
menos un administrativo y al menos un profesor. Además, el número de
Estudiantes
A, B, C, J
mujeres debe ser igual que el número de hombres y el número de Administrativos
E, F
profesores no debe de ser inferior al número de administrativos. La
Profesores
D, G, H, I
mezcla de los nominados, según cada categoría, se presenta en la tabla
al costado. Además:

Sólo se puede incorporar a la comisión la persona H si se incorporan también las personas B y F.

Si se incorporan a la comisión las personas C y G, la persona E también debe ser incorporada a la
comisión.
Formule el modelo que permita que la comisión tenga el menor número de personas posible.
1) Definición de variables (0,1 puntos)
1 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑖, 𝑖 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽.
𝑥𝑖 = {
0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
2) Función objetivo (0,1 puntos)
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 + 𝑥𝐸 + 𝑥𝐹 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 + 𝑥𝐽
3) Restricciones (0,4 puntos. Menos 0,1 puntos por cada restricción equivocada)
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 + 𝑥𝐸 ≥ 1
𝑥𝐹 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 + 𝑥𝐽 ≥ 1
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐽 ≥ 1
𝑥𝐸 + 𝑥𝐹 ≥ 1
𝑥𝐷 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 ≥ 1
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 + 𝑥𝐸 = 𝑥𝐹 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 + 𝑥𝐽
5
𝑥𝐷 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 = 𝑥𝐸 + 𝑥𝐹

Sólo se puede incorporar a la comisión la persona H si se incorporan también las personas B y F.
2𝑥𝐻 ≤ 𝑥𝐵 + 𝑥𝐹 (0,2 puntos)

