Schneider-componentes-simetricas

Cuaderno Técnico nº 018
Análisis de las redes trifásicas en
régimen perturbado con la ayuda
de las componentes simétricas
Benoit de Metz-Noblat
La Biblioteca Técnica constituye una colección de títulos que recogen las novedades electrotécnicas
y electrónicas. Están destinados a Ingenieros y Técnicos que precisen una información específica o
más amplia, que complemente la de los catálogos, guías de producto o noticias técnicas.
Estos documentos ayudan a conocer mejor los fenómenos que se presentan en las instalaciones, los
sistemas y equipos eléctricos. Cada uno trata en profundidad un tema concreto del campo de las
redes eléctricas, protecciones, control y mando y de los automatismos industriales.
Puede accederse a estas publicaciones en Internet:
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reproducidos en la presente obra y no serán responsables de eventuales errores u omisiones, ni de las consecuencias
de la aplicación de las informaciones o esquemas contenidos en la presente edición.
La reproducción total o parcial de este Cuaderno Técnico está autorizada haciendo la mención obligatoria:
«Reproducción del Cuaderno Técnico nº 018 de Schneider Electric».
Cuaderno Técnico no 018
Análisis de las redes trifásicas en
régimen perturbado con la ayuda de las
componentes simétricas
Benoit de METZ-NOBLAT
Ingeniero ESE, trabajó en Saint Gobain como
Ingeniero de investigación y después en la sección
de pruebas y equipos nuevos en una empresa de
producción.
Entró en Merlin Gerin en 1 986, trabajando como
Ingeniero en el servicio de estudios de redes,
especializándose en el estudio de las
sobretensiones, armónicos y la estabilidad dinámica
de las redes.
Trad.: E. Milà; J.M. Giró
Original francés: diciembre 1 990
Versión española: marzo 2 000
Análisis de las redes trifásicas en régimen
perturbado con la ayuda de las
componentes simétricas
La determinación de las dimensiones de una instalación y los materiales que la
componen, la regulación de las protecciones y el análisis de los fenómenos
eléctricos precisan, a menudo, el cálculo de las corrientes y las tensiones
presentes en las redes.
El desarrollo de este Cuaderno Técnico persigue, como finalidad primordial, la
presentación o recordatorio de un método simple de cálculo (con la ayuda de las
componentes simétricas) de todos los parámetros en las redes trifásicas en
régimen perturbado.
1 Presentación
2 Repaso matemático de la
teoría de vectores
3 Aplicaciones elementales
4 Ejemplos resueltos
2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico
p.
5
p.
6
2.2 Definición de base
p.
6
2.3 Representación vectorial
p.
7
2.4 Componentes simétricas
p.
8
2.5 Descomposición de un sistema trifásico en
sus componentes simétricas
p.
9
2.6 Cálculo de las componentes simétricas
p.
10
2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia
p.
11
3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados
p.
12
3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar)
p.
13
3.3 Defecto bifásico a tierra
p.
15
3.4 Defecto trifásico
p.
16
3.5 Red con cargas desequilibradas
p.
17
3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas
p.
18
3.7 Formulario de recapitulación
p.
20
4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático
p.
23
4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático
p.
24
4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una
red MT con neutro a tierra
p.
28
4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de
un sistema de tensión y de corriente
p.
30
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 4
1
Presentación
Si consideramos el funcionamiento en régimen
normal equilibrado simétrico, el estudio de las
redes trifásicas puede reducirse al estudio de
una red monofásica equivalente de tensiones
iguales a las tensiones simples de la red, de
corrientes iguales a las de la red e impedancias
iguales a las de la red, denominadas
impedancias cíclicas.
Al aparecer una asimetría significativa en la
configuración de la red, ya no es posible aplicar
la simplificación, pues no podemos establecer
las relaciones entre los diferentes conductores
con la ayuda de una impedancia cíclica para
cada elemento de la red.
El método general, aplicando de las leyes de
Ohm y de Kirchhoff, es posible, pero resulta
largo y complicado.
El método de las componentes simétricas,
descrito en el presente documento, simplifica
los cálculos y permite una solución mucho más
fácil que la superposición de tres redes
monofásicas independientes. Después de
repasar las nociones vectoriales, se aplica este
método a los diferentes tipos de cortocircuito,
acabando con unos ejemplos de casos
prácticos reales.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 5
2
Repaso matemático de la teoría de vectores
2.1
Representación vectorial de un fenómeno físico
Un fenómeno físico vibratorio es senoidal
cuando la elongación de un punto vibrante es
una función senoidal del tiempo
x = a cos (ωt + ϕ)
n Recíprocamente, se puede hacer
corresponder un vector giratorio a cualquier
función senoidal
x = a cos (ωt + ϕ).
Esta aplicación es perfectamente conocida en
electrotecnia, donde tanto corrientes como
tensiones son fenómenos senoidales.
uuuur
OM
n Consideremos un vector
uuur uuu
r de módulo a,
girando sobre el plano Ox, Oy alrededor de su
origen O con una velocidad angular constante ω
(figura 1).
uuur uuuur
Si en el instante inicial t = 0, el ángulo Ox, OM
tiene un valor ϕ, en el instante t, tendrá un valor
(ωt + ϕ).
uuuur
Proyectamos
el vector corriente OM sobre el eje
uuur
Ox . El valor algebraico de esta proyección es,
en el instante t
x = a cos (ωt + ϕ).
Por convenio,
se representa la función x por el
uuuur
vector OM en la posición que ocupa en el
instante inicial t = 0; el módulo del vector
representa lauuu
amplitud,
a, de la función senoidal,
r uuuur
y el ángulo Ox, OM representa su fase inicial.
(
)
(
)
(
Con lo que:
y
o el movimiento de la proyección
uuurdel extremo
del vector giratorio sobre el eje Ox es un
movimiento senoidal de amplitud a, igual al
módulo de este vector,
2.2
M
IaI
t
-a
o la pulsación ω del movimiento senoidal es
igual a la velocidad angular del vector giratorio,
o la fase inicial ϕ es igual al uuu
ángulo
formado por
r
el vector giratorio con el eje Ox en el
instante t = 0.
)
n Por tanto, el estudio de un fenómeno físico
senoidal puede reducirse al estudio del vector
que le corresponde, lo que es muy interesante,
porque la utilización matemática de los vectores
es accesible. Se aplica en particular al dominio
de los fenómenos eléctricos trifásicos en los que
las tensiones y corrientes están representadas
por vectores giratorios.
O
x
+a
x
Fig. 1.
Definición de base
n Sea un fenómeno eléctrico pulsatorio
senoidal,
representado por un vector giratorio
uur
(figura
2).
V
n Se toma previamente sobre el plano:
uuur
o un eje de referencia Ox de vector unitario
uur uur
x : x = 1,
o un sentido de rotación, convencionalmente
definido como positivo en el sentido
antihorario + .
ur
n El vector V , cuyo origen se sitúa en O, se
caracteriza esencialmente por:
ur
o una amplitud V : en un instante dado, la
longitud del vector es numéricamente igual al
módulo de la amplitud máxima del fenómeno,
o una fase ϕ: es, en un instante dado, el ángulo
uuur ur
ur
Ox, V , que forma V con el eje de referencia
uuur
Ox , teniendo en cuenta el sentido de rotación
(
)
adoptado.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 6
o una pulsación: es la velocidad de rotación
constante del vector, en radianes por segundo.
Se expresa habitualmente en revoluciones por
segundo y en tal caso da la frecuencia del
fenómeno expresada en Hz (1 Hz = 2 π rad/s).
n Un sistema trifásico es un conjunto de 3
→ → →
vectores V1, V2, V3 con origen común, de igual
pulsación y que tengan cada uno una amplitud
constante.
n Un sistema eléctrico es lineal cuando
presenta proporcionalidad de relación causaefecto.
2.3
+
V
O
x
x
Fig. 2.
Representación vectorial
→
El vector V se representa clásicamente en un
sistema de ejes de coordenadas rectangulares
(figura 3):
ur uuuur uuur uuur
r
r
V = OM = OX + OY = OX. x + OY . y
y
+
Y
M
n Operador «j»
V
Para
uur facilitar las operaciones con los vectores,
V puede representarse de forma equivalente
y
O
con un número complejo utilizando el
x
X
x
operador «j».
«j» es un operador vectorial que consiste en
girar el vector al que se aplicauuu
un
de
r ángulo
uur
jx
=
y
.
+ π/2; por tanto, en la figura,
Fig. 3.
aV
+
Por tanto, se ve que:
120o
π


