Aplicaciones

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Geodesia Geométrica y Geodesia Física: Objetivo y Aplicaciones
Method · January 2009
DOI: 10.13140/RG.2.2.30527.53920
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Victor Corchete
Universidad de Almería
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Geodesia Geométrica y Geodesia Física
Objetivo y Aplicaciones
CURSOS DE ENSEÑANZAS PROPIAS. UNIVERSIDAD DE ALMERÍA
ÍNDICE*
CONTENIDO
PÁG.
Definición, división y objetivo de la Geodesia
1. ¿Qué es la Geodesia? ..............................................................................................
3
2. Problemas de la Geodesia .......................................................................................
3
3. División de la Geodesia ..........................................................................................
4
4. Datos históricos y técnicos. La red geodésica española .........................................
5
Aplicaciones de la Geodesia Geométrica
5. Resolución de pequeños triángulos .........................................................................
9
6. Determinación de distancias ....................................................................................
13
7. Determinación de ángulos .......................................................................................
15
8. Transformación de coordenadas y cambio de dátum .............................................
16
Aplicaciones de la Geodesia Física
9. Relación entre los observables físicos y la Geodesia ................................................
19
10. El campo de gravedad terrestre. Superficies de nivel. El geoide ............................
20
11. Ondulación del geoide y desviación de la vertical ..................................................
24
12. Ondulación del geoide y alturas ortométricas. Método GPS-Nivelación ................
27
13. Cálculo gravimétrico del geoide ..............................................................................
30
14. Componentes de la desviación de la vertical y modelo geopotencial .....................
39
15. Componentes de la desviación de la vertical y geoide .............................................
40
Bibliografía
Bibliografía básica ..........................................................................................................
42
Bibliografía de consulta ..................................................................................................
43
*
Este documento está disponible en la dirección http://airy.ual.es/www/Geodesy.htm
2
Definición, división y objetivo de la Geodesia
1. ¿Qué es la Geodesia?
La palabra Geodesia literalmente expresa división de la Tierra, sin embargo, diversos
autores notables establecen distintas definiciones de este concepto. Para unos existe una clara
diferencia entre la Geodesia Teórica y la Geodesia Práctica, indicando que la primera estudia
la forma y dimensiones de la Tierra, en cambio la segunda establece los procedimientos para
la medida de porciones terrestres. Para otros autores esta diferencia no es tan clara, por ello
se refieren a la Geodesia como una ciencia cuyo objetivo es el de proporcionar un armazón o
estructura geométrica precisa para el apoyo de los levantamientos topográficos.
Actualmente la Geodesia se define brevemente como la ciencia que resuelve los
problemas relacionados con la figura y dimensiones de la Tierra, y como veremos más
adelante esta ciencia puede dividirse en varias disciplinas, atendiendo al método seguido para
llevar a cabo este objetivo.
Podemos concluir este apartado diciendo que la Geodesia es una ciencia, que desde la
antigüedad, se ha dedicado al estudio de la medida y forma del globo terráqueo, adatándose a
las necesidades de la época para aplicarse a problemas prácticos, como son básicamente la
confección de mapas nacionales e internacionales, así como la preparación de cartas para
aplicaciones específicas como las geológicas e hidrográficas, entre otras. Pudiendo afirmar
que la Geodesia se ha necesitado y seguirá siendo necesaria mientras se proyecten obras
humanas que requieran precisiones cada vez mayores.
2. Problemas de la Geodesia
Sabiendo que la principal tarea científica de la Geodesia es el estudio de la figura de la
Tierra, podemos dividir los problemas científicos de la Geodesia en:
•
Determinación del tipo de superficie matemática que represente suficientemente bien la
figura de la Tierra en su totalidad. A este respecto se considera como tal superficie la de
un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, éste se denomina elipsoide terrestre.
•
El estudio de la verdadera figura de la Tierra y su campo de gravedad, entendiendo por
verdadera figura de la Tierra, la superficie física de la misma. El estudio de la verdadera
figura de la Tierra consiste en determinar las magnitudes geodésicas, que caracterizan las
desviaciones de ésta con respecto a la superficie establecida por el elipsoide terrestre. El
estudio del campo de gravedad terrestre es fundamental, debido tanto a su influencia en la
forma de la Tierra, como a la influencia que ejerce en las medidas que se llevan a cabo de
la misma (por ejemplo mediante satélites artificiales).
Los problemas científico-técnicos derivados de los anteriores son múltiples, aquí
citaremos sólo los más relevantes.
•
Medición de la aceleración de la gravedad.
3
•
Determinaciones astronómicas de las latitudes y longitudes terrestres.
•
Observaciones de los satélites artificiales.
•
Elaboración de modernos métodos e instrumentos para la ejecución de mediciones y
observaciones de alta precisión.
•
Desarrollo de métodos topográficos con los que se estudia detalladamente la forma de la
superficie terrestre.
•
Levantamiento cartográfico de grandes territorios, es decir, representación de la superficie
terrestre sobre un plano.
Interpretados a grandes rasgos, los problemas científicos y científico-técnicos de la
Geodesia, están recíprocamente enlazados, y por eso, la solución de los problemas científicotécnicos exige el control de requisitos deducidos de la solución de los problemas científicos.
En el apartado siguiente veremos como la búsqueda de soluciones a los problemas
fundamentales de la Geodesia, conduce a una división de la misma en tres ramas principales.
3. División de la Geodesia
De la definición de la Geodesia dada anteriormente, parece deducirse que la misma se
dedica sólo a la solución de problemas de tipo geométrico, pero no debemos olvidar que para
llegar a definir la forma de la Tierra, será preciso considerar a nuestro planeta en un contexto
más general.
En efecto, dentro del marco de la Mecánica Clásica, la Tierra es un cuerpo inmerso en
el sistema solar, que se encuentra sometido a una rotación diaria y a la atracción del Sol y de
los demás cuerpos del sistema solar. En estas condiciones la Tierra describe una órbita que
compensa en cierto modo tales atracciones, por ello, podemos considerar que un punto sobre
la superficie terrestre queda sometido, casi exclusivamente, a la atracción de nuestro planeta y
a la fuerza centrífuga derivada de su rotación. Así pues, idealizado el problema y
prescindiendo del movimiento orbital terrestre, vemos que tiene sentido estudiar las figuras de
equilibrio que adoptará una masa aislada, cuyas partículas se atraen según la ley de
gravitación universal de Newton.
En esta situación de aislamiento, sucede que la esfera es una figura de equilibrio para
una masa homogénea en reposo, siendo el único movimiento posible para una masa
homogénea que se mueve como un sólido, el de una rotación uniforme alrededor de uno de
sus ejes principales de inercia. Ambas conclusiones, unidas al hecho de que una pequeña
rotación produce un achatamiento de la forma esférica, nos lleva a considerar que la Tierra
tiene una figura de equilibrio dada por un elipsoide de revolución, ligeramente achatado en
los polos, que gira alrededor de un eje que pasa aproximadamente por los polos. Conviene sin
embargo recordar, que la Tierra no es un cuerpo rígido y homogéneo, por tanto este modelo
teórico está muy simplificado. Otra simplificación importante que se ha indicado consiste en
ignorar los efectos gravitatorios de los demás cuerpos del sistema solar, incluido el Sol, sobre
la superficie terrestre. Es un fenómeno bien conocido la existencia de mareas tanto oceánicas
como terrestres y atmosféricas, todas éstas son debidas a la atracción gravitatoria que ejercen
4
sobre la superficie terrestre, principalmente el Sol por su gran masa y la Luna por su cercanía
a la Tierra.
No obstante, en lo sucesivo vamos a considerar como superficie de equilibrio o
equipotencial la que determinan los océanos, prescindiendo del efecto perturbador de las
mareas. Denominaremos entonces geoide a la superficie dada por el nivel medio de los
océanos, siendo esta superficie la que utilizaremos como referencia para definir la altitud de
un punto sobre la Tierra. Sin duda, la introducción del geoide como superficie de nivel tiene
un gran sentido físico, aunque su determinación resulte ser uno de los problemas más
complejos de la Geodesia.
Nos encontramos así con dos superficies fundamentales de referencia, el elipsoide y el
geoide, las cuales provienen de dos concepciones distintas de la Geodesia, determinando en
consecuencia la división de la Geodesia en dos ramas principales, Geodesia Geométrica o
Elipsoidal y Geodesia Física o Dinámica.
Además de estas ramas y debido al desarrollo de la interferometría láser, las nuevas
técnicas de radar y el lanzamiento de satélites artificiales, las cuales hacen posible determinar
la posición de un punto sobre la Tierra, de forma independiente de cualquier modelo previo
adoptado; nace una nueva rama de la Geodesia que incluye procedimientos de medida tan
diversos, ésta se llama Geodesia Espacial o Geodesia por satélite.
Finalmente señalaremos, que atendiendo a su aspecto más operativo o práctico, la
Geodesia puede dividirse en tres categorías:
•
La Geodesia Global, que responde a la definición general citada al principio de este
capítulo, y que necesita para su desarrollo la cooperación internacional.
•
La Geodesia Regional, que es practicada por cada país con el fin de resolver los
problemas planteados por la Cartografía y la Geografía, entre otras.
•
La Geodesia Topográfica, que trata de precisar detalles de una cierta superficie de
pequeñas dimensiones, para ello la considera una superficie plana o esférica según sean
sus dimensiones.
4. Datos históricos y técnicos. La red geodésica española
Llegados a este punto, hay que recordar que desde la antigüedad el hombre se ha
preocupado por la medida de la Tierra, pero es Aristóteles el primer autor que nos habla de la
medida de la misma, indicando que los matemáticos de la época fijaron el perímetro de ésta
en 400 000 estadios, siendo un estadio aproximadamente 166 m.
Sin embargo, es Eratóstenes el primer geómetra cuyo procedimiento de medida es
conocido; su método, el cual es utilizado todavía en nuestra era, consiste en la medida lineal y
angular de un arco terrestre; la medida lineal se realizaba de forma directa, a pasos, la medida
angular se llevaba a cabo mediante métodos celestes. El procedimiento que este geodesta
llevó a cabo 2 siglos a. C. es como sigue. Primero observó el día del año en que el Sol estaba
en la vertical de la ciudad de Siene (actual Assuán). Al año siguiente el mismo día y a la
misma hora observo la inclinación del Sol en Alejandría, tal como se indica en la figura 1,
5
obteniendo el valor 1/50 parte de un círculo (7º 12'). Entonces, dado que la distancia entre
Alejandría
y Siene era bien conocida en la época
(5.000 estadios), pudo hallar el radio
medio de la Tierra y el perímetro
Alejandría
aproximado de la Tierra unos 252.000
estadios (1 estadio de esa época era
Siene
aproximadamente 160 m actuales).
Ecuador
Esta forma de medir arcos y
distancias de forma más bien directa se
utilizó hasta el año 1620, fecha en la que el
abate Picard, nacido en Francia, mide un
arco de meridiano, por medio de una
triangulación compuesta de 13 triángulos.
Las latitudes extremas se determinaron
empleando círculos graduados de tres
metros de radio, junto con observaciones
astronómicas.
Fig. 1. Método usado por Eratóstenes para
medir el perímetro de la Tierra.
Durante siglos Francia mantuvo su primacía en asuntos geodésicos, pero desde
principios del siglo XIX es Alemania el país que da a la Geodesia un empuje formidable,
siendo Estados Unidos, durante el siglo XX, el país en el que se llevan a cabo los trabajos
geodésicos de más relevancia. Las medidas francesas de los siglos XVII y XVIII sirvieron
para calcular los elipsoides de Bessel y de Clarke, mientras que las medidas Norteamericanas
se utilizaron para calcular el elipsoide de Hayford.
Fig. 2. Mapa de la Red Geodésica Nacional.