Si se incorporan a la comisión las personas C y G, la persona E también debe ser incorporada a la
comisión.
𝑥𝐶 + 𝑥𝐺 − 𝑥𝐸 ≤ 1
(0,2 puntos)
4) Restricción de Integralidad (-0,1 si no la coloca)
𝑥𝑖 ∈ {0,1}, 𝑖 = 𝐴, … , 𝐽.
6
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
1.
Nota: _______________
Fecha: 14 de abril de 2011
(0,5 puntos) Mencione los parámetros involucrados en un modelo de Programación Lineal e identifique
el nombre de cada uno de ellos.
2. (1,5 puntos) Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min Z = 2 x1 + 3 x 2
s.a.
− 2 x1 + x 2 ≤ 4
x1 + 2 x 2 ≥ 6
2 x1 − x 2 ≤ 7
3x2 ≤ k
x1 , x 2 ≥ 0
a)
Encuentre el menor valor de k, para que exista una región factible acotada y determine la solución
óptima y el valor óptimo.
b)
Si k=9, ¿cual es la solución óptima y el valor óptimo?
c)
En el informe generado por LINDO para la resolución del modelo con k=9, coloque en la posición
que corresponda el valor óptimo y la solución óptima.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
__________
VARIABLE
VALUE
________
________
3.
__________
__________
REDUCED COST
__________
__________
(2,0 puntos) La empresa Market Survey se especializa en evaluar la reacción de los consumidores
frente a nuevos productos, servicios y campañas publicitarias. Una empresa de limpieza la ha contratado
para estimar el impacto del lanzamiento de su nuevo producto en el mercado local. Para hacer este
estudio, Market Survey deberá realizar 1000 encuestas, tanto a familias con hijos, como sin hijos.
Además, las encuestas pueden ser hechas, ya sea en la mañana, o en la tarde. El contrato firmado con la
empresa cliente establece las siguientes condiciones:
−
−
−
Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias con hijos.
Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias sin hijos.
El número total de familias encuestadas durante la tarde debe ser por lo menos igual al número total
de familias encuestadas durante la mañana.
− A lo menos el 40% de las encuestas a familias con
Costo por Encuesta
hijos deben ser hechas durante la tarde.
Tipo de Familia
Mañana
Tarde
− A lo menos el 60% de las encuestas a familias sin
Con hijos
$20
$25
hijos deben ser hechas durante la tarde.
Sin hijos
$18
$20
− El número de familias sin hijos encuestadas durante
la tarde debe ser a lo más el 80% del número total de familias encuestadas durante la mañana.
El costo de cada encuesta según el tipo de familia y hora del día en que ésta es realizada se muestra en
la tabla al costado.
Formule el modelo que permita a Market Survey cumplir con los requerimientos establecidos con la
empresa cliente al mínimo costo posible.
4.
(2,0 puntos) Un gerente de producción de una planta química está definiendo los turnos a asignar a sus
trabajadores. Cada día de trabajo se ha dividido en tres turnos de 8 horas (00:01 – 08:00, 08:01 –
16:00, 16:01 – 24:00), denominados de turno nocturno, diurno y vespertino, respectivamente. La planta
debe operar con el mínimo número de operarios posible, siendo que en la semana se requiere un número
mínimo de trabajadores en cada turno. Estos requerimientos se presentan en la siguiente tabla:
Turno
Nocturno
Diurno
Vespertino
Lunes
5
7
9
Martes
3
8
10
Nº de Trabajadores Mínimo por Turno
Miércoles Jueves Viernes Sábado
2
4
3
2
9
5
7
2
10
7
11
2
Domingo
2
5
2
El sindicato de trabajadores de la empresa aceptará los turnos siempre que se cumplan las siguientes
condiciones:
− Cada trabajador sólo puede ser asignado, ya sea al turno nocturno, al turno diurno o al turno
vespertino. Una vez que es asignado, el trabajador debe permanecer en el mismo turno cada día que
le toque trabajar.
− Cada trabajador sólo puede trabajar cuatro días consecutivos durante un periodo de siete días.
Se sabe, además, la empresa cuenta con 60 trabajadores. Formule el modelo que permita al gerente de
producción administrar los turnos con el menor número de trabajadores posible.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
Pauta Prueba Nº1 – 1º Semestre 2011
Formulación de Modelos de Investigación de Operaciones
Pregunta 1: (0,5 puntos)
Mencione los parámetros involucrados en un modelo de Programación Lineal e identifique el nombre de cada
uno de ellos. (-0,2 puntos por cada coeficiente que falte)
− cj : coeficiente en la función objetivo de la variable xj,
− aij: coeficiente técnico o tecnológico de xj en la restricción i,
− bi: coeficiente del recurso i disponible.
Pregunta 2: (1,5 puntos)
Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min Z = 2 x1 + 3x2 ( FO)
s.a.
− 2 x1 + x2 ≤ 4(1)
x1 + 2 x2 ≥ 6(2)
2 x1 − x2 ≤ 7(3)
3 x2 ≤ k (4)
x1 , x2 ≥ 0
Gráficamente se tiene:
(0,1 puntos por la Región Factible)
(0,4 puntos: 0,1 puntos por cada restricción y FO)
a) El menor valor de k para que exista una región factible acotada ocurre en el punto de intersección de
las rectas 2 y 3, es decir, existe un valor mínimo para la variable x2 que pertenece a la región factible
del problema. El cálculo para obtener este valor se muestra a continuación:
(2)
Î
;
(3)
Dado que k limita el crecimiento de la variable x2 y el menor valor que puede tomar x2 para que la
región factible sea acotada es 1, se obtiene el valor de k despejando la ecuación:
(0,2 puntos)
Por lo tanto. Si
solución óptima, 0,1 punto valor óptimo)
(0,3 puntos: 0,2 puntos
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
b) Si k=9 Æ
Puntos Extremo Mínimo:
(0,2 puntos)
(0,1 puntos)
c)
En el informe generado por LINDO para la resolución del modelo con k=9, coloque en la posición que
corresponda el valor óptimo y la solución óptima. (0,2 puntos: -0,1 por error)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
___9_____
VARIABLE
___x1___
___x2___
VALUE
_____0____
_____3____
REDUCED COST
__________
__________
Pregunta 3: (2,0 puntos)
Se trata de minimizar los costos de la empresa de Marketing al realizar las encuestas
1. Definición de Variables
Sea:
xij: cantidad de familias tipo i, i={C= con hijos, S=sin hijos}, encuestadas en el horario j, j={M=
Mañana, N=Tarde}. (0,3 puntos)
2. Función Objetivo: Minimizar Costos
(0,2 puntos)
3. Restricciones
a) Se deberá realizar al menos 1000 encuestas.
xCM + xCT + x SM + x ST ≥ 1000
(0,2 puntos)
b) Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias con hijos.
(0,2 puntos)
c)
Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias sin hijos.
(0,2 puntos)
d) El número de familias encuestadas durante la tarde debe ser por lo menos igual al número de
familias encuestadas durante la mañana.
(0,2 puntos)
e) A lo menos el 40% de las encuestas a familias con hijos debe ser hecha durante la tarde.
xCT ≥ 0,4( xCM + xCT )
f)
(0,2 puntos)
A lo menos el 60% de las encuestas a familias sin hijos deben ser hecha durante la tarde.
x ST ≥ 0,6( xSM + xST ) (0,2 puntos)
g) El número de familias sin hijos encuestadas durante la tarde debe ser a lo más el 80% del
número total de familias encuestadas durante la mañana.
xST ≤ 0,8( xCM + x SM ) (0,2 puntos)
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Ingeniería Civil Industrial
4. Restricción de no negatividad
(0,1 puntos)
5. Formulación Matemática
s.a
xCT ≥ 0,4( xCM + xCT )
x ST ≥ 0,6( xSM + xST )
xST ≤ 0,8( xCM + x SM )
Pregunta 4: (2,0 puntos)
Se desea minimizar el número de trabajadores empleados en una semana en la planta química.
1. Definición de Variables
Sea:
xij: número de trabajadores que inicia su turno en el día i, i= {1=lunes, 2=martes, 3=miércoles,
4=jueves, 5=viernes, 6=sábado, 7=domingo} en el horario j, j= {1=nocturno, 2=diurno, 3=vespertino}
(0,2 puntos)
2. Función Objetivo: Minimizar el número de trabajadores empleados en una semana
(0,1 puntos)
3.
Restricciones
Disponibilidad mínima de trabajadores en cada turno de cada día
Lunes: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Martes: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Miércoles: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Jueves: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Viernes: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Sábado: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Domingo: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Existe un número máximo de trabajadores que pueden ser empleados:
(0,2 puntos)
4.
Restricción de no negatividad
(0,1 puntos)
5.
Formulación Matemática
s.a
Ingeniería Civil Industrial
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
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Ingeniería Civil Industrial
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Gustavo Verdugo V.
1.
Fecha: 10 de junio de 2010
(2,0 puntos) Se ha construido un nuevo mall y los dueños de esta inversión necesitan determinar que
tipo de tiendas comerciales podrían arrendar el espacio disponible. El mall cuenta con 1.000 metros
cuadrados de área total. En la tabla 1 se muestra el área que ocuparía cada tipo de tienda y el número
mínimo y máximo de tiendas de cada tipo permitidas en el mall.
Tipo de Tienda
Calzado
Electrodomésticos
Joyas
Libros
Vestuario
Tabla 1
Área (m2) Nº Mínimo
60
1
150
1
50
0
70
0
90
1
Tipo de Tienda
Nº Máximo
3
3
3
3
3
Calzado
Electrodomésticos
Joyas
Libros
Vestuario
Tabla 2
Ganancia por Tienda según
Número de Tiendas Instaladas
(en millones de pesos)
1 tienda
2 tiendas 3 tiendas
11
8
6
29
17
15
14
12
9
22
11
7
25
15
10
La ganancia anual de cada tienda depende de cuántas tiendas del mismo tipo existan en el mall, tal como
se muestra en la tabla 2 (en millones de pesos). Cada tienda paga un arriendo al mall correspondiente al
5% de la ganancia anual. Formule el modelo que permita a los dueños del mall maximizar su ganancia
anual.
Desarrollo Pregunta N°1: (2,0 Puntos)
a) Variables de Decisión:
xi = número de tiendas a arrendar del tipo i, i = 1,2,3,4,5. (0,1 Punto)
Donde 1 = Calzado; 2 = Electrodomésticos; 3 = Joyas; 4 = Libros; 5 = Vestuario.
zij
∈ {0,1}
zij = 1 Si se arriendan j tiendas del tipo i. (0,2 Puntos)
zij = 0 En caso contrario. j = 0,1,2,3.
b) Función Objetivo: Maximizar la ganancia anual de los dueños del mal, esto es: (0,4 Puntos)
Maximizar Z = 0,05*(11z11 + 16z12 + 18z13 + 29z21 + 34z22 + 45z23 + 14z31 + 24z32 + 27z33 + 22z41 + 22z42
+ 21z43 + 25z51 + 30z52 + 30z53)
c) Restricciones:
•
El número de tiendas de cada tipo debe relacionarse con las variables binarias, esto es:
(0,8 Puntos)
o
Calzado)
x1 = 0z10 + z11 + 2z12 + 3z13
z10 + z11 + z12 + z13 = 1
o
Electrod.)
x2 = 0z20 + z21 + 2z22 + 3z23
z10 + z11 + z22 + z23 = 1
o
Calzado)
x3 = 0z30 + z31 + 2z32 + 3z33
z30 + z31 + z32 + z33 = 1
o
Libros)
x4 = 0z40 + z41 + 2z42 + 3z43
z40 + z41 + z42 + z43 = 1
o
Vestuario)
x5 = 0z50 + z51 + 2z52 + 3z53
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Ingeniería Civil Industrial
z50 + z51 + z52 + z53 = 1
•
•
•
Número mínimo de tiendas de cada tipo: (0,1 Punto)
o
Calzado)
x1 ≥ 1
o
Electrod.)
x2 ≥ 1
o
Vestuario)
x3 ≥ 1
Número máximo de tiendas de cada tipo (estas restricciones pueden ser redundantes dadas las
restricciones en donde se relaciona xi con zij):mínimo de tiendas de cada tipo: (0,1 Punto)
o
x1 ≤ 3
x4 ≤ 3
o
x2 ≤ 3
x5 ≤ 3
o
x3 ≤ 3
Área total disponible en el mall: (0,2 Puntos)
60x1 + 150x2 + 50x3 + 70x4 + 90x5 ≤ 1000
d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)
∈ Z+ , i = 1,2,3,4,5
zij ∈ {0,1} , i = 1,2,3,4,5; j = 0,1,2,3.
xi
Otra alternativa para resolver este problema, es la siguiente: (2,0 Puntos)
a) Variables de Decisión:
zij
∈ {0,1}
zij = 1 Si se instalan i tiendas del tipo j. (0,2 Puntos)
zij = 0 En caso contrario. i = 0,1,2,3; j = 1,2,3,4,5.
Donde 1 = Calzado; 2 = Electrodomésticos; 3 = Joyas; 4 = Libros; 5 = Vestuario.
b) Función Objetivo: Maximizar la ganancia anual de los dueños del mal, esto es: (0,4 Puntos)
Maximizar Z = 0,05*(11z11 + 16z21 + 18z31 + 29z12 + 34z22 + 45z32 + 14z13 + 24z23 + 27z33 + 22z14 + 22z24
+ 21z34 + 25z15 + 30z25 + 30z35)
c) Restricciones:
•
•
•
Existe un número mínimo y máximo de tiendas que se deben construir de cada tipo (esta restricción
puede ser redundante dada la restricción siguiente), esto es: (0,5 Puntos)
o
Calzado)
1 ≤ 0z01 + 1z11 + 2z21 + 3z31 ≤ 3
o
Electrod.)
1 ≤ 0z02 + 1z12 + 2z22 + 3z32 ≤ 3
o
Calzado)
0 ≤ 0z03 + 1z13 + 2z23 + 3z33 ≤ 3
o
Libros)
0 ≤ 0z04 + 1z14 + 2z24 + 3z34 ≤ 3
o
Vestuario)
1 ≤ 0z05 + 1z15 + 2z25 + 3z35 ≤ 3
Solo una variable binaria de cada tipo de tienda puede tomar el valor 1. (0,5 Puntos)
o
Calzado)
z01 + z11 + z21 + z31 ≤ 1
o
Electrod.)
z02 + z12 + z22 + z32 ≤ 1
o
Calzado)
z03 + z13 + z23 + z33 ≤ 1
o
Libros)
z04 + z14 + z24 + z34 ≤ 1
o
Vestuario)
z05 + z15 + z25 + z35 ≤ 1
Área total disponible en el mall: (0,3 Puntos)
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
60z11 + 120z21 + 180z31 + 150z12 + 300z22 + 450z32 + 50z13 + 100z23 + 150z33 + 70z14 + 140z24 + 210z34 +
90z15 + 180z25 + 270z35 ≤ 1000
d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)
zij
2.
∈ {0,1} , i = 0,1,2,3; j = 1,2,3,4,5.
Tabla 3
(2,0 puntos) Una cafetería está abierta
diariamente desde las 08:00 a las 22:00 Turno Duración de cada turno Costo por cada trabajador ($)
1
07:00 a 11:00
32
horas. Además de las horas en que está
2
07:00
a
15:00
80
abierto, la cafetería requiere de trabajadores
3
11:00 a 15:00
32
una hora antes de abrir, con el fin de que
4
11:00 a 19:00
80
queden las máquinas listas para la
5
15:00 a 19:00
32
preparación del café, y una hora después de
6
15:00 a 23:00
80
cerrar, para hacer el aseo del local. La
7
19:00 a 23:00
32
cafetería opera con trabajadores de media
jornada (4 horas) y jornada completa (8 horas) en los turnos definidos en la tabla 3. Los trabajadores
mínimos necesarios durante cada bloque de hora se muestran en la tabla 4.
Tabla 4
Se sabe que al menos un trabajador de jornada completa debe
estar disponible una hora antes de abrir el local y una hora
después de cerrar el local. Además, al menos el 30% de los
empleados debe ser de jornada completa durante los bloques
más ocupados de la cafetería, siendo éstos los de las 11:00 a las
13:00 y de las 17:00 a las 19:00 horas.
Bloque de Horas
Trabajadores
Mínimos Necesarios
07:00 a las 11:00
11
11:00 a las 13:00
24
Formule el modelo que permita a la cafetería minimizar los costos
de contratación de empleados.
13:00 a las 15:00
16
15:00 a las 17:00
10
17:00 a las 19:00
22
19:00 a las 21:00
17
21:00 a las 23:00
6
Desarrollo Pregunta N°2: (2,0 Puntos)
a) Variables de Decisión:
xij = número de trabajadores contratados por jornada i para el turno j. (0,3 Puntos)
Donde i = {1,2} = {completa,media}; j = 1,2,3,4,5,6,7.
b) Función Objetivo: minimizar los costos de contratación de empleados (Costos empleados jornada
completa + costos empleados media jornada), esto es: (0,3 Puntos)
Minimizar Z = 80*(x12 + x14 + x62) + 32*(x21 + x23 + x25 + x27)
c) Restricciones:
•
Existe una cantidad de trabajadores mínimos para cada uno de los bloques, esto es: (0,7 Puntos)
o
Bloque 1)
x12 + x21 ≥ 11
o
Bloque 2)
x12 + x23 + x14 ≥ 24
o
Bloque 3)
x12 + x23 + x14 ≥ 16
o
Bloque 4)
x14 + x25 + x16 ≥ 10
o
Bloque 5)
x14 + x25 + x16 ≥ 22
o
Bloque 6)
x16 + x27 ≥ 17
o
Bloque 7)
x16 + x27 ≥ 6
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
•
•
Ingeniería Civil Industrial
Al menos un trabajador de jornada completa debe estar disponible, (0,2 Puntos)
o
Una hora antes de abrir el local)
x12 ≥ 1
o
Una hora después de cerrar el local)
x16 ≥ 1
El 30% de los empleados debe ser de jornada completa durante los bloques más ocupados:
(0,4 Puntos)
o
11:00 a las 13:00)
x12 + x14 ≥0,3*(x12 + x23 + x14)
o
17:00 a las 19:00)
x14 + x16 ≥0,3*(x14 + x25 + x16)
d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)
xij
∈ Z+ , i = 1,2. ; j = 1,2,3,4,5,6,7.
Otra alternativa para resolver este problema, es considerar el turno para decidir si se trata de un trabajador
a media jornada o jornada completa: (2,0 Puntos)
a) Variables de Decisión:
xj = número de trabajadores contratados para el turno j. (0,3 Puntos)
Donde j = 1,2,3,4,5,6,7.
b) Función Objetivo: minimizar los costos de contratación de empleados (Costos empleados jornada
completa + costos empleados media jornada), esto es: (0,3 Puntos)
Minimizar Z = 80*(x2 + x4 + x2) + 32*(x1 + x3 + x5 + x7)
c) Restricciones:
•
•
•
Existe una cantidad de trabajadores mínimos para cada uno de los bloques, esto es: (0,7 Puntos)
o
Bloque 1)
x2 + x1 ≥ 11
o
Bloque 2)
x2 + x3 + x4 ≥ 24
o
Bloque 3)
x2 + x3 + x4 ≥ 16
o
Bloque 4)
x4 + x5 + x6 ≥ 10
o
Bloque 5)
x4 + x5 + x6 ≥ 22
o
Bloque 6)
x6 + x7 ≥ 17
o
Bloque 7)
x6 + x7 ≥ 6
Al menos un trabajador de jornada completa debe estar disponible, (0,2 Puntos)
o
Una hora antes de abrir el local)
x2 ≥ 1
o
Una hora después de cerrar el local)
x6 ≥ 1
El 30% de los empleados debe ser de jornada completa durante los bloques más ocupados:
(0,4 Puntos)
o
11:00 a las 13:00)
x2 + x4 ≥0,3*(x2 + x3 + x4)
o
17:00 a las 19:00)
x4 + x6 ≥0,3*(x4 + x5 + x6)
d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)
xj
∈ Z+ , j = 1,2,3,4,5,6,7.
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
3.
Ingeniería Civil Industrial
(2,0
puntos)
La
Tiempo de Viaje desde Barrios a Locales Potenciales (en minutos)
Población
empresa
de Barrios
(en miles)
L1
L2
L3
L4
L5
L6
supermercados
Home
B1
15
17
27
5
25
22
12
Delivery realiza entregas
B2
10
12
24
4
22
20
8
a domicilio en el mismo
B3
5
6
17
9
21
17
11
día a sus clientes. En
B4
7
6
8
15
13
10
14
estos
momentos,
la
B5
14
12
6
23
6
8
22
empresa está analizando
B6
18
17
10
28
9
5
18
B7
11
10
5
21
10
9
16
expandirse a la ciudad de
B8
24
22
22
33
6
16
20
Metrópolis,
donde
ha
identificado ocho barrios donde podría concentrar su negocio. El área de logística de la empresa ha
detectado seis locales factibles donde ubicar sus supermercados, desde donde podría atender a los
barrios de la ciudad. La tabla de arriba muestra el tiempo promedio (en minutos) necesarios para viajar
desde cada local potencial hacia cada barrio. Además, se presenta la población (en miles de habitantes)
que podría ser atendida por la empresa en cada barrio. La empresa espera instalar dos supermercados,
de manera de maximizar la población atendida en a lo más 12 minutos. Formule el modelo que permita a
la empresa Home Delivery alcanzar este objetivo.
Desarrollo Pregunta N°3: (2,0 Puntos)
a) Variables de Decisión:
xi
∈ {0,1}
xi = 1 Si se instala el supermercado en el local i.(0,2 Puntos)
xi = 0 En caso contrario. i = 1,2,3,4,5,6 = {L1,L2,L3,L4,L5,L6}
yj
∈ {0,1}
yj = 1 Si el barrio j es atendido en menos de 12 minutos por algún supermercado.
(0,2 Puntos)
yj = 0 En caso contrario. j = 1,2,3,4,5,6,7,8 = {B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8}
b) Función Objetivo: Maximizar la población atendida, esto es: (0,4 Puntos)
Maximizar Z = 12y1 + 8y2 + 11y3 + 14y4 + 22y5 + 18y6 + 16y7 + 20y8
c) Restricciones:
•
•
Un barrio puede ser atendido sólo si existe un supermercado instalado a menos de 12 minutos, esto
es: (0,8 Puntos)
o
Barrio 1)
y1 ≤ x4
o
Barrio 2)
y2 ≤ x1 + x2 + x4
o
Barrio 3)
y3 ≤ x1 + x2 + x4
o
Barrio 4)
y4 ≤ x1 + x2 + x3 + x5 + x6
o
Barrio 5)
y5 ≤ x2 + x3 + x5 + x6
o
Barrio 6)
y6 ≤ x3 + x5 + x6
o
Barrio 7)
y7 ≤ x1 + x2 + x3 + x5 + x6
o
Barrio 8)
y8 ≤ x5
Sólo se instalarán dos supermercados, esto es: (0,3 Puntos)
6
∑x
i =1
d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)
i
=2
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UNIVERSIDAD DE TALCA
∈ {0,1}
yj ∈ {0,1}
xi
i = 1,2,3,4,5,6 = {L1,L2,L3,L4,L5,L6}
j = 1,2,3,4,5,6,7,8 = {B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8}
Ingeniería Civil Industrial
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Gustavo Verdugo V.
Fecha: 29 de octubre de 2009
1. (1,5 puntos) Un vendedor viajero dispone de 9 días para visitar tres
Ciudad
ciudades: A, B y C. Las ventas que consiga realizar en cada ciudad dependen
Días
del número de días que pueda permanecer en cada una de ellas, según una
A
B
C
relación decreciente mostrada en la tabla al lado. De esta manera,
1
30 50 40
permanecer un día en la ciudad A puede generar $30 en ventas; dos días en
2
20 20 30
A serían los $30 más $20 adicionales, etc. Además, el número máximo de
3
15 15 20
días que el vendedor puede permanecer en una ciudad es cuatro. Se debe
4
10 15 10
tener en cuenta que una vez que el vendedor deja una ciudad, no puede
volver a ella. Formule el modelo que permita al vendedor viajero determinar cuántos días pasar en
cada ciudad, de manera de maximizar las ventas estimadas.
2. (2,5 puntos) Una empresa distribuidora de fertilizantes debe realizar hoy cinco entregas a los
siguientes clientes: al cliente 1 debe entregar 1.000 kilogramos de fertilizante, al cliente 2 debe
entregar 2.000 kilogramos, al cliente 3 debe entregar 3.000 kilogramos, al cliente 4 debe entregar
5.000 kilogramos, y al cliente 5 debe entregar 7.000 kilogramos. Estas entregas deben ser hechas
en cargas únicas (no es posible dividir un pedido) y, por lo tanto, deben ser entregadas en un
único viaje.
La empresa tiene la oportunidad de arrendar cuatro camionetas, cada una con diferentes
capacidades. La camioneta A puede transportar 3.000 kilogramos, la camioneta B puede
transportar 6.000 kilogramos, la camioneta C puede transportar 8.000 kilogramos, y la camioneta
D puede transportar 11.000 kilogramos. El costo por arrendar la camioneta j es cj, j = {A, B, C,
D}.
a) Formule el modelo que permita a la empresa determinar las camionetas a arrendar,
satisfaciendo la demanda de los clientes. Asuma que una camioneta sólo puede realizar un
único viaje, aunque es posible que atienda a más de un cliente.
b) Muestre cómo se modifica su formulación en a) si además existe un costo cij cuando el cliente
i es atendido por la camioneta j, i = 1, ..., 5, j = {A, B, C, D}.
3. (2,0 puntos) VTN va a transmitir un importante Punto de Localización Sector Cubierto
partido de fútbol, para lo cual instalará cámaras de
1
5, 6, 7, 11, 12
televisión en diferentes puntos del Estadio Nacional.
2
1, 3, 5, 6, 10
El campo de juego ha sido dividido en 12 sectores,
3
2, 3, 7, 9
los cuales pueden ser cubiertos por las cámaras
4
1, 2, 3, 4, 5
desde 10 puntos del estadio, tal como se muestra
5
2, 3, 4, 5, 6
en la tabla al lado.
6
1, 7, 8, 9, 10
Formule el modelo que permita a VTN localizar el
7
9, 10, 11, 12
menor número de cámaras, de manera que sean
8
6, 7, 8, 9
cubiertos todos los sectores.
9
8, 9, 11, 12
10
1, 2, 3, 5, 8, 9
PAUTA
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Resolución Problema 1 (1.5 Puntos)
Definición de variables: (0.3 puntos)
xij ∈ {0,1}, donde
xij = 1 si el vendedor viajero permanece i días en la ciudad j.
xij = 0 en caso contrario.
i = 1,2,3,4
j = 1,2,3 = A,B,C
Función Objetivo: Maximizar las ventas estimadas. (0.4 puntos)
Maximizar Z = 30x11 + 50x21 + 65 x31 + 75x41 + 50x12 + 70x22 + 85x32 + 100x42 + 40x13 + 70x23 +
90x33 + 100x43
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Restricciones:
a) Una vez que el vendedor deja una ciudad, no puede volver a ella, es decir a lo más puede pasar
por una ciudad una sola vez. (0.3 puntos)
Ciudad A) x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 1
Ciudad B) x12 + x22 + x32 + x42 ≤ 1
Ciudad C) x13 + x23 + x33 + x43 ≤ 1
b) El vendedor viajero dispone de 9 días para visitar las tres ciudades: (0.4 puntos)
(x11 + x12 + x13) + 2(x21 + x22 + x23) + 3(x31 + x32 + x33) + 4(x41 + x42 + x43) ≤ 9
Restricción de integralidad: (0.1 puntos)
xij
∀ij
∈ {0,1}
Resolución Problema 2 (2.5 Puntos)
Pregunta a)
Definición de variables: (0.5 puntos)
xij ∈ {0,1}, donde
xij = 1 si el cliente i es atendido por la camioneta j.
xij = 0 en caso contrario.
i = 1,2,3,4,5 j = {A,B,C,D}
yj ∈ {0,1}, donde yj = 1 si se arrienda la camioneta j
yj = 0 en caso contrario.
Función Objetivo: Minimizar los costos de arriendo de camionetas de la empresa distribuidora. (0.3
puntos)
D
Minimizar Z =
∑c
j= A
Restricciones:
a) Se debe satisfacer
puntos)
Cliente 1) x1A + x1B
Cliente 2) x2A + x2B
Cliente 3) x3A + x3B
Cliente 4) x4A + x4B
Cliente 5) x5A + x5B
J
yj
la entrega de todos los clientes (se debe realizar en un único viaje): (0.5
+
+
+
+
+
x1C
x2C
x3C
x4C
x5C
+
+
+
+
+
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
≥
≥
≥
≥
≥
1
1
1
1
1
b) No se debe superar la capacidad de transporte de cada camioneta. Además, si la camioneta no es
arrendada entonces no se puede atender al cliente con dicha camioneta: (0.4 puntos)
Camioneta A) 1000x1A + 2000x2A + 3000x3A + 5000x4A + 7000x5A ≤ 3000yA
Camioneta B) 1000x1B + 2000x2B + 3000x3B + 5000x4B + 7000x5B ≤ 6000yB
Camioneta C) 1000x1C + 2000x2C + 3000x3C + 5000x4C + 7000x5C ≤ 8000yC
Camioneta D) 1000x1D + 2000x2D + 3000x3D + 5000x4D + 7000x5D ≤ 11000yD
Restricción de integralidad: (0.2 puntos)
xij
yj
∀ij
∀j
∈ {0,1}
∈ {0,1}
Pregunta b)
Si existiese un costo cij cuando el cliente i es atendido por la camioneta j, la función objetivo que en a)
se modifica, quedando de la siguiente manera: (0.5 puntos)
D
Minimizar Z =
∑c
j= A
5
J
D
y j + ∑∑ cij xij
i =1 j = A
Por otra parte, las restricciones se mantienen igual a las propuestas en la pregunta a). (0.1 puntos)
2