= π
j2 = −1  rotación de 2 x
2


120o
V
120o
π
3π 

=
j = − j  rotación de 3 x

2
2 

3
π


= 2π 
j4 = +1  rotación de 4 x
2


de donde:
ur
r
uur r
V = OX. x + OY . j y = x OX + j OY
(
a2 V
Fig. 4.
a2 hace girar un vector un ángulo:
)
2x
2π
4π
=
3
3
2π 

 equivalente a −
,
3 

n Operador «a»
a3 hace girar un vector un ángulo:
«a» es un operador vectorial que consiste en
2π
aplicar un giro de +
al vector sobre el que
3
3x
se realiza la operación (figura 4).
2π
= 2π (equivalente a 0 ) ,
3
3
3 ,
a = − 0,5 + j
; a2 = − 0,5 − j
2
2
Vemos que:
de donde:
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 7
a0 = a3 = a6 ... = 1
a=
a4
a=
a–2
a2
a5
=
=
a7
Esta última relación se verifica gráficamente
constatando, sobre la figura, que la suma de los
vectores representados es nula:
ur
ur
ur
V + a.V + a2 .V = 0
ur
de donde V 1 + a + a2 = 0 ,
= ...
=
a–5
=
a8
= ...
(
= ...
a2 = a–1 = a–4 = ...
)
y, por tanto:
a − a2 = j 3
1 + a + a2 = 0.
y
1 + a + a2 = 0.
2.4
Componentes simétricas
Sea un conjunto de tres vectores trifásicos
senoidales que giran a la misma velocidad. Se
consideran fijos unos respecto a los otros.
n El «sistema inverso», todavía denominado
por los anglosajones «secuencia negativa»
(figura 6):
uur uur uur
V1,V2,V3 :
Existen tres disposiciones particulares que
representan una simetría de los vectores entre
sí y que se ha dado en calificarlas como
«componentes simétricas».
o tienen la misma amplitud,
n El «sistema directo», todavía denominado por
los anglosajones «secuencia positiva»
uuur uuuur uuuur
(figura 5): V1 , V2 , V3 :
o están dispuestos de forma que un observador
en reposo vea desfilar los vectores en el orden
uur uur uuur
V1,V3 ,V2;
o tienen la misma amplitud,
uur
V1
uur
uur
V2 = a. V1
uur
uur
uur
V3 = a2 .V1 = a. V2 .
o están desfasados 120o,
o están dispuestos de forma que un observador
en reposo vea desfilar los vectores en el orden
uuur uuuur uuuur
V1 , V2 , V3 :
uur
V1
uur
uur
uur
V2 = a2 .V1 = a. V3
uur
uur
V3 = a.V1 .
o están desfasados 120o,
V2
120o
V1
120o
120o
V3
V3
120o
120
Fig. 6: Sistema inverso.
o
V1
120o
V2
Fig. 5: Sistema directo.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 8
n El «sistema homopolar», denominado por los
anglosajones «secuencia nula» (figura 7)
uur uur uur
V1,V2,V3 :
V1
V2
V3
o tienen la misma amplitud,
o están en fase y por tanto son colineales; un
observador en reposo los vería pasar al mismo
tiempo.
2.5
Fig. 7: Sistema homopolar.
Descomposición de un sistema trifásico en sus componentes simétricas
uur uur uur uur
V1 = Vd + Vi + Vo
uur
uur
uur uur
V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo
uur
uur
uur uur
V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo
Sea un sistema
uur trifásico
uur uur cualquiera formado por
tres vectores V1,V2 ,V3 (definiciones de base);
se demuestra que este sistema es la suma de 3
sistemas trifásicos equilibrados: directo, inverso
y homopolar.
uuur uuuur uuuur
Sistema directo:
Vd1, Vd2, Vd3
uur uuur uuur
Sistema inverso:
Vi1, Vi2, Vi3
uuur uuuur uuuur
Sistema homopolar: Vo1, Vo2 , Vo3 .
Se pueden calcular las componentes simétricas:
uur 1
Vd =
3
uur 1
Vi =
3
uur 1
Vo =
3
Se verificará que:
uur uuur uur uuur
V1 = Vd1 + Vi1 + Vo1
uur uuuur uuur uuuur
V2 = Vd2 + Vi2 + Vo2
uur uuuur uuur uuuur
V3 = Vd3 + Vi3 + Vo3
uur
uur
1
2
( V + a. V
uur
(V + a
1
uur
2
uur
+ a2 . V3
uur
uur
. V2 + a. V3
uur
)
)
uur
( V1 + V2 + V3 )
La construcción geométrica de las componentes
simétricas se consigue teniendo en cuenta el
2π 
significado del operador «a»  rotación de
3 