6
En lo que se refiere a nuestro país, desde la mitad del siglo XIX hasta la mitad del
siglo XX, se fueron desarrollando los trabajos destinados a extender una red geodésica
formada por cadenas de triángulos, los cuales corren sensiblemente a lo largo de los
meridianos, paralelos y costas (ver figura 2). Forman parte de esta red las cadenas de enlace
del Archipiélago Balear con la Península, así como los grandes cuadriláteros que ligan nuestra
costa con Argelia y Marruecos. El Archipiélago Canario posee su propia red que liga las islas
entre sí, y éstas con el continente africano (ver figura 2). Los trabajos geodésicos cuyo
objetivo fue la formación del mapa nacional en escala 1:50.000, se iniciaron en 1858
finalizándose en su conjunto hacia 1930. El punto fundamental de la red geodésica nacional o
dátum está en el Observatorio Astronómico de Madrid, cuyo meridiano ha sido utilizado
también como origen de longitudes. Sin embargo, la red geodésica de las Canarias por ser
independiente tiene su propio dátum, el cual se halla en el vértice denominado Pico de las
Nieves, en la isla de Gran Canaria.
Más recientemente y gracias al desarrollo de nuevas tecnologías como GPS, todas las
redes europeas se han podido unificar para formar una sola red de precisión. Esta unificación
ha permitido unir toda el área ibérica con Europa, mediante una red de alta precisión que nos
proporciona actualmente medidas de gran precisión para ciertos puntos, que pueden usarse
como vértices de referencia para realizar tareas científicas o técnicas. Esta unificación ha sido
posible gracias al desarrollo de la red EUREF (ver figura 3), la cual está formada por
estaciones GPS permanentes. Esta red de estaciones permanentes proporciona coordenadas de
alta precisión para diversas aplicaciones tanto científicas como técnicas.
Fig. 3. Mapa de la red de estaciones GPS permanentes que forman la red EUREF.
Con el desarrollo de la red EUREF y la realización de otros trabajos geodésicos,
desarrollados con la financiación de proyectos europeos, en los cuales cada país de Europa ha
colaborado aportando sus medidas y realizando nuevas y más precisas mediciones, se ha
conseguido unificar las redes de nivelación europeas, para formar una única red de nivelación
7
con una precisión centimétrica. Esta red de nivelación que recibe el nombre de UELN (United
European Levelling Network) está representada en la figura 4(a).
(a)
(b)
Fig. 4. (a) Mapa de la red de UELN formada por la unificación de todas las redes de
nivelación europeas. (b) Mapa de la red vertical europea EVRS (European Vertical Reference
System).
Durante la realización de esta red de
nivelación unificada para toda Europa (la red
UELN), formada por todas las redes de nivelación de
los países europeos, se puso también de manifiesto la
necesidad de unificar estas redes de nivelación no
sólo entre ellas sino también con la red EUREF, de
tal forma que se pudiera disponer de una red GPSnivelación unificada para toda Europa. Esta nueva
red conseguida como consecuencia de todos los
esfuerzos y proyectos anteriores, cuyo nombre es
EVRS (European Vertical Reference System), está
representada en la figura 4(b). Esta red constituye un Fig. 5. Mapa con los vértices de la red
marco de referencia fundamental para la medición de vertical europea EVRS en Iberia.
alturas con precisión centimétrica.
En el área ibérica esta red posee los vértices de precisión mostrados en la figura 5. Las
coordenadas y alturas de estos puntos, junto con los datos de los otros puntos situados por
toda Europa, pueden descargarse desde internet en la dirección:
http://crs.bkg.bund.de/evrs/tabelle_neu.html
8
Aplicaciones de la Geodesia Geométrica
5. Resolución de pequeños triángulos
En las campañas geodésicas, como las mencionadas anteriormente, se suelen
determinar los ángulos sobre la superficie terrestre, tras lo cual el problema consiste en
calcular las longitudes de los lados, para cada triángulo de la red. Según este procedimiento,
si conocemos un lado de la triangulación y determinamos todos los ángulos existentes en
dicha red, es posible hallar las dimensiones de la red completa (ver figura 1(a)). Por otra
parte, la triangulación es también necesaria en muchos casos, para pasar de una base medida a
una base mayor o ampliada, debido a las dificultades que puede presentar el terreno, para
efectuar medidas de distancias sobre el mismo, medidas que serían necesarias para determinar
la base ampliada directamente (ver figura 1(b)).
(a)
(b)
Fig. 1. (a) Red geodésica entre dos puntos A y B. (b) Red geodésica de ampliación de base.
En consecuencia, es necesario llevar a cabo algún procedimiento que nos permita
resolver los triángulos planteados en una red geodésica. Para ello, existen diversos métodos
de los cuales vamos a comentar los más relevantes, como son el método de Legendre y el
método de los aditamentos. Comenzando por el primero, hay que decir que su nombre
proviene del teorema que se aplica, teorema de Legendre, este teorema permite asociar a cada
triángulo geodésico como el mostrado en la figura 2(a), un triángulo plano como el mostrado
en la figura 2(b), de tal forma que las distancias (a, b, c) en ambos triángulos son las mismas.
(a)
(b)
Fig. 2. (a) Triángulo geodésico. (b) Triángulo plano asociado al anterior.
9
En consecuencia, nos planteamos el problema de calcular la diferencia que existe entre
los ángulos (A, B, C) del triángulo geodésico, y los ángulos del triángulo plano asociado (A1,
B1, C1), porque si conocemos estas diferencias, podemos establecer una relación entre ambos
triángulos, de tal forma, que es posible aplicar las conocidas y sencillas fórmulas de
trigonometría plana, a los triángulos geodésicos de la red considerada.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que los triángulos de una red geodésica, poseen
unos lados cuyas longitudes rara vez superan los 100 km, en este caso podemos considerar los
triángulos geodésicos como triángulos esféricos, para los cuales es válida la ley de los
cosenos. Aplicando esta ley al triángulo de la figura 2(a) tenemos
cos
a
b
c
b
c
= cos cos
+ sen sen cos A
R
R
R
R
R
donde R es el radio de la esfera sobre la que se construye el triángulo esférico. Despejando en
la fórmula anterior cos A, podemos escribir
cos
cos A =
a
b
c
- cos cos
R
R
R
c
b
sen sen
R
R
si aplicamos ahora el desarrollo en serie de Taylor de las funciones trigonométricas, que
aparecen en esta expresión, se tiene
⎛
b2
b4 ⎞ ⎛
c2
c4 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
1 +
- ⎜1 +
+
⎟ ⎜1 2R 2
24R 4
2R 2
24R 4 ⎠ ⎝
2R 2
24R 4 ⎠
⎝
cos A =
⎛b
b3 ⎞ ⎛ c
c3 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
6R 3 ⎠ ⎝ R
6R 3 ⎠
⎝R
a2
a4
habiendo despreciado los términos de quinto grado y superiores, en las cantidades
a b
,
y
R R
c
. Así, después de multiplicar y agrupar términos obtendremos
R
cos A =
b 2 + c2 - a 2
a 4 + b4 + c4 - 2a 2 b2 - 2a 2c2 - 2c2b2
+
2bc
24R 2bc
Ahora bien, para el triángulo plano de la figura 2(b), aplicando la ley de los cosenos, podemos
escribir
a 2 = b2 + c2 - 2bc cos A1
de donde
cos A1 =
b 2 + c2 - a 2
2bc
10
sen 2 A1 = 1 - cos2 A1 =
- a 4 - b4 - c4 + 2a 2 b2 + 2a 2c2 + 2c2 b2
4b2c2
Entonces, combinando las expresiones obtenidas, con la fórmula anteriormente escrita para el
cos A, deducimos que
bc sen 2 A1
cos A = cos A1 -
6R 2
y sabiendo que
cos A - cos A1 = -2 sen
A - A1
2
sen
A + A1
2
dado que la cantidad A-A1 es muy pequeña comparada con A, podemos escribir dentro de la
precisión aceptada
A - A1
bc sen 2 A1
2A1
= -(A - A1 ) sen A1 = cos A - cos A1 = -2
sen
2
2
6R 2
concretamente, la diferencia de ángulos buscada A-A1 podrá escribirse como
A - A1 =
bc sen A1
6R
2
= (área del triángulo plano)/3R2
recordando que el exceso esférico ε de un triángulo esférico, es precisamente el área del
triángulo dividida por R2, notamos que la corrección a considerar es la tercera parte del
exceso esférico. Análogamente, para los demás ángulos podremos escribir expresiones
similares, de tal forma que la corrección buscada para los ángulos del triángulo de la figura
2(a), determinados sobre el terreno, será en cada caso restar un tercio del exceso esférico, que
como sabemos puede calcularse mediante
ε = A + B + C - 180º
En consecuencia, las ecuaciones
A1 - A = -
ε
3
B1 - B = -
ε
3
C1 - C = -
ε
3
expresan el contenido del teorema de Legendre, para pequeños triángulos geodésicos (cuyos
lados no sobrepasen los 100 km).
No obstante, debemos notar que las ecuaciones anteriores, permiten resolver
triángulos geodésicos, es decir, calcular todas los lados de los triángulos geodésicos que
forman una red, aplicando correcciones a los ángulos determinados sobre el terreno. Ésta es
una forma válida de operar, pero también es posible aplicar correcciones a los lados, de tal
forma que el resultado sea, directamente, las distancias buscadas, es decir, los lados del
triángulo geodésico. Este método operacional, recibe el nombre de método de los
aditamentos, siendo el objetivo final del mismo, determinar las correcciones o aditamentos,
que es necesario aplicar a los lados de un triángulo, cuyos ángulos sean los determinados
sobre el terreno (A, B, C), con el objeto de convertirlo en un triángulo plano, al que podemos
aplicar la trigonometría plana para determinar sus lados.
Para desarrollar el método de los aditamentos partimos de la ley de los senos
11
sen
b
⎛ a ⎞ sen B
= sen ⎜ ⎟
⎝ R ⎠ sen A
R
donde aplicamos, como hicimos antes, los desarrollos en serie de las funciones
trigonométricas, considerando despreciables los términos de grado cuarto y superiores, en las
a
b
y , teniendo en consecuencia
cantidades
R R
b3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛
a 3 ⎞ sen B
⎛ 1 ⎞ ⎛⎜
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎜ a ⎜ ⎟⎜b ⎝ R⎠⎝
6R 2 ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝
6R 2 ⎠ sen A
si designamos
a -
a3
= a - A a = a′
6R 2
b -
b3
6R 2
= b - A b = b′
podemos escribir
b′ = a′
sen B
sen A
c′ = a ′
sen C
sen A
análogamente para el lado c, tendremos
De esta forma, introducimos una cantidad As (donde s designa el lado considerado), llamada
aditamento del lado s. Notando que las expresiones anteriores nos permiten escribir ahora
a′
b′
c′
=
=
sen A sen B sen C
Estas expresiones constituyen la conocida ley de los senos, de la trigonometría plana;
llevando nuestro problema, como consecuencia de ello, a la resolución de un triángulo plano.
Para llevar a cabo la resolución de una red de triángulos, siguiendo el método de los
aditamentos, operamos como sigue:
1. Conocido un lado del mismo, por ejemplo el lado a, obtenemos
a′ = a - A a
ya que, el aditamento Aa se puede obtener conocidos a y R.
2. Con el valor hallado a’ se calculan b’ y c’, empleando para ello la ley de los senos.
3. Obteniéndose a continuación los aditamentos Ab y Ac. Para ello, introducimos en la
expresión de los mismos, los valores b’ y c’, considerando que
b ′3 ≅ b3
c′ 3 ≅ c3
debido a que la diferencia b’ - b es muy pequeña frente a b.
4. Con los valores de los aditamentos obtenidos, podemos escribir finalmente los valores de
los lados buscados (b, c), en la forma
12
b = b′ + A b
c = c′ + A b
6. Determinación de distancias
En cualquier campaña de triangulación, como las mencionadas anteriormente, se
suelen medir bases sobre el terreno, siguiendo para ello, un método que consiste en medir con
precisión una pequeña distancia, y a continuación, mediante una red de ampliación de base, se
obtiene la distancia entre los dos vértices correspondientes. Este procedimiento fue
mencionado en el apartado anterior, como una aplicación básica de la geodesia geométrica.
Llegados a este punto es conveniente especificar cómo es posible hallar una distancia sobre la
superficie de la Tierra, considerada en este caso como la superficie del elipsoide de referencia
utilizado durante esa campaña.
En primer lugar, hay que decir que la forma de llevar a cabo las medidas directas que
conlleva el cálculo de una base, ha cambiado mucho desde la antigüedad hasta nuestros días.