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Resolución Problema 3 (2.0 Puntos)
Definición de variables: (0.3 puntos)
xi ∈ {0,1}, donde xi = 1 si se instala una cámara de televisión en el punto de localización i.
xi = 0 en caso contrario.
i = 1,2,…9,10
Función Objetivo: Localizar la menor cantidad de cámaras y cubriendo todos los sectores. (0.4
puntos)
10
Minimizar Z =
∑x
i =1
i
Restricciones:
a) Todos los sectores deben ser cubierto: (1.2 puntos)
Sector 1) x2 + x4 + x6 + x10 ≥ 1
Sector 2) x3 + x4 + x5 + x10 ≥ 1
Sector 3) x2 + x3 + x4 + x5 + x10 ≥ 1
Sector 4) x4 + x5 ≥ 1
Sector 5) x1 + x2 + x4 + x5 + x10 ≥ 1
Sector 6) x1 + x2 + x5 + x8 ≥ 1
Sector 7) x1 + x3 + x6 + x8 ≥ 1
Sector 8) x6 + x8 + x9 + x10 ≥ 1
Sector 9) x3 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 ≥ 1
Sector 10) x2 + x6 + x7 ≥ 1
Sector 11) x1 + x7 + x9 ≥ 1
Sector 12) x1 + x7 + x9 ≥ 1
Restricción de integralidad: (0.1 puntos)
xi
∈ {0,1}
∀i
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
1.
Fecha: 19 de mayo de 2011
(2,0 puntos) Una empresa petrolera tiene
Demanda Multa por Litro Máximo de Demanda
un camión repartidor de combustible con
Combustible
(litros)
no Entregado
Insatisfecha (lts.)
cinco compartimientos, cada uno con
A
2.900
10
500
capacidad para 2.700, 2.800, 1.100, 1.800
B
4.000
8
600
y
3.400
litros
de
combustible,
C
4.900
6
400
respectivamente. La empresa debe entregar
tres tipos de combustible (A, B y C) a un cliente. Parte de la demanda podría no ser atendida, sin
embargo, en este caso, la empresa debiera pagar una multa. Las demandas, multas por litro no
entregado y el máximo de litros de demanda no atendida se muestran en la tabla más arriba.
Cada compartimiento del camión puede transportar sólo un tipo de combustible y la demanda de cada
tipo puede dividirse en diferentes compartimientos. Formule el modelo que permita a la empresa
determinar la mejor forma de cargar el camión, de manera de minimizar los costos de demanda
insatisfecha.
2.
(3,0 puntos) La empresa de alimentos Surfresh atiende la demanda de nueve ciudades. Dado el
aumento de esta demanda, está rediseñando su red de distribución y piensa instalar nuevos almacenes.
Con este fin, ha hecho una evaluación de proyectos y concluyó que en cinco de las ciudades es factible
instalar un almacén debido a su infraestructura.
La cantidad de producto demandada mensualmente en cada ciudad se muestra en la tabla a
continuación. Además, las ciudades donde podría construirse un almacén están señalas por (A).
Ciudad
Cantidad
Ciudad 1
(A)
5000
Ciudad 2
3000
Ciudad 3
(A)
7400
Ciudad 4
(A)
2200
Ciudad 5
8800
Ciudad 6
(A)
3000
Ciudad 7
Ciudad 8
4400
6800
Ciudad 9
(A)
5800
Los costos de transporte por producto entre las ciudades y las cinco ciudades potenciales donde instalar
los almacenes se presentan en la siguiente tabla:
Posibles
Almacenes
Ciudad 1
Ciudad 3
Ciudad 4
Ciudad 6
Ciudad 9
Ciudad 1
0
0,21
0,40
0,42
0,25
Costo de Transporte por Producto entre Ciudades (en millones de pesos)
Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6 Ciudad 7 Ciudad 8
0,15
0,21
0,40
0,31
0,42
0,38
0,50
0,36
0
0,60
0,30
0,50
0,62
0,64
0,26
0,60
0
0,21
0,69
0,38
0,41
0,36
0,50
0,69
0,73
0
0,27
0,70
0,43
0,44
0,78
0,14
0,86
0,78
0,23
Ciudad 9
0,25
0,44
0,78
0,86
0
La empresa Surfresh ha estandarizado el diseño de los almacenes, en donde cada uno podría mantener
15.000 unidades de producto al mes. Los costos de operación de cada almacén se han estimado en $36
millones de pesos mensuales. La empresa podría construir un almacén en cualquiera de las cinco
ciudades factibles, pero esta decisión depende de la configuración que minimice los costos fijos y
variables para la distribución de los productos.
a) Formule el modelo que permita a la empresa minimizar los costos de la red de distribución,
asumiendo que la demanda de una ciudad puede ser abastecida desde diferentes almacenes.
b) Suponga que por restricción de presupuesto, la empresa sólo podría construir a lo más dos
almacenes, pero cada uno podría tener una capacidad de 26.000 productos mensuales. Además,
asuma que la demanda de una ciudad sólo puede ser atendida por un único almacén. Formule el
nuevo modelo que permita a la empresa minimizar los costos de la red de distribución.
3.
(1,0 punto) Una empresa debe decidir si construye o no nuevas fábricas y bodegas en dos ciudades. El
capital necesario para la construcción y el beneficio neto estimado por entrar en operación (medido en
millones de pesos) para cada fábrica y bodega en una determinada ciudad se presentan en la siguiente
tabla:
Capital Necesario
(en millones de pesos)
Beneficio Neto
(en millones de pesos)
Fábrica en Ciudad 1
Fábrica en Ciudad 2
Bodega en Ciudad 1
Bodega en Ciudad 2
6
3
5
2
9
5
6
4
El capital disponible de la empresa para la construcción de las bodegas y las fábricas es de 10 millones
de pesos. Además, la empresa desea construir por lo menos una fábrica y una bodega, con la limitación
adicional de que una bodega sólo puede ser construida en una ciudad si en esa ciudad es construida
también una fábrica. Formule el modelo que permita a la empresa decidir acerca de la construcción de
bodegas y fábricas.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PAUTA PRUEBA Nº 2 FORMULACIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Pregunta 1 (2,0 puntos)
1) Definición de Variables
Sea:
xij: Litros de combustible tipo i cargado en el compartimento j del camión, i = {A, B, C}, j = {1, 2, 3, 4, 5},
(0,1 puntos)
yij ∈ {0, 1}, yij = 1 si el combustible tipo i es cargado en el compartimento j; yij = 0 en caso contrario,
siendo i = {A, B, C}, j= {1, 2, 3, 4, 5}. (0,2 puntos)
2) Función Objetivo: Minimizar costo de la demanda insatisfecha (0,2 puntos, -0,1 por cada error)
3) Restricciones
a.
Máximo de demanda insatisfecha por tipo de combustible (0,3 puntos; 0,1 por cada una)
Tipo A)
5
5
2900 − ∑ x Aj ≤ 500 ⇒ ∑ x Aj ≥ 2400
j =1
Tipo B)
Tipo C)
b.
j =1
5
5
j =1
j =1
5
5
j =1
j =1
4000 − ∑ x Bj ≤ 600 ⇒ ∑ x Bj ≥ 3400
4900 − ∑ xCj ≤ 400 ⇒ ∑ xCj ≥ 4500
Capacidad de cada compartimiento establecida para cada tipo de combustible
Capacidad para combustible tipo A: (0,2 puntos; -0,1 por cada error)
Capacidad para combustible tipo B: (0,2 puntos; -0,1 por cada error)
Capacidad para combustible tipo C: (0,2 puntos; -0,1 por cada error)
c.
Solo se puede cargar un tipo de combustible en cada compartimiento (0,5 puntos; 0,1 por
cada restricción)
Compartimento 1:
Compartimento 2:
Compartimento 3:
Compartimento 4:
Compartimento 5:
4) Restricción de Integralidad (0,1 puntos)
xij ≥ 0, ∀ i, j
yij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
2
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Ingeniería Civil Industrial
5) Formulación Matemática
5
∑x
Aj
≥ 2400
Bj
≥ 3400
Cj
≥ 4500
j =1
5
∑x
j =1
5
∑x
j =1
xij ≥ 0, ∀ i, j
yij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
Pregunta 2 (3,0 puntos)
2.a) Problema de Localización Clásico (1,4 puntos)
1) Definición de Variables
Sea:
xij: Cantidad de producto a enviar desde el almacén instalado en la ciudad i hacia la ciudad j; i ∈ I, I = {1, 3,
4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (0,1 puntos)
yi ∈ {0, 1}, donde yi = 1 si se instala un almacén en la ciudad i, yi = 0 en caso contrario, siendo i ∈ I, I = {1,
3, 4, 6 ,9} (0,2 puntos)
2) Función Objetivo: minimizar costos de red de distribución (0,3 puntos; -0,1 por error)
Donde di es el valor de instalar un almacén, por lo tanto,
millones de pesos, ∀ i ∈ I. Además, cij
corresponde al costo de transporte por producto, en millones de pesos, entre la ciudad i y la ciudad j, i ∈ I, I
= {1, 3, 4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
3) Restricciones
a. La demanda por producto en cada ciudad debe ser satisfecha (0,3 puntos; -0,1 por error):
Ciudad 1)
Ciudad 2)
Ciudad 3)
Ciudad 4)
Ciudad 5)
Ciudad 6)
Ciudad 7)
Ciudad 8)
Ciudad 9)
b.
Los envíos no deben sobrepasar la capacidad del depósito (0,4 puntos; -0,1 por cada error):
Ciudad 1)
Ciudad 3)
Ciudad 4)
Ciudad 6)
Ciudad 9)
4) Restricciones de Integralidad (0,1 puntos)
xij ∈ Ζ+, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
5) Formulación Matemática
xij ∈ Ζ+, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
2.b) Problema de p-Medianas con Demanda Indivisible (1,6 puntos)
1) Definición de Variables
Sea:
xij ∈ {0, 1}, donde xij =1 si el almacén instalado en la ciudad i atiende la demanda de la ciudad j, xij = 0 en
caso contrario, siendo i ∈ I, I = {1, 3, 4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (0,2 puntos)
yi ∈ {0, 1}, donde yi = 1 si se instala un almacén en la ciudad i, yi = 0 en caso contrario, siendo i ∈ I, I = {1,
3, 4, 6 ,9} (0,1 puntos)
4
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UNIVERSIDAD DE TALCA
2)
Ingeniería Civil Industrial
Función Objetivo: Minimizar los costos de transporte de productos (0,2 puntos)
Donde cij corresponde al costo de transporte por producto, en millones de pesos, entre la ciudad i y la ciudad
j, y zj corresponde a la demanda de productos de la ciudad j, i ∈ I, I = {1, 3, 4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9},
3)
Restricciones
a.
La demanda en cada ciudad debe ser satisfecha (0,4 puntos; -0,1 por error):
Ciudad 1)
Ciudad 2)
Ciudad 3)
Ciudad 4)
Ciudad 5)
Ciudad 6)
Ciudad 7)
Ciudad 8)
Ciudad 9)
b.
Los envíos no deben sobrepasar la capacidad del depósito (0,4 puntos; -0,1 por cada error):
A1) 5000x11 + 3000x12 + 7400x13 + 2200x14 + 8800x15 + 3000x16 + 4400x17 + 6800x18 + 5800x19 ≤ 26000 y1
+ 3000x32 + 7400x33 + 2200x34 + 8800x35 + 3000x36 + 4400x37 + 6800x38 + 5800x39 ≤ 26000y3
A4) 5000x41 + 3000x42 + 7400x43 + 2200x44 + 8800x45 + 3000x46 + 4400x47 + 6800x48 + 5800x49 ≤ 26000 y 4
A6) 5000x61 + 3000x62 + 7400x63 + 2200x64 + 8800x65 + 3000x66 + 4400x67 + 6800x68 + 5800x69 ≤ 26000 y6
A9) 5000x91 + 3000x92 + 7400x93 + 2200x94 + 8800x95 + 3000x96 + 4400x97 + 6800x98 + 5800x99 ≤ 26000 y9
A3) 5000x31
c.
La empresa sólo podría construir a lo más dos almacenes (0,2 puntos):
4)
Restricción de Integralidad (0,1 puntos)
xij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
5)
Formulación Matemática
s.a
5000x11 + 3000x12 + 7400x13 + 2200x14 + 8800x15 + 3000x16 + 4400x17 + 6800x18 + 5800x19 ≤ 26000 y1
5000x31 + 3000x32 + 7400x33 + 2200x34 + 8800x35 + 3000x36 + 4400x37 + 6800x38 + 5800x39 ≤ 26000y3
5000x41 + 3000x42 + 7400x43 + 2200x44 + 8800x45 + 3000x46 + 4400x47 + 6800x48 + 5800x49 ≤ 26000 y4
5
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Ingeniería Civil Industrial
5000x61 + 3000x62 + 7400x63 + 2200x64 + 8800x65 + 3000x66 + 4400x67 + 6800x68 + 5800x69 ≤ 26000 y6
5000x91 + 3000x92 + 7400x93 + 2200x94 + 8800x95 + 3000x96 + 4400x97 + 6800x98 + 5800x99 ≤ 26000y9
xij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
Pregunta 3 (1,0 puntos)
1) Definición de Variables (0,2 puntos, -0,1 por cada error)
Sea:
, =1 si es construida una fábrica o bodega; =0 en caso contrario, siendo i = {1, 2, 3, 4}
Si es construida una fábrica en la ciudad 1 y 2, respectivamente.
Si es construida una bodega en la ciudad 1 y 2, respectivamente.
2) Función Objetivo: Maximizar el beneficio neto en la construcción (0,2 puntos):
3) Restricciones
a. Restricción de capital (0,1 puntos)
≤10
b.
Debe ser construida por lo menos una fábrica (0,1 puntos)
c.
Debe ser construida por lo menos una bodega (0,1 puntos)
d.
Una bodega sólo puede ser construida si hay una fábrica en la ciudad (0,2 puntos; 0,1 por
cada una)
4) Restricción de Integralidad (0,1 puntos)
xi ∈ {0, 1}, ∀ i
5) Formulación Matemática
≤10
xi ∈ {0, 1}, ∀ i
6
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Ingeniería Civil Industrial
PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
1.
Fecha: 19 de mayo de 2011
(2,0 puntos) Una empresa petrolera tiene
Demanda Multa por Litro Máximo de Demanda
un camión repartidor de combustible con
Combustible
(litros)
no Entregado
Insatisfecha (lts.)
cinco compartimientos, cada uno con
A
2.900
10
500
capacidad para 2.700, 2.800, 1.100, 1.800
B
4.000
8
600
y
3.400
litros
de
combustible,
C
4.900
6
400
respectivamente. La empresa debe entregar
tres tipos de combustible (A, B y C) a un cliente. Parte de la demanda podría no ser atendida, sin
embargo, en este caso, la empresa debiera pagar una multa. Las demandas, multas por litro no
entregado y el máximo de litros de demanda no atendida se muestran en la tabla más arriba.
Cada compartimiento del camión puede transportar sólo un tipo de combustible y la demanda de cada
tipo puede dividirse en diferentes compartimientos. Formule el modelo que permita a la empresa
determinar la mejor forma de cargar el camión, de manera de minimizar los costos de demanda
insatisfecha.
2.
(3,0 puntos) La empresa de alimentos Surfresh atiende la demanda de nueve ciudades. Dado el
aumento de esta demanda, está rediseñando su red de distribución y piensa instalar nuevos almacenes.
Con este fin, ha hecho una evaluación de proyectos y concluyó que en cinco de las ciudades es factible
instalar un almacén debido a su infraestructura.
La cantidad de producto demandada mensualmente en cada ciudad se muestra en la tabla a
continuación. Además, las ciudades donde podría construirse un almacén están señalas por (A).
Ciudad
Cantidad
Ciudad 1
(A)
5000
Ciudad 2
3000
Ciudad 3
(A)
7400
Ciudad 4
(A)
2200
Ciudad 5
8800
Ciudad 6
(A)
3000
Ciudad 7
Ciudad 8
4400
6800
Ciudad 9
(A)
5800
Los costos de transporte por producto entre las ciudades y las cinco ciudades potenciales donde instalar
los almacenes se presentan en la siguiente tabla:
Posibles
Almacenes
Ciudad 1
Ciudad 3
Ciudad 4
Ciudad 6
Ciudad 9
Ciudad 1
0
0,21
0,40
0,42
0,25
Costo de Transporte por Producto entre Ciudades (en millones de pesos)
Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6 Ciudad 7 Ciudad 8
0,15
0,21
0,40
0,31
0,42
0,38
0,50
0,36
0
0,60
0,30
0,50
0,62
0,64
0,26
0,60
0
0,21
0,69
0,38
0,41
0,36
0,50
0,69
0,73
0
0,27
0,70
0,43
0,44
0,78
0,14
0,86
0,78
0,23
Ciudad 9
0,25
0,44
0,78
0,86
0
La empresa Surfresh ha estandarizado el diseño de los almacenes, en donde cada uno podría mantener
15.000 unidades de producto al mes. Los costos de operación de cada almacén se han estimado en $36
millones de pesos mensuales. La empresa podría construir un almacén en cualquiera de las cinco
ciudades factibles, pero esta decisión depende de la configuración que minimice los costos fijos y
variables para la distribución de los productos.
a) Formule el modelo que permita a la empresa minimizar los costos de la red de distribución,
asumiendo que la demanda de una ciudad puede ser abastecida desde diferentes almacenes.
b) Suponga que por restricción de presupuesto, la empresa sólo podría construir a lo más dos
almacenes, pero cada uno podría tener una capacidad de 26.000 productos mensuales. Además,
asuma que la demanda de una ciudad sólo puede ser atendida por un único almacén. Formule el
nuevo modelo que permita a la empresa minimizar los costos de la red de distribución.
3.
(1,0 punto) Una empresa debe decidir si construye o no nuevas fábricas y bodegas en dos ciudades. El
capital necesario para la construcción y el beneficio neto estimado por entrar en operación (medido en
millones de pesos) para cada fábrica y bodega en una determinada ciudad se presentan en la siguiente
tabla:
Capital Necesario
(en millones de pesos)
Beneficio Neto
(en millones de pesos)
Fábrica en Ciudad 1
Fábrica en Ciudad 2
Bodega en Ciudad 1
Bodega en Ciudad 2
6
3
5
2
9
5
6
4
El capital disponible de la empresa para la construcción de las bodegas y las fábricas es de 10 millones
de pesos. Además, la empresa desea construir por lo menos una fábrica y una bodega, con la limitación
adicional de que una bodega sólo puede ser construida en una ciudad si en esa ciudad es construida
también una fábrica. Formule el modelo que permita a la empresa decidir acerca de la construcción de
bodegas y fábricas.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PAUTA PRUEBA Nº 2 FORMULACIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Pregunta 1 (2,0 puntos)
1) Definición de Variables
Sea:
xij: Litros de combustible tipo i cargado en el compartimento j del camión, i = {A, B, C}, j = {1, 2, 3, 4, 5},
(0,1 puntos)
yij ∈ {0, 1}, yij = 1 si el combustible tipo i es cargado en el compartimento j; yij = 0 en caso contrario,
siendo i = {A, B, C}, j= {1, 2, 3, 4, 5}. (0,2 puntos)
2) Función Objetivo: Minimizar costo de la demanda insatisfecha (0,2 puntos, -0,1 por cada error)
3) Restricciones
a.
Máximo de demanda insatisfecha por tipo de combustible (0,3 puntos; 0,1 por cada una)
Tipo A)
5
5
2900 − ∑ x Aj ≤ 500 ⇒ ∑ x Aj ≥ 2400
j =1
Tipo B)
Tipo C)
b.
j =1
5
5
j =1
j =1
5
5
j =1
j =1
4000 − ∑ x Bj ≤ 600 ⇒ ∑ x Bj ≥ 3400
4900 − ∑ xCj ≤ 400 ⇒ ∑ xCj ≥ 4500
Capacidad de cada compartimiento establecida para cada tipo de combustible
Capacidad para combustible tipo A: (0,2 puntos; -0,1 por cada error)
Capacidad para combustible tipo B: (0,2 puntos; -0,1 por cada error)
Capacidad para combustible tipo C: (0,2 puntos; -0,1 por cada error)
c.
Solo se puede cargar un tipo de combustible en cada compartimiento (0,5 puntos; 0,1 por
cada restricción)
Compartimento 1:
Compartimento 2:
Compartimento 3:
Compartimento 4:
Compartimento 5:
4) Restricción de Integralidad (0,1 puntos)
xij ≥ 0, ∀ i, j
yij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
2
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Ingeniería Civil Industrial
5) Formulación Matemática
5
∑x
Aj
≥ 2400
Bj
≥ 3400
Cj
≥ 4500
j =1
5
∑x
j =1
5
∑x
j =1
xij ≥ 0, ∀ i, j
yij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
Pregunta 2 (3,0 puntos)
2.a) Problema de Localización Clásico (1,4 puntos)
1) Definición de Variables
Sea:
xij: Cantidad de producto a enviar desde el almacén instalado en la ciudad i hacia la ciudad j; i ∈ I, I = {1, 3,
4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (0,1 puntos)
yi ∈ {0, 1}, donde yi = 1 si se instala un almacén en la ciudad i, yi = 0 en caso contrario, siendo i ∈ I, I = {1,
3, 4, 6 ,9} (0,2 puntos)
2) Función Objetivo: minimizar costos de red de distribución (0,3 puntos; -0,1 por error)
Donde di es el valor de instalar un almacén, por lo tanto,
millones de pesos, ∀ i ∈ I. Además, cij
corresponde al costo de transporte por producto, en millones de pesos, entre la ciudad i y la ciudad j, i ∈ I, I
= {1, 3, 4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3
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Ingeniería Civil Industrial
3) Restricciones
a. La demanda por producto en cada ciudad debe ser satisfecha (0,3 puntos; -0,1 por error):
Ciudad 1)
Ciudad 2)
Ciudad 3)
Ciudad 4)
Ciudad 5)
Ciudad 6)
Ciudad 7)
Ciudad 8)
Ciudad 9)
b.
Los envíos no deben sobrepasar la capacidad del depósito (0,4 puntos; -0,1 por cada error):
Ciudad 1)
Ciudad 3)
Ciudad 4)
Ciudad 6)
Ciudad 9)
4) Restricciones de Integralidad (0,1 puntos)
xij ∈ Ζ+, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
5) Formulación Matemática
xij ∈ Ζ+, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
2.b) Problema de p-Medianas con Demanda Indivisible (1,6 puntos)
1) Definición de Variables
Sea:
xij ∈ {0, 1}, donde xij =1 si el almacén instalado en la ciudad i atiende la demanda de la ciudad j, xij = 0 en
caso contrario, siendo i ∈ I, I = {1, 3, 4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (0,2 puntos)
yi ∈ {0, 1}, donde yi = 1 si se instala un almacén en la ciudad i, yi = 0 en caso contrario, siendo i ∈ I, I = {1,
3, 4, 6 ,9} (0,1 puntos)
4
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UNIVERSIDAD DE TALCA
2)
Ingeniería Civil Industrial
Función Objetivo: Minimizar los costos de transporte de productos (0,2 puntos)
Donde cij corresponde al costo de transporte por producto, en millones de pesos, entre la ciudad i y la ciudad
j, y zj corresponde a la demanda de productos de la ciudad j, i ∈ I, I = {1, 3, 4, 6 ,9}, j = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9},
3)
Restricciones
a.
La demanda en cada ciudad debe ser satisfecha (0,4 puntos; -0,1 por error):
Ciudad 1)
Ciudad 2)
Ciudad 3)
Ciudad 4)
Ciudad 5)
Ciudad 6)
Ciudad 7)
Ciudad 8)
Ciudad 9)
b.
Los envíos no deben sobrepasar la capacidad del depósito (0,4 puntos; -0,1 por cada error):
A1) 5000x11 + 3000x12 + 7400x13 + 2200x14 + 8800x15 + 3000x16 + 4400x17 + 6800x18 + 5800x19 ≤ 26000 y1
+ 3000x32 + 7400x33 + 2200x34 + 8800x35 + 3000x36 + 4400x37 + 6800x38 + 5800x39 ≤ 26000y3
A4) 5000x41 + 3000x42 + 7400x43 + 2200x44 + 8800x45 + 3000x46 + 4400x47 + 6800x48 + 5800x49 ≤ 26000 y 4
A6) 5000x61 + 3000x62 + 7400x63 + 2200x64 + 8800x65 + 3000x66 + 4400x67 + 6800x68 + 5800x69 ≤ 26000 y6
A9) 5000x91 + 3000x92 + 7400x93 + 2200x94 + 8800x95 + 3000x96 + 4400x97 + 6800x98 + 5800x99 ≤ 26000 y9
A3) 5000x31
c.
La empresa sólo podría construir a lo más dos almacenes (0,2 puntos):
4)
Restricción de Integralidad (0,1 puntos)
xij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
5)
Formulación Matemática
s.a
5000x11 + 3000x12 + 7400x13 + 2200x14 + 8800x15 + 3000x16 + 4400x17 + 6800x18 + 5800x19 ≤ 26000 y1
5000x31 + 3000x32 + 7400x33 + 2200x34 + 8800x35 + 3000x36 + 4400x37 + 6800x38 + 5800x39 ≤ 26000y3
5000x41 + 3000x42 + 7400x43 + 2200x44 + 8800x45 + 3000x46 + 4400x47 + 6800x48 + 5800x49 ≤ 26000 y4
5
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
5000x61 + 3000x62 + 7400x63 + 2200x64 + 8800x65 + 3000x66 + 4400x67 + 6800x68 + 5800x69 ≤ 26000 y6
5000x91 + 3000x92 + 7400x93 + 2200x94 + 8800x95 + 3000x96 + 4400x97 + 6800x98 + 5800x99 ≤ 26000y9
xij ∈ {0, 1}, ∀ i, j
yi ∈ {0, 1}, ∀ i
Pregunta 3 (1,0 puntos)
1) Definición de Variables (0,2 puntos, -0,1 por cada error)
Sea:
, =1 si es construida una fábrica o bodega; =0 en caso contrario, siendo i = {1, 2, 3, 4}
Si es construida una fábrica en la ciudad 1 y 2, respectivamente.
Si es construida una bodega en la ciudad 1 y 2, respectivamente.
2) Función Objetivo: Maximizar el beneficio neto en la construcción (0,2 puntos):
3) Restricciones
a. Restricción de capital (0,1 puntos)
≤10
b.
Debe ser construida por lo menos una fábrica (0,1 puntos)
c.
Debe ser construida por lo menos una bodega (0,1 puntos)
d.
Una bodega sólo puede ser construida si hay una fábrica en la ciudad (0,2 puntos; 0,1 por
cada una)
4) Restricción de Integralidad (0,1 puntos)
xi ∈ {0, 1}, ∀ i
5) Formulación Matemática
≤10
xi ∈ {0, 1}, ∀ i
6
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 14 de mayo de 2014
1. (2,3 puntos) La empresa constructora FM&IO, localizada en Curicó, recientemente firmó contratos para
construir cuatro proyectos inmobiliarios en diferentes comunas de la ciudad. Cada proyecto necesita ser
abastecido con una gran cantidad de cemento, por lo que FM&IO hizo un llamado a licitación para proveer
de esta materia prima a los proyectos. Tres compañías hicieron sus propuestas a este llamado, cuyos
precios por tonelada de cemento entregada a cada proyecto y la cantidad máxima de cemento que cada
compañía puede entregar se presentan en la siguiente tabla. Además, en esta tabla se presentan las
cantidades de cemento necesarias en cada proyecto inmobiliario.
Compañía 1
Compañía 2
Compañía 3
Total de Toneladas
Necesarias por
Proyecto
Proyecto 1
($/tonelada)
Proyecto 2
($/tonelada)
Proyecto 3
($/tonelada)
Proyecto 4
($/tonelada)
120
100
140
115
150
95
130
110
145
125
105
165
450
275
300
350
Cantidad
Máxima por
Compañía
(toneladas)
525
450
550
Por ejemplo, la compañía 1 puede abastecer un máximo de 525 toneladas de cemento y cada tonelada de
cemento enviada a cada proyecto cuesta $120, $115, $130 y $125, respectivamente. Los costos varían
principalmente debido a las diferentes distancias entre las plantas de cemento y los sitios de las
construcciones. Las cantidades de la última fila indican la cantidad de cemento total, en toneladas, necesaria
en cada proyecto.
En sus propuestas, las compañías presentaron además diferentes condiciones para abastecer a los
proyectos. De esta forma, la compañía 1 indicó que no abastecerá órdenes de entrega de menos de 150
toneladas de cemento a cualquiera de los proyectos inmobiliarios. La compañía 2 señaló que puede entregar
más de 200 toneladas sólo a un proyecto (al resto podría entregar menos de 200 toneladas). Finalmente,
la compañía 3 indicó que sólo aceptará realizar órdenes de entrega si los pedidos son de exactamente 200,
400 o 550 toneladas.
La empresa FM&IO puede contratar a más de un proveedor de cemento para atender las necesidades de
cada proyecto, por lo tanto, el problema que tiene la constructora es determinar cuánto debe comprar de
cada proveedor para atender las necesidades de cada proyecto a un costo total mínimo. Formule el modelo
que permita a la empresa constructora determinar cuánto debe comprar de cada proveedor.
1) Definición de Variables (0,6 puntos)
0,1
xij = Toneladas de cemento compradas a la compañía i para el proyecto j; con i = {1, 2, 3} y j= {1,
2, 3, 4}
0,1
y1j
 {0,1}; Y1j = 1 si la compañía 1 abastece al proyecto j, j = {1, 2, 3, 4}; Y1j = 0 en caso contrario
0,2
y2j