Si elegimos los vectores con índice 1 como
vectores de origen y hacemos intervenir el
operador «a» se tiene que:
(figura 8).
O
O
V2
O
V2
Vi
V3
Vd
120o
V1
aV2
O
aV3
V1
V3
V1
uur 1
Vo =
3
120o
uur 1
Vd =
3
Sistema dado
Fig. 8.
V3
Vo
V2
+
V1
a2 V 3
uur
uur
1
2
( V + a. V
uur
+ a2 . V3
)
uur
uur
uur
( V1 + V2 + V3 )
a2 V 2
uur 1
Vi =
3
uur
(V + a
1
2
uur
uur
. V2 + a. V3
)
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 9
De forma más práctica se pueden construir las
componentes simétricas directamente sobre la
figura sin necesidad de relacionar los vectores
(figura 9).
En efecto, sean los puntos D y E tales que
BDCE sea un rombo compuesto de dos
triángulos equiláteros BDC y BCE y siendo O' el
baricentro del triángulo ABC; un cálculo sencillo
(ver apartado siguiente) indica que:
uuuur
uur Ea
Vd =
3
uuuuur
uur DA
Vi =
3
uur uuuuur
Vo = OO '
E
V2
Vd
+
B
V3
O
V2
V3
C
O'
O
Vo
D
V1
Vi
Sistema dado
V1
A
Fig. 9: Sistema homopolar.
2.6
Cálculo de las componentes simétricas
Sean los puntos D y E tales que (BDCE) sea un
rombo compuesto de dos triángulos equiláteros
(BDC) y (BCE).
uuur uuur uuur
n Sistema directo: EA = EB + BA, pero como
uuur
uuur
EB = a2 .BC , se tiene que:
uuur
uuur uuur
EA = a2 .BC + BA
uuur
uuuur uuur uuuur
= a2 .BO + a2 .OC + BO + OA
uuuur uuur
uuuur
= OA + OB −a2 − 1 + a2 .OC
uuuur
uuur
uuuur
= OA + a.OB + a2 .OC
uur
uur
uur
uur
= V1 + a.V2 + a2 .V3 = 3Vd
(
)
uuuur
uuur EA
Vd =
3
uuur uuur uuur
n Sistema inverso: DA = DB + BA , pero como
uuur
uuur
DB = a.BC , se tiene que:
uuur
uuur uuur
DA = a.BC + BA
uuur
uuuur uuur uuuur
= a.BO + a.OC + BO + OA
uuuur uuur
uuuur
= OA + OB ( −a − 1) + a.OC
uuuur
uuur
uuuur
= OA + a.2 OB + a.OC
uur
uur
uur
uur
= V1 + a2.V2 + a.V3 = 3Vi
uuuuur
uur DA
Vi =
3
n Sistema homopolar: sea
O'
baricentro
uuuuu
r eluuuu
ur uuuuur del
triángulo ABC. Se tiene: O ' A + O 'B + O ' C = 0
uur uur uur
uur
V1 + V2 + V3 = 3Vo
uuuur uuur uuuur
= OA + OB + OC
uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
= OO ' + O ' A + OO ' + O 'B + OO ' + O ' C
uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
uuuuur
= 3 OO ' + O ' A + O 'B + O ' C = 3 OO '
uur uuuuur
Vo = OO '
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 10
2.7
Conclusión: aplicación a la electrotecnia
El método expuesto en el párrafo anterior tiene
un interés inmediato en la electricidad en caso
de redes trifásicas lineales y a frecuencia única.
En efecto, los sistemas trifásicos aplicados a las
redes eléctricas pueden estar desequilibrados
por asimetría de la carga o por defectos. Es
evidente la simplicidad que ofrecen estos
cálculos, basados en la superposición de tres
sistemas independientes, al permitir tratarlos
separadamente, convirtiendo cada uno en un
caso simple monofásico.
Observaremos que estas manipulaciones
matemáticas corresponden, de hecho, a una
realidad física de los fenómenos, puesto que
pueden medirse tanto las impedancias
simétricas de los materiales eléctricos (ver
capítulo 3) como las componentes simétricas de
un sistema de tensiones o de corrientes
(capítulo 4, ejemplo nº 4).
Notas
n por simplificación, en el texto que sigue, los
vectores tensión y corriente se escribirán sin la
flecha,
n las componentes simétricas de tensiones y
corrientes elegidas para la representación
simple del sistema, son las de la fase 1:
V1 =Vd + Vi + Vo.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 11
3
Aplicaciones elementales
3.1
Método de cálculo de los regímenes desequilibrados
Principio de superposición
Vamos a examinar el comportamiento de una
red trifásica lineal y simétrica, es decir,
compuesta de impedancias constantes e
idénticas para las tres fases (que es el caso
práctico) que no produce más que fuerzas
electromotrices (f.e.m.) equilibradas pero cuyas
corrientes y tensiones pueden estar
desequilibradas debido a la conexión a una zona
asimétrica D.
E
Zd
d
Zi
i
En efecto, en esta red lineal y simétrica, las
corrientes de cada sistema se relacionan sólo
con las tensiones del mismo sistema y
recíprocamente por medio de las impedancias
del sistema considerado. Téngase presente que
estas impedancias Zd, Zi y Zo son función de las
impedancias reales y también de las
inductancias mutuas.
Para una red que presente una sola f.e.m. y con
las componentes simétricas de tensión y de
corriente situadas respectivamente en el lado D
de la asimetría Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, las relaciones
que definen a los tres regímenes son:
E = V d + Zd . I d
0 = Vi + Z i . I i
0 = Vo + Zo . Io,
representadas esquemáticamente en la
figura 10.
Para las redes con varias fuentes (generadores)
estas ecuaciones son válidas con la condición
de considerar E y Zd, Zi, Zo, respectivamente
como la f.e.m. y como las impedancias internas
del generador equivalente de Thévenin.
Vi
Zo
Las f.e.m. constituyen por naturaleza los
sistemas directos, si los sistemas inverso y
homopolar son nulos.
Se interpreta el funcionamiento de la red como
la superposición de tres regímenes que
corresponden, cada uno, a uno de los sistemas
directo, inverso y homopolar.
Vd
o
Vo
Fig. 10.
Método de resolución práctica
El método resumido a continuación se
desarrollará con detalle en el ejemplo del párrafo
siguiente (defecto monofásico a tierra):
n la red se divide en 2 zonas:
o una zona asimétrica D (red desequilibrada),
o una zona simétrica S (red equilibrada),
n se escriben las ecuaciones que relacionan las
corriente y tensiones:
o en la zona D (componentes reales),
o en la zona S (componentes simétricas),
o continuidad en la frontera D-S,
o funcionamiento en la zona S,
n la resolución matemática de las ecuaciones
permite calcular los valores de las componentes
simétricas y de las componentes reales de las
corrientes y tensiones de las zonas D y S.
Hay que indicar que los esquemas
representativos de los sistemas simétricos
ofrecen la posibilidad de calcular directamente
los valores de las componentes simétricas.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 12
3.2
Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar)
Se supone que el circuito está sin carga.
E
fase 1
n Aislamiento de la zona de asimetría
(figura 11)
a2E
fase 2
n Ecuaciones de las componentes reales
en (D)
aE
fase 3
Planteamiento de las ecuaciones
 I 2 = I3 = 0

