Teoría de Campos

TEMA 2. Teoría de Campos.
INTRODUCCIÓN
Algunas de las magnitudes físicas que se definen en posteriores temas de este curso
manifiestan sus propiedades en una región del espacio, de manera que a cada punto del
mismo le corresponde un valor de la magnitud, diciéndose entonces que en esa región
del espacio se ha definido un campo (escalar o vectorial).
Múltiples son los ejemplos que pueden citarse de campos. La presión atmosférica es un
escalar que en cada punto de la atmósfera terrestre tiene un valor y sólo uno. A cada
punto del espacio que rodea la Tierra corresponde un valor de la aceleración de la
gravedad, lo cual constituye un campo vectorial de aceleraciones...
El estudio de la electricidad y el magnetismo fundamentado en los campos eléctricos y
magnéticos ha demostrado ser de gran utilidad, y resulta hoy día difícil de imaginar
cómo se hubiera podido desarrollar la teoría electromagnética, así como sus
aplicaciones, hasta su actual nivel sin el uso de los campos.
OBJETIVOS
Entender el concepto de campo.
Representar un campo escalar mediante superficies isoescalares.
Calcular la variación de la función escalar al realizar un desplazamiento en el campo
escalar en cualquier dirección.
Saber calcular el vector gradiente de una función escalar.
Representar campos vectoriales utilizando líneas de campo.
Saber calcular la circulación y el flujo de una función vectorial de punto en situaciones
sencillas.
Identificar los campos vectoriales conservativos y conocer sus propiedades.
IDEAS CLAVE
Campo escalar.
Superficies isoescalares.
Vector gradiente.
Campo vectorial.
Líneas de campo.
Circulación.
Flujo.
Campo conservativo.
2.1 Campos escalares. Vector gradiente.
ESQUEMA.
Diapositiva1.jpg
CASO/ARTÍCULO.
CONOCIMIENTOS.
La utilización de la teoría de campos supuso una aportación fundamental de las
matemáticas a la interpretación de determinados fenómenos físicos y a su estudio. En
nuestro caso es una herramienta importante en el estudio del electromagnetismo.
Dependiendo de las características de las diferentes magnitudes físicas, estas podrán ser
representadas utilizando diferentes entes matemáticos. Por ejemplo, la temperatura
quedará totalmente definida utilizando un escalar (20ºC), en tanto que la velocidad
necesitará de un vector para indicar a demás de al velocidad lineal, la dirección y el
sentido del movimiento. Otras magnitudes más complejas necesitan entes matemáticos
como los tensores. De esta manera denominaremos magnitudes escalares y magnitudes
vectoriales a las que necesitan respectivamente un escalar o un vector para quedar
definidas.
1. Campo escalar.
La teoría de campos nos proporciona la metodología necesaria para poder estudiar
adecuadamente los fenómenos físicos en que intervienen magnitudes escalares. Por
ejemplo, supongamos que queremos estudiar la temperatura en un determinado recinto
utilizando una ley física que nos proporciona su valor para cada punto. El primer paso
será definir un sistema de referencia a partir del cual situaremos cada punto del recinto.
1.1. Función escalar de punto
La función escalar de punto (f.e.p.) es una ley física que nos da el valor de una
magnitud escalar V en función de las coordenadas de cada punto (x,y,z):
V=V(x,y,z)
Dadas las características de las magnitudes físicas, las f.e.p. han de ser continuas,
uniformes y derivables. Por ejemplo, después de hacer el estudio de la temperatura en el
recinto mencionado anteriormente con el sistema de referencia escogido, la ley que nos
da la temperatura en cada punto podría ser:
T(x,y,z)= 20+2x 2 y+2x· y· z-2 (ºC)
esta expresión únicamente es válida para al recinto que hemos estudiado, a pesar de que
podamos dar coordenadas de puntos fuera del recinto, el valor de temperatura que
obtendremos no tendrá ningún significado.
Se define como campo escalar la región del espacio para la cual hemos definido la
función escalar de punto.
La f.e.p. depende del sistema de referencia escogido, de manera que si cambiamos
hemos de modificarla para obtener el mismo valor de la magnitud escalar en un punto, a
pesar de que sus coordenadas hayan cambiado.
1.2. Superficie de nivel
En la mayoría de los casos, poder visualizar la “forma” de un campo será una
información valiosa para poder interpretarlo. En los campos escalares eso se puede
hacer utilizando las superficies de nivel.
Una superficie de nivel o superficie isoescalar es el lugar geométrico de los puntos
en los cuales la f.e.p. tiene el mismo valor.