{0,1}; Y2j = 1 si la compañía 2 entrega más de 200 toneladas de cemento al
{1, 2, 3, 4}; Y2j = 0 en caso contrario
z3r

{0,1}; Z3r = 1 si la compañía 3 realiza una entrega del tipo r, r = {1=200 ton., 2=400 ton.,
3=550 ton.}; Z3r = 0 en caso contrario
0,2
proyecto j, j =
1
2) Función Objetivo: Minimizar el costo total de la compra de cemento (0,1 punto)
0,1
Min Z = 120x11 + 115x12 + 130x13 + 125x14 + 100x21 + 150x22 + 110x23 + 105x24 + 140x31 +
95x32 + 145x33 + 165 x34
3) Restricciones
a) Cantidad máxima disponible por compañía (0,2 punto; menos 0,1 por cada error)
C1) X11 + X12 + X13 + X14
C2) X21 + X22 + X23 + X24
C3) X31 + X32 + X33 + X34
 525
 450
 550
0,2
b) Demanda por proyecto. También puede ser restricción de igualdad. (0,2 punto; menos 0,1
por cada error)
P1)
P2)
P3)
P4)
X11
X12
X13
X14
+
+
+
+
X21
X22
X23
X24
+
+
+
+
X31
X32
X33
X34
≥
≥
≥
≥
450
275
300
350
0,2
c) La compañía 1 no abastecerá órdenes de entrega menor de 150 toneladas de cemento (0,4
puntos)
P1) X11  150 Y11
X11  525 Y11
P2) X12  150 Y12
X12  525 Y12
P3) X13  150 Y13
X13  525 Y13
P4) X14  150 Y14
X14  525 Y14
0,1
0,1
0,1
0,1
d) La compañía 2 puede entregar más de 200 toneladas de cemento sólo a un proyecto (0,4
puntos)
X21  200 + 250 Y21
X22  200 + 250 Y22
X23  200 + 250 Y23
X24  200 + 250 Y24
Y21 + Y22 + Y23 + Y24
0,3
1
0,1
e) La compañía 3 sólo realizará órdenes de entrega si los pedidos son de exactamente 200,
ó 550 toneladas (0,4 puntos)
X31 + X32 + X33 + X34 = 200 Z31 + 400 Z32 + 550 Z33
Z31 + Z32 + Z33  1
400
0,3
0,1
4. Restricción de integralidad (- 0,1 punto por cada una si no la coloca)