 V1 = Z I1
d, i, o
Vd ,Vi , Vo
zona S
2
3
Estas ecuaciones describen el caso examinado
y son las únicas que corresponden a la figura.
V3
V2
1
V1
Z
zona D
n Ecuaciones de las componentes simétricas
en (S).
I1 = I d + Ii + Io

2
I 2 = a . I d + a. Ii + Io

2
I3 = a. I d + a . Ii + Io

 V1 = Vd + Vi + Vo

2
 V2 = a .Vd + a.Vi + Vo
 V = a.V + a2. V + V
d
i
o
 3
Estas ecuaciones relacionan respectivamente
las corrientes reales y las tensiones reales con
sus componentes simétricas. Se encontrarán de
forma idéntica en todos los cálculos de
regímenes desequilibrados. Se deducen de las
definiciones anteriores (capitulo 2).
Fig. 11.
Estas tres ecuaciones se encuentran
sistemáticamente en todos los casos de cálculo
de regímenes desequilibrados con una sola
fuente de tensión.
Resolución de las ecuaciones
n Los valores de las componentes simétricas
de las corrientes y de las tensiones:
E + o + o = Vd + Vi + Vo + Zd.Id + Zi.Id + Zo.Io
= 3 Z.Io + ( Zd + Zi + Zo). Io
siendo:
Io = Id = Ii =
n Continuidad en la frontera D-S
Por combinación entre las ecuaciones de las
componentes reales en (D) y las ecuaciones de
las componentes simétricas en (S), se obtiene:
a2.I d + a. Ii + Io = 0

2
a.Id + a . Ii + Io = 0
 V + V + V = Z. I
i
o
1
 d
I1

I = Ii = Io =
⇒ d
3
 V + V + V = 3 Z. I
i
o
o
 d
n Ecuaciones del funcionamiento de S
E = Vd + Zd . Id

0 = Vi + Zi + Ii
0 = V + Z . I
o
o o

E
Zd + Zi + Zo + 3Z
Vd = E − Zd . Id = E − Zd
Vd = E
E
Zd + Zi + Zo + 3Z
Zi + Zo + 3Z
Zd + Zi + Zo + 3Z
V i = – Z i .I i
Vi = − Zi
E
+
+
Zd Zi Zo + 3Z
V o = – Z o .I o
Vo = − Zo
E
Zd + Zi + Zo + 3Z
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 13
n Esquema de la red, según las componentes
simétricas (figura 12).
n Valores de las tensiones y de las corrientes
reales:
I 1 = Id + I i + Io

Z + a. Zi + a2 . Zo
V3 = a.E  1 − d

Zd + Zi + Zo + 3Z




Nota:

Zd + a.Zi + a 2 .Zo
El término  1 − Z + Z + Z + 3Z
d
i
o

3E
I1 =
Zd + Zi + Zo + 3Z

 se llama factor

de «defecto a tierra». Su valor varía entre 1 y
1,8.
I2 = 0
Casos particulares
I3 = 0
n Con defecto franco, Z = 0, la corriente de
defecto fase-tierra toma el valor:
V1 = Z.I1
I1 =
E
V1 = 3Z
Zd + Zi + Zo + 3Z
n Con defecto impedante a tierra,
3Z >> Zd + Zi + Zo, la corriente de defecto de
fase-tierra se define por la impedancia de
defecto:
V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo =
Zi + Zo + 3Z
−
Zd + Zi + Zo + 3Z
= a2.E
− a.E
−E
=E
I1 =
Zi
−
Zd + Zi + Zo + 3Z
Zo
=
Zd + Zi + Zo + 3Z
(
)
(
3E
Z d + Zi + Z o
E
.
Z
Vd
)
d
E
Zi a − a + Zo a − 1 + 3a . Z
2
2
2
Zd
Vi
Zd + Zi + Zo + 3Z
i
Zi
Vo

Z + a2.Zi + a. Zo
V2 = a2 .E  1 − d

Zd + Zi + Zo + 3Z




o
Zo
d = i=
o
3Z
V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo =
Zi + Zo + 3Z
= a.E
−
Zd + Zi + Zo + 3Z
− a2 .E
−E
=E
Fig. 12.
Zi
−
Zd + Zi + Zo + 3Z
Zo
=
Zd + Zi + Zo + 3Z
(
)
Zi a − a 2 + Zo (a − 1) + 3a. Z
Zd + Zi + Zo + 3Z
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 14
3.3
Defecto bifásico a tierra
(figura 13)
Escritura de las ecuaciones
Io =
n En la zona (D)
I1 = 0

 V2 = V3 = Z ( I2 + I3 )
n En la zona (S)
=
−E
Zi
=
x
Zi ( Zo + 3Z )
Zi + Zo + 3Z
Zd +
Zi + Zo + 3Z
− E Zi
Z d .Zi + ( Z d + Zi ) (3Z + Zo )
Vd = Vi =
Zi ( Zo + 3Z )
E
x
+
Zi ( Zo 3Z )
Zi + Zo + 3Z
Zd +
Zi + Zo + 3Z
I1 = I d + Ii + Io

2
I 2 = a . I d + a. Ii + Io

2
I3 = a. I d + a . Ii + Io

 V1 = Vd + Vi + Vo

2
 V2 = a .Vd + Vi + Vo
 V = a.V + a2. V + V
d
i
o
 3
I1 = 0
n Continuidad en la frontera (D) - (S)
I2 = − j 3 E
Zo + 3Z − a.Zi
Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )
I3 = j 3 E
Zo + 3Z − a2 .Zi
Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )
 I d + Ii + I o = 0

 Vd = Vi
 V = V + 3 Z. I
d
o
 o
n Funcionamiento de (S)
E = Vd + Zd . I d

0 = Vi + Zi . Ii
0 = V + Z + I
o
o
o

Vo =
E
Zo .Zi
x
Zi ( Zo + 3Z )
Zi + Zo + 3Z
Zd +
Zi + Zo + 3Z
V1 = E
3Zi ( Zo + 2Z )
Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )
V2 = V3 = E
− 3Z. Zi
Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z )
Resolución de las ecuaciones
Id =
E
=
Zi ( Zo + 3Z )
Zd +
Zi + Zo + 3Z
=E
E
fase 1
a2E
fase 2
aE
fase 3
Zi + Zo + 3Z
Zd .Zi + (3Z + Zo )( Zd + Zi )
d, i, o,
Vd ,Vi , Vo
zona S
Ii =
=
3
−E
Zo + 3Z
=
x
Zi ( Zo + 3Z )
Zi + Zo + 3Z
Zd +
Zi + Zo + 3Z
V3
2
1
V2 V1
Z
zona D
−E ( Zo + 3Z )
Zd .Zi + ( Zd + Zi ) (3Z + Zo )
Fig. 13.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 15
n Esquema de la red según las componentes
simétricas (figura 14) .
Vd
d
Casos particulares
E
Zd
n Defecto franco, con Z = 0: la corriente del
defecto fase-tierra tomará el valor:
I 2 + I3 = −
Vi
3E.Zi
+
Zd .Zi Zi .Zo + Zd .Zo
i
Zi
3Z
n Defecto bifásico aislado, con Z = ∞, la
corriente de defecto de fase vale entonces:
I 2 = − I3
3.4
(a
=E
2
−a
) = − jE
Z d + Zi
o
Zo
Vo
3
Z d + Zi
Fig. 14.
Defecto trifásico
(Figura 15).
E
fase 1
a2E
fase 2
aE
fase 3
Escritura de las ecuaciones
n En la zona (D)
V 1 = V 2 = V 3 = Z ( I1 + I2 + I3 )
n En la zona (S)
I1 = I d + Ii + Io