V(x,y,z)=V0 será la ecuación de la superficie de nivel de valor V0 . Dando diferentes
valores a V0 tendremos una colección de ecuaciones de superficies, y al representarlas
gráficamente podremos ver la forma del campo.
U1 > U2 > U3 > U4
En el campo representado para las
superficies de nivel de la figura podemos
observar como el valor de la magnitud
U1
aumenta al realizar desplazamientos hacia
arriba, pero la misma variación del campo
se consigue con diferentes desplazamientos
según el punto del campo en que nos
U2
encontramos.
U3
U4
Un ejemplo de superficies de nivel: mapa
de presiones atmosféricas, en el que las
superficies de nivel son las isóbaras que
unen puntos que tienen la misma presión
atmosférica.
Dos superficies de nivel no pueden cortarse, ya que eso implicaría puntos con dos
valores diferentes de la f.e.p., y por definición no seria posible.
1.3. Vector Gradiente
El vector gradiente nos permitirá conocer como varia la f.e.p. en las proximidades de un
punto. Por ejemplo, en un campo de temperaturas, para un punto dado podremos saber
si, al hacer un desplazamiento en una determinada dirección, la temperatura aumenta o
disminuye, o en que dirección hemos de hacer el desplazamiento para que el aumento
sea máximo.
Nos planteamos el estudio de la variación de una f.e.p. U en las proximidades de un
punto P de coordenadas (x,y,z). En este punto la f.e.p. vale UP=U(x,y,z). Haciendo un
desplazamiento elemental ds desde el punto
(x+dx,y+dy,z+dz)
P(x,y,z) a un punto de coordenadas
U(x+dx,y+dy,z+dz)
(x+dx,y+dy,z+dz), en el que la f.e.p. tendrá por
valor U(x+dx,y+dy,z+dz). El diferencial de la
ds
f.e.p. entre los dos puntos, dU, será la diferencia
entre el valor final de la f.e.p. y el que tenia en el
punto P:
dU = U ( x + dx, y + dy, z + dz) − U (x, y, z)
(x,y,z)
U(x,y,z)
Nuestro problema ahora será determinar el valor de dU. Para simplificar el problema
nos situaremos en el plano XY, y después generalizaremos las expresiones. Nos
desplazaremos desde el punto (x,y) hasta el punto
(x+dx,y+dy)
(x+dx,y+dy). El desplazamiento lo haremos en dos
U(x+dx,y+dy)
etapas, primero a lo largo de la dirección OX des
ds
del punto (x,y) hasta el (x+dx,y), y se mantiene
dy j
constante,
y
después
en
un
segundo
desplazamiento en la dirección YO llegaremos al
punto (x+dx,y+dy) manteniendo x constante. En el
(x,y)
(x+dx,y)
dx i
primer desplazamiento la variación de U será U(x,y)
U(x+dx,y)
debida exclusivamente a la variación de x:
∂U
dx
∂x
El valor de U en (x+dx,y) será igual al valor que tenia en (x,y) más la variación de U por
el desplazamiento realizado.
U ( x + dx, y) = U ( x, y ) +
∂U
será la variación de U por unidad de desplazamiento en la dirección OX.
∂x
∂U
dx será la variación de U al hacer un desplazamiento de valor dx en la dirección
∂x
OX.
Una vez situados en (x+dx,y) nos desplazaremos un dy en la dirección YO hasta
(x+dx,y+dy) manteniendo x constante:
∂U
dy
∂y
Siguiendo el mismo razonamiento, el valor de U en (x+dx,y+dy) será igual al valor que
tenia en (x+dx,y) más la variación de U por desplazamiento realizado.
U ( x + dx, y + dy) = U ( x + dx , y ) +
∂U
será la variación de U por unidad de desplazamiento en la dirección OY.
∂y
∂U
dy será la variación de U al hacer un desplazamiento de valor dy en la dirección
∂y
OY.
Ahora podemos plantear la expresión resultado de los dos desplazamientos:
U ( x + dx , y + dy ) = U ( x , y ) +
∂U
∂U
dx +
dy
∂x
∂y
El diferencial de U, variación en su valor al hacer el desplazamiento elemental, será:
dU = U ( x + dx, y + dy ) − U ( x, y ) =
∂U
∂U
dx +
dy
∂x
∂y
es fácil plantear la generalización de esta expresión a un desplazamiento en el espacio
de tres dimensiones:
dU =
∂U
∂U
∂U
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
esta expresión se puede expresar como un producto escalar de dos vectores de la
siguiente manera:
dU =
∂U
∂U
∂U
 ∂U
∂U
∂U 
dx +
dy +
dz = 
i+
j+
k  ⋅ (dx i + dy j + dz k )
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
El segundo vector es el vector desplazamiento elemental ds que se ha realizado
expresado en forma analítica, y el primer se denomina vector gradiente de la f.e.p.