Xij    i, j
Y1j; Y2j  {0,1}; j = {1, 2, 3, 4}
Z3r  {0,1} ; r = {1, 2, 3}
-0,3
2
2. (1,0 punto) Un empresario que fabrica
tres artículos P1, P2, P3, desea establecer
Horas utilizadas por artículo
la producción diaria que le permita Artículo
Máquina
A
Máquina B Máquina C Máquina D
maximizar sus utilidades. Los artículos son
P1
1
1
2
1
procesados en dos de las cuatro máquinas
que dispone, donde sólo las siguientes
P2
1
1
1
2
combinaciones de máquinas son posibles:
P3
2
1
1
1
producir en las máquinas A y B, o bien,
producir en las máquinas C y D. El costo fijo diario de la puesta en marcha de cada una de estas máquinas
es de $200 para la máquina A, de $250 para la máquina B, de $360 para la máquina C y de $150 para la
máquina D. El ingreso de los artículos es de $5 por unidad de P1, de $6 por unidad de P2, y de $10 por
unidad de P3, mientras que el costo de producción por unidad es de $1 por unidad de P1, de $2 por unidad
de P2, y de $4 por unidad de P3. Las horas que se necesitan por máquina y unidad de artículo se muestran
en la tabla de arriba. Además, el número de horas disponibles en cada máquina es de 190 horas para A,
de 210 horas para B, de 170 horas para C y de 200 horas para D. Formule el modelo que permita al
empresario establecer su plan de producción diaria.
Solución
1) Definición de variables (0,3 puntos, es decir, 0,1 por cada definición de variables.)
𝑥𝑖 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑖 , 𝑖 = 1, . . ,3.
1 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑠 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 𝐴 𝑦 𝐵.
𝑦1 = {
0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
1 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑙𝑠 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 𝐶 𝑦 𝐷.
𝑦2 = {
0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
2) Función objetivo (0,2 puntos)
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 5𝑥1 + 6𝑥2 + 10𝑥3 − [(200 + 250)𝑦1 + (360 + 150)𝑦2 ]
3) Restricciones (0,5 puntos, es decir, 0,1 punto por cada restricción)
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 190 + 𝑀(1 − 𝑦1 )
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 210 + 𝑀(1 − 𝑦1 )
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 170 + 𝑀(1 − 𝑦2 )
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 200 + 𝑀(1 − 𝑦2 )
𝑦1 + 𝑦2 = 1
4)
Naturaleza de las variables (-0,1 si no la coloca)
𝑥𝑖 ∈ ℤ+
0
𝑦𝑖 ∈ {0,1}, 𝑖 = 1,2.
En este caso, una buena estimación de M es M = 190+210+170+200=770
3
3. (1,7 puntos) Una fábrica de impresoras abastece a seis ciudades (C1,
C2, C3, C4, C5, C6). Esta fábrica está planificando instalar talleres de
reparaciones, ya que, según estudios de mercado realizados, en una
ciudad aumentan las ventas si existe un taller establecido dentro de un
radio de 150 kilómetros. Cabe señalar que, según las leyes impositivas
vigentes, sólo las cuatro primeras ciudades son candidatas a ser sede de
los talleres de reparación. En la tabla de arriba se muestran las distancias
entre las ciudades y en la tabla de abajo, las ventas mensuales estimadas.
¿Existe taller
en un radio
de 150 km?
Sí
No
Ventas Mensuales Estimadas (Nº de Impresoras)
C1
C2
C3
C4
C5
C6
700
500
1000
750
900
700
800
450
400
200
450
300
Matriz de Distancias (en kms.)
Ciudades
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Candidatas a Sede de
C1
C2
C3
0
200
140
222
0
89
140
89
0
441
241
130
47
86
255
350
123
82
Se sabe que cada impresora tiene un costo de fabricación de $500 y se vende a $1.000. Por otro lado, se
debe tener en cuenta las siguientes condiciones para la instalación de los talleres:
 La instalación de un taller en la ciudad 2 sólo se realizará si se instala un taller en la ciudad 1.
 Si se instala un taller en las ciudades 1 o 4, no se instalará un taller en la ciudad 3.
 Si no se instala un taller en la ciudad 2, entonces no se instalará un taller en la ciudad 3.
Formule un modelo que permita a la fábrica determinar las ciudades dónde construir los talleres.
1) Definición de variables de decisión (0,3 puntos)
y j  0,1 , donde y j  1 si es instalado el taller de reparaciones en la cuidad j, y j  0
j  1,2,3,4 , (0,1puntos)
en caso contrario, con
xi  0,1, donde xi  1 si existe un taller de reparaciones instalado en una radio de 150 km. de la ciudad i,
xi  0 en caso contrario, i = 1,2,3,4,5,6. (0,2 puntos)
2) Función objetivo: Maximizar las utilidades de la fábrica de impresoras. (0,3 puntos)
700 x1  1000 x2  900 x3  800 x4  400 x5  450 x6  (1  x1 )500  (1  x2 )750  
Max z  500  

(1  x3 )700  (1  x4 )450  (1  x5 )200  (1  x6 )300

Restricciones
Restricción de cobertura: cada ciudad se considera atendida si tiene un taller de reaparaciones instalado
dentro de un radio de 150 Km. (0,6 puntos, 0,1 por cada restricción)
y1  y3  x1
y2  y3  x2
y1  y2  y3  y4  x3
y3  y4  x4
y1  y2  y4  x5
y2  y3  x6
4
Taller
C4
441
241
130
0
126
178
Por otro lado, se debe tener en cuenta las siguientes condiciones para la instalación de los talleres:

La instalación de un taller en la ciudad 2 sólo se realizará si se instala un taller en la ciudad 1. (0,1
puntos)
y2  y1

Si se instala un taller en las ciudades 1 o 4, no se instalará un taller en la ciudad 3. (0,3 puntos)

Si no se instala un taller en la ciudad 2, entonces no se instalará un taller en la ciudad 3. (0,1 puntos)
2y3  2 - y1 – y4
y2 ≥ y3
Restricciones de Integralidad (-0,1 puntos por cada restricción si no se coloca)
x j  0,1
yi  0,1
4. (1,0 punto) La Universidad de Talca se encuentra en proceso de formación de una comisión revisora de
cuentas, para la cual existen diez personas nominadas: A, B, C, D, E, F,
Categoría
Personas
G, H, I y J. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión
Mujeres
A, B, C, D, E
al menos una mujer, al menos un hombre, al menos un estudiante, al
Hombres
F, G, H, I, J
menos un administrativo y al menos un profesor. Además, el número de
Estudiantes
A, B, C, J
mujeres debe ser igual que el número de hombres y el número de Administrativos
E, F
profesores no debe de ser inferior al número de administrativos. La
Profesores
D, G, H, I
mezcla de los nominados, según cada categoría, se presenta en la tabla
al costado. Además:

Sólo se puede incorporar a la comisión la persona H si se incorporan también las personas B y F.

Si se incorporan a la comisión las personas C y G, la persona E también debe ser incorporada a la
comisión.
Formule el modelo que permita que la comisión tenga el menor número de personas posible.
1) Definición de variables (0,1 puntos)
1 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑖, 𝑖 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽.
𝑥𝑖 = {
0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
2) Función objetivo (0,1 puntos)
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 + 𝑥𝐸 + 𝑥𝐹 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 + 𝑥𝐽
3) Restricciones (0,4 puntos. Menos 0,1 puntos por cada restricción equivocada)
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 + 𝑥𝐸 ≥ 1
𝑥𝐹 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 + 𝑥𝐽 ≥ 1
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐽 ≥ 1
𝑥𝐸 + 𝑥𝐹 ≥ 1
𝑥𝐷 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 ≥ 1
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 + 𝑥𝐸 = 𝑥𝐹 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 + 𝑥𝐽
5
𝑥𝐷 + 𝑥𝐺 + 𝑥𝐻 + 𝑥𝐼 = 𝑥𝐸 + 𝑥𝐹

Sólo se puede incorporar a la comisión la persona H si se incorporan también las personas B y F.
2𝑥𝐻 ≤ 𝑥𝐵 + 𝑥𝐹 (0,2 puntos)