2
I 2 = a . I d + a.Ii + Io

2
I3 = a.I d + a . Ii + Io

 V1 = Vd + Vi + Vo

2
 V2 = a .Vd + a.Vi + Vo
 V = a.V + a2 .V + V
d
i
o
 3
Vd ,Vi ,Vo
zona S
V3
Z
V2
o
V1
zona D
Fig. 15.
Vd = 0
n Continuidad en la frontera (D) - (S)
Vo

I1 + I 2 + I3 = 3 Io = Z

 Vd = Vi = 0
V = V = V = V
2
3
o
 1

d
E
Zd
Zi
n Funcionamiento de (S)
E = Vd + Zd . Id

0 = Vi + Zi . Ii
0 = V + Z . I
o
o o

i
d
Zo
Fig. 16.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 16
Resolución de las ecuaciones
Id =
E
Zd
y Ii = I o = 0
V1 = V2 = V3 = 0
Vd = Vi = Vo = 0
I1 =
3.5
Los resultados son independientes de los
valores de Z, Zi y Zo.
E
Zd
I 2 = a2
E
Zd
I3 = a
n Esquema de la red según las componentes
simétricas (figura 16).
E
Zd
Red con cargas desequilibradas
(Figura 17).
n Continuidad en la frontera (D) - (S)
Escritura de las ecuaciones
I1 = 0
I o = 0

 I d = Ii
V − V = Z . I
i
c d
 d
V3 − V2 = I3 . Zc = − I2 . Zc
n Funcionamiento de (S)
n En la zona (S)
E = Vd + Zd . Id

0 = Vi + Zi . Ii
0 = V + Z . I
o
o o

n En la zona (D)
I1 = I d + Ii + Io

2
I 2 = a . I d + a. Ii + Io

2
I3 = a. I d + a . Ii + Io

 V1 = Vd + Vi + Vo

2
 V2 = a . Vd + a. Vi + Vo
 V = a. V + a2. V + V
d
i
o
 3
Resolución de las ecuaciones
Id =
fase 1
a2E
fase 2
aE
fase 3
,
d i, o,
Vd ,Vi ,Vo
zona S
3
zona D
Fig. 17.
E
+
Zd Zi + Zc
Ii = −
E
V3 Zc V2
E
Z d + Zi + Zc
2
1
V1
Io = 0
Vd =
E ( Zi + Z c )
Z d + Zi + Z c
Vi =
E.Zi
Z d + Zi + Zc
Vo = 0
I1 = 0
I2 = − j
E 3
Zd + Zi + Zc
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 17
I3 =
jE 3
Z d + Zi + Zc
Vd
E ( 2 Zi + Zc )
V1 =
Z d + Zi + Z c
V2 =
V3 =
d
E
(
E a2.Zc + Zi
Z d + Zi + Zc
Zd
)
Zc
Vi
i
E (a.Zc − Zi )
Z d + Zi + Zc
Zi
n Esquema de la red según las componentes
simétricas (figura 18).
Casos particulares
n Carga de baja potencia, siendo Zc → ∞ :
3.6
Zo
Fig. 18.
I1 e I3 → 0 y V1, V2 y V3
n Cortocircuito bifásico aislado, con Zc = 0.
La corriente de defecto es, en este caso:
tienden hacia los valores de red simétrica, es
decir, hacia E, a2E, a.E.
I3 = − I 2 = j
E 3
Z d + Zi
Impedancias asociadas a las componentes simétricas
En este párrafo, se pasa revista a los elementos
principales que pueden intervenir en una red
eléctrica.
Para las máquinas rotativas y los
transformadores, los órdenes de magnitud de
las impedancias son idénticos en porcentaje:

S
 z% = 100 Z n2
U

n



n La reactancia inversa es inferior a la
reactancia directa transitoria.
n La reactancia homopolar no se toma en
consideración salvo que el neutro del alternador
esté conectado a la tierra directamente o a
través de una bobina o de una resistencia.
Su valor es del orden de la mitad de la
reactancia subtransitoria.
Máquinas sincrónicas
Las generatrices provocan el nacimiento de la
componente directa de la potencia. Los defectos
son los creadores de las componentes inversa y
homopolar que se dirigen desde el punto de
defecto hacia los elementos equilibrados,
atenuándose progresivamente.
n Después de una perturbación, la reactancia
directa de una máquina pasa del valor
subtransitorio al valor síncrono. En el cálculo del
defecto, se pueden tomar los valores en %
(figura 19).
Reactancia
%
polos
salientes
entrehierro
constante
subtransitoria
30
20
transitoria
40
25
síncrona
120
200
Fig. 19.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 18
Máquinas asíncronas
La componente directa genera, en los motores,
los campos rotativos en el sentido directo
(par útil).
La componente inversa produce los campos
rotativos generadores de pares de frenado.
n Usualmente podemos considerar la
reactancia directa como una impedancia pasiva
U2 / (P-jQ).
n La reactancia inversa varía entre el 15 y el
30%. Es aproximadamente igual a la reactancia
de arranque.
n La reactancia homopolar es muy baja.
Transformadores
La circulación de una corriente homopolar por
los arrollamientos de un transformador precisa
una conexión con un punto neutro unido a tierra
o a un conductor de neutro.
n Los transformadores presentan, a las
corrientes de los sistemas directo e inverso, una
impedancia igual a su impedancia de
cortocircuito, del orden del 4 al 15%.
n La reactancia homopolar depende de la
conexión de los arrollamientos y de la naturaleza
del circuito magnético. La tabla de la figura 20
resume los diferentes casos detallados en las
figuras 22 a y b.
o líneas con 2 conductores por fase (400 kV)
Rd = Ri ≈ 0,04 Ω /km
Xd = Xi ≈ 0,32 Ω /km
Cd = Ci ≈ 12 nF/km
n La impedancia homopolar vale aproximadamente tres veces la impedancia directa.
La capacidad homopolar se puede valorar en
unas seis veces la capacidad directa.
Cables
n La reactancia y la capacidad directas e
inversas dependen de la geometría de los
cables.
Rd = Ri
Xd = Xi ≈ 0,1 a 0,15 Ω /km
Cd = Ci ≈ 120 a 320 nF/km
n Las características homopolares de un cable
no se deducen fácilmente de las características
directa e inversa. En general son despreciables
ante las de los transformadores que alimentan
dichos cables.
Lineas aéreas
Transformador
(visto lado secundario)
Consideremos las líneas transpuestas.
Sin neutro
n La impedancia y la capacidad directas e
inversas dependen de la geometría de la línea.
Yyn o Zyn
o líneas con 1 conductor por fase (63, 90, 150 y
225 kV)
Rd = Ri ≈ 0,16 Ω /km
Reactancia
homopolar
flujo libre
∞
∞
flujo forzado
10 a 15 Xd
Dyn o YNyn
Xd
primario zn
0,1 a 0,2 Xd
Xd = Xi ≈ 0,4 Ω /km
Cd = Ci ≈ 9 nF/km
Fig. 20.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 19
3.7
Formulario de recapitulación
Parámetros empleados:
n Tensión eficaz compuesta de la red trifásica
U
n tensión eficaz simple de la red trifásica
V=
n corriente de cortocircuito, en módulo
Icc
n corriente de defecto a tierra, en módulo
Itierra
n impedancias simétricas
Zd, Zi, Zo
n impedancia de cortocircuito
Zc
n impedancia de tierra
Z
U
3
La tabla de la figura 21 resume los valores de las corrientes, en módulos, en los diferentes casos de
asimetría.
Tipo de asimetría
Asimetría impedante
Cortocircuito monofásico
Icc =
Cortocircuito bifásico a tierra
(Zc = 0)
Cortocircuito bifásico aislado
(Z = ∞)
Cortocircuito trifásico
(Z cualquiera)
Asimetría franca
(Z = 0 y/o Zc = 0)
U 3
Zd + Zi + Zo + 3Z
Itierra =
U
Icc =
3 Zi
Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z )
Itierra =
Icc =
U
Z d + Zi + Z c
Icc =
Icc =
U
Z d + Zc
Icc =
3
U 3
Z d + Zi + Z o
U 3 Zi
Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo
U
Z d + Zi
U
Zd
3
Fig. 21.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 20
Conexión
Esquema unifilar
primario
1
1
secundario
terciario
equivalente
los bornes
primarios 1
bornes
secundarios 2
1
2
infinito
infinito
1
2
infinito
infinito
bornes
terciarios 3
2
2
1
1
Valor de la reactancia homopolar
del transformador, vista desde:
2
X11
1
2
1
2
1
2
2
Flujos libres
Flujos libres
infinito
infinito
Flujos forzados
Flujos forzados
X11 = 10 a 15
infinito
veces Xcc
X12 = Xcc
X12 = Xcc
infinito
infinito
1
1
2
X12
1
2
1
2
1
2
X12 = Xcc
infinito
1
2
infinito
infinito
2
infinito
X22 = 1% de Sn
X 22
1
1
2
1
1
1
2
X11
2
2
Flujos libres
Flujos libres
infinito
infinito
Flujos forzados
X11 = 10 a 15 Flujos forzados
infinito
veces Xcc
Fig. 22 (a).
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 21
Conexión
Valor de la reactancia homopolar
del transformador, vista desde:
Esquema unifilar
primario
secundario
terciario
equivalente
los bornes
primarios 1
los bornes
secundarios 2
los bornes
terciarios 3
infinito
X22 = 1% de Xn
X 22
1
2
2
1
Flujos libres
Flujos libres
infinito
X22 = 1% en X n
Flujos forzados Flujos forzados
X11 = 10 a 15 X = 1% de X
22
n
veces Xcc
X22
1
2
1
1
X22
2
1
2
1
2
infinito
2
X11
Flujos libres
infinito
Flujos forzados
X11 = 10 a 15
veces X12
2
1
1
2
3
3
2
X2
2
X02
x1 +
X1
X01
1
infinito
1
X3
3
3
X03
infinito
( x2 + x02 )( x3 + x03 )
x 2 + x 3 + x 02 + x 03
x2 +
infinito
x3 +
( x1 + x01 )( x2 + x02 )
x1 + x 2 + x01 + x02
( x1 + x01)( x3 + x03 )
x1 + x 3 + x 01 + x 03
2
X2
X1
1
1
2
x1 +
X3
3
x 2 x3
x 2 + x3
infinito
infinito
3
2
X1
X01
1
1
2
X2
x1 +
X3
3
3
x 2 ( x 3 + x 03 )
x 2 + x 3 + x 03
x3 +
infinito
x 2 ( x1 + x 01 )
x1 + x 2 + x 01
X03
2
X1
1
1
2
X2
X33
X1 + X2 = X12
infinito
X 33 = 1% de Xn
3
3
Fig. 22 (b).
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 22
4
Ejemplos resueltos
4.1
Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático
Esquema de la figura 23
Problema
100MVA
¿Qué poder de ruptura ha de tener, como
mínimo, el interruptor automático?
2500 MVA
17 kV
8% 36 kV
Solución
Cuando interviene el interruptor automático, la
componente aperiódica está latente en el interior
de la red pero no en los devanados del
alternador.
n Impedancias:
o del alternador, referidas al secundario del
transformador:
X'd = 35%
X'i = 25%
Fig. 23.
o monofásico