 ∂U
∂U
∂U 
grad U = 
i+
j+
k
∂y
∂z 
 ∂x
El vector gradiente de una f.e.p. es un vector de componentes la derivada
parcial de la f.e.p. respecto de las coordenadas correspondientes.
Por ejemplo:
 ∂U
∂U
∂U

U = xy 2 z → grad U = 
i+
j+
k  = y 2 z i + 2 xyz j + xy 2 k
∂
x
∂
y
∂
z


Por tanto, el cálculo de la variación de la f.e.p. al hacer un desplazamiento elemental se
realizará calculando el producto escalar del vector gradiente y el vector desplazamiento
elemental:
dU = grad U ⋅ ds
1.3.1. Significado físico del gradiente.
Para entender el significado físico del gradiente, y la información que nos proporciona
sobre la f.e.p., consideraremos desplazamientos en diferentes direcciones:
• Desplazamiento elemental sobre una
U1 > U2 > U3 > U4
(x,y,z) ds (x+dx,y+dy,z+dz)
superficie de nivel:
El desplazamiento elemental ds nos
traslada de un punto a otro situados sobre
la superficie de nivel, y por tanto el valor
U1
de la f.e.p. no cambia dU=0. Eso
aplicado a la expresión del diferencial de
U2
la f.e.p.:
U3
dU = grad U ⋅ ds = 0
De esta forma vemos que el producto
escalar del gradiente por un vector
situado sobre la superficie de nivel da
cero, es decir son perpendiculares. Por
tanto, como el desplazamiento está sobre
la superficie, el gradiente será un vector
siempre normal a las superficies de
nivel.
U4
grad U
U1 > U2 > U3 > U4
(x,y,z) ds (x+dx,y+dy,z+dz)
U1
U2
U3
U4
•
Desplazamiento en la dirección del
gradiente:
Al hacer el desplazamiento en la
dirección del gradiente los dos vectores
serán paralelos:
grad U
U1 > U2 > U3 > U4
(x,y,z) ds (x+dx,y+dy,z+dz)
U1
dU = grad U ⋅ ds = grad U ⋅ ds > 0
U2
la variación de la f.e.p. es positiva dU>0.
Al hacer el desplazamiento en la
dirección del gradiente, la f.e.p. aumenta.
El vector gradiente indica el sentido
creciente de la f.e.p.
U3
U4
•
Desplazamiento en una dirección
cualquiera:
Al hacer un desplazamiento en una
dirección diferente a la del vector
gradiente, en el cálculo del diferencial de
la f.e.p. interviene la ángulo que forma el
gradiente y el desplazamiento α:
grad U
U1 > U2 > U3 > U4
α ds
(x,y,z)
(x+dx,y+dy,z+dz)
U1
U2
dU = grad U ⋅ ds = grad U ⋅ ds ·cos α
U3
U4
como que el cosα tiene valores entre –1 y
+1, y toma valor 1 en α=0º, la dirección
del gradiente es la que proporciona una
variación de la f.e.p. máxima.
Por otra parte, si realizamos el mismo
desplazamiento desde diferentes puntos
manteniendo el mismo valor de α, la
variación de la f.e.p. será proporcional
al módulo del gradiente, será mayor
cuanto más grande sea el gradiente.
grad U
U1 > U2 > U3 > U4
U1
U2
U3
U4
Por ejemplo, podemos estudiar como varia la Temperatura de un recinto, que viene dada
por la f.e.p. T = ( 2 x· y + 2 z 2 )º C , al hacer un desplazamiento a partir del punto P(1,5,1)
de una unidad de longitud en la dirección del vector a = 2 i + j :
 ∂T
∂T
∂T 
grad T = 
i+
j+
k  = 2 y i + 2 x j + 4 zk → grad T
∂y
∂z 
 ∂x
P
= 10 i + 2 j + 4k
dT = grad T ( P) ⋅ ds a hemos de calcular el vector gradiente en P, y el desplazamiento
elemental en la dirección de a
d sa = ds aˆ = ds
a
2i + j
= ds
a
5
2i + j 22
=
ds como queremos la variación de la temperatura
5
5
por unidad de desplazamiento, dividiendo por el módulo del desplazamiento:
dT = (10i + 2 j + 4k ) ds
dT 
22
ºC/ m
 =
dr a , P
5
CUESTIONES Y PROBLEMAS.
ANEXOS.
2.2 Campos vectoriales. Circulación. Flujo.
ESQUEMA.
Diapositiva2.jpg
CASO/ARTÍCULO.
CONOCIMIENTOS.