Si se incorporan a la comisión las personas C y G, la persona E también debe ser incorporada a la
comisión.
𝑥𝐶 + 𝑥𝐺 − 𝑥𝐸 ≤ 1
(0,2 puntos)
4) Restricción de Integralidad (-0,1 si no la coloca)
𝑥𝑖 ∈ {0,1}, 𝑖 = 𝐴, … , 𝐽.
6
DEPARTAMENTO DE INGENIERÌA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 20 de mayo de 2015
1. (2,0
puntos)
Una
empresa
de
juguetes
está
Juguete 1 Juguete 2 Juguete 3
considerando la puesta en marcha de tres nuevos
5
4
6
modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusión Planta 1
Planta
2
4
2
2
en la próxima campaña de Navidad. La preparación de
Planta
3
3
3
2
instalaciones para la fabricación de estos modelos costaría
$25.000, $35.000 y $30.000, respectivamente, y la ganancia unitaria sería de $10, $15 y $13,
respectivamente. La empresa dispone de tres plantas de producción para la elaboración de estos
modelos, pero para evitar gastos, sólo en una de ellas se producirían los juguetes, dependiendo la
elección de la maximización de las ganancias. El número de horas que se necesita para producir cada
juguete en cada planta se presenta en la tabla de arriba.
Las plantas 1, 2 y 3 disponen al día 500, 600 y 630 horas de producción, respectivamente. La gerencia
ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes.
a) Formule el modelo que permita a la empresa decidir sobre la inclusión de los juguetes en su campaña
de Navidad. (1,2 puntos)
b) La empresa decide producir únicamente el juguete tipo 3, pero debe tener en cuenta que si produce
más de 50 unidades de este tipo de juguete entonces: (0,8 puntos)
− El costo de preparación de instalaciones del juguete tipo 3 es de $40.000.
− Sólo debe producir los juguetes en la planta 3.
Formule el nuevo modelo que considere esta información.
a) 1. Definición de variables (0,3 puntos, 0,1 por cada una)
2. Función objetivo, maximizar utilidades (0,2 puntos, o,1 por ítem)
3. Restricciones
(0,1 puntos)
; Mi = 120, 300, 315
5 x1 + 4 x2 + 6 x3 ≤ 500 + 120(1 − z1 ),
(2) (0,2 puntos)
(0,3 puntos)
4 x1 + 2 x2 + 2 x3 ≤ 600 + 300(1 − z 2 )
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 630 + 315(1 − z 3 )
(3)
(0,1 puntos)
4. Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
,
b) 1. Definición de variables (0,1 puntos)
2. Función Objetivo, maximizar utilidades (0,2 puntos)
3. Restricciones
(0,2 puntos)
(0,1 puntos)
DEPARTAMENTO DE INGENIERÌA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
(3) (0,1 puntos)
(0,1 puntos)
4. Restricciones de integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
,
2. (1,7 puntos) Una fábrica produce 4 tipos de jabones, para lo cual son necesarios 6 componentes. En la
siguiente tabla se muestran las cantidades necesarias para realizar una pastilla de jabón de cada tipo.
Tipos de
Jabón
Aceite (ml)
Agua (ml)
J1
J2
J3
J4
250
200
230
180
240
210
240
200
Soda
Cáustica
(gr)
42
2
20
10
Glicerina
(gr)
Esencia de
Limón (ml)
Esencia de
Lavanda (ml)
1
40
25
35
1
2
3
1
3
1
1
3
La fábrica dispone diariamente de 150.000 ml de aceite, 160.000 ml de agua, 12 kg. de soda cáustica, 3
kg. de glicerina, 2.000 ml de esencia de limón y 3.000 ml de esencia de lavanda por día. Se debe
producir al menos un tipo de jabón al día y a lo más tres. Además, si se producen jabones del tipo 1 no
se podrán producir jabones del tipo 4.
El beneficio por cada pastilla de jabón (J1, J2, J3 y J4) es de $10, $13, $15 y $11, respectivamente.
La fábrica se está planteando ampliar la planta de producción con un costo de $2.000.000 de pesos, de
forma que si se realiza la ampliación, las disponibilidades de los componentes aumentarán en 50.000 ml
de aceite, 70.000 ml de agua, 4 kg. de soda cáustica, 4 kg. de glicerina, 1.000 ml de esencia de limón y
500 ml de esencia de lavanda. Además, en el caso de realizarse esta ampliación, si se producen jabones
del tipo 3, se tendrán que realizar también jabones del tipo 1. Formule el modelo que permita a la fábrica
de jabones decidir sobre la producción diaria de jabones y posible ampliación de la planta.
Desarrollo
a) 1. Definición de variables (0,3 puntos)
,4
b) 2. Función Objetivo: maximizar ingresos (0,2 puntos, 0.1 por ítem)
c) 3. Restricciones
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
M = 429, 234, 280, 200, respectivamente. (0,2 puntos)
(0,2 puntos)
(0,6 puntos)
4. Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
3.
(1,0 puntos) En una empresa se deben guardar 2 productos en un almacén con 7 localizaciones. El
número de localizaciones necesarias para guardar el producto 1 es 2 y, para el producto 2, es 4. Los
DEPARTAMENTO DE INGENIERÌA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
costos calculados en base al tiempo promedio de viaje para ir a buscar cada producto al lugar de
almacenamiento se presentan en la siguiente tabla:
Local 1
37
100
Producto 1
Producto 2
Local 2
38
97
Local 3
39
96
Local 4
40
99
Local 5
41
101
Local 6
41
104
Local 7
36
103
Formule el modelo que permita a la empresa asignar los productos en los locales de almacenamiento.
Desarrollo
1. Definición de parámetros:
Sea cij = costo en base al tiempo promedio de viaje para ir a buscar el producto i al lugar de
almacenamiento j, i = 1, 2, j = 1, ...,7.
Definición de variables de decisión: (0,3 puntos)
Xij ∈ ⎨0, 1⎬, donde xij = 1 si se localiza el producto i en el local j, xij = 0 en caso contrario, i = 1, 2, j
= 1, ..., 7.
2.
FO: Minimizar los costos de viaje para ir a buscar cada producto. (0,3 puntos)
7
Minimizar z =
2
∑∑ c
j =1 i =1
3.
xij
Restricciones: (0,4 puntos)
7
a)
∑x
j =1
1j
7
b)
∑x
j =1
4.
ij
2j
=2
=4
Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
xij ∈ ⎨0, 1⎬, ∀ i, j
4. (1,3 puntos) La empresa WSO Publishers vende libros de texto a estudiantes universitarios. Esta
empresa tiene disponibles dos representantes de ventas para ser
asignados a cualquiera de las regiones mostradas en la figura al
B
E
costado.
El número de estudiantes universitarios (en miles) en cada región se
presenta también en la figura. Además, un representante de ventas
sólo puede atender a los estudiantes localizados en la misma región
donde fue asignado y a los estudiantes de las regiones adyacentes a su
región de asignación. El objetivo de WSP Publishers es maximizar el
número total de estudiantes atendidos por los representantes de
ventas. Formule el modelo que permita alcanzar los objetivos de la
empresa.
1. Definición de parámetros:
Sea fi = número de estudiantes universitarios (en miles) en la región
i, i ∈ I, I = {A, B, C, D, E, F, G⎬.
29
A
C
43
42
56
D
F
21
18
G
61
MAPA DE LAS REGIONES Y Nº DE
ESTUDIANTES POR REGIÓN (EN
MILES)
Definición de variables de decisión: (0,2 puntos)
yi ∈ ⎨0, 1⎬, donde yi = 1 si se localiza un representante en la región i, yi = 0 en caso contrario, i ∈ I.
xi ∈ ⎨0, 1⎬, donde xi = 1 si la regiòn i es atendida por al menos un representante, xi = 0 en caso
contrario, i ∈ I.
2. FO: Maximizar l el número total de estudiantes atendidos por los representantes de ventas. (0,3 puntos)
Maximizar z =
∑fx
i∈I
i
i
3. Restricciones: (0,7 puntos)
a)
y A + y B + yC ≥ x A
b)
y A + y B + yC + y D + y E ≥ x B
c)
y A + y B + y C + y D ≥ xC
d)
y B + yC + y D + y E + y F + yG ≥ x D
e)
y B + y D + y E + y F ≥ xE
DEPARTAMENTO DE INGENIERÌA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
∑y
i∈I
i
f)
y D + y E + yG ≥ x F
g)
y D + y F + y G ≥ xG
= 2 (0,1 puntos)
Restricción de Integralidad (-0,1 puntos por no colocarla)
xi ∈ ⎨0, 1⎬, ∀ i
yi ∈ ⎨0, 1⎬, ∀ i
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Rodrigo Sánchez R.
1. (1,5 puntos) Una empresa
tiene capital disponible, por
lo que está considerando
invertir en seis proyectos a
ser
ejecutados
en
los
próximos
tres
años.
El
capital disponible en cada
año es limitado. El retorno
estimado de cada proyecto
al final de los tres años, así
como el capital disponible en
cada año, se presentan en la
tabla más arriba.
Se
−
−
−
−
Fecha: 28 de octubre de 2010
Proyecto Retorno (millones de pesos)
Inversión Requerida (en millones de pesos)
Año 1
Año 2
Año 3
1
30
7
6
14
2
40
11
4
18
3
80
20
10
5
4
110
19
23
14
5
60
7
15
4
90
15
9
18
70
65
75
6
Capital Disponible
debe tener en cuenta, además, que:
Si el proyecto 3 es elegido, no se puede seleccionar el proyecto 5.
Sólo se puede invertir en el proyecto 4 si es escogido el proyecto 1 o el proyecto 2.
Los proyectos 1 y 6 deben ser elegidos juntos o ninguno de los dos puede ser ejecutado.
Sólo se puede invertir en el proyecto 2 si es escogido el proyecto 1 y el proyecto 4.
Formule el modelo que permita a la empresa determinar la forma de invertir el capital en los próximos
tres años, con el fin de maximizar los retornos totales.
2.
(2,5 puntos) Un ecologista ha sido contratado para Zonas Predadores (en miles) Presas (en miles)
realizar la división de una reserva ecológica. Estudios
1
40
27
recientes dividieron esta reserva en diez zonas, con el fin
2
29
24
3
20
32
de observar la fauna en cada una de ellas. El trabajo del
4
25
22
ecologista consistirá en conformar cinco áreas de manejo
5
20
57
de la fauna a partir de la información recopilada en el
6
19
32
estudio, tomando en cuenta el número de presas y
7
37
24
predadores que habita cada zona. Esta información
8
10
18
puede ser vista en la tabla al costado. El ecologista sabe
9
35
29
que los animales no pueden ser cambiados de zona y que
10
35
42
cada área de manejo debiera tener entre 60 mil y 150 mil
animales. Además, cada área de manejo deberá estar conformada por a lo menos una zona y cada zona
sólo podrá ser asignada a una única área de manejo.
En las áreas de manejo sería ideal que el número de presas fuera mayor que el número de predadores,
con el fin de garantizar el equilibrio entre las especies. Sin embargo, este equilibrio podría no ser
alcanzado. Formule el modelo que permita al ecologista conformar las áreas de manejo de la fauna, de
manera de maximizar la menor diferencia entre presas y predadores obtenida para cada área y, así,
garantizar el equilibrio de la fauna.
3.
(2,0 puntos) La compañía Clampett Oil compra petróleo a sus proveedores de Texas (TX), Oklahoma
(OK), Pennsylvania (PA) y Alabama (AL) para obtener los siguientes productos: gasolina, kerosene,
parafina y asfalto. Debido a que el petróleo entregado por los proveedores presenta diferentes calidades
y características químicas, la cantidad de producto final que puede ser obtenido al refinar un barril de
petróleo depende del proveedor de origen (ver tabla más abajo).
La compañía Clampett Oil es dueña de un camión-cisterna que puede ir a buscar el petróleo donde
cualquiera de los proveedores. Este camión tiene una capacidad de 2.000 barriles de petróleo. El costo
de enviar el camión a cada proveedor para ser abastecido, la cantidad de petróleo disponible por cada
proveedor y el costo del barril por cada proveedor se presentan en la siguiente tabla:
Proveedores
TX
OK
PA
AL
Producción Posible por Barril de Petróleo (en barriles)
Gasolina
Kerosene
Parafina
Asfalto
Barriles
Disponibles
2,00
1,80
2,30
2,10
2,80
2,30
2,20
2,60
1,70
1,75
1,60
1,90
2,40
1,90
2,60
2,40
1.500
2.000
1.500
1.800
Costo por
Barril ($)
22
21
22
23
Costo por
enviar el
Camión ($)
1.500
1700
1.500
1.400
Dado que la compañía Clampett Oil ha estimado que en la siguiente temporada deberá producir 750
barriles de gasolina, 800 barriles de kerosene, 1.000 barriles de parafina y 300 barriles de asfalto,
formule el modelo que permita a la compañía determinar su plan de compra de petróleo.
Observaciones:
− No está permitido el uso de calculadoras.
− No olvide colocar respuestas completas.
− No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo.
− Las consultas de forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin
levantarse).
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PAUTA PRUEBA N°2 DE FORMULACIÓN DE MODELOS EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Problema 1 (1,5 puntos)
Sea
, donde
F.O. Maximizar retorno.
si es elegido el proyecto ,
en caso contrario.
(0,2 ptos)
(0,1 ptos)
Sujeto a
•
Restricciones de capital disponible
•
o
Año 1)
o
Año 2)
o
Año 3)
(0,2 ptos)
(0,2 ptos)
Sólo se puede invertir en el proyecto 2 si es escogido el proyecto 1 y 4
o
•
(0,2 ptos)
Los proyectos 1 y 6 deben ser elegidos juntos o ninguno de los dos puede ser ejecutado.
o
•
(0,1 ptos)
Sólo se puede invertir en el proyecto 5, si es escogido el proyecto 1 ó 2.
o
•
(0,1 ptos)
Si el proyecto 3 es elegido, no se puede seleccionar el 5
o
•
(0,1 ptos)
(0,2 ptos)
Restricción de integralidad
o
(0,1 ptos)
2
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
Problema N°2 (2,5 puntos)
Sea
,
si la zona
forma parte del área de manejo ,
.
en caso
contrario. (0,2 ptos)
Sea W la diferencia máxima entre presas y predadores. (0,2 ptos)
FO. Maximizar la menor diferencia entre presas y predadores (0,2 ptos)
Sujeto a
•
Restricción de diferencia entre presas y predadores (0,5 ptos) – 0,1 x c/error
•
•
•
o
A.M. 1)
o
A.M. 2)
o
A.M. 3)
o
A.M. 4)
o
A.M. 5)
Límite de animales para cada área de manejo (0,5 ptos) – 0,1 x c/error
o
A.M. 1)
o
A.M. 2)
o
A.M. 3)
o
A.M. 4)
o
A.M. 5)
Cada área de manejo debe estar conformada por a lo menos una zona (0,3 ptos) – 0,1 x c/error
o
A.M. 1)
o
A.M. 2)
o
A.M. 3)
o
A.M. 4)
o
A.M. 5)
Cada zona sólo puede ser asignada a una única área de manejo (0,4 ptos) – 0,1 x c/error
o
Z 1)
o
Z 2)
o
o
•
Z 10)
Restricción de integralidad
o
o
(0,1 ptos)
(0,1 ptos)
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
Problema N°3 (2 puntos)
Variables de decisión
Sea
, donde
si la compañía le compra petróleo al proveedor i para enviar un
camión cisterna en busca de los barriles.
Sea
en caso contrario. (0,2 ptos)
, la cantidad de barriles a comprar al proveedor
para producir el producto
;
siendo
(0,1 ptos)
Función Objetivo:
El objetivo de la compañía, es determinar su plan de compra de petróleo logrando minimizar sus costos: (0,3
ptos). En rojo 0,1 Puntos, En negro 0,2 Puntos
Sujeto a
Restricciones
•
Cantidad de petróleo disponible por cada proveedor (0,2 ptos c/u, total 0,8 ptos)
o
o
o
o
•
Producción que debe cumplir la compañía, según lo estimado, para la siguiente temporada: (0,1 ptos
c/u, total 0,4 ptos)
•
o
Gasolina)
o
Kerosene)
o
Parafina)
o
Asfalto)
Capacidad máxima del camión para transportar barriles de petróleo en el recorrido de su viaje: (0,1
ptos)
o
•
Integralidad (0,1 ptos)
o
o
;
4
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
1.
Nota: _______________
Fecha: 17 de octubre de 2012
(1,5 puntos)Una empresa de transportes efectúa entregas por camión a cinco
clientes. Se dispone de seis rutas en total para visitarlos. La información al costado
muestra alos clientes que pueden recibir entregas en cada ruta. La capacidad del
camión que realiza las entregas está determinada por los segmentos de cada ruta.
Por ejemplo, en la ruta 1, la capacidad del camión sólo es suficiente para transportar
las cargas de los clientes 1, 2, 3 y 4. La siguiente tabla muestra las distancias en
kilómetros del terminal del camión (T) a los cinco clientes:
Distancia (km)
T
1
2
3
4
5
T
0
10
12
16
9
8
1
10
0
32
8
17
10
2
12
32
0
14
21
20
3
16
8
14
0
15
18
4
9
17
21
15
0
11
Ruta
1
2
3
4
5
6
Clientes
1, 2, 3, 4
3, 4, 5
1, 2, 5
2, 3, 5
1, 2, 4
1, 3, 5
5
8
10
20
18
11
0
La empresa desea determinar la distancia mínima que debe recorrer el camión, de manera de realizar
exactamente una única entrega a cada cliente. Formule el modelo de programación matemática que
permita a la empresa de transportes alcanzar este objetivo.
2. (1,5 puntos)Una compañía de servicios eléctricos debe decidir diariamente qué generadores poner en
marcha en cada periodo. El servicio cuenta con cuatro generadores, cuyas características se muestran en
la tabla más abajo. El día está dividido en dos periodos y en el primero de ellos se necesitan 2.900
megavatios (MW). En el segundo periodo se requieren 3.900 megavatios (MW). Un generador puesto en
marcha en el primer periodo puede usarse en el segundo periodo sin incurrir en un costo adicional de
puesta en marcha o podría apagarse en el segundo periodo. Todos los generadores se apagan al final de
cada día. Formule el modelo que permita a la compañía eléctrica establecer qué generadores debe poner
en marcha diariamente en cada periodo.
Generador
Costo de Puesta
en Marcha ($)
Costo por Periodo
por Megavatio Usado ($)
A
B
C
D
3.000
2.000
1.000
2.500
5
4
7
3
Capacidad Máxima de
Producción en
cada Periodo (MW)
1.900
1.800
2.100
1.400
3. (2,0 puntos) Una empresa distribuidora desea
Costos Unitarios de Transporte ($)
minimizar el costo de transportar los bienes desde sus
Almacén
Minoristas
almacenes A, B y C hasta los centros de venta
1
2
3
4
minoristas 1, 2, 3 y 4. Los costos de transporte de una
A
15
32
21
25
unidad desde un almacén a un centro minorista se
B
11
9
12
16
muestran en la tabla al costado. En esta tabla se
C
14
18
8
10
muestra también la demanda de unidades desde cada
Demanda
centro minorista. Los costos fijos de operación de cada
200
150
175
190
(unidades)
almacén son $5.000 para A, $7.500 para B y $6.000
para C. Además, por lo menos dos almacenes deben estar abiertos cada vez.
a) Formule el modelo que permita decidir cuáles almacenes deberán abrirse, asumiendo que cada
4.
almacén tiene capacidad ilimitada y que la demanda de cada centro minorista debe ser atendida por
un único almacén.
b) Formule el modelo que permita decidir cuáles almacenes deberán abrirse, asumiendo que cada
almacén tiene capacidad para mantener a lo más 380 unidades y que la demanda de cada centro
minorista puede ser atendida por diferentes almacenes.
(1,0 punto) Una junta de inversionistas de una gran empresa está estudiando donde invertir un monto
de capital M, para lo cual ha pre-seleccionado una cartera de s proyectos. Cada proyecto de inversión i
tiene un retorno de Ri (ingresos menos costos llevados a valor presente) y un capital requerido de
inversión de Ci. Por problemas de gestión, los inversionistas pueden invertir a lo más en n proyectos.
Además, para invertir en el proyecto 4 se debe invertir también en los proyectos 1 y 2, y no se puede
invertir en el proyecto 5 si se invierte en el proyecto 3. Formule el modelo que permita a la junta de
inversionistas seleccionar la cartera de proyectos donde invertir.
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 1 (1,5 puntos)
1) Definición de Variables de Decisión (0,2 puntos)
Seaxi∈{0,1}, donde xi= 1 si se utiliza la ruta i,xi= 0 en caso contrario; i = 1, …, 6.
2) Función Objetivo: Minimizar la distancia total en entregas que debe realizar el camión(0,3 puntos)
Minimizar z =
3) Restricciones
a) Se desea realizar exactamente una entrega a cada localidad (1,0 puntos, 0,2 por cada restricción, 0,2 por cada error)
Localidad
Localidad
Localidad
Localidad
Localidad
1)
2)
3)
4)
5)
4) Restricción de Integralidad (-0,1 por no colocarla)
xi∈{0,1}, ∀i
Problema 2 (1,5 puntos)
1) Definición de Variables de Decisión
Sea
xij =cantidad de MW producida por el generador i en el periodo j, donde i = {A, B, C, D},j = {1:
periodo 1, 2: periodo 2}(0,1 puntos)
yij∈{0,1}, donde yij= 1 si el generador ies prendido en el periodo j,yij= 0 en caso contrario, donde i
= {A, B, C, D} j = {1: periodo 1, 2: periodo 2}(0,2 puntos)
2) Función Objetivo: Minimizar costos de generación de energía(0,4 puntos)
Minimizar z =3000 (yA1 + yA2) + 2000 (yB1 + yB2) + 1000(yC1 + yC2) + 2500 (yD1 + yD2)
+ 5 (xA1 + xA2) + 4 (xB1 + xB2) + 7 (xC1 + xC2) + 3 (xD1 + xD2)
0.2 COSTOS FIJOS, 0.2 COSTOS VARIABLES
3) Restricciones
a) En cada periodo debe ser atendida la demanda.(0,2 puntos, -0,1 por error)
xA1 + xB1 + xC1 + xD1≥ 2900
xA2 + xB2 + xC2 + xD2≥ 3900
b) Cada generador tiene una capacidad máxima de producción, siempre que haya sido prendido en
el periodo actual o anterior. (0,4 puntos, -0,1 por error)
xA1 ≤
xA2 ≤
xB1 ≤
xB2 ≤
xC1 ≤
xC2 ≤
xD1 ≤
xD2 ≤
c)
1900yA1
1900 (yA1 + yA2)
1800yB1
1800 (yB1 + yB2)
2100yC1
2100 (yC1 + yC2)
1400yD1
1400 (yD1 + yD2)
Cada generador sólo puede ser prendido en un único periodo. (0,2 puntos, -0,1 por error)
yA1 +
yB1 +
yC1 +
yD1 +
yA2 ≤ 1
yB2 ≤ 1
yC2 ≤ 1
yD2 ≤ 1
2
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UNIVERSIDAD DE TALCA
4) Restricción de no Negatividad e Integralidad (-0,1 por no colocarla)
xij ≥ 0, ∀ij
yij∈ {0, 1}, ∀ij
Problema 3 (2,0 puntos)
1) Definición de Parámetros
Sea
cij : el costo unitario de transporte desde el almacén i al minorista j, donde i = {A, B, C}, j = 1, 2, 3,
4,
dj: cantidad demandada por el minorista j, donde j = 1, 2, 3, 4,
fi: el costo fijo de operación del almacén i, donde i = {A, B, C}.
Parte A
2) Definición de Variables de Decisión
Sea
xij∈{0,1},donde xij= 1 si el almacén iatiende al minorista j,xij= 0 en caso contrario, dondei = {A, B, C},
j = 1, 2, 3, 4(0,2 puntos)
yi∈{0,1}, donde yi= 1 si se abre el almacén i,yi= 0 en caso contrario; i = {A, B, C}.(0,1 puntos)
3) Función Objetivo: Minimizar costos totales (costos de abrir un almacén y costos de transporte)(0,2
puntos)
Minimizar z =
0.1 COSTOS FIJOS DE ABRIR UN ALMACEN, 0.1 COSTOS VARIABLES
4) Restricciones
a) Cada centro minorista debe ser atendido por un único almacén(0,2 puntos, -0,1 por error)
b) Un almacén no puede atender a los minoristas si éste no ha sido abierto(0,3 puntos, -0,1 por error)
5) Restricción de Integralidad (-0,1 por no colocarla)
{0,1},
{0,1},
Parte B
1) Definición de Variables de Decisión
Sea
xij= cantidad de bienes enviados desde el almacén i al minorista j, donde i = {A, B, C}, j = 1, 2, 3, 4,
(0,2 puntos)
3
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yi∈ {0,1}, donde yi= 1 si se abre el almacén i, yi= 0 en caso contrario; i = {A, B, C}. (0,1 puntos)
2) Función Objetivo: Minimizar costos totales(costos de abrir un almacén y costos de transporte)(0,2
puntos)
Minimizar z =
0.1 COSTOS FIJOS DE ABRIR UN ALMACEN, 0.1 COSTOS VARIABLES
3) Restricciones
a) Debe ser atendida la demanda de cada centro minorista (0,2 puntos, -0,1 por error)
b) Un almacén no puede atender a los minoristas si éste no ha sido abierto. Además, tiene capacidad
limitada(0,3 puntos, -0,1 por error)
5) Restricción de no Negatividad e Integralidad (-0,1 por no colocarla)
0,
{0,1}
Problema 4 (1,0 puntos)
1) Definición de Variables de Decisión (0,2 puntos)
Sea
{0,1}, donde
= 1 si se invierte en el proyecto i,
= 0 en caso contrario, i = 1, …, n.
2) Función Objetivo: Maximizar el retorno de la inversión(0,2 puntos)
Maximizar z =
3) Restricciones Existe un máximo de capital para invertir en los proyectos(0,2 puntos)
a)
b) Para invertir en el proyecto 4, se debe invertir en 1 y 2 (0,2 puntos)
c) No se puede invertir en el proyecto 5 si se invierte en el proyecto 3(0,2 puntos)
4) Restricción de Integralidad (-0,1 por no colocarla)
{0,1},
4
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PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________ Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
•
Fecha: 22 de mayo de 2013
(1,5 puntos) Una empresa está
Gastos en:
VAN
Proyecto
considerando
una
cartera
de
Año 1 Año 2 Año 3 (utilidad neta)
inversión de cinco proyectos, cuyo
1
5
1
8
20
inicio de ejecución será ahora (año
2
4
7
10
40
0). Cada proyecto, si fuera aprobado,
3
3
9
2
20
será ejecutado sobre un periodo de
4
7
4
1
15
tres años. El VAN esperado de cada
5
8
6
10
30
proyecto (utilidad neta actualizada
Fondos
del proyecto), en millones de pesos,
25
25
25
los gastos anuales para cada disponibles
proyecto, junto con los fondos anuales disponibles cada año, en millones de pesos, se
muestran en la tabla costado.
La empresa, teniendo en cuenta su capital disponible, debe elegir los proyectos a ejecutar.
Además se dispone de la siguiente información:
− El proyecto 3 no se debe hacer si se hace el 5.
− Los proyectos 1 y 2 se hacen de forma conjunta sólo si no se hacen ni el 4 ni el proyecto
5.
− Si es escogen los proyectos 2 y 4, el proyecto 3 también debe ser elegido.
− La empresa debe reducir en uno de los tres años sus fondos disponibles en 5 millones de
pesos y debe decidir en qué año hacerlo.
Formule un modelo que considere las situaciones descritas y que permita a la empresa elegir
los proyectos a ejecutar.
(0,3 puntos) Definición de variables:
Donde
si se lleva a cabo el proyecto i,
Donde
si se reducen los fondos en el año j,
en caso contrario, i = 1, 2, 3,
4, 5
2, 3
(0,2 puntos) Función objetivo:
(1,0 puntos) Restricciones:
o (0,1 punto c/u) Restricción de fondos:
o (0,1 punto) Año en que se reducen los fondos
en caso contrario, j = 1,
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o (0,2 punto c/u) Elección de proyectos
o Integralidad (‐0,1 punto si no las coloca)
2.
(1,5 puntos) Una empresa fabricante de juguetes
Tabla 1
planea producir dos nuevos juguetes (juguetes 1 y
Costo Fijo Precio de Venta
2). Los costos fijos involucrados en la producción, Juguete
(US$)
(US$/unidad)
así como el precio de venta unitario de los nuevos
1
45.000
12
juguetes se presentan en la Tabla 1 al costado. La
2
76.000
16
empresa tiene dos fábricas que son capaces de
producir estos juguetes. Con el fin de evitar
Tabla 2
tener dos veces el costo fijo de fabricación Juguete
Fábrica A
Fábrica B
de un determinado juguete, cada juguete
(unidades/hora) (unidades/hora)
sólo podrá ser elaborado en una única
1
30
35
fábrica. Por otro lado, una fábrica puede
2
25
20
elaborar los dos tipos de juguetes. Las
tasas de producción de cada juguete en cada fábrica se presentan en la Tabla 2. Las fábricas
A y B sólo disponen de 500 y 700 horas de producción, respectivamente, para fabricar estos
juguetes. La empresa desea saber qué juguete producir, en qué fabrica y cuántas unidades
producir, de manera de obtener el máximo beneficio posible. Formule el problema que
permita a la empresa alcanzar sus objetivos.
(0,2 puntos) Definición de variables:
Cantidad de juguetes fabricados del tipo i; i = 1, 2, en la fábrica j, j = 1, 2.
Donde
si se fabrica el juguete tipo i en la fábrica j,
(0,1 puntos) Función objetivo:
Restricciones:
o (0,1 puntos c/u) Horas de producción
en caso contrario
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o (0,2 puntos c/u) Capacidad máxima de juguetes a producir
o (0,1 punto c/u) Evitar costo fijo
o Integralidad (-0,1 punto si no las coloca)
3.
(3,0 puntos) La empresa de electrodomésticos FDB fabrica y distribuye sus productos a lo
largo del país. Actualmente, esta empresa necesita definir dónde instalar sus centros de
distribución, para lo cual cuenta con cinco ciudades candidatas. Las localizaciones tienen
diferentes costos fijos anuales de operación, los cuales se muestran en la siguiente tabla:
Localización
Potencial
Costos Anuales
($1000s)
Localización 1
Localización 2
Localización 3
Localización 4
Localización 5
6.000
5.500
5.800
6.200
5.900
Estos nuevos centros de distribución deberán atender las ventas de cuatro zonas del país
(Norte, Centro-Cordillera, Centro-Cordillera, Sur). Para cada posible localización de un centro
de distribución, la empresa FDB estimó un costo promedio de transporte por producto
enviado a cada zona y la demanda de cada zona, siendo éstos:
Desde
Localización 1
Localización 2
Localización 3
Localización 4
Localización 5
Demanda (unidades)
Norte
206
225
230
290
245
70.000
Hacia zona ($)
Centro-Cordillera Centro-Costa
250
230
206
221
221
208
270
262
190
270
120.000
100.000
Sur
290
270
262
215
250
80.000
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Considerando los datos entregados, formule los modelos que permitan a la empresa FDB
determinar dónde localizar sus centros de distribución, según las situaciones descritas a
continuación:
a) Sabiendo que cada zona sólo puede ser atendida por un único centro de distribución,
donde los centros de distribución tienen capacidad ilimitada para almacenar productos.
(0,4 puntos) Definición de variables:
Donde
caso contrario
Donde
si se realiza en envío desde la localización i a la zona j,
si se instala un centro en la localización i,
en caso contrario
(0,3 puntos) Función Objetivo:
(0,6 puntos) Restricciones:
•
(0,3 puntos) Cada zona debe ser atendida por un solo centro:
•
(0,3 puntos) Cada localización debe ser atendida por un centro instalado
•
Restricción de integralidad (-0,1 punto si no las coloca)
en
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b) Sabiendo que cada zona sólo puede ser atendida por un único centro de distribución,
donde cada centro de distribución tiene una capacidad máxima para almacenar
productos de 95.000 unidades.
Definición de variables:
Donde
caso contrario
Donde
si se realiza en envío desde la localización i a la zona j,
si se instala un centro en la localización i,
en
en caso contrario
Función Objetivo:
Restricciones:
•
Cada zona debe ser atendida por un solo centro:
•
(0,3 puntos) Cada localización debe ser atendida por un centro instalado
•
Restricción de integralidad (-0,1 punto si no las coloca)
c)
Sabiendo que cada zona sólo puede ser atendida por un único centro de distribución y
que, por motivos de presupuesto, sólo se pueden localizar dos centros de distribución
con capacidad ilimitada.
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Definición de variables:
Donde
caso contrario
Donde
si se realiza en envío desde la localización i a la zona j,
si se instala un centro en la localización i,
en
en caso contrario
Función Objetivo:
Restricciones:
•
Cada zona debe ser atendida por un solo centro:
•
Cada localización debe ser atendida por un centro instalado
•
(0,2 puntos) Solo se pueden instalar dos centros
•
Restricción de integralidad
d) Sabiendo que cada zona puede ser atendida por más de un centro de distribución, donde
la capacidad de almacenamiento de cada centro está limitada a 100.000 unidades de
productos.
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Definición de variables:
(0,3 puntos)
Cantidad de productos enviados desde la localización i hasta la zona j, donde i = 1,
2, 3, 4, 5 y j = 1, 2, 3, 4.
Donde
si se instala un centro en la localización i,
en caso contrario
(0,3 puntos) Función Objetivo:
(0,6 puntos) Restricciones:
•
(0,3 puntos) Demanda de productos por zona
•
(0,3 puntos) Capacidad de los centros
•
Restricción de integralidad (‐0,1 punto si no las coloca)
Nota Importante: Enumere las ecuaciones formuladas, con el fin de no reescribirlas