2
Za directa:
35
36
= j0,18 Ω
x
100
2500
Za inversa:
25
362
= j0,13 Ω
x
100
2500
=
36 3
= 18 kA
1,22 + 1,17 + 1,0
o bifásico aislado
Icc =
Za homopolar: despreciable.
o del transformador, referida al secundario del
transformador:
Zt directa:
8
362
= j1,04 Ω
x
100
100
Zt inversa: j1,04 Ω
Zt homopolar = j1,04 Ω
U
36
=
= 15 kA
Zd + Zi
1,22 + 1,17
o bifásico a tierra
Icc =
=
U Z o − a Zi
Zd Zi + Zi Zo + Zo Zd
36 . 1,915
= 17,6 kA
3,91
Z directa = j1,22 Ω
n el interruptor automático deberá cortar una
corriente de cortocircuito de 18 kA o, lo que es
lo mismo, su potencia de ruptura deberá ser de:
Z inversa = j1,17 Ω
18 x 36
o totales
Zt homopolar = j1,04 Ω
3 = 1122 MVA .
n corrientes de cortocircuito:
o trifásico
Icc =
U/ 3
36 / 3
=
= 17 kA
Zd
1,22
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 23
4.2
Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático
Esquema de la figura 24.
Solución
Problema
n Esquema global directo o inverso (reducción
a 60 kV) (figura 25)
En una red de 60 kV, determinar el poder de
ruptura de los interruptores automáticos de los
centros C y E, que alimentan a la línea de 15 km.
a=j
La reactancia de cortocircuito de los
transformadores de grupo y de red es del 10% y
la de los otros transformadores, del 8%.
U2
25
60 2
25
=
= j 22,5 Ω
x
x
Pcc 100
40
100
b = jUcc
U2
10
602
=
= j9 Ω
x
Pcc
100 400
Para una línea de 60 kV la reactancia es de
0,4 Ω/km en régimen directo e inverso y de
3 x 0,40 Ω/km en régimen homopolar.
C1 = j0,40 x 60 = j24 Ω
Los grupos presentan una reactancia directa o
inversa de 25%.
C3 = j0,40 x 40 = j16 Ω
C2 = j0,40 x 50 = j20 Ω
C4 = j0,40 x 40 = j16 Ω
Las cargas de potencia activa P presentan
una reactancia equivalente estimada
de j.0,6 U 2 /P.
40 MVA
40 MVA
30 MW
A
40 km
60 km
40 MVA
15 MVA
8 MW 12 MVA
15 km
10 MW
B
C
20 MVA 14 MW
E
10 MW
15 MVA
50 MVA
40 km
50 km
D
red
150 kV
1500 MVA
20 MVA
20 MVA
Fig. 24.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 24
d = jUcc
e=j
i= j
I = jUcc
U2
8
602
=
= j24 Ω
x
Pcc
100
12
m=j
U2
602
x 0,6 =
x 0,6 = j270 Ω
P
8
h = jUcc
o=j
U2
602
x 0,6 =
x 0,6 = j216 Ω
P
10
j = jUcc
U2
8
60 2
=
= j7,2 Ω
x
Pcc
100
40
U2
602
x 0,6 =
x 0,6 = j72 Ω
P
30
n = jUcc x
U2
8
602
=
x
x19,2 = Ω
Pcc
100
15
2
U2
25
602
25
=
= j 45 Ω
x
x
Pcc 100
20 100
k=j
U2
602
x 0,6 =
x 0,6 = j216 Ω
P
10
f = jUcc
g= j
U2
8
602
=
= j19,2 Ω
x
Pcc
100
15
U2
10
602
=
= j7,2 Ω
x
Pcc
100
50
U2
602
=
= j 2,4 Ω
Pcc
1500
p = j0, 4 x15 = j 6 Ω
q = jUcc
2
U 10
60
=
= j18 Ω
Pcc 100
20
U2
8
602
=
= j14,4 Ω
x
Pcc
100
20
U2
602
x0,6 =
x0,6 = j154 Ω
P
14
r=j
a
b
A
d
c4
g
e
c1
m
l
f
B
E
C
n
i
c3
p
q
r
c2
h
o
D
j
k
Fig. 25.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 25
n Esquema global homopolar (reducción a
60 kV) (figura 26).
esquema directo/inverso
Los transformadores del centro de
transformación detienen las corrientes
homopolares en sus arrollamientos en triángulo.
j6
C
b’ = b = j9 Ω
E
j168,4
j6,45
c’1 = 3c1 = j72 Ω
c’2 = 3c2 = j60 Ω
c’3 = 3c3 = j48 Ω
esquema homopolar
c’4 = 3c4 = j48 Ω
d’ = ∞
f’ = ∞
h’ =
j18
C
E
j6,09
∞
j’ = j = j18 Ω
l’ = ∞
Fig. 27.
n’ = n = j7,2 Ω
p’ = 3p = j18 Ω
q’ =
esquema directo
∞
j6
C
n Esquemas reducidos
E
j168,4
Para el estudio que nos interesa se pueden
reducir los esquemas a lo indicado en C y E
(figura 27).
n Dimensionamiento del interruptor automático
de línea, lado C:
esquema homopolar
Caso 1: defecto lado barras (figura 28)
j18
C
Zd = j6 + j168,4 = j174,4 Ω
E
¥
Zo = ∞
Fig. 28.
b'
A
d'
c'1
c'4
l'
f'
B
E
C
n'
c'3
p'
q'
c'2
h'
D
j'
Fig. 26.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 26
o Icc trifásica es igual a:
U
Zd
3
60
= 0,195kA
174,4 3
=
esquema directo
C
línea abierta
con lo que:
Pcc = U I
j6,45
3 = 20,7MVA
o Icc monofásica es igual a:
U 3
=0
Z d + Zi + Z o
esquema homopolar
C
con lo que Pcc = 0.
Caso 2: Defecto lado línea (figura 29)
línea abierta
j6,09
Zd = j6,45 Ω
Zo = j6,09 Ω
o Icc trifásica es igual a:
U
Zd
3
=
Fig. 29.
60
= 5,37kA
6,45 3
esquema directo
j6
C
con lo que:
E
Pcc = UI 3 = 558,1 MVA
j6,45
o Icc monofásica es igual a:
U 3
60 3
=
= 5,47 kA
+
+
Z d Zi Z o
18,99
esquema homopolar
con lo que:
j18
C
Pcc = UI 3 = 568,7MVA
E
j6,09
El interruptor automático de línea en el punto C
deberá estar dimensionado para 570 MVA.
n dimensiones del interruptor automático de
línea, lado E:
Fig. 30.
Caso 1: Defecto lado barras (figura 30)
Zd = j6 + j6,45 = j12,45 Ω
esquema directo
Zo = j18 + j6,09 = 24.09 Ω
E
j168,4
o Icc trifásica es igual a
U
Zd
3
=
60
12, 45
3
= 2,782 kA
con lo que Pcc = UI 3 289,2MVA
esquema homopolar
o Icc monofásica es igual a:
E
U 3
60 3
=
= 2,121 kA
Zd + Zi + Zo
48,99
con lo que Pcc = UI 3 = 220,5MVA
Fig. 31.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 27
Caso 2: Defecto lado línea (figura 31)
Zd = j168,4 Ω
Zo = ∞
o Icc trifásica es igual a:
U
60
=
= 0,206 kA
Zd / 3
168, 4 3
o Icc monofásica es igual a:
U 3
=0
Z d + Zi + Z o
con lo que: Pcc = 0
El interruptor automático de línea, en el punto E,
deberá estar dimensionado para 290 MVA.
con lo que: Pcc = UI 3 = 21,4MVA
4.3
Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una
red MT con neutro a tierra
Esquema de la figura 32.
Problema
n
¿Cual deberá ser la regulación de intensidad de
los relés homopolares de las diferentes
derivaciones?
Con
Solución
i
HT / MT
Se parte de las fórmulas del párrafo de defecto
fase-tierra; se aprecia que la impedancia de
tierra Rn es equivalente a tres impedancias de
valor 3 Rn situadas cada una sobre una fase de
la red puesta a tierra directamente. La corriente
homopolar en el punto del defecto a tierra se
divide en dos caminos paralelos:
Rn
2
C02
n el primero corresponde a la impedancia de
neutro 3.Rn, en serie con la impedancia
homopolar del transformador y del trozo de
cable comprendido entre el defecto y el
transformador. O sea: 3.Rn + ZOT + ZOL,
1
C01
I1
Zdefecto
n el segundo corresponde a la puesta en
paralelo de los circuitos capacitivos del
conductor
−j
n
∑ Coi ω
1
Si se opera con el máximo rigor, se deben tener
en cuenta las impedancias del transformador y
de las líneas, que prácticamente son
despreciables ante las impedancias capacitivas.
La corriente de defecto a tierra I1 (ver defecto
fase-tierra)
Fig. 32.
I1 =
3E
a través de
Zd + Zi + Zo + 3Z
Ro = (3Rn + ZOT + ZOL) en paralelo con
j
−
(C
∑ oi ) ω , o sea:
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 28
Zo =
3Rn + ZOT + ZOL
 n