Procederemos de manera equivalente al campo escalar. Partiremos del estudio de una
magnitud vectorial en un determinado fenómeno, por ejemplo la velocidad de las
partículas de un fluido en el interior de un depósito. Hemos situado previamente un
sistema de referencia para tener las coordenadas de cada punto del depósito.
1.4. Función vectorial de punto
La función vectorial de punto (f.v.p.) es una ley física que nos proporciona el valor
de una magnitud vectorial F en función de las coordenadas de cada punto (x,y,z):
F( x, y, z ) = Fx ( x, y, z )i + Fy ( x, y, z ) j + Fz ( x, y, z )k
Cada componente de la f.v.p. es una f.e.p. Por ejemplo, en el caso anterior la velocidad
de las partículas de un fluido en el interior de un depósito está dada por la f.v.p.
F = 2 xyi + ( x + y + 2 z )j + ( x + 2 z2 )k
hemos de hacer las mismas observaciones que las realizadas en el caso de campos
escalares:
• Esta expresión únicamente es válida para el recinto que hemos estudiado, a pesar de
que podamos dar coordenadas de puntos fuera del recinto, el valor de la velocidad
que obtendremos no tendrá ningún significado.
• La f.v.p. depende del sistema de referencia escogido, de manera que si cambiamos
de sistema de referencia hemos de modificarla para obtener el mismo valor de la
magnitud vectorial en un punto, a pesar de que las sus coordenadas hayan cambiado.
Se define como campo vectorial la región del espacio para la cual hemos definido
la función vectorial de punto.
⊕ En los casos reales de f.e.p. y f.v.p., los fenómenos naturales que representan
evolucionan con el tiempo. Por tanto nos encontraremos con un parámetro adicional
en las leyes U ( x, y, z, t) , F( x, y, z, t ) .
1.5. Líneas de campo
Por poder visualizar la “forma” de un campo vectorial utilizaremos las líneas de campo.
Una línea de campo es una curva tal que en
todos sus puntos la f.v.p. es tangente a ella.
La flecha indica el sentido que tiene el campo
vectorial a lo largo de la línea de campo. Al hacer un
ds
desplazamiento elemental sobre la línea de campo, el
v
vector desplazamiento y la f.v.p. son paralelos,
d s // F , y por tanto sus componentes serán
proporcionales:
d s = dxi + dyj + dzk
F = Fx i + Fy j + Fz k
dx dy dz
=
=
Fx Fy Fz
Integrando las igualdades anteriores obtendremos la ecuación de las líneas de campo.
Un ejemplo de líneas de campo: mapa de
velocidades del viento atmosférico, en el
que las líneas de campo indican el
movimiento de las corrientes de aire.
En la asignatura nos encontraremos representaciones de líneas de campo como los
ejemplos de las dos figuras siguientes: campo magnético terrestre y campo eléctrico de
un dipolo. Estas representaciones proporcionan información valiosa para poder
interpretar sus características.
E
E
+
E
-
campo electrostático de un dipolo
campo magnético terrestre
1.6. Circulación de una función vectorial de punto.
La importancia que tiene la circulación dentro de la Física la proporciona el hecho de
que aparezca en la definición de magnitudes físicas tan importantes como el trabajo
realizado para una fuerza o la diferencia de potencial electrostática entre dos puntos.
De forma general la circulación es una
operación matemática que se define
para a una f.v.p., y se realiza sobre una
F
curva entre dos puntos, inicial y final
del cálculo. Por tanto, la información
necesaria será la f.v.p., la ecuación de
B
la curva y las coordenadas del punto
A
de inicio y final de la circulación.
Definiremos primero la circulación
elemental: situemos un punto sobre la
curva de coordenadas P(x,y,z), y
determinemos el valor de la f.v.p. en el
punto F(P) . Ahora hagamos un
desplazamiento elemental sobre la
(x,y,z)
F
curva d s en el sentido de A a B,
puntos de inicio y final de la
ds
circulación.
B
A
Se define como circulación elemental al producto escalar de la f.v.p. en el punto
P por el vector desplazamiento elemental sobre la curva en el sentido de la
circulación:
dC = F( P )·ds
Si nos desplazado desde A hasta B
realizando
desplazamientos
elementales sobre la curva y
calculando la circulación elemental
de cada desplazamiento, la suma nos
dará la circulación de la f.v.p. a lo
largo de la curva entre los puntos
inicial y final.
F
B
A
Se define como circulación de una f.v.p. a la integral de la circulación
elemental calculada a lo largo de la curva y con límites el punto inicial y el
punto final de la curva:
∫
B
∫
B
C BA = dC = F· dr
A
A
Matemáticamente la circulación es una integral curvilínea en la que, a demás de los
límites de integración, los puntos que se han de recorrer han de estar sobre una curva
determinada. Por tanto se ha de seguir una metodología propia.