Esta evolución es continua, y por tanto, sigue sucediendo en actualmente, de tal forma que los
métodos a seguir estarán siempre sujetos a una continua revisión, para incorporar los recientes
avances habidos en este tema.
Para ser conscientes de esta evolución, basta recordar que la medida de bases con
precisión no fue realizada hasta el siglo XIX, fecha en la que se comenzaron a utilizar las
reglas bimetálicas, que fueron inventadas por Borda en 1792. El método que se utilizaba con
estas reglas, consistía en colocar cada regla, una y otra vez, a continuación de la otra. De esta
-6
forma, podían medirse distancias de 10 km, como mucho, con una precisión de 10 . El
problema de este método está en lo laborioso del mismo y en la necesidad de conocer con
precisión la longitud de la regla empleada. Con respecto a esto último, la precisión con la que
se conoce la longitud de la regla empleada y cómo cambia esta longitud durante el proceso de
medida de bases, hay que recordar que esta longitud puede conocerse de forma precisa,
gracias a que la regla bimetálica está constituida por dos reglas de diferentes metales, sujetas
por un extremo, siendo el otro extremo libre. De esta forma, puede medirse el desplazamiento
relativo de una de ellas respecto de la otra, gracias a una regleta graduada colocada en la regla
inferior. Entonces, la alteración de las longitudes habidas por la distinta dilatación térmica de
estas reglas, puede medirse con precisión, hallándose también la verdadera longitud de la
regla bimetálica empleada mediante la fórmula
b = A + Bδ
donde A y B son constantes conocidas, b es la longitud de la regla bimetálica en metros
(aproximadamente 4 m) y δ es la lectura tomada en la regleta en mm.
En una versión posterior de este método, empleada por primera vez en 1885 por el
sueco Jáderin, las reglas bimetálicas fueron sustituidas por los hilos de invar, estos hilos se
colocan entre dos soportes y se tensan mediante dos pesas. Los hilos de invar están
compuestos de un material llamado invar, cuya composición es 36 % de níquel y 64 % de
acero; su longitud es de unos 24 m, con una sección recta de 1.65 mm de diámetro. Debido a
su composición, estos hilos presentan la ventaja de variar muy poco de longitud por efecto de
los cambios de temperatura, así las correcciones a efectuar por este efecto son siempre muy
pequeñas. Otra ventaja que presenta el uso de estos hilos, reside en que con ellos medimos las
distancias de 24 en 24 metros, mientras que con las reglas bimetálicas las distancias se miden
de 4 en 4 metros. Con todo, el método sigue siendo muy laborioso, ya que, es necesario que
no se produzca una desalineación, cuando se coloca el patrón una y otra vez, delante de la
13
posición anterior. Esto ha hecho que estos métodos antiguos hayan sido gradualmente
descartados, en favor de métodos más modernos de medida basados en la interferometría, o
también en la medida de los tiempos de retraso de una señal enviada y recibida por una misma
estación de registro.
Actualmente, los teodolitos dotados de distanciómetros ópticos (estaciones totales),
son una herramienta muy útil para llevar a cabo las medidas que conlleva una triangulación,
ya que, con ellos pueden medirse tanto ángulos como distancias, sin cambiar de instrumento,
resultando cómodos y precisos. Generalmente, son instrumentos fáciles de manejar para el
técnico que debe realizar las medidas, haciendo que una campaña de este tipo resulte menos
costosa, en tiempo y esfuerzo.
En consecuencia, con los instrumentos mencionados o utilizando un distanciómetro,
podemos calcular la distancia entre dos puntos en línea recta, a esta distancia se le llama en
geodesia la cuerda. Pero debemos notar que la distancia buscada es la medida sobre la
superficie de referencia, es decir, el arco (utilizando la terminología de la geodesia). Por ello,
es necesario relacionar ambas, para obtener el arco a través de la medida directa de la cuerda.
(b)
(a)
Fig. 3. (a) Representación de las secciones normales recíprocas correspondientes a los puntos
A y B. (b) Representación de la línea geodésica que une los puntos A y B.
La figura 3(a) representa este problema, en ella vemos que para dos puntos dados
sobre la superficie de referencia, la cuerda es la línea representada por un trazo recto
discontinuo. En cambio, la verdadera distancia entre tales puntos considerados, debe
calcularse siguiendo la línea geodésica (curva de mínima distancia entre dos puntos, medida
sobre la superficie) representada en la figura 3(b), como puede verse esta línea está situada
dentro de las secciones normales recíprocas, representadas por las curvas AaB y BbA. La
sección normal AaB es una curva que se define mediante la intersección de la superficie de
referencia considerada (un elipsoide de revolución achatado por los polos), con el plano
definido por la dirección normal a dicha superficie de referencia en el punto A (dirección na)
y el punto B. Así, el corte de este plano y la superficie de referencia, es la curva AaB. De
forma similar definimos BbA intercambiando los papeles que juegan los puntos A y B.
14
Cuando consideramos distancias AB menores de 500 km, podemos aceptar que la
medida del arco sAB sobre la línea geodésica, es aproximadamente igual a la media de las
medidas sobre las secciones normales recíprocas, es decir
sAB = (sA + sB) / 2
obteniendo las cantidades sA y sB mediante el desarrollo en serie (Cid y Ferrer, 1997)
⎡ κ 2 2 κκ' 3
⎤
c4
s = c ⎢1 +
c c +
(15κ 4 - 16κ ' 2 -24κκ' ' + 8κ 2 τ 2 ) + ... ⎥
24
1152
⎣⎢ 24
⎦⎥
donde c es la cuerda, s es la distancia sA o sB según se considere la sección normal AaB o BbA,
κ es la curvatura y τ es la torsión (que por tratarse de una curva plana es cero). Los valores de
la curvatura y sus derivadas respecto del arco (denotadas con prima), pueden hallarse
aplicando el teorema de Euler (Cid y Ferrer, 1997).
Así, realizadas todas las operaciones la expresión anterior nos dará la distancia
buscada. Debemos notar que cuando los puntos A y B sean muy próximos, la cuerda y el arco
serán prácticamente la misma cantidad. Esta situación suele ser frecuente en la medida directa
de bases sobre el terreno, donde las distancias consideradas no superan los 15 o 20 km.
7. Determinación de ángulos
Tal como puede verse en la figura 3(a), cuando nos situamos con un instrumento en el
punto A, observando el punto B, o al contrario, cuando observamos el punto A desde el B;
estamos determinando secciones normales recíprocas, de tal forma, que las medidas de los
ángulos, llevadas a cabo en una triangulación estarán falseadas en una cantidad δ, como la
representada en la figura 4, en la que podemos ver un triángulo geodésico ABC y las
secciones normales recíprocas, correspondientes a las observaciones realizadas en sus
vértices.
Fig. 4. Representación de un triángulo geodésico y las secciones normales recíprocas que
corresponden a sus vértices. La curva de trazo grueso que une dichos vértices es la línea
geodésica que pasa por ellos.
Para corregir estas medidas angulares se debe obtener, en primer lugar, el ángulo ∆
que forman dos secciones normales recíprocas en un vértice, por ejemplo, el ángulo que
15
forman las curvas AaB y BbA, en el punto A o en el B. En segundo lugar, debemos relacionar
este ángulo con la pequeña cantidad δ que constituye la corrección.
Para hallar el ángulo ∆ tenemos en cuenta que éste será siempre una cantidad muy
pequeña, entonces, obteniendo su tangente mediante la expresión (Cid y Ferrer, 1997)
s2 ⎡
⎛1
⎞ ⎤
tg ∆ = - ⎢κτ + s⎜ κ ' τ - κτ'⎟ +...⎥
⎝3
⎠ ⎦
2⎣
donde τ denota en este caso la torsión geodésica (que es distinta de cero). De esta fórmula y
tras despreciar términos de grado s3 y superiores, podemos deducir (Cid y Ferrer, 1997)
∆≅
s 2e 2
4a
2
cos 2φ sen 2A
donde φ es la latitud del vértice para el que se calcula ∆, e es la excentricidad del elipsoide de
referencia, a es su semieje mayor y A es el acimut de la sección normal directa.
Conocido ∆, obtendremos δ mediante la suma de una progresión geométrica cuyo
valor es la tercera parte de ∆. Esta progresión geométrica, proviene de un procedimiento
matemático descrito con detalle por Zakatov (1981).
8. Transformación de coordenadas y cambio de dátum
En algunas ocasiones podemos encontrarnos con la necesidad de convertir
coordenadas geodésicas medidas en distintos dátum, a un único dátum para poder utilizar
todas estas medidas conjuntamente. Este problema puede surgir cuando recibimos mediciones
realizadas por otros investigadores o técnicos, que trabajan habitualmente en un sistema de
referencia distinto al que nosotros utilizamos. Para llevar a cabo esta transformación debemos
tener en cuenta que esos otros sistemas de referencia pueden no ser geocéntricos. Esta
situación está ilustrada en la figura 5(a), en la cual tenemos las coordenadas cartesianas (x’,
y’, z’) de un punto P (medidas en un sistema no geocéntrico con origen O’), relacionadas con
sus coordenadas cartesianas (x, y, z) (medidas en un sistema geocéntrico con origen O), a
través de la suma vectorial
r r
r
r = ro + (1 + k )Rr ′
-6
donde k es un factor de escala cuyo valor suele ser del orden de 10 y R es la matriz de
rotación que define la transformación de coordenadas que relaciona ambos sistemas, dada por
(Torge, 1991)
ε z − ε y ⎞⎛ x ′ ⎞
⎛ 1
⎛ x⎞ ⎛ xo ⎞
⎟⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ε x ⎟⎜ y′ ⎟
(8.1)
⎜ y ⎟ = ⎜ y o ⎟ + (1 + k )⎜ − ε z 1
⎟
⎜
⎜z ⎟ ⎜z ⎟
⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ o⎠
⎝ ε y − ε x 1 ⎠⎝ z ′ ⎠
donde los ángulos (εx, εy, εz) expresan las rotaciones indicadas en la figura 5(a). Estos
ángulos suelen tener un valor muy pequeño, por eso se expresan habitualmente en segundos
de arco. Es importante notar que la ecuación (8.1) expresa una relación entre coordenadas
cartesianas. No obstante, en muchas ocasiones no trabajamos con las coordenadas cartesianas
(x, y, z) de un punto P, sino con sus coordenadas geodésicas (φ, λ, h), donde φ es la latitud
geodésica (medida en grados norte), λ es la longitud geodésica (medida en grados este) y h es
la altura elipsoidal (medida en metros) ilustrada en la figura 5(b).
16
(b)
(a)
Fig. 5. (a) Representación del sistema de referencia no geocéntrico xyz, con respecto al
sistema de referencia geocéntrico XYZ. (b) Posición de un punto P medida sobre un sistema
de coordenadas cartesiano y sobre el elipsoide de referencia.
Entonces, nos damos cuenta de que es necesario poder convertir las coordenadas
geodésicas (φ, λ, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z) y viceversa. Para ello, podemos
recurrir de nuevo a una suma vectorial, como la representada en la figura 5(b)
r
r r
r = rQ + hN
donde los vectores están dados por (Cid y Ferrer, 1997)
r
rQ = (ρ N cos φ cos λ, ρ N cos φ senλ, (1 − e 2 )ρ N senφ)
r
N = (cos φ cos λ, cos φ senλ, senφ)
siendo (Cid y Ferrer, 1997)
ρN =
a
1 − e 2sen 2φ
e2 =
a 2 − b2
a2
el valor del semieje menor b puede calcularse fácilmente, pues son siempre conocidos los
valores del semieje mayor a y del aplanamiento del elipsoide de referencia f, teniendo
entonces que
a−b
f=
⇒ b = a − af
a
En consecuencia, podemos escribir las ecuaciones (Hofmann-Wellenhof and Lichtenegger,
1994)
x = (ρ N + h ) cos φ cos λ
y = (ρ N + h ) cos φ senλ
(8.2)
z = ((1 − e 2 )ρ N + h) senφ
que nos permiten convertir las coordenadas geodésicas (φ, λ, h) en coordenadas cartesianas
(x, y, z). Para realizar la transformación contraria, es decir, para convertir coordenadas
cartesianas (x, y, z) en coordenadas geodésicas (φ, λ, h), tenemos que invertir la relación
(8.2). Esto puede hacerse de forma sencilla tal como indican Hofmann-Wellenhof y
Lichtenegger (1994), mediante un proceso analítico y numérico que se puede realizar
rápidamente en un ordenador.