completamente cada vez que se repitan. La formulación matemática final puede ser
resumida usando las numeraciones asignadas a las ecuaciones.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar
las respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo.
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PRUEBA Nº 2
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________ Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
1. (3.0 puntos) La empresa
agrícola Nueva Aurora tiene una
plantación piloto de 15 perales
de una nueva variedad, cuya
cosecha es realizada por un
grupo pequeño de trabajadores
temporarios. En la época de
cosecha, la fruta es acumulada
en
bins
(recipientes
para
contener aproximadamente 350
kilos de fruta). Dada sus
características, los bins no
pueden
ser
ubicados
en
cualquier lugar de la plantación,
existiendo solo
12
lugares
posibles donde podrían ser
colocados y cuyas distancias en
relación a los árboles, medidas
en metros, se presentan en la
tabla al costado.
Considerando que la empresa
está evaluando la mejor forma
de localizar los bins durante la
cosecha, formule los modelos
que atiendan las siguientes
situaciones:
Fecha: 23 de octubre de 2013
Árboles
Distancias (en metros)
Posibles Localizaciones de Bins
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
10
35
60
25
45
70
52
68
87
72
90
103
2
13
33
53
24
38
58
48
53
74
70
79
89
3
34
8
33
36
24
43
53
48
64
79
70
88
4
33
12
33
43
24
38
64
48
53
88
70
79
5
53
34
8
58
36
24
74
53
48
89
79
70
6
58
35
8
68
43
24
85
66
48
100
88
70
7
13
35
58
8
35
58
24
43
68
48
66
88
8
15
33
53
8
33
53
24
53
58
48
53
74
9
34
14
33
34
8
33
36
24
43
53
48
64
10
33
15
33
33
8
33
43
24
38
64
48
53
11
53
34
8
53
34
8
58
36
24
74
53
48
12
58
35
8
58
35
8
68
43
24
88
66
48
13
24
43
68
8
35
58
8
35
58
24
43
68
14
24 53 58 8
33 53 8
33 53 24
53 58
a) Formule el modelo que
36 24 43 34 8
33 34 8
33 36
24 43
permita localizar 3 bins 15
en la plantación, de manera que los temporeros recorran la menor distancia posible,
asumiendo que cada bin puede almacenar los frutos de a lo más 8 árboles y que la fruta de
cada árbol debe ser almacenada en un único bin.
b) Formule el modelo que permita localizar un único bin en la plantación, asumiendo que éste
tiene capacidad ilimitada para almacenar la fruta, de manera que los temporeros recorran la
menor distancia posible
c) Formule el modelo que permita minimizar el número de bins a colocar en la plantación, de
manera que la fruta de un árbol solo pueda ser almacenada en un bin, siempre que éste se
encuentre a una distancia menor o igual a 35 metros del árbol. Además, la fruta debe ser
almacenada en al menos un bin.
Parte A
(0,2 puntos c/u, 0,4 puntos en total) Definición de variables:
Donde
si un bin es localizado en el sitio j,
en caso contrario, i = 1, 2,…, 12
1
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UNIVERSIDAD DE TALCA
Donde
si el peral i es almacenado en el bin localizado en j,
contrario, i = 1,…,15, j = 1,…, 12
Definición de parámetros: Sea
en caso
la distancia a recorrer desde el peral i hasta el sitio factible j
(0,3 puntos) Función objetivo: Se busca minimizar la distancia a recorrer por los temporeros
Restricciones:
i.
(0,3 puntos) Todo peral debe ser almacenado en un bin
ii.
(0,3 puntos) Un bin a lo más puede contener 8 árboles y no pueden ser almacenados si el bin no
ha sido localizado
iii.
(0,2 puntos) Se debe localizar 3 bins
iv.
(‐0,1 punto c/u si no las coloca) Integralidad
2
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Parte B
La definición de variables es la misma que en la parte a, solo cambian las restricciones ii) y iii)
ii.
(0,3 puntos) Capacidad ilimitada
iii.
(0,2 puntos) Se debe localizar un único bin
Parte C
Definición de variables:
Donde
si un bin es localizado en el sitio j,
en caso contrario, i = 1, 2,…, 12
(0,3 puntos) Función objetivo: Se busca minimizar el número de bin a colocar
(0,7 puntos, ‐0,1 por cada error) Restricciones:
Restricciones de cobertura para cada árbol, son 15 restricciones. La fruta de un árbol solo puede ser
almacenada en un bin, siempre que éste se encuentre a una distancia menor a 35 metros.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
3
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
13.
14.
15.
Otra alternativa para escribir las restricciones anteriores es:
(‐0,1 punto si no la coloca) Integralidad
2.
(2,0 puntos) La empresa L&M pretende expandir su negocio mediante la producción de tres
nuevos productos P1, P2 y P3. Dado que sus actuales fábricas ya se encuentran en el límite de la
capacidad productiva, la gerencia ha decidido abrir dos nuevas fábricas. Luego de haber sido
realizado un estudio de mercado, se verificó que existen cuatro locales posibles para la instalación
de las fábricas, siendo éstos L1, L2, L3 y L4. Sin embargo, existen algunas restricciones en estos
sitios, siendo éstas:
-
Sólo se puede instalar una fábrica en el local L3 si no se instala una fábrica en el local L2.
-
Si se instala una fábrica en el local L1, entonces, en esa fábrica no se podrá producir el
producto P1.
-
Si la empresa instala una fábrica en el local L2, también debe instalar una fábrica en el local
L4.
-
Solo se puede instalar una fábrica en el local L1, si se instala también una fábrica en el local L3
o en el local L4.
Fue estimado, además, que la capacidad productiva que podrían tener las fábricas, dependiendo del
local de instalación, es de 3.000, 3.500, 2.800 y 2.000 unidades diarias para L1, L2, L3 y L4,
respectivamente. Sabiendo que la ganancia unitaria es de $5, $6 y $4 para P1, P2 y P3,
respectivamente, y que el costo de instalación de cada fábrica es de $500, formule el modelo que
permita a la empresa maximizar las ganancias.
(0,2 puntos c/u, 0,4 puntos en total) Definición de variables:
Cantidad a producir del producto i = 1, 2, 3 en la fábrica j = 1, 2, 3, 4.
Donde
si una fábrica es instalada en el local j,
en caso contrario
(0,3 puntos) Función objetivo:
4
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Restricciones:
o (0,1 puntos c/u) Capacidad máxima de producción:
o
(0,1 punto) Solo se abrirán dos fábricas
o (0,2 puntos) Solo se puede instalar en L3 si no se instala en L2
o
(0,2 puntos) Si se instala una fábrica en el local L1, entonces, en esa fábrica no se podrá
producir el producto P1.
o
(0,2 puntos) Si la empresa instala una fábrica en el local L2, también debe instalar una
fábrica en el local L4.
o
(0,2 puntos) Solo se puede instalar una fábrica en el local L1, si se instala también una
fábrica en el local L3 o en el local L4.
o
(-0,1 punto si no las coloca) Integralidad
5
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UNIVERSIDAD DE TALCA
3. (1,0 puntos) Un fabricante vende dos tipos de productos: producto 1 y producto 2. El ingreso que
genera la venta de cada producto 1 es de 20.000 pesos y el de cada producto 2 es de 50.000 pesos.
Se necesita 3 unidades de materia prima para elaborar una unidad de producto 1 y 6 unidades de
materia prima para producir cada unidad de producto 2. Además, solo se dispone de 120 unidades
de materia prima. Si se elabora cualquier cantidad de producto 1, se incurre en un costo de
preparación de la planta de 150.000 pesos y si se elabora cualquier cantidad del producto 2, se
incurre en un costo de preparación de 250.000 pesos. El costo de producción unitario del producto 1
es de 5.000 pesos y el del producto 2, de 10.000 pesos. Formule el modelo que permita al fabricante
maximizar sus ganancias.
(0,3 puntos total) Definición de variables:
(0,1 punto)
(0,2 puntos)
Cantidad a producir del producto i = 1, 2.
Donde
si se produce el producto i en la planta,
en caso contrario
(0,2 puntos) Función objetivo: Se busca maximizar la ganancia del fabricante
Restricciones:
o (0,1 punto) Materia Prima
o (0,2 puntos c/u) No se puede fabricar un producto sin haber preparado la planta
o
(-0,1 punto si no las coloca) Integralidad
6
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PAUTA PRUEBA Nº 3
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
1.
Fecha: 17 de junio de 2015
Proceso de Reciclaje 1
Proceso de Reciclaje 2
(2,0 puntos) Una empresa de
Material
Costo por
% Pulpa
Costo por
% Pulpa
reciclaje de papel realiza dos
ton.
Extraída
ton.
Extraída
procesos para convertir papel
Papel de Diario
$13
90%
$12
85%
de diario, papel mezclado,
Papel
Mezclado
$11
80%
$13
85%
papel blanco y cartón en pulpa.
Papel Blanco
$9
95%
$10
90%
La cantidad de pulpa que
Cartón
$13
75%
$14
85%
puede ser extraída a partir de
los materiales reciclados y el costo de extracción de la pulpa dependen el proceso de reciclaje utilizado.
La tabla más arriba resume los datos del proceso de reciclaje. Según esta tabla, cada tonelada tratada de
papel de diario, a través del proceso de reciclaje 1, cuesta $13 y permite extraer 0,9 toneladas de pulpa.
La pulpa obtenida mediante los dos procesos de reciclaje es transformada, según diferentes operaciones,
en papel carta, papel para envolver, papel para impresión de alta calidad. A continuación se presentan
los costos por tonelada y el coeficiente de transformación de la pulpa en los productos mencionados:
Papel Carta
Pulpa desde
Proceso de Reciclaje 1
Proceso de Reciclaje 2
Costo por
ton.
$5
$6
%
Producido
95%
90%
Papel para Envolver
Costo por
ton.
$6
$8
%
Producido
90%
95%
Papel para Impresión de
Alta Calidad
Costo por
%
ton.
Producido
$8
90%
$7
95%
Según esta última tabla, cada tonelada de pulpa extraída a través del proceso de reciclaje 1 puede ser
transformada en 0,95 toneladas de papel carta, a un costo de $5 por tonelada de pulpa procesada.
Actualmente, la empresa tiene disponible 70 toneladas de papel de diario, 50 toneladas de papel
mezclado, 30 toneladas de papel blanco y 40 toneladas de cartón, para satisfacer una demanda de 60
toneladas de papel carta, 40 toneladas de papel para envolver y 50 toneladas de papel para impresión de
alta calidad.
a) Grafique la red que represente el proceso de producción de la empresa de reciclaje de papel,
identificando ofertas, demandas y costos del proceso.
b) Formule el modelo que permita determinar el modo más eficiente de transformación de los
materiales a reciclar, con el fin de atender la demanda.
Nota importante: dado que hay pérdidas en el proceso, no se debe buscar balancear la red. Esto tiene un
impacto directo en la representación de la red y en la formulación.
a) La red que representa el proceso de producción de la empresa de reciclaje de papel se muestra a
continuación: (0.5 puntos, -0,1 por error)
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
[70]
1
$13/90%
$12/85%
$11/80%
[50]
2
$13/85%
$9/95%
[30]
3
$10/90%
$13/75%
[40]
4
5
7
[-60]
8
[-40]
9
[-50]
$5/95%
$6/90%
$8/90%
$6/90%
$8/95%
6
$7/95%
$14/85%
b) La formulación que permite determinar el modo más eficiente de transformación de los materiales a
reciclar, con el fin de atender la demanda, es el siguiente:
Variables de Decisión: (0,2 puntos)
xij = flujo de reciclado, en toneladas, desde el nodo i al nodo j, donde 1= papel de diario, 2= papel mezclado,
3= papel blanco, 4=cartón, 5= planta de reciclaje 1, 6= planta de reciclaje 2, 7= papel carta, 8= papel para
envolver, 9= papel alta calidad.
Función Objetivo: Minimizar los costos por tonelada que se procesa. (0,2 puntos)
Minimizar Z = 13x15 + 12x16 + 11x25 + 13x26 + 9x35 + 10x36 + 13x45 + 14x46 + 5x57 + 6x58 + 8x59 + 6x67 +
8x68 + 7x69
Restricciones:
Balance de flujo de los distintos tipos de papel a reciclar: (0,4 puntos, 0,1 por cada una)
Nodo1) x15 + x16 ≤ 70
Nodo2) x25 + x26 ≤ 50
Nodo3) x35 + x36 ≤ 30
Nodo4) x45 + x46 ≤ 40
Balance de flujo de la pulpa en las plantas de reciclaje (nodos de transbordo): (0,4 puntos; 0,2 por cada
una)
Nodo5) x57 + x58 + x59 – 0,9x15 – 0,8x25 – 0,95x35 – 0,75x45 = 0
Nodo6) x67 + x68 + x69 – 0,85x16 – 0,85x26 – 0,9x36 – 0,85x46 = 0
Balance de flujo de la conversión de la pulpa en otros tipos de papeles: (0,3 puntos, 0,1 por cada una)
Nodo7) – 0,95x57 – 0,9x67 ≤ – 60 ó 0,9x57 + 0,9x67 ≥ 60
Nodo8) – 0,9x58 – 0,95x68 ≤ – 40 ó 0,9x58 + 0,95x68 ≥ 40
Nodo9) – 0,9x59 – 0,95x69 ≤ – 50 ó 0,9x59 +0,95 x69 ≥ 50
Restricción de no negatividad: (-0,1 si no la coloca)
xij ≥ 0 ∀ ij
2
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2. (1,5 puntos) Un nuevo condominio debe contar con un sistema de
seguridad que permita mantener el control visual de cada uno de
sus 5 sectores a través de un sistema de cámaras de seguridad,
desde la garita del guardia. La tabla al costado muestra el costo de
conectar cada uno de los sectores a través de cableado de
seguridad, donde el sector 1 corresponde a la garita de seguridad y
(---) significa que no es posible generar uniones directas entre dos
sectores.
a) Grafique la red que represente el sistema de conexión posible
entre los distintos sectores del condominio, identificando sus
costos.
1
2
3
1
2
3
4
5
0
1330
1450
---
2300
0
---
1970
---
0
1590
1610
0
1870
4
5
0
b) Formule el modelo que permita establecer la red de conexión de las cámaras a un menor costo.
a)
El grafo que representa el sistema de conexiones posibles es el siguiente: (0,3 puntos, -0,1 por
error)
2
1970
5
1330
1
1870
2300
1450
1610
3
4
1590
b) Este caso corresponde a un problema de árbol de cobertura mínima.
Parámetros y conjuntos:
Sea
A = conjunto de aristas de la red.
cij = costo de conectar el sector i con el sector j, (i, j) ∈ A.
Variables de Decisión: (0,2 puntos)
Sea
xij ∈ {0, 1}, donde xij = 1 si se conecta el sector i con el sector j; xij = 0 en caso contrario, (i, j) ∈ A,
Función Objetivo: se busca minimizar los costos para la conexión de los sectores (0,2 puntos)
Minimizar z
=
∑c
(i , j )∈A
ij
xij
Restricciones:
i) Se debe conectar todos los sectores mediante una estructura de árbol: (0,2 puntos)
∑x
(i , j )∈A
ij
=4
3
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ii) Se debe evitar circuitos
S1 = {1, 3, 5},
S2 = { 3, 4, 5},
x13 + x15 + x35 ≤ 2,
x34 + x35 + x45 ≤ 2,
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
S3 = {1, 2, 3, 4},
x12 + x13 + x24 + x34 ≤ 3,
(0,2 puntos)
S4 = {1, 2, 4, 5},
x12 + x15 + x24 + x45 ≤ 3,
(0,2 puntos)
iii) Restricción de Integralidad (-0,1 si no la coloca)
xij ∈ {0, 1}, ∀ (i, j) ∈ A.
Destinos
3. (1,5 puntos) En la central de comunicaciones de una Orígenes
A
B
C
D
E
G
H
J
empresa, identificada por I, se debe enviar mensajes, de
I
30 18 19
igual duración en cuanto a su transmisión, destinados a la
A
9
7
16
sucursal Z. Esta sucursal sólo puede recibir los mensajes
B
10 12
desde tres centrales, G, H y J. Cada una de estas
C
16
8
centrales puede recibir simultáneamente 28, 19 y 17
D
8
12
10
mensajes, respectivamente.
E
11
7
La transmisión de los mensajes se realiza a base de
conexiones con centrales de otras sucursales. Dependiendo de las características de cada una de estas
conexiones, las posibilidades de enviar varios mensajes simultáneamente a través de ellas cambian. En
la tabla de arriba se muestran las distintas posibilidades de transmisión de mensajes simultáneos, donde
una celda en blanco indica la imposibilidad de transmisión entre las centrales. La central de
comunicaciones I necesita determinar cuántos mensajes puede transmitir en forma simultánea a la
sucursal Z.
a) Represente esta situación a través de un grafo.
b) Formule el modelo que permita a la central de comunicaciones resolver este problema.
a) Representación a través de un grafo (0,3 puntos, -0,1 por error)
16
A
30
7
9
v
I
18
19
G
12
D
12
B
10
C
8
16
28
10
7
J
17
Z
-v
E
11
8
19
H
b) El problema corresponde a un problema de flujo máximo
Parámetros y conjuntos
Sea
A = conjunto de arcos de la red.
cij = capacidad máxima de envío de mensajes simultáneos del arco (i, j), (i, j) ∈ A.
Variables de Decisión: (0,2 puntos, -0,1 por error)
Sea
xij = número de mensajes enviados desde el nodo i al nodo j, donde (i, j) ∈ A,
v = Número máximo de mensajes que pueden ser enviados desde el nodo I al nodo Z.
4
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Función objetivo: Maximizar el número de mensajes a enviar desde el nodo I al nodo Z. (0,1 puntos)
Max z = v
Restricciones de balance de flujo en cada nodo:
I) xIA + xIB + xIC = v (0,1 puntos)
Z) xGZ + xHZ + xJZ = v (0,1 puntos)
(0,5 puntos, -0,1 por error)
A) xAB + xAD + xAG - xIA = 0
B) xBC + xBD – xIB – xAB = 0
C) xCE + xCH - xIC – xBC = 0
D) xDE + xDG + xDJ – xAD - xBD = 0
E) xEH + xEJ – xCE – xDE = 0
G) xGZ - xAG – xDG = 0
H) xHZ – xCH – xEH = 0
J) xJZ – xDJ – xEJ = 0
Restricciones de capacidad máxima en los arcos: (0,2 puntos)
xij ≤ cij, ∀ (i, j) ∈ A,
Restricciones no negatividad: (-0,1 si no la coloca)
xij ≥ 0, ∀ (i, j) ∈ A.
4.
(1,0 punto) Cuatro estudiantes comparten el arriendo de
cocina baño dormitorios
una casa. Dado que tienen poco tiempo para realizar la
José
20%
40%
80%
limpieza de ésta, han decidido repartirse el trabajo, buscando Joaquín
40%
60%
30%
maximizar la limpieza total de la casa. Al costado se muestra
Jorge
60%
20%
10%
la matriz con el porcentaje de eficiencia en la limpieza
Jaime
80%
40%
50%
alcanzada por cada estudiante, según cada tipo de área.
Formule el modelo que permita determinar el área de la casa que deberá limpiar cada estudiante
obtener la mejor limpieza posible.
patio
60%
10%
30%
20%
para
Variables de Decisión: (0,2 puntos, -0,1 por error)
xij ∈ {0,1}, donde xij = 1 si el estudiante i es asignado para limpiar el área j; xij = 0 en caso contrario,
i = {1=José, 2=Joaquín, 3=Jorge, 4=Jaime}, j = {1=cocina, 2= baño, 3=dormitorios, 4=patio}.
Función Objetivo: Se desea maximizar el porcentaje de eficiencia obtenido en la limpieza, esto es (02
puntos, -0,1 por error):
Maximizar Z = 20x11 + 40x12 + 80x13 + 60x14 + 40x21 + 60x22 + 30x23 + 10x24 + 60x31 + 20x32 + 10x33
+ 30x34 + 80x41 + 40x42 + 50x43 + 20x44
Restricciones:
Cada una de las áreas debe ser
Cocina)
x11 + x21 + x31
Baño)
x12 + x22 + x32
Dormitorios)
x13 + x23 + x33
Patio)
x14 + x24 + x34
asignada a un solo estudiante, esto es: (0,3 puntos, -0,1 por error)
+ x41 = 1
+ x42 = 1
+ x43 = 1
+ x44 = 1
5
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UNIVERSIDAD DE TALCA
Cada estudiante debe ser asignado a una sola área, esto es: (0,3 puntos, -0,1 por error)
José)
x11 + x12 + x13 + x14 = 1
Joaquín)
x21 + x22 + x23 + x24 = 1
Jorge)
x31 + x32 + x33 + x34 = 1
Jaime)
x41 + x42 + x43 + x44 = 1
Restricción de integralidad: (-0,1 si no la coloca)
xij ∈ {0,1} ∀ ij
6
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Ingeniería Civil Industrial
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Rodrigo Sánchez R.
Fecha: 23 de septiembre de 2010
1.
(0,5 puntos) Explique con sus propias palabras cómo se identifica la solución óptima en el
método gráfico.
2.
(1,0 punto) Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:
Minimizar z = x1 + 3x2
s.a.
x1 + x2 ≥ 2
x1 − 3x2 ≤ 2
x1 − x2 ≤ 3
− x1 + x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0
a)
Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando
claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
b)
En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la
posición que corresponda el valor óptimo y la solución óptima.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
__________
VARIABLE
________
________
3.
VALUE
__________
__________
REDUCED COST
__________
__________
(1,5 puntos) Una empresa que se dedica al
Cargamento Peso (toneladas) Espacio (m3)
transporte aéreo de carga, cuenta con un avión
Frontal
5
1.000
que tiene tres compartimientos: frontal, central y
Central
15
9.000
Posterior
8
6.000
posterior. Las capacidades en peso y espacio de
cada compartimiento se presentan en la tabla al costado. Por razones técnicas, el peso de la
carga en los diferentes compartimientos debe mantenerse bajo la misma proporción a la
capacidad medida en peso de los compartimientos.
Se recibieron cuatro cargamentos y puede aceptarse transportar cualquier porción de éstos en
el avión. La información relevante sobre cada cargamento se muestra a seguir:
Cargamento
1
2
3
4
Peso Total
del Cargamento (toneladas)
10
12
8
14
Volumen Total
del Cargamento (m3)
1.000
3.000
2.000
7.000
Utilidad
(pesos/tonelada)
250
400
300
500
Formule el modelo que permita a la empresa planificar el transporte de los cargamentos en
cada uno de los compartimientos.
4. (1,5 puntos) Un empresario tiene $2.200 para invertir durante los siguientes 5 años. Al
principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 o 2 años. El banco
paga un 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y en depósitos a plazo fijo de dos
años paga un 17% al final del segundo año. Además, dentro de dos años más (inicio del
segundo año), la Compañía West World ofrecerá acciones a tres años. Estas acciones tendrán
un rendimiento al final del tercer año de 27%. Si el empresario reinvierte su dinero disponible
en cada año, formule el modelo que le permita maximizar su ganancia total al final del quinto
año.
5.
(1,5 puntos) Para el próximo mes, una empresa manufacturera
ha obtenido pedidos correspondientes a sus dos principales
productos (A y B), por más de 200 unidades de A y de 300
unidades de B.
Ambos productos son fabricados en dos etapas de operación, la
primera de las cuales es realizada en el centro 1 y la segunda
Etapa 1
Etapa 2
Centro 2
Centro 1
1
Centro 3
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Ingeniería Civil Industrial
etapa puede ser realizada en cualquiera de los centros 2 o 3 (ver figura al costado).
Los tiempos de proceso (en horas) por cada unidad de producto en cada centro se presentan
en la siguiente tabla:
Producto
A
B
Tiempo de Proceso (en horas)
Centro 1 Centro 2 Centro 3
2
4
10
4
7
12
Para el próximo mes, se cuenta con 1.700 horas de proceso en el centro 1, con 1.000 horas de
proceso en el centro 2 y con 3.000 horas de proceso en el centro 3. Además, en el centro 2 es
posible operar un máximo de 500 horas adicionales de tiempo extra.
Los costos unitarios de operación por cada hora de proceso son de $3, $3 y $2 en los centros
1, 2 y 3, respectivamente, y de $4,5 por hora de tiempo extra en el centro 2.
Formule el modelo que permita a la empresa determinar cómo producir las unidades requeridas
de A y B para el próximo mes, al mínimo costo total de fabricación.
SOLUCIONES PARA LOS EJERCICIOS DE LA PRUEBA Nº 1
PROBLEMA 2 (1,0 puntos)
a. (0,7 puntos)
Sujeto a
La representación geométrica del problema aparece en la siguiente figura, en la cual se hace claro
que cuando un problema posee una región factible, su solución no tiene que ser del tipo ilimitado.
De hecho, en este problema en particular, la dirección de mejoría es hacia abajo, por lo que se
obtiene una solución óptima finita y única, la cual es:
FOTO DE LA REGIÓN FACTIBLE
b. 0,3 puntos
PROBLEMA 3 (1,5 puntos)
Variables de decisión
= toneladas del cargamento i transportadas en el compartimiento j (0,3 puntos)
Donde
i=1, 2, 3, 4 y j= 1(Frontal), 2(Central), 3(Posterior)
Función Objetivo
puntos)
(0,3
Restricciones estructurales
a. Capacidad de peso (0,15 puntos)
2
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b.
Capacidad de espacio (0,15 puntos)
c.
Carga disponible (0,3 puntos)
d.
Proporción del peso en los comportamientos (0,3 puntos)
Ingeniería Civil Industrial
Condiciones técnicas
PROBLEMA 4 (1,5 puntos)
Año 1
0
A0
B0
Año 2
1
A1
B1
Año 3
2
A2
B2
C2
Año 4
3
A3
B3
Año 5
4
A4
5
a. Definición de variables (0,2 puntos)
Sea
= monto invertido en el periodo
,
en depósitos a plazo fijo de 1 año.
= monto invertido en el periodo j, j
, en depósitos a plazo fijo a 2 años.
= monto invertido en acciones j, j
= monto no invertido en el periodo
, en depósitos a plazo fijo a 2 años.
,
.
b. F.O. Maximizar la ganancia al final del quinto año.
(0,2 puntos)
3
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c. Restricciones
Capital disponible cada año
Inicio del año 1)
Inicio del año 2)
Inicio del año 3)
Inicio del año 4)
Inicio del año 5)
Ingeniería Civil Industrial
(0,2 puntos)
(0,2 puntos)
(0,2 puntos)
(0,2 puntos)
(0,2 puntos)
d. Restricción de no negatividad (0,1 puntos)
e.
PROBLEMA 5 (1,5 puntos)
a. Definición de variables
=número de productos
puntos)
,
, a producir en tiempo normal en el centro
(0,2
=número de productos
,
, a producir en tiempo extra en el centro 2. (0,2 puntos)
b. Función objetivo: Minimizar los costos totales de producción.
Todos los productos deben pasar por el centro 1 antes de pasar por el centro 2 ó 3. De esta forma,
en el costo de proceso de cada unidad producida se debe sumar su respectivo costo de proceso en
el centro 1.
Costos para productos A:
‐
En centro 2 en tiempo normal: 2*3+4*3=18
‐
En centro 2 en tiempo extra: 2*3+4*4,5=24
‐
En centro 3 en tiempo normal: 2*3+10*2=26
Costos para productos B:
‐
En centro 2 en tiempo normal: 4*3+7*3=33
‐
En centro 2 en tiempo extra: 4*3+7*4,5=43,5
‐
En centro 3 en tiempo normal: 4*3+12*2=36
Luego, la función objetivo se expresa de la siguiente manera:
(0,3 puntos)
c.
Restricciones
‐
Horas de proceso disponibles en Centro 1:
‐
Horas de proceso disponibles en Centro 2 en tiempo normal:
(0,1 puntos)
Horas de proceso disponibles en Centro 2 en tiempo extra:
‐
Horas de proceso disponibles en Centro 3:
‐
Cantidad de productos demandados de A:
‐
Cantidad de productos demandados de B:
‐
(0,1 puntos)
(0,2 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
d. Restricciones de no negatividad (0,1 puntos)
4
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
Nota: _______________
Fecha: 05 de septiembre de 2012
1. (1,5 puntos) La compañía aérea Todorumbo ha conseguido un permiso para realizar vuelos entre Santiago, Arica e
intermedios. Para ello, debe comprar aviones con turborreactores con los que cubrirá los vuelos entre Santiago y Arica y
aviones de hélice con los que cubrirá los vuelos intermedios. El presupuesto de compra es de 2.800 millones de pesos.
Las características de los aparatos se pueden encontrar en la tabla a continuación:
Tipo de Aparato
Avión Turbo
Avión Hélice
Costo
(Millones de pesos)
300
100
Mantenimiento
(Pesos/día)
120.000
60.000
Piloto
Copiloto
Azafata
2
1
1
1
4
1
Capacidad
(pasajeros/mes)
4.000
300
Se puede contratar hasta 10 pilotos y 16 azafatas, y se espera emplear al menos 3 copilotos. El tráfico entre Santiago y
Arica se estima en al menos 12.000 pasajeros por mes, mientras que los vuelos con intermedios tienen una estimación
de demanda de al menos 900 pasajeros por mes. La empresa pretende atender la demanda de sus clientes. El permiso
aéreo tiene cierta exigencia respecto al máximo de aparatos a comprar, el cual no puede ser mayor a 10 aviones
(cualquiera sea el tipo de avión).
a) Formule un modelo que permita a la compañía planificar la compra de aviones, de manera de minimizar los costos
diarios de mantenimiento de los aviones.
b) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico
cada restricción, la función objetivo y la región factible.
2. (1,5 puntos) Una empresa manufacturera de papeles debe surtir un pedido consistente en 800 rollos de papel de 30
cms. de ancho, 500 rollos de papel de 45 cms. de ancho y 1.000 rollos de papel de 56 cms. de ancho. En este
momento, la empresa cuenta solamente con rollos de 108 cms. de ancho y debe decidir cómo cortarlos para surtir el
pedido con un mínimo desperdicio de papel. Formule el modelo que permita a la empresa manufacturera de papeles
minimizar las pérdidas por corte.
3. (1,5 puntos) Una empresa manufactura perfiles de acero para la
Taller (metros/hora)
Perfil
industria de la construcción en cuatro tamaños: pequeño,
A
B
C
mediano, grande y extragrande. Estos perfiles pueden producirse
Pequeño
100
200
250
en cualquiera de los tres talleres disponibles: A, B y C. En la
Mediano
85
140
230
tabla al costado se presentan los metros de perfil que pueden
Grande
70
120
200
producirse por hora en cada taller.
Extragrande
35
70
100
Se sabe que en cada taller sólo puede utilizarse a lo más 50
Costo de Operación ($/hora) 210
350
560
horas por semana y se requieren mensualmente 14.000, 10.400,
8.000 y 12.000 metros de cada perfil, respectivamente. Formule el modelo que permita a la empresa determinar el plan
de producción mensual de los perfiles, asumiendo que un mes tiene cuatro semanas.
4.
(1,5 puntos) En una compañía minera
Composición (% de elemento por tonelada de concentrado)
se estudia la posibilidad de comprar
Molino
Costo
concentrados de mineral de plomo
Plomo
Plata
Escoria
($/tonelada)
para los hornos de sinterización, los
1
65
15
20
50.000
cuales requieren de 1.000 toneladas
2
70
10
20
40.000
diarias de concentrado. A la cama de
3
70
20
10
70.000
material sinterizado se le debe
4
90
5
5
65.000
alimentar por lo menos 70% de plomo,
15% de escoria y 15% de plata. La empresa tiene como posibles proveedores a cuatro molinos, los cuales
proporcionaron la información de la tabla de arriba. Formule el modelo que permita a la compañía minera establecer el
plan de compra de concentrado de plomo, de manera de garantizar la carga diaria de los hornos de sinterización.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las respuestas completas. No
se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de forma sobre la prueba se deben hacer desde
su puesto de trabajo (sin levantarse).
1
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 1 (1.5 punto)
a)
Formule un modelo que permita a la compañía planificar la compra de aviones, de manera de minimizar los costos
diarios de mantenimiento de los aviones. (Total 0,9 Puntos)
1)
Definición de Variables (0,1 puntos)
Sea
2)
: cantidad de aviones del tipo i a ser comprados, donde i = {1: Avión Turbo, 2: Avión Hélice}
Función Objetivo (0,1 puntos)
Minimizar costos diarios de mantenimiento de los aviones.
3)
Restricciones
Contratación de Pilotos)
Contratación de Copilotos)
Contratación de Azafatas)
Presupuesto)
Viajes Largos)
Viajes Intermedios)
Exigencia de Compra)
4)
b)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
(0,1 puntos)
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca)
Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico
cada restricción, la función objetivo y la región factible. (0,5 puntos, -0,1 puntos por cada ítem que falte: deben