1.6.1. Método para al cálculo de una circulación:
Dada
la función vectorial de punto
F( x, y, z) , la ecuación de la curva sobre la
que se ha de hacer la circulación a ser
posible
en
forma
paramétrica,
( x = x(t ), y = y(t ), z = z(t)) ,
y
las A
coordenadas del punto inicial y final de la
circulación A( x0 , y0 , z 0 ); B( x1 , y1 , z1 ) , el
método es el siguiente:
F
1. La f.v.p. en la circulación ha de tomar los valores correspondientes al punto
de la curva, y por tanto x, y y z deberán de tomar el valor dado para la
expresión paramétrica de la curva: F( x, y, z ) = F ( x(t ), y(t ), z (t )) = F( t ) la f.v.p.
quedará como función del parámetro utilizado para a definir la curva.
2. El desplazamiento elemental se realiza sobre la curva. Para obtener su
expresión realizaremos la siguiente operación:
El vector posición de un punto de la curva será:
s = x i + y j + z k = x (t ) i + y (t ) j + z (t )k
Ahora obtendremos el vector desplazamiento elemental sobre la curva
diferenciando el vector posición sobre la curva:
d ( z(t )) 
 ds 
 d ( x(t )) d ( y(t ))
d s =  dt = 
i+
j+
k dt
dt
dt
 dt 
 dt

B
3. los límites de la circulación serán los puntos A y B, que, como están sobre la
curva, corresponderán a valores del parámetro t A y t B.
4. Al sustituir en la circulación elemental, toda la operación quedará en función
del parámetro:
d ( y(t ))
d ( z( t )) 
 d ( x(t ))
dC = F·ds = F(t )·
i+
j+
k dt
dt
dt
 dt

5. Finalmente se realizará la integración definida en función del parámetro:
C BA =
∫
tB
tA
 d ( x (t )) d ( y(t )) d ( z (t )) 
F(t )·
i+
j+
k dt
dt
dt
 dt

1.6.2. Circulación de un campo Central:
Un caso particularmente importante es el del campo central, en el cual la f.v.p. es una
función de la distancia a un punto, donde normalmente se
sitúa el origen de coordenadas. Un campo de fuerzas
F
gravitatorio o eléctrico creado para una partícula tiene
r
estas características:
q’
r
F = F (r ) rˆ donde rˆ =
es el vector unitario en la
r
r̂
q
dirección de r .
Por calcular la circulación elemental hemos de
determinar la expresión del desplazamiento lemental:
r = r rˆ → dr = d (rrˆ ) = drrˆ + rdrˆ
d (rˆ ·rˆ ) = rˆd (rˆ ) + d (rˆ )rˆ = 2rˆ d (rˆ )
Por otro lado
d (rˆ ⋅ rˆ ) = d (rˆ 2 ) = d (1) = 0
Igualando las 2 expresiones anteriores obtendremos que:
2rˆ ⋅ d ( rˆ ) = 0 ⇒ rˆ drˆ = 0
De esta forma, la circulación elemental del campo central F será igual a:
dC = F(r )·dr = F ( r )rˆ ⋅ (d (r ) rˆ + r d (rˆ ) ) = F (r ) d ( r )rˆ rˆ + F (r )rrˆ d (rˆ ) = F (r ) dr
Por tanto, al calcular la circulación entre dos puntos, el parámetro que utilizaremos será
r, distancia al punto de referencia, e independiente de la curva que utilizaremos para
calcular la circulación:
C AB =
∫
RB
RA
F ( r ) dr
este resultado es general:
En un campo central la circulación entre dos puntos es independiente del
camino seguido para a calcularla.
1.7.
Campos conservativos. Función Potencial.
Los campos conservativos suponen un caso particular de las f.v.p. de especial
relevancia, ya que los campos de fuerzas gravitatorios y eléctrico lo son. Las
propiedades de los campos conservativos respecto de la circulación son muy
interesantes, ya que su cálculo se simplificará considerablemente.
Un campo vectorial se denomina conservativo si su f.v.p. se puede expresar
como menos el gradiente de una función escalar de punto:
F( x, y, z ) = −gradU ( x, y , z )
a la f.e.p. U relacionada con la f.v.p. se denomina función potencial, y se dice
que la f.v.p. deriva de potencial.