17
Llegados a este punto, tenemos ya las herramientas necesarias para abordar el
problema de transformación de coordenadas planteado al principio de este apartado, así como,
algunos otros problemas implicados en el mismo. Entonces, dependiendo de los problemas de
transformación de coordenadas que tengamos planteados, podemos optar por aplicar una u
otra fórmula, de las anteriormente obtenidas. Concretamente, los problemas que podemos
resolver con las fórmulas (8.1), (8.2) o sus inversas; son los siguientes:
1) Transformación de coordenadas geodésicas (φ, λ, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z),
dadas en el mismo dátum. Para resolver este problema recurrimos a aplicar directamente la
fórmula (8.2).
2) Transformación de coordenadas cartesianas (x, y, z) en coordenadas geodésicas (φ, λ, h),
dadas en el mismo dátum. Para resolver este problema aplicamos la fórmula inversa de
(8.2), que puede ser computada fácilmente de forma analítica y numérica.
3) Transformación de coordenadas cartesianas (x’, y’, z’) dadas en el dátum1 a coordenadas
cartesianas (x’, y’, z’) dadas en el dátum2. Para resolver este problema operamos en
distintas etapas:
a) Aplicamos la fórmula (8.1) para convertir coordenadas cartesianas (x’, y’, z’), dadas en
el dátum1, en coordenadas cartesianas geocéntricas (x, y, z). Para ello, necesitamos
establecer los valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes al
datum1. Estos valores pueden obtenerse desde varias fuentes. Por ejemplo, Torge (1991)
ha establecido los valores de estos parámetros, para transformar coordenadas desde
algunos de los dátum más utilizados al sistema geocéntrico WGS84 (el que se utiliza con
GPS).
b) Aplicamos la inversa de la fórmula (8.1) para convertir las coordenadas cartesianas
geocéntricas (x, y, z), obtenidas en el paso anterior, en las coordenadas cartesianas (x’, y’,
z’) dadas en el dátum2. Para ello, necesitamos establecer los valores de los parámetros (k,
xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes ahora al datum2. La inversa de la fórmula (8.1)
puede realizarse fácilmente, programando las ecuaciones (8.1) de forma matricial en un
ordenador, en ese caso todo el problema se reduce a invertir una matriz. Este problema de
invertir una matriz es muy conocido y es fácil de resolver.
4) Transformación de coordenadas geodésicas (φ, λ, h) dadas en el dátum1 a coordenadas
geodésicas (φ, λ, h) dadas en el dátum2. Para resolver este problema podemos dividirlo en
tres problemas más simples que ya hemos resuelto antes:
a) Transformar primero las coordenadas geodésicas (φ, λ, h) en coordenadas cartesianas
(x’, y’, z’), para el dátum1 en el que están dadas. Para resolver este problema aplicamos
directamente la fórmula (8.2), tal como en el problema (1) anteriormente resuelto.
b) Transformar las coordenadas cartesianas (x’, y’, z’), obtenidas en el paso anterior, a
coordenadas cartesianas (x’, y’, z’) dadas en el dátum2. Para resolver este problema
operamos como se ha indicado antes en el problema (3).
c) Finalmente, transformamos las coordenadas cartesianas (x’, y’, z’), obtenidas en el paso
anterior, en coordenadas geodésicas (φ, λ, h). Para resolver este problema aplicamos la
fórmula inversa de (8.2), tal como se ha indicado en el problema (2) anteriormente
resuelto.
18
Aplicaciones de la Geodesia Física
9. Relación entre los observables físicos y la Geodesia
Como ya se ha dicho antes, en las campañas geodésicas se llevan a cabo medidas
directas, tales como, determinación de distancias o de ángulos. Estas medidas están referidas
al horizonte local, cuya dirección perpendicular es la línea de la plomada, es decir, la
dirección del vector aceleración de la gravedad, en el punto en el que se ubica el instrumento.
Es obvio entonces, que magnitudes físicas, como la masa y el campo de gravedad, juegan un
papel importante en la geodesia, ya que, cuando colocamos un instrumento sobre el terreno no
lo referimos a la dirección normal al elipsoide de referencia (que en ese momento es
desconocida para nosotros), sino a la línea de la plomada.
En este sentido, el importante papel que juega el campo de gravedad terrestre, queda
todavía más claro, si tenemos en cuenta que cuando el topógrafo representa la altura de un
punto de la superficie de la Tierra, no son las alturas referidas al elipsoide de referencia las
que tienen sentido, sino las alturas referidas al geoide (alturas ortométricas H). Así, el
conocimiento de las alturas de los puntos de la superficie terrestre, determina el relieve que el
topógrafo debe representar en los mapas topográficos. En consecuencia, altura ortométrica H
de los puntos de la superficie terrestre, es una de las coordenadas que determinan la figura de
la Tierra, junto con las coordenadas geodésicas latitud y longitud, siendo esta altura H una
cantidad que requiere el conocimiento del campo de gravedad terrestre para su determinación.
Además, el valor preciso de las diferencias de alturas en los distintos puntos de la
superficie terrestre, es absolutamente necesario para proyectar y construir diferentes
instalaciones, así como, para la realización de cálculos en los cuales hay que tomar en cuenta
la posición de los puntos en el espacio. Por ejemplo, cuando se desea diseñar correctamente
grandes canales para la distribución de agua, o para la retirada de aguas residuales, es
necesario saber dónde es mayor o menor el potencial de la gravedad terrestre. Para ello, es
necesario determinar con precisión las alturas respecto al geoide.
Como consecuencia de todo lo dicho, es necesario dedicar un tiempo suficiente al
estudio y comprensión, de todo lo relativo al campo de gravedad terrestre y al geoide.
Precisamente el estudio riguroso de estos temas es competencia de la Geodesia Física,
disciplina que comienza a desarrollarse en el siglo XIX y que alcanza su máxima expansión
con el lanzamiento de los satélites artificiales en nuestro siglo, de cuyo seguimiento
obtenemos la información más precisa del campo de gravedad global creado por toda la masa
de la Tierra.
En este apartado dedicado a la Geodesia Física y sus aplicaciones, vamos a procurar
sobre todo referirnos a las aplicaciones, concretamente, a las topográficas y geodésicas,
enviando al lector a referencias especializadas (listadas al final de este tema) para obtener una
descripción más completa de aspectos más teóricos, relacionados con el campo de gravedad y
su potencial asociado.
19
10. El campo de gravedad terrestre. Superficies de nivel. El geoide
El geoide como superficie de referencia fundamental, es una superficie cuya forma
refleja la distribución de masas en la Tierra. Por ello, debemos empezar recordando cuál es la
fuerza gravitatoria producida por una cierta distribución de masa y su potencial asociado, para
entender cómo surge de estos conceptos y del concepto de superficie equipotencial, una
definición de superficie de referencia, tal como es la definición de geoide.
Así, debemos comenzar recordando que cuando consideramos dos masas puntuales,
separadas una distancia s, la fuerza con la que cada una atrae a la otra es
F=
km1m 2
s2
(Ley de gravitación de Newton)
-9
3 -1
-2
donde k denota la constante de gravitación, cuyo valor es 66.7x10 cm g seg . Si
consideramos la masa atraída m2 con valor unidad, la ecuación anterior puede escribirse
como
km
F= 2
s
donde hemos denotado con m la masa atrayente. La representación de esta fuerza en un
sistema de coordenadas cartesiano, es la que puede verse en la figura 1(a). A la vista de esta
figura es fácil notar que el vector F se puede descomponer en la forma
F = - F (cos α, cos β, cos γ) = -
km ⎛ x - ξ y - η z - ζ ⎞
,
,
⎜
⎟
s
s ⎠
s2 ⎝ s
donde s = ( x - ξ ) 2 + ( y - η) 2 + ( z - ζ ) 2 .
(a)
(b)
Fig. 1. (a) Fuerza de atracción gravitatoria debida a una masa puntual. (b) Fuerza centrífuga
debida a la rotación de la Tierra en punto P de la misma.
20
También debemos recordar que el campo gravitatorio es un campo conservativo, por
ello puede obtenerse a través del gradiente de un campo escalar, es decir
⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞
,
, ⎟=F
grad V = ⎜
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
donde V es su función potencial asociada, el potencial gravitatorio, que en el caso de
considerar una masa puntual adopta la forma
V=
km
s
Cuando consideramos una distribución de masas puntuales, la expresión anterior se podrá
generalizar mediante la aplicación del sumatorio
V=
∑ ∑
Vi =
i
i
km i
si
obviamente, para una distribución continua de masa M, el sumatorio debe ser reemplazado
por la integral, escribiendo
V=k
∫∫∫
dm
=k
M s
∫∫∫
ρdv
V s
donde ρ denota la densidad de masa y V denota el volumen del cuerpo considerado. En el
caso de que este cuerpo sea la Tierra, debemos tener en cuenta que la misma no está en
-4
-1
reposo, sino rotando con una velocidad angular de 0.7297x10 seg . En este caso para poder
considerar que la Tierra está en reposo y aplicar la ecuación anterior, debemos incluir una
fuerza de inercia conocida como fuerza centrífuga, de tal forma que para cualquier punto P
sobre la superficie de la Tierra debemos considerar una fuerza f, como la representada en la
figura 1(b). Dicha fuerza puede escribirse como
⎛ ∂φ ∂φ ∂φ ⎞
1 2 2
2
2
2
2
f = ω p = (ω x, ω y, 0) = grad φ = ⎜ , , ⎟ ,, φ = ω (x + y )
2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
donde p es un vector distancia, paralelo al plano ecuatorial, que va desde el eje de rotación de
la Tierra hasta el punto P. Esto nos lleva a una definición de potencial gravitatorio del tipo
W(x, y, z) = V + φ = k
∫∫∫
1 2 2
ρdv
2
+ ω (x + y )
2
V s
suma del potencial gravitatorio terrestre V y el potencial centrífugo φ. A este potencial
obtenido como suma de los anteriores se le llama potencial de la gravedad, siendo su fuerza
asociada conocida con el nombre de gravedad. Ésta puede ser obtenida mediante
⎛ ∂W ∂W ∂W ⎞
,
,
grad W = ⎜
⎟=g
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
El módulo de este vector, o magnitud de la gravedad, se suele expresar en gales siendo 1 gal
2
= 1 cm/seg . La magnitud de este vector se incrementa sobre la superficie de la Tierra cuando
vamos desde el ecuador hacia los polos, debido a que disminuye la fuerza centrífuga.
Concretamente, la gravedad en el ecuador es 978 gal y en los polos 983 gal,
aproximadamente.
21
En lo referente a W, el potencial de la gravedad, hay que recordar que la superficie
para la cual éste es constante, es decir, W(x, y, z) = W0, se denomina superficie equipotencial
o superficie de nivel, siendo el geoide la superficie de equipotencial del campo de gravedad
terrestre que coincide con el nivel medio de los océanos. La figura 2(a) nos muestra la
relación que existe entre las superficies de nivel y la línea de la plomada, notando que estas
superficies son normales a la línea de la plomada.
(b)
(a)
Fig. 2. (a) Superficies equipotenciales del campo de gravedad terrestre y línea de la plomada
en un punto P. (b) Gravedad sobre una superficie equipotencial.
Las líneas de la plomada o normales a las superficies equipotenciales, son curvas de
radio de curvatura finito y torsión no nula. Estas curvas son muy importantes en la geodesia,
pues sirven para medir la altura de un punto P con respecto al geoide, a esta altura se le llama
altura ortométrica. Esta altura no debe ser confundida con la altura sobre el nivel del mar,
debido a que el geoide no es una superficie de océano ideal. Por ello, el geoide no coincide
exactamente con el nivel del mar. En este sentido, uno de los objetivos de la geodesia es
encontrar la separación de la superficie del océano y el geoide.