estar todas las restricciones, FO e identificación de la región factible)
(0,5 Puntos)
Solución óptima: 3 Aviones Turbo y 3 Aviones Hélice (0,2 puntos); valor óptimo: $ 540.000 (0,1 puntos)
2
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 2 (1.5 punto)
Descripción de Patrones Factibles a partir del Rollo de 108 cms. (0,4 puntos)
Tipo de Rollo
Rollos de 30 cm
Rollos de 45 cm
Rollos de 56 cm
Pérdida
1)
Patrón 1
3
0
0
18
Patrón 2
2
1
0
3
Patrón 3
1
0
1
22
Patrón 4
0
2
0
18
Patrón 5
0
1
1
7
Definición de Variables (0,3 puntos)
Sea : cantidad de rollos de 108 centímetros que se cortan siguiendo el patrón de corte i, siendo i = 1, …, 5,
siguiendo la numeración de los patrones de la tabla de arriba.
2)
Función Objetivo (0,2 puntos)
Minimizar pérdidas por corte
3)
Restricciones (0,6 puntos, 0,2 por cada una)
Rollos 30 cms)
Rollos 45 cms)
Rollos 56 cms)
4)
Restricción de no negatividad (- 0,1 puntos por no colocarla)
, i = 1,…, 5
3
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 3 (1.5 punto)
1)
Definición de Variables (0,2 puntos)
Sea : Metros de acero de perfil i, i= {1=Pequeño, 2=Mediano, 3=Grande, 4=Extragrande}, que se producen en el
taller j, j={1=A, 2=B, 3=C}.
2)
Función Objetivo (0,3 puntos)
Minimizar el costo de operación de la empresa manufacturera
Min z =
3)
x
x
x
x
x ⎞
x
x ⎞
x
x ⎞
⎛x
⎛ x
⎛ x
210⎜ 11 + 21 + 31 + 41 ⎟ + 350⎜ 12 + 22 + 32 + 42 ⎟ + 560⎜ 13 + 23 + 33 + 43 ⎟
⎝ 100 85 70 35 ⎠
⎝ 200 140 120 70 ⎠
⎝ 250 230 200 100 ⎠
Restricciones
a)
Capacidad en horas disponibles en cada taller (0,6 puntos, 0,2 por cada una)
Taller A)
x11 x21 x31 x41
+
+
+
≤ 50
100 85 70 35
Taller B)
x12 x22 x32 x42
+
+
+
≤ 50
200 140 120 70
Taller C)
x13
x
x
x
+ 23 + 33 + 43 ≤ 50
250 230 200 100
Demanda de metros de perfil (0,4 puntos, 0,1 por cada restricción)
Perfil pequeño)
x11 + x12 + x13 ≥ 14.000
x21 + x22 + x23 ≥ 10.400
Perfil grande)
x31 + x32 + x33 ≥ 8.000
Perfil extra grande) x41 + x42 + x43 ≥ 12.000
Perfil mediano)
4) Restricción de no negatividad (-0,1 puntos por no colocarla)
4
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Problema 4 (1.5 punto)
1)
Definición de Variables (0,2 puntos)
Molino
Sea
: toneladas diarias de
concentrado de mineral de plomo
comprado al molino i para el pedido
de la compañía minera, donde i =
{1= Molino 1, 2= Molino 2, 3=
Molino 3, 4= Molino 4}.
1
2
3
4
Composición (% de elemento por tonelada de concentrado)
Costo
Plomo
Plata
Escoria
($/tonelada)
65
15
20
50.000
70
10
20
40.000
70
20
10
70.000
90
5
5
65.000
los cuales requieren de 1.000 toneladas diarias de concentrado. A la cama de material sinterizado se le debe
alimentar por lo menos 70% de plomo, 15% de escoria y 15% de plata.
2)
Función Objetivo (0,2 puntos)
Minimizar costos del pedido solicitado
3)
Restricciones (1,1 puntos)
Plomo)
Plata)
Escoria)
Requerimiento)
(0,3 puntos)
(0,3 puntos)
(0,3 puntos)
(0,2 puntos)
4)
Restricción de no negatividad (-0,1 puntos si no la coloca)
, i = 1, 2, 3, 4
5)
Formulación Matemática
s.a
Plomo)
Plata)
Escoria)
Requerimiento)
, i = 1, 2, 3, 4
5
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Nota: _______________
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Gustavo Verdugo V.
1.
Fecha: 06 de mayo de 2010
(1,0 punto) Presente un ejemplo en el cual no se cumpla el supuesto de:
a) Proporcionalidad
b) Aditividad
2.
(1,5 puntos) Una empresa
TABLA 1. INFORMACIÓN SOBRE EL SISTEMA PRODUCTIVO
se dedica a la fabricación de
Indice de Producción (unidades/hora)
artículos de peltre para uso
Sección
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Capacidad
casero, con una oferta de
(horas/mes)
cuatro productos (1, 2, 3 y 4, Cortado
25
6
20
10
400
respectivamente). El sistema Troquelado
14
8
20
10
380
17
9
33
8
490
de manufactura se divide en Esmaltado
20
4
---8
450
cinco
etapas:
cortado, Acabado
50
13
50
20
400
troquelado,
esmaltado, Empacado
acabado y empacado. En la tabla de arriba se presenta la tabla con la información relevante del sistema
productivo, mientras que abajo se presenta la información relevante de cada producto, donde (----)
significa que no hay producción en esa sección.
TABLA 2. INFORMACIÓN SOBRE CADA PRODUCTO
Demanda Mensual (unidades)
Producto 1
Precio de Venta ($/unidad)
Costo de Producción ($/unidad)
Mínima
Máxima
1
100
50
500
5.000
2
300
200
750
6.000
3
160
100
650
8.000
4
250
150
0
3.500
2
Además, se sabe que en el siguiente mes sólo se dispondrá de 1.200 m de la lámina que consumen los
productos 1 y 2. El producto 1 requiere de 0,50 m2 de esta lámina por unidad y el producto 2 requiere
0,80 m2 por unidad.
Formule el modelo que permita a la empresa planificar las unidades de productos a fabricar el próximo
mes.
3.
(1,5 puntos) Una empresa dispone de $30 millones para distribuirlos el próximo año entre sus tres
sucursales (sucursal 1, sucursal 2 y sucursal 3). Debido a compromisos de la estabilidad del nivel de
empleados y por otras razones, la empresa ha establecido un nivel mínimo de fondos para cada sucursal.
Estos fondos mínimos son de $3, $5 y $8 millones, respectivamente. Debido a la naturaleza de su
operación, la sucursal 2 no puede utilizar más de $17 millones sin una expansión de capital grande, por
lo que la empresa ha colocado dicho valor como límite. Por otro lado, la inversión realizada en la sucursal
1 debe ser a lo más un 70% del monto invertido en la sucursal 3 y la inversión realizada en el sucursal 3
debe ser a lo menos un 15% de los fondos invertidos en la sucursal 2.
Cada sucursal tiene la oportunidad
dirigir distintos proyectos con los
fondos que recibe. Para cada
proyecto se ha establecido una
tasa de ganancia (como un % de la
inversión).
Además,
algunos
proyectos
permiten
sólo
una
inversión limitada. En la tabla al
lado se presentan los datos de
cada proyecto.
Sucursal
1
2
3
Proyecto
1
2
3
4
5
6
7
8
Tasa de Ganancia (%)
8%
6%
7%
5%
8%
9%
10%
6%
Límite Superior de Inversión
6
5
9
7
10
4
6
3
Formule el modelo que permita a la empresa establecer los montos a invertir en cada sucursal.
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
4.
Ingeniería Civil Industrial
(2,0 puntos) Una empresa de selección de personal realiza dos actividades principales: reclutamiento
de candidatos y asignación de los candidatos a un puesto de trabajo. El reclutamiento es una actividad
que no da ingresos, sino que involucra un costo de $15 por candidato reclutado, mientras que la
asignación de los candidatos a un empleo genera un ingreso de $10 por candidato asignado. La empresa
desea garantizar un lucro mínimo por día de $75.
El director de la empresa dedica un máximo de una hora y quince minutos por día al control de las
asignaciones, de manera de garantizar la calidad de éstas. Con este propósito, se dedica al conocimiento
de cada candidato reclutado a través de una entrevista de 5 minutos y mantiene un contacto diario de 5
minutos con cada candidato asignado a un empleo.
Mientras mayor sea el número de reclutados por día, mayor es el riesgo de que fracase su asignación
posterior a un empleo, pues puede haber menor cuidado en esta actividad. Se puede afirmar que el
riesgo aumenta de forma directamente proporcional al número de reclutamientos. Por otro lado, mientras
mayor sea el número de candidatos asignados, menor será el riesgo de fracaso, ya que, en esta
actividad, el factor experiencia permite aumentar la eficacia de la evaluación en relación a la aptitud de
los candidatos para un puesto de trabajo. Esta relación es, por lo tanto, inversamente proporcional al
riesgo, y se puede afirmar que cada candidato asignado contribuye dos veces para la disminución del
riesgo de fracaso del proceso.
a) Formule el modelo que permita a la empresa de selección determinar el número de reclutamientos y
asignación de candidatos, de manera de minimizar el riesgo del proceso.
b) Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente
en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
c) Según el análisis gráfico ¿cuál es el riesgo esperado y cuántos reclutamientos y asignaciones
debieran ser realizadas?
d) En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la posición
respectiva el valor óptimo y la solución óptima, colocando, además, el nombre de las variables que
usted definió en el espacio respectivo para este fin. Es importante notar que no es necesario llenar
todos los espacios en blanco.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
__________
VARIABLE
________
________
VALUE
__________
__________
REDUCED COST
__________
__________
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las respuestas
completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de forma sobre la
prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
DESARROLLO:
PAUTA PRUEBA Nº 1
Problema 1. (1,0 Puntos)
a) (0,5 Puntos) Ver ejemplo y asignar puntajes.
Proporcionalidad: El valor de cada variable, x1,x2,…,xn debe ser directamente proporcional en la función
objetivo y uso de los recursos, o sea que las variaciones de las variables deben afectar en forma
proporcional a la función objetivo y al conjunto de restricciones.
b) (0,5 Puntos) Ver ejemplo y asignar puntajes.
Aditividad: Requiere que la función objetivo sea la suma directa de las contribuciones de cada variable y
las restricciones deben ser la suma de los usos individuales de cada variable del recurso correspondiente.
Como ejemplo podemos mencionar dos productos que compiten en el mercado, si el aumento en la venta
de uno de ellos hace que la venta del otro sea menor, entonces ambos productos no satisfacen la
condición de aditividad.
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
Problema 2. (1,5 Puntos)
(0,2 Puntos) Las variables de decisión para este problema son las siguientes:
xi = unidades del producto i a fabricar el próximo mes. Donde i = 1,2,3,4.
(0,2 Puntos) La función objetivo del problema corresponde a obtener los niveles de producción de los
diferentes artículos que ayuden a maximizar las ventas y minimizar los costos (maximizar la utilidad total).
LA función objetivo es la siguiente:
Maximizar Z = (100 – 50)x1 + (300 – 200)x2 + (160 – 100)x3 + (250 – 150)x4
Maximizar Z = 50x1 + 100x2 + 60x3 + 100x4
Se identifican restricciones de capacidad, mercado y entradas, esto es:
a) (0,5 Puntos) Capacidad de producción para cada una de las secciones:
(Cortado)
(Troquelado)
(Esmaltado)
(Acabado)
(Empacado)
(1/25)x1 + (1/6)x2 + (1/20)x3 + (1/10)x4 ≤ 400
(1/14)x1 + (1/8)x2 + (1/20)x3 + (1/10)x4 ≤ 380
(1/17)x1 + (1/9)x2 + (1/33)x3 + (1/8)x4 ≤ 490
(1/20)x1 + (1/4)x2 +
(1/8)x4 ≤ 450
(1/50)x1 + (1/13)x2 + (1/50)x3 + (1/20)x4 ≤ 400
b) (0,4 Puntos) Demanda mensual:
500 ≤ x1 ≤ 5000
750 ≤ x2 ≤ 6000
650 ≤ x3 ≤ 8000
0 ≤ x4 ≤ 3500
c) (0,1 Puntos) Disponibilidad de materias primas:
0,50x1 + 0,80x2 ≤ 1200
d) (0,1 Puntos) Restricción de no negatividad:
xi ≥ 0, i = 1,2,3,4.
Problema 3. (1,5 Puntos)
(0,2 Puntos) Las variables de decisión para este problema son las siguientes:
xij = Cantidad que invierte la sucursal i en el proyecto j.
(0,2 Puntos) La función objetivo corresponde a maximizar los retornos de la inversión, esto es:
Maximizar Z = 0,08x11 + 0,06x12 + 0,07x13 + 0,05x24 + 0,08x25 + 0,09x26 + 0,10x37 + 0,06x38
Las restricciones del problema son las siguientes:
a) (0,1 Punto) Cantidad disponible:
x11 + x12 + x13 + x24 + x25 + x26 + x37 + x38 ≤ 30
b) (0,3 Puntos) Existen fondos mínimos que se deben invertir:
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Ingeniería Civil Industrial
x11 + x12 + x13 ≥ 3
x24 + x25 + x26 ≥ 5
x37 + x38 ≥ 8
c) (0,1 Punto) Existen montos máximos para invertir:
x24 + x25 + x26 ≤ 17
d) (0,2 Puntos) Existe un porcentaje máximo y mínimo de inversión en la sucursal 1 y 3
respectivamente, esto es:
x11 + x12 + x13 ≤ 0,7(x37 + x38)
x37 + x38 ≥ 0,15(x24 + x25 + x26)
e) (0,3 Puntos) Existen límites superiores de inversión:
x11 ≤ 6
x25 ≤ 10
f)
x12 ≤ 5
x26 ≤ 4
x13 ≤ 9
x37 ≤ 6
x24 ≤ 7
x38 ≤ 3
(0,1 Punto) Restricción de no negatividad:
xij ≥ 0
i = 1,2,3
j = 4,5,6,7,8
Problema 4. (2,0 Puntos)
A continuación se da la solución para cada una de las preguntas:
a) El modelo que permite a la empresa de selección determinar el número de reclutamientos y
asignación de candidatos es la siguiente:
(0,2 Puntos) Variables de decisión:
x1 = número de asignaciones realizadas para el empleo, por día.
x2 = número de reclutamientos para un empleo, por día.
(0,3 Puntos) Se desea minimizar el riesgo del proceso, esto es:
Minimizar Z = x1 – 2x2
Sujeto a las siguientes restricciones:
(0,2 Puntos) – 15x1 + 10x2 ≥ 75
(0,1 Punto)
5x1 + 5x2 ≤ 75
(0,1 Punto)
x1, x2 ≥ 0
b) (0,5 Puntos) A continuación se resuelve la formulación anterior a través de análisis gráfico.
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Ingeniería Civil Industrial
c) (0,3 Puntos) Según el gráfico el riesgo mínimo esperado es Z = –30, esto quiere decir que la forma
menos arriesgada de reclutamiento es considerada bastante segura, dado el valor negativo de la
función de riesgo. Esta solución óptima se obtiene con x1 = 0 reclutados y x2 = 15 asignados.
d) (0,3 Puntos)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
– 30
.
VARIABLE VALUE
x1
x2
0
15
.
.
PAUTA PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Profesora: Marcela González A.
Profesor Auxiliar: Rodrigo Vergara C.
Fecha: 20 de abril de 2009
1.
(1,2 puntos) Una empresa de extrusión fabrica ensaladeras y recipientes de acero
inoxidable. En el proceso de fabricación utiliza como materia prima láminas de acero de
tamaño único. Con cada lámina se puede fabricar: (i) una ensaladera y dos recipientes, o (ii)
sólo seis recipientes. La empresa vende cada ensaladera a $800 y cada recipiente a $200.
Además, cada lámina de acero cuesta $60.
Se sabe por experiencia que no es posible vender más que cuatro recipientes por cada
ensaladera. El número total de láminas de acero disponibles es de 680. Formule el modelo
que permita a la empresa planificar la producción para maximizar su ganancia.
2.
(2,0 puntos) Un entrenador Jugador Posición Asistencia Lanzamiento Rebote Defensa
está tratando de definir su
1
D
3
3
1
3
equipo de basketball, donde
2
C
2
1
3
2
3
D-A
2
3
2
2
tiene la posibilidad de escoger
4
A-C
1
3
3
1
entre 7 jugadores clasificados
5
D-A
3
3
3
3
de acuerdo a sus habilidades
6
A-C
3
1
2
3
en asistencia, lanzamiento,
7
D-A
3
2
2
1
rebote y defensa. La escala de
clasificación parte desde 1 = excelente, hasta 3 = malo.
La tabla arriba muestra la posición (D: defensa; C: centro; A: ataque) en que cada jugador
puede jugar y su respectiva clasificación según las habilidades citadas.
Los 5 jugadores que integrarán el equipo deben atender a las siguientes restricciones:
− Al menos 3 jugadores deben ser capaces de jugar en la defensa (D) y por lo menos 2
deben ser capaces de jugar en el ataque (A).
− El promedio del equipo en rebote debe ser por lo menos 2.
− Si el jugador 1 juega, entonces los jugadores 4 y 5 también deben estar en el equipo.
− Si los jugadores 3 y 4 están en el equipo, el jugador 2 no podría estar en el equipo.
Formule el modelo que permita al entrenador seleccionar los jugadores que maximicen la
puntuación acumulada en la habilidad de lanzamiento.
3.
(1,4 puntos) Una empresa recién formada produce sólo tres productos: mesas, camas y
sillas. La producción de cada uno de estos productos requiere que se tenga disponible el tipo
de maquinaria adecuada, por lo cual, si se
2
fabrica un dado producto, se debe Tipo de producto Mano de obra (hrs) Madera (m )
Mesa
2
4
arrendar la respectiva maquinaria. El
Cama
3
5
arriendo de la maquinaria para hacer
Silla
2
2
mesas cuesta $220 por semana, el
arriendo de la maquinaria para hacer camas cuesta $145 por semana y el arriendo de la
maquinaria para hacer sillas, $100 por semana.
Además, se necesita una cierta cantidad de madera y mano de obra para realizar los
productos, cuyos requerimientos por producto se pueden ver en la tabla de arriba.
Cada semana están disponibles 157
horas de mano de obra y 170 m2 de
madera. El costo variable unitario y
el precio de venta de cada producto
se muestran en la tabla al lado.
Tipo de producto
Mesa
Cama
Silla
Precio de venta ($)
10
9
12
Costo variable ($)
5
4
7
Formule el modelo que permita maximizar la utilidad semanal de la empresa.
4.
(1,4 puntos) Un agricultor debe determinar la cantidad de trigo y maíz a plantar este año.
Se sabe que una hectárea de trigo puede rendir 25 quintales por año y requiere de un capital
inicial de $40 por hectárea. De la misma manera, una hectárea de maíz puede rendir 40
quintales al año y requiere de un capital inicial de $30 por hectárea. El agricultor tiene 70
hectáreas para cultivo y un capital para invertir de $2.400. Se sabe, además, que la
necesidad de riego por hectárea en el mes de octubre para el maíz es de 900 m3 y para el
trigo es de 600 m3. En el mes de noviembre, la necesidad de riego por hectárea es de 1.200
m3 para el maíz y de 800 m3 para el trigo. La disponibilidad de agua en octubre es de 54.000
m3 y en noviembre, de 96.000 m3. En los demás meses no hay restricciones en la
disponibilidad de agua. El precio de venta del maíz es de $5 por quintal y el precio del trigo
es de $6 por quintal.
a) Formule el modelo que permita al agricultor maximizar su ingreso anual.
b) Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando
claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
c)
¿Cuál es el ingreso anual que el agricultor podría obtener por la venta de sus cultivos y
cuáles serían estos cultivos?
d) En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la
posición respectiva el valor óptimo y la solución óptima, colocando, además, el nombre
de las variables que usted definió en el espacio respectivo para este fin. Es importante
notar que no es necesario llenar todos los espacios en blanco.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
__________
VARIABLE
________
________
ROW
2)
3)
4)
5)
VALUE
REDUCED COST
__________
__________
SLACK OR SURPLUS
_________
_________
_________
_________
__________
__________
DUAL PRICES
________
________
________
________
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
Respuestas
Pregunta 1
Variables de decisión (0.3 ptos)
x: N° láminas usadas para el tipo de corte 1
y: N° láminas usadas para el tipo de corte 2
Función objetivo (0.3 ptos)
max{800 x + 200(6 y + 2 x) − 60( x + y )}
Restricciones
•
No más de 4 recipientes por ensaladera: 6y +2x ≤ 4x (0.3 ptos)
•
El número total de láminas de acero disponible: x + y ≤ 680 (0.2 ptos)
•
No negatividad: x, y ≥0 (0.1 ptos)
Pregunta 2
⎧1, si el jugador i está en el equipo
xi = ⎨
⎩0, en caso contrario
(0.2 pts)
Función objetivo
max z = {( 13 ) x1 + (1) x2 + ( 13 ) x3 + ( 13 ) x4 + ( 13 ) x5 + (1) x6 + ( 12 ) x7 }
(0.3 ptos)
Restricciones
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 5 (0.2 ptos)
Al menos 3 deben ser capaces de jugar a la defensa: x1 + x3 + x5 + x7 ≥ 3 (0.2 ptos)
Al menos 2 jugadores deben jugar al ataque: x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 2 (0.2 ptos)
Sólo 5 jugadores en el equipo:
El promedio del equipo en rebote debe ser al menos 2: (0.2 ptos)
x1 + 3x2 + 2 x3 + 3 x4 + 3x5 + 2 x6 + 2 x7 ≥ 10
Si el jugador 1 juega, entonces el 4 y 5 también (0.4 ptos)
x 4 + x5 − 2 x1 ≥ 0
Si los jugadores 3 y 4 están en el equipo, el jugador 2 no podría estar en el equipo: (0.3 ptos)
x 2 + x3 + x 4 ≤ 2
Variables binarias x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 ∈ {0,1}; y ∈ {0,1}.
Pregunta 3
Definición de variables:
X1 = Cantidad de mesas a fabricada
X2 = Cantidad de camas a fabricar
X3 = Cantidad de sillas a fabricar (0,1 pts)
1 si se fabrican mesas
Y1
0 si no sucede así
1 si se fabrican camas
Y2
0 si no sucede así
1 si se fabrican sillas
Y3
0 si no sucede así
(0,2 pts)
Función objetivo: (0,2 pts)
Utilidades de la semana = (10X1 + 9X2 + 12X3) - (5X1 + 4X2 + 7X3) - ( 220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
Máx z = 5X1 + 5X2 + 5X3 – (220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
Restricciones:
(0,1 pts) Restricción 1 Cada semana están disponibles 157 horas de mano de obra:
R1) 2X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 157
(0,1 pts) Restricción 2 Cada semana están disponibles 170 m2 de madera:
R2) 4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 170
(0,2 pts cada una) Restricción 3)4)5) Si se produce una cantidad Xi , es decir Xi > 0
entonces Yi = 1, definiendo M1, M2, M3 como números positivos muy grandes, tenemos las
siguientes restricciones:
R3) X1≤ M1Y1
R4) X2≤ M2Y2
R5) X3≤ M3Y3
(0,1 pts) Restricción 6)7) Restricción de no negatividad
R6) X1, X2, X3 ≥ 0; X1, X2, X3 enteros
R7) Y1,Y2,Y3 = 0 ò 1
Modelo completo para maximizar la utilidad de la empresa.
Máx. z = 5X1 + 5X2 + 5X3 – (220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
s.a
2X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 157
4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 170
X1≤ M1Y1
X2≤ M2Y2
X3≤ M3Y3
X1, X2, X3 ≥ 0; X1, X2, X3 enteros
Y1,Y2,Y3 = 0 ò 1
Pregunta 4
a) Formulación (0,1 puntos por cada ecuación) = 0,5 puntos
Max 150 x1 + 200 x2
sa
R1) x1 + x2 <= 70
R2) 40 x1 + 30 x2 <= 2400
R3) 600 x1 + 900 x2 <= 54000
R4) 800 x1 + 1200 x2 <= 96000
b) Solución gráfica (0,1 puntos menos por cada ecuación mal dibujada) = 0,3 puntos
Región Factible 0.1 puntos
c) Solución óptima y valor óptimo (0.2 puntos)
d) LP OPTIMUM FOUND AT STEP
1 (0,1 puntos por cada valo) = 0.3 puntos
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
VARIABLE
X1
X2
ROW
12500.00
VALUE
30.000000
40.000000
REDUCED COST
0.000000
0.000000
SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
R1)
R2)
R3)
R4)
0.000000
0.000000
0.000000
24000.000000
NO. ITERATIONS=
1
0.000000
0.833333
0.194444
0.000000
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
PRUEBA Nº 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
Nombre: _____________________________________________
Profesora: Marcela González A.
1.
Nota: _______________
Fecha: 14 de abril de 2011
(0,5 puntos) Mencione los parámetros involucrados en un modelo de Programación Lineal e identifique
el nombre de cada uno de ellos.
2. (1,5 puntos) Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min Z = 2 x1 + 3 x 2
s.a.
− 2 x1 + x 2 ≤ 4
x1 + 2 x 2 ≥ 6
2 x1 − x 2 ≤ 7
3x2 ≤ k
x1 , x 2 ≥ 0
a)
Encuentre el menor valor de k, para que exista una región factible acotada y determine la solución
óptima y el valor óptimo.
b)
Si k=9, ¿cual es la solución óptima y el valor óptimo?
c)
En el informe generado por LINDO para la resolución del modelo con k=9, coloque en la posición
que corresponda el valor óptimo y la solución óptima.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
__________
VARIABLE
VALUE
________
________
3.
__________
__________
REDUCED COST
__________
__________
(2,0 puntos) La empresa Market Survey se especializa en evaluar la reacción de los consumidores
frente a nuevos productos, servicios y campañas publicitarias. Una empresa de limpieza la ha contratado
para estimar el impacto del lanzamiento de su nuevo producto en el mercado local. Para hacer este
estudio, Market Survey deberá realizar 1000 encuestas, tanto a familias con hijos, como sin hijos.
Además, las encuestas pueden ser hechas, ya sea en la mañana, o en la tarde. El contrato firmado con la
empresa cliente establece las siguientes condiciones:
−
−
−
Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias con hijos.
Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias sin hijos.
El número total de familias encuestadas durante la tarde debe ser por lo menos igual al número total
de familias encuestadas durante la mañana.
− A lo menos el 40% de las encuestas a familias con
Costo por Encuesta
hijos deben ser hechas durante la tarde.
Tipo de Familia
Mañana
Tarde
− A lo menos el 60% de las encuestas a familias sin
Con hijos
$20
$25
hijos deben ser hechas durante la tarde.
Sin hijos
$18
$20
− El número de familias sin hijos encuestadas durante
la tarde debe ser a lo más el 80% del número total de familias encuestadas durante la mañana.
El costo de cada encuesta según el tipo de familia y hora del día en que ésta es realizada se muestra en
la tabla al costado.
Formule el modelo que permita a Market Survey cumplir con los requerimientos establecidos con la
empresa cliente al mínimo costo posible.
4.
(2,0 puntos) Un gerente de producción de una planta química está definiendo los turnos a asignar a sus
trabajadores. Cada día de trabajo se ha dividido en tres turnos de 8 horas (00:01 – 08:00, 08:01 –
16:00, 16:01 – 24:00), denominados de turno nocturno, diurno y vespertino, respectivamente. La planta
debe operar con el mínimo número de operarios posible, siendo que en la semana se requiere un número
mínimo de trabajadores en cada turno. Estos requerimientos se presentan en la siguiente tabla:
Turno
Nocturno
Diurno
Vespertino
Lunes
5
7
9
Martes
3
8
10
Nº de Trabajadores Mínimo por Turno
Miércoles Jueves Viernes Sábado
2
4
3
2
9
5
7
2
10
7
11
2
Domingo
2
5
2
El sindicato de trabajadores de la empresa aceptará los turnos siempre que se cumplan las siguientes
condiciones:
− Cada trabajador sólo puede ser asignado, ya sea al turno nocturno, al turno diurno o al turno
vespertino. Una vez que es asignado, el trabajador debe permanecer en el mismo turno cada día que
le toque trabajar.
− Cada trabajador sólo puede trabajar cuatro días consecutivos durante un periodo de siete días.
Se sabe, además, la empresa cuenta con 60 trabajadores. Formule el modelo que permita al gerente de
producción administrar los turnos con el menor número de trabajadores posible.
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las
respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas de
forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
Pauta Prueba Nº1 – 1º Semestre 2011
Formulación de Modelos de Investigación de Operaciones
Pregunta 1: (0,5 puntos)
Mencione los parámetros involucrados en un modelo de Programación Lineal e identifique el nombre de cada
uno de ellos. (-0,2 puntos por cada coeficiente que falte)
− cj : coeficiente en la función objetivo de la variable xj,
− aij: coeficiente técnico o tecnológico de xj en la restricción i,
− bi: coeficiente del recurso i disponible.
Pregunta 2: (1,5 puntos)
Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min Z = 2 x1 + 3x2 ( FO)
s.a.
− 2 x1 + x2 ≤ 4(1)
x1 + 2 x2 ≥ 6(2)
2 x1 − x2 ≤ 7(3)
3 x2 ≤ k (4)
x1 , x2 ≥ 0
Gráficamente se tiene:
(0,1 puntos por la Región Factible)
(0,4 puntos: 0,1 puntos por cada restricción y FO)
a) El menor valor de k para que exista una región factible acotada ocurre en el punto de intersección de
las rectas 2 y 3, es decir, existe un valor mínimo para la variable x2 que pertenece a la región factible
del problema. El cálculo para obtener este valor se muestra a continuación:
(2)
Î
;
(3)
Dado que k limita el crecimiento de la variable x2 y el menor valor que puede tomar x2 para que la
región factible sea acotada es 1, se obtiene el valor de k despejando la ecuación:
(0,2 puntos)
Por lo tanto. Si
solución óptima, 0,1 punto valor óptimo)
(0,3 puntos: 0,2 puntos
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FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
b) Si k=9 Æ
Puntos Extremo Mínimo:
(0,2 puntos)
(0,1 puntos)
c)
En el informe generado por LINDO para la resolución del modelo con k=9, coloque en la posición que
corresponda el valor óptimo y la solución óptima. (0,2 puntos: -0,1 por error)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
___9_____
VARIABLE
___x1___
___x2___
VALUE
_____0____
_____3____
REDUCED COST
__________
__________
Pregunta 3: (2,0 puntos)
Se trata de minimizar los costos de la empresa de Marketing al realizar las encuestas
1. Definición de Variables
Sea:
xij: cantidad de familias tipo i, i={C= con hijos, S=sin hijos}, encuestadas en el horario j, j={M=
Mañana, N=Tarde}. (0,3 puntos)
2. Función Objetivo: Minimizar Costos
(0,2 puntos)
3. Restricciones
a) Se deberá realizar al menos 1000 encuestas.
xCM + xCT + x SM + x ST ≥ 1000
(0,2 puntos)
b) Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias con hijos.
(0,2 puntos)
c)
Deben ser encuestadas por lo menos 400 familias sin hijos.
(0,2 puntos)
d) El número de familias encuestadas durante la tarde debe ser por lo menos igual al número de
familias encuestadas durante la mañana.
(0,2 puntos)
e) A lo menos el 40% de las encuestas a familias con hijos debe ser hecha durante la tarde.
xCT ≥ 0,4( xCM + xCT )
f)
(0,2 puntos)
A lo menos el 60% de las encuestas a familias sin hijos deben ser hecha durante la tarde.
x ST ≥ 0,6( xSM + xST ) (0,2 puntos)
g) El número de familias sin hijos encuestadas durante la tarde debe ser a lo más el 80% del
número total de familias encuestadas durante la mañana.
xST ≤ 0,8( xCM + x SM ) (0,2 puntos)
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Ingeniería Civil Industrial
4. Restricción de no negatividad
(0,1 puntos)
5. Formulación Matemática
s.a
xCT ≥ 0,4( xCM + xCT )
x ST ≥ 0,6( xSM + xST )
xST ≤ 0,8( xCM + x SM )
Pregunta 4: (2,0 puntos)
Se desea minimizar el número de trabajadores empleados en una semana en la planta química.
1. Definición de Variables
Sea:
xij: número de trabajadores que inicia su turno en el día i, i= {1=lunes, 2=martes, 3=miércoles,
4=jueves, 5=viernes, 6=sábado, 7=domingo} en el horario j, j= {1=nocturno, 2=diurno, 3=vespertino}
(0,2 puntos)
2. Función Objetivo: Minimizar el número de trabajadores empleados en una semana
(0,1 puntos)
3.
Restricciones
Disponibilidad mínima de trabajadores en cada turno de cada día
Lunes: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Martes: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Miércoles: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Jueves: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Viernes: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Sábado: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
Domingo: (0,2 puntos: -0,1 por error)
Noct)
Diurno)
Vesp)
DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE TALCA
Existe un número máximo de trabajadores que pueden ser empleados:
(0,2 puntos)
4.
Restricción de no negatividad
(0,1 puntos)
5.
Formulación Matemática
s.a
Ingeniería Civil Industrial