La propiedad fundamental de un campo conservativo se encuentra en el cálculo de la
circulación. La circulación elemental es igual al diferencial de la función potencial
cambiado de signo:
dC = F ⋅ d s = − gradU ⋅ ds = − dU
Al calcular la circulación a lo largo de una curva entre dos puntos A y B:
∫ F ⋅ ds = ∫ − dU = [− U ]
C BA =
B
B
A
A
B
A
El resultado de la circulación de un campo
conservativo es igual a la diferencia entre el
valor de la función potencial en el punto inicial y
final de la circulación, y por tanto independiente
de la curva escogida para trasladarse de A hasta
a B.
como ya hemos visto, esta propiedad la tienen
los campos centrales, que son conservativos.
= U A −U B
1
Z
B
U(B)
2
A
U(A)
O
3
Y
X
Una conclusión inmediata del resultado anterior es que la circulación al largo de un
camino cerrado será cero:
∫
CC = F ⋅ d s =
C
∫
− dU = [− U ]A = U A − U A = 0
A
A
A
En el caso de campos centrales como las fuerzas gravitatorias y eléctricas la función
potencial tiene unidades de energía, energía potencial gravitatoria y energía potencial
electrostática, y la circulación representa el trabajo realizado por estas fuerzas. En el
caso del campo eléctrico, la intensidad de campo es la fuerza por unidad de carga, y su
circulación, la función potencial es el potencial electrostático, y la circulación,
diferencia de potencial, representa el trabajo realizado para la unidad de carga.
Ahora plantearemos dos problemas: el primer será como saber si una f.v.p. deriva de
potencial, es decir, representa un campo conservativo. El segundo será, una vez
comprobado que la f.v.p. deriva de potencial, determinar la función potencial.
1.7.1.
Comprobación de un campo conservativo
Supongamos que la f.v.p. F( x, y, z) deriva de potencial.
(
)
 ∂U
∂U
∂U 
F = F x i + F y j + F z k = −grad U = −
i+
j+
k
∂y
∂z 
 ∂x
Las componentes de F en las direcciones x, y y z son pues,
∂U
∂x
∂U
Fy = −
∂y
∂U
Fz = −
∂z
Fx = −
Derivando la componente Fx respecto a la variable y, y la componente Fy respecto a la
variable x tenemos,
∂ Fx
∂U
=−
∂y
∂y∂x
∂ Fy
∂U
∂U
=−
=−
∂x
∂x∂y
∂y∂x
donde podemos observar que ambas derivadas son iguales. Procediendo de forma
análoga con el resto de parejas de componentes de F obtenemos finalmente,
∂ Fx ∂Fy
=
∂y
∂x
∂Fx ∂Fz
=
∂z
∂x
∂Fy ∂Fz
=
∂z
∂y
La f.v.p. deriva de potencial si son iguales las derivadas cruzadas de sus componentes.
Ejemplos:
La f.v.p. F( x, y, z ) = y2 zi + 2 xyzj + xy 2 k . Comprobemos si deriva de potencial:
∂Fy
 ∂Fx
 ∂y = 2 yz; ∂x = 2 yz

∂Fz
 ∂Fx
= y2;
= y2

∂x
 ∂z
 ∂Fy = 2 xy; ∂Fz = 2 xy
 ∂z
∂y

Les derivadas cruzadas son iguales, la f.v.p. deriva de potencial.
La f.v.p. K ( x, y, z) = xyi + 2 xz2 j + 3 xyk . Comprobemos si deriva de potencial:
 ∂K x
= x;

 ∂y
∂K y
∂x
= 2z2
Las derivadas cruzadas no son iguales, la f.v.p. no deriva de potencial.
1.7.2.
Determinación de la función potencial.
El problema de la determinación de la función potencial de un campo conservativo a
partir de la f.v.p. puede ser compleja. Podemos ver un par de ejemplos:
• Una función vectorial de punto expresada en función de coordenadas cartesianas:
F ( x , y , z ) = yz i + xz j + xy k . Se puede comprobar la igualdad de las derivadas cruzadas
de las componentes, y que, por tanto, deriva de potencial. Por tanto, las
componentes de la f.v.p. serán iguales a las derivadas de la función potencial
respecto de x, y y z cambiadas de signo:
∂U
∂U
∂U
i−
j−
k
∂x
∂y
∂z
∂U
∂U
∂U
= − yz;
= − xz;
= − xy
∂x
∂y
∂z
F = −gradU = −
Teniendo en cuenta que son derivadas parciales podemos proceder a la integración de
las tres ecuaciones diferenciales:
∫
U = ∫ − xz∂ y = − xyz + B ( x, z )
U = ∫ − xy∂z = − xyz + C( x, y )
U = − yz∂x = − xyz + A( y, z )
Les tres soluciones de U han de ser compatibles, cosa que afecta a las funciones A, B y
C, y por tanto la solución ha de ser:
U = − xyz + K
•
Una f.v.p. expresada en función del vector posición F =
K
rˆ , de la que se puede
r2
comprobar que deriva de potencial. En este caso relacionaremos directamente el
diferencial de la función potencial con la circulación elemental de la f.v.p.:
dC = F·dr =
K
rˆ·d r = −gradU ·dr = −dU
r2
En el punto anterior hemos determinado la circulación de la misma función, y
conocemos la expresión de la circulación elemental después de hacer el producto escalar
del unitario y el desplazamiento elemental:
rˆ ·dr = dr
K
dC = 2 dr = − dU
r
K
K
U = − 2 dr = + C
r
r
∫
hemos de recordar este resultado porque las fuerzas eléctricas y gravitatorias tienen la
misma f.v.p., y sus funciones potenciales son como la que acabamos de obtener.