Centrándonos ahora en el concepto de altura ortométrica, podemos notar que el
desplazamiento elemental dr, será paralelo a la línea de la plomada, en cada punto de la
misma, por tanto
dW = g.dr = g dH cos (g, dr) = g dH cos 180º = - g dH
resultando obvio, que la gravedad no puede ser constante en la misma superficie
equipotencial, debido a que estas superficies no son ni regulares ni concéntricas, con respecto
al centro de masas de la Tierra. Esta situación está bien ilustrada en la figura 2(b), en la que
podemos observar que
⇒
g1 ≠ g 2
dW = -g1dH1 = -g2dH2
por ser dH1 ≠ dH 2 .
También hay que notar que esta definición de altura, en la que la superficie de
referencia es el geoide, nos lleva a establecer un sistema de alturas en el que obtenemos la
altura de un punto P en la forma
22
H=-
∫
W
dW
=
g
W0
∫
C
dC
0 g
donde C = W - W0 es denominado número geopotencial.
Llegados a este punto cabe preguntarse qué relación existe entre este sistema de
alturas y las alturas determinadas sobre el elipsoide de referencia. La respuesta a esta cuestión
puede verse bien ilustrada en la figura 3(a), en la que representamos para un punto P, sus
alturas asociadas, tanto la elipsoidal h como la ortométrica H, existiendo la sencilla relación
h=H+N
entre ambas alturas.
normal
geoide
elipsoide
(a)
(b)
Fig. 3. (a) Altura ortométrica y elipsoidal en un punto P. (b) Elipsoide de referencia.
En consecuencia, determinada h o H, obtener la otra altura es sencillo si se conoce N,
la ondulación del geoide. Éste es uno de los problemas principales de la geodesia práctica o
aplicada, la determinación de las alturas del geoide sobre un elipsoide de referencia dado.
Para resolver este problema hemos de fijar, en primer lugar, un elipsoide de referencia que sea
lo más cercano a la figura de la Tierra, tomando por ello un elipsoide de revolución
ligeramente aplanado por los polos. Este elipsoide vendrá definido entonces por dos
parámetros, su semieje mayor a (aproximadamente el radio ecuatorial terrestre) y su
aplanamiento f definido por
a - b
f=
a
ecuador
(a)
(b)
Fig. 4. (a) Latitud astronómica de un punto P. (b) Desviación de la vertical en el punto P.
23
donde b es el semieje menor. La figura 3(b) muestra las coordenadas elipsoidales de un punto
P, sobre el elipsoide de referencia elegido. Estas coordenadas (φ, λ, h) no son obviamente las
coordenadas que determinamos en una campaña geodésica. En una campaña geodésica
realizada con instrumentos tradicionales (es decir, sin GPS) determinamos las coordenadas
naturales (Φ, Λ, H). Esto es debido a que cuando situamos un instrumento sobre el terreno, la
vertical es para nosotros la dirección de la línea de la plomada, tal como puede verse en la
figura 4(a), siendo la latitud y longitud del lugar, la latitud y longitud astronómicas. La
separación que existe entre la línea de la plomada y la normal al elipsoide de referencia en el
punto P, punto en el que situamos el instrumento, está representada en la figura 4(b). A partir
de esta figura pueden obtenerse las relaciones
ξ=Φ-φ
η = (R cos φ )(Λ - λ) = (Λ - λ) cos φ
donde R es el radio de la esfera situada en el punto P, cuyo valor es la unidad. Las cantidades
(ξ, η) reciben el nombre de componentes de la desviación de la vertical. Así, las medidas
realizadas sobre el terreno en un vértice de una red geodésica (ΦP, ΛP, HP), deben ser
reducidas a las cantidades (φP, λP, hP), medidas sobre el elipsoide de referencia utilizado en la
campaña de triangulación, mediante las fórmulas
η
,,
h=H+N
φ=Φ-ξ
,,
λ=Λcos φ
donde si son conocidas la ondulación del geoide y las componentes de la desviación de la
vertical, será fácil pasar del sistema de referencia físico al sistema de referencia matemático o
viceversa.
A la vista de lo dicho en este apartado, el problema que queda planteado es pues la
determinación de las cantidades (N, ξ, η). Precisamente, éste va ser el objetivo del siguiente
apartado. En primer lugar abordaremos el problema de calcular N, indicando a continuación
como pueden calcularse (ξ, η). Estos aspectos se comentarán brevemente remitiendo al lector
(como en otras ocasiones) a unas referencias especializadas, para conseguir una descripción
más detallada de los métodos que se siguen en la obtención de las cantidades mencionadas.
11. Ondulación del geoide y desviación de la vertical
Cuando observamos la figura 3(a), notamos que la cantidad N que hemos definido
como ondulación del geoide, puede obtenerse relacionando el elipsoide de referencia y el
geoide. Para relacionar ambas figuras de la Tierra, es necesario notar que podemos escribir el
potencial W en la forma
W(x, y, z) = U(x, y, z) + T(x, y, z) ,, U(x, y, z) = V(x, y, z) + φ(x, y, z)
donde T se denomina potencial perturbador o potencial anómalo y U es la función potencial
normal, asociada a un elipsoide de revolución cuya ecuación es
x 2 + y2
a2
z2
+ 2 =1
b
Entonces, la pequeña separación que existe entre la superficies W(x, y, z) = W0 y U(x, y, z)
= U0 (con U0 = W0), estará relacionada directamente con el término T(x, y, z) mediante
(Heiskanen y Moritz, 1985)
24
N=
T
(Fórmula de Bruns) ,, γ = grad U
γ
donde γ es denominada la gravedad normal. Este vector tendrá la dirección de la normal al
elipsoide de referencia, tal como se indica en las figuras 3(b) y 4(b), siendo su diferencia con
el vector gravedad denominada anomalía de la gravedad ∆g. Esta última cantidad definida
nos permite obtener el potencial perturbador y como consecuencia la ondulación del geoide,
si llevamos a cabo un desarrollo en armónicos en esféricos de este potencial perturbador T
(Heiskanen y Moritz, 1985), teniendo como resultado final las importantes relaciones
T=
R
2π
∫∫
∆g S(ψ) dσ ,, N =
σ
R
4πG
∫∫ ∆g S(ψ) dσ (Fórmula de Stokes)
σ
[
1
S( ψ ) =
- 6 sen ( ψ/2) + 1 - 5 cos ψ - 3 cos ψ ln sen ( ψ/2) + sen 2 ( ψ/2)
sen ( ψ/2)
]
donde R es el radio medio terrestre (6371 km), G es el valor medio de la gravedad sobre la
Tierra (979.8 gales) y σ es el área de la esfera unidad. Estando por ello las integrales
anteriores extendidas a toda la esfera unidad, tal como se indica en la figura 5(a). En esta
figura y en la figura 5(b), podemos ver que el papel que juega el ángulo ψ.
(a)
(b)
Fig. 5. (a) Notaciones seguidas para obtener la fórmula de Stokes. (b) Relación entre las
coordenadas polares (ψ, α) y las coordenadas geográficas (φ, λ), en la esfera de radio unidad.
La fórmula de Stokes publicada por él en 1849, es la expresión matemática más
importante de la Geodesia Física, debido a que hace posible conocer la figura de la Tierra (es
decir, la ondulación del geoide) a partir de datos gravimétricos. Debemos notar también que
la ecuación integral de Stokes es el vínculo fundamental entre el campo de gravedad terrestre
y la figura de la Tierra, confirmando la afirmación realizada al principio de este capítulo,
cuando se decía que para avanzar hacia una figura de la Tierra más precisa que un elipsoide
de revolución, era necesario considerar el campo de gravedad que crea la masa de la Tierra.
Vemos ahora totalmente claro el papel tan importante que juega el estudio y determinación
del campo de gravedad terrestre, en la obtención precisa de la figura de la Tierra, ya que, si
disponemos una colección de datos suficiente (consistente en anomalías de la gravedad
25
determinadas por toda la Tierra, entre otros datos) podemos obtener la ondulación del geoide,
tal como se indica en las figuras 6(a) y 6(b).
(a)
(b)
Fig. 6. (a) Mapa de la ondulación del geoide sobre un elipsoide de revolución. (b) Imagen del
geoide en 3D mostrando los detalles de la forma del geoide, a una escala en la que se han
exagerado los valores de la ondulación para ver mejor dichos detalles.
No obstante, hay que señalar algunas limitaciones en la aplicación de la fórmula de
Stokes, debidas a las hipótesis realizadas para la obtención de la misma. Concretamente,
debemos notar que:
1. La fórmula presentada para la ondulación del geoide ha sido obtenida considerando que el
elipsoide de referencia (superficie U(x, y, z) = U0), tiene el mismo potencial que el geoide
(U0 = W0). Además, esta superficie debe encerrar en su interior una masa que sea
numéricamente igual a la de toda la Tierra.
2. El elipsoide de referencia debe tener su centro en el centro de la Tierra.
3. El potencial anómalo o potencial perturbador debe ser armónico fuera del geoide, es decir,
T(x, y, z) puede ser desarrollado en armónicos esféricos. Esto significa que el efecto de
las masas por encima del geoide, debe ser eliminado aplicando adecuadas reducciones a
los valores de la gravedad determinados. De lo contrario, no será posible aplicar la
expresión integral de Stokes.
En consecuencia, la determinación práctica del geoide, tal como se muestra en la
figura 6(a), requerirá modificar la fórmula de Stokes para poder utilizar un elipsoide de
referencia arbitrario. De tal forma que podamos emplear en el cálculo del geoide, una
superficie de referencia U(x, y, z) = U0 para la que no se requiera que U0 = W0, condición que
en la práctica puede ser muy difícil de conseguir, limitando mucho los posibles elipsoides a
emplear. Por otra parte, el cálculo por este método gravimétrico de la ondulación del geoide,
nos obligará a eliminar el efecto de las masas por encima del geoide, adoptando para ello
diversas hipótesis que podemos encontrar desarrolladas con detalle en la bibliografía más
básica de la Geodesia Física (Heiskanen y Moritz, 1985; Vanícek y Krakiwsky, 1986).
Llegados a este punto cabe preguntarse si existe alguna expresión parecida a la
fórmula de Stokes, que nos permita calcular la desviación de la vertical en un punto P del
geoide. La respuesta es afirmativa, existen unas fórmulas parecidas a dicha fórmula que nos
permiten hallar las componentes (ξ, η) de la desviación de la vertical, a partir de un conjunto
26
de anomalías de la gravedad distribuidas por toda la Tierra. Estas fórmulas son debidas a
Vening Meinesz y fueron obtenidas por este geodesta en 1928, su expresión es (Heiskanen y
Moritz, 1985)
⎧ξ ⎫
1
⎨ ⎬=
⎩ η ⎭ 4 πG
2π
π
α=0
ψ =0
∫ ∫
∆g(ψ, α)
dS(ψ )
dψ
⎧cos α ⎫
⎨
⎬ sen ψ dψ dα
⎩sen α ⎭
donde α y ψ son las coordenadas polares sobre la esfera de radio unidad, tal como se indica
en la figura 5(b), siendo dσ = sen ψ dψ dα y S(ψ) la función de Stokes, cuya expresión ha
sido dada anteriormente.
12. Ondulación del geoide y alturas ortométricas. Método GPS-Nivelación
Después de todo lo dicho en el apartado anterior, cuando volvemos a la sencilla
fórmula
h = H +N
notamos que al obtener la cantidad N, tal como se ha indicado antes, siguiendo el método
gravimétrico, podemos escribir
H=h-N
de donde, conocida la altura elipsoidal h del punto P considerado y determinado N mediante
la integral de Stokes, puede hallarse la altura ortométrica H de ese punto. Cabe ahora
preguntarse si es posible determinar también H, mediante los valores de la gravedad medida
en la superficie de la Tierra, porque en caso afirmativo podríamos calcular la altura del geoide
en un punto P, sin necesidad de recurrir a la integral de Stokes, la cual requiere para su
solución una colección suficiente de medidas de la gravedad distribuidas por toda la Tierra.
En efecto, puede hallarse con precisión la altura ortométrica H de un punto sin tener
conocimiento del geoide, o al menos sin un conocimiento detallado o muy preciso del mismo.
El procedimiento que se sigue para calcular las alturas ortométricas directamente sobre el
terreno se llama nivelación de precisión. A continuación vamos a describir este proceso con
cierto detalle.