1 + j (3Rn + ZOT + ZOL )  ∑ Coi  ω
 1



V3
(5500 V)
y por sustitución, se tiene la expresión de la
figura 33.
120o
E3
(3175 V)
Vo
(3175 V)
120o
Vd
120o
Si, como es habitual, Zd, Zi, ZOT, ZOL son
prácticamente despreciables respecto al valor
de 3 Rn y el defecto es franco (Z = 0), entonces
se tiene:
120o
V2
(5500 V)
E1
(3175 V)
E2
(3175 V)
 n

E
+ j3  ∑ Coi  ωE
I1 ≈
 1 
Rn


Fig. 34.
La contribución de cada derivación sana a la
corriente de tierra es, pues, de 3Coi ω E (en
módulo).
Aplicación numérica y representación gráfica
Para evitar disparos intempestivos, la regulación
del relé homopolar de cada una de las
derivaciones ha de ser superior a la corriente
capacitiva mencionada.
(figura 34)
Esta corriente depende de la naturaleza y de la
longitud de los conductores.
Rn = 100 Ω,
Por ejemplo:
o para una línea de 15 kV, la capacidad
homopolar es de alrededor de 5 nF/km, lo que
representará una corriente de:
3 x 5.10−9 x 314 x15000 /
3 = 0,04 A / km
o sea, una corriente de 4 A para 100 km,
o para un cable tripolar de 15 kV, la capacidad
homopolar es de unos 200 nF/km, lo que
provoca la circulación de una corriente de:
3 x 200.10−9 x 314 x15000 /
3 = 1,63 A / km
o sea, de unos 2 A/km,
o estos valores de corriente capacitiva deben
compararse con los de la corriente que atraviesa
la impedancia de neutro y que alcanza varias
decenas e incluso centenas de amperios.
Se supone que se produce un defecto franco en
una red de 5 500 V, 50 Hz, con neutro
impedante, con:
Co = 1 µF,
Z = Zd = Zi = ZOT = ZOL = 0,
E = 5500 /
3 = 3175 V
Zo = 3 Rn /(1 + j3Rn.Co.ω),
I1 = (3 175/ 100) + j3 x 3175 x 10-6 x 314 ≈
≈ (32 + j3) A,
I2 = I3 = 0,
V1 = 0,

3
V2 = ja.E 3 = −3175  1,5 + j
2


 voltios,


3 
V3 = E (a − 1) = 3175  −1,5 + j
 voltios.
2



 n
 
3E 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL )  ∑ Co i  ω

 

 1
 

I1 =

 n
 
( Zd + Zi + 3Z ) 1 + j (3Rn + ZOT + ZOL )  ∑ Coi  ω + 3 (Rn + ZOL + ZOT

 1
 

Fig. 33.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 29
4.4
Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de
un sistema de tensión y de corriente
Sistema de tensión
n La componente homopolar se mide con la
ayuda de tres transformadores de tensión (TT)
cuyos primarios están conectados entre fase y
neutro y los secundarios en serie para alimentar
un voltímetro (figura 35)
V = 3 Vo . k
siendo k la relación de transformación.
n La componente directa se mide con la ayuda
de 2 TT montados entre V1 y V2 por una parte y
V2 y V3 por otra (figura 36). El primer TT está
cargado con una resistencia pura R. El segundo,
con una inductancia y una resistencia de valor
tal que:
Z = − a.R = R.e
El transformador auxiliar T1 genera una
corriente proporcional a (I1 - I3) que circula a
través de Z, igual a: – a2.R.
La tensión en los bornes del voltímetro es
proporcional a:
( I3 − I2 ) + ( I1 − I3 ) ( − a2 )
= I3 − I2 − a2. I1 + a2. I3
(
V1
V2
V3
jπ / 3
Z está formada por la serie de una resistencia
(R/2) y una reactancia ( R 3 / 2 ).
transformación
de tensión
relación k
Los dos circuitos están en paralelo sobre un
amperímetro que medirá una corriente
proporcional a:
( V1 − V2 ) +  − a2 ( V2 − V3 )
(
)
= − a2 I1 + a. I2 + a2 . I3 = −3 a2 . Id
)
= V1 − V2 1 + a2 + a2.V3
= V1 + a.V2 + a2.V3 = 3 Vd
V3
V2
V1
kV3
kV2
kV1
V
kV1 + kV2 + kV3 =V = 3 Vo .k
Fig. 35.
n La componente inversa se mide de la misma
manera que la directa, pero con la inversión de
polaridad entre los bornes 2 y 3.
V1
V2
V3
( V1 − V3 ) +  − a2 ( V3 − V2 )
(
= V1 − a2.V2 − V3 1 + a2
)
= V1 + a2 .V2 + a.V3 = 3 Vi
Sistema de corriente
Z
n La componente directa se mide con la ayuda
de tres transformadores de corriente (TC) según
se indica en el esquema de la figura 37.
El transformador auxiliar T2 genera una
corriente proporcional a (I3 - I2) que circula a
través de R.
R
A
Fig. 36.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 30
2
T1
3
Z
R
3 /2
T1
T2
1
2
3
3 2
Z
R
R
R/2 R 3/2
R/2
V
V
Fig. 37.
V3
3
T2
3
V2
2
V2
V3
3
1
V1
1
V1
1
Fig. 38.
n La componente inversa se mide también con
la ayuda de tres transformadores de corriente
conectados según el esquema de la figura 38.
Con idéntico razonamiento al caso anterior se
deduce que la tensión en los bornes del
voltímetro es proporcional a:
1
1
2
2
3
3
( )
(a + 1)
I1 − I3 + ( I3 − I2 ) − a2
= I1 − a . I2 − I3
2
A
2
= I1 + a2. I2 + a. I3 = 3 I i
n La componente homopolar es igual a un
tercio de la corriente de neutro que circula
directamente por la conexión de puesta a tierra
(neutro distribuido).
Fig. 39.
Tres transformadores puestos en paralelo
permiten su medida en el amperímetro A
I1 + I2 + I3 = Ih (figura 39).
Un transformador toroidal abrazando la totalidad
de conductores activos permite la medida
anterior por la suma vectorial de las corrientes
de fase.
Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 31