1.8.
Flujo de una función vectorial de punto.
El flujo es una operación matemática que se
define para una f.v.p. y se realiza sobre una
superficie de contorno determinado. Por
tanto la información necesaria será la
expresión de la f.v.p. F( x, y, z) , la ecuación
de la superficie S y los límites de la misma
C.
La primera definición que hemos de hacer
para calcular el flujo es la de flujo
elemental. Nos situamos en un punto P de la
superficie, y determinamos el valor de la
f.v.p. en ese punto F(P ) . Ahora cojamos
una superficie elemental sobre S en el punto
P.
S
F
P
C
n̂
S
dA
F
P
C
Más tarde comprobaremos que el sentido de la superficie elemental nos dará
información para poder interpretar en que sentido atraviesa la f.v.p.
Se define como flujo elemental de la f.v.p. F a través de la superficie elemental
dA :
dφ = F·nˆ dA
Donde n̂ es el vector unitario en la dirección perpendicular al elemento de superficie
dA. Ahora será fácil extender la definición de flujo elemental a la de flujo que atraviesa
la superficie S dentro del su contorno C: dividiremos toda la superficie en superficies
elementales, calcularemos el flujo elemental en cada una de ellos y sumaremos.
El flujo de una f.v.p. F a través de la superficie S dentro del contorno C es la
integral del flujo elemental extendida a toda la superficie considerada:
φ = ∫ dφ = ∫ F·nˆ dA
S
S
El flujo es una integración especial porque se ha de hacer una suma sobre una
superficie. Matemáticamente corresponde a una integración doble. De todas formas,
dado el grado de simplificación de los problemas que podemos encontrar en la
asignatura, siempre se podrá realizar el cálculo del flujo como una integración simple
respecto de una única variable, como podremos ver en el ejemplo.
Ejemplo:
c
Z
Hemos de calcular el flujo de una f.v.p.
F = y 2 i + 2 j que atraviesa el rectángulo de la
figura, situado sobre el plano YZ, de lados de
b
longitudes a y b paralelos al eje OY y OZ, y
situada a una distancia c del eje OZ.
F
Y
Cojamos una superficie elemental que, por estar
sobre el plano YZ, será normal a la superficie, en
la dirección del eje OX, y en el sentido positivo,
de forma arbitraria:
dA
nˆ = ˆi
a
X
Z
c
El flujo elemental será:
n̂
d φ = F · nˆ dA = ( y 2 i + 2 j)· i dA = y 2 dA
dA
b
F
Y
a
X
Podemos observar que la f.v.p. depende únicamente de y , y el flux elemental será el
mismo para todos los puntos de igual valor de y. Eso permite hacer una simplificación
importante que permite el cálculo del flujo como integral simple:
Para simplificar el cálculo hemos de coger superficies elementales tan extensas
como sea posible siempre que la f.v.p. tenga el mismo valor en todos sus puntos.
En nuestro caso, una superficie elemental como la
del dibujo, de forma rectangular de altura b y
anchura elemental dy, tiene superficie elemental
dA= bdy y en todos sus puntos la f.v.p. tiene el
mismo valor por ser y constante. El flujo
elemental será:
Z
c
dy
dA
n̂
b
F
Y
y
d φ = y 2 dA = by 2 dy
a
X
La integración quedará en función de y.
El sentido que damos al vector superficie elemental tiene
significado en el caso de una superficie cerrada. En general, el
sentido que le daremos en este caso será siempre hacia fuera de
la superficie. De esta manera si el flujo es positivo se dice que
dentro de la superficie existe una fuente de campo, y si el flujo
es negativo se dice que hay un pozo de campo.
rF
F
rn̂
dS
dA
CUESTIONES Y PROBLEMAS.
ANEXOS.
TALLER
RECUERDA QUE...