En principio, el procedimiento de nivelación geométrica es bien conocido por los
topógrafos, consiste en medir la diferencia de altura entre dos puntos A y B, como los
representados en la figura 7(a), mediante la observación de la diferencia de lecturas sobre dos
miras verticales situadas en los puntos considerados. La diferencia de altura entre los dos
puntos resulta ser entonces, la diferencia de las lecturas l1 y l2, observadas con el nivel
(instrumento de nivelación), es decir
δHAB = l1 − l2 = A A − B B
siendo δHAB la diferencia de altura geométrica entre los puntos A y B. Cuando este
procedimiento se repite una y otra vez, siguiendo un circuito de nivelación, es decir, una línea
de nivelación cerrada, la suma algebraica de los incrementos de nivelación o diferencias de
altitud medidas, no es exactamente cero, como cabría esperar si realizamos estas medidas con
gran precisión. Este error, que se conoce como error de cierre de un circuito de nivelación,
nos indica que el procedimiento de nivelación exacto, es algo más complicado que la simple
determinación de las diferencias de altura.
27
geoide
(a)
(b)
Fig. 7. (a) Esquema del procedimiento de nivelación geométrica. (b) Diferencias de alturas
ortométricas debidas al no paralelismo de las superficies de nivel.
Para entender lo que sucede basta considerar dos puntos A y B, suficientemente
alejados, de tal manera que el proceso mostrado en la figura 7(a), debe ser aplicado repetidas
veces. Esta situación es la que está representada en la figura 7(b), en esta figura la diferencia
de altitud nivelada δn, es distinta al incremento δHB en la línea de la plomada que pasa por B.
Ello es debido al no paralelismo de las superficies de nivel, tal como se ve en la figura, en
consecuencia, si designamos por δW el incremento del potencial de la gravedad, tenemos
− δW = g δn = g’δHB
donde g es la gravedad en la estación de nivelación y g’ es la gravedad sobre la línea de la
plomada de B en δHB. La relación anterior implica que
δHB =
g
δn ≠ δn
g'
no habiendo relación geométrica directa entre el resultado de la nivelación geométrica y la
diferencia del alturas ortométrica. Esta consecuencia es inmediata si notamos que la
combinación de medidas geométricas con la gravedad, nos proporciona la diferencia de
potencial δW, de tal forma que
WB − WA = −
B
∑ g δn
A
Así, la nivelación combinada con medidas de la gravedad nos proporciona diferencias
de potencial, esto es, cantidades físicas no geométricas con una ventaja añadida, la diferencia
de potencial entre dos puntos es independiente del camino que se siga, obteniéndose el mismo
resultado con independencia de los itinerarios que se sigan, por ello, si medimos a lo largo de
un circuito de nivelación (seguimos un trayecto cerrado) sucede que
WA − WA = 0 =
∫
A
g dn
A
donde hemos cambiado el sumatorio por la integral por ser teóricamente más riguroso. Este
resultado es imposible, en general, si consideramos sólo medidas geométricas, ya que, la
suma de incrementos de nivelación depende de la trayectoria, esto es
28
∆nAB =
B
∑
δn ,,
A
∫
A
dn = error de cierre
A
Como consecuencia de todo lo dicho, las diferencias de potencial son básicas en toda
teoría de altitudes, concluyendo que la nivelación sin medidas de gravedad, que en la práctica
puede aplicarse a pequeñas distancias (para las que las superficies de nivel son prácticamente
paralelas), no tiene significado desde un punto de vista riguroso, llevando a contradicciones
como es el error de cierre. Todo esto hace
que se considere, en trabajos geodésicos de
gran precisión como es la nivelación de
precisión, la diferencia de altura
ortométrica δHAB en lugar de la diferencia
de altura geométrica ∆nAB, ya que, tal
como puede verse en la figura 7(b), las
alturas de los puntos A y B sobre el geoide
HA y HB, son siempre las mismas con
independencia del trayecto de nivelación
que se siga entre ambos, debido a que la
Fig. 8. Altura ortométrica de un punto P
definición de altura ortométrica es
sobre
la superficie de la Tierra.
consecuencia de principios físicos, no una
cantidad obtenida de un sumatorio.
Quedando claro qué sistema de alturas debe usarse para obtener una gran precisión, el
problema planteado es la realización de esta medida de altura, es decir, el procedimiento
operativo que debe seguirse para calcular la altura ortométrica de un punto P. Para ello,
vamos a considerar un punto P sobre la superficie de la Tierra, tal como se indica en la figura
8, designando por P0 la intersección con el geoide de la línea de la plomada que pasa por P.
Entonces, recordando la definición de número geopotencial, podemos escribir
W0 – W = C =
donde
∫
H
g dH = H
0
g =
1
H
∫
H
1
H
∫
H
g dH = g H
0
g dH
0
es el valor medio de la gravedad sobre la línea de la plomada entre P y P0. La expresión
anterior nos permite obtener la altura ortométrica del punto P en la forma
C
H=
g
esta ecuación no es una tautología, es realmente una fórmula de utilidad práctica, debido a
que la gravedad media g no depende fuertemente con la altura ortométrica. En consecuencia,
sin un conocimiento preciso de la altura del punto P sobre el geoide, es decir, con un valor
inicial de H suficientemente cercano a la verdadera altura ortométrica, podemos abordar el
cálculo de la gravedad g . En este sentido, podemos encontrar expresiones aproximadas de g
en diversos libros de geodesia (Heiskanen y Moritz, 1985).
Por otra parte, si se quiere aplicar la sencilla fórmula anterior es necesario hallar,
además de g , el número geopotencial de P designado por C. Para ello, un procedimiento que
29
puede seguirse es elegir un punto O al nivel del mar (es decir, sobre el geoide), eligiendo un
punto apropiado sobre la costa. Entonces, puede determinarse el número geopotencial de P
aplicando la integral
C = W0 – W =
∫
P
g dn
0
siendo como ya sabemos independiente del itinerario de nivelación utilizado para relacionar
los puntos P y O. El número geopotencial se mide en unidades geopotenciales (u. g. p.). Estas
unidades están derivadas de las unidades de la gravedad y de la altura, mediante la relación
1 ugp = 1 kgal.m = 1000 gal.m
como g es aproximadamente 0.98 kgal, tenemos que C es aproximadamente igual a 0.98H.
Los procedimientos descritos para el cálculo de los números geopotenciales y el valor
de la gravedad media g , introducen un error muy pequeño en la determinación de la altura
ortométrica. De tal forma, que las altitudes ortométricas pueden obtenerse con una precisión
muy alta. Este hecho es fundamental en la geodesia, pues podemos emplearlas como un
sistema de alturas muy preciso, pudiendo introducirlas como dato de gran precisión, en
cualquier cálculo que requiera la altura de los puntos sobre la superficie de la Tierra.
Concretamente, al retomar la fórmula presentada al principio de este apartado
h=H+N
si H puede ser obtenida con gran precisión siguiendo mediante nivelación de precisión y h
puede también ser obtenida con gran precisión, por ejemplo, empleando para ello un sistema
de posicionamiento como GPS, resulta como consecuencia que la determinación del geoide
mediante estas dos cantidades, tendrá una precisión tan alta como la que poseen las medidas
de alturas elipsoidales y ortométricas.
Esta técnica es muy empleada en la actualidad para obtener las alturas del geoide
sobre el elipsoide de referencia, en trabajos geodésicos de gran precisión, basta mencionar
como ejemplo el proyecto ALGESTAR (Bürki and Marti, 1990), cuyo objetivo fue llevar a
cabo la computación de un nuevo geoide para Suiza, comprobando al mismo tiempo la
fiabilidad de las medidas GPS en una zona muy montañosa. Para ello, se obtuvieron las
ondulaciones del geoide aplicando la ecuación
N=h−H
donde h fue obtenida a partir de observaciones GPS y H a partir de la computación de los
números geopotenciales (nivelación de precisión), siguiendo las líneas de nivelación de la
Red Nacional de Nivelación que une los 40 vértices geodésicos de la Red Suiza de
Triangulación. El resultado de este proyecto fue la obtención de las ondulaciones geoide para
Suiza con una gran precisión.
13. Cálculo gravimétrico del geoide
En el apartado 9 indicamos que los receptores GPS permiten calcular las alturas
elipsoidales, pero es necesario obtener las alturas respecto al nivel del mar (alturas
ortométricas), para muchos fines prácticos. Entonces, las alturas elipsoidales se deben
convertir en alturas ortométricas restando la altura del geoide. Para ello, es necesario
computar las alturas del geoide, al menos con la misma precisión que la altura elipsoidal, para
30
la latitud y longitud del punto considerado. En este aspecto se centra una de las principales
aplicaciones de la geodesia física, puesto que permite obtener la altura del geoide para
cualquier punto de la Tierra. Estas alturas del geoide se refieren, generalmente, al Sistema
Geodésico de Referencia de 1980 (GRS80).
Los modelos geopotenciales pueden servir para calcular la ondulación del geoide. No
obstante, las alturas del geoide provenientes de un modelo geopotencial no son, en general,
suficientemente precisas. Por ello, es necesario determinar una corrección a las mismas. Esta
corrección se determina a partir de las anomalías de la gravedad medidas sobre el terreno,
para computar así un modelo de geoide más preciso. Debido a que las anomalías observadas
sobre el terreno, están dadas en un área limitada y no pueden por tanto utilizarse para resolver
la longitud de onda larga del campo de gravedad terrestre, es necesario considerar un modelo
geopotencial para la computación de tales longitudes de onda. Como veremos a continuación,
la contribución de esta longitud de onda larga corresponde a una aproximación suave del
geoide, para la región bajo estudio.
El cálculo gravimétrico de una altura del geoide muy precisa, para una región dada,
tendrá una gran utilidad práctica directa e inmediata para toda la comunidad de usuarios de
GPS (Kaula, 1987). Estos resultados permitirán incorporar modelos más realísticos a los
algoritmos de cálculo de las alturas ortométricas, reportando una mejora en la precisión de las
alturas mencionadas, lo que conllevará evidentes beneficios para la geo-referenciación, la
fotogrametría o el control geométrico de obras. En suma, serán beneficiarios de tales
resultados aquellos científicos y técnicos, interesados en una localización más precisa sobre el
terreno. Puesto que, usando medidas de posición con el sistema GPS obtendrán a la vez una
precisión suficiente en planimetría, junto con una altura ortométrica precisa, hallada a partir
de un modelo de geoide (cuya ondulación sea precisa) y la altura elipsoidal dada por GPS,
pudiendo realizar medidas precisas de alturas ortométricas sin nivelación (Schwarz et al.,
1987).
En relación con lo dicho en el párrafo anterior, algunas de las aplicaciones concretas
en las que se puede usar directamente un modelo de geoide local son:
Fotogrametría. Tener un modelo de geoide, supone poder tomar puntos de apoyo sin
necesidad de apoyarse en las redes geodésicas, que es lo que se hace actualmente para
calibrar la altura elipsoidal (la obtenida con GPS), a altura ortométrica en la zona de
trabajo (la que se necesita para la orientación absoluta del modelo estereoscópico).
Para ello, suponemos que elipsoide y geoide son paralelos en esa zona, cosa que no es
rigurosamente cierta. La limitación del trabajo de apoyo en campo en Fotogrametría,
ya sólo estaría limitada por la capacidad de los equipos empleados y se elevaría el
rendimiento de éstos, puesto que no habría que inmovilizar equipos GPS para las
calibraciones. Además de lo mencionado anteriormente, si se dispusiese de un marco
de referencia común entre los puntos sobre el terreno y el centro de proyección de las
cámaras aéreas, se simplificaría todavía más el trabajo de apoyo de campo.
Topografía. Disponer de un modelo de geoide supondría poder realizar topografía de
obras con GPS, cosa que hasta ahora está limitada a control planimétrico. Con GPS el
control geométrico se abarata pues el número de operarios mínimos necesarios se
reduce a la mitad.
31
Caracterización agronómica y medioambiental. La posibilidad de determinar la altitud
sobre el nivel del mar de forma rápida y eficaz, permitiría añadir la altitud como
variable de estudio en los SIG (Sistemas de Información Geográfica), para su
inclusión en los posteriores análisis con las demás variables geográficas.
Control hidrográfico, aforo de cuencas y temas hidráulicos en general. Estos temas se
verían especialmente beneficiados, ya que, también se abarataría el coste de estas
actuaciones al poder ser realizadas con GPS, que de no disponer de modelo de geoide
no se podrían realizar. El agua circula en el sentido de los potenciales gravitatorios
decrecientes y el sentido de los potenciales gravitatorios (altimetría obtenida por
nivelación clásica) puede deducirse con el modelo de geoide y la altura elipsoidal.
Vista la importancia que tiene usar un modelo de geoide preciso, vamos a ver aquí
cuál es el procedimiento operacional para obtenerlo. Para comenzar, hay que decir que las
técnicas que vamos a describir a continuación, se han mostrado herramientas eficaces a la
hora de indagar la ondulación del geoide, en distintas regiones de la Tierra (Kearsley, 1988;
Forsberg and Kearsley, 1989; Torge et al., 1989; Yun, 1994). Estas técnicas pretenden evitar
el problema que conlleva la obtención de anomalías de la gravedad en un área limitada,
puesto que con estos datos no podemos resolver las largas longitudes de onda del campo
gravitatorio terrestre. Por ello, necesitamos considerar un modelo geopotencial con el que
podemos obtener estas longitudes de onda larga. Así, en un paso previo de computación,
obtendremos las anomalías aire-libre referidas al modelo geopotencial, computando la
diferencia con las anomalías predichas por este modelo, estas diferencias serán usadas en un
procedimiento de integración con la FFT (Schwarz et al., 1990), para obtener finalmente la
ondulación del geoide, la cual en un proceso de computación posterior será añadida a la
ondulación del geoide predicha por el modelo geopotencial considerado. En suma, el proceso
a seguir consta de las etapas que a continuación serán descritas (Corchete et al., 2005).
Interpolación de los datos de gravedad. En primer lugar, hay que saber que si queremos
aplicar técnicas basadas en la Transformada de Fourier Rápida (FFT), es necesario pasar de la
distribución irregular de puntos, dada por la localización geográfica de nuestras medidas de
anomalías aire-libre de la gravedad, a una distribución regular de puntos en forma de una
rejilla de puntos equidistantes. Como ejemplo, podemos ver en la figura 9(a) los datos de
gravedad disponibles para calcular un modelo de geoide para el área ibérica. A la vista de esta
figura notamos que estos puntos no están distribuidos de forma regular, hay zonas con
muchos puntos y otras áreas que tienen muy pocos. Con esta distribución de valores no
podemos aplicar las técnicas basadas en la FFT, pues estas técnicas requieren una distribución
regular de puntos en forma de una rejilla de puntos equidistantes, como muestra la figura 9(b).
Por otra parte, antes del proceso de interpolación es necesario reducir los valores de estas
anomalías de la gravedad, con el objeto de trabajar con una colección de puntos cuyos valores
sean lo más parecidos entre ellos que sea posible, para facilitar el trabajo de la interpolación y
obtener entonces tras este proceso la mejor rejilla de valores posible. Para ello, antes de la
interpolación es muy conveniente eliminar los efectos de corta longitud de onda debidos a la
topografía y la batimetría. Esta corrección se llama corrección RTM (Forsberg and
Tscherning, 1997) y nos permite obtener un campo de anomalías aire-libre suavizado, muy
adecuado para la interpolación a una rejilla regular. Esta corrección suele ser aplicada junto
con una corrección de onda larga, obtenida restando las anomalías de la gravedad predichas
por un modelo geopotencial, a los valores de las anomalías aire-libre observadas. En suma, la
corrección total que debemos aplicar a los valores de anomalías aire-libre mostrados en la
figura 9(a) está dada por
32
pts
pts
pts
∆g red
= ∆gfree
− 2πkρ( h − h ref ) pts + c pts − ∆gGM
(13.1)
donde el superíndice pts denota cada punto distribuido sobre el área de estudio de forma
aleatoria, ∆g free es la anomalía aire-libre determinada en ese punto (figura 9(a)), k es la
constante de gravitación de Newton, ρ es la densidad de la topografía (2.67 g/cm3) para la
corrección RTM en tierra o la densidad de la topografía menos la densidad del agua marina
(2.67 – 1.03 = 1.64 g/cm3) para la corrección RTM marina, h es la elevación, h ref denota la
elevación de la superficie de referencia, c es la corrección del terreno computada para puntos
terrestres y marinos y ∆gGM es la anomalía de la gravedad computada desde un modelo
geopotencial (esta computación será luego descrita).
(a)
(b)
Fig. 9. (a) Distribución geográfica de los valores de anomalías aire-libre de la gravedad,
medidos para el área ibérica. (b) Mapa de las anomalías de la gravedad interpoladas tras ser
reducidas mediante la fórmula (13.1).
En la fórmula (13.1), la superficie de referencia (cuya elevación h ref es necesario
calcular) se obtiene mediante la aplicación de un filtro pasa baja en 2D, con una longitud de
onda de corte de 60 minutos de arco. Este filtro se aplica al campo de elevaciones
proporcionado por el modelo digital del terreno completado con la batimetría del área de
estudio (Corchete et al., 2005). En la figura 10(a) podemos ver dicho campo de elevaciones y
en la figura 10(b) la superficie de referencia obtenida con el filtrado 2D. Respecto a la
corrección del terreno c, es necesario calcularla en ambos dominios terrestre y marítimo,
porque tenemos datos de gravedad tanto terrestres como marinos. Esta corrección se calcula
por integración en cada punto representado en la figura 9(a), por medio del procedimiento
clásico de integración descrito por Torge (1989). En esta integración se ha considerado la
densidad de las masas topográficas 2.67 g/cm3 y 1.03 g/cm3 la densidad del agua marina,
extendiéndose la computación hasta una distancia de 0.75 grados desde el punto considerado.
Cuando hemos obtenido las anomalías suavizadas mediante la aplicación de (13.1),
podemos ya interpolarlas para obtener la distribución regular de anomalías mostrada en la
figura 9(b). Esta interpolación puede realizarse con cualquier software comercial diseñado a
tal efecto, pues la colección de valores a interpolar está tan suavizada que cualquier software
de calidad podrá fácilmente realizar dicha interpolación.
33
(b)
(a)
Fig. 10. (a) Modelo de elevaciones del terreno proporcionado por el modelo digital del
terreno SRTM, completado con la batimetría dada por ETOPO2. (b) Superficie de referencia
obtenida mediante el filtrado 2D del campo de elevaciones representado en la figura 10(a).
Finalmente, debemos restaurar en estas anomalías interpoladas la información que
hemos quitado antes para suavizarlas, es decir, debemos incorporar el efecto RTM que hemos
quitado, pues de lo contrario nuestras anomalías habrían perdido gran parte de su información
original. Para llevar a cabo esta restauración empleamos la fórmula
grid
grid
∆g grid
− c grid
free = ∆g red + 2πkρ( h − h ref )
donde el superíndice grid denota cada punto
de la rejilla regular considerada, ∆g free es
la anomalía aire-libre de la gravedad
representada en la figura 11 y ∆g red es la
anomalía de la gravedad reducida por (13.1)
e interpolada en una rejilla regular (figura
9(b)). Hay que notar que 2πkρ( h − h ref ) y c
son computados en la misma forma que
antes, pero ahora sobre la rejilla regular de
puntos considerada. La figura 12(a) muestra
los valores del término 2πkρ( h − h ref ) y la
figura 12(b) los valores de la corrección del
terreno c.
(13.2)
Fig. 11. Anomalías de la gravedad obtenidas
tras la aplicación de la fórmula (13.2).
La corrección del terreno puede ser positiva o negativa cuando es computada en áreas
marinas, dependiendo de la forma de la superficie del fondo marino (Torge, 1989). Esto no es
posible en áreas continentales en las que la corrección del terreno es siempre positiva.
Computación del geoide. Cuando ya tenemos la rejilla de las anomalías de la gravedad,
estamos en disposición de aplicar las técnicas basadas en la FFT, para calcular el geoide. Este
cálculo se llevará a cabo sumando los tres términos siguientes
N = N1 + N2 + N3
(13.3)
donde N1 es término de onda larga obtenido a través de un modelo geopotencial, N2 es la
contribución del efecto indirecto originado por la reducción de Helmert y N3 es el término de
longitud de onda corta, obtenido de la integración de los datos de gravedad dados por (13.2),
34
siguiendo el segundo método de condensación de Helmert. A continuación se indicará cómo
son computados los tres términos de la fórmula (13.3).
(a)
(b)
Fig. 12. (a) Término 2πkρ( h − h ref ) de la corrección RTM. (b) Corrección del terreno de la
fórmula (13.2).
Contribución de onda larga (término N1). Está contribución se obtiene mediante un modelo
geopotencial, a través del desarrollo en serie de armónicos esféricos dado por (Heiskanen y
Moritz, 1985)
kM
N1 =
rγ
n max
n n
∑ ∑P
n=2
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝r⎠
[
nm (sin ϕ) δJ nm cos mλ + δK nm sin mλ
]+ N0
(13.4)
m =0
donde (δJnm, δKnm) son los coeficientes geopotenciales totalmente normalizados del potencial
anómalo de a gravedad, a es el semieje mayor del elipsoide de referencia, kM es la constante
gravitacional geocéntrica de la Tierra, Pnm son las funciones de Legendre completamente
normalizadas, (r , ϕ, λ) son la posición geocéntrica de los puntos sobre la superficie del
geoide, γ es la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, nmax es el grado máximo de
el modelo geopotencial considerado y N0 el término de grado cero del desarrollo.
(a)
(b)
Fig. 13. (a) Ondulación del geoide obtenida a través de un modelo geopotencial para el área
de estudio. Intervalo entre isolíneas: 1m. (b) Anomalía de la gravedad obtenida a través de un
modelo geopotencial para el área de estudio.
35
En la computación de la ecuación (13.4), es necesario obtener la posición geocéntrica
r del punto considerado sobre el geoide, para ello, podemos seguir el procedimiento en dos
pasos indicado por Kuroishi (1995). Según este procedimiento, calculamos en primer lugar el
radio geocéntrico elipsoidal rE asociado a las coordenadas (ϕ, λ) del punto considerado. En un
segundo paso y por medio de la ecuación (13.4), poniendo r = rE obtenemos la anomalía en
altura ξE, la cual puede ser usada como una primera aproximación de la ondulación del geoide
en el punto considerado. Finalmente, obtendremos el valor de N(ϕ, λ) en la posición
geocéntrica del punto considerado r, empleando la fórmula (13.4) con el valor r = rE + ξE.
Hay que notar que según este método de computación, r es considerado como la posición
geocéntrica de un punto P sobre el geoide, en lugar de considerar la posición geocéntrica del
punto P sobre la superficie de la Tierra. Por esta razón, siguiendo este método de computación
en dos pasos, lo que obtenemos son ondulaciones del geoide en lugar de anomalías en altura.
En la figura 13(a) podemos ver los resultados obtenidos mediante la aplicación de la fórmula
(13.4), a los puntos de la rejilla regular ubicada en el área de estudio.
Las anomalías de la gravedad predichas por un modelo geopotencial, son necesarias
para reducir las anomalías aire-libre observadas, tal como indica la ecuación (13.1). Estas
anomalías de la gravedad, obtenidas a partir de un modelo geopotencial, pueden calcularse
mediante el desarrollo en serie (Heiskanen y Moritz, 1985)
∆gGM =
kM
r2
n max
∑
n=2
⎛a⎞
( n − 1)⎜ ⎟
⎝r⎠
n n
∑P
[
nm (sin ϕ) δJ nm cos mλ + δK nm sin mλ
] + ∆g 0
(13.5)
m =0
donde ∆g0 es el término de grado cero del desarrollo. En la computación de la formula (13.5),
hemos usados el valor de la posición geocéntrica r obtenida previamente para la fórmula
(13.4). La figura 13(b) muestra los resultados obtenidos mediante la aplicación de la fórmula
(13.5), a los puntos de la rejilla regular ubicada en el área de estudio.