... un campo, escalar o vectorial, es una función (escalar o vectorial) definida en una
determinada región del espacio.
... los campos escalares se pueden representar mediante superficies isoescalares o de
nivel, y los campo vectoriales mediante líneas de campo.
... dos superficies de nivel nunca pueden cortarse.
... el vector gradiente es un vector perpendicular a las superficies de nivel, indica el
sentido creciente del campo, su dirección es la que proporciona una variación máxima
del campo, y su módulo es proporcional a la variación del campo.
... la circulación está relacionada con magnitudes tan importantes en física como por
ejemplo el trabajo realizado por una fuerza, y la diferencia de potencial.
... la circulación no es más que un sumatorio del producto escalar del campo vectorial
por el vector desplazamiento a lo largo de una trayectoria.
... en el cálculo de una circulación hay que considerar: el campo vectorial, el camino a
lo largo del cual se calcula la circulación, y los puntos inicial y final, salvo el caso de
campos conservativos, en los cuales la circulación es independiente del camino
recorrido.
... el resultado de la circulación de un campo conservativo es igual a la diferencia entre
el valor de la función potencial en el punto inicial y final de la circulación, y por tanto
independiente de la curva escogida.
... para que un campo sea conservativo se han de cumplir las tres igualdades de la regla
de las derivadas cruzadas. Para que no lo sea, basta con que no se cumpla una de ellas.
ERRORES MÁS COMUNES
No ser capaz de representar gráficamente mediante superficies de nivel un campo
escalar.
Omitir el carácter vectorial del vector gradiente.
No saber interpretar gráficamente el vector gradiente.
No saber representar un campo vectorial mediante líneas de campo.
No comprender el sentido de la circulación como integral a lo largo de un camino.
Calcular la circulación de un campo escalar, en lugar de expresarla directamente como
la diferencia de potencial.
Confundir circulación y flujo.
A la hora de calcular el flujo a través de una superficie, no escoger los diferenciales de
superficie adecuados al problema.
AUTOEVALUACIÓN
Cuestiones02.doc
GLOSARIO
Campo conservativo: Un campo vectorial se denomina conservativo si su f.v.p. se
puede expresar como menos el gradiente de una función escalar de punto:
F( x, y, z ) = −gradU ( x, y , z )
Campo escalar: región del espacio en la cual se ha definido una función escalar de
punto.
Campo vectorial: región del espacio en la cual se ha definido una función vectorial de
punto.
Circulación elemental de una f.v.p: producto escalar de la f.v.p. en un punto P por el
vector desplazamiento elemental sobre la curva en el sentido de la circulación en dicho
punto:
dC = F( P )·ds
Circulación de una f.v.p: la integral de la circulación elemental calculada a lo largo de
la curva y con límites el punto inicial y el punto final de la curva:
C AB = ∫ dC = ∫ F·ds
B
B
A
A
Flujo elemental: Se define como flujo elemental de la f.v.p. F a través de la superficie
elemental dA :
dφ = F·nˆ dA
Flujo de una f.v.p.: el flujo de una f.v.p. F a través de una superficie S dentro de un
contorno C es la integral del flujo elemental extendida a toda la superficie considerada:
φ = ∫ dφ = ∫ F·nˆ dA
S
S
Donde n̂ es el vector unitario en la dirección perpendicular al elemento de superficie
dA.
Fuente de campo: región encerrada por una superficie cerrada en la cual el flujo es
positivo.
Función escalar de punto (f.e.p.): es una ley física que nos da el valor de una magnitud
escalar V en función de las coordenadas de cada punto (x,y,z): V=V(x,y,z)
Función potencial: a la f.e.p. U relacionada con la f.v.p. de un campo conservativo se
denomina función potencial.
F= -grad U
Función vectorial de punto (f.v.p.): es una ley física que nos proporciona el valor de una
magnitud vectorial F en función de las coordenadas de cada punto (x,y,z):
F( x, y, z ) = Fx ( x, y, z )i + Fy ( x, y, z ) j + Fz ( x, y, z )k
Línea de campo: es una curva tal que en todos sus puntos la f.v.p. es tangente a ella.
Pozo de campo: región encerrada por una superficie cerrada en la cual el flujo es
negativo.
Superficie isoescalar: lugar geométrico de los puntos en los cuales la f.e.p. tiene el
mismo valor.
Superficie de nivel: lugar geométrico de los puntos en los cuales la f.e.p. tiene el mismo
valor.
Vector gradiente: Se define el vector gradiente del campo escalar U(x,y,z), como:
 ∂U
∂U
∂U 
grad U = 
i+
j+
k
∂y
∂z 
 ∂x
BIBLIOGRAFÍA