Efecto indirecto (término N2). El efecto indirecto en el geoide debido a la aplicación del
segundo método de condensación de Helmert, se puede calcular en aproximación plana
mediante los dos términos (Sideris, 1990)
h 3 ( x, y ) − h 3 ( x p , y p )
πkρ 2
kρ
(13.6)
dxdy
N2 = −
h (x p , y p ) −
γ
6γ
2
2 3/ 2
( x p − x) + ( y p − y)
A
∫∫ [
]
donde k es la constante gravitacional de Newton, ρ es la densidad de las masas topográficas
(supuesta constante con valor 2.67 g/cm3), (xp, yp) son las coordenadas del punto de
computación, (x, y) son las coordenadas de los puntos de integración, γ es la gravedad normal
sobre el elipsoide de referencia, A es el área de estudio considerada y h(x, y) es el modelo de
elevaciones (figura 10(a)), considerando sólo elevaciones positivas, es decir, se consideran
sólo las masas sobre el geoide. La aproximación plana expresada por la ecuación (13.6) puede
ser escrita fácilmente en forma de convolución mediante (Schwarz et al., 1990)
N2 = −
Kρ 3
πKρ 2 Kρ
gh
f ∗ h3 +
h −
γ
6γ
6γ
(13.7)
donde
f ( x, y) =
1
(x 2 + y 2 )3 / 2
g=
∫∫
f ( x, y)dxdy
A
36
Así, mediante la aplicación de la formula de convolución (13.7), podemos calcular el
efecto indirecto en el geoide, debido a la aplicación del segundo método de condensación de
Helmert, obteniendo para el área de estudio considerada aquí el resultado ilustrado en la
figura 14(a).
(a)
(b)
Fig. 14. (a) Efecto indirecto en la ondulación del geoide producido en la eliminación de las
masas exteriores al geoide, según el segundo método de condensación de Helmert. (b)
Corrección del terreno asociada al segundo método de condensación de Helmert.
Contribución de las anomalías residuales (término N3). La contribución de las anomalías
residuales representadas en la figura 11, se obtendrá por integración de las mismas mediante
la expresión (Heiskanen y Moritz, 1985)
N3 =
R
4πγ
∫∫ ∆g(ψ, α) S(ψ)dσ
(13.8)
σ
donde γ es la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, R es le radio medio de la
Tierra, S(ψ) es la función de Stokes, σ es la superficie de integración (la esfera unidad) y ∆g
son las anomalías de la gravedad obtenidas mediante la fórmula (13.2), reducidas según el
segundo método de condensación de Helmert, es decir (Sideris, 1990)
∆g = ∆g free + c + δg
(13.9)
donde ∆g free son la anomalías de la gravedad computadas por medio de (13.2) y
representadas en la figura 11, c es la corrección del terreno calculada considerando sólo las
masas por encima del geoide (figura 14(b)) y δg el efecto indirecto en la anomalía de la
gravedad o efecto indirecto secundario. La figura 15(a) muestra los valores de las anomalías
reducidas mediante (13.9). La corrección del terreno de la formula (13.9) se puede calcular
mediante una aproximación lineal, que facilita su computación (Schwarz et al., 1990; Sideris,
1990). El resultado obtenido al calcular c de esta forma es mostrado en la figura 14(b). El
efecto indirecto en la anomalía de la gravedad o efecto indirecto secundario, se puede calcular
mediante la fórmula (Heiskanen y Moritz, 1985; Kuroishi, 1995)
δg = 0.3086 N2 (en mgal para N2 en metros)
donde N2 es el efecto indirecto en el geoide, calculado anteriormente mediante (13.7) y
representado en la figura 14(a).
37
(b)
(a)
Fig. 15. (a) Anomalías residuales obtenidas mediante la aplicación del segundo método de
condensación de Helmert, fórmula (13.9), a las anomalías calculadas mediante la fórmula
(13.2). (b) Ondulación del geoide obtenida integrando las anomalías residuales dadas por
(13.9), mediante la fórmula (13.10).
Cuando los términos de la formula (13.9) están todos calculados, estamos en situación
de realizar la integral (13.8). Para ello, podemos expresar esta integración en forma de
convolución usando la FFT en 1D (Haagmans et al., 1993), obteniendo el término N3 en la
forma
⎞
⎛ φn
⎟
R∆φ∆λ −1 ⎜
(13.10)
F1 ⎜
F1 ( ∆g cos) F1 (S) ⎟
N3 =
4πγ
⎜ φ′= φ
⎟
⎝
1
⎠
∑
donde S es la función de Stokes, F1 denota la transformada de Fourier discreta y periódica y
F1-1 es su inversa. Haagmans et al. (1993) han descrito la forma correcta de llevar a cabo la
computación dada por (13.10), por ello, siguiendo estas indicaciones podemos obtener el
valor de la ondulación residual del geoide mostrada en la figura 15(b).
Validación del geoide. Cuando sumamos los tres términos dados por la formula (13.3),
obtenemos el modelo de geoide buscado, en este caso es el geoide del área ibérica mostrado
en la figura 16(a). Para chequear la validez del modelo obtenido, debemos comparar las
ondulaciones del geoide predichas por este modelo, con las ondulaciones del geoide obtenidas
de forma independiente a este modelo. Estas medidas independientes deben haber sido
calculadas con gran precisión, para poder establecer entonces que las diferencias, entre los
valores predichos por el modelo y los valores observados o medidos, son debidas únicas y
exclusivamente al error que tiene el modelo de geoide obtenido. Para ello, lógicamente
necesitamos utilizar una colección de medidas de gran precisión, pues de lo contrario todo el
proceso de validación sería dudoso. En el área ibérica disponemos de tal colección de
medidas gracias a la red GPS-nivelación que está desplegada para toda Europa, tal como se
explicó en el apartado 4. Esta red cuyo nombre es EVRS (European Vertical Reference
System), constituye un marco de referencia fundamental para la medición de alturas con
precisión centimétrica. Concretamente, en el área ibérica esta red posee los vértices de
precisión mostrados en la figura 16(b). Cuando comprobamos el modelo obtenido y
representado en la figura 16(a), en los puntos de precisión mostrados en la figura 16(b),
obtenemos un error de 27.8 cm (Corchete et al., 2005). Este modelo no ha sido mejorado
hasta 2008, fecha en la que han sido publicados los modelos del norte (Corchete, 2008) y sur
de Iberia (Corchete et al., 2008), cuyos errores son de 12.6 y 17.0 cm, respectivamente.
38
(b)
(a)
Fig. 16. (a) Modelo de geoide obtenido para el área ibérica, mediante la suma de los tres
términos dados por (13.3). (b) Red de puntos para los cuales es conocida la ondulación del
geoide con gran precisión.
14. Componentes de la desviación de la vertical y modelo geopotencial
En algunas aplicaciones prácticas es necesario pasar de un horizonte geodésico local a
uno astronómico y viceversa. Este problema equivale a transformar las coordenadas
geodésicas (φ, λ), en las coordenadas naturales o astronómicas (Φ, Λ). En cualquier caso
sabemos que (Heiskanen y Moritz, 1985):
Φ = ξ + φ ,, Λ = η/cos φ + λ
donde (φ, λ) son conocidas para el punto P considerado, a través de la observación directa con
medidas GPS. Entonces, para determinar (Φ,Λ) es necesario conocer (ξ, η) puesto que
determinamos sobre el terreno (φ, λ). En este sentido, las fórmulas establecidas en el apartado
11 para hallar las componentes de la desviación de la vertical, no se aplican directamente para
este objetivo, pues bajo el punto de vista práctico, sería muy laborioso realizar una
integración de las anomalías de la gravedad para toda la Tierra, tal como indican las fórmulas
de Vening Meinesz. Resulta más adecuado escribir las componentes de la desviación de la
vertical en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985; Schwarz et al., 1990):
ξ=−
1 ∂T
GR ∂φ
,,
η=−
1
∂T
GR cos φ ∂λ
donde R es el radio medio terrestre (6371 km), G es el valor medio de la gravedad sobre la
Tierra (979.8 gales) y T es el potencial anómalo terrestre. Entonces, usando un modelo
geopotencial para escribir el potencial anómalo T, podemos poner (Heiskanen y Moritz, 1985;
Schwarz et al., 1990):
1
ξ=−
GR
n máx
n
∑ ∑[
n =2 m=0
δJ nm cos(mλ ) + δK nm sen( mλ )]
dPnm (sen φ)
dφ
39
1
η=−
GR cos φ
n máx
n
∑∑
mPnm (sen φ)[− δJ nm sen( mλ ) + δK nm cos(mλ )]
n =2 m=0
obteniendo también las componentes de la desviación de la vertical, a través de un modelo
geopotencial, lo mismo que hacíamos para obtener la ondulación del geoide o las anomalías
de la gravedad, en el apartado anterior (apartado 13).
15. Componentes de la desviación de la vertical y geoide
En el apartado anterior hemos visto que resulta más cómodo calcular las componentes
de la desviación de la vertical (ξ, η), a partir de un modelo geopotencial mediante un
desarrollo en serie. No obstante, todavía puede ser más útil obtenerlas desde la ondulación del
geoide, pues hemos visto en el apartado 13 que los modelos de gravimétricos de geoide
(geoides locales), pueden ser mucho más precisos que el geoide derivado de un modelo
geopotencial. Esto también resulta ser válido para las componentes de la desviación de la
vertical, podemos obtener valores más precisos de (ξ, η) si partimos de modelos de geoide
más precisos. Para ello, debemos escribir (ξ, η) en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985)
ξ=−
1 ∂N
R ∂φ
η=−
,,
1 ∂N
R cos φ ∂λ
(15.1)
Las formulas (15.1) permiten ahora calcular los valores de (ξ, η), siempre que se conozca
previamente el modelo de geoide que nos da los valores N(φ, λ), entonces derivando
obtendríamos las componentes de la desviación de la vertical. Llegados a este punto de
precisión, hay que notar que los valores de (ξ, η) se miden en la práctica sobre un punto del
terreno, no sobre el geoide. Ello es debido a que las coordenada astronómicas (Φ, Λ), son
observadas o medidas sobre la superficie de la Tierra (no sobre el geoide), entonces debido a
la curvatura de la línea de la plomada, estas coordenadas naturales no son rigurosamente
iguales a sus valores sobre el geoide. Sucediendo que (Heiskanen y Moritz, 1985)
Φgeoide = Φ terreno + δΦ ,, Λ geoide = Λ terreno + δΛ
en consecuencia, si tenemos que
Φgeoide = ξ + φ ,, Λgeoide = η/cos φ + λ
esto implica que los valores de (ξ, η) dados por (15.1) deberán ser corregidos mediante
ξterreno = ξgeoide − δΦ ,, ηterreno = ηgeoide – δΛcos φ
o lo que es lo mismo (Smith and Roman, 2001)
ξ terreno = −
1 ∂N
− δΦ , ,
R ∂φ
η terreno = −
1 ∂N
− cos φδΛ
R cos φ ∂λ
(15.2)
donde las cantidades (δΦ, δΛ) aparecen resueltas y calculadas en diversas referencias
especializadas (Heiskanen y Moritz, 1985; Smith and Roman, 2001).
En resumen, si queremos determinar las componentes de la desviación de la vertical
(ξ, η), para compararlas con valores de precisión medidos sobre el terreno, o para usarlas en
una transformación para pasar de un horizonte geodésico a uno astronómico, o viceversa, las
fórmulas (15.2) son las expresiones que debemos utilizar, pues nos permiten calcular (ξ, η) de
40
la forma más precisa y para cualquier punto sobre la superficie terrestre. Esto nos permitirá
transformar coordenadas geodésicas (φ, λ) en coordenadas astronómicas (Φ, Λ), o viceversa,
siempre que sea necesario. Para ello, será necesario disponer de un modelo de geoide preciso
para el área de estudio. Como ejemplo de aplicación de las fórmulas (15.2), podemos ver en la
figura 17 el valor que toman (ξ, η) para el norte de Iberia, obtenidas a partir del modelo
NIBGEO.
(a)
(b)
Fig. 17. (a) Componente N-S de la desviación de la vertical (ξ). (b) Componente E-W de la
desviación de la vertical (η). Ambas componentes han sido obtenidas mediante (15.2) a partir
del geoide NIBGEO.
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Bibliografía
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Prof. Dr. Víctor Corchete
Department of Applied Physics
Higher Polytechnic School - CITE II(A)
UNIVERSITY OF ALMERIA
04120-ALMERIA. SPAIN
FAX: + 34 950 015477
e-mail: corchete@ual.es
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